Конспект урока по теме: "Геометрическая прогрессия".

МБОУ  «Нагорьевская средняя общеобразовательная школа

Ровеньсого района Белгородской области»

Открытый урок

по алгебре в 9 классе

по теме:

«Геометрическая прогрессия»

      Учитель:  Поддубная Е.С.

2014 - 2015 уч. год

Урок алгебры в 9 классе.

Тема урока «Геометрическая прогрессия»

Тип урока: урок комплексного применения знаний и способов деятельности.

Оборудование:  проектор,  компьютер, интерактивная доска в качестве экрана,  таблица квадратов натуральных чисел, таблица степеней.

 Все этапы урока сопровождались слайдами (презентация по теме «Геометрическая прогрессия» была представлена на протяжении всего урока).

Образовательные цели:

·       организовать условия для самостоятельного применения

     (комплексного применения) знаний;

·       обеспечить применение учащимися знаний и способов действий в разнообразных ситуациях;

·       обобщить и систематизировать знания по геометрической прогрессии;

·       применять  их на практике;

·       показать применение данной темы в жизни;

·       показать положительные стороны применения темы в жизни и отрицательные стороны;

Воспитательные цели:

·       Воспитывать самостоятельность, аккуратность при решении задач, а также умение самостоятельно добывать знания;

·       Воспитывать чувство ответственности, культуры общения,

способствовать духовно-нравственному воспитанию   и развитию личности;

·       Воспитывать  умение преодолевать трудности;

·       Воспитывать умение работать в коллективе.

Развивающие цели:

·       Развивать логическое мышление,   математическую речь ,  учить  записывать  кратко  на математическом языке;

·       Содействовать развитию у детей умения общаться

Ход урока.

1.Организационный этап.

Учитель: 

Я рада встречи с   вами вновь и вновь.  Ребята, давайте подарим друг другу улыбку и хорошее настроение. Ведь хорошее  настроение   – это залог  успешной работы  на уроке.

На экране    -   стих

(Читает  ученик)

      Закончился 20 век,

Куда стремится человек?

Изучены космос и море,

Строенье звезд и вся Земля.

Но математиков зовет

Известный лозунг:

«Прогрессио – движение вперед»

Учитель:

- Как вы понимаете эти слова?

(Дети высказываются)

Тема урока:
 «Геометрическая прогрессия»

Цель урока:

·        обобщить и систематизировать знания о геометрической прогрессии;

·        познакомить с историческим материалом;

·        показать применение данной темы в жизни.

2. Этап проверки  домашнего задания.

Математический диктант.

Учитель:   

Каждому ученику даны таблички, которые вы должны заполнить , ответив на вопросы диктанта.

  Сейчас мы проверим знание теоретического материала. 

(На экране слайд с вопросами)

1.Определение геометрической прогрессии, записанное на
 математическом языке.
2. Формулы нахождения  n-го члена геометрической прогрессии.
3.Формула суммы n  первых членов геометрической прогрессии  через    b₁   и   q

4.Формула суммы n  первых членов геометрической прогрессии  через    b_к   и   q

5.Свойства геометрической прогрессии

Учитель:

Проверим ваши ответы. 

Взаимопроверка.

Обменяйтесь своими таблицами  и  проверьте,   ответы  и критерии оценок на  экране.  Баллы запишите в  свой  оценочный лист.

На экране ответы

№	Прогрессия	Геометрическая
1.	Определение	b n=  b n+1 *q      (b1, q ≠ 0)
2.	Формула для нахождения n-го члена через  b1   и   q	b n=   b1 *q  n-1   ,       n Є N
3.	Формула для нахождения n-го члена через  b к  и   q	b n=   bк *q  n-к    ,      к   <n,    n, к Є N
4	Сумма n – первых членов прогрессии	b1 (q n – 1)                   Sn =_----------------------__        q≠0                                    q - 1
5.	Свойства	___________               bn = √ (b n+1 * b n-1)                                b1                    S  =  ------                │  g  │<1  ,                                  1 – q           бесконечно  убывающая

Критерии оценок на экране

1.     Если у вас  все правильно, вы на карточке себе ставите  0,5 баллов.

2.     Если  у вас  есть хотя бы один минус, вы ставите себе     0 баллов

3. Этап применения знаний на практике и контроля и самоконтроля.

Учитель:

Для того, чтобы быстро справиться  со следующим заданием - с тестом, надо  вспомнить приемы быстрого счета.
                                      

                                      Устный счет.

(На доске примеры для устного счета, дети проговаривают приемы быстрого счета и применяют их при решении примеров)

1.     Умножение двухзначных чисел  на 11.

                             45 * 11=?

2.     Умножение  чисел на 25.

                           48*25=?,              36*25=?

3.      Работа по таблице квадратов.

Учитель:

 Сейчас вы выполните тест , где примените теоретические знания, проверенные ранее и приемы быстрого счета.

Тест по теме :»Геометрическая прогрессия»

(На экране – тест)

1 вариант.

1) Найдите пятый член геометрической прогрессии, если  b₁=25,   g=2?

  а)  400               б)33               в)40

2)Найдите сумму шести первых членов   геометрической прогрессии,

если  b₁=11,    g=2?

  а)  693              б) 96           в) 2 079   

3)Найдите пятый член геометрической прогрессии, если  b₃=25,  g=5?

    а)  625               б)125               в)250

2 вариант.

1)Найдите  шестой член геометрической прогрессии, если  b₁=25,  g=2?

      а)  800               б)35               в)400

2)Найдите сумму пяти первых членов   геометрической прогрессии,

если  b₁=11,    g=2?

   а)  341             б) 90                в) 2 090  

3) Найдите пятый член геометрической прогрессии, если  b₃=36, g=6?

   а)  1296              б)125               в)250

Учитель:  На экране верные ответы, проверьте свои ответы.

                              Верные ответы

1   вариант.

1)   а;   2)  а ;  3)  а

2          вариант.

1)а;     2)  а ;    3) а

За каждую правильно решенную задачу  поставьте  себе 0, 5 баллов.
Посчитайте сумму баллов, полученных при тестировании

и запишите свои баллы в оценочный лист.

Учитель: А сейчас мы узнаем  чем же объясняется  название «Геометрическая прогрессия»?

Выступление  1  учащегося.

Название «  геометрическая  прогрессия»     объясняется тем, что  последовательности такого  рода  легко возникают   в  геометрических построениях.

Например:

если начертить  серию  равносторонних  треугольников так, чтобы вершины  каждого следующего лежали на  серединах сторон предыдущего (рис.1), площадь треугольника  будет каждый раз  уменьшаться  в 4 раза.(?)

Учащиеся доказывают геометрически, используя чертеж на интерактивной доске.

Физкультминутка.

Играет классическая музыка.               Релаксация.

На  фоне музыки  стихи: (дети закрывают глаза)

Вы лежите на берегу моря

 И не знаете вы  горя.

Волны ласкают ваше тело

Солнышко делает свое дело.

Вам легко, спокойно и  тепло,

Голове  хорошо, легко, светло.

Отдохнув немного -  просыпайся,

Смело ты за дело принимайся

Учитель:    А сейчас  дифференцированная самостоятельная работа

 по задачам на геометрическую прогрессию, взятые со сборника  по итоговой аттестации.

Решение задач на применение формул.

(На экране – задачи)

1 вариант.

1) В геометрической прогрессии    b ₁₂= 3,   b₁₄= 3.  

     Найти  b₁ .       (2 балла)

2) Найти сумму первых восьми членов  геометрической прогрессии, второй член которой равен 6, а четвертый  равен  24.         (4 балла)

2вариант.

1) В геометрической прогрессии    b ₈= 2 ,   b₁₀= 2

     Найти  b₁ .       (2 балла)

2) Найти сумму первых  шести  членов  геометрической прогрессии,  третий   член которой равен 54,   а четвертый  равен 486.         (4 балла)

Учитель:   Проверим ваши ответы  (ответы на экране)

1 вариант

(1 задание)

1)  Ответ:  b₁ =3,    b₁ = -3       (2 балла)

2 вариант.

(1 задание

1)Ответ:  b₁ =1,    b₁ = -1               (2 балла)

1 вариант

2 задание (ответ с решением)

1)  b ₄  =  b ₂ * g² ;      24 = 6 * g² ;  g² = 4;    g = +2

  2)  b ₂  =  b ₁ * g;    6 = b _1* 2  ,    b ₁= 3

                              6 = b _1* (-2),     b ₁= -3

3)  S₈=  b _1*(  g⁸  -1)                    S₈=  3_*(  2⁸  -1) ,           S₈=  3* (256-1)= 3* 255= 765   

               (g-1)                                       2-1

                                                     S₈=  -3_*(  (-2)⁸  -1)          S₈= (-3 * 255)        S₈=  255

                                                                -2 -1                                 -3

Ответ:  255 или 765  (4бал.)

2 вариант.

2 задание  (ответ с решением)

1)  b ₅  =  b ₃ * g² ;     486 = 54* g² ;  g² = 486:54;    g = 9      g= +  3

  2)  b ₃  =  b ₁ * g²;    54 = b _1* 3² ,    b ₁= 6

                              6 = b _1* (-2),     b ₁= -3

3)  S₆=  b _1*(  g⁶ -1)                    S₆=  6_*(  (-3)⁶ -1) ,           S₆=  6* (729-1)= 3* 728= 2184 

               (g-1)                                       3-1                                 2

                                                  S₆=  6_*(  (-3)⁶  -1)          S₆=6_*(728)        S₆=-1,5*728=-1092

                                                                -3 -1                             -4

Ответ:  2184  или -1092   (4бал.)

Учитель:    Оценки за письменную работу  поставьте в оценочный лист.

Учитель:    Подсчитайте сумму всех баллов  в оценочном листе

за знание теоретического материала в  виде таблицы, 

  за тест    и     за   решение двух задач.

•         Если  вы набрали 7,5 – 8 баллов,    вы получаете оценку «5»

•         Если  вы набрали 3,5 – 6 баллов,    вы получаете оценку «4»

•         Если  вы набрали 1,5 – 2 балла,     вы получаете оценку «3»

•         Если вы набрали менее 1,5 баллов, то  у вас есть еще время лучше разобраться в  этих задачах дома и подготовиться к контрольной работе .

•         Примечание:  Перепишите и разберитесь в нерешенных задачах  дома.

4. Этап  обобщения и систематизации  знаний   учащихся.

•         Фронтальный опрос по теме «Геометрическая прогрессия»

•         Выступления учащихся в виде  презентаций.

                  Применение темы «Геометрическая прогрессия» в жизни.

1 ученик.

Геометрические прогрессии  удивляют своим  быстрым  ростом.   В жизни с растущими    геометрическими прогрессиями  надо  обращаться осторожно!

•         Если в  геометрической прогрессии  растет  стадо – скоро  ему не хватит  пастбища.

•         Если число  распадов в куче плутония растет по закону геометрической прогрессии– дело идет   к атомному  взрыву.

•         А если банковский процент  растет  в геометрической  прогрессии  -
 ой,  не  связывайтесь  с этими «благодетелями»!

Банковский  процент.

Банковские проценты растут в геометрической прогрессии.

 Вы положили на сберкнижку деньги  под  проценты. Ежегодно ваш вклад растет по закону геометрической прогрессии.

  Предположим, что вы хотите положить в банк

10 000рублей, чтобы на них «наросли  проценты».В сбербанке ваша прибыль будет увеличиваться ежегодно на  20 %  ,  т.е.каждый год в 1, 2 раза больше, чем предыдущий год. Очень хорошо.  Но в банке «Мечта « проценты выше.

В банке  « Мечта» вам предложат 200% при  вкладе на год.  

 Вы положили 10 000 рублей.

Подсчитаем,сколько вы получите через 5лет?

За год  ваш вклад  будет 30 000 рублей, т.е. в з раза больше;

За второй–90 000рублей, т.е. в 9раз больше ;

За третий–270 000руб., т.е. в 27 раз больше;

За четвертый-810 000руб., т.е. в 81 раз больше

За пятый-2 430 000руб.,т.е. в 243 раза больше.

Поздравляем !  Вы стали  миллионером!

Но имейте ввиду, что скорее всего  однажды вы увидите на закрытых дверях банка объявление, что банк лопнул, и его вкладчики лишились  своих сбережений. И вместе с  «Мечтой»  лопнула  ваша мечта  стать миллионером.

Числа 

10 000,  30 000,  90 000,  270 000,  810 000,   2 430 000

члены  геометрической прогрессии.

2 ученик

Методы математики–основа стандартизации;  фундамент всей  промышленности

В  технике все держится на стандартизации. Много делается в мире механизмов, и все они состоят из различных деталей. Со всех участков завода поступают готовые детали в сборочный цех, некоторые привозят из других городов и даже стран.  И все детали подходят друг к другу: надеваются на валы, легко навинчиваются на болты и т.д. Соответствие деталей обеспечивает стандартизация – установление единых норм и требований, предъявляемых к сырью, изделиям. Службы стандартизации разрабатывают систему гос. стандартов – ГОСТов. ГОСТ –это закон, диктующий размеры и формы всех промышленных продуктов. Стандартизируется все-детали машин, профили проката(балки, уголки, швеллеры,трубы), формы и размеры досок и кирпичей, бутылок, пакетов и т.д.

