Мастер класс по высшей математике "предел функции"

ГБОУ СПО «Сосновский агропромышленный  техникум»

 Мастер  - класс

по дисциплине «Высшая математика»

по теме :

Предел функции

П. Сосновское

2014 год

Содержание

1.    Актуальность…………………………………………………….2стр

2.    Выводы из опыта работы………………………………………3стр

3.    Ход мастер-класса..……………………………………………...4стр

4.    Заключение……………………………………………………..13стр

5.    Список литературы…………………………………………….14стр

1

Актуальность.

  Опыт работы  в СПО и НПО показывает, что большая часть обучающихся демонстрирует обоснованную уверенность в себе, в своих силах, а также способность к рефлексии, здоровой иронии, что является я источником активной личности. Но отрицательная сторона – юношеская неуверенность, колебания, сомнения, ложное самолюбие. Конфликтные эмоции возникают, при осознании  несоответствия своих возможностей тем требованиям, которые предъявляются к той или иной профессии. При этом большую роль играет процесс становления отношений с сверстниками и преподавателями.

      По социальному статусу обучающиеся СПО и НПО – это, в основном, дети рабочих, где более трети обучающихся воспитываются в неполной семье. Подчеркну, что социальное окружение большинства учащихся не способствует процессу осознания ими объективной значимости учения.

    Анализ входящего контроля вновь поступающего контингента показал, что  «3» по математике имеют 69%.

  Из всего выше сказанного следует, что начинать процесс обучения необходимо с установления мотивации  предмету.

  Мотивировать обучающихся к предмету можно с помощью творческих заданий, самостоятельной работы, лабораторных работ, демонстрационного эксперимента, уроков – соревнований.

Современный подход к определению целей образования, его структуры состоит в ориентации на потребность формирующейся личности. Под процессом структурирования в конкретном учебном заведении понимается  такой способ организации учебной деятельности, при котором учитываются возрастные, социальные, психологические особенности контингента обучающихся, а также специфика образовательного учреждения, в котором происходит процесс обучения, учебного предмета.

     Формирование учебной мотивации  - одна из важнейших проблем современного образования, так как учебная деятельность у разных обучающихся имеет     мотив учения - это направленность ученика на различные стороны учебной деятельности.  Мотив показывает, ради чего ребенок учится.

Таким образом, изучение курса математики строится по блочному типу, в основе ко­торого лежит лекционно-практическая форма обучения.

ГБОУ СПО «Сосновский агропромышленный техникум», где я исследую данную проблему, готовит следующих специалистов:

·        специальности –Вычислительные машины, комплексы, системы и сети; коммерция; Экономика и бухгалтерский учет; Техническое обслуживание и ремонта автомобильного транспорта; Технология машиностроения. Видно, что в большинстве специальностей данным выпускникам нужна математика в дальнейшей профессиональной  деятельности.

   Отметим, что данный возраст характеризуется такими изменениями в жизни ребят, как:

-  возникает необходимость в выборе профессии/ специальности;

- происходит знакомство с новым учебным заведением , с новыми формами обучения (лекции, семинары, зачеты);

- получают паспорта как свидетельства взрослости;

   Следовательно, расширяется спектр положительных и отрицательных эмоций, связанных с целостным представлением о самом себе, с дифференцированной самооценкой.

Выводы из опыта работы

 Анализ моей деятельности в данном учебном заведении показал, что процесс обучения учащихся решению задач по математике имеет свои особенности, которые заключаются в том, что учитель обучает решению за­дач, начиная от задач репродуктивного характера и заканчивая творческими. Не случайно внимание многих ученых и методистов-математиков приковано к проблеме обучения учащихся применению знаний к решению задач в новой, измененной ситуации. Иными словами, во главу угла ставится проблема развития таких операций мышления учащихся, как анализ и синтез, абстрагирование и конкретизация, сравнение и аналогия, обобщение и др.

  Мое  исследование показывает, что в процессе обучения математике для ре­шения указанной выше проблемы можно выделить четыре уровня развития интеллектуальных умений учащихся.

Первый уровень (нулевой) характеризуется решением задач тренировоч­ного характера (задач-вопросов, качественных и расчетных задач) строго по схеме. На данном уровне развития интеллектуальных умений студенты на­ходятся до начала изучения предмета, у них практически отсутствует само­стоятельность при решении новой задачи.

Второй уровень (низкий) характеризуется способностью учащихся само­стоятельно решать стандартные задачи, частично формулировать выводы и выделять существенные признаки рассматриваемых в задаче явлений и про­цессов. Для перехода учащихся на второй уровень необходимо формирование у них умения выделять главное и систематизировать уже полученные знания и умения. С этой целью в общее число задач следует включать творческие

задачи - задачи игрового характера и задачи с избыточными или недостаю­щими данными.

