Конспект урока по математике на тему "Рационализация неравенств, содержащих логарифмические выражения" (11 класс)

Предмет: «Математика».

Тема: «Рационализация неравенств, содержащих  

логарифмические выражения». 11 класс

Учитель: Лосенкова Людмила Анатольевна

В заданиях ЕГЭ  почти каждый год предлагаются неравенства, решения которых упрощается, если применять свойства функции. Область применения очень широка. Умение использовать свойства (ограниченность, монотонность, непрерывность и т.д.) функций, входящих в неравенства, позволяет применить нестандартные методы решения и выбрать более рациональный способ решения.

При проведении уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике при профильном уровне, я уделяю внимание таким вопросам: использование области определения при решении неравенств; непрерывности функций и обобщение метода интервалов; решение показательных и логарифмических неравенств методом рационализации; использование ограниченности, монотонности функций при решении неравенств; графический способ.

План - конспект урока повторения.

Рационализация неравенств, содержащих логарифмические выражения.

Цель урока:

1.     Развитие и обобщение знаний учащихся по рационализации неравенств, содержащих логарифмические выражения;

2.     Подготовка к ЕГЭ.

Задачи:

1.     Рассмотреть применение метода рационализации при решении логарифмических неравенств;

2.     Продолжить формирование навыков сознательного выбора способов решения;

3.     Развивать потребность в нахождении рациональных способов решения;

4.     Способствовать развитию умения видеть и применять рассмотренный материал в различных ситуациях;

5.     Способствовать совершенствованию умения контролировать свои действия, вносить коррективы в план выполняемой работы;

6.     Способствовать развитию умения в ходе работы в группе учитывать позиции других учеников, обосновывать свою позицию, а также координировать в ходе сотрудничества разные точки зрения.

План урока:

Организационный момент.

1.     Проверка домашнего задания.

2.     Работа учащихся с разноуровневыми заданиями.

3.     Коррекция навыков работы с неравенством повышенной сложности.

4.     Работа учащихся в группах.

5.     Итог урока.

6.     Домашнее задание (комментарий учителя).

Оборудование на уроке и дидактический материал:

интерактивная доска, таблица замены типовых выражений, используемая при рационализации неравенств.

Ход урока:  ( Из пяти  заданий выполнить четыре на выбор учащегося

                       в  домашней работе).

I.                   Проверка  домашнего задания.

a)     -  – 96 ≥ 0.

                    Обозначим     = t , t = 0.                                                               

                                            t - × t - 96 ≥ 0,

                                                      t ≥ 128,

                                              ≥ ,   2 > 1,

                                             + 3x – 10 ≥ 0,

                                             x + 5)(x – 2) ≥ 0.

 

Ответ: ( - ∞; - 5 ]  [ 2; + ∞).

б)    ≥ 7.  Обозначим  = t, t > 0.

(Вариант ЕГЭ)                         ≥ 0,

 

              0 ≤ t ≤ 7,

              t  > 81.

 

≤ 7,                                x ≥ -,

> 81.                             x -4.

Ответ: (- ∞; -4]  [-; +∞).

в)        -4 )(  – 2x -3) > 0.                                           

                                                                                            

Ответ: (- 1; 2 )  ( 3; +∞).

г) (  + x +1) < 1.

Выражение (  + x +1)> 0, так как    + x +1> 0 

при всех значениях x R, используя метод  рационализации, имеем                                       

                                                 (  + x +1) < 0,

                                                 (  + x +1-1) x  < 0,

                                                   (x +1)  < 0.

Ответ: (- ∞; - 1).

  
,

 0,  x 0,

,          0, при всех значениях x R

 0,

используя метод рационализации, получим

     (3 – x – 2 + x)  0,

  0,          + 1  0 при всех значениях x R.

() () () ()(x-) (x+)

 

Ответ: (; - )  (; 0)  ( 0;  )  (;  ).

II.  Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G (x) (рациональное), при котором неравенство G (x) 0 равносильно неравенству F (x) 0 на области определения выражения  F (x).

Работа учащихся по группам.

Учащиеся, успешно справившиеся с самостоятельной работой, выполняют задания в тетради, с последующей самопроверкой. Один ученик работает на закрытой доске, затем демонстрируя свое решение. Учитель корректирует и оценивает.

Найти область определения неравенства.

1 задание.   а)  ) ,

                    б) ) ≤ 0.

Вторая группа учащихся работает коллективно под руководством учителя, обсуждая решение заданий.

Записать условия, которыми задается область определения неравенства.

2 задание.  а) ),

                   б)  ) ,

                   в)  ,

                   г)   .

Решение 1 задания:

                                             а)        -    0,

                                                        - 4x – 5    0.

                                                         x  2,

                                                         (x – 5)(x + 1)  0.

 

Ответ: (-2; -1)   ( 5; +∞).

