Конспект урока "Применение производной к исследованию функции"

• 1 слайд

  Продажа имения графини Функции
  

• 2 слайд

• 3 слайд

  Отгадать, что продается. Тот, кто отгадает, получает акцию зеленого цвета. Акцию зеленого же цвета можно получить, ответив на теоретический вопрос.
  Назвать свою цену, т.е. найти ответ. Решивший назвать свою цену (давший правильный ответ), получает акцию красного цвета, причем одна акция красного цвета равна трем акциям зеленого цвета.
  На обдумывание цены отводится определенное время (1-5 мин) .
  Набравший наибольшее количество акций становится председателем акционерного общества.
  
  Справка
  

• 4 слайд

  Область определения
  

• 5 слайд

  f(x) = 3x² - x³
  f(x) = х4 - 2х2 + 3
  Визитная карточка поместья
  f(x) = х3е-х
  
  
  

• 6 слайд

  Область определения
  х  ℝ
  х  ℝ
  х  ℝ
  

• 7 слайд

  Четность
  

• 8 слайд

  ни четная, ни нечетная
  Четность
  четная
  ни четная, ни нечетная
  

• 9 слайд

  Точки пересечения с осями координат
  

• 10 слайд

  Точки пересечения с
  осями координат
  с Ох: с Оу:
  
  
  (0; 0), (3; 0) (0; 0)
  нет (0; 3)
  (0; 0) (0; 0)
  
  

• 11 слайд

  Производная
  П
  ,,
  ная
  

• 12 слайд

  Найдите производную
  f(x) = 3x2 – 5x + 8
  f(x) = -⅓ x3 - e -x
  
  

• 13 слайд

  Производная
  f’(x) = 6x – 3x2
  f’(x) = 4x3 – 4x
  f’(x) = 3x2e-x - e-xx3
  

• 14 слайд

  Точки экстремума
  

• 15 слайд

  Точки экстремума
  максимум минимум
  х = 2 х = 0
  х = 0 х = ±1
  х = 3 нет
  

• 16 слайд

  Таблица
  

• 17 слайд

• 18 слайд

  Конь –
  лошадь –
  жеребенок
  Кот –
  кошка –
  котенок
  Бык –
  корова –
  теленок
  Баран –
  овца –
  ягненок
  Король –
  королева –
  принц
  Граф –
  графиня –
  график
  

• 19 слайд

  f(x) = 3x² - x³
  f(x) = х4 - 2х2 + 3
  f(x) = х3е-х
  
  График
  

• 20 слайд

  Наибольшее и наименьшее значение
  

• 21 слайд

  Наибольшее и наименьшее значение
  f(x) = ⅓ x 3 - 4x на отрезке [0; 3]
  Представьте число 12 в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение одного из них на куб другого было наибольшим.
  Найдите число, которое в сумме со своим квадратом давало бы наименьшую величину.
  

• 22 слайд

  Наибольшее и наименьшее значение
  унаиб = 5⅓ при х = 2,
  унаим = -3 при х = 3.
  9 и 3
  -0,5
  

• 23 слайд

  Кот в мешке
  

А	Б	В
1. Найдите стационарные точки функции.
f(x) = 12х – х3	p  4   f(x) = cos2x -3x +	p  4   f(x) = cos2x -Ö 3x +
2. Найдите промежутки монотонности функции.
f(x) = x3 –4x2 +5x -1	f(x)=                x2 +3x              x + 4	f(x) = Ö x2+ 6x
3. Найдите точки экстремума функции.
f(x) = 3+24x –3x2–x3	f(x) = (x+1)2(x+5)3	f(x) = x5 – 15x3 + 8
4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
f(x) =x4 – 8x2 – 9            на  [-1;1].	f(x) = (x+1)2(x-1)            на  [-2;0].	f(x) = х - sin2x          на  [0;p].
5. Докажите, что функция f(x) является
возрастающей на множестве  R, f(x) =2х5 +4х3+3х -7	возрастающей (или убывающей)  на множестве  R. Какой именно?    f(x) = 4х +  sin2x	Возрастающей  на всей ООФ, f(x) = х(1 + 2Ö x )

Домашнее задание

Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе
по теме «Применение производной к исследованию функции».

