Контрольно-оценочные средства по дисциплине "Математика"

Департамент образования Вологодской области

бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования Вологодской области

«Сокольский лесопромышленный политехнический техникум»

УТВЕРЖДАЮ Директор БОУ СПО ВО «Сокольский ЛПТ» ____________ Э.М. Салтан  «_____» _____________  2013г.

Комплект

контрольно - оценочных средств

ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ

^{ОДП.15.  Математика}

^{для специальностей}

^{230115 Программирование в компьютерных системах (базовой подготовки)}

техник-программист

^{квалификация}

^{220703 Автоматизация технологических процессов и производств}

^{(по отраслям)}

 техник

^{квалификация}

^{220703 Монтаж и техническая эксплуатация промышленного оборудования}

 ^{(по отраслям)}

техник-механик

^{квалификация}

Сокол

2013

Разработчик:  Ветрова  Евгения анатольевна преподаватель математики БОУ СПО ВО «Сокольский ЛПТ»
Рассмотрено на заседании комиссии «Физики, математики и информатики» « 30 » августа 2013г., протокол № 1 председатель комиссии ______________________Н.М.Киринцова                       (подпись)

СОДЕРЖАНИЕ

1. Паспорт комплекта контрольно-оценочных средств…………………...4 

2. Результаты освоения учебной дисциплины, подлежащие проверке…..4 

3. Оценка освоения учебной дисциплины  

3.1. Формы и методы оценивания……………………………………….7 

3.2. Задания для оценки освоения учебной дисциплины   …………….18

4. Контрольно-оценочные материалы для промежуточной аттестации по учебной дисциплине……………………………………………………141 

5. Лист согласования……………………………………………………….157

1.     Паспорт комплекта контрольно-оценочных средств    

Контрольно-оценочные средства (КОС) предназначены для контроля и оценки образовательных достижений студентов, освоивших программу учебной дисциплины  ОДП.15 Математика.

КОС включают контрольные материалы для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации в форме письменного экзамена.

КОС разработаны на основании программы учебной дисциплины ОДП.15.Математика.

2. Результаты освоения учебной дисциплины, подлежащие проверке

В результате аттестации по учебной дисциплине осуществляется комплексная проверка следующих умений и знаний, а также динамика формирования общих компетенций.

В результате освоения учебной дисциплины ОДП.15. Математика   по специальностям СПО 230115 Программирование в компьютерных системах (базовой подготовки), 220703  Автоматизация технологических процессов и производств (по отраслям), 151031 Монтаж и техническая эксплуатация оборудования (по отраслям), студент должен обладать следующими умениями, знаниями и общими компетенциями:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), за результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

Умения:

У1. Выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы; находить приближенные значения величин; сравнивать числовые выражения

У2. Находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций

У3. Вычислять значение функции по заданному значению аргумента при различных способах задания функции;

определять основные свойства числовых функций, иллюстрировать их на графиках;

строить графики изученных функций, иллюстрировать по графику свойства элементарных функций;

использовать понятие функции для описания и анализа зависимостей величин;

У4. Находить производные элементарных функций;

использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков;

применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения;

вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла

У5.Решать рациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения, сводящиеся к линейным и квадратным, а также аналогичные неравенства и системы;

использовать графический метод решения уравнений и неравенств;

изображать на координатной плоскости решения уравнений, неравенств и систем с двумя неизвестными;

составлять и решать уравнения и неравенства, связывающие неизвестные величины в текстовых (в том числе прикладных) задачах.

У6. Решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул;

вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов.

У7. Распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями;

описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении;

анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве;

изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач;

строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды;

решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

      Знания:                             

З1. Значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе

З2. Значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии

З3.Универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности,

 вероятностный характер различных процессов окружающего мира;

Формой  промежуточной аттестации по учебной дисциплине является письменный экзамен в 1 и 2 семестрах.

3. Оценка освоения учебной дисциплины

3.1. Формы и методы контроля

Контроль и оценка освоения учебной дисциплины по темам (разделам)

Элемент учебной дисциплины	Формы и методы контроля
	Текущий контроль			Промежуточная аттестация
	Форма контроля	Самостоятельная работа	Проверяемые ОК, У, З	Форма контроля	Проверяемые  ОК, У, З
Раздел 1. Числовые системы и приближенные вычисления
Тема 1.1 Уравнения и неравенства	Проверочная работа Практическая работа №1.Решение квадратных уравнений и неравенств Практическая работа №2. Решение уравнений, приводимых к квадратным.	Уравнения и неравенства с параметром	У1  У5  З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4	Письменный экзамен	У1  У5  З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4
Тема 1. 2. Действительные числа. Приближенные вычисления	Устный опрос	Приближенное значение величины и погрешности приближений История развития понятия о числе	У1 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4		У1 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4
Тема 1.3. Комплексные числа.	Устный опрос Практическая работа №3. Действия над комплексными числами в алгебраической форме	История развития комплексных чисел Применение комплексных чисел	У1 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4	Письменный экзамен	У1 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4
Раздел 2. Показательная, логарифмическая и степенная функции
Тема 2.1. Степенная функция	Практическая работа №4.Действия со степенями Практическая работа №5. Свойства и графики степенных функций	Графики более сложных степенных функций	У1  У2  У3 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4	Письменный экзамен	У1  У2  У3 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4
Тема 2.2. Логарифмическая функция	Практическая работа №6. Преобразование логарифмических выражений Практическая работа №7. Решение логарифмических уравнений и неравенств	История создания логарифмов Сфера применения логарифмов	У1  У2  У3  У5 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4	Письменный экзамен	У1  У2  У3  У5 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4
Тема 2.3. Показательная функция	Практическая работа №8. Решение показательных уравнений и неравенств Практическая работа №9. Построение графиков  показательной функции	Построение графиков более сложных показательных функций	У1  У2  У3  У5 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4	Письменный экзамен	У1  У2  У3  У5 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4
Раздел 3. Основы тригонометрии
Тема 3.1. Основные формулы тригонометрии	Устный опрос Проверочная работа Практическая работа №10. Основные тригонометрические формулы   Практическая работа №11. Преобразование тригонометрических выражений	История развития тригонометрии	У2  У3  У5 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4	Письменный экзамен	У2  У3  У5 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4
Тема 3.2. Свойства и графики тригонометрических функций	Практическая работа №12  Свойства тригонометрических функций		У2  У3  У5 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4	Письменный экзамен	У2  У3  У5 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4
Тема 3.3. Обратные тригонометрические функции	Практическая работа №13. Вычисление значений обратных тригонометрических функций	Графики и свойства обратных тригонометрических функций	У2  У3  У5 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4	Письменный экзамен	У2  У3  У5 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4
Тема 3.4. Тригонометрические уравнения и неравенства	Практическая работа №14. Решение тригонометрических уравнений и неравенств Контрольная работа	Решение более сложных тригонометрических уравнений	У2  У3  У5 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4	Письменный экзамен	У2  У3  У5 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4
Раздел 4 Дифференциальное исчисление
Тема 4.1. Производная функции одной действительной переменной	Устный опрос Практическая работа №15. Техника дифференцирования	Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности Понятие о непрерывной функции Производная обратной функции	У3  У4 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4	Письменный экзамен	У3  У4 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4
Тема 4.2. Приложения производной функции одной действительной переменной	Устный опрос Практическая работа №16. Исследование функций с помощью производной и построение графиков   Контрольная работа	Практическое приложение производной  Нахождение скорости для процесса, заданного формулой и графиком	У3  У4 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4	Письменный экзамен	У3  У4 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4
Раздел 5 Интегральное исчисление
Тема 5.1. Неопределенный интеграл и его свойства	Устный опрос Практическая работа №17. Техника интегрирования	Основные методы интегрирования	У3  У4 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4	Письменный экзамен	У3  У4 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4
Тема 5.2 Определенный интеграл и его свойства	Устный опрос Практическая работа №18. Применение формулы Ньютона-Лейбница при вычислении определенного интеграла	Метод постановки в определенном интеграле	У3  У4 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4	Письменный экзамен	У3  У4 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4
Тема 5.3. Приложения определенного интеграла	Практическая работа №19. Применение определенного интеграла в геометрии   Самостоятельная работа	Примеры применения определенного интеграла в физике	У3  У4 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4	Письменный экзамен	У3  У4 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4
Раздел 6. Аналитическая геометрия на плоскости
Тема 6.1. Векторы. Действия над векторами	Устный опрос Практическая работа №20. Действия над векторами в координатной форме	Линейные операции над векторами Примеры использования координат и векторов при решении математических и прикладных задач	З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4	Письменный экзамен	З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4
Тема 6.2. Прямая линия на плоскости	Устный опрос Практическая работа №21. Уравнения прямой  линии	Исследование взаимного расположения прямых линий на плоскости	У7 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4	Письменный экзамен	У7 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4
Раздел 7. Основы стереометрии
Тема 7.1. Прямые и плоскости в пространстве	Контрольная работа Практическая работа №22. Параллельность прямых и плоскостей   Практическая работа №23. Перпендикулярность прямых и плоскостей	Геометрические преобразования пространства: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости. Параллельное проектирование. Площадь ортогональной проекции	У7 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4	Письменный экзамен	У7 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4
Тема 7.2. Понятие о геометрическом теле. Многогранники	Практическая работа №24. Решение задач на многогранники Практическая работа №25. Вычисление объемов многогранников Тест 1-3	Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера. Симметрия в кубе, в параллелепипеде, призме и пирамиде. Многогранники в природе и вокруг нас.	У7 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4	Письменный экзамен	У7 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4
Тема 7.3. Тела и поверхности вращения	Практическая работа №26. Решение задач на круглые тела Практическая работа №27. Вычисление объемов круглых тел Тест 1-5	Осевые сечения и сечения, параллельные основанию. Понятие о конических сечениях	У7 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4	Письменный экзамен	У7 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4
Раздел 8. Основы теории вероятностей и математической статистики
Тема 8.1. Основные задачи и правила комбинаторики	Устный опрос Практическая работа №28. Решение простейших комбинаторных задач   Практическая работа №29.  Решение комбинаторных уравнений	Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.	У6 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4	Письменный экзамен	У6 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4
Тема 8.2. Случайные события. Основные теоремы теории вероятностей	Устный опрос Практическая работа №30. Вычисление вероятности события   Тест	Понятие о законе больших чисел	У6 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4	Письменный экзамен	У6 З1  З2  З3 ОК2  ОК3 ОК4
Тема 8.3. Случайные величины	Практическая работа №31. Определение числовых характеристик ДСВ	Понятие о непрерывных случайных величинах
Тема 8.4. Задачи математической статистики	Устный опрос Практическая работа №32. Графическое представление выборки. Паспорт выборки	Решение практических задач с применением вероятностных методов

Критерий оценки знаний и умений учащихся по математике

Преподаватель оценивает знания и умения студентов с учетом их индивидуальных особенностей.

1. Содержание и объем материала, подлежащего проверке, оп­ределяется программой. При проверке усвоения материала нужно выявлять полноту, прочность усвоения учащимися теории и умения применять ее на  практике в знакомых и незнакомых ситуациях.

2.  Основными формами проверки знаний и умений учащихся по математике являются  письменная   работа  и  устный опрос.

      При оценке письменных и устных ответов преподаватель в первую очередь учитывает показанные студентами знания и умения. Оценка зависит также от наличия и характера погрешностей, допущенных учащимися.

3. Среди погрешностей выделяются ошибки и недочеты. Погрешность  считается  ошибкой, если  она  свидетельствует о том, что студент не овладел основными знаниями, умениями, ука­занными в программе.

      К недочетам относятся погрешности, свидетельствующие о недостаточно полном или недостаточно прочном усвоении основных знаний и умений или об отсутствии знаний, не считающихся в про­грамме основными. Недочетами также считаются: погрешности, ко­торые не привели к искажению смысла полученного студентом зада­ния или способа его выполнения; неаккуратная запись; небрежное выполнение чертежа.

     Граница между ошибками и недочетами является в некоторой степени условной. При одних обстоятельствах допущенная учащи­мися погрешность может рассматриваться преподавателем как ошибка, в другое время и при других обстоятельствах — как недочет.

4. Задания для устного и письменного опроса учащихся со­стоят из теоретических вопросов и задач.

    Ответ на теоретический вопрос считается безупречным, если по своему содержанию полностью соответствует вопросу, содержит все необходимые теоретические факты и обоснованные выводы, а его изложение и письменная запись математически грамотны и от­личаются последовательностью и аккуратностью.

     Решение задачи считается безупречным, если правильно выбран способ решения, само решение сопровождается необходимыми объяснениями, верно выполнены нужные вычисления и  преобразования, получен верный ответ, последовательно и аккуратно за­писано решение.

5.  Оценка ответа учащегося при устном и письменном опросе проводится по следующей системе, т. е. за ответ выставляется одна  из отметок: 2   (неудовлетворительно), 3  (удов­летворительно), 4 (хорошо), 5 (отлично).

6.  Преподаватель может повысить отметку за оригинальный ответ на вопрос или оригинальное решение задачи, которые свидетельству­ют о высоком математическом развитии учащегося; за решение бо­лее сложной задачи или ответ на более сложный вопрос, предло­женные студенту дополнительно после выполнения им заданий.

Критерии ошибок:

К    г р у б ы м    ошибкам относятся ошибки, которые обнаруживают незнание учащимися формул, правил, основных свойств, теорем и неумение их применять; незнание приемов решения задач, рассматриваемых в учебниках, а также вычислительные ошибки, если они не являются опиской;

К    н е г р у б ы м   ошибкам относятся:  потеря корня или сохранение в ответе постороннего корня; отбрасывание без объяснений одного из них и равнозначные им;

К    н е д о ч е т а м    относятся:  нерациональное решение, описки, недостаточность или отсутствие пояснений, обоснований в решениях

Критерий оценки устного опроса по математике

Оценка «отлично» ставится, если ученик:

- полно раскрыл содержание материала в объеме, предусмотрен­ном программой,

- изложил материал грамотным языком в определенной логиче­ской последовательности, точно используя математическую термино­логию и символику;

- правильно выполнил рисунки, чертежи, графики, сопутствующие ответу;

- показал умение иллюстрировать теоретические положения конк­ретными примерами, применять их в новой ситуации при выполне­нии практического задания;

- продемонстрировал усвоение ранее изученных сопутствующих вопросов, сформированность и устойчивость используемых при от­работке умений и навыков;

- отвечал самостоятельно без наводящих вопросов учителя. Возможны одна - две неточности при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, которые ученик легко исправил по за­мечанию учителя.

Ответ оценивается оценкой «хорошо», если он удовлетворяет в основ­ном требованиям    на оценку «5», но при этом имеет один из недо­статков:

- в изложении допущены небольшие пробелы, не исказившие ма­тематическое содержание ответа;

- допущены один – два недочета при освещении основного содержа­ния ответа, исправленные по замечанию учителя;

- допущены ошибка или более двух недочетов при освещении вто­ростепенных вопросов или в выкладках, легко исправленные по замечанию учителя.

Оценка «удовлетворительно» ставится в следующих       случаях:

- неполно или непоследовательно раскрыто содержание материа­ла, но показано общее понимание вопроса и продемонстрированы умения, достаточные для дальнейшего усвоения программного ма­териала

- имелись затруднения или допущены ошибки в определении поня­тий, использовании математической терминологии, чертежах, вы­кладках, исправленные после нескольких наводящих вопросов учителя;

- при знании теоретического материала выявлена недостаточная сформированность основных умений и навыков.

Оценка «неудовлетворительно» ставится в следующих   случаях:

- не раскрыто основное содержание учебного материала;

- обнаружено незнание или непонимание студентом большей или наиболее важной части учебного материала;

- допущены ошибки в определении понятий, при использовании математической терминологии, в рисунках, чертежах или графиках, в выкладках, которые не исправлены после нескольких наводящих вопросов учителя.

Критерий оценки письменных и практических работ

по математике

         Оценка «отлично» ставится, если:

- работа выполнена полностью;

- в логических  рассуждениях и обосновании решения нет пробе­лов и ошибок; 

- в решении нет математических ошибок (возможна одна неточ­ность, описка, не являющаяся следствием незнания или непо­нимания учебного материала).

Оценка «хорошо» ставится, если:

- работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);

- допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, ри­сунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки).

Оценка «удовлетворительно» ставится, если:

допущены более одной ошибки или более двух-трех недоче­тов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.

Оценка «неудовлетворительно» ставится, если:

      допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не владеет

      обязательными умениями по данной теме в полной мере

3.2. Задания для оценки освоения учебной дисциплины.

Раздел 1.

Числовые системы и приближенные вычисления

Тема 1.1. Уравнения и неравенства

Проверочная работа. Линейные уравнения и неравенства  с одной переменной

Вариант 1

1.     Решить уравнение

2.     Решить неравенства:    а)    б) .

3.     Определить по чертежу точки пересечения графика функции у=х+1 с осями координат.

Вариант 2

1.     Решить уравнение

2.     Решить неравенства:    а)    б) .

3.     Определить по чертежу точки пересечения графика функции у=-х+3 с осями координат.

Вариант 3

1.     Решить уравнение

2.     Решить неравенства:   а) .

3.     Построить график функции у=2х-1 и по чертежу определить значения переменной х, при которых функция отрицательна.

Вариант 4

1.     Решить уравнение

2.     Решить неравенства:   а) .

3.     Построить график функции у=-2х+3 и по чертежу определить точки пересечения графика с осями координат.

Вариант 5

1.     Решить уравнение

2.     Решить неравенства:   а) .

3.     Построить график функции у=х-1 и по чертежу определить точки пересечения прямой с осями координат.

Вариант 6

1.     Решить уравнение

2.     Решить неравенства:   а) .

3.     Построить график функции у=-2х+1 и по чертежу определить значения переменной х, при которых функция положительна.

Вариант 7

1.     Решить уравнение

2.     Решить неравенства:   а) .

3.     Построить график функции у=3-2х и по чертежу определить значения переменной х, при которых функция принимает неотрицательные значения отрицательна.

Вариант 8

1.     Решить уравнение

2.     Решить неравенства:   а) .

3.     Построить график функции у=-х-2 и по чертежу определить значения переменной х, при которых функция их меняется от 0 до -2. Какой характер носит изменение функции.

Практическая работа №1.

 Квадратные уравнения и неравенства

Цель: закрепление умений и навыков решения квадратных уравнений и неравенств.

Задание для выполнения практической работы №1

Вариант 1

1.     Решить уравнение  .

2.     Составить квадратное уравнение по его корням: ;  .

3.     Сократить дробь   .

4.     Решить неравенство

5.     Найти точки пересечения графика функции   с осями координат.

Вариант 2

1.     Решить уравнение  .

2.     Составить квадратное уравнение по его корням: ;  .

3.     Сократить дробь   .

4.     Решить неравенство

5.     Найти точки пересечения графика функции   с осями координат.

Вариант 3

1.     Решить уравнение   .

2.     Составить квадратное уравнение по его корням:   .

3.     Сократить дробь   .

4.     Решить неравенство

5.     Найти точки пересечения графика функции   с осями координат.

Вариант 4

1.     Решить уравнение   .

2.     Составить квадратное уравнение по его корням:   .

3.     Сократить дробь   .

4.     Решить неравенство

5.     Найти точки пересечения графика функции   с осями координат.

Вариант 5

1.     Решить уравнение   .

2.     Составить квадратное уравнение по его корням:   .

3.     Сократить дробь   .

4.     Решить неравенство

5.     Найти точки пересечения графика функции   с осями координат.

Вариант 6

1.     Решить уравнение   .

2.     Составить квадратное уравнение по его корням:   .

3.     Сократить дробь   .

4.     Решить неравенство

5.     Найти точки пересечения графика функции   с осями координат.

Вариант 7

1.     Решить уравнение  

2.     Составить квадратное уравнение по его корням:   .

3.     Сократить дробь   .

4.     Решить неравенство

5.     При каких значениях a уравнение 

+ имеет два равных корня?

Вариант 8

1.     Решить уравнение  

2.     Составить квадратное уравнение по его корням:   .

3.     Сократить дробь .

4.     Решить неравенство

5.     При каких значениях а уравнение  имеет два равных корня?

Практическая работа №2

Уравнения, приводимые к квадратным

Цель: приобретение умений решать более сложные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным.

Задание для выполнения практической работы №2

Вариант 1

Решить уравнения:

1.    

2.    

3.    

4.    

Вариант 2

Решить уравнения:

1.    

2.    

3.    

4.    

Вариант 3

Решить уравнения:

1.    

2.    

3.    

4.    

Вариант 4

Решить уравнения:

1.    

2.    

3.    

4.    

Вариант 5

Решить уравнения:

1.    

2.    

3.    

4.    

Вариант 6

Решить уравнения:

1.    

2.    

3.    

4.    

Вариант 7

Решить уравнения:

1.    

2.    

3.    

4.    

Вариант 8

Решить уравнения:

1.    

2.    

3.    

4.    

Тема 1.2.Действительные числа. Приближенные вычисления

Устный опрос

1.     Какое число называется приближенным?

2.     Что называется истинной погрешностью и истинной абсолютной погрешностью?

3.     Что называется границей абсолютной погрешности?

4.     Какие цифры приближенного числа называются верными?

5.     Какие цифры называются сомнительными?

6.     Сформулируйте правило записи приближенных чисел. Приведите примеры.

7.     Как округляются приближенные числа?

8.     Что называется границей абсолютной погрешности приближенного числа?

9.     Что называется границей относительной погрешности приближенного числа?

10.  Перечислите правила действий с приближенными числами. Приведите примеры.

11.  Выполните действия с приближенными числами:

а) 367,24+165,3749+171,5+16,2829;

б) 17,352*1,447(с точностью до 0,1);

в) 643,5723/47,243(с точностью до 0,1).

Тема 1.3 Комплексные числа

Устный опрос

1. Дайте определение мнимой единице.

2. Как вычисляют степени мнимой единицы?

3. Вычислите i³⁵; i⁴²;i¹⁴⁴.

4. Какое число называется комплексным?

     5. Какие комплексные числа называются чисто мнимыми? Приведите примеры комплексных чисел, чисто мнимых чисел.

6. Какие комплексные числа называются равными?

7. Решите уравнения:

      а) 5х+3iу=17-12i;

         б) 7х-2i=9+5iу.

8. Какие комплексные числа называются сопряженными?

9. Как выполняется сложение, вычитание, умножение, комплексных чисел в алгебраической форме?

10. Произведите действия:

   а) (2+3i)+(2i-7);

  б) (6+5i)-(2-3i);

  в) (5+2i)(3-5i);

г) (6-2i)(6+2i);

д) (3-7i)2.

11.  Как выполняется деление комплексных чисел в алгебраической            форме?

12.  Выполните действия:

         а)    б)     в)     г)

       13.  Как геометрически изображаются комплексные числа?

       14. Что называется модулем и аргументом комплексного числа?

15. Запишите формулы ля вычисления модуля  и аргумента          комплексного числа.

16. Как решить квадратное уравнение, если дискриминант его    отрицателен?

17. Какие корни и сколько корней имеет квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом?

       18. Решите квадратные уравнения:

         а) х²-10х+34=0;

         б) х²+4х+53=0.

Практическая работа №3.

Действия над комплексными числами.

Цель: приобретение умений и навыков выполнять действия над комплексными числами.

Задание для выполнения практической работы №3

Вариант 1

1.     Решить квадратное уравнение x² +2x+5=0

2.     Найти действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных чисел:  5x-2y+(x+y)i=4+5i

3.     Выполнить действия:  а) ;   б) (1-i)³ ;  в) i⁴⁰-i²¹.

Вариант  2

1.     Составить квадратное уравнение по его корням:

x₁=1+i;  x₂=1-i

2.     Найти действительные числа х и у из условия равенства двух комплексных чисел: 5xi-2+4y=9i+2x+3yi.

3.     Выполнить действия:  а) ;    б)  (1+i)³ ;   в) i³-i¹⁰⁰.

Вариант 3.

1.     Решить квадратное уравнение x²-6x+18=0

2.     Найти действительные числа х и у из условия равенства двух комплексных чисел: 9+2x+4yi=10i+5x-6y.

3.     Выполнить действия: а)   ;   б)  (1+i)⁴;   в)  i+i³³

Вариант 4

1.     Решить квадратное уравнение x²-4x+5=0

2.     Найти действительные числа х и у из условия равенства двух комплексных чисел: 2xi+3yi+17=3x+2y+18i.

3.     Выполнить действия: а)   ;   б)  (1-i)⁴;   в) i¹⁷+i*(1-i)

Вариант 5

1.     Составить квадратное уравнение по его корням: x₁=3-i;x₂=3+i

2.     Найти действительные числа х и у из условия равенства двух чисел:  4x+5y-9+7(3x-y)i=10x+14yi

3.     Выполнить действия:  а)   ;   б)  (;   в)   i⁸(1-i⁹).

Вариант 6

1.     Решить квадратное уравнение x²-10x+41=0

2.     Найти действительные числа х и у из условия равенства двух комплексных чисел: 3+4ix+5yi=12i+5x-2y.

3.     Выполнить действия:  а)   ;   б)  (;   в)  i(1-i23).

Вариант 7

1.     Составить квадратное уравнение по его корням: x₁=;   x₂=

2.     Найти действительные числа х и у из условия равенства двух комплексных чисел:  (2+i)x-(1-i)y=1+3i.

3.     Выполнить действия:   а)   ;   б)  (;    в)   .

Вариант 8

1.     Составить квадратное уравнение по его корням x₁=;  x₂=

2.     Найти действительные числа х и у из условия равенства двух комплексных чисел: (1+i)x+(2+i)y=3i+1.

3.     Выполнить действия:  а)   ;   б)  )⁶;   в)  .

Раздел 2. Степенная, логарифмическая и показательная функции

Тема 2.1. Степенная функция

Практическая работа №4

Действия со степенями

Цель: формирование умений выполнять действия со степенями.

Вариант 1

1.    Сравните степени: 5^-900 и 3^-1200.

2.    Запишите выражение

в виде степени с целым показателем.

3. Запишите выражение 2²⁸*7²⁸ в виде квадрата степени с целым показателем.

4. Запишите выражение 14⁴⁸*5⁴⁸:81¹² в виде куба степени с целым показателем.

5. Восстановите пропущенный показатель степени в равенстве

6. Запишите выражение 6^-5*6⁰*6⁵*6¹⁰*…*6⁸⁰ в виде степени с целым показателем.

7. Вычислите

3^-1+

8. Докажите, что 13²+13³+13⁴ делится на 183.

Вариант 2

      1. Сравните степени: 6^-2800 и 2^-6300.

2. Запишите выражение

в виде степени с целым показателем.

3. Запишите выражение 7³⁰*3³⁰ в виде квадрата степени с целым показателем.

