Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект занятия на тему «Приращение аргумента и функции. Определение производной. Алгоритм вычисления производной по определению. Таблица производных. Правила вычисления производной»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Конспект занятия на тему «Приращение аргумента и функции. Определение производной. Алгоритм вычисления производной по определению. Таблица производных. Правила вычисления производной»

библиотека
материалов

hello_html_m4cb0f6bf.gifhello_html_m9c93bf.gifhello_html_1454a8a6.gifhello_html_13376513.gifhello_html_3a9fbbb3.gifhello_html_m151f022d.gifhello_html_1caab2be.gifhello_html_m605f0503.gifhello_html_44f79b17.gifhello_html_1454a8a6.gifhello_html_m4e740a87.gifhello_html_m5e6231b8.gifhello_html_36fbaf3d.gifhello_html_1454a8a6.gifhello_html_1454a8a6.gifhello_html_6f8367da.gifКонспект занятия на тему «Приращение аргумента и функции. Определение производной. Алгоритм вычисления производной по определению. Таблица производных. Правила вычисления производной»


Цели:

  • ввести понятия приращение аргумента и приращение функции;

  • научить находить приращение аргумента и приращение функции;

  • ввести понятие производной;

  • способствовать выработке навыка нахождения производной по определению;

  • Учить находить производную по таблице;

  • Учить использовать правила дифференцирования;

Дидактический материал: опорный конспект, карточки-задания для индивидуальной работы, памятки, учебник Колмогорова А.Н. «Алгебра и начала анализа. 10-11классы», обучающий видеокурс «Математика 7-11», Математика – учебное электронное издание 5-11. Математический дневник .

План урока

  1. Организационный момент.

  2. Актуализация знаний:

    1. Фронтальный опрос;

    2. Работа с карточками.

  3. Изучение нового материала:

    1. Приращение аргумента и приращение функции;

    2. Понятие «Производная»;

    3. Схема вычисления производной по определению;

    4. Таблица производных;

    5. Правила дифференцирования.

  4. Закрепление изученного.

  5. Подведение итогов.

  6. Домашнее задание.

  7. Рефлексия.


Ход урока


  1. Организационный момент

  • доброжелательный настрой учителя и учащихся;

  • быстрое включение класса в деловой ритм;

  • организация внимания всех учащихся;

  • сообщение темы и целей урока.

  1. Актуализация знаний

(выявление факта выполнения (не выполнения) домашнего задания у всего класса, устранение типичных ошибок; работа организована параллельно: учащимся на выбор предлагается письменно ответить на вопросы или участвовать в фронтальном опросе. Учащиеся, работающие письменно, садятся на первые парты. Двое учащихся вызывается к доске для написания домашней работы.)

2.1. Фронтальный опрос

- Что такое последовательность?

- Какие виды последовательностей вы знаете?

 - Как задаётся числовая последовательность?

- Что мы называем пределом последовательности?

- Как найти предел последовательности, при hello_html_m6202822.gif?

- Как найти предел при hello_html_7fd9e402.gifк конкретному числу?

2.2. Индивидуальные задания для учащихся

Карточка 1

Дайте определение понятию «Предел последовательности»

Вычислите

hello_html_m531cf9dc.png

Как найти предел последовательности, при hello_html_m6202822.gif

Если Вы не справились с заданием укажите причину вызвавшую у Вас затруднение.


Карточка 2

Дайте определение понятию «Предел последовательности»

Вычислите

hello_html_m21727e3f.png

Как найти предел, при hello_html_m6202822.gif? При hello_html_7fd9e402.gif к конкретному числу

Если Вы не справились с заданием укажите причину вызвавшую у Вас затруднение.


  1. Изучение нового материала

    1. Приращение аргумента и приращение функции

Часто нас интересует не значение какой либо величины, а ее изменение. Например, сила упругости пружины пропорциональна удлинению пружины; работа есть изменение энергии; средняя скорость это отношение перемещения к промежутку времени, за который было совершено это перемещение, и т. д.

При сравнении значения функции f в некоторой фиксированной точке х0 со значениями этой функции в различных точках х, лежащих в окрестности х0, удобно выражать разность f (х )- f (х0) через разность (х-х0), пользуясь понятиями «приращение аргумента» и «приращение функции». Объясним их смысл. (Просмотр видеокурса «Математика 7-11» - Определение производной (приращение аргумента и приращение функции)).