Урок – аукцион

«Продажа имения графини Функции».

Цели урока: 1) обучающая  - обобщить и систематизировать знания по применению производной к исследованию функций.

 2) развивающая  – способствовать развитию внимания, наблюдательности, наглядно-образного мышления,

 3) воспитывающая  -  воспитывать такие качества личности, как познавательная активность, самостоятельность, упорство в достижении цели. Побуждать учащихся к само-, взаимоконтролю, самоанализу своей деятельности.

Оборудование:

-          презентация учителя «Исследование»;

-          Алимов Ш.А. «Алгебра и начала анализа»: Учебник для 10 – 11 классов;

-          Карточки с заданиями «кот в мешке»;

-          Карточки с готовыми ответами;

-          Акции синего и красного цвета.

План урока:

I. Орг. момент (1’).

II. Актуализация опорных знаний учащихся (10’).

III. Объяснение нового материала (используя презентацию «Возрастание») (17’).

IV. Закрепление пройденного материала (13’).

V. Домашнее задание (2’).

VI. Итог урока (2’).

I. Орг. момент (2’).

 Дамы и господа! Леди и джентльмены! Сегодня у нас аукцион! С молотка пойдет имение графини Функции «Высокие горы, глубокие каньоны». Покупка акций требует от вас профессионального мастерства и глубоких математических познаний, находчивости, остроумия. Наша графиня – большая оригиналка. У каждой акции своя «изюминка», «интегралинка», в целом – «пределинка». Для всех присутствующих небольшая справка – условия, при которых вы сможете принять участие в аукционе. (слайд № 3).

1) Продается географическая карта (слайд № 4). Что продается? (Один из учеников дает ответ. Если неправильно, то учитель говорит: «Кто больше?», правильно – «Продано», и ответившему дается красная или синяя акции.)

 Ответ: Область определения функции.

- Что называется ООФ?

Визитная карточка поместья (слайд № 5): (А)   f(x) = 3x² - x³

(Б)   f(x) = х⁴ - 2х² + 3

(В)  f(x) = х3е^-х

Вы должны назвать цену (на обдумывание 1 мин) этой акции, т.е. найти область определения данной функции (слайд №6).

2)  Наша уважаемая графиня обожает живопись, и она представляет вам одну из картин своей коллекции   (слайд №7).

Ответ: Четность.

 - Какая функция называется четной, а какая нечетной?

- Как выяснить является данная функция четной или нечетной?

- Кто станет обладателем красной акции? Время на обдумывание 2 минуты.

Ответ: (слайд №8).

3) Следующая акция зашифрована в этой картине (слайд №9). Кто получит акцию синего цвета?

Ответ: Точки пересечения с осями координат.

- Как найти точки пересечения с осями координат?

- Теперь ваша задача решиться на какую-то цену и стать обладателем двух красных акций.

Ответ: (слайд №10).                      Ох                        Оу

А       (0; 0), (3; 0)              (0; 0)

Б             нет                     (0; 3)

В            (0; 0)                    (0; 0)   

4) Вот еще одна картина из коллекции графини (слайд №11). На ней изображен ребус. Разгадайте его и вы получите акцию синего цвета.

Ответ: Производная.

- Найдите производные следующих функций (слайд №12):

f(x) = 3x² – 5x + 8

f(x) = -⅓ x³ - e ^–x

- Дамы и господа! Прошу называть ваши цены! Торопитесь время на обдумывание 2 минуты.

Ответ: (слайд №13).           (А)    f’(x) = 6x – 3x2

(Б)    f’(x) = 4x3 – 4x

(В)   f’(x) = 3x2e-x - e-xx3

5) И вновь картина из коллекции графини (слайд №14).

- Акция синего цвета ждет своего хозяина.

Ответ: Точки экстремума.

- Что такое точки экстремума?

- Какая точка  называется точкой минимума (максимума)?

- Как найти точки экстремума?

- Продано. Вы получаете акцию синего цвета. Кто же станет обладателем трех акций красного цвета?    

- Найдите критические точки, интервалы монотонности, точки минимума и максимума. Время на обдумывание 5 – 7 минут.

Ответ:  (слайд №15)                   максимум            минимум

х = 2                   х = 0

х = 0                   х = ±1

х = 3                   нет

6) Графиня  очень любит настольные игры, и одну из своих любимых игр она предоставила к вашему вниманию (слайд №16).

Ответ: Таблица.

- Кто станет счастливым обладателем акции синего цвета?

Ответ:  (слайд №17).

7) Чтобы расшифровать следующую акцию, нужно принять участие в игре (слайд №18). Я говорю:

Конь – лошадь – жеребенок,

Кот – кошка – котенок,

Бык – корова – теленок,

Баран – овца – ягненок,

Король – королева – принц,

Граф – графиня -  …

Ответ: График.

- Вперед за следующей акцией.

- Продано! Вы получаете акцию синего цвета. Тот, кто начертит график (слайд №19), получит четыре акции красного цвета. Спешите! Время на обдумывание 5 – 8 минут.

Ответ:  (слайд №19).

8) Следующая картина  из коллекции графини даст вам еще одну акцию синего цвета (слайд №20).

Ответ: Наибольшее и наименьшее значение функции.

- Как найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке?

Вперед за акцией красного цвета отправляются учащиеся, работающие под «А» (слайд №21). Остальным еще один вопрос.

- Как решить задачу на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции?

- Как найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале?

(Слайд №21). Прошу назвать ваши цены и получить 2 акции красного цвета.

Ответ:                                     (А)     у_наиб  = 5⅓  при х = 2,

 у_наим = -3   при х = 3.

(Б)   -0,5 

(В)   9 и 3

9) И последняя акция графини – это «Кот в мешке». Ваша задача назвать ее цену и получить акцию красного цвета.

А	Б	В
p  4   1. Найдите стационарные точки функции.
f(x) = 12х – х3	p  4     f(x) = cos2x -Ö 3x +	f(x) = cos2x -Ö 3x +
f(x)=   2. Найдите промежутки монотонности функции.
f(x) = x3 –4x2 +5x -1	x2 +3x             x + 4	f(x) = Ö x2+ 6x
3. Найдите точки экстремума функции.
f(x) = 3+24x –3x2–x3	f(x) = (x+1)2(x+5)3	f(x) = x5 – 15x3 + 8
4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
f(x) =x4 – 8x2 – 9            на  [-1;1].	f(x) = (x+1)2(x-1)            на  [-2;0].	f(x) = х - sin2x          на  [0;p].
5. Докажите, что функция f(x) является
возрастающей на множестве  R, f(x) =2х5 +4х3+3х -7	возрастающей (или убывающей)  на множестве  R. Какой именно?    f(x) = 4х +  sin2x	Возрастающей  на всей ООФ, f(x) = х(1 + 2Ö x )

                   Ответы:

	А	pк   2    p  6   Б	pк   2    p  6   В
1.	х = ± 2	х= (-1)к+1    +	х= (-1)к+1      +
2.	­ x<1, x>5/3 ¯ 1<x<5/3	­ x≤ -6, x≥ -2 ¯ -6≤x<-4, -4<x≤-2	¯ x ≤ -6 ­  x ≥ 0
3.	max = 2 min = -4	max = -2,6  min = -1	max = -3  min = 3
4.	ymax = -9 (x=0) ymin = -16 (x=±1)	ymax = 0 (x = -1) ymin = -3 (x = -2)	ymax = p (x=p);      ymin = 0 (x=0)

Ответы:

Последняя акция продана. Теперь выясним, кто станет председателем акционерного общества. Напоминаю: одна акция красного цвета равна трем акциям синего.

Подсчитайте, пожалуйста, свои акции в синем эквиваленте.

Поздравляем председателя акционерного общества.

Итог урока. «5» - за  10  акций;

   «4» - за  8  акций;

   «3» - за  5  акций.

Имение графини продано! Перед окончанием аукциона просмотрите свои записи в тетради и проставьте на полях:

«+»   если задание вами было выполнено без ошибок,

«?»    если возникали затруднения в процессе решения и

«-»    если с заданием вы не справились совсем.

Дома, при подготовке к контрольной работе, просмотрите все поставленные знаки и повторите, те темы, которые вызвали у вас затруднения.

Д/з:  «Проверь себя!» стр. 284