4. Запишите выражение 14⁶⁰*4⁶⁰:50 625¹⁵ в виде куба степени с целым показателем.

5. Восстановите пропущенный показатель степени в равенстве

6. Запишите выражение 5^-2*5⁰*5²*5⁴*…*5³² в виде степени с целым показателем.

7. Вычислите

3^-1+

8. Докажите, что 10⁴+10⁵+10⁶ делится на 111.

Вариант 3

1.    Сравните степени: 3^-4200 и 5^-2400.

2.    Запишите выражение

в виде степени с целым показателем.

3. Запишите выражение 5³⁰*2³⁰ в виде квадрата степени с целым показателем.

4. Запишите выражение 4⁶⁰*11⁶⁰:81¹⁵ в виде куба степени с целым показателем.

5. Восстановите пропущенный показатель степени в равенстве

6. Запишите выражение 4^-4*4⁰*4⁴*4⁸*…*4⁴⁸ в виде степени с целым показателем.

7. Вычислите

24^-1+

8. Докажите, что 16⁸+16⁹+16¹⁰ делится на 273.

Вариант 4

1.    Сравните степени: 3^-1200 и 7^-600.

2.    Запишите выражение

в виде степени с целым показателем.

3. Запишите выражение 7³⁴*3³⁴ в виде квадрата степени с целым показателем.

4. Запишите выражение 11⁷⁵*9⁷⁵:32 768¹⁵ в виде куба степени с целым показателем.

5. Восстановите пропущенный показатель степени в равенстве

6. Запишите выражение 5^-5*5⁰*5⁵*5¹⁰*…*5⁶⁰ в виде степени с целым показателем.

7. Вычислите

24^-1+

8. Докажите, что 13⁶+13⁷+13⁸ делится на 183.

Практическая работа №5

 Свойства и графики степенной функции

Цель: приобретение умений вычислять значения функции по заданному значению аргумента при различных способах задания функции; определять свойства степенных функций и иллюстрировать их на графиках.

Вариант 1

1.     Изобразить схематически график функции. Найти область определения и множество значений функции:

1)	3)	5)
2)	4)	6)

2.     На одном рисунке построить графики данной функции и функции, обратной к данной:

а)

б)

в)

3.     Решить уравнение:

1)	5)	9)
2)	6)	10)
3)	7)	11)
4)	8)	12)

4.     Выяснить с помощью графика, сколько корней имеет уравнение:

а)

б)

в)

5.     Решить уравнение:

а)

б)

в)

Вариант 2

1.     Изобразить схематически график функции. Найти область определения и множество значений функции:

1)	3)	5)
2)	4)	6)

2.     На одном рисунке построить графики данной функции и функции, обратной к данной:

а)

б)

в)

3.     Решить уравнение:

1)	5)	9)
2)	6)	10)
3)	7)	11)
4)	8)	12)

4.     Выяснить с помощью графика, сколько корней имеет уравнение:

а)

б)

в)

5.     Решить уравнение:

а)

б)

в)

Тема 2.2. Логарифмическая функция

Практическая работа №6

Преобразование логарифмических выражений

Цель: приобретение навыков находить значения логарифма, выполнять преобразования логарифмических выражений.

Задание для выполнения практической работы №6

Вариант 1

1.     Вычислить:   а) 10^{3 lg 2-1}  ;   б) log₁₆0.5;   в) .

2.     Прологарифмировать выражение x=a³ b⁴.

3.     Найти х, если lg x=lg3+lg5-lg2.

Вариант 2

1.     Вычислить:   а);   б);   в) 10^{2-3 lg 5} .

2.     Прологарифмировать выражение x=.

3.     Найти x, если lg x=21 lg 3 + 3 lg 2.

Вариант 3

1.     Вычислить :   а)5^{-6 log2} ;   б);   в) .

2.     Прологарифмировать выражение .

3.     Найти х, если lg x = lg 7 – lg 3 + lg 2.

Вариант 4

1.     Вычислить:   а) ;   б) ;   в) .

2.     Прологарифмировать выражение .

3.     Найти х, если .

Вариант 5

1.     Вычислить:   а);   б) log₄8⁷;   в) .

2.     Прологарифмировать выражение .

3.     Найти х, если lg x = 5 lg2 –lg2.

Вариант 6

1.     Вычислить:   а) 10^3-2lg5;   б)  ;   в) (.

2.     Прологарифмировать выражение: .

3.     Найти х, если lgx=2-lg5.

Вариант 7

1.     Вычислить:   а) 4^log₂^{3+2 log} _1/16⁴ ;  в)   в) .

2.     Прологарифмировать выражение: .

3.     Найти х, если lgx=3lga+2lgb-1.

Вариант 8

1.     Вычислить:   а) 25^log₅^3-log₂₅²⁷;   б)

2.     Прологарифмировать выражение:  

3.     Найти х, если lgx=2-4lga+lgb.

Практическая работа №7

Логарифмические уравнения и неравенства

Цель: приобретение умений решать логарифмические уравнения и неравенства.

Первый уровень сложности

Вариант 1

А1.   Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения:
	1)	2)	3)		4) .
А2.   Найдите произведение корней уравнения
	1) 2	2) 25	3) 50		4) - 2.
А3.   Решите неравенство
	1)	2)	3)		4) .
А4.   Решите неравенство:
	1)	2)		3)	4)

В1.   Решите уравнение: .

В2.   Решите уравнение: . В ответе укажите наименьший из корней данного уравнения.

В3.   Найдите наибольшее целое значение х , удовлетворяющее неравенству .

С1.   Решите уравнение: .

Первый уровень сложности

Вариант 2

А1.   Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения:
	1)	2)	3)		4) .
А2.   Найдите произведение корней уравнения
	1) 3	2) -1	3) -1,5		4) - 3.
А3.   Решите неравенство
	1)	2)	3)		4) .
А4.   Решите неравенство:
	1)	2)		3)	4)

В1.   Решите уравнение: .

В2.   Решите уравнение: . В ответе укажите наибольший из корней данного уравнения.

В3.   Найдите наименьшее целое значение х , удовлетворяющее неравенству .

С1.   Решите уравнение: .

Второй уровень сложности

Вариант 1

А1.   Укажите промежуток, которому принадлежат все корни уравнения:
	1)	2)	3)		4) .
А2.   Найдите сумму всех корней уравнения
	1) 0	2) 22	3) 29		4) 58.
А3.   Решите неравенство
	1)	2)	3)		4) .
А4.   Решите неравенство:
	1)	2)		3)	4) решений нет

В1.   Решите уравнение: .

В2.   Решите уравнение: . В ответе укажите наибольший из корней данного уравнения.

В3.   Найдите наименьшее целое значение х, удовлетворяющее неравенству .

С1.   Решите неравенство: .

Второй уровень сложности

Вариант 2

А1.   Укажите промежуток, которому принадлежат все корни уравнения:
	1)	2)	3)		4) .
А2.   Найдите сумму всех корней уравнения
	1) 26	2) 2	3) 0		4) -2.
А3.   Решите неравенство
	1)	2)	3)		4) .
А4.   Решите неравенство:
	1)	2)		3)	4)

В1.   Решите уравнение: .

В2.   Решите уравнение: . В ответе укажите наименьший из корней данного уравнения.

В3.   Найдите наибольшее целое значение х, удовлетворяющее неравенству .

С1.   Решите неравенство: .

Тема 2.3. Показательная функция

Практическая работа №8

Показательные уравнения и неравенства

Цель: приобретение умений решать показательные уравнения и неравенства.

Первая часть задания для выполнения практической работы№8

Вариант №1

Решите уравнение 1-4

Карточка №2

Решите уравнение 1-4

Карточка №3

Решите уравнение 1-4

Карточка №4

Решите уравнение 1-4

Карточка №5

Решите уравнение 1-4

Карточка №6

Решите уравнение 1-4

Карточка №7

Решите уравнение 1-4

                                                 Карточка №8

Решите уравнение 1-4

Карточка №9

Решите уравнение 1-4

Карточка №10

Решите уравнение 1-4

Вторая часть задания для выполнения практической работы №8

Карточка №1

Решить неравенство 1-3.                                                        

1.

2.

3.

Карточка №2

Решить неравенство 1-3.

1.

2.

3.

Карточка №3

Решить неравенство 1-3.

1.

2.

3.

Карточка №4

Решить неравенство 1-3.

1.  

2.

3.

Карточка №5

Решить неравенство 1-3.

1.

2.

3.

Карточка №6

Решить неравенство 1-3.

1.

2.

3.

Карточка №7

Решить неравенство 1-3.

1.  

2.

3.

Карточка №8

Решить неравенство 1-3.

1. 

2.

3.

Карточка №9

Решить неравенство 1-3.

1.

2.

3.

Карточка №10

Решить неравенство 1-3.

1.

2.

3.

Практическая работа №9

Свойства и графики показательных функций

Цель: приобретение умений вычислять значения функции по заданному значению аргумента при различных способах задания функции; определять свойства показательных функций и иллюстрировать их на графиках.

Вариант I

1.   Какое из чисел  -2,  0, 1  является корнем уравнения ?

Построить график функции и указать её множество значений:

2.

3.

4.    Решить графически уравнение .

Решить уравнение:

5.	9.	13.
6.	10.	14.
7.	11.	15.
8.	12.	16.

Схема перевода суммарного общего балла в 5-балльную шкалу оценок

Количество набранных баллов	Оценка
1 – 25	«2»
26 – 39	«3»
40 – 59	«4»
60 – 72	«5»

Вариант II

1.   Какое из чисел  3,  0, -1  является корнем уравнения ?

Построить график функции и указать её множество значений:

2.

3.

4.    Решить графически уравнение .

Решить уравнение:

5.	9.	13.
6.	10.	14.
7.	11.	15.
8.	12.	16.

Схема перевода суммарного общего балла в 5-балльную шкалу оценок

Количество набранных баллов	Оценка
1 – 25	«2»
26 – 39	«3»
40 – 59	«4»
60 – 72	«5»

Раздел 3. Основы тригонометрии

Тема 3.1. Основные формулы тригонометрии

Устный опрос

1.     Что называется единичной окружностью?

2.     Каковы соотношения между градусом, минутой и секундой?

3.     Градусные и радианные измерения углов.

4.     Выражение длины дуги окружности и площади сектора через радиус и радианную меру центрального угла.

5.     Определение тригонометрической функции.

6.     Функции острого угла и прямоугольный треугольник.

7.     Формулы приведения.

8.      Основные тригонометрические тождества.

9.      Упростите выражение

10. Тригонометрические функции суммы и разности (теоремы сложения).

11.  Тригонометрические функции половинного аргумента.

12.  Вычислите sin 15º; cos 15º cos 45º-sin 15º cos 45º.

13.  Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение.

14.  Преобразование произведений тригонометрических функций в сумму и разность.

Проверочная работа

Вариант 1.

1.     Вычислить значения  если

2.     Определить знак выражения

3.     Упростить выражения:

          

Вариант 2.

1. Вычислить значения ,  и , если =
2. Определить знак выражения
3. Упростить выражения:

Вариант 3.

1.     Вычислить значения  если

2.     Определить знак выражения

3.     Упростить выражения:

            

Вариант 4.

1.     Вычислить значения  если

2.     Определить знак выражения

3.     Упростить выражения:

            

Вариант 5.

1. Вычислить значения  если

2. Определить знак выражения

3. Упростить выражения:

            

Вариант 6.

1.     Вычислить значения , если

2.     Определить знак выражения

3.     Упростить выражения:

          

Вариант 7.

1.     Вычислить значения,  если

2.     Определить знак выражения

3.     Разложить на множители

4.     Доказать тождество

          

Вариант 8.

1.     Вычислить значения , если

2.     Определить знак выражения

3.     Упростить выражение:

            

4.     Доказать тождество

Практическая работа №10.

Основные формулы тригонометрии

Цель: приобретение умений выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами тригонометрических функций.

 Часть 1. Формулы сложения.

Вариант 1.

1.     Вычислить

2.     Упростить выражение

3.     Доказать тождество

Вариант 2.

1.     Вычислить

2.     Упростить выражение

3.     Доказать тождество

Вариант 3.

1.     Вычислить

2.     Упростить выражение

3.     Доказать тождество

Вариант 4.

1.     Вычислить

2.     Упростить выражение

3.     Доказать тождество

Вариант 5.

1.     Вычислить

2.     Упростить выражение

3.     Доказать тождество

Вариант 6.

1.     Вычислить

2.     Упростить выражение

3.     Доказать тождество

Вариант 7.

1.     Вычислить

2.     Упростить выражение

3.     Доказать тождество

Вариант 8.

1.     Вычислить

2.     Упростить выражение

3.     Доказать тождество

Часть 2.Формулы приведения

Вариант 1.

1.     Упростить выражение

2.     Вычислить

3.     Доказать тождество

Вариант 2.

1.     Упростить выражение

2.     Вычислить

3.     Доказать тождество

Вариант 3.

1.     Упростить выражение

2.     Вычислить

3.     Доказать тождество

Вариант 4.

1.     Упростить выражение

2.     Вычислить

3.     Доказать тождество

Вариант 5.

1.     Упростить выражение

2.     Вычислить

3.     Доказать тождество

Вариант 6

1.     Упростить выражение:

.

2.     Вычислить:

3.     Доказать тождество:

(

Вариант 7

1.     Упростить выражение:

2.     Вычислить:

3.     Доказать тождество:

Вариант 8

1.     Упростить выражение:

и вычислить его значение при  и

2.     Вычислить:

3.     Доказать тождество:

Часть 3. Тригонометрические функции удвоенного и половинного аргумента

Вариант 1

1.     Доказать тождества:

а) ;

б)  .

     2. Вычислить:

         а) 

         б) 

Вариант 2

1.     Доказать тождества:

а) ;

б)  .

     2. Вычислить:

         а) 

         б) 

Вариант 3

1.     Доказать тождества:

а)

б) 

     2. Вычислить:

         а)

          б) .

Вариант 4

1.     Доказать тождества:

а)

б)

2.     Вычислить:

а)

б)

Вариант 5

1.     Доказать тождества:

а)

б)

2.     Вычислить:

а)

б) .

Вариант 6

1.     Доказать тождества:

а)

б)

2.     Вычислить:

а)

б)

Вариант  7

1.     Доказать тождества:

а)

б)

2.     Вычислить:

а)

б)

Вариант 8

1.     Доказать тождества:

а)

б)

2.     Вычислить:

а)

б) .

Практическая работа №11

Преобразование тригонометрических выражений

Цель: приобретение умений выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами тригонометрических функций.

Часть 1. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму и разность.

Вариант 1

1.     Преобразовать в произведение:

а)

2.     Преобразовать в сумму:

а)

3.     Доказать тождества:

а)

б)

Вариант 2

1.     Преобразовать в произведение:

а)

2.     Преобразовать в сумму:

а)

3.     Доказать тождества:

а)

б)

Вариант 3

1.     Преобразовать в произведение:

а)

2.     Преобразовать в сумму:

а)

3.     Доказать тождества:

а)

б)

Вариант 4

1.     Преобразовать в произведение:

а)

2.     Преобразовать в сумму:

а)

3.     Доказать тождества:

а)

б)

Вариант 5

1.     Преобразовать в произведение:

а)

2.     Преобразовать в сумму:

а)

3.     Доказать тождества:

а) ;

б)

Вариант 6

1.     Преобразовать в произведение:

а)

2.     Преобразовать в сумму:

а)

3.     Доказать тождества:

а)

б)

Вариант 7

1.     Преобразовать в произведение:

а)

2.     Преобразовать в сумму:

а)

     3. Доказать тождества:

         а)

          б)

Вариант 8

1.     Преобразовать в произведение:

а)

2.     Преобразовать в сумму:

а)

3.     Доказать тождества:

а)

б)

Часть2. Формулы приведения. Четность и нечетность, периодичность тригонометрических функций

Вариант  1

1. Упростить выражение sin(a-)*cos(p-a)+sin(a-p)*sin(p+a).

2. Вычислить 4cos()*ctg ()*sin.

3. Доказать тождество

sin(a-p)+tg(a-p)+cos  (+a)=tga

  Вариант 2

1. Упростить выражение .

2. Вычислить 2cos()*ctg *sin).

3. Доказать тождество

.

Вариант 3

1. Упростить выражение .

2. Вычислить  ()+ctg ).

3. Доказать тождество

tg(5p-a)*tg

.

Вариант 4

1. Упростить выражение .

2. Вычислить  ()+ ).

3. Доказать тождество

Вариант 5

1. Упростить выражение .

2. Вычислить  ()+).

3. Доказать тождество

Вариант 6

1. Упростить выражение

2. Вычислить  () - 2cos )+ ()

3. Доказать тождество

+=2

Вариант 7                                            

1. Упростить выражение .

2. Вычислить  () -   ()  ()  

3. Доказать тождество

+=2cosa

Вариант 8

1. Упростить выражение  ()*ctg(a-p) и вычислить его значение при cosa=   и p<a<

2. Вычислить  () -   ()  ()  

3. Доказать тождество

=2

Тема 3.2. Свойства и графики тригонометрических функций

Практическая работа №12

Свойства и графики тригонометрических функций

Цель: приобретение умений определять основные свойства тригонометрических функций  и иллюстрировать их на графиках.

1 Вариант

Найдите область определения и область значения данной функции.

Постройте её график.

1) y=2+sinx

Найдите наибольшее значение функции y=cosx на промежутке.

2)[;]

2 Вариант

Найдите область определения и область значения данной функции.

Постройте её график.

1) y=cosx-1

Найдите наименьшее значение функции y=cosx на промежутке.

2) [-;]

3 Вариант

Найдите область определения и область значения данной функции.

Постройте её график.

1) y=2sinx

Найдите наименьшее значение функции y=sinx на отрезке.

2) [0;]

4 Вариант

Найдите область определения и область значения данной функции.

Постройте её график.

1) y=0,5tgx

Найдите наименьшее значение функции y=sinx на отрезке.

2) [;]

5 Вариант

Найдите область определения и область значения данной функции.

Постройте её график.

1) y=1+tgx

Найдите наибольшее значение функции y=sinx на отрезке.

2) [;]

6 Вариант

Найдите область определения и область значения данной функции.

Постройте её график.

1) y=3+sinx

Найдите наименьшее значение функции.

2) y=sin(-x)-cos(+x)

7 Вариант

Найдите область определения и область значения данной функции.

Постройте её график.

1) y=-cosx

Найдите наибольшее значение функции.

2) y=sin(-x)+cos(+x)

8 Вариант

Найдите область определения и область значения данной функции.

Постройте её график.

1) y=-1,5sinx

Сколько целых чисел входит в множество значений функции.

2) y=sincosx+cossinx

9 Вариант

Найдите область определения и область значения данной функции.

Постройте её график.

1) y=1+2sinx

Сколько натуральных чисел входит в множество значений функции

2) y=coscosx-sinsinx

10 Вариант

Найдите область определения и область значения данной функции.

Постройте её график.

1) y=0,5cosx-1

Найдите наименьшее значение функции

2) y=5-cosx

Тема 3.3. Обратные тригонометрические функции

Практическая работа №13

Обратные тригонометрические функции

Цель: приобретение умений вычислять значения обратных тригонометрических функций по заданному значению аргумента.

Вариант 1.

Вычислить:

1. arcsin0+arccos0+arctg0

2. sin(-arcsin)

3. cos(arcsin)

4. ctg(arccos1+2arctg(-))

Вариант 2.

Вычислить:

1. arctg1+arctg(-1)

2. cos(+arccos)

3. sin (arccos)

4. arcsin(-)+arccos(-)+arctg0

Вариант 3.

Вычислить:

1. arctg(-)+arcsin

2. sin(+arccos)

3. cos(arcsin(-))

4. sin(arcsin(-)+arctg)

Вариант 4.

Вычислить:

1. arcsin1-arcsin(-1)

2. cos(+arccos(-))

3. cos(arcsin(-))

4. cos(2arcsin-arctg)

Вариант 5.

Вычислить:

1. arccos+arccos(-)

2. tg(+arcctg1)

3. sin(arccos(-))

4. cos(2arcctg1-arcsin1+arctg0)

Вариант 6.

Вычислить:

1. arcsin-arcsin(-)

2. tg(-arctg(-1))

3. cos(arcsin(-))

4. sin(arccos(-)+arcsin1)

Вариант 7.

Вычислить:

1. cos(arcsin)

2. arctg-arccos(-0,5)+arcctg1

3. 2(arctg-arcsin(-))

4. Что больше, arcsinили arcsin?

Вариант 8.

Вычислить:

1. tg(arcctg(-))

2. 2(arcctg+arccos)

3. arcctg1-arctg(-)-arcsin(-)

4. Что больше, arctg 1,5 или arctg4?

Тема 3.4. Тригонометрические уравнения и неравенства

Практическая работа №14.

Тригонометрические уравнения и неравенства

Цель: приобретение умений решать тригонометрические уравнения и неравенства

«Решение тригонометрических уравнений и неравенств» Вариант 1 1*.Решите уравнения: а) cos x =  ;     б) sin  =  ;     в) tg = -1. 2.Решите уравнение, применив формулы приведения:  tg  = . 3*. Решите тригонометрическое неравенство: cos x <  . 4.Решите уравнение, упростив его левую часть: sin x·cos 2x + cos x·sin 2x = 0 . 5.Решите уравнение, сделав подстановку: 2cos2x – cos x – 1 = 0. 6. Решите уравнение методом разложения на множители:     sin 8x + sin 6x = 0. 7. Решите уравнение, используя однородность: 7sin2x – 8sin x·cos x + cos2x = 0.

«Решение тригонометрических уравнений и неравенств» Вариант 2 1*.Решите уравнения: а) sin x =  ;     б) tg  =  ;     в) ctg = 1. 2.Решите уравнение, применив формулы приведения:  sin = . 3*. Решите тригонометрическое неравенство: sin x <  . 4.Решите уравнение, упростив его левую часть: cos 6x·cos 2x + sin 6x·sin 2x = 1 . 5.Решите уравнение, сделав подстановку: tg2x – 3tg x + 2 = 0. 6. Решите уравнение методом разложения на множители:     cos 7x + cos 3x = 0. 7. Решите уравнение, используя однородность: cos2x – 7sin x·cos x + 6sin2x = 0.

«Решение тригонометрических уравнений и неравенств» Вариант 3 1*.Решите уравнения: а) tg x =  ;     б) ctg  =  ;    в) cos =. 2.Решите уравнение, применив формулы приведения:  cos  = . 3*. Решите тригонометрическое неравенство: cos x >  . 4.Решите уравнение, упростив его левую часть: sin 8x·cos 2x - cos 8x·sin 2x = 0 . 5.Решите уравнение, сделав подстановку: -2sin2x – sin x + 1 = 0. 6. Решите уравнение методом разложения на множители:     sin 10x - sin 4x = 0. 7. Решите уравнение, используя однородность: cos2x – 5sin x·cos x + 4sin2x = 0.

«Решение тригонометрических уравнений и неравенств» Вариант 4 1*.Решите уравнения: а) ctg x = 0 ;     б) cos  =  ;     в) sin = . 2.Решите уравнение, применив формулы приведения: ctg  = 1. 3*. Решите тригонометрическое неравенство: sin x >  . 4.Решите уравнение, упростив его левую часть: cos 3x·cos 2x - sin 3x·sin 2x = 0 . 5.Решите уравнение, сделав подстановку: ctg2x – 5ctg x + 4 = 0. 6. Решите уравнение методом разложения на множители:     cos 5x - cos x = 0. 7. Решите уравнение, используя однородность: cos2x  + 3sin2x + 2sin x·cos x  = 0.

«Решение тригонометрических уравнений и неравенств» Вариант 5 1*.Решите уравнения: а) cos x =  ;     б) sin  =  ;     в) tg = -. 2.Решите уравнение, применив формулы приведения:  ctg  = . 3*. Решите тригонометрическое неравенство: cos x   . 4.Решите уравнение, упростив его левую часть: sin 4x·cos 2x + cos 4x·sin 2x = 0 . 5.Решите уравнение, сделав подстановку: 2sin2x – sin x – 1 = 0. 6. Решите уравнение методом разложения на множители:     sin 7x + sin 5x = 0. 7. Решите уравнение, используя однородность: 7sin2x – 8sin x·cos x + cos2x = 0.

«Решение тригонометрических уравнений и неравенств» Вариант 6 1*.Решите уравнения: а) sin x =  ;     б) tg  = 0 ;     в) ctg = . 2.Решите уравнение, применив формулы приведения:  cos = . 3*. Решите тригонометрическое неравенство: sin x   . 4.Решите уравнение, упростив его левую часть: cos 4x·cos x + sin 4x·sin x = 1 . 5.Решите уравнение, сделав подстановку: ctg2x – 3ctg x + 2 = 0. 6. Решите уравнение методом разложения на множители:     cos 9x + cos 3x = 0. 7. Решите уравнение, используя однородность: cos2x – 7sin x·cos x + 6sin2x = 0.

«Решение тригонометрических уравнений и неравенств» Вариант 7 1*.Решите уравнения: а) tg x =  ;     б) ctg  =  ;    в) cos =0. 2.Решите уравнение, применив формулы приведения:  sin  = . 3*. Решите тригонометрическое неравенство: cos x   . 4.Решите уравнение, упростив его левую часть: sin 3x·cos x - cos 3x·sin x = 0 . 5.Решите уравнение, сделав подстановку: -2cos2x – cos x + 1 = 0. 6. Решите уравнение методом разложения на множители:     sin 12x - sin 8x = 0. 7. Решите уравнение, используя однородность: cos2x – 5sin x·cos x + 4sin2x = 0.

«Решение тригонометрических уравнений и неравенств» Вариант 8 1*.Решите уравнения: а) ctg x = -1 ;    б) cos  =  ;     в) sin = . 2.Решите уравнение, применив формулы приведения: tg  =. 3*. Решите тригонометрическое неравенство: sin x   . 4.Решите уравнение, упростив его левую часть: cos x·cos 2x - sin x·sin 2x = 0 . 5.Решите уравнение, сделав подстановку: tg2x – 5tg x + 4 = 0. 6. Решите уравнение методом разложения на множители:     cos 6x - cos 2x = 0. 7. Решите уравнение, используя однородность: cos2x  + 3sin2x + 2sin x·cos x  = 0.

«Решение тригонометрических уравнений и неравенств» Вариант 9 1*.Решите уравнения: а) cos x =  ;     б) sin  =  ;     в) tg = -1. 2.Решите уравнение, применив формулы приведения:  tg  = . 3*. Решите тригонометрическое неравенство: cos x <  . 4.Решите уравнение, упростив его левую часть: sin 7x·cos 2x + cos 7x·sin 2x = 0 . 5.Решите уравнение, сделав подстановку: -2cos2x + cos x + 1 = 0. 6. Решите уравнение методом разложения на множители:     sin 8x + sin 6x = 0. 7. Решите уравнение, используя однородность: 7sin2x – 8sin x·cos x + cos2x = 0.

«Решение тригонометрических уравнений и неравенств» Вариант 10 1*.Решите уравнения: а) sin x =  ;     б) tg  =  ;     в) ctg = 1. 2.Решите уравнение, применив формулы приведения:  sin = . 3*. Решите тригонометрическое неравенство: sin x <  . 4.Решите уравнение, упростив его левую часть: cos 10x·cos 2x + sin 10x·sin 2x = 1 . 5.Решите уравнение, сделав подстановку: -tg2x + 3tg x - 2 = 0. 6. Решите уравнение методом разложения на множители:     cos 5x + cos 3x = 0. 7. Решите уравнение, используя однородность: cos2x – 7sin x·cos x + 6sin2x = 0.

«Решение тригонометрических уравнений и неравенств» Вариант 11 1*.Решите уравнения: а) tg x =  ;  б) ctg  =  ;   в) cos =. 2.Решите уравнение, применив формулы приведения:  cos  = . 3*. Решите тригонометрическое неравенство: cos x >  . 4.Решите уравнение, упростив его левую часть: sin 3x·cos x - cos 3x·sin x = 0 . 5.Решите уравнение, сделав подстановку: 2sin2x + sin x - 1 = 0. 6. Решите уравнение методом разложения на множители:     sin 9x - sin 5x = 0. 7. Решите уравнение, используя однородность: cos2x – 5sin x·cos x + 4sin2x = 0.

«Решение тригонометрических уравнений и неравенств» Вариант 12 1*.Решите уравнения: а) ctg x = 1 ;    б) cos  =  ;     в) sin = . 2.Решите уравнение, применив формулы приведения: ctg  = . 3*. Решите тригонометрическое неравенство: sin x >  . 4.Решите уравнение, упростив его левую часть: cos 5x·cos 2x - sin 5x·sin 2x = 0 . 5.Решите уравнение, сделав подстановку: -ctg2x + 5ctg x - 4 = 0. 6. Решите уравнение методом разложения на множители:     cos 5x - cos 3x = 0. 7. Решите уравнение, используя однородность: cos2x  + 3sin2x + 2sin x·cos x  = 0.

Контрольная работа

Тема: Тригонометрические функции

Вариант I

1.              Найти область определения функции:

1)	2)
3)	4)

2.              Найти множество значений функции:

1)	2)
3)	4)

3.           Найти наименьший положительный период функции:

1)

2)

4.           Решить графически уравнение. Найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку :

1)	2)
3)	4)

5.           Решить уравнение:   

6.           Решить графически неравенство:

1)

2)

Вариант II

1.           Найти облВасть определения функции

1)	2)
3)	4)

2.           Найти множество значений функции

1)	2)
3)	4)

3.           Найти наименьший положительный период функции:

1)

2)

4.           Решить графически уравнение. Найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку :

1)	2)
3)	4)

5.           Решить уравнение:   

6.           Решить графически неравенство:

1)

2)

Раздел 4.

 Дифференциальное исчисление

Тема 4.1. Производная функции одной действительной переменной

Устный опрос

1.         Как найти мгновенную скорость прямолинейного неравномерного движения?

2.         Как вычислить угловой коэффициент касательной к кривой в данной точке?

3.         Что характеризует скорость изменения функции относительно изменения аргумента? дайте определение производной.

4.         Какая функция называется дифференцируемой в точке и на отрезке? Сформулируйте зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

5.         Из каких операций складывается общее правило нахождения производной данной функции? Как вычислить частное значение производной?

6.         Выпишите в таблицу основные правила и формулы дифференцирования функций.

7.         Повторите определение сложной функции. Как найти ее производную?

Практическая работа №15

Техника дифференцирования

Цель: приобретение умений находить производные элементарных функций

Вариант 1 1.Найдите производную функций:  1) f(x)=9x8; 2) f(x)= x-9 ;         3) f(x)=8· ;      4) f(x)=-18; 5) f(x)= -54 ;    6) f(x)=x14 – x12 + 3x9 + x3 – 9x2 +5x; 7) f(x)=2tg x + cos x– sin x;    8) f(x)=ctg x + x5- ; 9) f(x)=sin x +  - 4x;     10) f(x)=x10· (7x + 15); 11) f(x)=(13x  - 8)(8 + 7x);    12) f(x)=(cos x –x)· 6x; 13) f(x)= ;  14) f(x)= ; 15) f(x)= ; 16) f(x)=(8x + 6)7;     17) f(x)= ; 18) f(x)= ;            19)f(x)= sin5x;  20) f(x)=cos    21) f(x)=10x2 -  . 2. Дана функция f(x)=-3x4 + 2x2 + 13. Hайдите f´(-4), f´.	Вариант 2 1. Найдите производную функций:  1) f(x)=-8x7; 2) f(x)= x-10 ;         3) f(x)=7· ;          4) f(x)=17; 5) f(x)= 427 ;    6) f(x)=x13 – 2x11 + 5x8 + x2 – x +  ; 7) f(x)=ctg x + 2cos x + sin x;   8) f(x)=tg x + x6 -  ; 9) f(x)=cos x -  - 5x;    10) f(x)=x9· (6x + 14); 11) f(x)=(3x  - 18)(5 + 7x);    12) f(x)=( x – tgx)· 2x; 13) f(x)= ;  14) f(x)= ; 15)f(x)= ; 16) f(x)=(9x + 5)8;      17) f(x)= ; 18)f(x)= ;              19) f(x)=cos 6x; 20)f(x)=tg;  21) f(x)=(x11 – 2x + 3)6 + 8x2 . 2. Дана функция f(x)= 4x4 - 3x2 + 14.  Hайдите f´(5), f´.
Вариант 3 1. Найдите производную функций:  1) f(x)=7x6; 2) f(x)= x-11 ;         3) f(x)=6· ;          4) f(x)=16; 5) f(x)=  ;    6) f(x)=3x12 – x10 + 4x7 + x5 – x2 + x; 7) f(x)=ctg x + 2tg x - sin x;   8) f(x)=cos x + x7 – 0,5; 9) f(x)=tg x +  - 6x;    10) f(x)=x8· (6 + 4x); 11) f(x)=(5x  - 8)(5 + 9x);    12) f(x)=( x – ctgx)· 3x; 13) f(x)= ;  14) f(x)= ; 15)f(x)= ; 16) f(x)=(10 - 9x)9;      17) f(x)= ; 18)f(x)= ;              19) f(x)=tg 7x; 20)f(x)=ctg;  21) f(x)= - 9x3. 2. Дана функция f(x)= -5x4 + 4x2 + 15.  Hайдите f´(4), f´.	Вариант 4 1. Найдите производную функций:  1) f(x)=6x5; 2) f(x)= x-12 ;         3) f(x)=-5· ;          4) f(x)=15; 5) f(x)= ;  6) f(x)=x11 – 2x9 + 4x6 + x4 – 5x2 + x; 7) f(x)=-3tg x + ctg x - cos x;  8) f(x)=sin x + x8 – ; 9) f(x)=ctg x +  + 7x;    10) f(x)=x7· (5 - 4x); 11) f(x)=(3x  - 18)(1 + 5x);    12) f(x)=( sin x +x)· 5x; 13) f(x)= ;  14) f(x)= ; 15)f(x)= ; 16) f(x)=(2 + 10x)10;      17) f(x)= ; 18)f(x)= ;              19) f(x)=ctg 8x; 20)f(x)=sin;  21) f(x)=3cos x - . 2. Дана функция f(x)= 6x4 - 3x2 + 16.  Hайдите f´(-5), f´.
Вариант 5 1.Найдите производную функций:  1) f(x)=5x4; 2) f(x)= x-14 ;         3) f(x)=4· ;      4) f(x)=-14; 5) f(x)= 0,7 ;    6) f(x)=x10 – x8 + 4x5 + 9x2 – 5x + ; 7) f(x)=tg x + 7cos x– sin x;    8) f(x)=ctg x + x9- ; 9) f(x)=sin x +  - 8x;     10) f(x)=x11· (9x + 5); 11) f(x)=(6x  - 18)(2 + 5x);    12) f(x)=(cos x –x)· 7x; 13) f(x)= ;  14) f(x)= ; 15) f(x)= ; 16) f(x)=(8x - 6)11;     17) f(x)= ; 18) f(x)= ;            19)f(x)= sin9x;  20) f(x)=cos    21) f(x)=6x2 – cos7x . 2. Дана функция f(x)=-7x4 + 2x2 - 15. Hайдите f´(-3), f´.	Вариант 6 1. Найдите производную функций:  1) f(x)=-4x3; 2) f(x)= x-16 ;         3) f(x)=3· ;          4) f(x)=13; 5) f(x)= π ;    6) f(x)=7x9 – 2x7 + x4 + x2 – x + 15 ; 7) f(x)=ctg x + cos x + 3sin x;  8) f(x)=tg x + x10 -  ; 9) f(x)=cos x -  - 5x;    10) f(x)=x12· (6x + 14); 11) f(x)=(4x  - 8)(5 - 7x);    12) f(x)=( x – tgx)· 8x; 13) f(x)= ;  14) f(x)= ; 15)f(x)= ; 16) f(x)=(9x + 5)12;      17) f(x)= ; 18)f(x)= ;              19) f(x)=cos 10x; 20)f(x)=tg;  21) f(x)= +  . 2. Дана функция f(x)= 10x4 - 3x2 - 14.  Hайдите f´(2), f´.
Вариант 7 1.Найдите производную функций:  1) f(x)=3x8; 2) f(x)= x-9 ;         3) f(x)=2· ;      4) f(x)=12; 5) f(x)= -3 ;    6) f(x)=2x14 – x12 + 7x9 + x3 – x2 +4x; 7) f(x)=3tg x + cos x– sin x;    8) f(x)=ctg x + x11- ; 9) f(x)=sin x +  - 4x;     10) f(x)= (7x - 15)· x10; 11) f(x)=(3x  - 8)(9 + 7x);    12) f(x)= 9x ·(cos x +x); 13) f(x)= ;  14) f(x)= ; 15) f(x)= ; 16) f(x)=(4x + 6)13;     17) f(x)= ; 18) f(x)= ;            19)f(x)= sin11x;  20) f(x)=cos    21) f(x)=sin x  -  . 2. Дана функция f(x)=-3x4 + x2 + 13. Hайдите f´(3), f´.	Вариант 8 1. Найдите производную функций:  1) f(x)=2x7; 2) f(x)= x-10 ;         3) f(x)=-8· ;          4) f(x)=11; 5) f(x)= 141 ;  6) f(x)=x13– 3x11 + x8 + 8x2 – x +  ; 7) f(x)=ctg x - 3cos x + sin x;  8) f(x)=tg x + x12 -  ; 9) f(x)=cos x -  - 2x;    10) f(x)= (5x + 14)· x9; 11) f(x)=(4x  - 18)(5x + 7);    12) f(x)= 10x ·( x – tgx); 13) f(x)= ;  14)f(x)= ; 15)f(x)= ; 16) f(x)=(6x + 5)14;      17) f(x)= ; 18)f(x)= ;              19) f(x)=cos 12x; 20)f(x)=tg;  21) f(x)=(5 - x – 2x )-4 + x3 . 2. Дана функция f(x)= 4x4 - 6x2 + 14.  Hайдите f´(-2), f´.
Вариант 9 1. Найдите производную функций:  1) f(x)=9x6; 2) f(x)= x-11 ;         3) f(x)=7· ;          4) f(x)=-10; 5) f(x)=  ;    6) f(x)=x12 – 4x10 + x7 + 2x5 – x2 + x; 7) f(x)=ctg x + tg x - 3sin x;  8) f(x)=cos x + x13 – 4,5; 9) f(x)=tg x +  + 5x;    10) f(x)= (6x + 4) ·x8; 11) f(x)=(5x  - 7)(3 + 9x);    12) f(x)= -9x ·( x – ctgx); 13) f(x)= ;  14) f(x)= ; 15)f(x)= ; 16) f(x)=(3 + 9x)15;      17) f(x)= ; 18)f(x)= ;              19) f(x)=tg 13x; 20)f(x)=ctg;  21) f(x)= - cos2x. 2. Дана функция f(x)= -3x4 - 4x2 + 20.  Hайдите f´(-4), f´.	Вариант 10 1. Найдите производную функций:  1) f(x)=-8x5; 2) f(x)= x-12 ;         3) f(x)=6· ;          4) f(x)=9; 5) f(x)= ;  6) f(x)=4x11 – x9 + 3x6 + x4 – 6x2 + x; 7) f(x)=-tg x + ctg x - 2cos x;  8) f(x)=sin x + x14 – ; 9) f(x)=ctg x -  - 7x;    10) f(x)= (5 + 4x) · x7; 11) f(x)=(3x  - 18)(1 + 5x);    12) f(x)=- 5x ·( sin x +x); 13) f(x)= ;  14) f(x)= ; 15)f(x)= ; 16) f(x)=(2 - 10x)16;   17) f(x)= ; 18)f(x)= ;              19) f(x)=ctg 14x; 20)f(x)=sin;  21) f(x)= 4sin x - . 2. Дана функция f(x)= 9x4 - 3x2 + 216.  Hайдите f´(5), f´.
Вариант 11 1.Найдите производную функций:  1) f(x)=7x4; 2) f(x)= x-14 ;         3) f(x)=5· ;      4) f(x)=8; 5) f(x)= -3,7 ;   6) f(x)=5x10 – x8 + x5 + 4x2 – 3x + ; 7) f(x)=tg x + cos x– 0,2sin x; 8)f(x)=ctg x + x15- ; 9) f(x)=sin x +  - 2x;     10) f(x)= (-3x + 5) ·x11; 11) f(x)=(2x  - 5)(2 + 7x);    12) f(x)= -7x ·(cos x –x); 13) f(x)= ;  14) f(x)= ; 15) f(x)= ; 16) f(x)=(5x - 6)17;     17) f(x)= ; 18) f(x)= ;            19)f(x)= sin15x;  20) f(x)=cos    21) f(x)=5 – tg9x . 2. Дана функция f(x)=-x4 + 5x2 - 15. Hайдите f´(4), f´.	Вариант 12 1. Найдите производную функций:  1) f(x)=6x3; 2) f(x)= x-16 ;         3) f(x)=-4· ;          4) f(x)=7; 5) f(x)= -π ;    6) f(x)=x9 – 9x7 + 2x4 + 3x2 – x + 15 ; 7) f(x)=-5ctg x + cos x + sin x;  8)f(x)=tg x + x16 - ; 9) f(x)=cos x -  + 5x;    10) f(x)= (5x + 14) ·x12; 11) f(x)=(3x  - 8)(5 - 6x);    12) f(x)=  - 8x · ( x + tgx); 13) f(x)= ;  14) f(x)= ; 15)f(x)= ; 16) f(x)=(-3x + 5)18;      17) f(x)= ; 18)f(x)= ;              19) f(x)=cos 16x; 20)f(x)=tg;  21) f(x)= + x5·cos x . 2. Дана функция f(x)= x4 - 3x2 - 1.  Hайдите f´(-5), f´.

Тема 4.2. Приложения производной функции одной действительной переменной

Устный опрос

1.         Каков геометрический смысл производной? Как геометрически определить значение производной в точке?

2.         В чем заключается механический смысл производной?

3.         Что называется производной второго порядка и каков ее механический смысл?

4.         Что называется дифференциалом функции, чему он равен, как обозначается и каков его геометрический смысл?

5.         Повторите определение возрастающей и убывающей функций. Каковы знаки производной функции в интервалах ее возрастания и убывания?

6.         В чем заключается необходимый и достаточный признаки существования экстремума функции с помощью первой производной?

7.         Как отыскивают экстремумы функций с помощью второй производной? Почему в точке максимума вторая производная отрицательна, а в точке минимума – положительна?

8.         В чем разница между нахождением максимума и минимума функции и нахождении ее наибольшего и наименьшего значения?

9.         Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данной отрезке? Найдите эти значения для функции y=x³-3x²+1 на отрезке [-1;4].

10.       Как определяются геометрически и по знаку второй производной выпуклость и вогнутость кривой?

11.       Что называется точкой перегиба и каковы необходимый и достаточный признаки ее существования? Сформулируйте правило нахождения точки перегиба.

12.       Асимптоты графика функции.

13.       Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции?

Практическая работа №16

Производная и ее применение

Цель: приобретение умений применять производную для решения задач  прикладного характера.

Вариант 1 «Производная и её применение»

1. Найдите производную функции: .
2. Найдите производную функции: .
3. Материальная точка движется по закону  (м).

В какой момент времени скорость точки  будет равна 12,8 м/с?

4. Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции  в точке с абсциссой .
5. На рисунке изображен график функции  и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной в точке .
6. Найдите промежутки возрастания и убывания функции у =  -х⁴ + 8х² -16.
7. Найдите наименьшее значение функции

f(x) =x³ – 3x² – 9x + 31 на отрезке [-1; 4].

Вариант 2. «Производная и её применение»

1. Найдите производную функции: .
2. Найдите производную функции: .
3. Материальная точка движется по закону  (м). Чему равна скорость в момент времени 4с?
4. Укажите абсциссу точки графика функции   , в которой угловой коэффициент  касательной, проведённой к этому графику, равен -2.
5. На рисунке изображен график функции  и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной в точке .
6. Найдите промежутки возрастания и убывания функции у = х⁴ – 2х² +2.
7. Найдите наибольшее значение функции  

f(x) = -x³ +12x – 14 на отрезке [-2; 3].

Вариант 3. «Производная и её применение»

1. Найдите производную функции: .
2. Найдите производную функции: .
3. Материальная точка движется по закону  (м). В какой момент времени скорость точки  будет равна 13,5 м/с?
4. Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции  в точке с абсциссой .
5. На рисунке изображен график функции  и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной в точке .
6. Найдите промежутки возрастания и убывания функции у = х⁴ – 2х² .
7. Найдите наименьшее значение функции

f(x) = 2x³ + 3x² – 36 на отрезке [-4; 3].

Вариант 4. «Производная и её применение»

1. Найдите производную функции: .
2. Найдите производную функции: .
3. Материальная точка движется по закону  (м). Чему равна скорость в момент времени с?
4. Укажите абсциссу точки графика функции   , в которой угловой коэффициент  касательной, проведённой к этому графику, равен - 4.
5. На рисунке изображен график функции  и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной в точке .
6. Найдите промежутки возрастания и убывания функции у = -х³ + 3х +2.
7. Найдите наибольшее значение функции  

f(x) = x⁴ - 2x² +3 на отрезке [-4; 3].

Вариант 5. «Производная и её применение»

1. Найдите производную функции: .
2. Найдите производную функции: .
3. Материальная точка движется по закону  (м). Чему равно ускорение в момент времени с?
4. Укажите абсциссу точки графика функции   , в которой угловой коэффициент  касательной, проведённой к этому графику, равен -2.
5. На рисунке изображен график функции  и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной в точке .
6. Найдите промежутки возрастания и убывания функции у = х³ – 3х² +4.
7. Найдите наименьшее значение функции

f(x) =x⁴ – 8x²  + 5 на отрезке [-3; 2].

Контрольная работа

«Применение производной»

ВАРИАНТ 1

1.                 С помощью производной найдите промежутки возрастания и убывания функции: f(x) = 2x³ – 3x² – 36x + 40.

2.                 Исследуйте функцию и постройте её график: f(x) = -0,5x² + 2x + 6.

3.      Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x⁴ – 8x² + 5  на промежутке [-3;2].

4.                 Число 48 представьте в виде суммы трёх положительных слагаемых таким образом, чтобы два из них были равны между собой, а произведение всех слагаемых было наибольшим.

ВАРИАНТ 2

1.С помощью производной найдите промежутки возрастания и убывания функции: f(x) = x⁴ – 8x² + 3.

2.                 Исследуйте функцию и постройте её график: f(x) =-x² - 2x + 8.

3.                 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 2x³ + 3x² – 36x на отрезке [-2;1].

4.                 Разложите число 100 на два таких положительных множителя, чтобы их сумма была наименьшей.

ВАРИАНТ 3

1.           С помощью производной найдите промежутки возрастания и убывания функции: f(x) = 2x³ – 15x² + 36x.

2.     Исследуйте функцию и постройте её график: f(x) = -x² + 3x + 4.

3.     Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x⁴ – 2x² + 3  на промежутке [-4;3].

4.                 Из имеющегося материала можно изготовить наличник для окошка периметром 160 см. Найдите размер такого окошка, площадь которого при этом будет наибольшей.

ВАРИАНТ 4

1.     С помощью производной найдите промежутки возрастания и убывания функции: f(x) = -x⁴ + 8x² – 16x.

2.Исследуйте функцию и постройте её график: f(x) = 0,5x² – 2x – 6.

3.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x³ – 6x² + 9  на промежутке [-2;2].

4.Число 48 представьте в виде суммы трёх положительных слагаемых таким образом, чтобы два из них были равны между собой, а произведение всех слагаемых было наибольшим.

ВАРИАНТ 5

1.С помощью производной найдите промежутки возрастания и убывания функции: f(x) = -x³ + 4x² – 4х.

2.Исследуйте функцию и постройте её график: f(x) =2x² + x - 3.

3.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x⁴ - 8x² + 5 на отрезке [-3;2].

4.Разложите число 100 на два таких положительных множителя, чтобы их сумма была наименьшей.

ВАРИАНТ 6

1.           С помощью производной найдите промежутки возрастания и убывания функции: f(x) = x⁴ - 2x² + 4.

2.     Исследуйте функцию и постройте её график: f(x) = x² + 5x + 8.

3.     Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = -2x³ + 3x² + 12x + 5 на промежутке [-2;1].

4.                 Из имеющегося материала можно изготовить наличник для окошка периметром 160 см. Найдите размер такого окошка, площадь которого при этом будет наибольшей.

Раздел 5. Интегральное исчисление

Теме 5.1. Неопределенный интеграл и его свойства

Устный опрос

1.         Что является основной задачей интегрального исчисления?

2.         Какая функция называется первообразной для заданной функции?

3.         Если F(x) – первообразная для f(x), то каким равенством связаны они между собой?

4.         Какая из двух функций 5x⁴ или x⁵+4 является первообразной для другой?

5.         Первообразная определяется неоднозначно. Как это нужно понимать?

6.         Почему при интегрировании функции появляется произвольная постоянная?

7.         Почему одна функция имеет целую совокупность первообразных?

8.         Как записать всю совокупность первообразных функций?

9.         Что называется неопределенным интегралом?

10.       Чем отличается неопределенный интеграл от первообразной функции?

11.       Почему интеграл называется неопределенным?

12.       Как называются все элементы равенства?

13.       Чем отличаются друг от друга подынтегральная функция и подынтегральное выражение?

14.       Что означает  постоянная C в определении неопределенного интеграла?

15.       Чему равны  производная и дифференциал неопределенного интеграла?

16.       В чем заключается правило интегрирования выражения, содержащего постоянный множитель?

17.       В чем заключается правило интегрирования алгебраической суммы функции?

18.       Чему равен интеграл от дифференциала некоторой функции?

19.       Напишите основные формулы интегрирования?

20.       Как доказать справедливость каждой формулы интегрирования?

21.       Почему  для интеграла ? В какой формуле рассматривается этот случай?

22.       Как проверить результат интегрирования?

23.       Какие из следующих равенств записаны верно, а какие нет: а)  б) в) ?

24.       В чем состоит геометрический смысл неопределенного интеграла?

25.       Что такое интегральные кривые? Как они расположены друг относительно друга? Могут ли они пересекаться?

26.       Как расположены касательные к интегральным кривым в точках, имеющих одну и ту же абсциссу?

27.       Как из семейства интегральных кривых выделить одну из них?

28.       Как определить постоянную интегрирования по начальным данным?

29.       Скорость прямолинейно движущейся точки меняется по закону . Найдите закон движения.

Практическая работа №17

Техника интегрирования

Цель: формирование умений и навыков нахождения неопределенных интегралов, используя различные методы интегрирования.

Задания для выполнения практической работы

1.     Найти интегралы , используя метод непосредственного интегрирования и метод подстановки.

  

  

2.

  

  

3.

  

  

4.

  

  

5.

  

  

6.

 

  

7.

  

  

8.

  

  

9.

  

  

10.

     

     

11.

     

     

12.

     

     

13.

    

     

14.

     

     

15

     

     

16.

     

    

17.

     

     

18.) dx

    

    

19.

    

    

20.

    

    

21.

    

    

22.

    

    

23.

    

    

24.

    

    

25.

    

    

Тема 5.2. Определенный интеграл и его свойства

Устный опрос

1.         Что такое определенный интеграл?

2.         Что в записи  означают: а) a и b; б) x; в) f(x); г) f(x)dx? Может ли быть a=b; a>b?

3.         Зависит ли приращение F(b)-F(a) от выбора первообразной?

4.         Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.

5.         В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

6.         Может ли площадь криволинейной трапеции быть равна отрицательной величине, нулю и почему?

7.         Приведите примеры физических и технических задач, которые можно решить с помощью определенного интеграла.

Практическая работа №18

 Вычисление определенных интегралов.

Цель: приобретение умений применять формулу Ньютона-Лейбница при вычислении определенных интегралов при непосредственном интегрировании и методе замены переменной.

Задание для выполнения практической работы №18.

Вычислить определенные интегралы

1.      а)                        б)   .

2.      а)                            б)   .

3.      а)                     б)   .

4.      а)   

5.     

6.     

7.     

8.     

9.     

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23.         

24. 

25. 

Тема 5.3. Приложения определенного интеграла Самостоятельная работа

 Вычислить определенные интегралы помощью формулы Ньютона – Лейбница и построить фигуры, площади которых им соответствуют

1.       а) ;                            б) ;

2.       а) ;                           б) ;

3.       а) ;                         б) ;

4.       а) ;                           б) ;

5.       а) ;                            б) ;

6.       а) ;                          б) ;

7.       а) ;                            б) ;

8.       а) ;                         б) ;

9.       а) ;                         б) ;

10.       а) ;                       б)

Ответы

1.  a) 40;           б) 4

2.  а) 72;           б) 12

2.     а) 54;          б) 7

3.     а) 104;        б) 10

4.     а) 56;          б) 5π

5.     а) 96;          б) 8

6.     а) 64;          б) 3π

7.     а) 78;          б) 5

8.     а) 78;          б) 12

9.     а) 102;        б) 4

Практическая работа №19

Применение определенного интеграла в геометрии

Цель: приобретение умений применять определенный интеграл при решении геометрических задач.

Задание для выполнения практической работы №19

Работа выполняется по индивидуальному варианту

Сделайте чертеж и вычислите площадь фигуры, ограниченной данными линиями:

1.       y=8x-x²-7 и осью Ох.

2.       у=х³-1, у=0, х=0.

3.       у=х²-3х-4 и осью Ох.

4.       у²=4х и х²=4у.

5.       у=5х-х²+6 и осью Ох.

6.       у=х³, у=х², х= -1, х=0.

7.       у=х²-6х+8 и осью Ох.

8.       у=х² и у=х+2.

9.       у=х²-4х-5 и осью Ох.

   10. у=6х-3х² и осью Ох.

   11. у=х²+2 и у=2х+2.

   12. y=6x-x² и осью Ox.

        13. xy=6 и прямой y=7-x.

        14. y²=4x, y=x.

        15. у=1/3х³, у=0, х= -1, х=2.

        16. у=х² и у =2х+8.

        17. у=sin x, y=0, x= -П/2, х=П.

        18. у²=16х, х²=2у.

        19. у= -х²+х, у=0.

Раздел 6. Аналитическая геометрия на плоскости

                     Тема 6.1. Векторы. Действия над векторами

Устный опрос

1.          Что называется вектором?

2.         Что называется длиной вектора?

3.         Какие векторы называются равными?

4.         Как сложить два вектора?

5.         Как найти разность двух векторов?

6.         Как умножить вектор на число?

7.         Какие векторы называются коллинеарными?

8.         Как разложить вектор в декартовой системе координат?

9.         Что называется базисом?

10.       Что называется координатами вектора?

11.       Как найти координаты вектора, заданного двумя точками?

12.       Как найти длину вектора, заданного двумя точками?

13.       Как вычисляется длина вектора, заданного своими координатами?

14.       Как выполняются сложение и вычитание векторов, заданных своими координатами?

15.       Как умножить вектор, заданный своими координатами, на число?

16.       Каким свойством обладают координаты коллинеарных векторов?

17.       Даны векторы:  . Какие из них коллинеарны?

18.       Запишите формулы деления отрезка в заданном отношении.

19.       Запишите формулы деления отрезка на две равные части.

20.       Что называется скалярным произведением?

21.       Как вычисляется скалярное произведение векторов, заданных своими координатами?

22.       Какими свойствами обладает скалярное произведение векторов?

23.       Чему равно скалярное произведение двух перпендикулярных векторов?

24.       Чему равно скалярное произведение двух  коллинеарных векторов?

Практическая работа №20

Действия над векторами в координатной форме

Цель: приобретение навыков выполнять действия над векторами в координатной форме на плоскости.

Задание для выполнения практической работы

      Вариант  1

1.     Вычислить скалярное произведение векторов     b , если

2.     Определить, при каких значениях m длины векторов  будут равны, если

 

3.     Даны точки A(-3;5) и В(2;-4). Выразить вектор

4.     Найти угол между векторами

Вариант 2

1.     Вычислить скалярное произведение векторов если даны координаты точек: А(1;3), В(2;0), С(3;-4).

2.     Найти длину вектора , если даны векторы

3.     Вектор  коллинеарен вектору  Найти абсциссу вектора , если его ордината y=15.

4.     Даны векторы  Найти вектор

Вариант 3

1.     Определить, при каких значениях m  векторы и  ,будут взаимно перпендикулярны.

2.     На векторах  построен параллелограмм. Определить длины его диагоналей.

3.     На плоскости даны точки А(3;2) и В(5;0). Построить вектор и выразить его через орты

4.     Определить угол между векторами .

Вариант 4

1.     Вычислить работу на участке , которую производит сила

2.     Вектор  коллинеарен вектору  Вычислить ординату вектора , если его абсцисса равна  -18.

3.     Определить значение m, при котором векторы  будут взаимно перпендикулярны, если дано: 

4.     В Треугольнике АВС вершины имеют координаты А(1;1), В(2;3), С(3;2). Определить острый угол между медианой [BD] и стороной [BC].

Вариант 5

1.     Вычислить скалярное произведение векторов , если

2.     Дан вершины параллелограмма ABCD: А(0;0), В(2;3), С(-3;4). Определить координаты вершины D.

3.     Определить угол между векторами

4.     Даны три вектора :  Определить координаты вектора

Вариант 6

1.     Вычислить скалярное произведение векторов , если известно расположение векторов .

2.     Проверить, являются ли точки А(-4;-4), В(-3;4), С(4;5), D(10;-2) вершинами трапеции.

3.     Вершинами треугольника АВС являются точки А(1;1), В(0;3),С(-1;-1). Определить координаты векторов  .

4.     Определить угол между векторами

Вариант 7

1.     Даны точки: А(1;4), В(5;5), С(6;2), D(2;1). Доказать, что четырехугольник ABCD – параллелограмм. Вычислить длины векторов

2.     Определить угол А треугольника АВС, если известны координаты вершин: А(1;3), В(4;6), С(3;1).

3.     Длина гипотенузы прямоугольного треугольника АВС равна с.

Вычислить сумму

4.     Даны векторы , угол между векторами равен 90. Вычислить длину вектора

Вариант 8

1.     Векторы  образуют с осью абсциссой соответственно углы 30 и 60. Определить проекцию на ось абсцисс вектора

2.     ABCDEF – правильный шестиугольник с центром в точке О и длиной стороны a. Вычислить скалярное произведение: а)

3.     Какой угол образует вектор  с осью абсцисс?

4.     В квадрате ABCD найти сумму векторов

Тема 6.2. Прямая линия на плоскости

Устный опрос

      1.         Что называется уравнением линии?

      2.         Лежат ли точки A(-3;9), B(2;1), C(7;2) на линии, заданной уравнением x²-y=?

      3.         Каким уравнением описывается прямая на плоскости?

      4.         Запишите уравнения осей координат.

      5.         Запишите уравнения прямых, параллельных осям координат.

      6.         Какой координатной оси параллельна прямая, заданная уравнением x+5=0? Начертите эту прямую.

      7.         Какой координатной оси параллельна прямая, заданная уравнением 2y-8=0? Начертите эту прямую.

      8.         Сформулируйте условие параллельности прямых.

      9.         Сформулируйте условие перпендикулярных прямых.

    10.       Как найти угол между прямыми?

Практическая работа №21

Уравнения прямой линии на плоскости

 Цель: приобретение умений решать задачи на применение различных уравнений прямой линии на плоскости

Задание для выполнения практической работы №21

1-10. Даны вершины A(X₁;Y₁), B(X₂;Y₂), C(X₃;Y₃) треугольника ABC. Требуется
найти:
   а) уравнение стороны AC
   б) уравнение высоты, проведенной из вершины B
   в) длину высоты, проведенной из вершины A
   г) величина ( в радианах) угла B
   д) уравнение биссектрисы угла B

1. A(5;3), B(-11;-9), C(-4;15).
2. A(-7;2), B(5;-3), C(8;1).
3. A(1;-15), B(6;-3), C(2;0).
4. A(-8;3), B(4;-2), C(7;2).
5. A(6;3), B(-10;-9), C(-3;15).
6. A(-9;6), B(3;1), C(6;5).
7. A(20;5), B(-4;12), C(-8;9).
8. A(-3;-7), B(2;5), C(-2;8).
9. A(10;1), B(-6;13), C(1;6).
10. A(0;-9), B(5;3), C(1;-11).

Раздел 7. Основы стереометрии

Тема 7.1. Прямые и плоскости в пространстве

Практическая работа №22

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве

Цель: приобретение умений решать задачи на взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.

Вариант 1.

№1.В тетраэдре DABC точки А₁, В₁ и С₁– середины рёбер DA, DB и DC соответственно.

а) докажите, что АВС ~ А₁В₁С₁;
б) найдите площадь А₁В₁С₁, если площадь АВС равна 44 см².

№2 Концы двух пересекающихся отрезков АС и ВД лежат на двух параллельных плоскостях, причём расстояния между точками одной плоскости равны.

а) докажите, что АВ || СД.
б) один из углов четырёхугольника АВСД равен 65°. Найдите остальные углы.

№3. Вершины В и С треугольника АВС лежат в плоскости , а вершина А не лежит в этой плоскости. Прямая а параллельна прямой АС и пересекает сторону АВ в точке М так, что АМ:МВ=3:4.

а) докажите, что прямая а пересекает плоскость .
б) найдите сторону АС, если длина отрезка прямой а от точки М до плоскости  равна 7 см.

№4. Треугольник АВС и квадрат AEFC не лежат в одной плоскости. Точки К и М – середины отрезков АВ и ВС соответственно.

а) докажите, что КМ || EF.
б) найдите КМ, если АЕ=8 см.

Вариант 2.

№1. Отрезок АВ не пересекается с плоскостью . Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость  в точках А₁, В₁ и М₁ соответственно.

а) докажите, что точки А₁, В₁ и М₁ лежат на одной прямой.
б) найдите АА₁, если ВВ₁=12см, ММ₁=8см.

№2. Даны треугольник АОВ и параллелограмм АВСД, не лежащие в одной плоскости.

а) определите взаимное расположение прямых АО и СД (с доказательством)
б) найдите угол между прямыми АО и СД, если угол ОАВ=130°.

№3 На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты соответственно точки Р и Т, РТ=4см., АР:РВ=1:3. Плоскость проходит через точки Р и Т и параллельна отрезку ВС.

а) доказать, что отрезки РТ и ВС параллельны.
б) найдите отрезок ВС.

№4. В параллелепипеде АВСДА₁В₁С₁Д₁ диагонали равны. Найдите угол между диагональю АС₁ и диагональю боковой грани АВ₁, если АД+СВ=АС₁.

Практическая работа №23

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Цель: приобретение умений решать задачи на взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.

Вариант  1.

1.А и В- точки, расположенные по одну сторону плоскости α; AC и ВD-  перпендикулярны на эту плоскость; AC=19см; BD=10см, СD=12 см. Вычислить расстояние между точками А и B.

2. В равнобедренном треугольнике ABC основание ВС равно 12 см, боковая сторона 10 см. Из вершины А проведен отрезок АD=15 см, перпендикулярный плоскости треугольника АВС. Найти расстояние от точки D до стороны BC.

Вариант 2.

1.     А и В- точки, расположенные по одну сторону плоскости α; AC  BD- перпендикулярны на эту плоскость; АВ=20 см, АС=27 см, ВD=15 см. Вычислить расстояние между точками C и D.

2.     Отрезок длиной 10 см пересекает плоскость; концы его находятся на расстоянии 3 и 2 см от плоскости. Найти угол между данным отрезком и плоскостью.

Вариант 3 .

1.  Катеты прямоугольного треугольника АВС равны 15 и 20 см. Из вершины прямого угла С проведен отрезок CD, перпендикулярный плоскости этого треугольника; CD = 16 см. Найти расстояние от точки D до гипотенузы АВ.

2.  Из точки отстоящей от плоскости на 10 см, проведены две наклонные, составляющие с плоскостью углы 30 и 45°, угол между их проекциями на эту плоскость равен 30°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

Вариант 4.

1.    Из данной точки проведены к плоскости две наклонные, каждая из которых равна 2 см; угол между ними равен 60°, а угол между их проекциями прямой. Найти расстояние от данной точки до плоскости.

2.    Наклонная АВ, принадлежащая с плоскости α угол 45°, а прямая АС, принадлежащая плоскости α, составляет угол 45° с проекцией наклонной АВ. Найти угол ВАС.

Вариант 5.

1.     Точка А удалена от каждой вершины прямоугольного треугольника на 10 см. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12 см. Найти расстояние от точки А до плоскости треугольника.

2.     Из точки к данной плоскости проведены две наклонные длиной 8 см каждая; эти наклонные образуют с данной плоскостью углы 30°. Вычислить расстояние между концами наклонных, если угол между проекциями наклонных на эту плоскость равен 120°.

Вариант 6.

1.     Из вершины А прямоугольника АВCD к его плоскости проведен перпендикуляр АМ. Вычислить длину этого перпендикуляра, если МВ=15 см, МС=24 см, МD=20

2.     Через гипотенузу прямоугольного треугольника проведена плоскость под углом 30° к плоскости треугольника. Вычислить расстояние от вершины прямого угла треугольника до плоскости, если катеты треугольника равны 3 и 4 см.

Вариант 7.

1.     Через вершину квадрата проведена наклонная к его плоскости, составляющая угол α с каждой сторон квадрата, проходящих через эту вершину. Найти угол между этой наклонной и диагональю квадрата.

2.     Из точки к плоскости проведены две наклонные, образующие с этой плоскостью углы, сумма которых равна 90°. Доказать, что проекции наклонных на данную плоскость относятся между собой, как квадраты длин наклонных.

Вариант 8.

1.    Стороны треугольника равны 25, 29 и 36 см. Из вершины большего угла этого треугольника проведен перпендикуляр к его плоскости, равный 21 см. Вычислить расстояние от его концов до большей стороны.

2.    Один из катетов равнобедренного прямоугольного треугольника лежит на данной плоскости, а другой образует с этой плоскостью угол 45°. Вычислить угол между гипотенузой этого треугольника и данной плоскостью.

Контрольная работа

Параллельность и перпендикулярность в пространстве

I.            Теоритические вопросы

II.            Задача

III.            Вопросы и задания, требующие краткого обоснованного ответа

При выполнении любого задания наличие чертежа или рисунка обязательно

Вариант №1

I.1. Дайте определение скрещивающихся прямых. Расскажите, как найти расстояние между скрещивающимися прямыми.

2. Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах.

3. Сформулируйте теорему о линиях пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью.

4. Дайте определение прямой, параллельной плоскости.

II. В основании наклонного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁   лежит квадрат. Боковая грань DCC₁D₁ является прямоугольником и наклонена к плоскости основания под углом 45^о. Найдите угол наклона бокового ребра параллелепипеда к плоскости основания.

III. 1. Верно ли, что если две прямые в пространстве перпендикулярны к третьей прямой, то эти прямые параллельны? Обоснуйте свой ответ.

2. Могут ли две плоскости, каждая из которых перпендикулярна к третьей плоскости, быть параллельными плоскостями? Ответ обоснуйте.

3. Две стороны параллелограмма параллельны плоскости a. Параллельны ли плоскость  параллелограмма и плоскость a? Ответ обоснуйте.

4. В тетради ABCD все ребра равны между собой. Укажите: а) отрезок, длина которого равна расстоянию от точки B до плоскости ACD; б) отрезок длина которого равна расстоянию между прямыми AC и BD. Ответ обоснуйте.

Вариант 2

I. 1. Дайте определение прямой, перпендикулярной плоскости. Сформулируйте и докажите признак перпендикулярности прямой и плоскости.

2. Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей.

3. Сформулируйте теорему об углах с сонаправленными сторонами.

4. Дайте определение параллельных прямых.

II. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ дано: AD=10, AA₁=3, M- точка пересечения диагоналей верхнего основания A₁B₁C₁D₁ .  Найдите угол между плоскостями MAB и MDC.

III. 1. Верно ли, что если две прямые не имеют общих точек, то они параллельны? Ответ обоснуйте.

2. Боковые стороны трапеции параллельны некоторой плоскости a. Параллельны ли плоскость a и плоскость трапеции? ответ обоснуйте

3. Можно ли через точку пространства провести три плоскости, каждые две из которых взаимно перпендикулярны? Приведите пример.

4. В тетраэдре ABCD укажите: а) отрезок, длина которого равна расстоянию между прямыми AD и BC; б) угол между прямой DC и плоскостью ABC.

Вариант №6

I.1.Дайте определение параллельных прямых в пространстве. Сформулируйте и докажите теорему об отрезках параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями.

2.Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

3.Сфорумулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

4.Дайте определение угла между прямой и плоскостью.

II.Плоскости равнобедренных прямоугольных треугольников АВС и DBC с прямым углом С взаимно перпендикулярны. Определите: а)угол между прямой АС и плоскостью BCD;б)прямой BD и плоскостью ABC.

III.1.Даны две пересекающиеся плоскости. Существуют ли плоскость, пересекающая их по параллельным прямым? Если «Да» , то приведите пример.
      2. Из двух  различных точек, не лежащих в плоскости, проведены две равные наклонные к этой плоскости. Можно ли утверждать, что их проекции равны? Ответ обоснуйте.
      3. Сколько плоскостей, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через данную прямую? Ответ обоснуйте.
      4. В тетраэдре АВСD все ребра равны. Укажите: а) отрезок, длина которого равна расстоянию от точки А до плоскости ВСD; б) отрезок, длина которого равна расстоянию между прямыми АD и ВС. Ответ обоснуйте.

                                                     Вариант №7
I. 1. Дайте определение прямой, перпендикулярной плоскости. Сформулируйте и докажите теорему о двух прямых перпендикулярных одной плоскости

2. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.
3. Сформулируйте аксиомы стереометрии.
4. Дайте определение угла между плоскостями.
II. Полуплоскости а и в образуют двугранный угол величиной 60⁰.  В полуплоскости а расположены точки А и М, а в полуплоскости В – точка В, причем АВ ↑ b, BM ↑ a. Найдите АМ, если расстояние от точки А до ребра двугранного угла равно 8 см.

III.1. Даны две параллельные прямые. Можно ли утверждать, что все прямые, пересекающие каждую из параллельных прямых, лежат в плоскости данных прямых? Ответ обоснуйте.

2.Даны две скрещивающиеся прямые d и n.На прямой d отмечены точки D и D_1, на прямой n отмечены точки N и N₁. Как будут расположены прямые ND и N₁D₁?Ответ обоснуйте.

3.Плоскости а и b параллельны, в плоскости а лежит прямая а, а в плоскости b лежит прямая b. Каковы возможные случаи взаимного расположения прямых а и b?Ответ обоснуйте.

.В наклонном параллелепипеде АBCDA₁B₁C₁D₁ укажите: а)отрезок, длина которого равно расстоянию меду прямыми A₁D₁ и BC; б) какой либо линейный угол двугранного угла BA₁D₁D.

Вариант № 8
I.1. Дайте определение перпендикулярных плоскостей. Сформулируйте и докажите признак перпендикулярности плоскостей.

2. Сформулируйте теорему о транзитивности параллельности прямых.

3. Сформулируйте следствие из аксиом стереометрии.

4. Дайте определение прямой, параллельной плоскости.

  II. На одной грани двугранного угла с ребром АВ отмечена точка К такая, что расстояние от точки К до АВ равно 2а, а расстояние от К до другой грани угла равно а . На другой грани двугранного угла  отмечена точка М такая, что расстояние от нее до грани, содержащей точку К, равно m. Найдите расстояние от точки М до ребра АВ.
III. 1. Прямые а и с параллельны , прямые а и б пересекаются. Могут ли прямые б и с быть параллельными? Ответ обоснуйте.
2. Одна из двух параллельных прямых параллельна не которой плоскости. Верно ли утверждение, что и другая прямая параллельна этой плоскости? Ответ обоснуйте.
3. Диагональ ромба лежит в плоскости альфа. Каково взаимное расположение плоскости ромба и плоскости альфа? Верно ли, что стороны ромба образуют с плоскостью альфа равные углы? Ответ обоснуйте.
4. В треугольной пирамиде ABCD все ребра равны. Укажите: а) Какой либо линейный угол двугранного угла САBD; б) Отрезок, длина которого равна расстоянию между прямыми АD и СВ.

Вариант №9

I.1.Дайте определение угла между прямыми в пространстве. Сформулируйте и докажите теорему о трёх перпендикулярах.

2.Сформулируйте теорему о линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью.

3.Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

4.Дайте определения двугранного угла.

II.В кубе ABCDA₁ D₁C₁D₁ определите взаимное расположение прямых: а)A₁D и DC₁;б) A₁D и B₁C; в)B₁C и DC₁.Найдите угол между этими прямыми. Ответ обоснуйте.

III.1.Две прямые одной плоскости параллельны соответственно двум прямым другой плоскости. Можно ли утверждать, что плоскости параллельны? Ответ обоснуйте.

2.Прямые а и b параллельны. Какое положение может занимать прямая a относительно плоскости, проходящей через прямую b? Ответ обоснуйте.

3.Плоскости двух равнобедренных треугольников с общим основанием образуют двугранный угол. Можно ли утверждать, что высоты, проведенные к общему основанию треугольников, образуют линейный угол двугранного угла? Ответ обоснуйте.

4.В треугольной пирамиде ABCD ребро AB перпендикулярно основанию DCB. Укажите: а)грани тетраэдра, перпендикулярные плоскости основания; б)отрезок, длина которого равна расстоянию между прямыми AB и CD.

                                                      Вариант №10 

I.                   1. Дайте определение параллельных плоскостей. Сформулируйте и докажите признак параллельности двух плоскостей.
2 Сформулируйте теорему об отрезках прямых, заключенных между параллельными плоскостями.
3. Расскажите , как найти угол между скрещивающимися прямым.

II.                Прямая АА₁- перпендикуляр к плоскости квадрата АВСD со стороной b. Найдите: а) Угол между прямой АС и плоскостью АВА₁; б) Угол между плоскостями АВС и СА₁D, если АА₁  = б.

III. 1. Верно ли, что если две прямые в пространстве перпендикулярны к третьей прямой, то эти прямые параллельны? Ответ обоснуйте
2. Верно ли утверждение о том, что прямая в пространстве, пересекающая одну из параллельных прямых, пересекает и вторую прямую? Ответ обоснуйте.
3. Даны плоскость и параллельная ей прямая. Можно ли утверждать, что другая плоскость, перпендикулярная данной плоскости, перпендикулярна и данной прямой? Ответ обоснуйте.
4. В наклонном параллелепипеде АВСDА₁В₁С₁D₁ ребро АА₁ образует равные углы с ребрами АВ и АD, а основание является ромбом. Укажите: а) Отрезок, длина которого равна расстоянию между плоскостями с оснований; б) Угол, равный углу между прямой DD₁ и плоскостью ВВ₁С₁С.

Тема 7.2. Понятие о геометрическом теле. Многогранники

Практическая работа №24

Площадь поверхности призмы и пирамиды.

Цель: приобретение умений решать стереометрические задачи на нахождение геометрических величин, используя планиметрические факты и методы; выполнять чертежи по условию задачи.

Вариант 1

1.Ребра прямоугольного параллелепипеда относятся как 3:7:8,

площадь поверхности равна 808 см². Определить длины ребер

параллелепипеда.

2. Основание пирамиды- правильный треугольник со стороной

 10 см; дно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 5 см.

Вычислить площадь боковой поверхности пирамиды.

Вариант 2

1. В прямой треугольной призме все ребра равны. Площадь боковой поверхности равна 12 м². Найти высоту призмы.

2. Ребра куба и правильный треугольной пирамиды равны между собой. Вычислить площадь полной поверхности куба, если площадь полной поверхности пирамиды равна100 см².

Вариант 3

1. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 7 и 17 см, его диагонали образуют с плоскостью основания углы 45 и 30^o . Вычислить высоту параллелепипеда.

2. Основания усеченной пирамиды 27 и 12 см², а высота 5 см. Вычислить высоту соответствующей ей полной пирамиды.

Вариант 4

1. Боковое ребро и апофема правильной треугольной пирамиды  соответственно равны 11 и 7 см. Вычислить площадь сечения, проходящего через боковое ребро, и высоту пирамиды.

2. Полная поверхность правильной шестиугольной призмы вдвое больше боковой. Вычислить отношение длины бокового ребра к длине ребра основания.

Вариант 5

1. В прямом параллелепипеде боковое ребро 10 см, стороны основания 23 и 11 см, а диагонали основания относятся как 2:3. Вычислить площади диагональных сечений.

2. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 12 и 6 см, а ее боковая поверхность вдвое меньше ее полной поверхности. Вычислить высоту пирамиды.

Вариант 6

1. Стороны оснований правильной шестиугольной усеченной пирамиды 12 и 8 см, а высота 2 см. Вычислить ее боковую поверхность.

2. Шестиугольная и треугольная правильные призмы имеют равные высоты и равные площади боковых  поверхностей;

Разность площадей их полных поверхностей равна 4  см. Вычислить стороны их оснований.

Вариант 7

1.     Основание прямой призмы- прямоугольный равнобедренный треугольник. Диагональ меньшей боковой грани призмы равна m и составляет с основанием угол альфа. Вычислить боковую поверхность призмы.

2.     Определить площадь боковой поверхности  правильной шестиугольной пирамиды, если сторона основания равна a, а боковая грань равновелика диагональному сечению, проведенному через диаметр основания.

Вариант 8

1.     В правильной треугольной призме площадь основания равна S, площадь сечения, проведенного через сторону основания и противоположную вершину второго основания, равна a. Вычислить боковую поверхность этой призмы.

2.     Основанием пирамиды служит правильный шестиугольник со стороной a;

Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно основания. Определить площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Практическая работа №25

Вычисление объемов многогранников

Цель: приобретение умений решать стереометрические задачи на нахождение геометрических величин, используя планиметрические факты и методы; выполнять чертежи по условию задачи.

Вариант 1.

1.     В правильном четырехугольной пирамиде высота 3 см, боковое ребро 5 см. Найти объем пирамиды.

2.     В прямом параллелепипеде стороны основания равны 7 и 4 см, угол между ними 60⁰. Определить объем параллелепипеда, если площадь его боковой поверхности равна 220 см².

Вариант 2.

1.     Основанием пирамиды являются ромб с диагоналями 12 и 16 см. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60⁰. Вычислить объем пирамиды.

2.     Измерения прямоугольного параллелепипеда 15, 50 и 36 м. Найти ребро равновеликого ему куба.

Вариант 3.

1.   В прямом параллелепипеде стороны основания равны 6 и 8 см, угол между ними 30⁰. Площадь полной поверхности равна 188 см². Определить объем параллелепипеда.

2.   В прямой треугольной призме стороны основания равны 6, 25 и 29 см, площадь полной ее поверхности равна 1560 см². Вычислить объем призмы.

Вариант 4.

1.   В прямом параллелепипеде стороны основания равны 6 и 8 см, угол между ними 30⁰, площадь боковой поверхности равна 280 см². Вычислить объем этого параллелепипеда.

2.   Основание пирамиды – прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 12 см, противолежащий ему острый угол 60⁰. Каждое боковое ребро равно 13 см. Найти объем пирамиды.

Вариант 5.

1.  В прямом параллелепипеде стороны основания 18 и 34 см, меньшая диагональ основания 20 см. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 60⁰. Вычислить объем этого параллелепипеда.

2.  В прямой треугольной призме стороны основания равны 25,29 и 36 дм. Площадь ее полной поверхности равна 1620 дм² Найти объем призмы.

Вариант 6.

1.Основание прямого параллелепипеда – параллелограмм, стороны которого 9 и 10 см, а одна из диагоналей 17 см. Площадь полной поверхности параллелепипеда равна 334 см². Определить его объем.

2.Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого равные стороны 39 см, а третья сторона 30 см. Двугранные углы при основании равны между собой и составляют 45⁰. Определить объем этой пирамиды.

Вариант 7.

1.     Боковое ребро правильной треугольной призмы равно высоте основания, а площадь сечения, проведенного через них, равна Q. Определить объем призмы.

2.     В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна 17 см. Площадь верхнего основания в четыре раза меньше площади нижнего основания, а площадь боковой поверхности равна 1632 см². Вычислить объем усеченной пирамиды.

Вариант 8.

1.     Основание призмы – правильный треугольник, вписанный в круг радиусом R; боковые грани ее – квадраты. Определить объем этой призмы.

2.     Боковые грани треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, площади их равны 6,4 и 3 м². Найти объем пирамиды.

Тест 1. Объем прямоугольно параллелепипеда

I Вариант

1. Выберите не верное утверждение.

а) За единицу измерения объемов принимается куб, ребро которого равно единице измерения отрезков;

б) тела, имеющие равные объемы, равны;

в) объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений;

г) объем куба равен кубу его ребра;

д) объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

2. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если его длина - 6см, ширина – 7 см, а диагональ – 11 см.

а) 252 см²;     б) 126 см²;         в) 164 см²;            г) 462 см²;        д) 294 см².

3. Основание прямоугольного параллелепипеда служит квадрат, диагональ которого равна 6. Через диагональ основания и противолежащую вершину верхнего основания проведена плоскость под углом 45◦ к нижнему основанию. Найдите объем параллелепипеда.

          а) 108;        б) 216;        в) 27           г) 54;          д) 81.

4. Площадь полной поверхности куба  равна 150 см². Найдите объем куба.

          а) 150 см³;     б) 25 см³;     в) 250 см³;        г) 105 см³;        д) 125 см³.

5. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 6 и 8. Через диагональ основания проведена плоскость, параллельная диагонали параллелепипеда. Проведенная плоскость составляет с плоскостью основания угол 45◦. Найдите объем параллелепипеда.

а) 460, 8;              б) 480;                  в) 240;                 г) 230,4;

д) определить нельзя.

6. Найдите площадь диагонального сечения куба, если его объем равен .

а) ;                 б) ;                 в) 4;            г) ;      д) 2.

7. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 2. Эта диагональ составляет  с боковой гранью, содержащей сторону, равную 1, угол 45◦. Найдите объем параллелепипеда.

а) ;        б) ;         в) ;        г) ;        д) 1.

8. Ребро куба рвано 3 см. Найдите сторону квадрата, равновеликого данному кубу.

а) 3 см;       б) см;    в) см;   г) 6 см.

9. Измерения прямоугольного параллелепипеда относятся как 1:2:3, а его объем равен 96 см³. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

а) 72 см²;       б) 144 см²;         в)  см²;        г) 288 см²;            д) .

10.Стороны основания прямоугольно параллелепипеда  равны 5 и 12 см, диагональ параллелепипеда  составляет с плоскостью основания угол 60◦. Найдите объем.

а)см³;    б)см³;      в)см³;         г)см³;     д) 780 с

II Вариант

1.     Выберите верное утверждение.

а) За единицу измерения объемов принимается квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков;

б) если тело составлено из нескольких тел, имеющих общие  внутренние точки, то его объем равен сумме объемов этих тел;

в) объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений на длину диагонали параллелепипеда;

г) равные тела имеют равные объемы;

д) наибольшей единицей измерения объемов  является 1 м³.

2. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, длина которого равна 2 см, ширина – 6 см, а диагональ – 7 см.

а) 36 см³;    б) 18 см³;    в) 84 см³;    г) 21 см³;    д) 72 см³.

3. Диагональ прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат, равна 12, она составляет угол 30◦ с плоскостью боковой грани. Найдите объем параллелепипеда.

а) ;    б) 216;        в);     г);     д).

4. Объем куба равен 27 см³. Найдите площадь полной поверхности куба.

а) 36 см²;    б) 9 см²;      в) 108 см²;  г) 27 см²;    д) 54 см².

5. Через диагональ основания и вершину В₁ прямоугольного параллелепипеда  ABCDA₁B₁C₁D₁ проведена плоскость, удаленная от вершины В на расстояние, равное 2,4. Найдите объем параллелепипеда, если АВ=6, BC=2,4.

а) 216;        б) ;    в) ;    г) ;

д) определить нельзя.

6. Найдите объем куба, если площадь его диагонального сечения равна 2.

а) ;        б) ;       в) 4;            г) ;       д) 2.

7. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 4. Эта диагональ составляет с боковой гранью, содержащей сторону, равную 2, угол 45◦. Найдите объем параллелепипеда.

а) ;       б) ;         в) ;       г) ;       д) 2.

8. Сторона квадрата равна 3 см. Найдите ребро куба, равновеликого данному квадрату.

а) 3 см;       б) определить нельзя;   в) см;     г) 9 см;       д) см.

9. Измерения прямоугольного параллелепипеда относятся как 1:2:3, площадь его боковой поверхности равна см². Найдите объем параллелепипеда.

а) 72 см³;    б) 48 см³;    в) см³;          г) 192 см³;  д) см³.

10. Боковое ребро и одна из сторон основания прямоугольного параллелепипеда равны соответственно см и 16 см, его диагональ составляет с плоскостью основания угол 30◦. Найдите объем параллелепипеда.

а) см³;   б) см³;   в) см³;   г) см³;    д)1280 см³.

Ответы:

1 вариант: б, а, г, д, б, в, б, д, д, г.

2 вариант: г, а, г, д, б, а, в, б, д, г.

Критерий оценки:

5-6 заданий – оценка 3

7 -8 заданий – оценка 4

9 – 10 заданий – оценка 5

Тест 2. Объем прямой призмы.

I Вариант

1. Сторона основания правильной треугольной призмы равна см, а высота – 5 см. Найдите объем призмы.

         а) см³;           б) 45 см³;    в) см³;           г) см³;     д) см³

2. Выберите неверное утверждение.

         а) Объем прямой призмы, основание которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту;

         б) Объем правильной треугольной призмы вычисляется по формуле , где а – сторона основания, h – высота призмы;

в) объем прямой призмы равен половине произведения площади основания на высоту;

г) объем правильной четырехугольной призмы вычисляется по формуле , где а – сторона основания, h – высота призмы;

д) объем правильной шестиугольной призмы вычисляется по формуле , где а – сторона основания, h – высота призмы;

3. Сторона основания правильной треугольной призмы равна см. Через сторону нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания проведена плоскость, которая находится под углом 45 градусов к основанию. Найдите объем призмы.

         а) см³;   б) 9 см³;      в) см³;  г) см³;  д) см³

4. Основание прямой призмы является ромб, сторона которого равна 13 см, а одна из диагоналей – 24 см. Найдите объем призмы, если диагональ боковой гран и равна 14 см.

         а) см³;   б) см³;     в) см³;   г) см³;     д) см³

5. Найдите объем правильной шестиугольной призмы со стороной основания, равной 2, и высотой .

         а) ;      б) 36;          в) ;       г) 18;          д)

6. Основание прямой призмы служит треугольник со сторонами 10, 10, 12. Диагональ меньшей боковой грани составляет с плоскостью основания угол 60 градусов. Найдите объем призмы.

         а) ;     б) ;    в) ;    г) 480;        д) 240.

7. Основание прямой призмы – параллелограмм, диагонали которого пересекаются по углом 30 градусов. Найдите объем призмы, если площади его диагональных сечений равны 16 см² и 12 см², а высота 4 см.

         а) 8 см³;      б) 12 см³;    в) 16 см²;    г) 24 см³;    д) см³

8. Вычислите с точностью до 0, 001 объем правильной восьмиугольной призмы со стороной основания, равной 2, и высотой, равной .

         а) 33,450;   б) 5,740;     в) 5,739;     г) 33,452;   д) 33,453

9. Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник. Катеты основания и боковое ребро  относятся между собой как 3: 4: 4. Объем призмы равен 24. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

         а) 24;          б) 55;          в) 48;          г) 39;          д) 12

II Вариант

1.Боковое ребро правильной треугольной призмы равносм,  сторона –     5 см. Найдите объем призмы.

а) см³;          б) 75 см³;    в) см³;          г) 50 см³;    д) 51,6 см³

2. Выберите верное утверждение.

         а) объем прямой призмы, основание которой является правильный восьмиугольник, вычисляется по формуле , где а – сторона основания, h – высота призмы;

         б) Объем правильной треугольной призмы вычисляется по формуле , где а – сторона основания, h – высота призмы;

         в) объем прямой призмы равен половине  произведения площади основания на высоту;

         г) Объем правильно четырехугольной призмы вычисляется по формуле  , где а – сторона основания, h – высота призмы;

         д) объем прямоугольной призмы, основание которой является прямоугольный треугольник, равен половине произведения прощади основания на высоту.

3. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 2 см. Через сторону основания и противолежащую вершину  верхнего основания проведена плоскость, которая находится под углом 60 градусов к основанию. Найдите объем призмы.

         а) см³;  б) 3 см³;      в) см³;           г) см³;            д) см³

4. Основанием прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ является параллелограмм ABCD, AB=12 см, AD= 15 см, DC₁=13см. Найдите объем призмы, если.

         а) см³;   б) см³;     в) см³;     г) см³;   д) см³

5. Найдите объем правильной четырехугольной призмы со стороной основания, равной 2, и высотой, равной .

         а) ;        б)12;           в) ;       г) ;        д) 6

6. Основанием прямой призмы служит треугольник со сторонами 5, 5, 6. Диагональ меньшей боковой грани составляет  с плоскостью основания угол 30 градусов. Найдите объем призмы.

         а) ;      б) ;      в) 20;          г) 40;          д)

7. Основание прямой призмы – параллелограмм, диагонали которого пересекаются под углом 60 градусов. Найдите объем призмы, если площади его диагональных сечений равны 18 см²и 24 см², а высота – 3 см.

         а) см³;          б) 12 см³;    в) см³;    г) 18 см³;           д) см³

8. Найдите с точностью  до 0, 001 объем правильной шестиугольной призмы со стороной основания, равной , и высотой, равной 3.

         а)14,402;    б) 14,401;   в) 26,611;   г) 26,612;   д)14,40

9. Основание прямой призмы служит прямоугольный треугольник. Катеты основания и боковое ребро относятся между собой как 3: 4 : 2. Объем призмы равен 96. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

         а)180;         б) 96;          в) 132;        г)160;         д) 48.

Ответы

1 вариант: а, в, д, б, г, а, б, г, в, в.

2 вариант: б, а, г, д, г, д, а, а, б, а.

Критерий оценки:

5-6 заданий – оценка 3

7 -8 заданий – оценка 4

9 – 10 заданий – оценка 5

Тест 3.  Объем пирамиды

I вариант

1. Найдите объем правильного тетраэдра, если его ребро равно  см.

 а)  см;       б)  см;      в) 2 см;

 г) 4 см;          д) 8 см.

2. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если все ее ребра равны  см.

  а) 2 см;        б)  см;       в)  см;

  г) 8 см;         д) 4 см.

3. Выберите верное утверждение.

 а) объем пирамиды равен произведению одной третьей площади основания на высоту;

 б) объем правильного тетраэдра вычисляется по формуле , где        а - ребро тетраэдра;

 в)объем усеченной пирамиды, высота которой равна h, а площади оснований равный S и M, вычисляется по формуле ;

 г) объем правильной треугольной пирамиды, ребро основания которой равно  и все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом φ, вычисляется по формуле ;

 д) объем правильной четырехугольной пирамиды, ребро основания которой равно α, и все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом φ, вычисляется по формуле .

4. Найдите объем усеченной пирамиды, площади оснований которой равны    3 см и 12 см, а высота-2см.

 а) определить нельзя;     б) 7 см;    в) 42 см;    г) 14 см;     д) 56 см.

5. Основанием пирамиды MABC служит треугольник со сторонами AB=5 см. BC=12 см. AC=13 см. Найдите объем пирамиды, если MBABC и MB=10 см.

 а) 300 см;     б) 260 см;    в) 78 см;    г) определить нельзя;  д) 100 см.

6. основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3 и 4. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45˚. Найдите объем пирамиды.

 а) 1;    б) 4;    в) 6;    г) 2;    д) определить нельзя.

7. Объем правильной треугольной пирамиды равен 6. Найдите угол между высотой и боковым ребром пирамиды, если сторона основания равна .

  а) 30˚;    б) 45˚;     в) 60˚;     г) 15˚;     д) 75˚.

8. В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно 4 см, а стороны основания-2см. Найдите объем пирамиды.

  а) 9 см;     б) 6 см;    в) 12 см;   г)  18 см;     д) определить нельзя.

9. В каком отношении параллельная основанию плоскость делит объем пирамиды, если она делит высоту в отношении 2:3?

 а) 2:3;    б) 8:117;    в) 8:27;    г) 27:98;    д) 27:98.

10. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом а. Все боковые ребра наклонены к основанию под углом β. Найдите объем пирамиды.

 а) ;     б) ;      в) ;

 г) ;       д) .

II вариант

1.Объем правильного тетраэдра равен 9см. Найдите его ребро.

 а) 4 см;     б) см;     в)  см;    г) 6 см;    д) 3 см.

2. Найдите ребро правильной четырехугольной пирамиды, если ее объем равен 18 см, а все ребра имеют одинаковую длину.

 а) 2 см;     б)  см;    в)  см;    г) 4 см;    д) 3 см.

3, Выберите неверное утверждение.

 а) объем пирамиды равен произведению одной третьей площади основания на высоту;

 б) объем правильного тетраэдра вычисляется по формуле , где       

а - ребро тетраэдра;

 в) объем усеченной пирамиды, высота которой равна h,а площади оснований равны S и M, вычисляется по формуле ;

 г) объем правильной треугольной пирамиды, ребро основания которой равно а и все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом φ, вычисляется по формуле .

д) объем правильной треугольной пирамиды, ребро основания которой равно а и все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом φ, вычисляется по формуле .

4. Найдите объем усеченной пирамиды, площади оснований которой равны 28 см и 7 см, а высота-3см.

  а) 49 см;    б) 56 см;    в) 98 см;    г) 14 см;    д) определить нельзя.

5. Основанием пирамиды SKLM служит треугольник со сторонами KL=9см, KM=15см, LM=12см. Найдите объем пирамиды, если SKMKL и SK=4см.

 а) 216 см;    б) 240 см;    в) 72 см;    г) определить нельзя;    д) 120см.

6. Основанием пирамиды служит ромб с углом 30˚ и стороной, равной . Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60˚. Найдите объем пирамиды.

 а) 1;    б) 9;    в) 6;    г) 3;    д) определить нельзя.

7. Объем правильной треугольной пирамиды равен 3. Найдите угол между высотой и апофемой пирамиды, если сторона основания равна . 

 а) 15˚;    б) 30˚;    в)45˚;    г) 60˚;    д) 75˚.

8. В правильной шестиугольной пирамиде апофема и сторона основания равна 6 см. Найдите объем пирамиды.

 а) см;    б) см;    в)  см    г)  см;    д)определить нельзя.

9. В каком отношении параллельная основанию плоскость делит объем пирамиды, если она делит высоту в отношении 3:4?

 а) 27:316;    б) 27:347;    в) 3:4;    г) 64:27;    д) 27:64.

10. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с гипотенузой  р и острым углом φ. Все боковые ребра образуют с высотой угол α. Найдите объем пирамиды.

 а) ;     б);    в) ;

 г) ;    д) .

Ответы

1 вариант: б, в, а, г, д, г, а, в, б, а.

2 вариант: в, в, д, а, в, г, б, в, а, б.

Критерий оценки:

5 - 6 заданий – оценка 3

7 - 8 заданий – оценка 4

9 – 10 заданий – оценка 5

Тема 7.3. Тела и поверхности вращения

Практическая работа №26

Круглые тела. Площади поверхностей круглых тел

Цель: приобретение умений решать стереометрические задачи на нахождение геометрических величин, используя планиметрические факты и методы; выполнять чертежи по условию задачи.

 Вариант 1

1.     Площадь поверхности шара равна 225 м². Определить объем шара.

2.     Высота конус 6 дм, образующая 10 дм. Найти площадь боковой поверхности конуса.

3.     Вычислить площадь поверхности, образованной вращением параболы, заданной уравнением y²=8x, вокруг оси Ox от x=2 до x=7.

Вариант 2

1.     Площадь боковой поверхности конуса 270 м², радиус основания 9 м. Найти высоту конуса.

2.     Дан полушар радиусом R. Найти полную поверхность полушара.

3.     Вычислить площадь поверхности, образованной вращением параболы, заданной уравнением y²=4x, вокруг оси O_x от x=0 до x=3.

Вариант 3

1.     Найти отношение площадей боковых поверхностей равностороннего цилиндра и описанного около него куба.

2.     Площадь боковой поверхности конуса равна 240 см, а угол в ее развертке составляет 120^o градусов. Вычислить площадь полной поверхности конуса.

3.     Вычислить площадь поверхности, образованной вращением параболы, заданной уравнением x²=12y, вокруг оси O_y от y=1 и y=6.

Вариант 4

1.     Плоскость параллельная оси цилиндра, делит окружность основания в отношении 1:5. Площадь сечения равна 10 см². Вычислить площадь боковой поверхности цилиндра.

2.     Правильный шестиугольник со стороной a вращается вокруг наибольшей диагонали . Вычислить площадь поверхности тела вращения.

3.     Вычислить площадь поверхности, образованной вращением параболы, заданной уравнением x²=4y,вокруг оси O_y от y=0 и y=8.

Вариант 5

1.     Площадь осевого сечения цилиндра равна Q. Вычислить площадь его боковой поверхности.

2.     Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше его основания. Доказать, что конус равносторонний.

3.     Вычислить площадь боковой поверхности усеченного конуса, образованного вращением отрезка прямой y=2  вокруг оси O_x от x=2 до x=4.

Вариант 6

1.     Прямоугольник со сторонами m и n, вращается сначала вокруг стороны m, затем около стороны n. Вычислить отношение площадей полных поверхностей тел вращения.

2.     Образующая усеченного конуса равна l и наклонена к плоскости основания под углом 60^o градусов, а отношение площадей его оснований равно 4. Вычислить площадь полной поверхности этого усеченного конуса.

3.     В шаре проведены по одну сторону от центра два параллельных сечения; площади их равны 49 дм² и 4 м², а расстояние между ними 9 дм. Определить поверхность шара.

Вариант 7

1.     Доказать, что площадь полной поверхности кругового конуса, в осевом сечении которого равносторонний треугольник, равна площади поверхности шара, диаметр которого равен высоте конуса.

2.     Равносторонний треугольник со стороной a вращается вокруг оси, параллельной стороне треугольника и отстоящей от нее на расстояние a. Вычислить площадь поверхности тела вращения.

3.     Найти площадь поверхности шара, образованного вращением окружности, заданной  уравнением x²+ y²= r², вокруг оси Ox.

Вариант 8

1.     Радиус основания цилиндра равен R,высота равна H. Два осевых сечения образуют двугранный угол 60 градусов. Вычислить часть площади поверхности цилиндра, на которую опирается этот двугранный угол.

2.     Объем шара и площадь его поверхности выражаются одним и тем же числом. Найти радиус шара.

3.     Найти площадь

4.     поверхности шарового пояса, образованного вращением вокруг оси Ox дуги окружности, заданной уравнением x²+y²=16, заключенной между точками А(2; 2 ) и В(3; ).

Тест 1. Цилиндр

Iвариант

       1.Диагональ осевого сечения цилиндра равна см, а радиус основания-3 см.         Найдите высоту цилиндра.

           а)см;   б) 12 см;   в) 5 см;   г) см;   д)

2. Площадь осевого сечения равностороннего цилиндра равна 4. Найдите площадь основания цилиндра.

а) ;  б) ;  в) 4;  г) 0,5;  д) определить нельзя.

3. Радиус цилиндра равен х, его высота – 2, площадь боковой поверхности равна у, площадь полной поверхности – 2у. Найдите х и у.

а) x = 2, у = 8; б) x = 1, у = 4; в) x = 2, у =  8; г) x = 6, у = 24;   д) x = 4, у = 16

4. Диагональ сечения цилиндра, параллельного оси, равна 8, она наклонена к плоскости основания под углом . Это сечение в основании отсекает дугу в.

Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

а) Определить нельзя; б) 48; в) 16; г) 96; д) 96.

5. Выберите верное утверждение.

а) Длина образующего цилиндра называется радиусом цилиндра;

б) цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра;

в) сечение цилиндра, перпендикулярное оси цилиндра, называется осевым;

г) площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле = h

д) цилиндр может быть получен в результате вращения треугольника вокруг одной из сторон.

6. Сечение проведено параллельно оси цилиндра, отстает от него на расстояние, равное 3. Найдите площадь сечения, если радиус цилиндра равен 5, а его

высота -10.

а) 40; б) 80; в) 60; г) 30; д) 10.

7. Сколько понадобится краски, чтобы покрасить бак цилиндрической формы с крышкой, имеющий диаметр основания 1,25 м и высоту 1,44 м, если на один квадратный метр расходуется 0,25 кг краски (найдите с точностью до 0,1 кг)?

а) 2,0 кг; б) 2,1 кг; в) 2 кг; г) 1,9 кг; д) 2,03 кг.

8. Развертка боковой поверхности цилиндра – квадрат со стороной 1. Найдите площадь полной поверхности цилиндра с точностью до 0,001.

а) 7,283; б) 0,159; в) 1,318; г) 1,159; д) 0,318.

9. Основанием прямой призмы служит треугольник со сторонами 6, 8 и 10. Высота призмы равна 4. Найдите площадь боковой поверхности описанного около призмы цилиндра.

а) 40; б) 40; в) 32; г) 20; д) 32.

10. Радиусr основания цилиндра в 3 раза меньше его высоты h. Площадь полной поверхности цилиндра равна 288. Найдите r иh.

а) r = 18см, h = 6см; б) r = 6см, h = 18см; в) r = 2см, h = 6см;

г) определить нельзя; д) r = 12см, h = 36 см;

II вариант

1.     Диагональ осевого сечения цилиндра равнасм, а высота – 5см. Найдите радиус цилиндра.

  а) см; б) 8см; в) 4см; г) см; д) 16см.

2.     Площадь основания равностороннего цилиндра равна  2. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

  а) 8; б) 8 ; в) 2 ; г) 4 ; д) определить нельзя;

3.     Радиус цилиндра равен 2, его высота – x, площадь боковой поверхности равна у, площадь полной поверхности – 2у.  Найдите x и у.

  а) x = 2, у = 8; б) x = 1, у = 4; в) x = 2, у =  8; г) x = 6, у = 24; д) x = 4, у = 16

4.     Параллельное оси сечения цилиндра плоскостью удалено от оси  на , оно отсекает в основании дугу в . Найдите площадь осевого сечения цилиндра, если площадь данного сечения равна 8.

  а) Определить нельзя; б) 8; в) 16; г) 8; д) 16;

5.     Выберите верное утверждения.

  а) Радиус цилиндра не может равняться высоте цилиндра;

  б) площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению площади  основания цилиндра на его высоту;

  в) сечение цилиндра, параллельное оси цилиндра, называется осевым;

  г) площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле

= r;

  д) цилиндр может быть получен в результате вращения прямоугольника  вокруг одной из его сторон.

6.     В цилиндре параллельно его оси проведено сечение. Диагональ сечения, равная 16, составляет угол  с плоскостью основания. Радиус основания цилиндра равен 5. Найдите расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.

а) 3; б) 4; в) 8; г) 5; д) 4.

7.     Сколько понадобится краски, чтобы покрасить бак цилиндрической формы с крышкой, имеющий диаметр основания 1,44м и высоту 1,25м,  если на один квадратный метр расходуется 0,25кг краски (найдите с точностью до 0,1кг)?

     а) 2 кг;  б) 2,2;  в)2,3;  г) 2,1;  д) 2,23;

8.     Развертка боковой поверхности цилиндра – квадрат со стороной 2. Найдите площадь полной поверхности цилиндра с точностью до 0,001.

     а) 5,141; б) 0.159;  в) 4,637; г) 2,159; д) 0,318.

9.     Основанием прямого параллелепипеда  служит ромб со стороной, равной 4 и углом . Высота параллелепипеда равна 5. Найдите площадь боковой поверхности  вписанного в параллелепипед цилиндра.

     а) 20 ;б) 10; в) 10; г) 20; д) 10

10. Площадь боковой поверхности цилиндра  вдвое больше площади основания, а площадь полной поверхности равна 256. Найдите радиус r и высоту цилиндра  h.

     а)r=8см, h=6см; б) r=6см, h=6см; в) r=6см, h=8см; г) r=8см, h=8см;

     д) определить нельзя.

Ответы:

1 вариант: в, б, а, д, б, б, а, г, а, б.

2 вариант: в, б, а, д, д, а, б, в, д, г.

   Критерий оценки:

5 - 6 заданий – оценка 3

7 - 8 заданий – оценка 4

9 – 10 заданий – оценка 5

Тест 2. Конус

1. Выберите верное утверждение.

а) Конус может быть получен в результате вра­щения равностороннего треугольника вокруг его стороны;

б) прямая, проходящая через вершину конуса и центр его основания, называется осью конуса;

в) разверткой боковой поверхности конуса явля­ется круговой сегмент;

г) площадь боковой поверхности усеченною ко­нуса равна произведению суммы длин окружнос­тей оснований на образующую;

д) сечение конуса, проходящее через ось, есть круг.

2.Образующая конуса, равная 8 см, наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите площадь осевого сечения конуса.

а) ; б)  ;          в)  ;

г) ) ;                 д)

3.Радиус основания конуса равен 10 см, а вы­сота — 15 см. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, параллельной основанию и находя­щейся на расстоянии 2 см от вершины конуса.

а) ';          б) ;    в)  ;

г) 5625p см²;             д) 9p см².

4.Через вершину конуса проведена плоскость, пресекающая основание по хорде, длина которой равна 2 см. Эта хорда стягивает дугу в 90°. Угол между образующими в сечении равен 60°. Найди­те площадь боковой поверхности конуса.

а) 2p см²;         б) ;                   в) 4p см^:;

г) ;                  д) 8p см².

5.Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60°, сумма длин его высоты и образующей равна 2 см. Найдите площадь полной поверхнос­ти конуса.

а)  ;           б) 12p(7-4) см²;

в)    (3 + ) см²;            г) p см²; д)  .

6. Радиусы оснований усеченного конуса равны 12 см и 6 см, а образующая наклонена к плоско­сти основания под углом 45°,. Найдите высоту усеченного конуса.     

а) 4 см;    6) 3 см;     в) 12 см;

г) определить нельзя;      д) 6 см.

7.Полукруг свернут в конус. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.

а) 30°;     6)45°;        в) 60°;                г) 90°;      д) 120°.

8.Длина образующей усеченного конуса равна 29 см. высота - 20 см, радиусы оснований отно­сятся как 5:9. Найдите периметр осевого сечения усеченного конуса.

а) 205 см;         б) 102,5 см;      в) 47,25 см;

г) 26,25 см;               д) 73,5 см.

9.В усеченный конус, радиусы оснований кото­рого равны 2 и 4, вписан шар. Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса.

а) Определить нельзя;     б) 9p;                  в) 72p;

г) 18p;                        д) 36p.

10.Радиус верхнего основания, высота, образу­ющая и радиус нижнего основания усеченного ко­нуса составляют арифметическую прогрессию с разностью 4. Вычислите площадь полной поверх­ности усеченного конуса.

а) 144p;            б) 1256p;           в) 1584p;

г) 1440p;                   д) 360p.

II вариант

1. Выберите неверное утверждение.

а) Конус может быть получен в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов;

б) прямая, проходящая через вершину конуса и центр его основания, называется осью конуса;

в) площадь боковой поверхности конуса может быть вычислена по формуле;

г) осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция;

д) конус называется равносторонним, если его осевое сечение — правильный треугольник.

2. Образующая конуса, равная 4 см, наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь осевого сечения конуса.

а) ;   б) ;    в) ;

г) ;   д) ;

3. Радиус основания конуса и его высота равны 7 см. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проходящей параллельно основанию на расстоянии 4 см от его вершины.

а) 16p ;          б) 12p ;          в) 8p ;

г) 49p ; д) 3,0625p .

4. Через вершину конуса проведена плоскость, пресекающая основание по хорде, длина которой равна 2 см. Эта хорда стягивает дугу в 60°. Угол между образующими в сечении равен 90°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

а) 2p ;   б) 2;           в) 4л см2;

г) ;  д) ;

5. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60°, сумма длин его радиуса и образующей равна 2 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

а);       б) ; в) ;

г)  ;    д) 4;   

6. Радиусы оснований усеченного конуса равны   и  см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите высоту усеченного конуса.

а) 4 см;               б) 6 см;    в) 12 см;

г) определить нельзя;                 д) 3 см.

7. Найдите угол между высотой и образующей конуса, если площадь боковой поверхности конуса равна 2, а площадь полной его поверхности равна 3.

а) 120°;               6)90°;                в) 60°;                 г) 45°;              д) 30°.

8. Длина образующей усеченного конуса равна 13см, высота— 12 см. Найдите радиусы оснований, если периметр осевого сечения усеченного конуса равен 56 см.

а) 6 см и 12 см;          б) 5 см и 10 см;

в) 5 см и 15 см; г) 10 см и 12 см;

д) 12 см и 13 см.

9. В усеченный конус, образующая которого равна 6, вписан шар. Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса.

а) Определить нельзя;       б) 9p;                  в) 72p;

г) 18p;                д) 36p.

10. Найдите площадь полной поверхности усеченного конуса, если его радиусы равны 21 и 11, а длина диагонали осевого сечения равна 40.

а)1394p;    б)832p;     в)1273p;   г)953p;          д)562p

Ответы:

1 вариант: б, в, а, б, б, д, в, а, д, г.

2 вариант: в, г, а, б, г, в, д, б, д, а.

   Критерий оценки:

5 - 6 заданий – оценка 3

7 - 8 заданий – оценка 4

9 – 10 заданий – оценка 5

Практическая работа №27

Объем цилиндра, конуса, шара. Объем тела вращения.

Цель: приобретение умений решать стереометрические задачи на нахождение геометрических величин, используя планиметрические факты и методы; выполнять чертежи по условию задачи.

Вариант 1.

1.     Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 4 дм. Найти объем цилиндра.

2.     Внешний диаметр полного шара 18 см, толщина стенок 3 см. найти объем стенок шара.

3.     Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси 0х площади, ограниченной линиями у²=х, у=0, х=1, х=2.

Вариант 2.

1.     Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10 см. определить радиус шара, объем которого равен сумме объемов данных шаров.

2.     Площадь основания конуса 9π см², площадь полной поверхности его 24π см². Найти объем конуса.

3.     Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси 0х площади, ограниченной линиями у²=2х, у=2, х=4.

Вариант 3.

1.     Боковая поверхность цилиндра равна S, длина окружности основания равна C. Найти объем цилиндра.

2.     Образующая усеченного конуса равна 15 см, боковая поверхность его равна 405π см². Высота усеченного конуса в два раза меньше высоты соответствующего полного конуса. Вычислить объем усеченного конуса.

3.     Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси 0х площади, ограниченной линиями у²=4х, х=4, у=0.

Вариант 4.

1.     Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит диаметр на две части, равные 3 и 9 см. Найти объемы соответствующих частей шара.

2.     Боковая поверхность конуса равна 540π см², а угол в ее развертке 216⁰. Вычислить объем этого конуса.

3.     Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси 0х площади, ограниченной линиями у=sin x, х=0, х=π, у=0.

Вариант 5.

1.     Боковая поверхность цилиндра развертывается в квадрат со стороной a. Найти объем цилиндра.

2.     Найти отношение объемов вписанного в куб и описанного около этого куба шаров.

3.     Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси 0х площади, ограниченной линиями у²=х+2, х=0, у=0.

Вариант 6.

1.     Высота цилиндра равна Н. в развертке его боковой поверхности образующая составляет с диагональю развертки угол 60⁰. Определить объем цилиндра.

2.     Полная поверхность конуса равна 216π см². Боковая поверхность конуса, развернутая на плоскости, представляет собой сектор с углом 216⁰. Вычислить объем конуса.

3.     Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси 0х площади, ограниченной линиями у=-х+3х, у=0.

Вариант 7.

1.     Определить объем цилиндра, вписанного в правильную шестиугольную призму, у которой каждое ребро равно а.

2.     Объем, занимаемый стенками цилиндрической трубки, равен V, длина трубки L, радиус ее внешней поверхности R. Вычислить толщину стенок.

3.     Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси 0х площади, ограниченной линиями у²=4х, х=2, х=4, у=0.

Вариант 8.

1.Радиус шара равен R, угол в осевом сечении шарового сектора 120⁰. Вычислить объем шарового сектора.

2.Вычислить отношение объемов двух цилиндров с равными боковыми поверхностями, если R – радиус основания одного цилиндра, r – другого.

3.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси 0х площади, ограниченной линиями у²=х³, у=2х.

Тест 3. Объём цилиндра

I Вариант

1. Найдите объём цилиндра с высотой, равной  3 см и диаметром основания – 6 см.

а) 27π см³; б) 9π см³; в) 36π см³; г) 18π см³; д) 54π см³.

2. Объём цилиндра равен 27π. Найдите диаметр основания цилиндра , если площадь полной его поверхности в два раза больше площади боковой поверхности .

а) 3; б) определить нельзя; в) 6; г) 2; д) 9.

3. Диагональ осевого сечения цилиндра составляет с плоскостью основания цилиндра угол 60˚. Найдите объём цилиндра , если площадь осевого сечения равна 16√3 см².

а) 16π см³; б) 16√3 см³; в) 32π√3 см³; г) 8π√3 см³; д) 16π√3 см³.

4. В цилиндр вписан шар радиуса 1 см. Найдите объём цилиндра.

а) 4π см³; б) 2π см³; в) 8π см³; г) π см³; д) определить нельзя.

5. Объём цилиндра равен 120. Найдите высоту цилиндра с точностью до 0,01, если радиус основания больше её в 3 раза.

а) 1,62; б) 1,63; в) 1,61; г) 1,6; д) 1,60.

6. Площадь осевого сечения цилиндра равна 21 см², площадь основания - 18π см². Найдите объём цилиндра.

а) 9π см³; б) 31,5π√2 см³; в) 21π см³; г) 63π см³; д) 31,5π√3 см³.

7. Выберите верное утверждение.

а) Объём цилиндра равен половине произведения площади основания на высоту;

б) Объём цилиндра вычисляется по формуле V = πS/2, где S – площадь осевого сечения цилиндра;

в) объём равностороннего цилиндра равен V = 2πR³, где R – радиус основания цилиндра;

г) объём цилиндра вычисляется по формуле V = Mh/2, где М – площадь боковой поверхности цилиндра, а h – его высота;

д) объём равностороннего цилиндра вычисляется по формуле V = πh³/2, где h – высота цилиндра.

8. Параллельное оси цилиндра сечение отсекает от окружности основания дугу в 120˚. Радиус основания цилиндра равен R, угол между диагональю сечения и осью цилиндра равен 30˚. Найдите объём цилиндра а) 3πR²; б) πR³√3; в) 3πR³; г) πR³; д) 3πR³√3.

9. Через образующую цилиндра проведены две плоскости . Угол между ними равен 120˚. Площади получившихся сечений равны 1. Радиус основания цилиндра равен 1. Найдите объём цилиндра. а) π√3/3; б) 2π; в) π/2; г) π; д) определить нельзя.

10. Алюминиевый провод диаметром 2 мм имеет массу 3,4 кг. Найдите длину провода с точностью до 1 см , если плотность алюминия равна 2,6 г/см³.

а) 41646; б) 43590; в) 41656; г) 41635; д) 41625.

II Вариант

1. Найдите объём цилиндра с высотой, равной  6 см и диаметром основания – 3 см.

а) 13,5π см³; б) 9π см³; в) 27π см³; г) 18π см³; д) 54π см³.

2. Объём цилиндра равен 32π. Найдите диаметр основания цилиндра , если площадь полной его поверхности в два раза больше площади боковой поверхности .

а) 3; б) определить нельзя; в) 4; г) 8; д) 2.

3. Диагональ осевого сечения цилиндра составляет с плоскостью основания цилиндра угол 60˚. Найдите объём цилиндра , если площадь осевого сечения равна 16π√3 см².

а) 16 см³; б) 16√3 см³; в) 32π√3 см³; г) 8π√3 см³; д) 16π√3 см³.

4. Около цилиндра описан шар радиуса 1 см. Найдите объём цилиндра.

а) 4π√2 см³; б) 0,5π√2 см³; в) определить нельзя; г) π см³; д) π√2 см³

5. Объём цилиндра равен 120. Найдите высоту цилиндра с точностью до 0,01, если радиус основания меньше её в 3 раза.

а) 2,3; б) 2,33; в) 2,35; г) 2,335; д) 2,34.

6. Площадь осевого сечения цилиндра равна 30 см², площадь основания - 9π см². Найдите объём цилиндра.

а) 45π см³; б) 22,5π см³; в) 23π см³; г) 9π см³; д) 30π см³.

7. Выберите верное утверждение.

а) Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту;

б) Объём цилиндра вычисляется по формуле V = 1/2πrS, где S – площадь осевого сечения цилиндра,r – радиус основания цилиндра;

в) объём равностороннего цилиндра вычисляется по формуле V = 1/4πh³, где h – высота цилиндра;

г) объём цилиндра равен произведению разности площадей полной и боковой поверхностей цилиндра на высоту;

д) объём цилиндра вычисляется по формуле V = 1/2Mr , где M – площадь боковой поверхности цилиндра, r – радиус его основания.

8. Параллельное оси цилиндра сечение отсекает от окружности основания дугу в 120˚. Это сечение удалено от оси цилиндра на расстояние, равное а. Диагональ сечения равна 4а. Найдите объём цилиндра а) 8πа²; б) 4πа³; в) 2 πа³; г) 16πа³; д) 8πа³.

9. Через образующую цилиндра проведены две плоскости . Угол между ними равен 120˚. Площади получившихся сечений равны 1. Высота цилиндра равна 1. Найдите объём цилиндра. а) π/4; б) π/2; в) π; г) π/3; д) определить нельзя.

10. Алюминиевый провод диаметром 2 мм имеет длину 3,4 м. Найдите массу провода с точностью до 1 г , если плотность алюминия равна 2,6 г/см³.

а) 278; б) 277; в) 29; г) 27; д) 28.

Ответы:

Ответы

1 вариант: а, в, д, б, а, б, в, в, г, а.

2 вариант: а, д, б, в, д, а, г, д, в, д.

   Критерий оценки:

5 - 6 заданий – оценка 3

7 - 8 заданий – оценка 4

9 – 10 заданий – оценка 5

Тест 4. Объем конуса

 I вариант

1. Найдите объем конуса, осевое сечение которо­го представляет собой равнобедренный прямоуголь­ный треугольник с гипотенузой, равной 6 см.

а) 18 см³;            б) 18π см³; в) 6π см³;

      г) 54π см³;           д) 6π см³.

2. Выберите верное утверждение.

а) Объем конуса равен четверти произведения площади основания на высоту;

б) объем конуса вычисляется по формуле

V =1/3*πS , где S — площадь осевого сечения конуса;

в) объем равностороннего конуса равен V =1/3*πh³, где h — высота конуса;

г) объем конуса вычисляется по формуле V = 1/3*Mr,

 где M— площадь боковой поверхности конуса, а г — его                        радиус основания;

     д) объем равностороннего конуса равен V =1/3*πr³

где r— радиус основания конуса.

3.Найдите объем конуса, полученного в резуль­тате вращения вокруг большего катета прямоуголь­ного треугольника с гипотенузой, равной 2-Уб см, и углом 30°.

а) 18 см³; б) 18π см³; в) 6π см³;

г)2π см³; д) 6π см³.

4. Объем конуса равен 8π см³. Найдите угол меж­ду образующей и плоскостью основания конуса,

     если радиус основания равен 2 см. а) 75⁰; б) 60°; в) 45°;

       г) 30°; д) 15°.

5. Радиусы оснований усеченного конуса равны 2 см и 5 см, образующая наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите объем усечен­ного конуса.

а) 117π см³; б) 51π см³; в) 13π см³;

г)17π см³; д) 39π см³. '

6. В каком отношении параллельная основанию плоскость делит объем конуса, если она делит высоту в отношении 3 : 2?

а) 27 : 98; б) 8 : 27; в) 98 : 27;

г) 3:2;   .  д) 27 : 8.

7. Радиусы оснований усеченного конуса отно­сятся как 1 : 3.    Образующая усеченного конуса, равная m, составляет с плоскостью основания угол φ.

Найдите объем усеченного конуса.

a)  V=13/12*πm³cosφ*sin2φ

б)            V=13/24*πm³cosφ*sinφ

в)     V=13/24*πm3cos²φ*sinφ

г)     V=13/24*πm³cosφ*sin2φ

д)   V=13/24*πm³cos2φ*sinφ

8.Через середину образующей конуса параллель­но плоскости основания проведена плоскость. Полученное сечение служит верхним основанием цилиндра, нижнее основание которого лежит на основании конуса. Объем цилиндра равен 15. Найдите объем конуса.

а) 40; б) 30; в) 120; г) 60;

д)  определить нельзя.

9. Боковые ребра пирамиды наклонены к осно­ванию под углом 45°. Основанием пирамиды слу­жит прямоугольный треугольник со стороной, рап­ной 3, и противоположным углом 30°. Найдите объем описанного около пирамиды конуса.

а) Определить нельзя; б) Зπ см³; в) 2π см²;

г) 18π см³; д) 9π см³.

10. Около конуса описана сфера, площадь кото­рой равна 144π см². Найдите объем конуса, если его образующие наклонены к плоскости основания под углом 30°.

а) 81π см³;  б) 27π см³; в) 9π см³;

г)  9π см³; д) Зπ см³.

II вариант

1.                   Найдите объем конуса, осевое сечение кото­рого представляет собой равнобедренный треуголь­ник с углом при вершине 120° и боковой сторо­ной, равной 6 см.

а) 27π см³; б) 81πсм³; в) 81π см³;

г) 9π см³; д) 27π см³.

2.                   Выберите неверное утверждение.

а) Объем равностороннего конуса вычисляется

по формуле V=1/3*πm³cosφ*sin φ, где m — образу­ющая конуса, ф — угол ее наклона к основанию;

б) объем конуса нельзя вычислить по формуле

V =2/3*πSh, где S — площадь осевого сечения кону­са, h - высота конуса;

в) объем конуса равен одной трети произведе­ния площади основания на высоту;

г) объем усеченного конуса, высота которого равна h, а площади оснований равны S и M,

вычисляется по формуле V =1/3*h(S + M+);

д) объем равностороннего конуса вычисляется по

формуле V=/3*πr³, где г-радиус основания 

конуса.

3.                   Найдите объем конуса, полученного в резуль­тате вращения равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной 3 см, во­круг своего катета.

а) 9π см³; б) 27π см³; в) Зπ см³; г) 9π см³;        д) Зπ см³.

4.                   Объем конуса равен 8π см³. Найдите радиус основания конуса, если угол между образующей и плоскостью основания равен 45°.

а) 6 см; б) 2 см; в) 3 см;

г)  2см; д) 3 см.

5.                   Разность радиусов оснований усеченного ко­нуса равна m, а их произведение равно n. Обра­зующая наклонена к плоскости основания под уг­лом ф. Найдите объем усеченного конуса.

а) V = π(т³ +3mn) tgφ; б) V =1/3*π(m³-mn)-tgφ;

в)V=1/3*π(m³+3mn)• tgф; г) V = π(m³ +mn) tgφ;

д) V=1/3*π*m³n*tgφ.

6.                   В каком отношении параллельная основанию плоскость делит объем конуса, фсли она делит вы­соту в отношении 4 : 3?

а) 64 : 279; б) 27 : 64;        в) 279 : 64;

г) 4 : 3; д) 64 : 27.

7.                   Радиусы оснований усеченного конуса отно­сятся как 1 : 3. Образующая усеченного конуса равна 4, она составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите объем усеченного конуса.

    а)  б)  в)  г)  д)

8.                  Через середину образующей конуса проведена плоскость параллельно плоскости основания. По­лученное сечение служит верхним основанием ци­линдра, нижнее основание которого лежит на ос­новании конуса. Объем цилиндра равен 9. Найди­те объем конуса.

а) 18; б) определить нельзя; в) 72; г) 48; д) 24.

9.                   Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 6, 8 и 10. Боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом 60^е. Найдите объем описанного около пирамиды конуса.       

 а) Определить нельзя; б) см³ ;

в) 125 см³; г)  см³       д) 125π см³.

10.                 В конус вписана сфера, площадь которой равна 144π см². Найдите объем конуса, если его образующие наклонены к плоскости основания под углом 60°.

а) 648π см³; б) 648 см³; в) 216 см³;

г) 216π см³; д) 5832π см³.

Ответы

1 вариант: а, в, в, г, д, д, г, а, д, б.

2 вариант: б, а, г, г, в, д, в, д, б, а.

Критерий оценки:

5 - 6 заданий – оценка 3

7 - 8 заданий – оценка 4

9 – 10 заданий – оценка 5

Тест 5. Объём шара

 I вариант.

1.Найдите расстояние от центра шара до плоскости сечения, если объем шара равен 288, а площадь сечения равна 27.

а);      б) 3;      в)4;      г)6;    д) .

2. Найдите объем шара, площадь поверхности которого равна 108  .

а) 108  ;     б)108  ;     в)81  ;     г)81  ;      д)108  .

3.Диаметр одного шара равен радиусу другого. Найдите отношение объемов этих шаров.

а)1:2;    б)2:1;   в)4:1;    г)1:8;    д)8:1.

4. Ребро куба равно 1. Найдите объем описанного около куба шара.

а) ;   б)4/3;    в);   г)/6;    д)4

5. Диаметр шара разделен на три части в отношении 1:3:2, и через точки деления проведены перпендикулярные ему плоскости. Найдите объем шарового слоя, заключенного между этими плоскостями, если площадь поверхности шара равна 144 .

а)192 ;   б)576  ;   в)64  ;    г)144  ;   д)288  .

6. Плоскость, перпендикулярная диметру шара, делит этот диаметр на две части, равные  3 и 9.Найдите объем меньшей части.

а) 36;   б) 288;    в)45;    г)243;    д)198;

7. В правильную треугольную призму, сторона оснований которой равна , вписан шар. Найдите объем этого шара.

a)32/3 ;     б);      в);     г);

8. В конус вписан  шар. Найдите объем шара, если образующая m наклонена к плоскости основания по углом .

а) ;         б);       в) определить нельзя;      г)  ;      д).

9.Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен  см, а радиус окружности равен основания равен -см.

а)     б)    в)    г)    д)

10. Выберете верное утверждение:

а) объем шара радиуса R-равен  ;

б)шаровым сектором называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью;

в) объем  шарового слоя можно вычислить  как сумму объектов двух шаровых сегментов;

г)объем шара можно вычислить по формуле V=SR, где R-радиус шара, S-площадь его поверхности;

д)отношение объемов двух шаров равно 8, тогда отношение площадей их поверхностей равно 4.

II вариант.

Найдите объем шара, если расстояние от центра шара до плоскости сечения равно 3, а площадь сечения равна 7.

а) 256;             б);              в)   ;                 г)   ;         д)64.

2. Найдите площадь поверхностей шара, объем которого равен 36 .

а) 36 ;         б) 108 ;     в) 9 ;     г) 81 ;      д) ) 12 ;

3.Площадь  поверхности одного шара в 4 раза больше площади поверхности другого. Найдите отношение объемов этих шаров.

а)1:2;            б)2:1;            г)4:1;              д)1:8;                    

4.Ребро куба равно 1. Найдите объем вписанного в куб шара.

а) ;          б);              в);            г) ;              д).

5. Радиус сферы разделен на три равные части, и через точки деления проведены перпендикулярные ему плоскости. Найдите объем шарового слоя, заключенного между этими плоскостями, если площадь поверхности шара равна 144 .

а) ;        б)268  ;      в)164 ;        г) ;        д)288 ;     

6. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит этот диаметр на две части, равные 3 и 9. Найдите объем большей части.

 а)81 ;              б)243;                в)198;          г)288;            д)45.

7.Около правильной треугольной призмы, сторона оснований которой равна ,описан шар. Найдите объем этого шара, если высота призмы равна 2.

а) 4;                б) определить нельзя;             в);                   г);                        д).

8. Около конуса описан один шар. Найдите объем шара, если образующая m наклонена к плоскости основания под углом  .

а);                б);              в)  ;          г);         д)определить нельзя.

9. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 5 см, а радиус  окружности основания -3см.

а);        б) ;        в) ;         г) ;              д) .

10. Выберете верное утверждение.

а)объем шара радиуса R равен  4;

б)шаровым сегментом называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом, меньшим , вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов;

в)объем шарового слоя можно вычислить как разность объемов двух шаровых секторов;

г)объем шара можно вычислить по формуле , где R-радиус шара, S- площадь его поверхности;

д) отношение объемов двух шаров равно 2, тогда отношение площадей их поверхностей равно 8.

Ответы

1 вариант: б, д, г, в, а, в, г, а, б, д.

2 вариант: б, а, д, г, а, б, д, в, а, г.

Критерий оценки:

5 - 6 заданий – оценка 3

7 - 8 заданий – оценка 4

9 – 10 заданий – оценка 5

Раздел 8. Основы теории вероятностей и математической статистики

Тема 8.1. Основные задачи и правила комбинаторики

Устный опрос

1.Что называется n – факториалом?

2.Вычислите 5!; 7!; 0!.

3.Чему равен n – факториал?

4.Вычислите:

а) n! / (n-2);      б) (n+1)! / (n-1)!;        в) (n+1)! / (n-2)

5.Перечислите основные задачи комбинаторики.

6.Что называется перестановками?

7.Запишите формулу для числа перестановок из n элементов.

8.Вычислите число перестановок из 5 предметов.

9.Что называется размещениями?

10.Запишите формулу для числа размещений из  n элементов по m.

11.Вычислите: А₅ ²; А₇³;  А₀ ⁵

12.Что называется сочетаниями?

13.Запишите формулу числа сочетаний из  n элементов по m.

14.Вычислите: C₈ ²; C₁₀³; C₅ ⁵

Практическая работа №28

Решение комбинаторных задач

 Цель: приобретение умений решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул

Работа выполняется по индивидуальному варианту

Задание для выполнения практической работы №28

1.      Вычислите:

         а) 7!;           б) 8!;           в) 6!-5!       г) .

2.      Вычислите:

         а) ;         б) ;       в) ;        г) .

3.     Делится ли 11! на:

         а) 64;          б) 25           в) 81           г) 49?

4.      На сколько нулей оканчивается число:

         а) 10!          б) 12!          в) 15!          г) 26!?

     5. Сократите дробь:

а) ;    б) ; в) ;  г) .

    6. Упростите выражение:

         а) ;                              б) ;

         в) ;              г) .

7. а) На дверях четырех одинаковых кабинетов надо повесить таблички с фамилиями четырех заместителей директора. Сколькими способами это можно сделать?

      б) В 9 «А» классе в среду 5 уроков: алгебра, геометрия, физкультура, русский язык, английский язык. Сколько можно составить вариантов расписания на среду?

      в) Сколькими способами четыре вора могут по одному разбежаться на все четыре стороны?

      г) Адъютант должен развести пять копий приказа генерала по пяти полкам. Сколькими способами он может выбрать маршрут доставки приказа?

8. У Вовы на обед – салат, первое, второе, третье и пирожное. Он обязательно начнет с пирожного, а все остальное съест в произвольном порядке. Найдите число всевозможных вариантов обеда.

9. В гостинице – семь одноместных номеров. Из семи приехавших постояльцев трое уже зарезервировали свои номера. Найдите число способов расселения.

10. Одиннадцать футболистов строятся перед началом матча. Первым – обязательно капитан, вторым – обязательно вратарь, а остальные – случайным образом. Сколько существует способов построения?

11. Сколькими способами можно обозначить вершины куба буквами A, B, C, D, E, F, G, K?

12. Современные пятиборцы в течение двух дней участвуют в соревновании по пяти видам спорта: конкур (кросс на лошадях), фехтование, плавание, стрельба, бег.

         а) Сколько существует вариантов порядка прохождения видов соревнования?

         б) Сколько существует вариантов порядка прохождения видов соревнования, если известно, что последним видом должен быть бег?

         в) Сколько существует вариантов порядка прохождения видов соревнования, если известно, что последним видом должен быть бег, а первым - конкур?

         г) Сколько существует вариантов, в которых конкур и фехтование не проходят подряд?

13. 6 граней игрального кубика помечены цифрами 1,2,3,4,5,6. Кубик бросают дважды и записывают выпадающие цифры.

         а) Найдите число всех возможных вариантов.

         б) Укажите те из них, в которых произведение выпавших чисел кратно 10.

         в) Составьте таблицу из 2 строк. В 1 строке запишите суммы выпавших очков, во 2 – количество результатов, в которых выпадает эта сумма.

         г) Составьте аналогичную таблицу для модуля разности выпавших очков.

14. На плоскости даны 10 точек, никакие 3 из которых не лежат на 1 прямой.

         а) Три точки покрасили в рыжий цвет, а остальные – в черный. Сколько можно провести отрезков с разноцветными концами?

         б) Сколько можно провести отрезков с «рыжими» концами?

         в) Составьте таблицу из 2 строчек. В 1 строке запишите количество рыжих точек из 10 данных (от 0 до 10), во 2 – число «разноцветных» отрезков при таком способе раскраски.

          г) 5 точек покрасили в серый цвет, 2 точки – в бурый и 3 – в малиновый цвет. Сколько можно построить «серо-буро-малиновых» треугольников?

