Контрольная работа по математике (дистанцтонное обучение)

Контрольная работа для студентов дистанционного обучения

Контрольная работа содержит пять разделов, в каждом - шесть вариантов с общим заданием. Варианты выдает преподаватель на вводном занятии

I. Дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Требуется найти ее решение с помощью формул Крамера.

1.     а)                              б) 

2.     а)                           б)  

3.  а)                            б)    

4.  а)                               б) 

5.  а)                                      б) 

6.  а)                               б)           

II.   Задачи по теме: « Метод координат»

1. Прямая линия

1.      Треугольник задан вершинами А(-6; -2), В(4;8) и С(2;-8). Найти:

1) уравнение медианы CD;  2) угол В. Выполнить чертёж.

2.       Треугольник задан вершинами А(-8; -2), В(2; 10) и С(4; 4). Найти:

1) уравнение медианы АD;  2) угол В. Выполнить чертёж.

      3.        Треугольник задан вершинами А(-2; -2), В(7; -6) и С(1; 2). Найти:

1) уравнение медианы АD;  2) угол В. Выполнить чертёж.

4.        Треугольник задан вершинами А(2; -1 ), В(-7; 2) и С(-1; -5). Найти:

 1) уравнение медианы АD; 2) угол В. Выполнить чертёж.

 5.         Треугольник задан вершинами А(-5; 3), В(3; 4) и С(7; -3). Найти:

1) уравнение медианы СD;  2) угол В. Выполнить чертёж.

  6.          Треугольник задан вершинами А(2; 6), В(4; -2) и С(-2; -6). Найти:

 1) уравнение медианы СD;  2) угол В. Выполнить чертёж.

III Комплексные числа.

Выполнить действия над комплексными числами  алгебраической форме.

1. 1) Решить квадратное уравнение

    2) Найти действительные числа  х  и  у  из условия равенства двух комплексных чисел:    

    3) Выполнить действия: а)  б)  в)  

2.  1) Составить квадратное уравнение по его корням:

        

     2)  Найти действительные числа   х  и  у  из условия равенства двух комплексных чисел:          

     3) Выполнить действия: а) ;  б) ;  в)

3. 1) Решить квадратное уравнение .

    2) Найти действительные числа  х  и  у  из условия равенства двух комплексных чисел:             .

    3) Выполнить действия: а) ; б) ; в)  

4.  1) Решить квадратное уравнение .

     2) Найти действительные числа  и y условия равенства двух комплексных чисел:           

     3) Выполнить действия: а) ; б) ; в) .

5.  1) Составить квадратное уравнение по его корням:

        

         2) Найти действительные числа  х и  у  из условия равенства двух комплексных чисел:        4х + 5у – 9 + 7(3х–у)i = 10х + 14уi

         3) Выполнить действия:     а) ;      б) ;     в) i⁸ (1 – i³).

6.  1) Решить квадратное уравнение  х² – 10х + 41 = 0

      2) Найти действительные числа  х  и  у  из условия равенства двух комплексных чисел:    3 + 4ix + 5yi = 12i + 5x – 2y

      3) Выполнить действия:    а)  ;    б) ;    в) i(1 – i²³).

IV. Выполнить задания по теме «Дифференциальное исчисление»

1. Вычислить пределы функции, не пользуясь средствами дифференциального исчисления.

1.      а)                                   2)

2.      1)                        2)

3.      1)                        2)

4.      1)                         2)

     5.    1)                              2)

     6.     1)                            2)  

2. Найти производные первого порядка данных функций, используя правила вычисления производных.

1. а)                                                    б)

2. а) ,                                                        б) ,

3. а) ,                                                  б) ,

4. а) ,                                           б) ,

5. а) ,                                           б) ,

6. а) ,                                    б) ,

3. Составить уравнение касательной и нормали к графику кривой  y = ƒ(x)  в точке, абсцисса которой равна x₀.

1.,                                                  

2.,                        

3.,                       

4.,                       

5.,                        

6.,                       

V.          Решить задачи по теме «Интегральное исчисления»

1. Найти неопределенные интегралы методами: 1) непосредственное интегрирование;   2) замена переменной;   3) интегрирование по частям. Правильность полученных результатов проверить дифференцированием.

1. 1);                      2)   ;                      3)

2. 1) ;               2);                 3)

3. 1)  ;                           2) ;                     3)  

4.  1)                       2)                              3)

5. 1)                     2)                     3)

6. 1)                     2)                              3)

2.  Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (Сделать чертёж)

  1.    у = −х² + 2х,    у = 0.    

 2.   у = 4 − х² ,    у = 0.

