Конспект урока "Примеры решения задач"

Зачет по подготовки к ЕГЭ (Разработала Трофимова Т. Н. использована сайт Решу ЕГЭ)

Задание 6: Решение простейших показательных и логарифмических уравнений.

 Задания 6 на ЕГЭ по математике —  это задачи на проверку навыков умения решать уравнения. Чаще встречаются логарифмические,  и показательные уравнения.

Для решения заданий данной группы необходимо знать:

1)Формулы сокращённого умножения.
2) Формулы степени и корня.
3) Понятие логарифма, основное логарифмическое тождество, свойства логарифма.

Справочный материал:

Решение показательных уравнений.

Для решения показательных уравнений знать свойства показателей степени.

Перечислим свойства показателей степени:

Нулевая степень любого числа равна единице.

Далее:

Следствие из данного свойства:

Показательным уравнением называется уравнение содержащее переменную в показателе, то есть  это уравнение вида:

f(x)  выражение, которое содержит переменную

Методы решения показательных уравнений

1. В результате преобразований уравнение можно привести к виду:

Тогда применяем свойство:

2. При получении уравнения вида  a ^f(x) = b  используется определение логарифма, получим:

3. В результате преобразований можно получить уравнение вида:

Применяется логарифмирование:

Далее применяем свойство логарифма степени:

Выражаем и находим х.

В задачах вариантов ЕГЭ достаточно будет использовать первый способ.

Пример 1:

Найдите корень уравнения 4^1–2х = 64.

Необходимо сделать так, чтобы в левой и правой частях были показательные выражения с одним основанием. 64 мы можем представить как 4 в степени 3. Получим:

4^1–2х = 4³

Основания равны, можем приравнять показатели:

1 – 2х = 3

– 2х = 2

х =  – 1

Проверка:

4^1–2(–1) = 64

4¹⁺² = 64

4³ = 64

64 = 64

Ответ: –1

Пример 2:

Найдите корень уравнения 3^х–18 = 1/9.

Известно, что

Значит  3^х-18 = 3^-2

Основания равны, можем приравнять показатели:

х – 18 = – 2

х = 16

Проверка:

3^16–18 = 1/9

3^–2 = 1/9

1/9 = 1/9

Ответ: 16

Пример 3:

Найдите корень уравнения:

Решение:

Проверка:

Ответ: 8,75

Пример 4:

Найдите корень уравнения:

Представим дробь 1/64 как  одну четвёртую в третьей степени:

Теперь можем приравнять показатели:

2х – 19 = 3

2х = 22

х = 11

Проверка:

Ответ: 11

Решение логарифмических  уравнений.

Достаточно знать и понимать основное логарифмическое тождество, знать свойства логарифма. Обратите внимание на то, то после решения ОБЯЗАТЕЛЬНО нужно сделать проверку — подставить полученное значение  в исходное уравнение и вычислить, в итоге должно получиться верное равенство.

Определение: 

Логарифмом числа a  по основанию b называется показатель степени, в который нужно возвести b, чтобы получить a.

(a

Основное логарифмическое тождество:

Например:

 log₃9 = 2, так как  3² = 9

Свойства логарифмов:

Частные случаи логарифмов:

Пример1:

Найдите корень уравнения:  log₃(4–x) = 4

Используем основное логарифмическое тождество.

Так как  log_ab = x     b^x = a,  то

3⁴ = 4 – x

x = 4 – 81

x =  – 77

Проверка:

log₃(4–(–77)) = 4

log₃81 = 4

3⁴ = 81  Верно.

Ответ: – 77

Пример 2:

Найдите корень уравнения: log₄(x + 3) = log₄(4x – 15).

Если   log_ca = log_cb,   то  a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x = 6

Ответ:6

Пример3:

Найдите корень уравнения  log₂ (4 – x) = 2 log₂ 5.

