Конспект урока по алгебре и началам анализа на тему "Показательные неравенства"

Конспект урока по алгебре и началам анализа

для учащихся 10 «Б» класса

Тема урока: «Показательные неравенства».

Цели урока:

образовательная: введение понятия «показательные неравенства» и методов их решения;

развивающая: развитие внимания, познавательной активности, памяти, мышления;

воспитательная: воспитание аккуратности, внимательности, культуры математической речи.

Тип урока: изучение нового материала

Методы обучения: дедуктивно-репродуктивный

Оборудование: компьютер, интерактивная доска.

Литература:

1.       Алгебра и начала анализа : учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / [Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др.] – 13-е изд. – М. : Просвещение, 2005. – 384 с.

2.       Алгебра и начала анализа: Поурочные планы по учебнику Ш. А. и др.:10 класс / Григорьева Г. И. – Волгоград: Учитель, 2008. – 150 с.

3.       Саранцев, Г. И. Методика обучения математике: методология и теория: учеб. пособие для студентов бакалавриата высших учебных заведений по направлению «Педагогическое образование» (профиль «Математика») / Г. И. Саранцев. – Казань: Центр инновационных технологий,  2012. – 292 с.

План урока:

 1. Организационный момент (2 мин)

 2. Актуализация опорных знаний (3 мин)

      3. Изучение нового материала (12 мин)

      4. Закрепление изученного материала (25 мин)

      5. Подведение итогов урока (2 мин)

      6. Домашнее задание (1 мин)

Ход урока:

1. Организационный момент.

Включает в себя приветствие учителем класса, подготовку помещения к уроку, проверку отсутствующих.

2. Актуализация опорных знаний.

Учитель: Сегодня на уроке, мы рассмотрим показательные неравенства и основные методы их решения, что даст нам возможность решать их уверенно и быстро. Для начала предлагаю вспомнить методы решения показательных уравнений, так как они аналогичны методам решения показательных неравенств.

Ученик:

1.   Сведение к одному основанию.

2.   Вынесение общего множителя за скобки.

3.   Метод введения новой переменной.

4.   Графический.

Учитель: А теперь назовите мне свойства показательной функции.

Ученик: 1) Область определения – R (множество всех действительных чисел).

2) Множество значений – множество всех положительных чисел.

3) Показательная функция является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если >1, и убывающей, если 0<<1.

3.Изучение нового материала.

Учитель: Итак, при решении показательных неравенств необходимо использовать 3-е свойство показательной функции:

1. Если  >1, то неравенство а^х>a^b ,справедливо тогда и только тогда, когда a>b. 

2.  Если  0< <1, то неравенство а^х>a^b, справедливо тогда и только тогда, когда a<b.

Сейчас мы запишем эти 2 свойства покороче, я – на доске, а – вы в тетрадях. Сначала запишите тему сегодняшнего урока.

Запись на доске и в тетрадях:

18.11.14.

Показательные неравенства.

Учитель: А теперь запишите свойства.

Запись на доске и в тетрадях:

1) Если , то неравенство а^х>a^b  Û х>b.

2) Если 0<<1, то неравенство а^х>a^b  Û х<b.

Учитель: Давайте запишем определение показательного неравенства.

Запись на доске и в тетрадях:

Показательное неравенство – это неравенство вида а^х>a^b, где а>0, а≠1.

Учитель: А теперь приступаем к разбору ключевых примеров.

Пример 1. Решить неравенство:  (метод приведения к одному основанию). Перепишем неравенство:  ;  ; . Т. к 2>1, то по свойству 1 знак остаётся прежним, т. е.  ⇒  . Ребята, важно отметить, что ответ можно записать либо в виде неравенства, либо в виде промежутка. Запишем в виде промежутка.

Ответ:

Запись на доске и в тетрадях:

 ,  ,  , ⇒ ⇒ .

Ответ:

Пример 2. Решить неравенство: .

Учитель: Как вы думаете, какой метод используется здесь?

Ученики: Метод вынесения общего множителя за скобки.

Учитель: Правильно. 2 в какой степени вынесем за скобку?

Ученик: . Потому что за скобки выносится наименьшая степень.

Учитель: Верно. Продолжим:  ; ;  (т. к 2>1, то по свойству 1 знак остаётся прежним) ⇒  ⇒  ⇒.