15. Группа туристов планирует осуществить поход по маршруту Антоново – Борисово – Власово – Грибово. Из Антоново в Борисово можно сплавиться по реке или дойти пешком. Из Борисово во Власово можно пройти пешком или доехать на велосипедах. Из Власово в Грибово можно доплыть по реке, доехать на велосипедах или пройти пешком.

          а) Нарисуйте дерево возможных вариантов похода.

         б) Сколько всего вариантов похода могут выбрать туристы?

         в) Сколько есть полностью не пеших вариантов?

         г) Сколько вариантов похода могут выбрать туристы при условии, что хотя бы на одном из участков маршрута они должны использовать велосипеды?

16. В Сети связь происходит через узлы, которые нумеруются 8-значными номерами (номер, например 00011122, возможен).

         а) Сколько в Сети может быть узлов?

         б) Какой минимальной длины должны быть номера узлов, чтобы их хватило каждому жителю Земли?

         в) Сколько в Сети узлов суммой цифр номера равной 71?

         г) Сколько в Сети узлов суммой цифр номера меньше 3?

17. Вова услышал в песне, что «…у зим бывают имена…». Он вспомнил 7 самых хороших зим своей жизни и решил дать 7 разных, нравящихся ему женских имен.

         а) Сколькими способами он может это сделать?

         б) Сколько способов существует если 1 зима – точно Татьяна, а последняя – несомненно, Анна?

         в) Сколько способов существует, если женских имен 8, а не 7?

         г) Сколько способов существует, если имен 7, а зим – 8?

18. Ася помнит, что в ответе задачи на правило умножения для двух испытаний получилось 48, и что испытания с одним исходом не рассматривались. Ей надо вспомнить число исходов в обоих испытаниях.

         а) Из скольких вариантов Асе придется выбирать правильный ответ?

         б) Сколько вариантов, которые состоят из чисел разной четности?

         в) Сколько вариантов, которые состоят из чисел, отличающихся друг от друга более, чем на 10?

         г) А сколько всего вариантов, если испытаний было 3?

Практическая работа №29

Решение комбинаторных уравнений

Цель: приобретение умений и навыков решать комбинаторные уравнения с использованием известных формул

Задание для выполнения практической работы №29

1.     Изучите теоретический материал по теме

2.     Решить в натуральных числах 5 комбинаторных уравнений по индивидуальному варианту

Вариант 1.

     1. n!=7(n-1)!;

     2. (k-10)!=77(k-11)!;

     3. (m+17)!=420(m+15)!;

4. (3х)!=504(3х-3)!;

5. 6P_х=Р_х+2.

Вариант 2.

     1. ;

     2. ;

     3. Р_n-4*=42*P_n-2;

     4. =10;

     5. .

Вариант 3.

     1. ;

     2. ;

     3. ;

     4. Р_х-3*;

        5. .

Вариант 4.

     1. ;

        2. ;

        3. 6Р_х=24(х-1)!

     4. ;

    5. 20Р_х-2=.

Вариант 5.

     1. ;

     2. 6*;

        3. ;

        4. ;

5. у^-1*.

    Вариант 6.

         1. ;

         2. 12х=;

                3. Р_х=;

         4. (k+15)!=;

         5. .

Вариант 7.

         1. ;

         2. ;

         3. 36;

         4. ;

         5. .

Вариант 8.

1.     6Р_х=Р_х+5;

2.     12;

3.     ;

4.     30;

5.     .

Тема 8.2.. Случайные события. Основные теоремы теории вероятностей

Устный опрос

1.      Какие события называются достоверными? Приведите примеры?

2.     Какие события называются невозможными? Приведите примеры?

3.     Что называется вероятностью события?

4.     В партии имеется 100 деталей, пять из которых бракованные. Определите вероятность того, что взятая наугад деталь окажется бракованной.

5.     Что называется относительной частотой события?

6.     Какие события называются несовместимыми? Приведите примеры?

7.     Чему равна сумма несовместных событий?

8.     Какие события называются противоположными?

9.     Как формулируется теорема сложения вероятностей?

10. Чему равна сумма вероятностей противоположных событий?

11. Как формулируется теорема умножения вероятностей?

Вероятностная модель случайного опыта

Какие из следующих наборов чисел задают вероятности в ПЭИ с четырьмя исходами:

а) 0,2; -0,2; 0,5; 0,5;           б) 0,1; 0,2; 0,3; 0,5;

в) 0,1; 0,2; 0,3; 0,4;             г) 0,2; 0,3; 0,3; 0,1?

2. Дважды бросается монета. Образуют ли ПЭИ исходы:

а) «герб выпал дважды», «цифра выпала дважды»;

б) «герб выпал хотя бы один раз», «цифра выпала дважды»;

в) «герб выпал один раз», «герб выпал хотя бы один раз», «герб не выпал ни разу»?

3. Извлекается одна косточка домино. Образуют ли ПЭИ следующие исходы:

а) «вынута кость 0:0», «вынута кость 0:1», «сумма очков на вынутой кости – натуральное число, не больше 11»?

4. Производится два выстрела по мишени. Образуют ли ПЭИ следующие исходы: «ни одного попадания», «одно попадание», «нет промаха», «есть хоть одно попадание»?

5. Приведите пример события, вероятность которого равна: а) 0;     б) 1.

6. Приведите примеры опытов, множество исходов которых бесконечно.

Классическое определение вероятности события

1.     Вероятность некоторого события в опыте с равновозможными исходами равна 0,15. Это событие состоит из трех исходов. Чему равны:

а) вероятность каждого исхода;

б) число элементов в ПЭИ?

2.     Зная вероятность события:

а) «стрелок хотя бы один раз попал в цель»;

б) «у стрелка более двух попаданий в цель»;

в) «стрелок попал при всех выстрелах»,

укажите событие, вероятность которого можно вычислить.

3.     Будут ли равновозможными исходы:

а) «элемент в электрической цепи вышел из строя», «не вышел из строя»;

б) «станок потребует вмешательства рабочего», «станок не потребует вмешательства рабочего»;

в) «лампа в телевизоре в течение года выходит из строя», «лампа в телевизоре в течение года не выходит из строя»;

г) «изделие первосортно», «изделие второго сорта»?

Практическая работа №30

Непосредственное вычисление вероятностей

Цель: формирование умений и навыков вычисления вероятности событий по классической формуле определения вероятности

Задание для выполнения практической работы

  Вычислить вероятности событий, указанных в тексте, по индивидуальному варианту

1. За круглым столом сидят 5 мужчин и 5 женщин. Какова вероятность того, что два ли-

ца одинакового пола не сидят рядом, если места занимались случайно?

2. На столе лежат 20 экзаменационных билетов с номерами 1, 2, ..., 20. Преподаватель

берёт 3 любых билета. Какова вероятность того, что они из первых четырёх?

3. Имеется 6 отрезков, длины которых равны соответственно 2, 4, 6, 8, 10, 12 единицам.

Найти вероятность того, что с помощью взятых наугад трёх отрезков можно построит треугольник.

4. Пять студентов из группы изучают английский язык, шесть студентов – немецкий и

семь студентов – французский язык. Случайным образом выбрано четыре студента.

Какова вероятность того, что двое из них изучают английский язык, один изучает

французский и один – немецкий?

5. На семи карточках написаны цифры от 1 до 7. Наудачу извлекаются две карточки.

Какова вероятность того, что сумма цифр на этих карточках будет чётной?

6. В мастерскую для ремонта поступило 10 телевизоров, из которых 3 нуждаются в общем ремонте. Мастер наугад берёт первые 5 штук. Какова вероятность того, что два из них нуждаются в общем ремонте?

7. Бросаются две игральные кости. Найти вероятность того, что выпадет одинаковое

число очков на обеих костях, и вероятность того, что на обеих костях выпадет чётное

число очков.

8. Из полной колоды карт (52 карты) вынимается наугад три карты. Найти вероятность

того, что этими картами будут тройка, семёрка и туз.

9. Телефонный номер состоит из пяти цифр. Найти вероятность того, что номер телефона случайно выбранного абонента не содержит одинаковых цифр.

10. В шахматном турнире участвуют 20 человек, которые разбиваются на две группы по

10 человек. Определить вероятность того, что четыре наиболее сильных игрока раз-

Делятся между группами поровну.

11. Четырёхтомное сочинение расположено на полке в случайном порядке. Найти веро-

ятность того, что тома стоят в должном порядке справа налево или слева направо.

12. Какова вероятность того, что четырехзначный номер случайно взятого автомобиля в

большом городе имеет все цифры разные и вероятность того, что он имеет все циф-

ры одинаковые?

13. Полная колода карт (52 карты) делится пополам. Найти вероятность того, что число

чёрных и красных карт в обеих пачках будет одинаковым.

14. На полке лежат 15 учебников, из них 7 – по математике. Студент наудачу берёт 3

учебника. Какова вероятность того, что взятые учебники – учебники по математике?

15. Игральная кость бросается два раза. Какова вероятность того, что сумма выпавших

очков будет не менее 7 и не более 10?

16. В урне 2 белых и 4 чёрных шара. Из урны парами последовательно извлекают все

шары. Какова вероятность того, что в последней паре оба шара будут чёрными?

17. Студент знает 15 из 20 вопросов учебной программы. На экзамене предлагается отве-

тить на 3 вопроса, которые выбираются случайным образом. Какова вероятность то-

го, что студент сможет ответить на предложенные вопросы?

18. Отрезок прямой, длина которого равна 2, делится случайным образом на 3 части.

Найти вероятность того, что из полученных частей можно построить треугольник.

19. Спортивная команда состоит из 20 спортсменов, из которых 5 боксёров, 7 штангистов

и 8 борцов. Для беседы с журналистом было выбрано случайным образом 3 спорт-

смена. Определить вероятность того, что выбранные спортсмены представляют раз-

личные дисциплины спорта.

20. На восьми карточках написаны цифры от 1 до 8. Наудачу извлекаются две карточки.

Какова вероятность того, что сумма цифр, написанных на этих карточках, будет не

менее 12?

21. Бросаются две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков

будет не более чем 10.

22. Каждая из цифр 1, 3, 5, 6 и 8 написана на одной из пяти карточек. Карточки переме-

шивают и раскладывают в ряд. Какова вероятность того, что полученное пятизначное

число будет делиться на 4?

23. Наугад выбирается двухзначное число. Определить вероятность того, что сумма

цифр этого числа является простым числом.

24. Из полного набора домино (28 штук) наудачу выбирают 7 костей. Какова вероятность

того, что среди них окажется три кости с шестью очками?

25. Группа, состоящая из 8 человек, занимает места за круглым столом в случайном порядке. Какова вероятность того, что при этом два определенных лица окажутся сидящими рядом?

Тест

Вариант 1.

1. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?

1) 30 2)      100   3)      120   4)5

2. В 9«Б» классе 32 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?

         1) 128         2)      35960 3)36  4)46788

3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?

         1) 10 2)60  3) 20 4)30

 4.Вычислить: 6! -5!

         1) 600         2)      300   3)      1       4)      1000

5. В ящике находится 45 шариков, из которых 17 белых. Потеряли 2 не белых шарика. Какова вероятность того, что выбранный наугад шарик будет белым?

          1)2)3)4)

6. Бросают три монеты. Какова вероятность того, что выпадут два орла и одна решка?

1)          2)      0,5    3)0,125       4)     

1.     В денежно-вещевой лотерее на 1000000 билетов разыгрывается 1200 вещевых и 800 денежных выигрышей. Какова вероятность выигрыша?

1)0,0012

2)    0,00012               

         3) 0,0008

      4) 0,002

Вариант 2.

 1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

1)      100   2)      30     3)      5       4)      120

 2. Имеются помидоры, огурцы, лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 2 различных вида овощей?

1)      3       2)      6       3)      2       4)      1

 3. Сколькими способами из 9 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 6 различных уроков.

1)      10000 2)      60480 3)      56     4)      39450

 4. Вычислите:

1)      2       2)      56     3)      30     4)     

5. В игральной колоде 36 карт. Наугад выбирается одна карта. Какова вероятность, что эта карта — туз?

1)2)3)4)

 6. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что выпадут две четные цифры?

1) 0,25        2)3) 0,5         4) 0,125

 7. В корзине лежат грибы, среди которых 10% белых и 40% рыжих. Какова вероятность того, что выбранный гриб белый или рыжий?

1) 0,5 2) 0,4 3) 0,04  4) 0,8

Вариант 3.

 1. Сколькими способами можно расставить 4 различные книги на книжной полке?

1)      24     2)      4       3)      16     4)      20

 2. Сколько диагоналей имеет выпуклый семиугольник?

1)      30     2)      21     3)      14     4)      7

3. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

1)      22     2) 11  3) 150         4) 110

4. Сократите дробь:

1)  1 2)  3)       4)  

 5. Какова вероятность, что при одном броске игрального кубика выпадает число очков, равное четному числу?

1)  2) 0,5          3)  4)      0,25

6. Катя и Аня пишут диктант. Вероятность того, что Катя допустит ошибку, составляет 60%, а вероятность ошибки у Ани составляет 40%. Найти вероятность того, что обе девочки напишут диктант без ошибок.

1) 0,25        2)0,4        3)      0,48  4)      0,2

 7. Завод выпускает 15% продукции высшего сорта, 25% - первого сорта, 40% - второго сорта, а все остальное - брак. Найти вероятность того, что выбранное изделие не будет бракованным.

1)      0,8    2)      0,1    3) 0,015      4)      0,35

Вариант 4

 1. Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 5 человек?

1) 5   2)      120    3)      25     4)      100

 2. Сколькими способами из 25 учеников класса можно выбрать четырех для участия в праздничном концерте?

1) 12650     2)      100   3)      75     4)10000

 3. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры. Которых нечетные и различные.

1)      120   2)      30     3)      50     4)      60

 4. Упростите выражение:  

1) 0,5 2)   3) -n  4)  -1

5.Какова вероятность, что ребенок родится 7 числа?

1)    2)  3)  4) 

 6. Каждый из трех стрелков стреляет в мишень по одному разу, причем попадания первого стрелка составляет 90%, второго - 80%, третьего - 70%. Найдите вероятность того, что все три стрелка попадут в мишень?

1) 0,504      2)      0,006 3)      0,5    4)      0,3

 7. Из 30 учеников спорткласса, 11 занимается футболом, 6 - волейболом, 8 - бегом, а остальные прыжками в длину. Какова вероятность того, что один произвольно выбранный ученик класса занимается игровым видом спорта?

1)    2) 0,5 3)  4) 

Вариант 5

 1. Сколько существует вариантов рассаживания 6 гостей на 6 стульях?

1)      36     2)      180   3)      720   4)      300

 2. Аня решила сварить компот из фруктов 2-ух видов. Сколько различных вариантов (по сочетанию фруктов) компотов может сварить Аня, если у нее имеется 7 видов фруктов?

1)      14     2)      10     3)      21     4)      30

 3. Сколько существует обыкновенных дробей, числитель и знаменатель которых - простые различные числа не больше 20?

1)      80     2)      56     3)      20     4)      60

4. Упростите выражение:   - 

1)  2)  3)  4) 0

5. Какова вероятность того, что выбранное двузначное число делится на 12?

1)          2)           3)          4)     

 6. Николай и Леонид выполняют контрольную работу. Вероятность ошибки при вычислениях у Николая составляет 70%, а у Леонида - 30%. Найдите вероятность того, что Леонид допустит ошибку, а Николай нет.

1) 0,21        2)      0,49  3)      0,5    4)      0,09

7. Музыкальная школа проводит набор учащихся. Вероятность быть не зачисленным во время проверки музыкального слуха составляет 40%, а чувство ритма - 10%. Какова вероятность положительного тестирования?

1) 0,5 2)      0,4     3)      0,6    4)      0,04

Вариант 6

1. Сколькими способами можно с помощью букв К, А, В, С обозначить вершины четырехугольника?

1) 12 2)      20      3)      24     4)      4

 2. На полке стоят 12 книг. Наде надо взять 5 книг. Сколькими способами она может это сделать?

1)      792   2)      17     3)      60     4)      300

 3. В 12 - ти этажном доме на 1 этаже в лифт садятся 9 человек. Известно, что они выйдут группами в 2, 3 и 4 человека на разных этажах. Сколькими способами они могут это сделать, если на 2 - Ом этаже лифт не останавливается?

1) 100         2)      720   3)      300   4)      60

4. Упростите выражение: - 

1)  2) 3) 4) 0

 5. В ящике лежат карточки с буквами, из которых можно составить слово «электрификация». Какова вероятность того, что наугад выбранная буква окажется буквой к?

1)2) 7   3)  4)  

6.  Каждый из трех стрелков стреляет в мишень по одному разу, причем вероятность попадания 1 стрелка составляет 80%, второго - 70%, третьего 60%. Найдите вероятность того, что двое из трех стрелков попадет в мишень.

1) 0,336      2)      0,452 3)      0,224 4)      0,144

7. В корзине лежат фрукты, среди которых 30% бананов и 60% яблок.

Какова вероятность того, что выбранный наугад фрукт будет бананом или яблоком?

1)      0,9    2)      0,5    3)      0,34  4)      0,18

Вариант 7

1. В корзине лежит: яблоко, апельсин, грейпфрут и манго. Сколькими способами 4 девочки могут поделить фрукты? (одной девочке один фрукт)

1) 4   2)      24      3)      20     4) 16

 2.На плоскости расположены 25 точек так, что три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

1) 75 2)      100    3)      2300 4)      3000

 3.В теннисном турнире участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами теннисисты могут завоевать золото, серебро и бронзу?

1) 600         2)      100   3)      300   4)720

4.Вычислите: .

1)      1       2)      13     3)      12     4)      32

 5.Случайным образом открывается учебник литературы и находится второе слово на странице. Какова вероятность того, что это слово начинается на букву л?

1) 2)      3) 4)    

 6.Вступительный экзамен в лицей состоит из трех туров. Вероятность отсева в 1 туре составляет 60%, во втором - 40%, в третьем - 30%. Какова вероятность поступления в лицей?

1) 0,24        2)      0,12  3)      0,18  4)      0,072

 7. В коробке лежат 4 голубых, 3 красных, 9 зеленых, 6 желтых шариков. Какова вероятность того, что выбранный шарик будет не зеленым?

1)          2)      0,5    3)           4)        

Вариант 8

 1. Разложите на простые множители число 30. Сколькими способами можно записать в виде произведения простых множителей число 30?

1) 6   2)      12      3)      30     4)      3

 2. Сколько можно составить из простых делителей числа 2730 составных чисел, имеющих только два простых делителя?

1) 300         2)      10     3)      150   4)      15

 3. На плоскости даны 8 точек, причем три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует векторов с началом и концом в любых двух из данных точек?

1) 18 2)      28      3)'- 64         4)      56

 4. Вычислите: -Р₂

1) 48 2)      94      3)      56     4) 96

 5. Катя забыла последнюю цифру семизначного номера телефона знакомой девочки. Какова вероятность того, что Катя набрала телефон знакомой девочки?

1)      0,5    2)      0,1    3)   4) 0,7.

 6. Три выключателя соединены параллельно. Вероятность выхода из строя первого выключателя равна 3%, второго - 4%, третьего - 1%. Какова вероятность того, что цепь будет разомкнута?

1) 12 2)      0,5     3)      0,12  4)      12 *10⁶

7. На экзамене по математике для усиления контроля класс из 35 учащихся рассадили в три аудитории. В первую посадили 10 человек, во вторую - 12, в третью - остальных. Какова вероятность того, что два друга окажутся в одной аудитории?

1) 2) 0.5 3) 4)

Вариант 9

 1. Сколькими способами можно закрасить 6 клеток так, чтобы 2 клетки были закрашены красным цветом, а 4 другие - белым, черным, зеленым и синим? (каждый своим цветом).

1)      120   2)      360   3)      180   4) 500

 2.Сколькими способами можно группу из 17 учащихся разделить на 2 группы так, чтобы в одной группе было 5 человек, а в другой - 12 человек.

1)      60     2)      85     3)      6188 4)6000

 3.На плоскости даны 10 точек, причем три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует лучей с началом в любой из данных точек, проходящих через любую другую из данных точек?

1)      720   2)      360   3)      500   4) 100

 4. Решите уравнение: А²_х+1= 20

1)      4; -5  2)      4       3)      -5      4) 9

 5. В лотерее 1000 билетов, среди которых 20 выигрышных. Приобретается один билет. Какова вероятность того, что этот билет невыигрышный?

1) 2)0,2 3)           4)0,5

 6. Отдел технического контроля типографии «Фаворит» проверил книжную продукцию на наличие брака. Вероятность того, что книга не бракованная равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных книг только одна бракованная.

1) 0,18        2)      0,81  3)      0,5    4) 0,01

7. 25 выпускников мединститута направили работать в три села. В Хацепеевку попало 7 молодых специалистов, в Хачапуровку - 12, В Красные Огурейцы - остальные. Какова вероятность того, что три друга будут сеять разумное, доброе, вечное в одном селе?

1)          2)          3)      0,5    4) 0,35

Вариант 10

 1. Сколькими способами можно закрасить 6 клеток таким образом, чтобы 3 клетки были красными, а 3 оставшиеся были закрашены (каждая своим цветом) былым, черным и зеленым?

1)      180   2)      300   3)      120   4)      240

 2. Сколькими способами из 10 игроков волейбольной команды можно выбрать стартовую шестерку?

1) 210         2)      60     3)      30     4) 240

 3. На соревнованиях по легкой атлетике приехала команда из 12 спортсменок. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4 по 100 на первом, втором, третьем и четвертом этапах?

1) 1200       2)      88000 3)      И880 4)3000

 4. Решите уравнение: • (x -1) = 30

1)      6       2)      -5; 6  3)      -5      4) 30

 5. На карточках выписаны числа от 1 до 10 (на одной карточке - одно число). Карточки положили на стол и перемешали. Какова вероятность того, что на вытащенной карточке окажется число 3?

1)          2)      0,1    3)            4) 0,4

 6. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие, окажется высшего сорта равна 0,8. Найдите вероятность того, что из трех проверенных изделий только два высшего сорта.

1) 0,384      2)      0,5    3)      0,3    4) 0,4

7. На соревнованиях по стрельбе стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,04, в девятку 0,1, в восьмерку - 0,2. Какова вероятность того, что одним выстрелом стрелок наберет не менее восьми очков.

1) 0,14         2) 0,3           3) 0,24         4) 0,34

Ответы к тестам

Вариант 1

№ задания	1	2	3	4	5	6	7
№ ответа	3	2	4	1	2	3	4

Вариант 2

1	№ задания	2	3	4	5	6	7
4	№ ответа	1	2	2	3	1	1

Вариант 3

№ задания	1	2	3	4	5	6	7
№ ответа	1	2	4	3	2	4	1

Вариант 4

№ задания	1	2	3	4	5	6	7
№ ответа	2	1	4	3	2	1	1

Вариант 5

№ задания	1	2	3	4	5	6	7
№ ответа	3	3	2	2	2	4	1

Вариант 6

№ задания	1	2	3	4	5	6	7
№ ответа	3	1	2	3	1	3	1

Вариант 7

№ задания	1	2	3	4	5	6	7
№ ответа	2	3	4	1	2	3	1

Вариант 8

№ задания	1	2	3	4	5	6	7
№ ответа	1	2	4	3	2	4	1

Вариант 9

№ задания	1	2	3	4	5	6	7
№ ответа	2	3	1	2	3	1	2

Вариант 10

№ задания	1	2	3	4	5	6	7
№ ответа	3	1	4	1	2	1	4

Критерий оценки

Критерий оценки:

4 - 5 заданий – оценка 3

6 -  заданий – оценка 4

7 –  заданий – оценка 5

Тема 8.3. Случайные величины

Практическая работа №31

Определение числовых характеристик дискретной случайной величины

Цель: приобретение умений определять числовые характеристики дискретной случайной величины

Задания для выполнения практической работы №31

Вариант 1.

         1. Две  радиолокационные станции ведут наблюдение за тремя объектами, которые могут создавать помехи, затрудняющие их обнаружение. Число объектов, которые могут быть обнаружены этими станциями за один цикл  осмотра, имеют соответственно законы распределения:

	0	1	2	3			0	1	2	3
	0.01	0.03	0.06	0.9			0.02	0.02	0.04	0.92

а) Какая из станций работает надежнее?

б) Найдите среднее число объектов, обнаруженных первой станцией за пять циклов осмотра.

в) Найдите среднее значение разности между числом объектов, обнаруженных  первой и второй станциями за один цикл  осмотра

2. Случайная величина Х задана рядом распределения

	-2	-1	0	2	3
	0.1	0.15	0.25	0.15	0.1

Найти Р {Х<-1}, P{-1x2}.

Найти MX, DX.

Построить таблицу распределения и найти MY, DY для случайной величины Y=2X+3

Вариант 2.

         1. Число клиентов, обслуживаемых двумя парикмахерскими, за 30 мин имеют соответственно законы распределения:

	0	1	2	3			0	1	2	3
	0.5	0.2	0.25	0.5			0.1	0.2	0.3	0.4

а) Какая из парикмахерских более загружена работой?

б) Найдите среднее число клиентов, обслуживаемых 1-й парикмахерской за 7ч.

в) Какое среднее число клиентов обслуживают обе парикмахерские за 30 мин?

         2. Случайная величина Х задана рядом распределения.

	1	3	5	7	9	11
	0.1	0.15	0.25	0.25	0.15	0.1

Нарисовать многоугольники распределения.

Найти Р{X<2}, P{X>10}, P{3X9}.

Найти MX, DX.

Построить таблицу распределения и найти MY, DY для случайной величины Y=5X+3

Вариант 3.

         1. Число опечаток на одной странице в каждой из двух книг имеет соответственно закон распределения:

	0	1	2			0	1	2	3
	0.84	0.09	0.07			0.85	0.1	0.03	0.02

а) Какая книга набрана качественнее?

б) Найдите среднее число опечаток на 20 страницах первой книги.

в) Наймите среднюю разность между числом опечаток на одной странице первой и второй книг.

         2. Случайная величина Х задана рядом распределения.

	1	2	3	4	5	6
	0.1	0.15	0.25	0.15	0.15	0.1

Найти P{X<2}, P{X>5}, P{2X5}.

Найти MX, DX.

Построить таблицу распределения и найти MY, DY для случайной величины Y=2X+2

Вариант 4.

         1. Число дорожных происшествий, происходящих на каждом из двух перекрёстков за сутки, имеет соответственно закон распределения.

	0	1	2			0	1	2	3
	0.86	0.08	0.06			0.87	0.1	0.02	0.01

а) Какой из перекрёстков безопаснее для движения?

б) Найдите среднее число происшествий, происходящих на втором перекрёстке за 10 сут.

в) Какое среднее число происшествий происходит на обеих перекрёстках за сутки?