                                              б)      0,5   0,

                                                        0,5

                                                        -6 + 7x -   0;

                                                         x 0, x, x,

                                                         - 7x +6   

                                                         x, x 0, x,

                                                         (x – 1)( x – 6)

 

Ответ: (1;  6).

Решение: 2 задание.        а)         + x - 2 ,

                                                      x + 3 ;

                                          б)         - 8 ,                             в)      x + 4 ,

                                                     x - 1 ;                                    x + 4  1,  

 г)      - 2x +3 ,                                                                          5x + 20 ;

          - 2x +3  1,

       - 4x +3 ,

       + 4x +5 .

III. Практика экзаменов показывает, что сложность для школьников представляют логарифмические неравенства. Чтобы устранить проблемы и расширить возможности применения метода интервалов при решении логарифмических неравенств, будем использовать идею рационализации неравенств.

Коллективная работа класса; 1 ученик работает у доски, оформляя решение задания.

          Решить неравенство.                                                                                                              

 2.                                             

Решение:  запишем неравенство в виде

 -  ≤ 0,

заменим его равносильной системой, используя метод рационализации

             (ǀǀ - 1) () ≤ 0,

            ,

             ,

            ǀǀ  1;

Знак множителя (ǀǀ - 1) совпадает со знаком  (метод рационализации), получим равносильную систему неравенств:

(+ 3x) ≤ 0,

              ,

               , ,

()≥ 0,

              () < 0,

               , ,

 

   Ответ: (-0,5; 0]   [1;4).

IV. Работа учащихся в группах по 2-4 человека.

В каждой группе есть ученик, который может выступать в роли консультанта-помощника.

Решение неравенств из вариантов ЕГЭ, использованием метода рационализации.

              Решить неравенство:

                          а) ≤ 0;

                          б)  1.

              Решение: заменим неравенство равносильной системой, 

                               используя метод рационализации

                           8x² - 23 x+15 > 0,

                           8x² - 23 x+15 ,

                           2 x - 2 > 0,

                           (8x² - 23 x+15 – 1)( 2 x – 2–1) ≤ 0;

                               (x - 1)(x -) > 0,

                               x; x2,

                                x  1,

                                (8x² - 23 x+14)( 2 x – 3) ≤ 0;

                               (x - 1)(x -) > 0,

                               x; x2,

                                x  1,

                                (x -  )( x – 2) (x -) ≤ 0.

 

Ответ: ( 2).

(Дополнительно).             

б)             – 1 ≤ 0.     

 Решение:  заменим неравенство    равносильной   системой, используя  

                   метод рационализации.

                              0,25 x² > 0,

                              0,25 x²  1,

                              x+12 > 0,

                             (0,25 x²-1)(  – 0,25 x² ) ≤ 0;

                                  , , ,

                                  > - 12,

                                 ( - 2) ( + 2) (+ 12- ) ≤ 0;

                                  , , ,

                                  > - 12,

                                 ( - 2) ( + 2) (+ 3) ( - 4)  ≥ 0;

 

Ответ: (  ( ; 0)  ( 0; 2)  [ 4; +).

Решения демонстрируются на экран.

Консультант оценивает работы учащихся.

Подводится итог. Повторили метод рационализации при решении логарифмических неравенств. Продолжим развивать умение применять изученный материал, как один из рациональных способов решения неравенств. Это весьма полезно при подготовке к ЕГЭ.

Домашнее задание (запись на экране).                                         

Ученик, оценивая уровень своих знаний, выбирает любые три из четырех заданий (можно выполнить дополнительное и все задания).

1)    Какими условиями задается область определения неравенства

 ≥ .

2)    Найти область определения неравенства

 ≥ 0.

3)    Решить неравенство

 ≤ 2.

4)    Решить неравенство

 ≤ 1.

5)    * (дополнительное)

 ≤  

Решение:        1)                > 0,

                                             1,

                                            > 0,

                                            3  > 0.

                          2)                > 0,

                                              > 0,

                                                  1;

                                                > 0,

                                                > ,

                                                 2.

 

  Ответ: (    ; 2)  ( 2,5; + ).

      3)    - ² ≤ 0, получим

                                      x - 1 > 0,          

                                      x – 1  1,

                                      2 x + 6 > 0,          

                                     ( x – 1 – 1)( 2 x + 6 – (x – 1)²) ≤  0;   

                                        > 0,

                                         2,

                                         > -3,

                                      ( x – 2)( -x² + 4x + 5)  ≥  0.   

 

 Ответ: ( 1; 2 ) [ 5; +).

                  4)       - 1 ≤ 0,

                                       (x + 2)² -1  > 0,          

                                       x² > 0,         

                                        x² ,          

                                      (x² – 1)((  -x²) ≤  0;   

                                        x  -2, x  -1, x  0, x  1,

                                       (x – 1) (x + 1) (4x +4) ≤  0;  

                                       x  -2, x  -1, x  0, x  1,

                                      (x – 1) (x + 1)² ≤  0.

 

Ответ: ( -; -2)  ( -2; -1)  (-1; 0)  ( 0; 1).

            *5)  ≤  ,

          ≤   ≤ 0,

                                            > 0,

                                             1,

                                            > 0,

                                           3> 0,

                                           ( -1) (- 3) ≤ 0;

                    > 0 при всех значениях x  R,

                   > 0      при всех значениях x  R.

                                           x ,          

                                          (x +1) (   >  0;   

                                          x (x  - 2)² ( x - 4) ≤ 0.

 

      Ответ: [ 0; 2)  ( 2; 4 ].

Рационализация неравенств.

        Метод рационализации   заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x), при которой неравенство G(x) v 0 равносильно неравенству F(x) v 0 на области определения  выражения F(x).

f, g, h, p, q – выражения с переменной  х (h >  0,  1, f > 0 , g > 0), а – фиксированное число (а > 0, а  1).

Таблица

 Следствия (с учетом области определения неравенства):

 ·   v 0         ( h - 1)(f - 1)(g - 1) v 0;

 ·   v 0         (fg – 1)( h – 1) v 0;

 -  v 0              f - g v 0;

            v 0;

 -  v 0           (a -1) (  -   v 0.

В указанных равносильных переходах символ «v» заменяет один из знаков:   « > », « < », «≤ », « ≥ ».

Перед данным уроком была проведена самостоятельная работа по теме:

«Непрерывность функции. Второе обобщение метода интервалов».

Решите неравенство:

1.        ≤ 0.

2.     (6x - x² - 8)  ≥ 0.

3.       ≥ 0.

4.        ≤ 0.

5.        ≤ 0.

    Решение:    1)  > 0  при всех значениях    R,

                              ≥ 0.

                            =

                        D = (-  (0; 6)  (6; +).

                          обращается в нуль при x=-3 или x=3.

            Ответ: [-3; 0)  (0; 3]  (6; +).

        2)         ( x² - 6x + 8)  ≤ 0.

         Рассмотрим функцию = (x² -6x + 8) .

        Область определения функции: [3; +), так как  x-3 ≥ 0, x ≥ 3.

        Нуль функции x = 4; 2  D.

 

               < 0,       > 0

            Ответ: [3; 4].

       3) Рассмотрим функцию

                     =  .            D = (1 8)  (8;+.

                    = 0 при  = 2.

 

 > 0,  < 0,  > 0.

         Ответ: (1;2]  (8; +).

        4)          =  ;                   ≥ 0.

                      = .

           D = (- -4)  (-1;+

            = 0 при  = 2 или  = .

        > 0,   > 0,  < 0,   > 0.

         Ответ: (-  (-1; -]  [ 2; +).

             5)       ≤ 0.

                 x² - 3x +9 > 0 при всех значениях x  R.

       Рассмотрим функцию  = .

     D = (- -3)  (-3;0  (0; 1,5)  (1,5; +).

      = 0 при  = 1,5 или  =      3 <  < 4.

 

                 < 0,    > 0,

                 > 0,     > 0,    < 0.

           В точке x = 1,5 равны нулю два множителя 4x - 6 и .

           Ответ: (-3; 0)  +).

Литература.

1.     А.Г. Корянов, А.А. Прокофьев.

Лекции. Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников. Москва. Педагогический университет «Первое сентября», 2012г.

2.     И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко и др. ЕГЭ – 2015. Математика 36 вариантов под редакцией И.В. Ященко. – Москва: МЦНМО, 2015г.

3.     И.Р. Высоцкий, П.И. Захаров, В.С. Панферов и др. под редакцией    И.В. Ященко – М: Издательство «Экзамен», МЦНМО, 2015 (Серия «ЕГЭ. 30 вариантов. Типовые тестовые задания»).

4.     Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: учебник для 10 класса / М.И. Шабурин, А.А. Прокофьев. – М: БИНОМ. Лаборатория знаний. 2007.

Краткое описание документа:

План - конспект урока повторения в 11 классе по математике на тему "Рационализация неравенств, содержащих логарифмические выражения".

В заданиях ЕГЭ почти каждый год предлагаются неравенства, решения которых упрощается, если применять свойства функции. Область применения очень широка. Умение использовать свойства (ограниченность, монотонность, непрерывность и т.д.) функций, входящих в неравенства, позволяет применить нестандартные методы решения и выбрать более рациональный способ решения.

При проведении уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике при профильном уровне, я уделяю внимание следующим вопросам: использование области определения при решении неравенств; непрерывности функций и обобщение метода интервалов; решение показательных и логарифмических неравенств методом рационализации; использование ограниченности, монотонности функций при решении неравенств; графический способ.