Ответ:

Запись на доске и в тетрадях:

;  ; ; ⇒  ⇒  ⇒.

Ответ:

Учитель:

Пример 3. Решить неравенство: . Здесь, как вы видите, лучше использовать метод введения новой переменной. Пусть  ⇒ . У нас получилось квадратное неравенство, которое решается методом интервалов. Для начала найдём корни, т.е. от неравенства перейдём к уравнению:⇒. Отмечаем их на числовой прямой, у нас получилось ⇒ 1)Неравенство –решений не имеет, т.к. корень  не удовлетворяет нашему условию ; 2) , т.к. 3>1⇒.

Ответ:

Запись на доске и в тетрадях:

Пусть  ⇒ , ⇒

⇒ 

1)–решений не имеет, т.к. корень  не удовлетворяет нашему условию ,

2), т.к. 3>1⇒.

Ответ:

4.Закрепление изученного материала.

Учитель: Ну, а теперь, закрепим полученные знания. Сегодня мы должны решить номера №228(1,3,5)-устно, №229(1), №231(1,2) и №232(1,3).

Учитель: №228(1,3,5)

Ученик: №228(1)

 . Т.к. 3>1, то . Ответ:

Ученик: №228(3)

 ;. Т.к. 2>1, то  ⇒ . Ответ:

Учитель: №229(1) и остальные номера выполним у доски.

Ученик: №229(1)

, ⇒⇒. Ответ:

Запись на доске и в тетрадях:

, ⇒⇒. Ответ:

Учитель:  Далее №231(1,2)

Ученик: №231(1)

, , , ,  ⇒. Ответ: .

Запись на доске и в тетрадях:

, , , ,  ⇒. Ответ: .

Ученик: №231(2)

, , ⇒, ⇒. Ответ: .

Запись на доске и в тетрадях:

, , ⇒, ⇒. Ответ: .

Учитель: №232(1,3)

Ученик: №232(1)

, , ·, ⇒. Ответ: .

Запись на доске и в тетрадях:

, , ·, ⇒. Ответ: .

Ученик: №232(3)

, , ·, 512⇒

⇒4,5. Ответ: .

Запись на доске и в тетрадях:

, , ·, 512⇒

⇒4,5. Ответ: .

5.Подведение итогов.

Учитель: Что нового вы узнали сегодня на уроке?

Ученик: Узнали, что такое показательные неравенства и научились их решать.

Учитель: Так что называется показательным неравенством?

Ученик: Показательное неравенство – это неравенство вида а^х>a^b, где а>0, а≠1.

6.Домашнее задание.

Запись на доске и в дневниках:  13, №231(3,4), №232(2,4), №233(1).

Краткое описание документа:

Конспект урока по алгебре и началам анализа

для учащихся 10 «Б» класса

Тема урока: «Показательные неравенства».

Цели урока:

образовательная: введение понятия «показательные неравенства» и методов их решения;

развивающая: развитие внимания, познавательной активности, памяти, мышления;

воспитательная: воспитание аккуратности, внимательности, культуры математической речи.

Тип урока: изучение нового материала

Методы обучения: дедуктивно-репродуктивный

Оборудование: компьютер, интерактивная доска.

Литература:

Алгебра и начала анализа : учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / [Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др.] – 13-е изд. – М. : Просвещение, 2005. – 384 с.

Алгебра и начала анализа: Поурочные планы по учебнику Ш. А. и др.:10 класс / Григорьева Г. И. – Волгоград: Учитель, 2008. – 150 с.

Саранцев, Г. И. Методика обучения математике: методология и теория: учеб. пособие для студентов бакалавриата высших учебных заведений по направлению «Педагогическое образование» (профиль «Математика») / Г. И. Саранцев. – Казань: Центр инновационных технологий, 2012. – 292 с.

План урока:

1. Организационный момент (2 мин)

2. Актуализация опорных знаний (3 мин)

3. Изучение нового материала (12 мин)

4. Закрепление изученного материала (25 мин)

5. Подведение итогов урока (2 мин)

6. Домашнее задание (1 мин)

Ход урока:

1. Организационный момент.

Включает в себя приветствие учителем класса, подготовку помещения к уроку, проверку отсутствующих.

2. Актуализация опорных знаний.