Чаще всего в стандартизации используют ряды предпочтительных чисел, построенных на основе  геометрической прогрессии.

    Эти числа-члены основного ряда предпочтительных чисел:    1.00; 1.60; 2.50; 4.00; 6.30; 10.0 – геометрическая прогрессия со знаменателем          5 ____ 

                                                                                                   g =  √  10   ≈   1,6

наиболее удобные для стандартизации и входящие   в ГОСТ 8032- 56 «Предпочтительные числа и ряды предпочтительных чисел». Именно этот знаменатель определился  многолетним международным опытом, как наиболее удовлетворяющий нуждам промышленного производства.

Предпочтительные числа в машиностроении и других отраслях техники.

Ряды предпочтительных чисел позволяют увязывать между собой размеры конструктивно самостоятельных, но взаимосвязанных в процессе  производства изделий: размеры столов металлорежущих станков и габариты приспособлений и принадлежностей, устанавливаемых на этих столах;  ряды мощностей электрических двигателей и силовые характеристики агрегатов и устройств, в которые  они входят; емкость ковшей экскаваторов и емкость кузовов грузовиков, которые должны быть равны или кратны друг другу.

Примечание:                 

Цены на товары международной торговли     

 автоматически снижаются на 10%,

если параметры этих товаров

не соответствуют рядам

предпочтительных чисел.

3 ученик

Статистические методы контроля качества продукции, теория ошибок, теория измерений

Рассмотрим практическую  задачу, разъясняющую смысл предпочтительных чисел и их связь с геометрической прогрессией.

Изготовленные на заводах консервы упаковываются  в ящики, ящики грузятся  в контейнеры, контейнеры  перевозятся на машинах и устанавливаются на железнодорожных платформах. Если бы между размерами  всех этих видов тары, начиная от консервной банки до платформы, не было  точной согласованности, то это привело бы к  большим потерям и убыткам при перевозках.

Как обеспечить эту согласованность?

Оказывается, если конструкторы железнодорожных вагонов  и платформ установят соответственно величины грузоподъемностей 25; 40; 63;100 т, конструкторы машин примут  грузоподъемность проектируемых машин 2.5; 4.0; 6.3; 10 т ,масса контейнеров будет определена в 250;400; 630;1000 кг, масса ящиков – в 25; 40; 63; 100 кг,    а масса отдельных 

консервных банок и коробок – в 250; 400; 630;1000 г,

то грузоподъемность и емкость  транспортных средств при перевозке консервов будет использована наиболее   эффективно. Эти числа-члены основного ряда предпочтительных чисел:    1.00; 1.60; 2.50; 4.00; 6.30; 10.0 – геометрическая прогрессия со  

                                         5___

    знаменателем    g =  √  10   ≈   1,6

наиболее удобные для стандартизации и входящие   в ГОСТ 8032- 56 «Предпочтительные числа и ряды предпочтительных чисел». Именно этот знаменатель определился  многолетним международным опытом, как наиболее удовлетворяющий нуждам промышленного производства.

5.Этап  информации о домашнем задании

Домашнее задание:

•          Повторить  тему «Геометрическая прогрессия..    

•         Подготовиться к  контрольной работе

•         Выполнить дома те задания со своего варианта, в которых вы испытывали трудность или могли  бы выполнить

6.Этап подведения  итогов  занятия:

•         Учитель:    Где же применяется  тема «геометрическая прогрессия» в жизни?    ( Учащиеся выскызываются)

Оценки за урок:

•         Оценки за презентацию

•         Оценки за самостоятельную работу

Учитель:     Закончим урок  стихами:

О дети наших  времен!

Дружней вас не сыскать.

Урок сегодня завершен,

Но каждый должен знать:

Познание , упорство, труд

К прогрессу жизни приведут.

7.Этап рефлексии

Выходя с кабинета  поставьте крестик на той ступеньке, на которой вы находились на  уроке.

1 ступенька – самая высокая.  Я все на уроке  понимал, уверенно решал,   узнал много интересного. 

Я ушел с урока довольный собой,  так как я имею хороший запас знаний по данной теме.

2 ступенька- средняя.  Мне на уроке было интересно. Я многое понимал , решал  ,   пробовал свои знания применить на практике , но я понял, что мне  надо еще поработать над этой темой.

3 ступенька – самая  нижняя.   Урок был интересен, познавателен. Я хочу поблагодарить товарищей и учителя за урок, но я недоволен собой, так  как почувствовал, что я даже элементарных вопросов  по данной теме не знаю.