Лекция по математике тема: "Логарифмические уравнения"

Лекция

Тема: Логарифмические уравнения

План

 1. Определение логарифмического  уравнения

2. Решение простейших уравнений

3. Потенцирование.

4. Cведение уравнений к виду log _a f(x) = log _a g(x) с помощью свойств логарифмов по одному основанию.

5. Уравнения вида Alog _a f(x) + Blog _b g(x) + C = 0.

6. Введение новой переменной

Определение логарифмического  уравнения

Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение вида  log_a x = b (где а>0, и а ≠1).

Функция у=log _a x является возрастающей (или убывающей) на промежутке

 (0; +∞) и принимает на этом промежутке все действительные значения. По теореме о корне) для любого b это уравнение имеет корень, и только один.

Решение простейших уравнений

         Простейшими логарифмическими уравнениями будем называть уравнения следующих видов:

           log _a x = b, a > 0, a ¹ 1.

           log _a f(x) = b, a > 0, a ¹ 1.

           log _f(x) b = c, b > 0.

Эти уравнения решаются на основании определения логарифма:

если log_b a = c, то a = b^c.

Пример 2.1.

Решение. Область определения уравнения x > 0. По определению логарифма x = 2³, x = 8 принадлежит области определения уравнения.

Ответ: x = 8.

Уравнения вида log_a f(x) = b, a > 0, a ≠ 1.

Уравнения данного вида решаются по определению логарифма с учётом области определения функции f(x). Уравнение равносильно следующей системе

Обычно область определения находится отдельно, и после решения уравнения f(x) = a^b проверяется, принадлежат ли его корни области определения уравнения.

Пример 2.2. log₃(5х – 1) = 2.

Решение: ОДЗ: 5х – 1 > 0; х > 1/5. log₃(5х– 1) = 2, log₃(5х – 1) = log₃3², 5х - 1 =9,
х = 2.  Ответ: 2.

Пример 2.3.

Решение. Область определения уравнения находится из неравенства 2х² – 2х – 1 > 0. Воспользуемся определением логарифма:

Применим правила действий со степенями, получим 2х² – 2х – 1 = 3. Это уравнение имеет два корня х = –1; х = 2. Оба полученные значения неизвестной удовлетворяют неравенству 2х² – 2х – 1 > 0, т.е. принадлежат области определения данного уравнения, и, значит, являются его корнями.

Ответ. х₁ = –1, х₂ = 2.

Уравнения вида log_f(x) b = с, b > 0.

Уравнения этого вида решаются по определению логарифма с учётом области определения уравнения. Данное уравнение равносильно следующей системе

Чаще всего, область определения логарифмического уравнения находится отдельно, и  после решения уравнения (f(x))^c = b или равносильного уравнения

проверяется, принадлежат ли его корни найденной области.

Пример 2.4. log_x–19 = 2.

Решение. Данное уравнение равносильно системе

Ответ. x = 4.

Потенцирование.

Суть метода заключается в переходе от уравнения

log _a f(x) = log _a g(x) к уравнению  f(x) =  g(x), которое обычно

не равносильно исходному.

Уравнения вида  log_a f(x) = log_a g(x) ,  а > 0, а ¹ 1.

На основании свойства монотонности логарифмической функции заключаем, что f(x) = g(x).

Переход от уравнения log_a f(x) = log_a g(x) к уравнению f(x) = g(x) называется потенцированием.

Нужно отметить, что при таком переходе может нарушиться равносильность уравнения. В данном уравнении f(x) > 0, g(x) > 0, а в полученном после потенцирования эти функции могут быть как положительными, так и отрицательными. Поэтому из найденных корней уравнения f(x) = g(x) нужно отобрать те, которые принадлежат области определения данного уравнения. Остальные корни будут посторонними.

Пример 3.1 log₃ (x² – 3x – 5) = log₃ (7 – 2x).

Решение. Область определения уравнения найдётся из системы неравенств

                           

Потенцируя данное уравнение, получаем х² – 3х – 5 = 7 – 2х,

х² – х – 12 = 0, откуда х₁ = –3, х₂ = 4. Число 4 не удовлетворяет системе неравенств. Ответ. х = –3.

Cведение уравнений к виду log _a f(x) = log _a g(x) с помощью свойств логарифмов по одному основанию.

         Если уравнение содержит логарифмы по одному основанию, то для приведения их к виду log _a f(x) = log _a g(x) используются следующие свойства логарифмов:

·         log_b a + log_b c = log_b (ac), где a > 0; c > 0; b > 0, b ¹ 1,

·         log_b a – log_b c = log_b (a/c), где a > 0; c > 0; b > 0, b ¹ 1,

·         m log_b a = log_b a ^m,  где a > 0; b > 0, b ¹ 1; mÎR.

         Пример 4. 1. log₆ (x – 1) = 2 – log₆ (5x + 3).

Решение. Найдём область определения уравнения из системы неравенств

         Применяя преобразования, приходим к уравнению

log₆ (x – 1) + log₆ (5x + 3) = 2,

log₆ ((x – 1)(5x + 3)) = 2, далее, потенцированием, к уравнению

(х – 1)(5х + 3) = 36, имеющему два корня х = –2,6; х = 3.     Учитывая область определения уравнения, х = 3. Ответ. х = 3.

         Пример  4.2.

Решение. Найдём область определения уравнения, решив неравенство

(3x – 1)(x + 3) > 0  методом интервалов.

         Учитывая, что разность логарифмов равна логарифму частного, получим уравнение log₅ (x + 3) ² = 0. По определению логарифма

(х + 3) ² = 1, х =  –4, х = –2. Число х = –2 посторонний корень.

Ответ. х =  –4.

         Пример 4. 3.  log₂ (6 – x) = 2log₆ x.

Решение. На области определения 0 < x < 6 исходное уравнение равносильно уравнению 6 – x = x², откуда х =  –3, х = 2. Число х = –3 посторонний корень.

Ответ. х = 2.

Уравнения вида Alog _a f(x) + Blog _b g(x) + C = 0.

Метод потенцирования применяется в том случае, если все логарифмы, входящие в уравнение, имеют одинаковое основание. Для приведения логарифмов к общему основанию используются формулы:

         Пример 5.1.

Решение. Область определения уравнения 1 < x < 2. Используя формулу (3), получим

Так как  3 = log₂8, то на области определения получим равносильное уравнение (2–x)/(x–1) = 8, откуда x = 10/9. Ответ. x = 10/9.

         Пример 5.2.

Решение. Область определения уравнения x > 1. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (4).Ответ. х = 6.

         Пример 5. 3.

Решение. Область определения уравнения x > –1, x ¹ 0. Приведём логарифмы к основанию 3, используя формулу (2).

Умножим обе части уравнения на log ₃(x + 1) ¹ 0 и перенесем все слагаемые в левую часть уравнения. Получим (log ₃(x + 1)–1)² = 0, откуда log ₃(x + 1) = 1 и

x = 2. Ответ. x = 2..

Введение новой переменной

Рассмотрим два вида логарифмических уравнений, которые введением новой переменной приводятся к квадратным.

Уравнения видагде a > 0, a ¹ 1, A, В, С – действительные числа.

         Пусть t = log_a f(x), tÎR. Уравнение примет вид t² + Bt + C = 0.

Решив его, найдём х из подстановки t = log_a f(x). Учитывая область определения, выберем только те значения x, которые удовлетворяют неравенству f(x) > 0.

Пример 6. 1. lg ² x – lg x – 6 = 0.

Решение. Область определения уравнения – интервал (0; ¥).Введём новую переменную t = lg x, tÎR.

         Уравнение примет вид t ² – t – 6 = 0. Его корни t₁ = –2, t₂ = 3.

Вернёмся к первоначальной переменной lg x = –2 или lg x = 3,

х = 10 ^–2 или х = 10 ³. Оба значения x удовлетворяют области определения данного уравнения (х > 0).Ответ. х = 0,01; х = 1000.

         Пример 6. 2.

Решение. Найдём область определения уравнения

Применив формулу логарифма степени, получим уравнение 

Так как х < 0, то | x | = –x  и следовательно 

Введём новую переменную  t = log₃ (–x), tÎR. Квадратное уравнение

t ² – 4t + 4 = 0имеет два равных корня  t_1,2 = 2. Вернёмся к первоначальной переменной log₃ (–x) = 2, отсюда –х = 9, х = –9. Значение неизвестной принадлежит области определения уравнения. Ответ. х = –9.

 Уравнения вида где a > 0, a ¹ 1,  A, В, С – действительные числа , A¹0, В¹0.

         Уравнения данного вида приводятся к квадратным умножением обеих частей его на log_a f(x) ¹0. Учитывая, что log_a f(x)× log_f(x) a=1

(свойство log_b a = 1/ log_a b), получим уравнение

                              

         Замена log_a f(x)=t, tÎR приводит его к квадратному At² + Ct + B = 0.

         Из уравнений log_a f(x)= t₁ , log_b f(x)= t₂  найдем значения x и выберем среди них принадлежащие области определения уравнения:  f(x) > 0,  f(x) ¹1.

 Пример.6.3  

Решение. Область определения уравнения находим из условий x+2>0, x+2 ¹ 1, т.е. x >–2, x ¹ –1.Умножим обе части уравнения на log₅ (x+2) ¹0, получим

 или, заменив log₅ (x+2) = t, придем к квадратному уравнению  t ² – t – 2 = 0,       t₁ = –1, t₂  =2.

Возвращаемся к первоначальной переменной:

         log₅ (x+2) = –1,    x+2 = 1/5, x = –9/5,

         log₅ (x+2) = 2,      x+2 = 25, x = 23.

Оба корня принадлежат области определения уравнения.

Ответ: x = –9/5,  x = 23.

Упражнения для закрепления материала

Решить уравнения

1);                      2);                      3);

4);  5);              

Контрольные вопросы

1. Сформулировать определение логарифмического уравнения.

2. Назвать основные методы решения логарифмических уравнений

Литература

1.Ш.А.Алимов, стр.105-111 2 О.Н.Афанасьева, стор.2753-279  3.А.Г.Мерзляк, стор.202-2