Конспект урока по теме "Решение рациональных неравенств" ( 8 класс)

Открытый урок в 9-а классе.

Тема: «Решение рациональных неравенств методом интервалов».

Цель:  научить решать неравенства методом интервалов; отработать понятия “особых” случаев и учитывать их при решении неравенств.

Задачи:

ü повторить алгоритм решения рациональных неравенств методом интервалов;

ü ввести понятие особых случаев, которые влияют на знак интервала;

ü рассмотреть случаи, когда линейный множитель стоит в четной степени;

ü рассмотреть случаи с выражением, которое можно сократить;

ü научиться  алгоритм решения неравенств с учетом «особых» случаев;

ü готовить учащихся к лекционным формам занятий, приучая их воспринимать информацию крупными блоками; развивать логическое мышление, самостоятельность, самоконтроль; формирование умственных операций (анализ, синтез, выделение главного).

Тип урока: урок закрепление знаний.

Форма: лекция-беседа.

Методы: объяснительно-иллюстративный, репродуктивный, исследовательский.

Оборудование: компьютер, проектор, презентация.

Ход урока

I. Организационный момент. Приветствие, проверка готовности к уроку.

II. Актуализация знаний учащихся.

Устный счет проводиться с целью повторения изученного материала и подготовки учащихся к восприятию нового материала.

Проверка пройденного материала:

Слайд 2. В чем заключается метод интервалов?

 Слайд 3. Назовите числа, при которых числитель и знаменатель будут равны нулю

Слайд 4, 5. Назовите выколотые и закрашенные точки.

Слайд 6. Решить неравенство: (х²-16)(х-3) < 0

Слайд 7. Решить неравенство: ≥ 0

Использование проблемного момента:

Слайд 8. Решить неравенство:  < 0

Дети должны увидеть, что не произошло смены знака

III.  Изучение нового материала.

Учитель: Итак, оказывается не всегда происходит смена знака при решении неравенств методом интервалов. Попробуем разобраться в данной проблеме.

Слайд 9. Рассмотрим график функции.         

     Вопрос: «Когда происходит смена знака функции?»

     Ответ: при переходе функции через нуль.

Слайд 10. Обращаем внимание:  х=0 не является нулем функции, но при переходе через нуль знак функции меняется.

Вывод: Это говорит о том, что те точки, которые обращают в нуль знаменатель (точки разрыва) тоже должны быть учтены как точки, при переходе через которые функция меняет свой знак.

Слайд 11.    Хотя точка x = 0 является нулем функции, но функция при переходе через нуль знак не меняет.

Вывод: Данная функция относится к категории особых случаев и, так как четная степень функции не влияет на знак неравенства, перемены знака нет.

Слайд 12. Рассматриваются примеры, которые позволяют сделать выводы относительно выражений, которые не влияют на знак неравенства, но существенно влияют на решение неравенства:

                  (х-2)² > 0                (х-2)² ≥ 0           (х-2)² < 0

 Ответы:      х0                         х R                    нет решения

В ходе обсуждения нужно подвести учащихся к выводу:

выражение, стоящее в четной степени, не влияет на знак неравенства, но влияет на решение и отбрасывать его без дополнительных ограничений нельзя.

Слайд 13. Возвратимся к нашему «проблемному» неравенству:   < 0

Мы понимаем, что здесь есть множитель в четной степени и знаки не чередуются… (Выслушать предположения детей)

Вопрос: удобно ли проверять знаки в каждом из образованных промежутков?

Что если у нас появится неравенство  (х- )(х- ) < 0 ?

Давайте попробуем увидеть закономерность и сделаем выводы.

Слайд 14. Решить неравенство: (х+5)⁶(х+2)³х(х-1)²(х-3)⁵ ≥ 0

При решении этого неравенства необходимо ввести алгоритм и сформировать представления о применении алгоритма:

   -попросить найти нули функции;

   -дать определение корней многочлена и их кратности;

   -нанести их на числовую прямую;

   -попросить определить знаки в каждом промежутке;

   -попросить заштриховать сначала те промежутки, где « >0» а затем, где «=0»

   -выписать ответ;

   -рассмотреть и обсудить, как произошла смена знаков.

Слайд 15. Обобщая ваши наблюдения, делаем выводы:

  - для решения неравенства важно знать, является ли  k четным или нечетным числом

  - при четном k многочлен справа и слева от  х₀ имеет один и тот же знак

(знак многочлена не меняется).

 - при нечетном k многочлен справа и слева от  х₀ имеет противоположные знаки (знак многочлена изменяется).

Слайд 16. Используя, полученные выводы решите неравенство:

               (х-3)⁴(х+2)⁵(х-7)²(х-10) < 0

Слайд 17. Решить неравенства:   ≤ 0      и       ≤ 0

Слайд 18. Найдите ошибки: 

Использование проблемного момента:

Слайд 19. Решить неравенство:  < 0

Предлагаю это задание обсудить «в парах» и заслушать варианты ответов.

Делаем вывод, что выражение (х+2) также не влияет на знак неравенства, но не учитывать его нельзя, иначе решение будет неверным.

Очевидно, что х  -2 ( на ноль делить нельзя). Можно ли сократить?

Напомнить о том, что те точки, которые обращают в нуль знаменатель (точки разрыва) тоже должны быть учтены как точки, при переходе через которые функция меняет свой знак.

Подвести учащихся к выводу, что выражение, которое можно сократить – это тоже особый случай.

Слайд 20. Вывод: Нельзя домножать на знаменатель, содержащий неизвестное и сокращать на одинаковые множители.

Слайд 21. Решить неравенства:  > 0       и       ≥ 0

Вопрос: Как изменится ответ?

Слайд 22. Общий вывод по определению знаков на промежутках.

IV. Отработка навыков и умений

Слайд 23-24. Примеры для самостоятельного решения (с последующей проверкой на слайдах)

Слайд 25. Примеры для самостоятельного решения в классе (с последующей проверкой у доски) или , в случае нехватки времени, в качестве домашнего задания.

V. Подведение итогов урока.