Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока по теме: "Теорема Виета"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Конспект урока по теме: "Теорема Виета"

библиотека
материалов

Тема: Теорема Виета.

Тип урока: урок лекция.

Класс: 8 класс.

Продолжительность урока: 45 минут.

Учебник: А.Г. Мордкович и др. Алгебра 8.

Цели урока:

  1. развивать интерес к математике;

  2. сообщить информацию по теме;

  3. систематизировать материал.

Ход урока:

Все дома решили уравнения вида hello_html_m3fcc29da.gif. Получили корни:

уравнение

hello_html_m7d400f82.gif

hello_html_m143463e.gif

hello_html_m6c560ad1.gif

4

– 1

hello_html_29a4ad31.gif

– 2

7

hello_html_m30af3020.gif

– 2

– 3

hello_html_m53ded286.gif

1

– 6


Надо установить связь между

hello_html_m515e5f38.gifи hello_html_2489d00d.gif; hello_html_m1536c551.gif,

hello_html_m515e5f38.gifи hello_html_m1fdb6466.gif. hello_html_m5730b659.gif.

Прекрасно!

Мы установили это из данных уравнений.

Проверим гипотезу!

а) hello_html_12ab4990.gif,

hello_html_52030d88.gif, hello_html_m2386324a.gif,

hello_html_m16e06458.gif hello_html_76029657.gifhello_html_2dbb697c.gif.

Гипотеза верна!

б) hello_html_517a8cdb.gif

hello_html_m7eba6f1.gif hello_html_m63f7f1d.gif

hello_html_m123ed00c.gif hello_html_41d44736.gif

Уравнение имеет два равных корня.

Гипотеза верна!

в) hello_html_m4e2d2574.gif

hello_html_26bd14c.gif – 4 < 0, действительных корней нет.

Значит, гипотеза неверна?

Гипотезу надо уточнить!

Если уравнение hello_html_m78a477e9.gifимеет корни, то hello_html_69094cac.gif hello_html_m361d2a77.gif

Теперь эту гипотезу надо доказать! Открыл и доказал эту теорему французский ученый математик Франсуа Виет. Домашним заданием вам будет законспектировать доказательство этой теоремы одним из способов из учебника и поискать материал о жизни и деятельности Ф. Виета.

В классе докажем ее другим способом.

Пусть hello_html_m7d400f82.gif и hello_html_m143463e.gif – корни квадратного уравнения hello_html_m78a477e9.gif.

Надо получить: hello_html_69094cac.gifhello_html_m361d2a77.gif

Что значит hello_html_m7d400f82.gif и hello_html_m143463e.gif корни уравнения?

hello_html_5a5c7683.gif (1)

hello_html_23149bbd.gif (2)

Вычтем из (1) уравнения (2), получим:

hello_html_m6ec74b2e.gif

hello_html_m49283bf9.gif

hello_html_4715f7b2.gif

hello_html_m75ca13ac.gif

hello_html_6ee92926.gif или hello_html_3cc05a55.gif

докажем этот случай hello_html_69094cac.gif

на консультации hello_html_m104cdc13.gif

Подставим найденной значение для hello_html_2489d00d.gifв (1) уравнение:

hello_html_m5bf7f931.gif

hello_html_1628cabf.gif

hello_html_m160156d3.gif

hello_html_m686ab21a.gif

Получили: hello_html_69094cac.gif

hello_html_m361d2a77.gif

Мы открыли, потом доказали теорему Виета.

Верна и обратная теорема.

Дано: hello_html_m30d3f5da.gif – числа,

hello_html_m57b1c837.gif hello_html_m2cd22a40.gif

Доказать: hello_html_m30d3f5da.gif – корни уравнения hello_html_m78a477e9.gif.

Доказательство:

hello_html_m7b3c9c2f.gif

hello_html_3643d0ef.gifhello_html_2a6affdf.gif

hello_html_1fcdfd3.gifhello_html_53741df0.gif

0 = 0 (верно) 0 = 0 (верно)

hello_html_17aa43f7.gif– корень hello_html_m601acf03.gif– корень.

ч.т.д.

Где использовать теорему Виета?

1). Можно, не находя корни, найти сумму и произведение корней квадратного уравнения вида hello_html_m78a477e9.gif: hello_html_m2555eeb9.gif

2). Не решая уравнение hello_html_m445f5ee7.gif, найти hello_html_m312ff057.gif

hello_html_39da840c.gif

Итак, hello_html_ma701a4b.gif

Где использовать теорему, обратную теореме Виета?

а). Можно проверить правильность решения квадратного уравнения.

hello_html_f798579.gif

hello_html_28690914.gif

hello_html_m245622c8.gifhello_html_m6b7a9e0e.gif

Покажем, что корни уравнения найдены правильно:

hello_html_m3ce633e4.gifhello_html_m24d9a2cf.gif

– 8 + 5 = – 3. – 8 5 = – 40.

Значит, по теореме, обратной теореме Виета, числа – 8 и 5 являются корнями уравнения hello_html_23b704cd.gif

б). Найти подбором корни квадратного уравнения (устно):

hello_html_m3028163c.gif

hello_html_1acd74eb.gif

hello_html_3bb4d748.gif

hello_html_3634d8c7.gif

Как быть, если уравнение имеет вид hello_html_58149cf8.gif где hello_html_10d311d3.gif

Стихотворение «Теорема Виета», поэт Александр Гуревич:

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого:

Умножишь ты корни – и дробь уж готова:

В числителе hello_html_m12550da.gif, в знаменателе hello_html_6cdccad.gif

А сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь эта, что за беда –

В числителе hello_html_559071c1.gif, в знаменателе hello_html_50edaa4f.gif

hello_html_m5ae9ecc.gif

hello_html_47d1c8b0.gifhello_html_mb9d27c4.gif

Итак, hello_html_m9f44830.gif

hello_html_m78473b41.gif

hello_html_6fefade1.gifhello_html_1cc9d2e7.gif

Итак, мы научились применять теорему Виета и обратную ей для уравнений вида hello_html_m78a477e9.gif и hello_html_m1af494c3.gif

Угадайте корни уравнений:

hello_html_6a8d5294.gifhello_html_7dae4bfd.gif

Что трудно? Тогда решите сначала три таких уравнения, найдя корни подбором.

hello_html_m7a61a3af.gifhello_html_607ce84c.gifhello_html_m4d953566.gif

hello_html_6a015a53.gifhello_html_m279b1a3c.gifhello_html_m6f61a1d1.gifhello_html_m279b1a3c.gifhello_html_377641e5.gifhello_html_m279b1a3c.gif

Что вы заметили? (Один из корней равен 1).

Установите связь между hello_html_m3f48c322.gif и корнями. Если hello_html_66b22b4d.gif, тогда один из корней 1, а другой hello_html_57c6ee0f.gif.

Теорему Виета применяют для решения квадратных уравнений, где hello_html_66b22b4d.gifили hello_html_m5a99fbc0.gif. Это дает значительное преимущество для быстрого получения ответа.

Если в уравнении hello_html_7d8bf9a.gifhello_html_66b22b4d.gif, то один из его корней 1, а другой hello_html_57c6ee0f.gif.

Если в уравнении hello_html_7d8bf9a.gifhello_html_m5a99fbc0.gif, то один из его корней – 1, а другой hello_html_3c1d85ad.gif

Теперь вернитесь к решению уравнений hello_html_6a8d5294.gifhello_html_7dae4bfd.gif

Придумайте дома по 3 красивых уравнения и предложите решить их товарищу.

5


Автор
Дата добавления 14.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров158
Номер материала ДВ-340046
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх