Конспект урока в классе на тему"«Решение показательных уравнений».

Разработка открытого урока

Предмет алгебра и начала анализа

Класс    11 «А» , группа профильная

Тема урока: «Решение показательных уравнений».

Цели урока::

1. Образовательная: формирование   умений  решать показательные  уравнения основными методами:  методом уравнивания показателей степеней, методом  введения новой переменной.

2. Развивающая: уметь применять методы решения показательных  уравнений на практике, развивать вычислительные навыки, логическое мышление.
3. Воспитательная: развитие  познавательного  интереса  к предмету «математика»

Тип урока: обобщение и систематизация знаний.

Формы организации познавательной деятельности учащихся: индивидуальная, коллективная.

Оборудование: учебник, доска, ученическая тетрадь, интерактивная доска

Ход урока

1 . Организационный момент

2. Сообщение темы, постановка целей урока, мотивация

На носу ЕГЭ. Наша задача как можно лучше подготовиться к нему. Итак ,

3 . Устная работа .а) Таблицы  для устного счёта №2 и №3

б) Решите уравнение:( спроецированы на доску с помощью интерактивной доски)

2^х = 32;    3^х = 27;  5^х = 625;  10^х = 10 000;  4^х = 256.( ответы  5;   3;   4;   4;   4.)

3^х-1= 27;   5^х-2 = 25;   6^х-3=36;   3^х = ;   12^х = 1.( ответы   4;   4;   5;   -2;   0).

5^-х = 25;   2^-х= 8;   4^х = 2;   27^х = 3;   = 4;   = 5.

( ответы   -2;   -3;   0,5;   ;   -2;   -0,5)(Возможны ситуации неправильного решения, проверить уровень внимательности, вплоть до решении следующего уравнения. Обращать внимание учащихся на правильность математической речи.)

4. Решение уравнений: Тип 1 : Простейшие показательные уравнения – уравниваем  показатели степеней.

1) 4^х = 8                               2)                            3)

2^2х = 2³                                                                                              

2х = 3                                       2х = 6 + х -  х²                          х² – 3х = - 2

Х = 3 : 2                                    х² + х – 6 = 0                            х² – 3х + 2 = 0

Х = 1,5                                       х₁ = 2;    х₂ = -3                       х₁ = 2;    х₂ = 1

Ответ: 1,5                                Ответ: 2;  -3.                           Ответ: 2;  1.

 ( выбор ответа- наибольший корень, или наименьший корень -  дополнительное задание)

Тип 2 :Показательные уравнения , сводящиеся к линейному.

1) 3^{х + 2} – 3 ^{х + 1}  + 3^х  = 21. Выносим за скобки общий множитель 3^х, получаем

3^х ( 3 ² – 3 ¹  + 3⁰  )= 21, 3^х · 7 = 21, 3^х = 3, х = 1. Ответ:  1.

2) 4^{х + 1}  - 3 ^х = 3^{х + 2} – 4 ^х .Соберём слагаемые с основанием 3 в одной части уравнения , а с основанием 4 – в другой, получим: 4^{х + 1}  + 4 ^х = 3^{х + 2} + 3 ^х. Далее выносим за скобки общий множитель в каждой части уравнения:

4^х  ( 4 ¹  + 4 ⁰)  = 3^х ( 3  ² + 3 ⁰ ), 4^х  · 5  = 3^х · 10, разделим на 5 ·3^х не равное нулю, получим =2, отсюда х = . Ответ:

Тип 3 : метод введения новой переменной. Уравнения , сводящиеся к квадратному.

1) 2^х+1 + 4^х  = 80

2^х · 2 + (2²)^х – 80 = 0 (*)

Пусть  2^х = t, t  > 0, тогда  уравнение (*) примет вид:  2t +  t² – 80 = 0 , корни

t₁ =  8 ; t₂ = -10. Второй корень отрицательный, он не удовлетворяет условию  t  > 0  . Вернёмся к замене , получим  2^х =  8, х = 3. Ответ: 3.

2) 7^2х – 6 · 7^х  + 5 = 0 . Решаем аналогичным способом. Получили корень

 х ₁ = 0 и х₂ = log₇5.Ответ:   0;  log₇5

3) 4^х + 6^х = 2 · 9 ^х ;   2^2х + ( 2 · 3 )^х = 2· 3^2х ; разделим обе части уравнения на либо  2^2х , либо 3^2х, без разницы, так как каждый из них не равен нулю. Получим: 1 +  = 2·и после  введения замены    =  t, t  > 0 получим квадратное уравнение 1 + t = 2 · t² . Корни t₁ =  1 ; t₂ = - 0,5. Второй корень отрицательный, он не удовлетворяет условию  t > 0, значит он является посторонним. Итак,    = 1, х = 0. Ответ : 0.

5. Проверка уровня знаний учащихся по теме «показательные уравнения»

Дифференцированная самостоятельная работа

Вариант№1  - Базовый	Вариант №2 - Повышенный
	=0,5х · 4 х - 4
3х +3 -   3х =78;	6х + 6х + 1 = 2х +  2х + 1  + 2 х + 2
25х + 10 · 5 х – 1  - 3 = 0;	32х + 1 – 28 · 3х + 9 = 0
9 · 2 х – 3 = 4 · 3х – 3	5 · 4 х + 3 · 10х = 2 · 25х

Проверка самостоятельной работы с помощью интерактивной доски, учащиеся сами проверяют друг у друга в парах( равноценных по уровню)  самостоятельные работы, выставляя оценку карандашом. Затем сдают их учителю для выставления окончательной оценки.

Выставление оценок.

Подведение итогов урока:

- какие типы уравнений вы знаете?

- Как решаются показательные уравнения, сводящиеся к квадратным?

- Как решаются уравнения, сводящиеся к линейным?

- какое ограничение накладывается на переменную замены в показательном уравнении?

- может ли 2^х = 1 и чему равен х ?

- может ли 2^х = 2 и чему равен х ?

- может ли 2^х = -2 и чему равен х ?

- может ли 2^х =  и чему равен х ?

Домашнее задание:  конспект, № 27.13, 28.34