Пусть х- произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки х0. Разность (х-х0 ) называется приращением независимой переменной х (или приращением аргумента) в точке х0 и обозначается hello_html_423d231e.gif. hello_html_1df8105.gif

Приращение функции f в точке х0, соответствующее приращению hello_html_423d231e.gif, обозначается hello_html_m6ffc4264.gif, и находится по формуле hello_html_4777a9f.gif


Графически это можно изобразить так: x, х0 - это точки, f(x), f(x0)-значения функции в этих точек. Тогда f – это разность (f(x) – f(x0) - (отрезок f), а ∆х- разность (х-х0 ) - отрезок ∆х. На графике хорошо видно, что приращение функции f зависит от приращения аргумента ∆х. Если мы уменьшим значение ∆х , то значение f тоже уменьшится.( в процессе обсуждения преподаватель чертит график на доске)

f(x)



f



f(x0)




х



х

х0


Составьте опорный конспект.

Для лучшего понимания давайте рассмотрим несколько примеров по данной формуле

178 –Найдите приращение функции f в точке х0

а) решает учитель с объяснением у доски

hello_html_m53806e74.gif



Решение: hello_html_61deae2c.gif

hello_html_m4c18290e.gif

Ученик у доски. hello_html_m514902f1.gif

Самостоятельно: Найдите приращение функции f в точке х0

hello_html_4eaecbdc.gif

hello_html_2f7d5bed.gif

Выполнить на компьютерах «Математика – учебное электронное издание 5-11» задания «Приращение аргумента и приращение функции - № 1-4». Результаты выполнения заносятся в журнал программы. Правильность решения проверяется всей группой сверяя свои результаты с результатом программы.




3.2. Понятие «Производная»

- Мы усвоили понятие приращение функции и приращение аргумента, что позволяет нам перейти к рассмотрению понятия «Производная». Формулировка определения производной основано на понятии предела.

Производной функции f в точке х0 называется число, к которому стремится разностное отношение hello_html_589b1dc1.gif при hello_html_423d231e.gif, стремящемся к нулю.

Производная функции f в точке хо обозначается f' (х0) (читается: «эф штрих от х0»).


3.3.Схема вычисления производной по определению


1. С помощью формулы, задающей функцию f , находим ее приращение в точке х0: hello_html_4777a9f.gif

2. Находим выражение для разностного отношения hello_html_589b1dc1.gif, которое затем преобразуем – упрощаем, сокращаем на hello_html_423d231e.gif и т.д.

3. Выясняем, к какому числу стремится hello_html_mc816a58.gif, если считать что hello_html_423d231e.gif стремится к нулю.


(дежурный раздает памятки «Вычисление производной по пределению»)

- Рассмотрим вычисление производной по данной схеме на конкретном примере:

Пример 1. Найдем производную функции f(x)=x3 в точке х0.

Будем действовать используя памятку.

  1. hello_html_529d0cd5.gif

  2. hello_html_774af6f4.gif

  3. Заметим, что hello_html_m2827d8fa.gif постоянно, а при hello_html_383b7fb3.gif очевидно, что hello_html_3f1ae531.gif, а значитhello_html_573ed085.gif . Получаем hello_html_395c0b8d.gif.

  4. Следовательно f’(x0)=3x02.

Пример 2. Найдем производную функции f(x)=kx+b (k, b - постоянны) в точке х0.

  1. f=(k(x0+∆x)+b)-(kx0+b)=kx

  2. hello_html_m32159ec3.gif

  3. Поскольку k- постоянная, hello_html_mc816a58.gif - постоянное число при любом ∆ х, и, значит, hello_html_56d82501.gif при hello_html_383b7fb3.gif.

  4. Итак, (kx+b)’=k

- Для закрепления решим у доски №194

(задания решаются параллельно: слабых учащихся вызывают к доске, а более сильные пробуют решить самостоятельно в тетрадях. После решения обязательно сверить результаты с доской)

Учащиеся получают карточки-консультанты.

194. Пользуясь карточкой-консультантом, найдите значения производной функции f, если:

а) f (х) = х 2- 3х в точках -1; 2;

б) f (х) = 2х 3 в точках 0; 1;

в) f (х) =hello_html_m329f5a7d.gif в точках -2; 1;

г) f (х) = 4- х 2в точках 3; о.


3.4.Таблица производных


- Часто встречаются задания, в которых неудобно, долго вычислять производную по определению. Поэтому существует таблица производных, которая помогает и облегчает работу по нахождению производной. Данной таблицей пользоваться очень просто. В ней представлена функция и найдена ее производная. Вам нужно найти необходимую функцию и посмотреть, чему равна ее производная. Давайте вместе прочитаем данную таблицу (дежурный раздает всем учащимся таблицы производных).




