Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока "Примеры решения задач"
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

Конспект урока "Примеры решения задач"

библиотека
материалов

Зачет по подготовки к ЕГЭ (Разработала Трофимова Т. Н. использована сайт Решу ЕГЭ)

Задание 6: Решение простейших показательных и логарифмических уравнений.


 Задания 6 на ЕГЭ по математике   это задачи на проверку навыков умения решать уравнения. Чаще встречаются логарифмические, и показательные уравнения.

Для решения заданий данной группы необходимо знать:

1)Формулы сокращённого умножения.
2) Формулы степени и корня.
3) Понятие логарифма, основное логарифмическое тождество, свойства логарифма.


Справочный материал:

Решение показательных уравнений.

Для решения показательных уравнений знать свойства показателей степени.

Перечислим свойства показателей степени:

Свойства показателей степени

Нулевая степень любого числа равна единице.

Далее:

http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2014/01/2.gif

Следствие из данного свойства:

http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2014/01/3.gif

 

Показательным уравнением называется уравнение содержащее переменную в показателе, то есть  это уравнение вида:

http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2014/01/4.gif

f(x)  выражение, которое содержит переменную

 

Методы решения показательных уравнений

1. В результате преобразований уравнение можно привести к виду:

http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2014/01/5.gif

Тогда применяем свойство:

http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2014/01/6.gif

2. При получении уравнения вида  f(x) = b  используется определение логарифма, получим:

http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2014/01/7.gif

3. В результате преобразований можно получить уравнение вида:

http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2014/01/8.gif

Применяется логарифмирование:

http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2014/01/9.gif

Далее применяем свойство логарифма степени:

http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2014/01/10.gif

Выражаем и находим х.

 

В задачах вариантов ЕГЭ достаточно будет использовать первый способ.


Пример 1:

Найдите корень уравнения 41–2х = 64.

Необходимо сделать так, чтобы в левой и правой частях были показательные выражения с одним основанием. 64 мы можем представить как 4 в степени 3. Получим:

41–2х = 43

Основания равны, можем приравнять показатели:

1 – 2х = 3

2х = 2

х =  – 1

Проверка:

41–2(–1) = 64

41+2 = 64

43 = 64

64 = 64

Ответ: –1


Пример 2:


Найдите корень уравнения 3х–18 = 1/9.

http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2014/01/11.gif

Известно, что

http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2014/01/12.gif

Значит  3х-18 = 3-2

Основания равны, можем приравнять показатели:

х – 18 = – 2

х = 16

Проверка:

316–18 = 1/9

3–2 = 1/9

1/9 = 1/9

Ответ: 16


Пример 3:

Найдите корень уравнения:

http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2014/01/18.gif

Решение:

http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2014/01/19.gif

Проверка:

http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2014/01/206.gif

 

Ответ: 8,75

Пример 4:

Найдите корень уравнения:

http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2014/01/13.gif

Представим дробь 1/64 как  одну четвёртую в третьей степени:

http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2014/01/14.gif

Теперь можем приравнять показатели:

2х – 19 = 3

2х = 22

х = 11

Проверка:

http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2014/01/15.gif

Ответ: 11



Решение логарифмических уравнений.



Достаточно знать и понимать основное логарифмическое тождество, знать свойства логарифма. Обратите внимание на то, то после решения ОБЯЗАТЕЛЬНО нужно сделать проверку — подставить полученное значение  в исходное уравнение и вычислить, в итоге должно получиться верное равенство.

Определение

Логарифмом числа a  по основанию b называется показатель степени, в который нужно возвести b, чтобы получить a.

hello_html_m7a0c2066.gif

(ahello_html_475dc843.gif



Основное логарифмическое тождество:

hello_html_m2ee7d583.gif

Например:

 log39 = 2, так как  32 = 9

Свойства логарифмов:

http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2013/01/311.gif

Частные случаи логарифмов:

http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2013/01/412.gif

Пример1:

Найдите корень уравнения:  log3(4–x) = 4

Используем основное логарифмическое тождество.

Так как  logab = x     bx = a,  то

34 = 4 – x

x = 4 – 81

x =  – 77

Проверка:

log3(4–(–77)) = 4

log381 = 4

34 = 81  Верно.

Ответ: – 77

Пример 2:

Найдите корень уравнения: log4(x + 3) = log4(4x – 15).