г) Вычислите дисперсию числа происшествий на первом перекрёстке: за сутки; за двое суток.

         2.  Случайная величина Х задана рядом распределения.

	1	2	3	4	5
	0.1	0.2	0.4	0.2	0.1

Найти P{X<2}, P{X>4}, P{2X4}.

Найти MX, DX.

Построить таблицу распределения и найти MY, DY для случайной величины Y=2X+2

Вариант 5.

         1. Техническая система содержит два прибора повышенной надёжности, в каждом из которых имеется три однородные детали, дублирующие работу друг друга. Законы распределения числа деталей, выходящих из строя за каждые 1000 часов работы системы, для этих приборов имеют соответственно вид:

	0	1	2	3			0	1	2	3
	0.7	0.15	0.1	0.05			0.68	0.16	0.12	0.04

а) Какой из приборов надёжнее?

б) Найдите среднее число деталей в первом приборе, выходящих из строя за 10000 часов.

         2.  Случайная величина Х задана рядом распределения.

	1	2	3	4	5
	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8

Найти P{X<2}, P{X>7}, {2X7}.

Найти MX, DX.

Построить таблицу распределения и найти MY, DY для случайной величины Y=3X+1

Вариант 6

         1.Выигрыши, выпадающие на один билет в двух лотереях, имеют соответственно законы распределения.

	0	1	3	5	10			0	1	3	5	10
	0.85	0.08	0.04	0.02	0.01			0.91	0.03	0.01	0.03	0.02

а) Какой лотерее Вы отдали бы предпочтение?

б) Найдите средний выигрыш для владельцев 5 билетов в выбранной лотерее.

в) Какой средний выигрыш получит лицо, купившее по одному билету в каждой лотерее?

г) Вычислите дисперсию выигрыша в первой лотерее для владельца одного билета; двух билетов.

2.Случайная величина Х задана рядом распределения.

	1	2	3	4	5	6	7	8
	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8

Найти P{Х<2}, P{Х>7}, P{2X7}

Найти MX, DX, dX=

Построить таблицу распределения и найти MY, DY для случайной величины Y=3Х+1

Вариант 7.

         1. В каждом из двух цехов по 4 мотора. Законы распределения числа моторов, включенных в данный момент, имеют собственный вид.

	1	2	3	4			1	2	3	4
	0.1	0.4	0.3	0.2			0.15	0.35	0.45	0.45

         Стоимость работы мотора в один час равна 15 руб.

а) Какой из цехов интенсивнее использует моторы?

б) Какое среднее число моторов включено в данный момент в обеих цехах?

в) Найдите среднюю стоимость работ станков за один час в первом цехе.

         2.  Случайная величина Х задана рядом распределения.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1

Найти P{X<2}, P{X>9}, {2X9}.

Найти MX, DX. dX=

Построить таблицу распределения и найти MY, DY для случайной величины Y=2X+3

Вариант 8

1.Число бракованных изделий, изготавливаемых каждым из двух рабочих за смену, имеет соответственно закон распределения

	0	1	2			0	1	2
	0.94	0.01	0.05			0.93	0.04	0.03

a) Какой из рабочих работает лучше?

б) Найдите среднее число бракованных изделий, изготавливаемых первым рабочим за четыре смены.

в) Какое среднее число бракованных деталей изготавливают оба рабочих за смену?

г) Вычислите дисперсию числа бракованных деталей, изготавливаемых первым рабочим: за одну смену; за две смены.

2.  Случайная величина Х задана рядом распределения.

	1	2	3	4	5	6
	0.1	0.15	0.25	0.25	0.15	0.1

Найти P{X>2}, P{2X5}, P{X>5}. MX, DY, dX.

Построить таблицу распределения и найти MY, DY для случайной величины Y=2Х+2

Вариант 9

         1. Число вызовов, поступающих в больницы скорой помощи двух районов ночью в течение 10 мин, имеют соответственно законы распределения:

	0	1	2	3			0	1	2	3
	0.5	0.15	0.5	0.3			0.1	0.2	0.3	0.4

а) Какая из больниц более загружена?

б) Найдите среднее число вызовов, поступающих во вторую больницу за 1 час?

         2. Случайная величина Х задана рядом распределения.

	-2	-1	0	1	2	3
	0.1	0.15	0.25	0.25	0.15	0.1

Найти P{X<-1}, P{X>2}, P{-1X2}

Найти MY, DY, dX;  dX=

Построить таблицу распределения и найти MY, DY для случайной величины Y=2Х+3

Вариант 10

         1. Отклонения от номинального размера результата некоторого измерения на двух приборах одним оператором имеют соответственно законы распределения:

	1	2	3	4		%	1	2	3	4
	0.1	0.4	0.3	0.2			0.2	0.3	0.25	0.25

а) Какой из приборов точнее?

б) Найдите среднее отклонение среднего арифметического пяти измерений на первом приборе.

в) Найдите среднее значение разности между отклонениями результатов измерений от номинала на двух приборах.

2. Случайная величина Х задана рядом распределения

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1

Найти Р{Х<2}, Р{Х>9}, Р{2Х9}.

Найти МХ, DХ (х) dX=

Построить таблицу распределения и найти МY и DY для случайной величины Y=Х+3

Тема 8.4. Основные задачи математической статистики

Устный опрос

1.     Задачи математической статистики

2.     Генеральная и выборочная совокупности, объем выборки

3.     Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка.

4.     Перечислите способы отбора

5.     Какие сложности возникают при сборе статистической информации?

6.     Статистическое распределение выборки

7.     Графическое представление выборки

8.     Статистические оценки параметров распределения

9.      Что такое генеральная совокупность и выборка из нее? Что такое объем выборки? Какая выборка называется репрезентативной?

10.  Что такое  вариационный ряд? Что такое относительная (эмпирическая) частота значения х_i из вариационного ряда?

11.  Что такое таблица статистического распределения выборки?

12.  Как по таблице статистического распределения выборки строится полигон для дискретных вариационных рядов?

13.  Как по таблице статистического распределения выборки строится гистограмма для интервальных вариационных рядов в случае одинаковых интервалов?

14.  Как по таблице статистического распределения выборки строится гистограмма для интервальных вариационных рядов в случае неодинаковых интервалов?

15.  Как строится полигон по гистограмме интервального вариационного ряда?

16.  Что такое мода для дискретного вариационного ряда? Что такое медиана?

Практическая работа №32

Графическое представление выборки

Цель: приобретение умений читать готовые диаграммы, извлекая из них нужную информацию

Задание для выполнения практической работы №32

1.     Самостоятельно осуществить поиск различных видов диаграмм, используя для этого всевозможные средства массовой информации, включая и электронные.

2.     Провести полное исследование диаграммы и записать полученную информацию.

4. Контрольно-оценочные материалы для промежуточной аттестации по учебной дисциплине

Предметом оценки являются умения и знания. Контроль и оценка осуществляются через письменный экзамен в 1 и 2 семестрах.

Билет формируется из трех теоритических вопросов и двух практических заданий

Критерий оценки письменного экзамена

по математике

         Оценка «отлично» ставится, если:

- работа выполнена полностью;

- в логических  рассуждениях и обосновании решения нет пробе­лов и ошибок; 

- в решении нет математических ошибок (возможна одна неточ­ность, описка, не являющаяся следствием незнания или непо­нимания учебного материала).

Оценка «хорошо» ставится, если:

- работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);

- допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, ри­сунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки).

Оценка «удовлетворительно» ставится, если:

допущены более одной ошибки или более двух-трех недоче­тов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.

Оценка «неудовлетворительно» ставится, если:

      допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не владеет

      обязательными умениями по данной теме в полной мере

Теоритические вопросы и практические задания письменного экзамена

1 семестр

Раздел 1.

Числовые системы и приближенные вычисления

12. Какое число называется приближенным?

13. Что называется истинной погрешностью и истинной абсолютной погрешностью?

14. Что называется границей абсолютной погрешности?

15. Какие цифры приближенного числа называются верными?

16. Какие цифры называются сомнительными?

17. Сформулируйте правило записи приближенных чисел. Приведите примеры.

18. Как округляются приближенные числа?

19. Что называется границей абсолютной погрешности приближенного числа?

20. Что называется границей относительной погрешности приближенного числа?

21.  Перечислите правила действий с приближенными числами. Приведите примеры.

22.  Выполните действия с приближенными числами:

а) 367,24+165,3749+171,5+16,2829;

б) 17,352*1,447(с точностью до 0,1);

в) 643,5723/47,243(с точностью до 0,1).

12. Дайте определение мнимой единице.

13. Как вычисляют степени мнимой единицы?

14. Вычислите i³⁵; i⁴²;i¹⁴⁴.

15. Какое число называется комплексным?

16. Какие комплексные числа называются чисто мнимыми? Приведите примеры комплексных чисел, чисто мнимых чисел.

17. Какие комплексные числа называются равными?

18. Решите уравнения:

      а) 5х+3iу=17-12i;

         б) 7х-2i=9+5iу.

19. Какие комплексные числа называются сопряженными?

20. Как выполняется сложение, вычитание, умножение, комплексных чисел в алгебраической форме?

21. Произведите действия:

   а) (2+3i)+(2i-7);

  б) (6+5i)-(2-3i);

  в) (5+2i)(3-5i);

г) (6-2i)(6+2i);

д) (3-7i)2.

22.  Как выполняется деление комплексных чисел в алгебраической            форме?

23.  Выполните действия:

         а)    б)     в)     г)

       24.  Как геометрически изображаются комплексные числа?

       25. Что называется модулем и аргументом комплексного числа?

26. Запишите формулы ля вычисления модуля  и аргумента          комплексного числа.

27. Как решить квадратное уравнение, если дискриминант его    отрицателен?

28. Какие корни и сколько корней имеет квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом?

       29. Решите квадратные уравнения:

         а) х²-10х+34=0;

         б) х²+4х+53=0.

Раздел 2.

Степенная, показательная и логарифмическая функции

1.     Степени с рациональным показателем, их свойства. Основные действия.

2.     Вычислите:

а) ;

б) 5^-3; (-2)^-3; .

3.     Корни. Свойства корней.

4.     Упростите выражение .

5.     Найдите произведение .

6.     Степенная функция.

7.     Показательная функция и ее свойства.

8.     Приведите к одному показателю .

9.     Логарифмическая функция, ее график и свойства.

10. Теоремы логарифмирования. Натуральные логарифмы.

11. Уравнения. Основные способы решения.

12.  Решите:

а) 2^х+2^х-2+2^х-3=

б) 9*3^2х-28*3^х+3=0

13. Показательные и логарифмические уравнения.

14. Решите:

а) log₂(х-5)-log₂(2x+5)=3log₂2

б) lg²x-lgx-6=0

    15. Решите уравнение ; .

Раздел 3.

Основы тригонометрии

15. Что называется единичной окружностью?

16. Каковы соотношения между градусом, минутой и секундой?

17. Градусные и радианные измерения углов.

18. Выражение длины дуги окружности и площади сектора через радиус и радианную меру центрального угла.

19. Определение тригонометрической функции.

20. Функции острого угла и прямоугольный треугольник.

21. Периодичность тригонометрических функций.

22. Чему равен период функции:

а) у=sin x; у=cos х?

б) у=tg x; у=ctg x?

23. Знаки тригонометрических функций.

24. Четность тригонометрических функций.

25. Формулы приведения.

26.  Основные тригонометрические тождества.

27.  Упростите выражение

28. Тригонометрические функции суммы и разности (теоремы сложения).

29.  Тригонометрические функции половинного аргумента.

30.  Вычислите sin 15º; cos 15º cos 45º-sin 15º cos 45º.

31.  Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение.

32.  Преобразование произведений тригонометрических функций в сумму и разность.

33.  Промежутки монотонности тригонометрических функций.

34.  Графики тригонометрических функций

 у=sin x; у=cos х;

 у=tg x; у=ctg x.

35.  Что называется арксинусом, арккосинусом и арктангенсом числа a?

36.  Вычислите: arcsin (0,5); arcos (-0,5); arctg (-1).

37.  Тригонометрические уравнения.

38. Решите уравнение:

а) tg²x-5tgx=0;

б) 3cos²x+8cosx-3=0;

в) cos 3x+cos 5x+cos 7x=0.

2 семестр

Раздел 4.

Дифференциальное исчисление

14.       Как найти мгновенную скорость прямолинейного неравномерного движения?

15.       Как вычислить угловой коэффициент касательной к кривой в данной точке?

16.       Что характеризует скорость изменения функции относительно изменения аргумента? дайте определение производной.

17.       Какая функция называется дифференцируемой в точке и на отрезке? Сформулируйте зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

18.       Из каких операций складывается общее правило нахождения производной данной функции? Как вычислить частное значение производной?

19.       Выпишите в таблицу основные правила и формулы дифференцирования функций.

20.       Повторите определение сложной функции. Как найти ее производную?

21.       Каков геометрический смысл производной? Как геометрически определить значение производной в точке?

22.       В чем заключается механический смысл производной?

23.       Что называется производной второго порядка и каков ее механический смысл?

24.       Повторите определение возрастающей и убывающей функций. Каковы знаки производной функции в интервалах ее возрастания и убывания?

25.       В чем заключается необходимый и достаточный признаки существования экстремума функции с помощью первой производной?

26.       Как отыскивают экстремумы функций с помощью второй производной? Почему в точке максимума вторая производная отрицательна, а в точке минимума – положительна?

27.       В чем разница между нахождением максимума и минимума функции и нахождении ее наибольшего и наименьшего значения?

28.       Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данной отрезке? Найдите эти значения для функции y=x³-3x²+1 на отрезке [-1;4].

29.       Как определяются геометрически и по знаку второй производной выпуклость и вогнутость кривой?

30.       Что называется точкой перегиба и каковы необходимый и достаточный признаки ее существования? Сформулируйте правило нахождения точки перегиба.

31.       Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции?

                                                   Раздел 5.

Интегральное исчисление

8.         Что является основной задачей интегрального исчисления?

9.         Какая функция называется первообразной для заданной функции?

10.       Если F(x) – первообразная для f(x), то каким равенством связаны они между собой?

11.       Запишите первообразные для функции: 3, 4x³. cos x, 2/x.

12.       Какая из двух функций 5x⁴ или x⁵+4 является первообразной для другой?

13.       Докажите, что функция F(x) есть первообразная для функции f(x) на указанном промежутке, если: а)  б) .

14.       Первообразная определяется неоднозначно. Как это нужно понимать?

15.       Почему при интегрировании функции появляется произвольная постоянная?

16.       Почему одна функция имеет целую совокупность первообразных?

17.       Как записать всю совокупность первообразных функций?

18.       Что называется неопределенным интегралом?

19.       Чем отличается неопределенный интеграл от первообразной функции?

20.       Почему интеграл называется неопределенным?

21.       Как называются все элементы равенства?

22.       Чем отличаются друг от друга подынтегральная функция и подынтегральное выражение?

23.       Что означает постоянная C в определении неопределенного интеграла?

24.       Чему равны производная и дифференциал неопределенного интеграла?

25.       В чем заключается правило интегрирования выражения, содержащего постоянный множитель?

26.       В чем заключается правило интегрирования алгебраической суммы функции?

27.       Чему равен интеграл от дифференциала некоторой функции?

28.       Напишите основные формулы интегрирования.

29.       Как доказать справедливость каждой формулы интегрирования?

30.       Почему  для интеграла ? В какой формуле рассматривается этот случай?

31.       Запишите неопределенные интегралы для выражений: а) 3sin x dx; б) x² dx; в) .

32.       Как проверить результат интегрирования?

33.       какие из следующих равенств записаны верно, а какие нет: а)  б) в) ?

34.       В чем состоит геометрический смысл неопределенного интеграла?

35.       Что такое интегральные кривые? Как они расположены друг относительно друга? Могут ли они пересекаться?

36.       Как расположены касательные к интегральным кривым в точках, имеющих одну и ту же абсциссу?

37.       Как из семейства интегральных кривых выделить одну из них?

38.       Как определить постоянную интегрирования по начальным данным?

39.       В семействе кривых  найдите кривую, проходящую через точку (2;3).

40.       Для функции . Найдите первообразную F(x),  график которой проходит через точку M(4;5).

41.       Скорость прямолинейно движущейся точки меняется по закону . Найдите закон движения.

42.       Укажите целесообразные подстановки для нахождения следующих интегралов: а) ; б) ; в) .

43.       Укажите, какие из следующих интегралов целесообразно интегрировать по частям:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

44.       Что такое определенный интеграл?

45.       Что в записи  означают: а) a и b; б) x; в) f(x); г) f(x)dx? Может ли быть a=b; a>b?

46.       Зависит ли приращение F(b)-F(a) от выбора первообразной?

47.       Вычислите: а) ; б) .

48.       Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.

49.       Вычислите интегралы: а) ; б) .

50.       В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

51.       Может ли площадь криволинейной трапеции быть равна отрицательной величине, нулю и почему?

52.       Приведите примеры физических и технических задач, которые можно решить с помощью определенного интеграла.

53.       Найдите площадь фигуры, ограниченной прямыми , x=4 и осью абсцисс.

54.       Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями , x-4=0.

Раздел 6.

Аналитическая геометрия на плоскости

25.       Что называется вектором?

26.       Что называется длиной вектора?

27.       Какие векторы называются равными?

28.       Как сложить два вектора?

29.       Как найти разность двух векторов?

30.       Как умножить вектор на число?

31.       Постройте , взяв в качестве и два любых неколлинеарных вектора.

32.       Какие векторы называются коллинеарными?

33.       Как разложить вектор в декартовой системе координат?

34.       Что называется базисом?

35.       Что называется координатами вектора?

36.       Как найти координаты вектора, заданного двумя точками?

37.       Найдите координаты вектора, заданного точками: а) A(5;-3) и B(-2;7) б) O(0;0) и M(7;2).

38.       Как найти длину вектора, заданного двумя точками?

39.       Найдите длину вектора .

40.       Как вычисляется длина вектора, заданного своими координатами?

41.       Найдите длину вектора, заданного точками: а) A(3;-1), B(7;0); б) M(0;16), N(6;4);
в) Q(-1;-2), P(-5;3).

42.       Как выполняются сложение и вычитание векторов, заданных своими координатами?

43.       Вычислить сумму и разность векторов и , заданных точками A(3;1), B(-2;6), M(0;-3), N(7;-2).

44.       Как умножить вектор, заданный своими координатами, на число?

45.       Даны векторы  и . Найдите .

46.       Для векторов, заданных точками A(6;2), B(1;3), C(0;-5), найдите .

47.       Каким свойством обладают координаты коллинеарных векторов?

48.       Даны векторы . Какие из них коллинеарны?

49.       Запишите формулы деления отрезка в заданном отношении.

50.       Запишите формулы деления отрезка на две равные части.

51.       Найдите координаты середины отрезка AB, где A(5;3), B(-1;6).

52.       Найдите координаты точек, которые делят отрезок, заданный точками A(-1;5) и B(6;3), на три равные части.

53.       В треугольнике с вершинами A(2;7), B(5;-4), C(-3;2) найдите длины сторон и медианы AD.

54.       В треугольнике с вершинами A(2;7), B(5;-4), C(-3;2) найдите точку пересечения медиан.

55.       Что называется скалярным произведением?

56.       Вычислите скалярное произведение векторов  и , а угол между ними равен 60^о.

57.       Как вычисляется скалярное произведение векторов, заданных своими координатами?

58.       Вычислите скалярное произведение векторов: а)  и  б)  и .

59.       Какими свойствами обладает скалярное произведение векторов?

60.       Чему равно скалярное произведение двух перпендикулярных векторов?

61.       Чему равно скалярное произведение двух коллинеарных векторов?

62.       Что называет уравнением линии?

63.       Лежат ли точки A(-3;9), B(2;1), C(7;2) на линии, заданной уравнением x²-y=?

64.       Каким уравнением описывается прямая на плоскости?

65.       Запишите уравнения осей координат.

66.       Запишите уравнения прямых, параллельных осям координат.

67.       Какой координатной оси параллельна прямая, заданная уравнением x+5=0? Начертите эту прямую.

68.       Какой координатной оси параллельна прямая, заданная уравнением 2y-8=0? Начертите эту прямую.

69.       Сформулируйте правило составления уравнения прямой на плоскости.

70.       Составьте уравнение прямой, проходящей через точку A(5;-3) и имеющей направляющий вектор .

71.       Составьте уравнение прямой, проходящей через точку B(-3;7) и имеющий нормальный вектор .

72.       Составьте уравнение прямой, проходящей через точки A(3;-8) и B(-1;2).

73.       Составьте уравнение прямой, отсекающей 5 единиц на оси Ox и 3 единицы на оси Oy.

74.       Составьте уравнения сторон, высоты AE и медианы BD в треугольнике с вершинами A(3;-7), B(-1;4), C(-6:-5).

75.       Сформулируйте условие параллельности прямых.

76.       Сформулируйте условие перпендикулярных прямых.

77.       Как найти угол между прямыми?

78.       Найдите внутренние углы треугольника с вершинами A(3;-7), B(-1;4),     C(-6:-5)

Раздел 7.

Основы стереометрии

1.     Аксиомы планиметрии.

2.     Аксиомы стереометрии.

3.     Следствия из аксиом стереометрии.

4.     Взаимное расположение прямых в пространстве.

5.     Отрезок длиной 10см пересекает плоскость, концы его удалены от плоскости на расстояние 5см и 3см. Найти длину проекции отрезка на плоскость.

6.     Отрезки двух прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями равны 51см и 53см, а их проекции на одну из этих плоскостей относятся как 6:7. Определить расстояние между плоскостями и длины проекций.

7.     Взаимное расположение прямой и плоскости.

8.     Взаимное расположение двух плоскостей.

9.     Перпендикулярность прямой и плоскости.

10. Два перпендикуляра к плоскости.

11. Перпендикуляр к двум плоскостям.

12.  Теорема о трех перпендикулярах.

13.  Двугранный угол и его измерение.

14.  Перпендикулярные плоскости.

15.  Параллельная проекция и ее свойства.

16.  Ортогональная проекция и ее свойства.

17.  Симметрия относительно плоскости.

18.  Расстояние от точки до плоскости.

19.  Изображение пространственных фигур.

20.  Площадь проекции плотной фигуры.

21.  Многогранные углы.

22.  Понятие о многограннике.

23.  Площадь поверхности куба равна 24м². Найдите длину его ребра.

24.  Призма.

25.  В правильной четырехугольной призме площадь основания 144см², а высота 14см. Определите длины диагоналей этой призмы.

26.  Параллелепипед и его свойства.

27.  Может ли основание наклонного параллелепипеда быть прямоугольником?

28.  Площадь поверхности призмы.

29.  Пирамида.

30.  Может ли правильный многоугольник быть основанием неправильной пирамиды?

31.  Усеченная пирамида.

32.  Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 7см, длины сторон оснований 10см и 2см. Найдите длину бокового ребра усеченной пирамиды.

33.  Понятие о правильных многогранниках.

34.  Длина ребра правильного октаэдра равна а. Найдите расстояние между двумя противолежащими его вершинами.

35.  Тело вращения и его элементы.

36.  Построить фигуру, полученную от вращения полуокружности вокруг его диаметра.

37.  Цилиндр.

38.  Основание цилиндра служит круг диаметра 8см, высота цилиндра также 8см. Чему равны боковая и полная поверхности цилиндра?

39.  Конус.

40.  Осевое сечение конуса – правильный треугольник со стороной 2а. Найдите площадь сечения, проведенного через 2 образующие боковой поверхности, угол между которыми равен 30º.

41.  Усеченный конус.

42.  Радиусы основания усеченного конуса R и r, образующая составляет с плоскостью основания угол 45º. Найдите площадь осевого сечения.

43.  Сфера.

44.  Радиус сферы 63см, точка М касательной плоскости находится на расстоянии 16см от точки касания. Найдите расстояние от точки М до точек сферы, которые находятся на наименьшем и наибольшем расстоянии от нее.

45.  Шар и его части.

46.  Радиус шара равен R. Через конец радиуса проведена плоскость под углом 60º к нему. Найдите площадь сечения

47.  Плоскость, касательная к сфере.

48.  Сколько плоскостей, касательных к сфере, можно провести через точку, взятую: а) на сфере; б) вне сферы?

49.  Вписанные и описанные многогранники.

50.  В шар радиуса 9см вписана правильная четырехугольная призма, высота которой равна 14см. Найдите длину стороны основания призмы.

51.  Найдите радиус сферы, описанной около правильной n-угольной пирамиды, если сторона основания равна а, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом .

Раздел 8.

Основы теории вероятностей и математической статистики.

12. Что называется n – факториалом?

13. Вычислите 5!; 7!; 0!.

14. Запишите, чему равен  n – факториал?

15. Вычислите:

а) n! / (n-2);      б) (n+1)! / (n-1)!;        в) (n+1)! / (n-2)

16. Перечислите основные задачи комбинаторики.

17. Что называется перестановками?

18. Запишите формулу для числа перестановок из m элементов.

19. Вычислите число перестановок из 5 предметов.

20. Что называется размещениями?

21. Запишите формулу для числа размещений из m элементов по n.

22. Вычислите: А₅ ²; А₇³;  А₀ ⁵

23. Что называется сочетаниями?

24. Запишите формулу числа сочетаний из m элементов по n.

25. Вычислите: C₈ ²; C₁₀³;  C₅ ⁵

26. Какие события называются достоверными? Приведите примеры?

27. Какие события называются невозможными? Приведите примеры?

28. Что называется вероятностью события?

29. В партии имеется 100 деталей, пять из которых бракованные. Определите вероятность того, что взятая наугад деталь окажется бракованной.

30. Что называется относительной частотой события?

31. Какие события называются несовместимыми? Приведите примеры?

32. Чему равна сумма несовместных событий?

33. Какие события называются противоположными?

34. Как формулируется теорема сложения вероятностей?

35. Чему равна сумма вероятностей противоположных событий?

36. В корзине 5 черных, 3 белых и 7 полосатых шаров. Чему равна вероятность достать наугад одноцветный шар?

37. Как формулируется теорема умножения вероятностей?

38. Какая величина называется случайной?

39. Какая случайная величина называется дискретной?

40. Что называется законом распределения случайной величины?

41. Что называется математическим ожиданием дискретной случайной величины?

42. Что называется дисперсией случайной величины?

43. Запишите формулу определения среднего квадратического отклонения случайной величины.

5. Лист согласования

Дополнения и изменения к комплекту КОС на учебный год

Дополнения и изменения к комплекту КОС на __________ учебный год по дисциплине _________________________________________________________________ 

В комплект КОС внесены следующие изменения:

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

Дополнения и изменения в комплекте КОС обсуждены на заседании ПЦК _______________________________________________________

«_____» ____________ 20_____г. (протокол № _______ ). 

Председатель  ПЦК ________________ /________________