Функция



Производная

y=C

y´=0

y=x

y´=1

y=kx

y´=k

y=kx+m

y´=k

y=x ͫ

y´=mx ͫ¯¹

y=k x ͫ

y´=kmx ͫ¯¹

y =hello_html_m329f5a7d.gif

y´=-hello_html_1ddfb92b.gif

y=hello_html_m5a39810d.gif

=hello_html_3fb49adf.gif

y=sin x

y´=cos x

y=cos x

y´= - sin x

y=tg x

y´=hello_html_72ba4f5c.gif

y=ctg x

y´=hello_html_m7e7c7d8b.gif


- Давайте вычислим производную функции используя таблицу:

(При работе с заданием учащиеся по цепочке выходят к доске, называют функцию, показывают в таблице соответствующую формулу, при необходимости называют постоянный множитель и под руководством преподавателя записывают решение на доске)

а) y=2.5

и) y=2hello_html_24ef8f0b.gif

б) y=-3.2

к) y=3hello_html_m5a39810d.gif

в) y=7.5x

л) y= sin x

г) y=-10x

м) y=2cos x

д) y=x²

н) y=3sin x

е) y=2x

о) y=hello_html_6d3e6497.gif

ж) y=2.4x

п) y=hello_html_1e94894c.gif

з) y=hello_html_24ef8f0b.gif

р) y= - hello_html_md17e754.gif

3.5.Правила дифференцирования

Мы рассматривали с вами простые задания, в которых дана одна функция и с этой функцией не выполняют ни каких операций. Но если мы рассмотрим такой пример : hello_html_38ad5450.gif. Как найти производную?

Для вычисления производных используют правила дифференцирования

Пр 1. Если функции u и v дифференцируемы в точке хо, то их сумма дифференцируема в этой точке и (u + v )' = и'+ v '

Пример:

hello_html_mbe78f72.gif

Лемма. Если функция f дифференцируема в точке х0, то она непрерывна в этой точке:hello_html_14d07aaf.gif при xhello_html_6ab8aa1c.gifx0, т.е. hello_html_m725d5fca.gif при hello_html_383b7fb3.gif.


Пр 2. Если функции и и v дифференцируемы в точке хо, то их произведение дифференцируемо в этой точке и (uv)' = u'v + uv'

Пример: hello_html_m40065d1c.gif

hello_html_m7dff1d93.gif

hello_html_m5357bac.gif

Следствие. Если функция и дифференцируема в хо, а С постоянная, то функция Си дифференцируема в этой точке и (Си)' = Си'.

Пр 3. Если функции и и v дифференцируемы в точке хо и функция v не равна нулю в этой точке, то частное hello_html_m32892502.gif также дифференцируемо в хо и hello_html_m36094535.gif

Пример: hello_html_m2c7d643a.gif

hello_html_m1c9df42d.gif

hello_html_m79a09738.gif


Для закрепления правил дифференцирования просмотр видеокурса «Математика 7- 11» (правила дифференцирования).

Составьте математическую карту темы.

4. Закрепление изученного

- На конкретных примерах рассмотрим, как пользоваться данными правилами (задания решаются под руководством учителя. Задания стоящие под буквой а) учитель решает на доске с четким объяснением. При работе с заданиями следует постоянно обращаться к правилам дифференцирования. Учащимся предлагается, по желанию, решить задания самостоятельно или у доски. Учащиеся, которые выполняли задания самостоятельно, могут пользоваться карточкой-консультантом, обязательно сверяют свои решения с доской. Первые учащиеся, справившиеся с заданиями, подносят тетради на проверку преподавателю.)

4.

3.

2.

1.

hello_html_28162866.png


5. Подведение итогов

- С какими новыми понятиями вы познакомились на сегодняшнем занятии

- что такое приращение функции и приращение аргумента и как они вычисляются

- дайте определение производной

- как вычислить производную с помощью определения?

-как еще можно вычислить производную?

-какие правила дифференцирования мы узнали?

-какие новые правила необходимо занести в математический дневник?

6. Задание на дом

- занести необходимые правила в математический дневник (из учебника «Алгебра и начала анализа 10-11 кл» Колмогоров А.Н.)

- подготовить доклады на тему «Из истории «Производной»»

- выучить основные понятия, правила, и таблицу производных

- начать выполнение домашней самостоятельной работы



7. Рефлексия

Откройте и заполните свои математические дневники.

Заполните колонку «Рекомендации себе» ответами на следующие вопросы:

  1. Что Вам понравилось на уроке?

  2. Довольны ли Вы своей работай на уроке?

  3. Устали ли Вы за урок?

  4. Был ли материал урока, для Вас, понятен, полезен, интересен?

  5. Какой материал необходимо повторить?







Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 06.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров710
Номер материала ДВ-128570
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх