Конспект уроков "Числовая окружность"

Название предмета  Алгебра и начала математического анализа

Класс   10

УМК  Алгебра и начала математического анализа, 10-11 классы. В 2 . Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений(базовый уровень) /А.Г. Мордкович. – 10-еизд., стер.- М.: Мнемозина,2012.  Ч.2. Задачник  для общеобразовательных учреждений(базовый уровень) /[А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича. – 10-еизд., стер.- М.: Мнемозина,2012. 

Уровень обучения. Базовый

Тема урока  Числовая окружность  (2 часа)

Урок №1

Цель: ввести понятие числовой окружности как модели криволинейной системы координат.

Задачи: формировать умение использовать числовую окружность при решении задач.

Развивать вычислительные навыки, правильную математическую речь,  логическое мышление учащихся.

Прививать самостоятельность, внимание и аккуратность. Воспитывать ответственное отношение к обучению.

Планируемые результаты:

Знать,  понимать: - числовая окружность.

Уметь: - находить на окружности точки по заданным координатам; - находить координаты точки, расположенной на числовой окружности.

Уметь применять изученный теоретический материал при выполнении письменной работы.

    Техническое обеспечение урока Компьютер, экран, проектор, учебник, задачник.

    Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока: Мордкович А. Г.   М79 Алгебра и начала математического анализа. 10— 11 классы (базовый уровень) : методическое пособие для учителя / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — М. : Мнемози- на, 2010. — 202 с. : ил

Ход урока

I.         Организационный момент.

1.        Психологический настрой учащихся.

2. Проверка домашнего задания вызвавшие затруднения у учащихся

II. Устная работа.

1. Поставьте каждому промежутку на числовой прямой в соответствие неравенство и аналитическую запись интервала. Данные занесите в табличку.

А (–¥; –5]                                      Д (–5; 5)

Б [–5; 5]                                                   Е (–¥; –5)

В [–5; + ¥)                                               Ж [–5; 5)

Г (–5; 5]                                                   З (–5; +¥)

1    –5 < х < 5                                           5  –5 £ х £ 5

2    х ³ –5                                                 6   х £ –5

3    –5 < х £ 5                                           7   5 £ х < 5

4    х < –5                                                 8   х > –5

а	б	в	г	д	е	ж	з

III. Объяснение нового материала.

1. В отличие от изученной числовой прямой числовая окружность является более сложной моделью. Понятие дуги, которое лежит в её основе, не является надежно отработанным в геометрии.

2. Работа с учебником.  Рассматриваем практический пример со с. 23–24 учебника (беговая дорожка стадиона). Можно попросить учащихся привести похожие примеры (движение спутника по орбите, вращение шестерни и т. п.).

3. Обосновываем удобство использования в качестве числовой именно единичной окружности.

4.  Работа с учебником. Рассматриваем примеры со с. 25–31 учебника. Авторы подчеркивают, что для успешного овладения моделью числовой окружности и в учебнике, и в задачнике предусмотрена система специальных «дидактических игр». Их шесть, на этом уроке используем первые четыре.

(Мордкович А. Г.   М79 Алгебра и начала математического анализа. 10— 11 классы (базовый уровень) : методическое пособие для учителя / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — М. : Мнемози- на, 2010. — 202 с. : ил.)

1-я «игра» – вычисление длины дуги единичной окружности. Учащиеся должны привыкнуть к тому, что длина всей окружности равна 2p, половины окружности – p, четверти окружности –  и т. д.

2-я «игра» – отыскание на числовой окружности точек, соответствующих заданным числам, выраженным в долях числа p например, точек  и т. д. («хорошие» числа и точки).

3-я «игра» – отыскание на числовой окружности точек, соответствующих заданным числам, выраженным не в долях числа p, например, точек М (1), М (–5) и т. д. («плохие» числа и точки).

4-я «игра» – запись чисел, соответствующих данной «хорошей» точке числовой окружности, например, «хорошей» является середина первой четверти, соответствующие ей числа имеют вид

Динамическая пауза

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения, решаемые на этом занятии, соответствуют четырем обозначенным дидактическим играм. Учащиеся используют макет числовой окружности с диаметрами АС (горизонтальным) и BD (вертикальным).

1. № 4.1, № 4.3.

Решение:

№ 4.3.

2. № 4.5 (а; б) – 4.11 (а; б).

3. № 4.12.

4. № 4.13 (а; б), № 4.14.

Решение:

№ 4.13.

V. Проверочная работа.

Вариант 1

1. Обозначьте на числовой окружности точку, которая соответствует данному числу:

2. Найдите все числа, которым соответствуют отмеченные на числовой окружности точки.

Вариант 2

1. Обозначьте на числовой окружности точку, которая соответствует данному числу:

2. Найдите все числа, которым соответствуют отмеченные на числовой окружности точки.

VI. Итоги урока.

Вопросы учащимся:

– Дайте определение числовой окружности.

– Чему равна длина единичной окружности? Длины половины единичной окружности? Её четверти?

– Каким способом можно отыскать на числовой окружности точку, соответствующую числу  Числу 5?

Домашнее задание:, стр. 23. № 4.2, № 4.4, № 4.5 (в; г) – № 4.11 (в; г), № 4.13 (в; г), № 4.15.

Урок № 2

Цели: закрепить понятие числовой окружности как модели криволинейной системы координат.

Задачи: продолжить формирование умения находить на числовой окружности точки, соответствующие заданным «хорошим» и «плохим» числам; записывать число, соответствующее точке на числовой окружности; формировать умение составлять аналитическую запись дуги числовой окружности в виде двойного неравенства.

Развивать вычислительные навыки, правильную математическую речь,  логическое мышление учащихся.

Прививать самостоятельность, внимание и аккуратность. Воспитывать ответственное отношение к обучению.

Планируемые результаты:

Знать,  понимать: - числовая окружность.

Уметь: - находить на окружности точки по заданным координатам; - находить координаты точки, расположенной на числовой окружности.

Уметь применять изученный теоретический материал при выполнении письменной работы.

     Техническое обеспечение урока Компьютер, экран, проектор, учебник, задачник.

Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока: Мордкович А. Г.   М79 Алгебра и начала математического анализа. 10— 11 классы (базовый уровень) : методическое пособие для учителя / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — М. : Мнемози- на, 2010. — 202 с. : ил

Ход урока

I.         Организационный момент.

Психологический настрой учащихся.

Проверка домашнего задания № 4.2, № 4.4, № 4.5 (в; г) – № 4.11 (в; г), № 4.13 (в; г),

№ 4.15.  Разобрать решение заданий вызвавших затруднение.

II.      Устная работа.

(на слайде)

1. Сопоставьте точки на числовой окружности и заданные числа:

а)	б)	в)	г)	д)	е)	ж)	з)

2. Найдите на числовой окружности точки.

–2; 4; –8;  13p.

III. Объяснение нового материала.

Как  уже отмечали, учащиеся осваивают систему шести дидактических «игр», обеспечивающих умение решать задачи четырех основных типов, связанных с числовой окружностью (от числа к точке; от точки к числу; от дуги к двойному неравенству; от двойного неравенства к дуге).

(Мордкович А. Г.   М79 Алгебра и начала математического анализа. 10— 11 классы (базовый уровень) : методическое пособие для учителя / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — М. : Мнемозина, 2010. — 202 с. : ил.)

На этом занятии используем последние две игры:

5-я «игра» – составление аналитических записей (двойных неравенств) для дуг числовой окружности. Например, если дана дуга, соединяющая середину первой четверти (начало дуги) и нижнюю точку из тех двух, что делят вторую четверть на три равных части (конец дуги), то соответствующая аналитическая запись имеет вид:

Если у той же дуги поменять местами начало и конец, то соответствующая аналитическая запись дуги будет иметь вид:

Авторы учебника отмечают, что термины «ядро аналитической записи дуги», «аналитическая запись дуги» не являются общепризнанными, они введены из чисто методических соображений, и использовать их или нет – дело учителя.

6-я «игра» – от данной аналитической записи дуги (двойного неравенства) перейти к её геометрическому изображению.

Объяснение следует проводить с помощью приема аналогии. Можно использовать подвижную модель числовой прямой, которую можно «свернуть» в числовую окружность.

Работа с учебником.

Рассматриваем пример 8 со с. 33 учебника.

Динамическая пауза

IV. Формирование умений и навыков.

При выполнении заданий учащиеся должны следить, чтобы при аналитической записи дуги левая часть двойного неравенства была меньше правой части. Для этого необходимо при записи двигаться в положительном направлении, то есть против часовой стрелки.

1-я группа. Упражнения на отыскание на числовой окружности «плохих» точек.

№ 4.16, № 4.17 (а; б).

2-я группа. Упражнения на аналитическую запись дуги и построение дуги по её аналитической записи.

№ 4.18 (а; б), № 4.19 (а; б), № 4.20 (а; б).

V. Самостоятельная работа.

Вариант 1

1. По геометрической модели дуги числовой окружности запишите аналитическую модель в виде двойного неравенства.

2. По заданному обозначению дуги числовой окружности  укажите её геометрическую и аналитическую модели.

3. По аналитической модели  запишите обозначение числовой дуги и постройте её геометрическую модель.

Вариант 2

1. По геометрической модели дуги числовой окружности запишите аналитическую модель в виде двойного неравенства.

2. По заданному обозначению дуги числовой окружности  укажите её геометрическую и аналитическую модели.

3. По аналитической модели  запишите обозначение дуги числовой окружности и постройте её геометрическую модель.

VI. Итоги урока.

Вопросы учащимся:

– Какими способами можно записать аналитически дугу числовой окружности?

– Что называется ядром аналитической записи дуги?

– Каким условиям должны отвечать числа, стоящие слева и справа в записи двойного неравенства?

Домашнее задание:

1. , стр. 23.  № 4.17 (в; г), № 4.18 (в; г), № 4.19 (в; г), № 4.20 (в; г).

2. По геометрической модели дуги числовой окружности запишите её аналитическую модель в виде двойного неравенства.

3. По заданному обозначению дуги числовой окружности  укажите её геометрическую и аналитическую модели.