  3.   у² = 9х,    х = 1,      х = 4,      у = 0.

  4.   у = 2х²,     у = 2х + 4.

 5.   у = х² + 2х - 3,       у = 0.

 6.   у = х² − 4х + 5,       у = х + 1.

Образец решения контрольной работы № 1

Пример 1.

 а) Решить систему линейных уравнений методом определителей (Крамера):

                        

Решение. Приведем систему к стандартному виду:

                                  

 Выпишем и вычислим определители ∆, ∆x и ∆у:

∆= = 4∙(-5)-3∙3 = -29,         ∆х =  = 28∙(-5) -3∙21 = -203

∆у = = 4∙21 - 28∙3 = 0                     

Таким образом,              ,      у = = 0.  

Ответ:  х = 7;  у = 0

б)  Решить систему   

Решение.  Вычислим определители   ∆, ,  и :

                                     

Вычислим     , , :

,       ,        

Таким образом, имеем   ,  ,   

Ответ:   (14; -26; 15).

Пример 2.

          Треугольник задан вершинами А(4; 8), В(2; -10) и С(-6; -2). Найти:

1)      уравнение медианы СD;  2) угол В. Выполнить чертёж.

Решение:

1)  D – середина отрезка АВ, поэтому используем формулы  х_D = ,     у_D = ;     найдём координаты точки D:

x_D = ;       у_D = .        D(3; -1).

По формуле  (4.11) из п. 2.4 (тема 2.4) каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид:

;        ;        (х + 6)· 1 = 9(у + 2) ;      x + 6 = 9у +18

х - 9у - 12 = 0.

Итак,  х - 9у - 12 = 0   - уравнение медианы СD.

2)      угол В будем искать, используя  векторную алгебру.

Как видно из рисунка 1, угол между сторонами АВ и ВС – это угол между векторами  и . Найдём координаты этих векторов через координаты начала и координаты конца вектора (формула (1.7) из п. 5.6):

Тогда по формуле (1.12) (см. п. 6.3) имеем:

,

или

.

                                                      у

 

                                                     8                                  А(4;8)

 

                     -6                                           2         D   4                     х

                  С(-6;-2)                      -2

                                                 -10                    В(2;-10)

                           Рис. 1.

Пример 3

1)      Составить квадратное уравнение по его корням   х₁ = 1 − i    и     x₂ = 1 + i.

Решение.    По теореме Виета произведение корней приведённого квадратного уравнения равно свободному члену уравнения, а сумма корней – второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, поэтому имеем

х₁ x₂ = (1 − i )(1 + i ) = 1 + 3 = 4,

х₁ + x₂ =  (1 − i ) + (1 + i ) =1 − i + 1 + i = 2,

х² + рх + q = 0,      х² − 2х + 4 = 0.

Ответ.    х² − 2х + 4 = 0.

2) Найти действительные числа    х  и  у   из уравнения    5х – 2у + (х + y) i = 4 + 5i.

Решение.     Составим и решим систему          

Ответ.  (2; 3).

3)  Выполнить действия  а)    ;      б)   ;        в)  .

Решение.     а)  =   .

б)   = =  = .

i² = -1,   i⁴ = -1∙(-1) = 1,   i⁸ = 1,   i =,  i³ = -= -i,   i⁵ == i,  i⁷ = -= -i,   i⁹ == i.

Таким образом,  i^4k= 1,   i^4k+1= i,    i^4k+2= - 1,    i^4k+3= - i,   

в)     2.

где r =    φ = arctg= arctg= arctg1 =

Ответ.     а)  ;    б)  -1 + i ;      в)  2.

4)  Выполнить действия и результат записать в тригонометрической форме    

Решение.  = = =,

где r₁ =    φ₁ = arctg= arctg= arctg1 = ,

r₂ =    φ₂ = arctg= arctg= arctg(-1) = .

Таким образом,  z = 2 

Запишем данное число в тригонометрической форме:

z = 2 (cos0^◦ + icos0◦)   

Ответ.   z = 2 (cos0^◦ + icos0◦)   

Пример 4.  Вычислить:   а)  

Решение:

 

б)  

Решение:

Разделим числитель и знаменатель на наивысшую степень аргумента, т. е. на   х³:

=

при х имеем: 1) числитель   ()=1,   2)   знаменатель     ( ) =3.

Числитель и знаменатель - ограниченные величины, поэтому

=

Ответ:  а) ;    б)

Пример 5.  Найти производные функций

а) у= 5 + 7х²-,          б)

в)         г)

Решение 

а) у=5+7х²-=5+7х²   -5,

^==14х-5

б) воспользуемся формулой:

в) 

г)

Пример 6

Составить уравнение касательной и нормали к кривой  в точке, абсцисса которой .