Если   logca = logcb,   то  a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x = 6

Ответ:6

Пример3:

Найдите корень уравнения  log(4 – x) = 2 log5.

Преобразуем правую часть. воспользуемся свойством:

logabm = m∙logab

log2(4 – x) = log252

Если    logca = logcb,   то  a = b

4 – x = 52

4 – x = 25

x = – 21

Ответ:21

Пример 4:

Решите уравнение   log2(2 – x) = log2(2 – 3x) +1.

Необходимо с правой стороны уравнения получить выражение вида:

log2 (......)

Представляем 1 как логарифм с основанием 2:

1 = log2

Далее применяем свойство:

logс(ab) = logсa + logсb

log2(2 – x) = log2(2 – 3x) + log22

Получаем:

log2(2 – x) = log2 2 (2 – 3x)

Если    logca = logcb,   то  a = b, значит

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Ответ: 0,4


Задания для решения на занятии:


  1. Найдите корень уравнения:http://reshuege.ru/formula/73/730bfec62e6821a302f3c62421a4d4db.png

  2. Найдите корень уравнения:http://reshuege.ru/formula/b9/b9fee411eba05d2e853204d6e1cbdf38.png.

  3. Найдите корень уравнения : http://reshuege.ru/formula/d6/d6b5633cde1627145675fe78d0cb61ce.png.

  4. Решите уравнение http://reshuege.ru/formula/ad/adb1ff26cf35edd9e00173881f9983f4.png.

  5. Найдите корень уравнения:  log(4 – x) = 7

  6. Найдите корень уравнения:  log5(5 – x) = 2 log3

  7. Найдите корень уравнения  log5(x2 + x) = log5(x2 + 10).

  8. Найдите корень уравнения  log5(7 – x) = log5(3 – x) +1



Ответы:

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

5

13

1.2

-124

-4

10

2





































Показательные уравнения.

Образец решения задания.

Найдите корень уравнения http://reshuege.ru/formula/d3/d3fb32d2eb52265bde7f1d02b1a0eba5.png.

Решение:Перейдем к одному основанию степени:

http://reshuege.ru/formula/9f/9fbd898964e37a56f5302d6e7a741379.png

Ответ: −1.

Задания для самостоятельного решения.

1)Найдите корень уравнения 

а)http://reshuege.ru/formula/0d/0dc2b784bb06f409f3f94367e95e5b1c.png



б) http://reshuege.ru/formula/32/32267eb65e903e7c2fa62567324135fd.png

в) http://reshuege.ru/formula/45/45b71fc329afa6112bef39db9c8419ed.png

г)http://reshuege.ru/formula/f7/f729e931b632bee6466393192dc64060.png

д) http://reshuege.ru/formula/ba/ba20f78f1dd31a079e4a215d14e0ca47.png

е) http://reshuege.ru/formula/9d/9df4e379362428e1567cf6c3b811d061.png

Ответы:

1

а

б

в

г

д

е

4

10

4

8,75

8

0



Образец решения задания.

Решите уравнение http://reshuege.ru/formula/c4/c4cfb8bd10d58e3af6dba87c0e4af551.png.

Решение:Перейдем к одному основанию степени:

http://reshuege.ru/formula/8c/8c3ad779c5a47102acd59913dd84ac87.pngОтвет: −2.

Задания для самостоятельного решения.

  1. Решите уравнение 

а) http://reshuege.ru/formula/83/83a7ae8fecfa24dbc72604fc379b3b8e.png

б) http://reshuege.ru/formula/a2/a20054e825884897b1329f72a1aab07a.png

в) http://reshuege.ru/formula/ae/ae895aad0c357ebe9484103f56ace671.png

г)http://reshuege.ru/formula/9c/9ce30c3e33054c96de578a93e3441fbb.png

д) http://reshuege.ru/formula/8b/8bf4e59ab1edfc3031125815679eb066.png



Ответы:

2

а

б

в

г

д

-2

0,5

0,2

0,4

2



Логарифмические уравнения.

Образец решения задания.

 Найдите корень уравнения http://reshuege.ru/formula/18/1807ae331fd17317d6cba9263ec1f4a6.png.

Решение: Последовательно получаем:

http://reshuege.ru/formula/e4/e4be9da2f02838c97a383c92e96d193f.png


Ответ: −124.

Задания для самостоятельного решения.

  1. Найдите корень уравнения: http://reshuege.ru/formula/4d/4d803e33f23cb63d0e20fe46ce89afd1.png

  2. Найдите корень уравнения http://reshuege.ru/formula/04/044a39feae36933e5468f18a1d68fa67.png.

  3. Найдите корень уравнения http://reshuege.ru/formula/3b/3bbe9652471e3886807ebe18adc9fdf0.png.

  4. Найдите корень уравнения: http://reshuege.ru/formula/8a/8abec8d38fc4a74cb2601023c5195cde.png

  5. Найдите корень уравнения http://reshuege.ru/formula/73/73cdcdf10b94fbb8b378c49b6633e581.png.

Ответы:

1

2

3

4

5

-20

-77

21

733

72









Образец решения задания.

Найдите корень уравнения http://reshuege.ru/formula/8b/8b6cade32e09676ff24d40a6e6267b82.png.

Решение

:http://reshuege.ru/formula/bf/bf719cf88f0f624f56c751a60188d8fe.png



Ответ: 6

Задания для самостоятельного решения.

  1. Найдите корень уравнения http://reshuege.ru/formula/8b/8b6cade32e09676ff24d40a6e6267b82.png

  2. Найдите корень уравнения http://reshuege.ru/formula/c9/c96fcc06cebff8ba1dda8b4782dfc6e0.png.

  3. Решите уравнение http://reshuege.ru/formula/1c/1c169b272c70c00d40e413f42648f4b8.png.

  4. Решите уравнение http://reshuege.ru/formula/7d/7d866bccf98d664247d9a6f530b676ab.png.

  5. Решите уравнение http://reshuege.ru/formula/66/66ff56163a38305db3d8189abb0f1578.png.

Ответы:

1

2

3

4

5

6

5

5

1,2

9



Образец решения задания.

Решите уравнение http://reshuege.ru/formula/5a/5a8b51246ce664d9c67dab205e8e2f33.png. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Решение:

http://reshuege.ru/formula/64/644168c77000143d452be8fd35f5671b.png



Ответ: 12

Задания для самостоятельного решения.

  1. Решите уравнение http://reshuege.ru/formula/33/33290772835e11d25a9448de39725cc3.png. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

  2. Решите уравнение http://reshuege.ru/formula/fc/fcd3d89d3383f8c4a24afdb306b4b4e0.png. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

  3. Решите уравнение http://reshuege.ru/formula/dc/dc7df39f0924b5b481c885f022acfe6d.png. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

  4. Решите уравнение http://reshuege.ru/formula/84/846aee93df1559607a33a9be5ea17d4f.png. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

  5. Решите уравнение http://reshuege.ru/formula/0a/0acff735fd9ded5b5ee94f2a327da5b3.png. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Ответы:

1

2

3

4

5

-8

-2

-4

-11

-1



Образец решения задания.

Найдите корень уравнения http://reshuege.ru/formula/6c/6c288acbd3f1b5c4ef05675242960540.png.

Решение:

Используем формулу http://reshuege.ru/formula/ba/ba496bf606b1f636ddf508e8ca4a365f.png:

 

http://reshuege.ru/formula/43/43cc0a1cd97e37ebf465f63b1b3151e0.png

Приведем другое решение:

 

http://reshuege.ru/formula/eb/eb6ec37b622bc8d02b9d38bd88e9699f.png



Ответ: 2

Задания для самостоятельного решения.

  1. Найдите корень уравнения http://reshuege.ru/formula/9f/9fda17df122407abfcb315e77ff17028.png.

  2. Найдите корень уравнения http://reshuege.ru/formula/d6/d6164e968808e58ca5e91db4e9a92495.png.

  3. Найдите корень уравнения http://reshuege.ru/formula/87/8752e57ad8284f29b51f46e9a0143266.png.

  4. Найдите корень уравнения http://reshuege.ru/formula/57/579296e4d5136daad35460d7f22e83bc.png.

  5. Найдите корень уравнения http://reshuege.ru/formula/9e/9edd9610b0b52236ba0eb6dd80c1ba97.png.





Ответы:

1

2

3

4

5

1,25

2

5

4,4

5,5





Показательные уравнения

Задания для самостоятельного решения:

6.1.1. Найдите корень уравнения: http://reshuege.ru/formula/65/654de557adc894ac3457ef3a536d52cf.png

6.1.2. Найдите корень уравненияhttp://reshuege.ru/formula/19/1957fd2cb868ca91a7345277f4877263.png.

6.1.3. Найдите корень уравненияhttp://reshuege.ru/formula/d6/d6fe8c4dc58db242d859a6e857225cf9.png.

6.1.4. Найдите корень уравненияhttp://reshuege.ru/formula/3d/3dcf4a9c0fffe3aaf195a6c911b06d03.png


6.1.5. Найдите корень уравненияhttp://reshuege.ru/formula/77/7799465bd901ba526b786eee83f8e5b6.png


6.1.6. Решите уравнение http://reshuege.ru/formula/26/26364130d59bd2b074d74444d9356078.png.

6.1.7 Решите уравнение http://reshuege.ru/formula/a5/a5512fe5d4faa6d944c9ca6e77610b36.png

6.1.8. Решите уравнение http://reshuege.ru/formula/1d/1dad69d5957cef9adb10c459ff4ffb1e.png.

6.1.9 Решите уравнение http://reshuege.ru/formula/73/73ff405cc9161fff7bded32fa45f9284.png.

6.1.10.Решите уравнение http://reshuege.ru/formula/4b/4bb3213918791b2cd04e40a6e937eac5.png.

Ответы:

6.1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-7

7

2

-1

-4

2

0

-0,5

2

0,25



Логарифмические уравнения

Задания для самостоятельного решения:

6.2.1.Найдите корень уравнения:http://reshuege.ru/formula/89/8905b364dbf195232b92f419d8398fa0.png

6.2.2. Найдите корень уравнения: http://reshuege.ru/formula/56/56d0f937796a9f72fcdee1c83a147dec.png

6.2.3. Решите уравнение: http://reshuege.ru/formula/20/20d18345c236572ee526cfccbeac065e.png.

6.2.4. Решите уравнение:http://reshuege.ru/formula/5c/5cb88561dbbda2d9e066c58cf8b8f53d.png.

6.2.5. Решите уравнение: http://reshuege.ru/formula/74/7403617df9c18d4a20ecee78008486cd.png

6.2.6. Решите уравнение http://reshuege.ru/formula/1b/1b363c454486c334d930838714261234.png. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

6.2.7. Решите уравнение http://reshuege.ru/formula/3d/3da1747615c38ae28c2f55cd2a4b3fea.png. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

6.2.8. Найдите корень уравнения: http://reshuege.ru/formula/03/03c265f9395f7e99521585c43d2fbfdd.png.

6.2.9. Найдите корень уравнения:http://reshuege.ru/formula/fd/fdcd2aa64cb9c17aa3c3a7ec88c5a5cd.png.

6.2.10. Найдите корень уравнения :http://reshuege.ru/formula/68/685ea5f069d1b49d9e7d8794bad8d8be.png.



Ответы:

6.2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-725

2

15

-7

0,6

12

-1

7,5

2,6

3,2





Показательные уравнения

Самостоятельная работа:

1 уровень



1 вариант

  1. Найдите корень уравнения  http://reshuege.ru/formula/8d/8de00b47813a3518e2a25a2d7613ac6a.png.



  1. Найдите корень уравнения: http://reshuege.ru/formula/df/df75d5c53046a7270d0604f20b9872e6.png



  1. Найдите корень уравнения  http://reshuege.ru/formula/74/74fc1b87ebdd794b1e3a490a95af9579.png



  1. Найдите корень уравнения http://reshuege.ru/formula/cf/cf909df89ed9dd1746df6c29384079cd.png



2 вариант

  1. Найдите корень уравнения http://reshuege.ru/formula/d6/d6b5633cde1627145675fe78d0cb61ce.png.



  1. Найдите корень уравнения http://reshuege.ru/formula/ff/ff730d6889ad9b7b9d75bec31578c876.png.



  1. Найдите корень уравнения http://reshuege.ru/formula/78/787773a5cc844a516ce14fef293d16b3.png


  1. Найдите корень уравнения http://reshuege.ru/formula/5f/5ffab8b96857c152587c809309d8c829.png



Ответ:


1

2

3

4

1 вариант

7

4

-2

2

2 вариант

13

8

6

-3



  1. уровень



1 вариант

  1. Найдите решение уравнения: http://reshuege.ru/formula/59/59276cd6ad51e78459814fd4da1bc201.png

  2. Решите уравнение http://reshuege.ru/formula/bc/bc92e5541308d3fbc3609bb489c21b1b.png.

  3. Решите уравнение http://reshuege.ru/formula/5e/5e6303440c9898005d9f13472b556e4a.png.

  4. Решите уравнение http://reshuege.ru/formula/ab/abdd96161daee068595bdd59a233f0ec.png.

  5. Решите уравнение http://reshuege.ru/formula/08/0824754b831c9533360dee5abee7ac7d.png.





2 вариант

  1. Найдите решение уравнения: http://reshuege.ru/formula/47/47191fde5c752b56f48a71881c45bd81.png

  2. Решите уравнение http://reshuege.ru/formula/02/027b8dafe2939ceff18dc88769ba49a0.png.

  3. Решите уравнение http://reshuege.ru/formula/4d/4d4ed1389124b2710db5d4dd565cb45d.png.

  4. Решите уравнение http://reshuege.ru/formula/da/daedc6e3cfd25a1e67cfd1776a5add64.png.

  5. Решите уравнение http://reshuege.ru/formula/d8/d850e20ac91aff454fadadd7ada2f181.png.

Ответ:


1

2

3

4

5

1 вариант

1,5

1,25

0,2

-0,2

0,5

2 вариант

1,25

0,4

-6

-2

0,4









Логарифмические уравнения

Самостоятельная работа:

1 уровень



  1. вариант

  1. Найдите корень уравнения  http://reshuege.ru/formula/1b/1bc7555c51ffb9de20bea90330a5ea19.png.



  1. Найдите корень уравнения: http://reshuege.ru/formula/c1/c1aca54d0d6505fd5efbcd6dd2b6d29f.png



  1. Найдите корень уравнения  http://reshuege.ru/formula/44/447366d26925e70604bbf85471251566.png.



  1. Найдите корень уравнения http://reshuege.ru/formula/8b/8b6cade32e09676ff24d40a6e6267b82.png



  1. вариант

  1. Найдите корень уравнения http://reshuege.ru/formula/cb/cbf64a09edc0a706a90de768c512dacc.png.



  1. Найдите корень уравнения http://reshuege.ru/formula/92/92fc54e64ef507b5997c666f0d3f0442.png.



  1. Найдите корень уравнения http://reshuege.ru/formula/35/351f59d68146f503dabb7379ac2818e6.png


  1. Найдите корень уравнения http://reshuege.ru/formula/9a/9a005978d78e1bf451b2c849494b5751.png



Ответ:


1

2

3

4

1 вариант

-7

1

-2

6

2 вариант

-48

1

-3

20



Самостоятельная работа:

2 уровень



  1. вариант

  1. Найдите корень уравнения http://reshuege.ru/formula/43/432331073f4a781fd037cae0cc59cc7e.png.



  1. Решите уравнение: http://reshuege.ru/formula/dc/dc3910b250e3c19f5e8c4c756f7071c0.png.



  1. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.http://reshuege.ru/formula/9a/9a7f6fe30eeaf1510b47be43b8af5a83.png.



  1. Найдите корень уравненияhttp://reshuege.ru/formula/17/17c52ace69374a713e9bc05675b2444b.png.



  1. Найдите корень уравнения http://reshuege.ru/formula/a7/a766957fda6d56901f49b8666b31c907.png.



  1. Вариант



  1. Найдите корень уравнения http://reshuege.ru/formula/e0/e0403fee757341141dac8351afbe2999.png.



  1. Решите уравнение: http://reshuege.ru/formula/0b/0b348f28b8368a1c5f926319559f4579.png.



  1. Решите уравнение http://reshuege.ru/formula/39/39cfca8cd4649343d133ebf02b324aca.png. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.



  1. Найдите корень уравнения: http://reshuege.ru/formula/c5/c51653538ee013d3ff39aed8d0c49a1e.png



  1. Найдите корень уравнения http://reshuege.ru/formula/5b/5ba9388f9356328973b129e5140366c3.png.



Ответ:


1

2

3

4

5

1 вариант

3

-4

3

2,6

13,4

2 вариант

3

-11

-1

7,5

38,5




















Общая информация

Номер материала: ДВ-188225

Похожие материалы