Третий уровень (средний) отличается самостоятельным решением уча­щимися задач, владением операциями анализа, синтеза, сравнения, абстраги­рования, способностью верно решать задачи повышенной сложно­сти. На данном уровне у учащихся должны быть сформированы такие мысли­тельные операции, как абстрагирование, конкретизация, обобщение. Для это­го в процессе

обучения физике необходимо применение задач занимательно­го характера и задач-парадоксов, позволяющих учащимся проводить логиче­ские умозаключения и тем самым овладевать целым рядом мыслительных операций.

Четвертый уровень (высокий) характеризуется способностью учащихся самостоятельно решать задачи (качественные, расчетные, эксперименталь­ные), в том числе творческих, справляться с решением возникших проблем, выдвигать гипотезы, доказывать или опровергать их, применяя в процессе решения различные мыслительные операции. Для формирования у учащихся интеллектуальных умений высокого уровня следует использовать задачи -оценки.

 Таким образом, практические задачи, способствующие развитию у учащих­ся интеллектуальных умений, можно разделить на три основные группы.

1.       Задачи, направленные на развитие умения выделять главное и систематизировать.

2.       Задачи на развитие логического мышления

3.       Задачи на развитие умения выдвигать гипотезы и подтверждать их.

Ход    мастер - класса

  Полноценному развитию личности ученика способствует внедрение раз­нообразных видов самостоятельной работы на уроках математики. Практическая работа обучающихся в процессе изучения математики имеет осо­бое значение, так как способствует не только развитию умений и навыков практической работы по предмету, формированию и росту самостоятель­ности мышления, но и создает основу для подготовки к творче­скому труду.

Под практической работой учащихся понимается такая работа, которая

выполняется учащимися по заданию и под контролем преподавателя (но без его непосредственного участия) в специально предоставленное для этого время. При правильно организованной практической работе обучающиеся сознательно стремятся достигнуть поставленной цели, употребляя свои умст­венные усилия и выражая полученный результат умственных и физических действий в той или иной форме (устный ответ, графическое построение, опи­сание опытов, расчеты и т.д.). Практическая работа связывает умственную активность обучающихся с поисками наиболее рациональных способов выполне­ния предложенных заданий, с анализом результатов работы.

   В процессе обучения математике применяются различные виды практической работы обучающихся. Виды практической работы принято классифициро­вать по различным признакам: по дидактической цели, по характеру учебной деятельности обучающихся, по содержанию, по степени самостоятельности и элементам творчества  и т.д.

Перечень практических работ у студентов 2 курса:

1.     Операции над матрицами

2.     Вычисление определителей второго и третьего порядков

3.     Решение систем методом Крамера и Гаусса

4.     Решение систем методом обратной матрицы

5.     Построение кривых второго порядка

6.     Действия над комплексными числами

7.     Решение задач на классическое определение вероятности, вероятности суммы событий

8.     Решение задач производная функции

9.     Решение задач экстремумы функции

10. Решение задач дифференциал функции

11. Решение задач интеграл функции

12. Решение задач на вычисление площади с помощью интеграла

13. Решение задач частные производные функции

14. Решение задач на двойной и тройной интегралы

15. Решение задач дифференциальные уравнения 2 порядка

16. Решение задач на предел функции

 

lim (f(х) * j(х)) = lim  f(х) * lim j(х)   х   х0                                  х   х0               х   х0

                      

примеры

lim (f(х) /j(х)) = lim  f(х) / lim j(х)   х   х0                                  х   х0               х   х0

к  

1.   lim    2х² -3х-9  =  2*3² -3*3-9 =   0

            _{х      3}     х² -х-6           3²-3-6              0     

 получается неопределенность вида  ( 0/0)   в этом случае решаем квадратное уравнение  2х² -3х-9  находим корни х₁ =3   х₂=-3/2

 и раскладываем по формуле  ах² +вх+с= а(х-х₁)(х-х₂)     2х² -3х-9=2(х-3)(х+3/2)

Теперь тоже самое со вторым уравнением    х² -х-6 находим корни  х₁ =3   х₂=-2

и раскладываем по формуле  ах² +вх+с= а(х-х₁)(х-х₂)   

х² -х-6=(х-3)(х+2)     оба уравнения в исходное

       lim    2х² -3х-9 =2(х-3)(х+3/2) =   lim   2(х+3/2)   =2(3+3/2)=9/5

         _{х      3}      х² -х-6        ( х-3)(х+2)          _{х      3}     (х+2)             3+2

2.lim    2х² +х-4   =  ¥  = (делим каждый множитель на х²)  =2х²/х² +х/х² -4/х^{2     =}

         _{х      ¥}   3х² -2х+5    ¥                                                                       3х² /х² -2х/х² +5/х²