Учитель: Сегодня на уроке, мы рассмотрим показательные неравенства и основные методы их решения, что даст нам возможность решать их уверенно и быстро. Для начала предлагаю вспомнить методы решения показательных уравнений, так как они аналогичны методам решения показательных неравенств.

Ученик:

Сведение к одному основанию.

Вынесение общего множителя за скобки.

Метод введения новой переменной.

Графический.

Учитель: А теперь назовите мне свойства показательной функции.

Ученик: 1) Область определения – R (множество всех действительных чисел).

2) Множество значений – множество всех положительных чисел.

3) Показательная функция 〖y=a〗^xявляется возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a>1, и убывающей, если 0<a<1.

3.Изучение нового материала.

Учитель: Итак, при решении показательных неравенств необходимо использовать 3-е свойство показательной функции:

1. Если a >1, то неравенство ах>ab ,справедливо тогда и только тогда, когда a>b.

2. Если 0< a <1, то неравенство ах>ab, справедливо тогда и только тогда, когда a<b.

Сейчас мы запишем эти 2 свойства покороче, я – на доске, а – вы в тетрадях. Сначала запишите тему сегодняшнего урока.

Запись на доске и в тетрадях:

18.11.14.

Показательные неравенства.

Учитель: А теперь запишите свойства.

Запись на доске и в тетрадях:

Если a>1, то неравенство ах>ab  х>b.

Если 0< a <1, то неравенство ах>ab  х<b.

Учитель: Давайте запишем определение показательного неравенства.

Запись на доске и в тетрадях:

Показательное неравенство – это неравенство вида ах>ab, где а>0, а≠1.

Учитель: А теперь приступаем к разбору ключевых примеров.

Пример 1. Решить неравенство: 〖16〗^x>0,125 (метод приведения к одному основанию). Перепишем неравенство: 2^4x>125/1000 ; 2^4x>1/8 ; 2^4x>2^(-3). Т. к 2>1, то по свойству 1 знак остаётся прежним, т. е. 4x>-3 ⇒ x>-3/(4 ) . Ребята, важно отметить, что ответ можно записать либо в виде неравенства, либо в виде промежутка. Запишем в виде промежутка.

Ответ: x (- 3/(4 );+)

Запись на доске и в тетрадях:

〖16〗^x>0,125 , 2^4x>125/1000 , 2^4x>1/8 , 2^4x>2^(-3)⇒4x>-3 ⇒ x>-3/(4 ).

Ответ: x (- 3/(4 );+)

Пример 2. Решить неравенство: 2^(2x-1)+2^(2x-2)+2^(2x-3)≥448.

Учитель: Как вы думаете, какой метод используется здесь?

Ученики: Метод вынесения общего множителя за скобки.

Учитель: Правильно. 2 в какой степени вынесем за скобку?

Ученик: 2^(2x-3). Потому что за скобки выносится наименьшая степень.

Учитель: Верно. Продолжим: 2^(2x-3) (2^2+2^1+1)≥448 ;2^(2x-3)•7≥448 ; 2^(2x-3)≥64 (т. к 2>1, то по свойству 1 знак остаётся прежним) ⇒ 2x-3≥6 ⇒ 2x≥9 ⇒x≥4,5.

Ответ: x [4,5;+)

Запись на доске и в тетрадях:

2^(2x-1)+2^(2x-2)+2^(2x-3)≥448; 2^(2x-3) (2^2+2^1+1)≥448 ;〖 2〗^(2x-3)•7≥448 ; 2^(2x-3)≥64⇒ 2x-3≥6 ⇒ 2x≥9 ⇒x≥4,5.

Ответ: x [4,5;+)

Учитель:

Пример 3. Решить неравенство: 9^x-3^x-6>0. Здесь, как вы видите, лучше использовать метод введения новой переменной. Пусть 3^x=t (t>0) ⇒ t^2-t-6>0. У нас получилось квадратное неравенство, которое решается методом интервалов. Для начала найдём корни, т.е. от неравенства перейдём к уравнению: t^2-t-6=0⇒t_1=3,t_2=-2. Отмечаем их на числовой прямой, у нас получилось x>3,x<-2 ⇒ 1)Неравенство 3^x<-2–решений не имеет, т.к. корень t_2=-2 не удовлетворяет нашему условию t>0; 2) 3^x>3, т.к. 3>1⇒ x>1.

Ответ: x (1;+)

Запись на доске и в тетрадях:

9^x-3^x-6>0. Пусть 3^x=t (t>0) ⇒ t^2-t-6>0, t^2-t-6=0⇒

t_1=3,t_2=-2⇒ x>3,x<-2.

1)3^x<-2–решений не имеет, т.к. корень t_2=-2 не удовлетворяет нашему условию t>0,

2)3^x>3, т.к. 3>1⇒ x>1.

Ответ: x (1;+)

4.Закрепление изученного материала.

Учитель: Ну, а теперь, закрепим полученные знания. Сегодня мы должны решить номера №228(1,3,5)-устно, №229(1), №231(1,2) и №232(1,3).

Учитель: №228(1,3,5)

Ученик: №228(1)

3^x>9. Т.к. 3>1, то x>2. Ответ: x (2;+)

Ученик: №228(3)

〖 ( (1 )/(4 ) )〗^x<2 ;2^(-2x)<2^1. Т.к. 2>1, то -2x<1 ⇒ x>-(1 )/(2 ). Ответ: x (- (1 )/(2 );+)

Учитель: №229(1) и остальные номера выполним у доски.

Ученик: №229(1)

5^(х-1)≤√5, 5^(х-1)≤5^(1/2)⇒x-1≤ 1/2⇒x≤1,5. Ответ: x (1,5;+)

Запись на доске и в тетрадях:

5^(х-1)≤√5, 5^(х-1)≤5^(1/2)⇒x-1≤ 1/2⇒x≤1,5. Ответ: x (1,5;+)

Учитель: Далее №231(1,2)

Ученик: №231(1)

2^(-x^2+3x)<4, 2^(-x^2+3x)<2^2, -x^2+3x<2, x^2-3x+2>0, x^2-3x+2=0 ⇒ x>2,x<1. Ответ: x>2,x<1.

Запись на доске и в тетрадях:

2^(-x^2+3x)<4, 2^(-x^2+3x)<2^2, -x^2+3x<2, x^2-3x+2>0, x^2-3x+2=0 ⇒ x>2,x<1. Ответ: x>2,x<1.

Ученик: №231(2)

〖( 7/9 )〗^(〖2x〗^2-3x)≥ 9/7, 〖( 7/9 )〗^(〖2x〗^2-3x)≥〖( 7/9 )〗^(-1), 〖2x〗^2-3x≥-1⇒〖2x〗^2-3x+1≥0, 〖2x〗^2-3x+1=0⇒1/2≤x≤1. Ответ: 1/2≤x≤1.

Запись на доске и в тетрадях:

〖( 7/9 )〗^(〖2x〗^2-3x)≥ 9/7, 〖( 7/9 )〗^(〖2x〗^2-3x)≥〖( 7/9 )〗^(-1), 〖2x〗^2-3x≥-1⇒〖2x〗^2-3x+1≥0, 〖2x〗^2-3x+1=0⇒1/2≤x≤1. Ответ: 1/2≤x≤1.

Учитель: №232(1,3)

Ученик: №232(1)

3^(x+2)+3^(x-1)<28, 3^x (9+1/3)<28, 3^x• 28/3<28, 3^x<3⇒ x<1. Ответ: x<1.

Запись на доске и в тетрадях:

3^(x+2)+3^(x-1)<28, 3^x (9+1/3)<28, 3^x• 28/3<28, 3^x<3⇒ x<1. Ответ: x<1.

Ученик: №232(3)

2^(2x-1)+2^(2x-2)+2^(2x-3)≥448, 2^2x (1/2+1/4+1/8)≥448, 2^2x• 7/8≥448, 2^2x≥512⇒

2x≥9⇒x≥4,5. Ответ: x (4,5;+).

Запись на доске и в тетрадях:

2^(2x-1)+2^(2x-2)+2^(2x-3)≥448, 2^2x (1/2+1/4+1/8)≥448, 2^2x• 7/8≥448, 2^2x≥512⇒

2x≥9⇒x≥4,5. Ответ: x (4,5;+).

5.Подведение итогов.

Учитель: Что нового вы узнали сегодня на уроке?

Ученик: Узнали, что такое показательные неравенства и научились их решать.

Учитель: Так что называется показательным неравенством?

Ученик: Показательное неравенство – это неравенство вида ах>ab, где а>0, а≠1.

6.Домашнее задание.

Запись на доске и в дневниках: § 13, №231(3,4), №232(2,4), №233(1).