Преобразуем правую часть. воспользуемся свойством:

log_ab^m = m∙log_ab

log₂(4 – x) = log₂5²

Если    log_ca = log_cb,   то  a = b

4 – x = 5²

4 – x = 25

x = – 21

Ответ:21

Пример 4:

Решите уравнение   log₂(2 – x) = log₂(2 – 3x) +1.

Необходимо с правой стороны уравнения получить выражение вида:

log₂ (......)

Представляем 1 как логарифм с основанием 2:

1 = log₂ 2

Далее применяем свойство:

log_с(ab) = log_сa + log_сb

log₂(2 – x) = log₂(2 – 3x) + log₂2

Получаем:

log₂(2 – x) = log₂ 2 (2 – 3x)

Если    log_ca = log_cb,   то  a = b, значит

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Ответ: 0,4

Задания для решения на занятии:

1)      Найдите корень уравнения:

2)      Найдите корень уравнения:.

3)      Найдите корень уравнения : .

4)       Ре­ши­те урав­не­ние .

5)      Найдите корень уравнения:  log₂ (4 – x) = 7

6)      Найдите корень уравнения:  log₅(5 – x) = 2 log₅ 3

7)      Найдите корень уравнения  log₅(x² + x) = log₅(x² + 10).

8)      Найдите корень уравнения  log₅(7 – x) = log₅(3 – x) +1

Ответы:

1	2	3	4	5	6	7	8
-1	5	13	1.2	-124	-4	10	2

Показательные уравнения.

Образец решения задания.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

Решение:Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

Ответ: −1.

Задания для самостоятельного решения.

1)Най­ди­те ко­рень урав­не­ния 

а)

б)    

в)   

г)

д)

е)

Ответы:

1
а	б	в	г	д	е
4	10	4	8,75	8	0

Образец решения задания.

Ре­ши­те урав­не­ние .

Решение:Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

Ответ: −2.

Задания для самостоятельного решения.

2)      Ре­ши­те урав­не­ние 

а)

б)

в)

г)

д)

Ответы:

2
а	б	в	г	д
-2	0,5	0,2	0,4	2

Логарифмические уравнения.

Образец решения задания.

 Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

Решение:  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: −124.

Задания для самостоятельного решения.

1)      Най­ди­те ко­рень урав­не­ния: 

2)      Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

3)      Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

4)      Най­ди­те ко­рень урав­не­ния: 

5)      Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

Ответы:

1	2	3	4	5
-20	-77	21	733	72

Образец решения задания.

 Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

Решение

:

Ответ:  6

Задания для самостоятельного решения.

1)      Най­ди­те ко­рень урав­не­ния 

2)      Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

3)      Ре­ши­те урав­не­ние .

4)      Ре­ши­те урав­не­ние .

5)      Ре­ши­те урав­не­ние .

Ответы:

1	2	3	4	5
6	5	5	1,2	9

Образец решения задания.

Ре­ши­те урав­не­ние . Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те ука­жи­те мень­ший из них.

Решение:

Ответ: 12

Задания для самостоятельного решения.

1.      Ре­ши­те урав­не­ние . Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те ука­жи­те мень­ший из них.

2.      Ре­ши­те урав­не­ние . Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те ука­жи­те мень­ший из них.

3.      Ре­ши­те урав­не­ние . Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те ука­жи­те мень­ший из них.

4.      Ре­ши­те урав­не­ние . Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те ука­жи­те мень­ший из них.

5.      Ре­ши­те урав­не­ние . Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те ука­жи­те мень­ший из них.

Ответы:

1	2	3	4	5
-8	-2	-4	-11	-1

Образец решения задания.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

Решение:

Ис­поль­зу­ем фор­му­лу :

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние:

Ответ: 2

Задания для самостоятельного решения.

1)      Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

2)      Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

3)      Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

4)      Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

5)      Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

Ответы:

1	2	3	4	5
1,25	2	5	4,4	5,5

Показательные уравнения

Задания для самостоятельного решения:

6.1.1. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния:

6.1.2. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния.

6.1.3. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния.

6.1.4. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

6.1.5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

6.1.6. Решите уравнение  .

6.1.7 Ре­ши­те урав­не­ние 

6.1.8. Ре­ши­те урав­не­ние .

6.1.9 Ре­ши­те урав­не­ние .

6.1.10.Ре­ши­те урав­не­ние .

Ответы:

6.1
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
-7	7	2	-1	-4	2	0	-0,5	2	0,25

Логарифмические уравнения

Задания для самостоятельного решения:

6.2.1.Найдите корень уравнения:

6.2.2. Найдите корень уравнения:

6.2.3. Ре­ши­те урав­не­ние: .

6.2.4. Ре­ши­те урав­не­ние:.

6.2.5. Ре­ши­те урав­не­ние:

6.2.6. Ре­ши­те урав­не­ние . Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те ука­жи­те мень­ший из них.

6.2.7. Ре­ши­те урав­не­ние . Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те ука­жи­те мень­ший из них.

6.2.8. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния: .

6.2.9. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния:.

6.2.10. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния :.

Ответы:

6.2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
-725	2	15	-7	0,6	12	-1	7,5	2,6	3,2

Показательные уравнения

Самостоятельная работа:

1 уровень

1 вариант

1.        Най­ди­те ко­рень урав­не­ния     .

2.       Най­ди­те ко­рень урав­не­ния: 

3.       Най­ди­те ко­рень урав­не­ния    

4.        Най­ди­те ко­рень урав­не­ния   

2 вариант

1.        Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

2.        Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

3.      Най­ди­те ко­рень урав­не­ния  

4.       Най­ди­те ко­рень урав­не­ния    

Ответ:

	1	2	3	4
1 вариант	7	4	-2	2
2 вариант	13	8	6	-3

2         уровень

1 вариант

1.       Най­ди­те ре­ше­ние урав­не­ния: 

2.       Ре­ши­те урав­не­ние .

3.       Ре­ши­те урав­не­ние .

4.       Ре­ши­те урав­не­ние .

5.       Ре­ши­те урав­не­ние .

2 вариант

1.       Най­ди­те ре­ше­ние урав­не­ния: 

2.       Ре­ши­те урав­не­ние .

3.       Ре­ши­те урав­не­ние .

4.       Ре­ши­те урав­не­ние .

5.       Ре­ши­те урав­не­ние .

Ответ:

	1	2	3	4	5
1 вариант	1,5	1,25	0,2	-0,2	0,5
2 вариант	1,25	0,4	-6	-2	0,4

Логарифмические уравнения

Самостоятельная работа:

1 уровень

1         вариант

1.        Най­ди­те ко­рень урав­не­ния     .

2.       Най­ди­те ко­рень урав­не­ния: 

3.       Най­ди­те ко­рень урав­не­ния    .

4.        Най­ди­те ко­рень урав­не­ния   

2         вариант

1.        Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

2.        Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

3.      Най­ди­те ко­рень урав­не­ния  

4.       Най­ди­те ко­рень урав­не­ния    

Ответ:

	1	2	3	4
1 вариант	-7	1	-2	6
2 вариант	-48	1	-3	20

Самостоятельная работа:

2  уровень

1         вариант

1.        Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

2.       Решите уравнение: .

3.       Ре­ши­те урав­не­ние . Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те ука­жи­те мень­ший из них..

4.       Най­ди­те ко­рень урав­не­ния:  .

5.       Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

2         Вариант

1.     Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

2.    Решите уравнение: .

3.    Ре­ши­те урав­не­ние . Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те ука­жи­те мень­ший из них.

4.    Най­ди­те ко­рень урав­не­ния: 

5.    Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

Ответ:

	1	2	3	4	5
1 вариант	3	-4	3	2,6	13,4
2 вариант	3	-11	-1	7,5	38,5