=2+1/х-4/х²      (подставляя вместо х   ¥ получаем)= 2/3, т.к. число/¥ =0

  3-2/х+5/х²

Признаки существования пределов

Первый замечательный предел                     второй замечательный предел

lim sin х  =1                                             lim (1+1/х)^х  =е        lim (1+1/п)^п =е

х   0     х                                                х   ¥                            х   ¥

                      

Примеры

lim   tq x  =  lim    sinх * 1  = lim sin х  lim   1    =1 *1/1=1

х   0     x      х  0    х  cos х     х  0    х     х  0  cosх

lim sin 3х =(обозначим t=3х)= lim sin t = lim 3/2 sint  =3/2 *1= 3/2

х   0   2х                                          х  0 2t/3     х  0           t

lim (1+2)^х(обозн х=2t)= lim (t+1 )^2t= lim (t+1 )^t  * lim (t+1 )^t =е *е=е²

х   ¥      х                            t  ¥     t       t  ¥     t        t  ¥     t

Таблица замечательных пределов

1.   lim sin х =1       4.lim arctqх =1      7. lim а^х -1 =ln а

       х   0   х                    х  0       х                   х  0     х

2.lim arcsinх =1        5. lim  е^х-1  =1     8. lim lоq_а(1+х ) =1          

   х   0      х                       х   0     1                  х   0      х              ln а

3. lim tqх  =1         6. lim ln(1+х ) =1    9. lim (1-cosх ) =  1 

     х   0   х                        х   0        х                    х   0        х²           2

Практическая работа №16

 «Предел функции»

Цель: научиться вычислять пределы функции к нулю, к числу, к бесконечности, применяя правила и таблицу пределов

    Решение типового примера

1)lim    х² -6х+5  = (подставляем вместо х значение) =2² -6*2+5  =4-12+5 = -3  =  -1             

_{х      2}        2х² +х-1                                                                         2*2² +2-1     8+2-1        9       3

 2) lim    2х² -3х-9  =2*3² -3*3-9 = 0

        _{х      3}    х² -х-6         3²-3-6              0     

 получается неопределенность вида  ( 0/0)   в этом случае решаем квадратное уравнение  2х² -3х-9  находим корни х₁ =3   х₂=-3/2

 и раскладываем по формуле  ах² +вх+с= а(х-х₁)(х-х₂)     2х² -3х-9=2(х-3)(х+3/2)

Теперь тоже самое со вторым уравнением    х² -х-6 находим корни  х₁ =3   х₂=-2

и раскладываем по формуле  ах² +вх+с= а(х-х₁)(х-х₂)   

х² -х-6=(х-3)(х+2)     оба уравнения в исходное

       lim    2х² -3х-9 =2(х-3)(х+3/2) =   lim   2(х+3/2)   =2(3+3/2)=9/5

        _{х      3}    х² -х-6        ( х-3)(х+2)           _{х      3}  (х+2)             3+2

3)lim    2х² +х-4   =  ¥  = (делим каждый множитель на х²)  =2х²/х² +х/х² -4/х^{2     =}

     _{х      ¥}   3х² -2х+5      ¥                                                                          3х² /х² -2х/х² +5/х²

=2+1/х-4/х²      (подставляя вместо х   ¥ получаем)= 2/3, т.к. число/¥ =0

  3-2/х+5/х²

5)lim   х sin2х  = (будем приходить к первому замечательному пределу   lim  sinх

 _{х    0}      tq² 4х                                                                                  х  0   х

и lim    tqх =1)

   _{х    0}     х

lim   х sin2х  = lim    х sin2х  =(домножим и числитель и знаменатель на ¼ и ½) 

