Название
предмета
Алгебра и начала математического анализа
Класс 10
УМК Алгебра и
начала математического анализа, 10-11 классы. В 2 . Ч.1. Учебник для
общеобразовательных учреждений(базовый уровень) /А.Г. Мордкович. – 10-еизд.,
стер.- М.: Мнемозина,2012. Ч.2. Задачник для общеобразовательных
учреждений(базовый уровень) /[А.Г.
Мордкович и др.]; под ред. А.Г.
Мордковича. – 10-еизд., стер.- М.: Мнемозина,2012.
Уровень
обучения. Базовый
Тема урока Числовая
окружность на координатной плоскости (3 часа)
Урок №1
Цели:
ввести понятие модели числовой окружности в декартовой и криволинейной системе
координат.
Задачи: формировать умение
находить декартовы координаты точек числовой окружности и выполнять обратное
действие: зная декартовы координаты точки, определять её числовое значение на
числовой окружности.
Развивать
вычислительные навыки, правильную математическую речь, логическое мышление
учащихся.
Прививать
самостоятельность, внимание и аккуратность. Воспитывать ответственное отношение
к обучению.
Планируемые
результаты:
Знать,
понимать: - числовая окружность.
Уметь:
- находить на окружности точки по заданным координатам; - находить координаты
точки, расположенной на числовой окружности.
Уметь
применять изученный теоретический материал при выполнении письменной работы.
Техническое обеспечение урока Компьютер,
экран, проектор, учебник, задачник.
Дополнительное
методическое и дидактическое обеспечение урока: Мордкович А. Г. М79 Алгебра и
начала математического анализа. 10— 11 классы (базовый уровень) : методическое
пособие для учителя / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — М. : Мнемози- на, 2010.
— 202 с. : ил
Ход урока
I.
Организационный
момент.
Психологический настрой учащихся.
Проверка
домашнего задания 1.
№ 4.17 (в; г), № 4.18 (в; г), № 4.19 (в; г), № 4.20 (в; г).
Разобрать
решение заданий вызвавших затруднение.
II.
Устная работа.
(На
слайде)
1.
Назовите координаты точек плоскости:
2.
Назовите число, соответствующее заданной точке на числовой окружности.
III.
Объяснение нового материала.
1.
Объяснение проводить согласно пункту учебника. Разместив числовую окружность в
декартовой системе координат, следует подробно разобрать свойства точек
числовой окружности, находящихся в различных координатных четвертях. Дело в
том, что, изучая данную модель, учащиеся сталкиваются с определенными
трудностями. Им необходимо учиться работать одновременно в двух системах
координат – криволинейной и декартовой.
Для
преодоления этой трудности авторы учебника применяют следующий методический
прием: для точки М числовой окружности используют запись М(t),
если речь идет о криволинейной координате точки М, или запись М (х;
у), если речь идет о декартовых координатах точки.
(Мордкович А. Г.
М79 Алгебра и начала математического анализа. 10— 11 классы
(базовый уровень) : методическое пособие для учителя / А. Г. Мордкович, П. В.
Семенов. — М. : Мнемози- на, 2010. — 202 с. : ил.)
2.
Проводим 7-ю методическую «игру» –
отыскание декартовых координат «хороших» точек числовой окружности. Речь идет о
переходе от записи М(t) к М (х; у).
Можно
организовать работу в парах с последующей самопроверкой (верные ответы в
таблице 1 со с. 38 учебника).
3.
Проводим 8-ю методическую «игру» –
отыскание знаков координат «плохих» точек числовой окружности. Если, например, М(2)
= М (х; у), то х < 0; у > 0. В процессе этой «игры»
школьники фактически учатся определять знаки тригонометрических функций по
четвертям числовой окружности.
Динамическая
пауза
IV.
Формирование умений и навыков.
1.
№ 5.1 (а; б), № 5.2 (а; б), № 5.3 (а; б).
Данная
группа заданий направлена на формирование умения отыскивать декартовы
координаты «хороших» точек на числовой окружности.
Решение:
№
5.1 (а).
2.
№ 5.4 (а; б), № 5.5 (а; б).
Эта
группа заданий направлена на формирование умений находить криволинейные координаты
точки по её декартовым координатам.
Решение:
№ 5.5 (б).
3.
№ 5.10 (а; б).
Данное
упражнение направлено на формирование умения находить декартовы координаты
«плохих» точек.
V.
Итоги урока.
Вопросы учащимся:
–
Что собой представляет модель – числовая окружность на координатной плоскости?
–
Как, зная криволинейные координаты точки на числовой окружности, найти её
декартовы координаты и наоборот?
Домашнее
задание: ,
стр. 36. № 5.1 (в; г) – 5.5 (в; г),
№ 5.10 (в; г).
Урок №2
Цель:
закрепить понятие модели числовой окружности в декартовой и криволинейной
системе координат
Задачи: продолжить
формирование умения переходить от криволинейных координат точки на числовой
окружности к декартовым координатам; формировать умение отыскивать на числовой
окружности точки, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению или
неравенству.
Развивать
вычислительные навыки, правильную математическую речь, логическое мышление
учащихся.
Прививать
самостоятельность, внимание и аккуратность. Воспитывать ответственное отношение
к обучению.
Планируемые
результаты:
Знать,
понимать: - числовая окружность.
Уметь:
- находить на окружности точки по заданным координатам; - находить координаты
точки, расположенной на числовой окружности.
Уметь
применять изученный теоретический материал при выполнении письменной работы.
Техническое обеспечение урока Компьютер,
экран, проектор, учебник, задачник.
Дополнительное
методическое и дидактическое обеспечение урока: Мордкович А. Г. М79 Алгебра и
начала математического анализа. 10— 11 классы (базовый уровень) : методическое
пособие для учителя / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — М. : Мнемози- на, 2010.
— 202 с. : ил
Ход
урока
I.
Организационный
момент.
1.
Психологический
настрой учащихся.
2.
Проверка
домашнего задания №
5.1 (в; г) – 5.5 (в; г), № 5.10 (в; г).
Разобрать
решение заданий вызвавших затруднение.
II. Устная работа.
(на
слайде)
1.
Назовите криволинейные и декартовы координаты точек на числовой окружности.
2.
Сопоставьте дугу на окружности и её аналитическую запись.
III.
Объяснение нового материала.
1.
На этом уроке учащиеся, по замыслу авторов учебника, отрабатывают две последние
дидактические «игры», связанные с изучаемой моделью.
(Мордкович А. Г.
М79 Алгебра и начала математического анализа. 10— 11 классы
(базовый уровень) : методическое пособие для учителя / А. Г. Мордкович, П. В.
Семенов. — М. : Мнемози- на, 2010. — 202 с. : ил.)
2.
9-я «игра» – отыскание на числовой
окружности точек, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению.
Рассматриваем
примеры 2 и 3 со с. 41–42 учебника.
Важность
этой «игры» очевидна: учащиеся готовятся к решению простейших
тригонометрических уравнений вида Для понимания сути дела
следует прежде всего научить школьников решать эти уравнения с помощью числовой
окружности, не переходя к готовым формулам.
При
рассмотрении примера на нахождение точки с абсциссой обращаем внимание учащихся на
возможность объединения ддвух серий ответов в одну формулу:
3.
10-я «игра» – отыскание на числовой окружности точек, координаты которых
удовлетворяют заданному неравенству.
Рассматриваем
примеры 4–7 со с. 43–44 учебника. Решая подобные задачи, мы готовим учащихся к
решению тригонометрических неравенств вида
После
рассмотрения примеров учащиеся могут самостоятельно сформулировать алгоритм
решения неравенств указанного типа:
1)
от аналитической модели переходим к геометрической
модели – дуга МР числовой окружности;
2)
составляем ядро аналитической записи МР; для дуги получаем
3)
составляем общую запись:
Динамическая
пауза
IV.
Формирование умений и навыков.
Работа
в группах
1-я
группа. Нахождение точки на числовой
окружности с координатой, удовлетворяющей заданному уравнению.
