Конспект урока по алгебре и началам анализа в 11 классе на тему: "Возрастание и убывание функции"

Конспект урока по алгебре и началам анализа в 11 классе на тему:

"Возрастание и убывание функции"

Цели урока:

1.     Научить находить промежутки монотонности.

2.     Развитие мыслительных способностей, обеспечивающих анализ ситуации и разработку адекватных способов действия (анализ, синтез, сравнение).

3.     Формирование интереса к предмету.

Задачи урока:

Образовательная:

• организовать деятельность учащихся по применению достаточных условий возрастания и убывания функции к нахождению промежутков монотонности функции;

Развивающая:

• содействовать развитию памяти, речи, умению обобщать;

Воспитательные:

• формировать логическое, системное мышление;
• формировать ответственность, организованность;
• способствовать укреплению здоровья.

Тип урока: комплексного применения знаний, умений и навыков; проверки и оценки знаний.

Техническое обеспечение: интерактивная доска, компьютер.

Ход урока

Сегодня мы продолжаем изучать приложение производной и рассмотрим вопрос о её применении к исследованию функций. Фронтальная работа

А теперь дадим некоторые определения свойствам функции. “Мозговой штурм”

1.     Что называют функцией?

2.     Как называется переменная Х?

3.     Как называется переменная Y?

4.     Что называется областью определения функции?

5.     Что называется множеством значения функции?

6.     Какая функция называется чётной?

7.     Какая функция называется нечётной?

8.     Что можно сказать о графике чётной функции?

9.     Что можно сказать о графике нечётной функции?

10. Какая функция называется возрастающей?

11. Какая функция называется убывающей?

12. Какая функция называется периодической?

Математика изучает математические модели. Одной из главнейших математических моделей является функция. Существуют разные способы описания функций. Какой самый наглядный?

– Графический.

– Как построить график?

– По точкам.

Этот способ подойдет, если заранее известно, как примерно выглядит график. Например, что является графиком квадратичной функции, линейной функции, обратной пропорциональности, функции y = sinx? (Демонстрируются соответствующие формулы, учащиеся называют кривые, являющиеся графиками.)

А что если требуется построить график функции или еще более сложной? Можно найти несколько точек, но как ведет себя функция между этими точками?

Поставить на доске две точки, попросить учеников показать, как может выглядеть график “между ними”:

Выяснить, как ведет себя функция, помогает ее производная.

Откройте тетради, запишите число, классная работа.

Цель урока: узнать, как связан график функции с графиком ее производной, и научиться решать задачи двух видов:

1.     По графику производной находить промежутки возрастания и убывания самой функции, а также точки экстремума функции;

2.     По схеме знаков производной на промежутках находить интервалы возрастания и убывания самой функции, а также точки экстремума функции.

Подобные задания отсутствуют в наших учебниках, но встречаются в тестах единого государственного экзамена (часть А и В).

 Сегодня на уроке мы рассмотрим небольшой элемент работы второго этапа изучения процесса, исследование одного из свойств функции - определение промежутков монотонности

Для решения поставленной задачи, нам необходимо вспомнить некоторые вопросы, рассмотренные ранее.

Итак, запишем тему сегодняшнего урока: Признаки возрастания и убывания функции.

Признаки возрастания и убывания функции:

Если производная данной функции положительна для всех значений х в интервале (а; в),   т.е.f'(x) > 0,  то функция в этом интервале возрастает.    

Если производная данной функции отрицательна для всех значений х в интервале (а; в), т.е. f'(x) < 0, то функция в этом интервале убывает

.

Порядок нахождения промежутков монотонности:

 

Достаточное условие существования максимума состоит в смене знака производной при переходе через критическую точку с "+" на "-", а для минимума с "-" на "+". Если при переходе через критическую точку смены знака производной не происходит, то в данной точке экстремума нет

Найти критические точки, исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции. Найти промежутки монотонности функций:

1)

а) область определения ,

б) найдем первую производную:,

в)найдем критические точки: ; ,  и

Исследуем знак производной в полученных промежутках, решение представим в виде таблицы.

 указать на точки экстремума

1. Найти Д(f). 2. Найти f'(x). 3. Найти стационарные точки, т.е. точки, где f'(x) = 0 или f'(x) не существует. (Производная равна 0 в нулях числителя, производная не существует в нулях знаменателя) 4. Расположить Д(f) и эти точки на координатной прямой. 5. Определить знаки производной на    каждом из интервалов 6. Применить признаки. 7. Записать ответ.

Рассмотрим несколько примеров исследования функции на возрастание и убывание.

 Закрепление нового материала.

Учащиеся работают в парах, решение записывают в тетрадях.

а) у = х³ — 6 х² + 9 х — 9;

б) у = 3 х² — 5х + 4.

Двое работают у доски.

а) у = 2 х³ – 3 х² – 36 х + 40

б) у =  х⁴  -  2 х³

 Минута отдыха. Минутка отдыха. Исторический экскурс

Отдохнем, а заодно совершим небольшой исторический экскурс

Историческая справка

В развитии дифференциального и интегрального исчисления главная роль принадлежала двум великим ученым – англичанину Исааку Ньютону и немцу Готфриду Вильгельму Лейбницу (1646-1716). Ньютон был самоучкой в математике, но самоучкой гениальным. Когда он, став студентом Кембриджского университета, впервые пришел на экзамен по математике, выяснилось, что Исаак прочел множество математических книг и уже почувствовал вкус к математическим проблемам.

Вскоре Англию постигло страшное бедствие – эпидемия чумы. Университет на время закрылся, и Ньютон почти два года провел в своем поместье Вулсторп в графстве Линкольншир. Эти годы оказались для него удивительно плодотворными. Позднее он вспоминал: «В начале 1665 г. Я открыл метод приближенных рядов и правило для сведения любой степени любого бинома к таким рядам (вспомните бином Ньютона). В мае того же года я открыл метод касательных, а в ноябре – прямой метод флюксий…и в следующем году в мае я уже имел в своем распоряжении обратный метод флюксий. …Все это произошло в два чумных года... Ибо в это время я находился в наилучшем для открытий возрасте и думал о математике и философии больше, чем когда-либо позже».

Прямой метод флюксий, о котором говорит Ньютон, - не что иное, как дифференцирование. Впоследствии он написал работу под названием «Метод флюксий и бесконечных рядов», но при жизни она так и не была напечатана. Функции Ньютон называл флюентами, т.е. «текущими» (от лат. flue – «теку»), а (цитата) «скорости, с которыми каждая флюента увеличивается в силу порождающего движения» - флюксиями (мы их называем производными). Они обозначались теми же буквами, но с точкой вверху: ẋ, ẏ.

Все эти открытия были нужны ученому не сами по себе, а для решения главной задачи – создания новой физики. В своем основном труде – «Математические начала натуральной философии» - Ньютон приводит математическое доказательство закона всемирного тяготения, дает объяснение приливов, основы теории движения Луны, проблеме притяжения массивных сфер и т.д.

К сожалению, сочинения Ньютона по математике увидели свет только в 18 веке.

Историческая справка о происхождении терминов и обозначений по теме.

Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XXVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Независимо друг от друга И. Ньютон и Г. Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время. И. Ньютон в основном опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи производной, а Г. Лейбниц использовал понятие бесконечно малой. Исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии. В частности, используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XXVII века. С помощью тех же методов математики изучали в XXVII и XXVIII веках различные кривые, нашли кривую, по которой быстрее всего падает материальная точка, научились находить кривизну линий. Большую роль в развитии дифференциального исчисления сыграл Л. Эйлер, написавший учебник “Дифференциальное исчисление”.

Основные понятия дифференциального исчисления долгое время не были должным образом обоснованы. Однако в начале XIX века французский математик О. Коши дал строгое построение дифференциального исчисления на основе понятия предела.

Применяемая сейчас система обозначений для производной восходит к Лейбницу и Лагранжу.

В настоящее время понятие производной находит большое применение в различных областях науки и техники.

Графики.

Учащиеся в группах отвечают на вопрос карточки.

Рефлексия.

·  сегодня я узнал…

·  было интересно…

·  было трудно…

·  я выполнял задания…

·  я понял, что…

·  теперь я могу…

·  я почувствовал, что…

·  я приобрел…

·  я научился…

·  у меня получилось …

·  я смог…

·  я попробую…

·  меня удивило…

Итог урока

Добились ли мы своей цели? Что ещё не получается?

Тетради сдаём учителю на проверку. Оценки тем, кто был у доски.

Домашнее задание: тест (дифференцированный)

Спасибо за урок

Домашняя работа 

   Творческое задание   

Указание: отыщите функцию в таблице, исходя из её «автобиографии». Найдите область определения, корень, точку разрыва, промежуток возрастания и убывания.

Я – функция сложная, это известно,
Ещё расскажу, если вам интересно,
Что точку разрыва и корень имею,
И есть интервал, где расти не посмею.
Во всём остальном положительна, право,
И это, конечно, не ради забавы.
Для чисел больших я стремлюсь к единице.
Найдите меня среди прочих в таблице.

Подведение итогов урока.

И завершается урок словами:

К высотам познанья!

За кручей обрыв!

Дороги орлам незнакомы.

Пройдет человек лишь,

Но прежде открыв

Природы и чисел законы.

Искателей истин судьба нелегка,

Но тень их достанет в веках облака.

Завершая урок, я надеюсь, что все поняли и приняли истину: математика - это, действительно, царица наук, которая не гнушается выступать и в роли служанки, помогающей нам в покорении вершин других наук.

Урок завершен. Всего вам доброго. До свидания.

Использованные материалы и Интернет-ресурсы

http://festival.1september.ru.

http://www.zavuch.info