 _{х    0}   tq² 4х     х   0     tq4х*tq4х   

= lim    ¼ 4х   sin2х    4х  ½  таким образом будет=  ¼ *(-1)*1*(-1)- ½=-7/4

 х   0     tq4х    2х    tq4х

6)    lim   tqх   = lim     sinх     = 1/3 lim sinх   1  =1/3 *1*1    =1/3

         _{х    0}   3х       х  0   3х cosх          х  0  х   cosх        

№ вар
1	lim   2х2+х-1   а)х0  =2 х  х0  х2 -3х-4   б)  х0= -1	lim     3х2-7х+1    х   ¥  5х2 -5х+2	lim     tq2х   х   0    sin3х
2	lim   х2-3х+2     а)х0  =1 х  х0  -3х2 –х+4   б)  х0= -1	lim    4х2-7х+3    х   ¥  7х2 -х+1	lim       sin4х   х   0  2х cos3х
3	lim   2х2  -х-10   а)х0  =2 х  х0  х2 +3х+2   б)  х0= -2	lim     -3х2-7х+1    х   ¥  2х2 -3х+2	lim     хtq3х   х   0    sin 22х
4	lim   х2-3х+2       а)х0  =2 х  х0  -3х2 –х+14   б)  х0= 1	lim      2х2-3    х   ¥  4х3 +5х	lim     tq3х sin5х  х   0      х2
5	lim   х2+5х+4     а)х0  =-2 х  х0  2х2 -3х+5   б)  х0= -1	lim     10х2-7х+4    х   ¥    5х2 -9х+2	lim     sin6х   х   0    tq2х
6	lim  4х2-5х+1    а)х0  =1 х  х0  -х2 +3х-2   б)  х0= -1	lim     2х2+х-1    х   ¥    х2 -3х-4	lim    3хcos5х   х   0    sin3х
7	lim   х2+5х+6   а)х0  =2 х  х0  3х2 -х-14   б)  х0= -2	lim     7х2-3х+8    х   ¥  8х2 -3х+6	lim     2х tq4х   х   0    sin2 6х
8	lim   2х2-7х+6   а)х0  =2 х  х0  -х2 –х+6   б)  х0= 1	lim     4х2-х+1    х   ¥  5х2 -4х+7	lim     tq4х sin2х  х   0       х2
9	lim   х2-6х-7    а)х0  =-2 х  х0  3х2 +х-2   б)  х0= -1	lim     3х3-7х+7    х   ¥  2х2 -5х+2	lim    sin8х   х   0    tq5х
10	lim   3х2+х-4    а)х0  =1 х  х0  -х2 +4х-3   б)  х0= -1	lim     3х2-7х+8    х   ¥  6х4 -9х+2	lim    4х cos7х  х   0    sin2х
11	lim   х2-5х-14   а)х0  =2 х  х0  2х2 +х-6   б)  х0= -	lim     7х2-3х   х   ¥  2х2 -8х	lim     3х tq2х   х   0    sin2 3х
12	lim   3х2  -7х+2   а)х0  =2 х  х0  -х2 –х+6   б)  х0= 1	lim     3х4-7х+5    х   ¥  6х3 -9х+3	lim     sin3хtq2х   х   0         х2
13	lim   х2-7х-8        а)х0  =-2 х  х0  2х2 +5х+3   б)  х0= -1	lim     5х3-7х2+1    х   ¥  8х3 -5х+8	lim     sin6х   х   0    sin3х
14	lim   4х2-3х-1    а)х0  =1 х  х0  -х2 +5х-4   б)  х0= -1	lim     4х2-7х    х   ¥  3х5 -9х+2	lim     tq2х   х   0    tq3х
15	lim   х2+3х+2     а)х0  =2 х  х0  3х2 -2х-16   б)  х0= -2	lim     3х2-7х+1    х   ¥  5х2 -5х+2	lim     sin2 5х  х   0     х2

Рефлексия.

На доске предлагаются «Шесть Шляп»

·        Красная  (эмоциональный эффект от занятия)

·        Синяя (рефлексивное мышление)

·        Зеленая (отношение к новым идеям)

·        Желтая (сознательное усилие)

·        Белая (отношение к занятию)

·        Черная (критическое исследование)

Заключение.

Работа по внедрению нетрадиционных занятий  позволяет сделать вывод, что такая форма занятия по сравнению с традиционной более эффективна, потому что создает условия для проявления познавательной активности, заинтересованности каждого учащегося, дает ему право на выбор "своего" способа выполнения заданий и, как результат, способствует глубокому усвоению знаний по математике.

Решение  поставленной проблемы находится  оптимальным сочетанием работы с классом  с учетом  индивидуальных особенностей учащихся.

Результативным является использование на уроках различных методов и способов изучения тем и позволяют сделать вывод о его эффективности для более точной оценки компетенции учащихся.

Анализ промежуточного оценивания качества знания по этой теме в трех группах СПО показал, что средний балл оценок обучающихся вырос по сравнению с другими темами предмета, изучаемыми традиционно.

Литература

1. Селевко Г.К. Современные образовательные технологии: Учебное пособие.-М.: Народное образование, 1998.

2.Манаенкова  О.А. Активизация творческой деятельности учащихся . Автореферат диссертация. Елец, 2004

3. Гусак А.А. Высшая математика 2 том. Учебник для студентов  - Мн.: Тетрасистемс, 2000.-448с

4. Шипачев В.С.Задачник по высшей математике: Учеб. Пособие для вузов -8 изд., стер._М.:Высш.шк., 2008. – 304с

5. ШестериковаН.В. и др Высшая математика. Методическое пособие и контрольные задания для студентов / Нижегородская государственная сельскохозяйственная академия – Н.Новгород, 2007 – 189с

6. Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ.сред.проф.учреждений. – М.:Издательский центр «Академсия», 2005г – 384с

Теоретический справочник и варианты контрольных работ по высшей математике. Методическое пособие./ Нижегородская гос. сельскохозяйственная академия. – Н.Новгород,1999. – 140с