№
5.6 (а; б) – № 5.9 (а; б).
В процессе работы над этими упражнениями
отрабатываем пошаговость выполнения: запись ядра точки, аналитической записи.
2-я
группа. Нахождение точек на числовой
окружности с координатой, удовлетворяющей заданному неравенству.
№
5.11 (а; б) – 5.14 (а;б).
Главное
умение, которое должны приобрести школьники при выполнении данных упражнений, –
это составление ядра аналитической записи дуги.
V.
Самостоятельная работа.
Вариант 1
1.
Обозначьте на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу,
и найдите её декартовы координаты:
2.
Найдите на числовой окружности точки с данной абсциссой и запишите, каким числам t
они соответствуют.
3.
Обозначьте на числовой окружности точки с ординатой, удовлетворяющей
неравенству и запишите при помощи
двойного неравенства, каким числам t они соответствуют.
Вариант 2
1.
Обозначьте на числовой окружности точку, которая соответствует данному числу, и
найдите её декартовы координаты:
2.
Найдите на числовой окружности точки с данной ординатой у = 0,5 и
запишите, каким числам t они соответствуют.
3.
Обозначьте на числовой окружности точки с абсциссой, удовлетворяющей
неравенству и запишите при помощи
двойного неравенства, каким числам t они соответствуют.
VI.
Итоги урока.
Вопросы учащимся:
–
Как найти на окружности точку, абсцисса которой удовлетворяет заданному
уравнению?
–
Как найти на окружности точку, ордината которой удовлетворяет заданному
уравнению?
–
Назовите алгоритм решения неравенств с помощью числовой окружности.
Домашнее
задание: ,
стр. 36. № 5.6 (в; г) – № 5.9 (в;
г),
№ 5.11 (в; г) – № 5.14 (в; г).
Урок №3
Цели:
ввести понятие модели числовой окружности в декартовой и криволинейной системе
координат.
Задачи: проверить
степень усвоения ранее изученного материала,
актуализировать
знания учащихся, необходимые при изучении новой темы.
Развивать
вычислительные навыки, правильную математическую речь, логическое мышление
учащихся.
Прививать
самостоятельность, внимание и аккуратность. Воспитывать ответственное отношение
к обучению.
Планируемые
результаты:
Знать,
понимать: - числовая окружность.
Уметь:
- находить на окружности точки по заданным координатам; - находить координаты
точки, расположенной на числовой окружности.
Уметь
применять изученный теоретический материал при выполнении письменной работы.
Техническое обеспечение урока Компьютер,
экран, проектор, учебник, задачник.
Дополнительное
методическое и дидактическое обеспечение урока: Мордкович А. Г. М79 Алгебра и
начала математического анализа. 10— 11 классы (базовый уровень) : методическое
пособие для учителя / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — М. : Мнемози- на, 2010.
— 202 с. : ил
Ход
урока
I.
Организационный
момент.
1.
Приветствие
учеников, поверка отсутствующих Психологический настрой учащихся.
2.
Проверка
домашнего задания №
5.6 (в; г) – № 5.9 (в; г), № 5.11 (в; г) – № 5.14 (в; г).
Разобрать
решение заданий вызвавших затруднение.
II. Фронтальный
опрос по теме:
1. Дайте
определение числовой окружности
2.
Сколько
четвертей имеем в единичной окружности?
Как они называются?
3.
Определите
знаки в каждой из четверти.
III. Проверочная
работа
После выполнения заданий, учащиеся сдают
листочки, а затем вместе с учителем проверяют правильные ответы.
Вариант №1
|
1
|
Найдите на числовой окружности точки,
которые соответствуют данным числам: .
|
2
|
Постройте геометрическую модель дуги
числовой окружности, все точки которой удовлетворяют неравенству .
|
3
|
|
Найдите множество чисел, которым
соответствуют отмеченные на числовой окружности точки
|
Вариант №2
|
1
|
Найдите на числовой окружности точки,
которые соответствуют данным числам: .
|
2
|
Постройте геометрическую модель дуги
числовой окружности, все точки которой удовлетворяют неравенству .
|
3
|
|
Найдите множество чисел, которым
соответствуют отмеченные на числовой окружности точки
|
Вариант №3
|
1
|
Найдите на числовой окружности точки,
которые соответствуют данным числам: .
|
2
|
Постройте геометрическую модель дуги
числовой окружности, все точки которой удовлетворяют неравенству .
|
3
|
|
Найдите множество чисел, которым
соответствуют отмеченные на числовой окружности точки
|
Вариант №4
|
1
|
Найдите на числовой окружности точки,
которые соответствуют данным числам: .
|
2
|
Постройте геометрическую модель дуги
числовой окружности, все точки которой удовлетворяют неравенству .
|
3
|
|
Найдите множество чисел, которым
соответствуют отмеченные на числовой окружности точки
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Динамическая
пауза
IV. Обобщение материала
1. Рассмотреть числовую окружность в декартовой
системе координат.
2. Составить таблицу координат чисел
числовой окружности для первого макета.
3. Составить таблицу координат чисел
числовой окружности для второго макета.
У
каждого из вас в тетради есть три макета числовой окружности. Каждая
точка числовой окружности имеет в координатной плоскости свои координаты.
Найдём сначала координаты тех точек координатной плоскости, которые получены на
макетах числовой окружности.
На
первом макете возьмем точку
M(π/4) середина I четверти. Опустим
перпендикуляр MP на прямую OA и рассмотрим
треугольник OMP. Так как дуга AM составляет половину
дуги AB, то ∡MOP=45°. Значит,
треугольник OMP - равнобедренный прямоугольный треугольник и OP=MP,
т.е. у точки M абсцисса и ордината равны: x=y. Так как
координаты точки M(x;y) удовлетворяют уравнению числовой
окружности x2+y2=1, то для их нахождения нужно
решить систему уравнений:
Подставив x вместо y в
первое уравнение системы, получим следующее решение:
При
решении учитываем, что абсцисса точки M положительна.
Получили,
что координаты точки M, соответствующей числу π/4 будут
M(π/4)=M(2√2;2√2)
Аналогично
можно получить координаты и других точек первого макета числовой окружности,
учитывая только знаки координат в каждой четверти.
Полученные
результаты запишем в таблицу:
Перейдем на второй макет. Рассуждаем аналогично для точки M, если теперь она
соответствует числу π/6
Треугольник MOP прямоугольный.
Так как дуга AM составляет третью часть дуги AB, то ∡MOP=30°.
Катет MP лежит
против угла 30 градусов в прямоугольном треугольнике, значит, равен
половине гипотенузы, т.е. ордината точки M равна
MP=1/2
y=1/2
Абсциссу x точки M найдём,
решив уравнение:
При
решении учитываем, что абсцисса точки M положительна.
Получили,
что координаты точки M, соответствующей числу π/6 будут M(π/6)=M(3√2;1/2)
Аналогично
можно получить координаты и других точек второго макета числовой
окружности, учитывая только знаки координат в каждой четверти.
На
третьем макете возьмем угол в 600 или π/3. Треугольник OKF прямоугольный.
Так как дуга AK составляет третью часть дуги AB, то ∡KOF=60°,
а ∡OKF=30°,
Катет OF лежит
против угла 30 градусов в прямоугольном треугольнике, значит, равен
половине гипотенузы, т.е. абсцисса точки F равна
OF=1/2
x=1/2
Ординату
y точки K найдём, решив уравнение:
При
решении учитываем, что ордината точки K положительна.
Получили,
что координаты точки K, соответствующей
числу π/3 будут K(π/3)=F(1/2, 3√2) . Полученные
данные занесем в таблицу:
V. Подведение
итогов урока, постановка домашнего задания, рефлексия.
Понятие числовой
окружности вы изучали для того чтобы перейти к изучению таких важных с точки
зрения математики и геометрии понятий как синус, косинус, тангенс и котангенс.
Вопросы учащимся:
Итак, что мы
сегодня узнали на уроке нового?
Домашнее задание: ,
стр. 36. № 5.8, № 5.13
(в,г)
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.