Конспект урока по элективному курсу по комбинаторике "Решение задач по комбинаторике"

Урок  10.  Тема " Решение комбинаторных задач"

Цель урока: выработать умение распознавать основные типы комбинаторных задач, решаемых разными методами.

Задачи урока:

1. Закрепление знаний учащихся по изученным темам.

2. Развитие навыков комбинаторного мышления учащихся.

3. Воспитание творческого подхода к решению задач.

4. Развитие математических компетенций.

Результаты урока.

Учащиеся должны иметь представление:

- об основных законах комбинаторики - правиле умножения и правиле сложения;

- о перестановках и перестановках с повторениями;

- о размещениях;

- о сочетаниях;

- о факториале.

уметь:

- подсчитать количество перестановок;

- использовать правила сложения и умножения при решении задач;

- подсчитать количество размещений из n предметов по m;

- отличить сочетания от перестановок и подсчитать количество сочетаний;

- знать, что такое факториал;

- уметь на практике применять полученные знания.

Оборудование: карточки, компьютер, презентации PowerPoint, мультимедийное оборудование.

1. Организационный момент.

-Ребята, каждый класс в течении года дежурит по школе.

-Являются ли группы дежурных в классах постоянными? Скажите, а сколько всего существует способов назначить из n учеников класса m дежурных.  Какой раздел в математике занимается решением подобных задач.( Этот раздел называется комбинаторикой.)

2. Постановка темы, целей урока.

-Кто назовёт тему сегодняшнего урока( «Решение комбинаторных задач»). Давайте вместе попробуем сформулировать цели урока:

- повторить  основные понятиями комбинаторики (размещения, сочетания, перестановки)

- научиться решать простейшие комбинаторные задачи.

3. Актуализация опорных знаний.

Прежде чем перейти к решению задач, повторим то, что имеет к нему непосредственное отношение. Это уже известное вам понятие «факториал». Итак, кто помнит, что называют «n-факториалом»? Запишите формулу.

Чему, к примеру, равны 2!, 3!, 4!, 5!, 6! ? А кто сможет показать вычисления на доске? А чему равен 1! ? 0! ? Какие значения в данном случае может принимать n?

4.Повторение изученного материала. Создание проблемной ситуации.

Тексты двух задач на слайде:

Задача 1. В некотором учреждении имеются две различные вакантные должности, на каждую из которых претендуют три сотрудника: A, B, C. Сколькими способами из этих трех кандидатов можно выбрать два лица на эти должности?

Задача 2. Для участия в соревнованиях требуется выбрать двоих спортсменов из трех кандидатов: A, B, C. Сколькими способами можно осуществить этот выбор?

Ученикам предлагается два проблемных задания: 1) установить различие между этими двумя внешне схожими задачами и 2) предположить, в какой задаче результат будет больше, и почему. После этого предлагается решить эти задачи методом перебора всевозможных вариантов.

Решение задачи 1. AB, BA, BC, CB, AC, CA (всего шесть способов).

Решение задачи 2. AB, BC, AC (всего три способа).

Учитель обращает внимание учеников на то, что эти задачи оказались похожими только внешне, из-за того, что в обеих присутствуют два числа: m=3 – общее количество элементов и n=2 – количество выбранных элементов. Но в первой задаче составляются упорядоченные соединения, тогда как во второй задаче порядок следования элементов в соединении не имеет значения.

А если вместо чисел 3 и 2 будут например числа 8 и 3. Подойдет ли этот метод для решения этих задач? Поэтому существуют комбинаторные выражения (формулы) для этих соединений.  Давайте  их вспомним и решим задачи.

-Что  называется размещением из m элементов по n элементов ? По какой формуле вычисляют число этих размещений?

 Размещениями из m элементов по n элементов ( n ≤ m ) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из m данных разных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения. Число размещений из m элементов по n вычисляют по формуле:

  

Пример 1. Решим задачу 1 с помощью этой формулы.

А теперь решим ту же задачу для случая m=8, n=3.

-Что называется перестановкой? По какой формуле вычисляют число перестановок?

Перестановкой из n элементов называют размещение из n элементов по n, вычисляется по формуле:

Задача. Сколькими способами можно расположить в столбик три детали конструктора, различающиеся по цвету?

Ответ:6.

-Что  называется сочетанием из m элементов по n элементов? По какой формуле вычисляют число сочетаний?

Сочетаниями из m элементов по n элементов ( n ≤ m ) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из m данных элементов, и которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом. Вычисляют по формуле:

Пример 2. Решим задачу 2 с помощью этой формулы.

А теперь решим ту же задачу для случая m=8, n=3.

Снова, как и ожидалось, результат в первой задаче оказался больше, чем во второй. Мы рассмотрели теоретические основы комбинаторики. Теперь перейдем к этапу закрепления этих знаний при решении задач.

6. Закрепление материала.

-При решении комбинаторных задач важно научиться различать виды соединений.

Чтобы отличать задачи на подсчёт числа размещений от задач на подсчёт числа сочетаний, определим, важен или нет порядок в следующих выборках:

а) судья хоккейного матча и его помощник;

б) три ноты в аккорде;

в) «Шесть человек останутся убирать класс!»

г) две серии для просмотра из многосерийного фильма.

Ответ: а)да; б)нет; в)нет; г)да.

Задача 1. Сколькими способами могут занять I, II, III места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м?

Ответ: 366.

Задача 2. Из 30 обучающихся кадетского класса  надо выбрать командира и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: 870.

Задача 3. Сколькими способами можно составить букет из трёх цветков, выбирая цветы из девяти имеющихся?

Ответ: 84.

Задача 4. В 10  классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

Ответ:21

7. Самостоятельная работа. Карточки.

Проверь себя.

1.Определите вид соединений:

а) Соединения из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов, называются __________.

б) Соединения из m элементов по n, отличающихся друг от друга только составом элементов, называются _______________.

 в) Соединения из m элементов по n, отличающихся друг от друга составом элементом и порядком их расположения, называются _________.

2. Сколькими способами из класса, где учатся 24 ученика, можно выбрать: а)двух дежурных; б)старосту и помощника старосты?

Ответ: а)276; б)552.

3. «Проказница Мартышка, Осёл, Козёл да косолапый Мишка задумали сыграть квартет». Сколькими способами они могут выбрать каждый для себя по одному инструменту из 10 данных различных инструментов?

Ответ: 

Подведение итогов самостоятельной работы.

7. Подведение итогов урока

Обобщаются новые знания, делаются выводы о достигнутых целях урока. Поощряются активные ученики, выставляются обоснованные преподавателем оценки.

8. Домашнее задание

Подготовка сообщений по теме "Россия. Символика России".