Конспект урока по теме: "Теорема Виета"

Тема: Теорема Виета.

Тип урока: урок лекция.

Класс: 8 класс.

Продолжительность урока: 45 минут.

Учебник: А.Г. Мордкович и др. Алгебра 8.

Цели урока:

1)      развивать интерес к математике;

2)      сообщить информацию по теме;

3)      систематизировать материал.

Ход урока:

            Все дома решили уравнения вида . Получили корни:

уравнение
	4	– 1
	– 2	7
	– 2	– 3
	1	– 6

Надо установить связь между

и ;                                     ,

и .                                      .

            Прекрасно!

            Мы установили это из данных уравнений.

            Проверим гипотезу!

а) ,

    ,                                                             ,

                                     .

Гипотеза верна!

б)

                                                             

                                                                       

Уравнение имеет два равных корня.

Гипотеза верна!

в)

     – 4 < 0, действительных корней нет.

Значит, гипотеза неверна?

Гипотезу надо уточнить!

Если уравнение имеет корни, то  

            Теперь эту гипотезу надо доказать! Открыл и доказал эту теорему французский ученый математик Франсуа Виет. Домашним заданием вам будет законспектировать доказательство этой теоремы одним из способов из учебника и поискать материал о жизни и деятельности Ф. Виета.

            В классе докажем ее другим способом.

            Пусть  и  – корни квадратного уравнения .

Надо получить:  

Что значит  и  корни уравнения?

        (1)

       (2)

Вычтем из (1) уравнения (2), получим:

     или     

докажем этот случай           

на консультации                 

Подставим найденной значение для в (1) уравнение:

Получили:

                   

            Мы открыли, потом доказали теорему Виета.

            Верна и обратная теорема.          

Дано:  – числа,

               

Доказать:  – корни уравнения .

Доказательство:

                                

                                          

                                           

            0 = 0 (верно)                                                 0 = 0 (верно)

            – корень                                                    – корень.

ч.т.д.

            Где использовать теорему Виета?

1). Можно, не находя корни, найти сумму и произведение корней квадратного уравнения вида :

2). Не решая уравнение , найти

Итак,

            Где использовать теорему, обратную теореме Виета?

а). Можно проверить правильность решения квадратного уравнения.

 

Покажем, что корни уравнения найдены правильно:

                                                 

                        – 8 + 5 = – 3.                          – 8 × 5 = – 40.

Значит, по теореме, обратной теореме Виета, числа – 8 и 5 являются корнями уравнения

б). Найти подбором корни квадратного уравнения (устно):

            Как быть, если уравнение имеет вид  где

Стихотворение «Теорема Виета», поэт Александр Гуревич:

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого:

Умножишь ты корни – и дробь уж готова:

В числителе , в знаменателе

А сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь эта, что за беда –

В числителе , в знаменателе

    

Итак,

           

                      

Итак, мы научились применять теорему Виета и обратную ей для уравнений вида  и

Угадайте корни уравнений:

           

Что трудно? Тогда решите сначала три таких уравнения, найдя корни подбором.

                                                                   

                                                                   

            Что вы заметили? (Один из корней равен 1).

            Установите связь между  и корнями. Если , тогда один из корней 1, а другой .

            Теорему Виета применяют для решения квадратных уравнений, где  или . Это дает значительное преимущество для быстрого получения ответа.

            Если в уравнении  , то один из его корней 1, а другой .

            Если в уравнении  , то один из его корней – 1, а другой

            Теперь вернитесь к решению уравнений  

            Придумайте дома по 3 красивых уравнения и предложите решить их товарищу.