Решение. Найдем ординату точки касания: . Угловой коэффициент касательной  k  равен значению производной в точке     :

.

Подставляя значения ,  и  в уравнения касательной

                              

и нормали

                            ,

 получаем:

,       (касательная);

,         (нормаль).

Ответ:    ; 

Пример 7. 1). Непосредственное интегрирование (интегрирование по таблице интегралов):     

                 а)  ;      б) ;    в) .

Решение.

а)  Разложим числитель на множители и сократим дробь:

= = ;

б) Разделим почленно на знаменатель:

 = == =   = = ;

в) Представим число 2 = 1+1 и разобьем дробь на две дроби:

  = х + arctg x + C.

Ответ.   а)  ;     б)  ;    в) х + arctg x + C.

2)  Метод замены переменной:    а) ;     б)  .

Решение.   а) Положим   х³ + 4 = t, затем продифференцируем обе части равенства:

                     3х²dx= dt.  Разделим на 3, получим  х²dx =.   Подставим в исходный

                     интеграл новые переменные:

= ,

Перейдём к прежней переменной  х:  

= .

б)  Положим   sin x = t, продифференцируем обе части равенства:  cos xdx = dt. Заменим в интеграле исходные данные на новые:

== . 

Перейдём к старой переменной:

=

Ответ.    а) ;    б)  .

3)  Интегрирование по частям:   а) ;   

Решение.   а)  Пусть   и = х,   dv = cos 3x dx.  Тогда    dи = dx,     v = .

Подставляя  эти величины в формулу   , имеем:

= .   

б) 

Пусть и = е^-х,   dv = cos x dx.   Тогда    dи = − е^-х dx,     v = sin x.

Подставляя  эти величины в формулу   , имеем:

                         е^-х sin x −  е^-х sin x + .

Применим правило ещё раз:

Пусть  и = е^-х,   dv = sin x dx.   Тогда    dи = − е^-х dx,     v = − cos x.

Подставим  эти величины в формулу    для второго интеграла.

Тогда будем иметь

е^-х sin x += е^-х sin x + (−е^-х cos x −) = е^-х sin x− е^-х cos x −.

Итак, имеем              е^-х sin x − е^-х cos x −.

Решим уравнение относительно данного интеграла:

 = е^-х sin x −е^-х cos x + С,

2 = е^-х (sin x − cos x) + С,

Таким образом,

 =  е^-х (sin x − cos x) + С.

Ответ.  а)  ;      б)   е^-х (sin x − cos x) + С.

1. Решить задачи по теме «Определённый интеграл и его приложение

Пример 8

1. Вычислить интеграл  .

Решение.  Воспользуемся тригонометрической подстановкой   x = sin t,     тогда

                      dx = cos t dt . 

Заменим и пределы интегрирования:   х = 0,   t  = arcsin 0 = 0;   x = 1,   t  = arcsin 1 =  .  Будем знать, что  t  [0;].    Так как cos t > 0 при t,  то   = cos t. Применяя тригонометрическую формулу понижения степени, получаем:

= ==  

 

Ответ.  .

2.  Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (Сделать чертёж)
                       у = х² + 2х,          у = х + 2.

Решение.  Сделаем чертёж области.

 

1)      у = х² + 2х = х² + 2х + 1 – 1 = (х + 1)² – 1 .

Построим график функции   у = х² + 2х при помощи   графика функции у = х²

параллельным переносом его вершины на (-1;-1),  х = -1  - ось симметрии параболы у = х² + 2х.

Построим прямую у = х + 2. найдём точки пересечения графиков:

х² + 2х = х + 2,

х² + х  −2 = 0,       х₁ = −2,   х₂ = 1;  у₁= 0,  у₂= 3, 

Искомая площадь  может быть  вычислена следующим образом

К площади фигуры, находящейся в отрицательной области параболы прибавить площадь, полученную разностью двух площадей: площадь прямоугольного треугольника АВС минус площадь криволинейной трапеции 0ВС.  Найдём каждую площадь в отдельности.

1. S_ABC =
2. S_0BC =
3. S_кр.тр.=
4. S =

Краткое описание документа:

Контрольная работа в шести вариантах содержит пять разделов:

1) Линейная алгебра: решение СЛАУ с помощью определителей;

2) Аналитическая геометрия: метод координат;

3) Комплексные числа: действия над комплексными числами в алгебраической форме;

4) Дифференциальное исчисление: вычисление пределов функции и производной первого порядка;

5) Интегральное исчисление: вычисление неопределенного интеграла и нахождение площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла.