Математика Методические указания по выполнению практических занятий для обуч-ся технического профиля

Министерство образования Ульяновской области

Областное государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Ульяновский электромеханический колледж»

УТВЕРЖДАЮ

Заместитель директора по УПР

_________ Т.И.Чумаковская

«____»_____________2014г.

Математика

Методические указания

по выполнению практических занятий

для обучающихся по специальности

технического профиля

ОДОБРЕНО

Председатель ПЦК

общеобразовательных дисциплин

______________ В.Н. Туромша

«_____»______________2014 г.

Разработал:

Преподаватель

_____________Э.С.Статива

«_____»______________2014 г.

Ульяновск

2014

Пояснительная записка

Важнейшим аспектом учебно - воспитательного процесса в системе среднего специального образования является практическое закрепление знаний обучающихся.

Методические указания разработаны в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины «Математика» для специальностей 151901 «Технология машиностроения.

Все задания и работы составлены следующим образом:

-задания рассчитаны на то, чтобы обучающийся со средней успеваемостью мог справиться с работой;

-задачи и упражнения по содержанию являются основными типовыми заданиями каждой темы;

-в каждой практической работе показано решение примеров, соответствующих данной теме и даются контрольные вопросы, что позволяет еще раз закрепить теоретический материал.

В результате выполнения практических работ обучающийся должен получить практический навык использования своих знаний.

Методические указания предназначены для обучающихся технических специальностей колледжа, изучающих дисциплину «Математика».

Содержание

Стр.

Практическая работа № 1. «Комплексные числа. Действия над комплексными числами в разных формах»

4

Практическая работа № 2. «Матрицы. Действия над матрицами. Определители второго и третьего порядков»

Практическая работа №3. «Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера»

8

Практическая работа №4. «Решение систем линейных уравнений методом Гаусса»

Практическая работа №5. «Дифференцирование сложной функции»

12

Практическая работа№6. «Интегрирование способом подстановки»

15

Практическая работа№7. «Интегрирование рациональных дробей»

Практическая работа№8. «Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными».

18

Практическая работа№9. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка»

21

Практическая работа№10. «Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами»

24

Практическая работа№11. « Установление сходимости рядов с положительными членами».

27

Практическая работа№12. «Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда»

Практическая работа№13. «Числовые множества. Действия над множествами»

31

Практическая работа№14. «Основные понятия комбинаторики и теории вероятностей»

33

Литература

36

Практическая работа №1.

Тема: Комплексные числа и действия над ними.

Цель: закрепить навыки действий над комплексными числами в разных формах.

Теоретическая часть: Комплексным числом называется выражение - действительные числа, - мнимая единица, которая определяется соотношением: .

Число называется действительной частью числа , а - мнимой частью.

Числа

Два комплексных числа и , называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части :

алгебраическая форма комплексного числа

тригонометрическая форма

показательная форма

Действия с комплексными числами в алгебраической форме.

1. Сложение и вычитание комплексных чисел:

2. Произведение комплексных чисел:

3. Деление комплексных чисел:

Тригонометрическая форма комплексного числа

Z = r(

Модуль комплексного числа r можно найти по формуле r =

Величину угла можно найти по формуле

Показательная форма комплексного числа Z = r

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

)

1. Произведение комплексных чисел:

2. Деление комплексных чисел:

3. Возведение в степень:

4. Извлечение корня

Примеры и решения

№1 Решить квадратное уравнение:

Х² – 6х + 13 = 0

Решение: а=1, в=-6, с=13. Найдем D=; D= (-6)²- 4

Корни уравнения находим по формулам х_1,2=

х_1,2=

х₁=3+2i x₂=3 – 2i

Ответ: х₁=3+2i; x₂=3 – 2i.

№2 Найти значения х и у из равенства (2x+3y) + (x-y)i = 7 + 6i

Решение: из условия равенства комплексных чисел следует

Умножив второе уравнение на 3, и сложив результат с первым уравнением, имеем

5х=25,т.е. х=5. Подставим это значение во второе уравнение: 5 – у = 6,откуда

у = -1. Итак, получаем ответ: х = 5,у = -1.

Даны комплексные числа z₁ = 5 + 3i , z₂ = 7 – 4i

Найти

а)

Решение:

а)

б)

в)

г).

№4 Выполнить деление :

Решение:

№5 Записать число Z = 3 – 3i в тригонометрической и показательной формах.

Решение: 1.Так как а=3, в=-3,то r= =

2. Геометрически определяем, что числу z соответствует точка Z,лежащая в 4 четверти

3. Составим отношения .Отсюда следует, что

4. Итак, z = 6( - тригонометрическая форма числа

Z = 6 - показательная форма числа.

№6 Даны комплексные числа

Найти:

а) в)

Решение:

а) (

б)

в)

Используем формулы приведения

г)

Если

Если

Если

Задание для самостоятельного решения:

1.Решить уравнение:

2.Найти действительные числа из условия равенства двух комплексных чисел:

3.Даны комплексные числа:

Найти: а)

4.Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах:

5.Найти:

Действия произвести, предварительно записав комплексные числа в тригонометрической форме.

Критерии оценки

«5»-выполнены правильно все задания

«4»-выполнены правильно любые четыре задания

«3»-выполнены правильно любые три задания

«2»-выполнено правильно только два задания

Рекомендуемая литература

1. В.Т. Лисичкин, И.Л.Соловейчик. Математика: учебное пособие для техникумов

2.Н.В.Богомолов, Л.Ю.Сергеенко. Сборник дидактических заданий по математике: учебное пособие для ссузов.

3. Алгебра и начала анализа под ред. Г.Н.Яковлева «Математика для техникумов».

Практическая работа №2.

Тема: Матрицы. Действия над матрицами. Определители второго и третьего порядков.

Цель: научиться производить действия над матрицами, а также показать свои знания, умения и навыки для вычисления определителей второго и третьего порядков.

Теоретические сведения:

Матрицей называется множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов. Матрицу записывают

Для любого элемента первый индекс i означает номер строки, а второй j-номер столбца.

Если число строк матрицы не равно числу столбцов(m≠n),то матрица называется прямоугольной, например,

А= или В=

Если число строк равно числу столбцов (m=n),то матрица называется квадратной, например,

А= или В=

Число строк или столбцов квадратной матрицы называют ее порядком.

Суммой матриц А и В называют такую матрицу элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.

Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковое строение.

Произведением матрицы А на число k ,называется такая матрица kА, каждый элемент которой равен k.

Умножение матриц.

Пусть даны матрицы А= и В=. Произведением этих матриц называется матрица

С=А*В=

Вообще, чтобы получить элемент, стоящий на пересечении i-строки и j-го столбца матрицы произведения, нужно все элементы i-ой строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и получим произведение матриц.

Определитель матрицы

Пусть дана квадратная матрица второго порядка А=

Определителем (или детерминантом) второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число

Определитель второго порядка записывается так:

=а₁₁а₂₂ – а₂₁а₁₂

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка

А=

Определителем третьего порядка соответствующим данной матрице называется число

а₁₁а₂₂а₃₃ + а₂₁а₃₂а₁₃ + а₁₂а₂₃а₃₁ – а₁₃а₂₂а₃₁ – а₁₂а₂₁а₃₃ – а₁₁а₂₃а₃₂

Определитель третьего порядка записывают так

=а₁₁а₂₂а_{33 +} а₂₁а₃₂а₁₃ + а₁₂а₂₃а₃₁ – а₁₃а₂₂а₃₁ – а₁₂а₂₁а₃₃ – а₁₁а₂₃а₃₂

При вычислении определителя третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников (правило Сарруса)

«+» «-»

Определитель третьего порядка можно вычислить методом разложения по элементам первой строки

= а₁ - в_{1 +} с₁

Примеры и решения

1.Вычислить линейную комбинацию матриц 3А – 2В, если

А= В=

Решение: а) Найдем 3А=3 =

б) Найдем 2В = 2 =

в) Найдем:

3А – 2В = - =

Ответ:

2. Найти произведение матриц А∙В, если

а) А= В=

б) А= В=

Решение: а) Найдем А∙В= ∙ = =

б) А∙ В = ∙ =

Найдем каждый элемент в отдельности

а₁₁=1∙0 + 2∙(-3) + (-3)∙2 = -12 ; а₁₂= 1∙1 +2∙7 + (-5)∙4 = 3 ;

а₁₃=1∙5 + 2∙9 + (-3)∙(-6)=41;

а₂₁=4∙0 + (-5)∙(-3)+6∙2=27; а₂₂=4∙1+(-5)∙7+6∙4=-7;

а₂₃=4∙5+(-5)∙9+6∙(-6)=-61;

а₃₁=7∙0+8∙(-3)+9∙2=-6; а₃₂=7∙1+8∙7+9∙2=99;

а₃₃=7∙5+8∙9+9∙(-6)=53.

Таким образом А∙В=.

3.Вычислить определители: а) б)

Решение:

а)=2∙4 - 5∙(-3)=8+15=23

б)=2∙4∙(-1) + (-1)∙(-5)∙(-3) + 0∙0∙6 - 6∙4∙(-3) – (-1)∙0∙(-1) –

- (-5)∙0∙2= -8 -15 + 0 + 72 – 0 + 0=49

Ответ: а) 23; б) 49

Задания для самостоятельного решения

Вариант-1 Вариант-2

1.Даны матрицы А= и В=

Вычислить линейную комбинацию матриц

5А -3В 2А + 3В

2.Найти произведение матриц А∙В, если

а) А= , В= а) А=, В=

б) А= и б) А= и

В= В=

3.Вычислить определители:

а) а)

б) б)

4.Решить уравнение:

Х² + = 0 х² + = 0

Контрольные вопросы

1.Какая матрица называется прямоугольной?

2.Какая матрица называется квадратной?

3.Что называют порядком матрицы?

4.Как вычисляется определитель второго порядка?

Критерии оценок

«5»-выполнили верно все задания и ответили правильно на все вопросы;

«4»-выполнили без ошибок первые три задания и ответили верно на все вопросы;

«3»-выполнили верно задания №1,№2,№3(а) и ответили правильно на два вопроса;

«2»-выполнили два задания

Рекомендуемая литература

1.В.Т.Лисичкин, И.Л.Соловейчик. Математика: учебное пособие для техникумов.-М.: Высш.шк.,1991.

2.Н.В.Богомолов, Л.Ю. Сергеенко . Сборник дидактических заданий по математике: учебное пособие для ссузов.-М.:Дрофа,2005.

3.Алгебра и начала анализа под редакцией Г.Н.Яковлева» Математика для техникумов».-М.: Наука,1987

Практическая работа №3.

Тема: Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера.

Цель: закрепить навыки решения систем линейных уравнений методом Крамера.

Теоретическая часть:

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными

Определителем второго порядка, составленным из чисел a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₂₂ называется число, определяемое равенством

a₁₁, a₂₂ – элементы главной диагонали

a₂₁, a₁₂ – элементы побочной диагонали

Формулы Крамера: ;

Пример: Решить систему уравнений

Решение:

Найдем определитель

Найдем определители

Применение формулы Крамера

Ответ: (2;3)

Система трех линейных уравнений с тремя переменными имеет вид:

Определитель третьего порядка решается разложением по элементам первой строки

Формулы Крамера:; ; , где

, ,

Пример: Решить систему уравнений

Решение:

Вычислим определители:

Итак, по формулам Крамера имеем:

;

Ответ: (2; –1; 3)

Задания для самостоятельного решения

Вариант 1

Вариант 2

1. Решить системы по формулам Крамера:

а)

б)

а)

б)

Критерии оценок:

«5»-верно решены примеры №1(б).№2(б)

«4»-верно решены примеры №1(б),№2(а)

«3»-верно решены примеры №1(а),№2(а)

«2»верно решен один пример

Рекомендуемая литература

1.В.Т.Лисичкин, И.Л.Соловейчик. Математика: учебное пособие для техникумов.-М.:Высш.шк.,1991

2.Н.В.Богомолов, Л.Ю.Сергеенко. Сборник дидактических заданий по математике: учебное пособие для ссузов.-М.:Дрофа,2005

Практическая работа №4.

Тема: Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса.

Цель: закрепить навыки решения систем линейных уравнений методом Гаусса

Теоретическая часть:

Численность решений линейных алгебраических уравнений с помощью определителей удобно производить для систем 2-х и 3-х уравнений. В случае же большего числа уравнений гораздо выгоднее пользоваться методом Гаусса, который заключается в последовательном исключении неизвестных.

Метод Гаусса состоит в том, что систему уравнений приводят к эквивалентной ей треугольной системе. Это действие называют прямым ходом. Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подставок (обратный ход).

При выполнении прямого хода используют следующие преобразования:

1. умножение и деление коэффициентов на одно и то же число

2. сложение и вычитание уравнений

3. перестановку уравнений системы

4. исключение из системы уравнений, в которых все свободные члены и коэффициенты при неизвестных равны 0.

Пример: Решите систему методом Гаусса

Решение:

Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов и введем так, называемый контрольный столбец, каждым элементом которого является сумма четырех элементов данной строки

Поменяем 1-ую и 2-ую строку местами

Умножим 1-ую строку на 3, вычтем ее из 2-ой, затем, умножая 1-ую строку на 4, вычтем ее из 3-ей

Изменим знаки во 2-ой строке

Умножим 2-ую строку на 5 и сложим с 3-ей

Разделим 3-ю строку на (-11)

Используя полученную матрицу, преобразуем систему и получим решение

Ответ: (–1; 3; 2)

Задания для самостоятельного решения

Вариант 1

Вариант 2

1. Решите системы методом Гаусса:

а)

б)

а)

б)

Критерии оценок:

«5»-верно решены оба примера

«4»-верно решен пример №1(б)

«3»-верно решен пример №1(а)

«2» - не решен ни один пример

Рекомендуемая литература

1.В.Т.Лисичкин, И.Л.Соловейчик. Математика: учебное пособие для техникумов.-М.:Высш.шк.,1991

2.Н.В.Богомолов, Л.Ю.Сергеенко. Сборник дидактических заданий по математике: учебное пособие для ссузов.-М.:Дрофа,2005

Практическая работа №5

Тема: Дифференцирование сложной функции.

Цель: научиться находить производные сложной функции, показать свои знания ,умения и навыки по применению правил дифференцирования и формул дифференцирования.

Теоретические сведения

Пусть функция у = определена на некотором интервале (а; в)

Производной функции у = в точке х₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю.

Итак ,по определению у^/=

Функция у =,имеющая производную в каждой точке интервала (а, в), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Правила дифференцирования

1. =0, (С - постоянная) 2. ( х )^/=1

3. ( U+V-W)^/=U^/ + V^/ -W^/ 4. ( UV)^/ = U^/ V + V^/ U

5. (С U )^/ = С U^/ , С - постоянная 6.()’ =

7.y’(u)U’(x)

Формулы дифференцирования

Элементарные функции Сложные функции

8.()’ = ( ln u)’ = ∙u’

9. ()’ = (log u)’ = ∙u’

10. ( )’ = ()’ = ∙u’

11. (хⁿ)’ = n х^n-1 (uⁿ)’ = n∙u^n-1∙u’

12. ()’ =а^х (a^u)’ =a^u∙u’

13. ()’ = (e^u)’ = e^u∙ u’

14. ()’ = (sin u)’ = cos u∙u’

15. ()’ = - (cos u)’ = - sin u∙ u’

16. ()’ = (tg u )’ = ∙u’

17. ()’ = - (ctg u)’ = -∙u’

18. ( arcsin х)’ = (arcsin u)’ = ∙u’

19. (arccos х)’ = - (arcos u)’ = -∙u’

20. (arctg х)’ = (arctg u)’ = ∙u’

21. (arcctg х)’ = (arcctg u)’ = - ∙u’

Примеры и решения

1. у =

Решение: применим формулу 10 y’= ∙(3x+5)’= ∙3

Ответ:

2. y =

Решение: упростим функцию и применим формулу 10

y==

y’= - ∙(7-12)’= (21= =

3. у = 9 + cos

Решение: применим формулы 3,10 и 15

y’=(9)’ + (cos)’=9∙

4.

Решение: применим формулы3,8 и 10 у’ =∙(3= ∙6x=

5. у =

Решение: у = = применим формулу 4

3

6. у =

Решение: у =

Применим формулы 3,15 и 13

y’==

Задачи для самостоятельного решения

Вариант-1 Вариант-2

Найти производные сложных функций:

1. у = 1. y =

2. у = 2. y =

3. у = 3. y =

4. у = 12+ 4. y = 4

5. у = 7+ 5. y =

6. у = 3 6. y =

7. у = 7. y =

8. у = 8. y =

Контрольные вопросы

1.Сформулируйте определение производной функции.

2.Запишите формулы нахождения производной:

а) степенной

б) показательной

в) логарифмической функций

3.Найти: а). (б).()’

Критерии оценок

«5»-выполнили верно любые семь заданий и ответили на все вопросы

«4»-выполнили верно любые шесть заданий и ответили на все вопросы

«3»-выполнили верно любые пять заданий и ответили правильно на 2 вопроса

«2»-Выполнили верно четыре задания

Рекомендуемая литература

1.В.Т.Лисичкин, И.Л.Соловейчик. Математика: учебное пособие для техникумов.- М., Высш. Шк.,1991.

2.Н.В.Богомолов, Л.Ю.Сергеенко. Сборник дидактических заданий по математике: учебное пособие для ссузов.-Мю:Дрофа,2005.

3.Алгебра и начала анализа под ред. Г.Н.Яковлева «Математика для техникумов».-М.: Наука,1987

Практическая работа №6

Тема: Интегрирование подстановкой

Цель: закрепить навыки вычисления интегралов методом замены переменной

Теоретическая часть:

Правило интегрирования способом подстановки состоит в следующем:

1. Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл

2. Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену

3. Находят дифференциалы обеих частей замены и выражают дифференциал старой переменной через дифференциал новой переменной

4. Производят замену под интегралом

5. Находят полученный интеграл

6. Производят обратную замену

Примеры Вычислить интегралы способом замены переменной:

№1.

№2.

№3.

№4.

№5.

№6.

Задания для самостоятельного решения

Вариант-1

Вариант-2

Вычислить интегралы способом подстановки:

Критерии оценок

«5»-выполнили верно все задания

«4»-выполнили верно пять заданий из №1 и два из №2

«3»-выполнили верно четыре задания из№1 и одно из №2

«2»-выполнили два задания

Практическая работа №8

Тема: Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Цель: закрепить навыки решения дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.

Теоретические сведения:

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х, искомую функцию у и ее производные или дифференциалы.

Порядком дифференциального уравнения называют порядок старшей производной (или дифференциала), входящего в это уравнение.

Дифференциальным уравнением 1 порядка называется уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

Алгоритм решения дифференциального уравнения

1.Выражают производную функции через дифференциалы

2.Члены с одинаковыми дифференциалами переносят в одну сторону равенства и выносят дифференциалы за скобки.

3.Разделяют переменные.

4.Интегрируют обе части равенства и находят общее решение.

5.Если заданы начальные условия, то находят частное решение.

В зависимости от вида уравнения некоторые пункты алгоритма решения могут быть опущены.

Примеры и решения

Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка:

Решение: в этом уравнении переменные разделены. Проинтегрируем обе части

Постоянную С можно обозначить через

Применив свойства логарифмов, имеем

,откуда у+1= С(х-2)

Ответ: у+1= С(х-2)

2. (1+у) - (1-х)=0

Решение: (1+у)=(1-х) , разделим переменные

, проинтегрируем обе части

=

Ответ:

3. (ху²+х)=(у-х²у)

Решение: х (у²+1)=у(1-х²)разделим переменные

Каждый интеграл решим способом подстановки

1-х²=t =

-2x=dt

Таким образом

)=

Ответ:

Найти частное решение дифференциальных уравнений:

4.2(х+1)=у , если у=2 при х=1

Решение: разделим переменные

Проинтегрируем обе части 2

2=

=

Еслиу=2 при х=1 имеем

; 4=2С; С=2

Подставив в общее решение имеем

Ответ:

5. (х+3)dy – (y+2)dx=0, если у=3 при х=2

Решение: (х+3)dy = (y+2)dx разделим переменные

Проинтегрируем обе части

У+2=(х+3)+С – общее решение

Т.к. у=3 при х=2,то 3+2=(2+3)С; 5=5С; С=1

Таким образом, у+2=х+3 – частное решение или у=х+1

Ответ:у=х+1

Задачи для самостоятельного решения

Вариант-1 Вариант-2

Найти общее решение дифференциальных уравнений:

1. 1.

2.(1+х)

3.(у

Найти частное решение дифференциальных уравнений:

4.(+1)

если у=2 при х=1 если у=2 при х =

5.(1-х)

если у=3 при х=2 если у=2 при х=1

Контрольные вопросы

1.Какое уравнение называется дифференциальным?

2.Что называют порядком дифференциального уравнения?

3.Решить уравнение: =0

Критерии оценки:

«5»-верно выполнены все задания и даны ответы на все вопросы

«4»-верно выполнены 4 задания и даны ответы на все вопросы

«3»-верно выполнено три задания

«2»-выполнено два задания

Рекомендуемая литература

1.В.Т.Лисичкин, И.Л.Соловейчик. Математика: учебное пособие для техникумов.- М.: Высш. шк.,1991.

2.Н.В.Богомолов, Л.Ю.Сергеенко. Сборник дидактических заданий по математике: учебное пособие для ссузов.- М.: Дрофа,2005.

3.Алгебра и начала анализа под ред. Г.Н.Яковлева «Математика для техникумов».-М.: Наука,1987.

Практическая работа №9

Тема: Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Цель: закрепить навыки решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Теоретические сведения:

Уравнение вида у’ + py = q , где p и q –функции переменной х или постоянные величины, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Чтобы решить дифференциальное уравнение первого порядка с правой частью (q0 ), нужно свести его к уравнению с разделяющимися переменными.

При решении таких уравнений применяют метод Бернули. Для этого используют подстановку y = UV, в результате которой уравнение y’ + py = q сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными: U’+ pU = 0 ; UY’ = q , где U и V –новые функции переменной х .

Алгоритм решения линейного дифференциального

уравнения 1 порядка

1.Приводят уравнение к виду y’ + py = q.

2.Используя подстановку y = UV, находят y’ = U’V + V’U и подставляют это выражение в уравнение.

3.Группируют члены уравнения, выносят одну из функций U или V за скобку. Находят вторую функцию, приравняв выражение в скобках к нулю и решив второе уравнение.

4.Подставляют найденную функцию в оставшееся выражение и находят вторую функцию.

5.Записывают общее решение, подставив выражение для найденных функций U и V в равенство y=UV.

6.Если требуется найти частное решение, то определяют С из начальных условий и подставляют в общее решение.

Примеры и решения

Найти общее решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка:

1.

Решение: y’-2y-3=0 , y’-2y = 3

Используем подстановку y= UV, тогда y’= U’V+ V’U

U’V+V’U -2UV = 3

Вынесем функцию U за скобку U( V’ – 2V ) + U’V = 3

Выражение в скобках приравняем к нулю

V’ – 2V = 0 ; – 2v = 0 ; = 2v;

Разделим переменные

Проинтегрируем обе части

Рассмотрим оставшееся выражение и подставим найденную функцию

U’V = 3; = 3; разделим обе части на

разделим переменные du = 3

Проинтегрируем обо части ; u = -

Подставив U и V в равенство y= UV получим

Y = ( -

Ответ: y = -

2. y’ -

Решение: y’-

Y = uv; y’ = u’v + v’u

u’v = v’u -

u ( v’ -

v’ -

u’v = x; разделим на ,имеем

Т.о. y = u v ; y = ( -

Ответ: y = -

3. X -

Решение: разделим уравнение на х и приведем к виду y’ + py = q.

y = u v ; y’ = u’v = v’u

u’v + v’u +

v’ +

u’v = x ;

= ; du = dx;

Y = uv ; y = ( =

Ответ: y =

Найти частное решение уравнения:

4. если у = 5 при х = 0

Решение: y’ + 2y = -4

Y = u v ; y’= u’v + v’u ;

u’v + v’u + 2 uv = -4 ; u ( v’ + 2v ) + u’v = -4 ;

v’ + 2v = 0 ;

u’v = -4 ;

= -4 ; du = -4 +C

Y = u v ; y = ( -2 = -2 + C

Ответ: y = -2 + C

Задания для самостоятельного решения

Вариант 1 Вариант 2

1.Найти общее решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка:

а) а)

б) y’ -

в) x - - 3y = 0 в) x +

2.Найти частное решение линейных дифференциальных уравнений:

– у – 4 = 0 ,если у = 5 - 2у – 1 = 0 ,если у = 2

при х = 0 при х = 0

Контрольные вопросы

1.Какое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка?

2.Какой метод применяется для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка?

3.Какую подстановку используют для решения линейных дифференциальных уравнений?

Критерии оценки

«5» - верно решены все примеры и даны ответы на все вопросы

«4» - верно решены два примера из первого задания и решено второе задание и даны ответы на все вопросы

«3» - верно решен пример из первого задания и решено второе задание, и дан один ответ на вопрос

«2» - решен один пример

Рекомендуемая литература

1.В.Т.Лисичкин, И.Л.Соловейчик . Математика: учебное пособие для техникумов.- М.: Высш. шк.,1991.

2.Н.В.Богомолов, Л.Ю. Сергеенко . Сборник дидактических заданий по математике: учебное пособие для ссузов.- М.: Дрофа,2005

3.Алгебра и начала анализа под ред. Г.Н.Яковлев «Математика для техникумов».- М.: Наука,1987.

Практическая работа № 10

Тема: Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Цель: закрепить навыки решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Теоретические сведения

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида y” + py’ + qy = 0,где p и q-постоянные величины.

Алгоритм решения линейных однородных

дифференциальных уравнений

1.Записывают дифференциальное уравнение в виде y” + py’ + qy = 0

2.Составляют характеристическое уравнение k² + pk + q = 0

3.Вычисляют дискриминант D = p²-4q

а) если D 0,то уравнение имеет два разных корня k₁ и k₂, а общее решение записывают в виде y = C₁

б) если D = 0 , то уравнение имеет два равных корня k₁ и k_2,а общее решение записывают в виде y =

в) если D , то уравнение имеет комплексные корни k_1,2 = a , а общее решение записывают в виде y =

Примеры и решения

1.Решить уравнение y” + 2y’ – 8y = 0

Решение: составим характеристическое уравнение k² + 2k – 8 = 0 и решим его

D = p²-4q = 2² – 4(-8) = 4 + 32 = 36 уравнение имеет два различных корня

K_1,2 = =

Находим решение данного дифференциального уравнения

= . Общее решение имеет вид y = +

Ответ: y = + .

2.Найти общее решение уравнения y” – 6y’ + 9y = 0

Решение: характеристическое уравнение:

D=p²-4q; D = 36 – 36 = 0.Следовательно, характеристическое уравнение имеет два равных корня k₁ = k₂ =

Частным линейно независимым решением этого уравнения являются функции:

y₁ =

y = + + x)

Ответ: y =(

3.Найти общее решение уравнения y” – 2y’ + 50y = 0

Решение: характеристическое уравнение: k²-2k+50=0

D=p²-4q; D=4-200=-196

K_1,2=

Общее решение имеет вид y=(

Ответ: y=

4.Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям y”+3y’+2y=0,если y=-1,y’=3 при х=0

Решение: характеристическое уравнение : k²+3k+2=0

D=9-8=1>0

K_1,2= k₁=-2,k₂=-1

Общее решение: y=+ (1)

Далее находим y’=-2 (2)

Подставляем начальные условия в (1) и (2)

+

2=-C₁;C₁=-2; C₂=-1-C₁=-1+2=1

Таким образом y=-2

Ответ: у=-2е^-2х + е^-х

Задания для самостоятельного решения

Вариант-1 Вариант-2

Найти общее решение уравнений:

1. y”+y’-6y=0 1. y”-2y’-8y=0

2. y”-6y’+9y=0 2. y”-8y’+16y=0

3. y”-4y’+20y=0 3. y”+6y’+25y=0

Найти частные решения дифференциальных уравнений:

4. y”+y’-6y=0, 4. Y”-2y’-8y=0,

если у=0,у’=10 при х=0 если у=0,y’=14 при х=0

5. y”+5y’=0, 5. y”-3y’=0,

если у=2,y’=3 при х=0 если у=1,y’=-1 при х=0

Контрольные вопросы

1.Какое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка?

2.Каково общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка, если его характеристическое уравнение имеет равные корни?

3.Каково общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка, если оно имеет комплексные корни?

Критерии оценки

«5»-верно выполнены все примеры и даны ответы на все вопросы

«4»-верно решены любые четыре примера и даны ответы на все вопросы

«3»-верно решены два примера из первого задания и один пример из второго задания

«2»-решены только два примера

Рекомендуемая литература

1.В.Т.Лисичкин, И.Л.Соловейчик. Математика: учебное пособие для техникумов.- М.: Высш.шк.,1991.

2.Н.В.Богомолов, Л. Ю. Сергеенко. Сборник дидактических заданий по математике: учебное пособие для ссузов._ М.: Дрофа,2005.

3.Алгебра и начала анализа под ред.Г.Н. Яковлева. «Математика для техникумов».- М.: Наука,1987.

Практическая работа №11

Тема: Ряды с положительными членами. Установление сходимости рядов.

Цель: научиться записывать члены ряда по заданному общему члену, находить формулу общего члена, устанавливать сходимость рядов.

Теоретические сведения

Числовым рядом называется сумма вида

(1),где u₁,u₂…-члены ряда,u_n-общий член ряда

Суммы S₁=u₁

S₂=u₁+u₂

S₃=u₁+u₂+u₃

………………..

S_n=u₁+u₂+u₃+…+u_n составленные из первых членов ряда (1) называются частичными суммами этого ряда

Виды рядов

1.Геометрический ряд, образованный из членов геометрической прогрессии

(a>0)

Если<1 -ряд сходится

Если

2.Гармонический ряд: =1++… является расходящимся

3.Обобщенно-гармонический ряд: 1++

Приряд расходится

При

Необходимый признак сходимости ряда: Ряд может сходиться только при условии, что его общий член U_n при неограниченном увеличении номера n:.

Если же , то ряд расходится - это достаточный признак расходимости ряда.

Для знакоположительных числовых рядов имеют место следующие достаточные признаки, по которым можно установить их сходимость или расходимость.

Признак сравнения Будем рассматривать два ряда с положительными членами

а₁+а₂+а₃+…+а_n+ … (2) в₁+в₂+в₃+…+в_n+… (3)

1).Пусть ряд (3)-сходится и каждый член ряда (2) меньше соответствующего члена ряда (3),тогда и ряд (2) сходится

2).Пусть ряд (3) –расходится и каждый член ряда (2) больше соответствующего члена ряда (3),тогда и ряд (2) расходится.

Признак Даламбера

Если для ряда с положительными членами

а₁+а₂+а₃+…= выполняется условие , то при

l<1 ряд сходится

l>0 ряд расходится

l=1 признак Даламбера ответа не дает. Используются другие признаки.

Примеры и решения

1.Написать первые пять членов ряда по заданному общему члену:

а) a_n=

Решение:

а) n=1 a₁=

n=2 a₂=

n=3 a₃=

n=4 a₄=

n=5 a₅= . Таким образом, имеем

б) n=1

n=2

n=3

n=4 =

n=5 . Имеем

2.Найти формулу общего члена:

а). 2+4+8+16+… б).

Решение:

а) данный ряд представляет собой сумму членов, каждый из которых является степенью числа 2

2+4+8+16+32+…+2ⁿ+… ,т.е.

б) знаменатели данных дробей на 1 больше предыдущих. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии

, таким образом

3.Установить сходимость ряда с помощью следствия из необходимого признака.

Решение: согласно необходимого признака , найдем

T.к.

4.Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряд:

а) б)

Решение: применим признак Даламбера, найдем

Найдем =

Итак,

Следовательно, ряд

б)

Итак,

Следовательно ряд

Задания для самостоятельного решения

Вариант-1 Вариант-2

1.Написать первые пять членов ряда по заданному общему члену:

а)

б)

2.Найти формулу общего члена ряда:

а) а)

б) 1+ б)

3.Установить расходимость ряда с помощью следствия из необходимого признака:

4.Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряд:

а) a)

б) б)

Контрольные вопросы

1.Какой ряд называют числовым?

2.Необходимый признак сходимости ряда?

3.В чем состоит признак Даламбера?

4.Найти третий член ряда

Критерии оценки

«5»-верно выполнены все задания и даны ответы на все вопросы

«4»-верно решены второе, третье и четвертое задания и даны ответы на все вопросы

«3»-верно решены первые три задания

«2»-решены два задания

Рекомендуемая литература

1.Н.В.Богомолов, Л.Ю.Сергеенко. Сборник дидактических задании по математике: учебное пособие для ссузов.- М.: Дрофа,2005.

2.Алгебра и начала анализа под ред. Г.Н.Яковлева. «Математика для техникумов».- М.: Наука,1987.

Практическая работа № 13

Тема: Числовые множества. Действия над множествами.

Цель: научиться выполнять действия над множествами.

Теоретические сведения:

Множество представляет собой соединение, совокупность, собрание некоторых предметов, объединенных по какому-либо признаку.

Предметы, из которых состоит множество, называются его элементами.

Элементы множества обозначают малыми буквами латинского или греческого алфавита. Для обозначения множеств используют заглавные буквы латинского алфавита или запись со скобками. Например, А, В или .

Запись означает, что элемент

Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными.

Если любой элемент множества В является и элементом множества А, то множество В называется подмножеством множества А.В этом случае говорят, что В содержится в А или А содержит В, и пишут В

В силу этого определения любое множество является своим подмножеством.

Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым множеством.

Его обозначают

Примеры и решения

1.Найти все подмножества множества А =

Решение: подмножествами данного множества являются множества

Множество С, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из данных множеств А и В, называются пересечением множеств А и В и обозначаются А.

2. Найти пересечение множеств А=и В=.

Решение: А

Объединением множеств А и В называется такое множество С, которое состоит из всех элементов множеств А и В и только из них. В этом случае пишут С=А.

3. Найти объединение множеств А= и В=.

Решение: А .

Вычитание множеств. Дополнение до множества.

Пусть даны два множества А и В.Множество С, которое состоит из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В, называется разностью множеств А и В и обозначается А\В.

4. Найти А\В, если а). А = , В= б). А, В=

Решение: а). А\В =

Если А В , то разность А\В называется дополнением множества В до множества А.

Задания для самостоятельного решения

Вариатнт-1.

Вариант-2.

1.Найти все дополнения множеств:

А =

2.Пусть М-множество всех корней уравнения

( х²-1)(х²+5х+6)=0

( х²-9)(х²-6х+8)=0

Найти пересечение этого множества с множествами

А =

В =

С =

3. Найти А

а)А =

б)А =

в)А=

г)А=

4. Найти А\В и В\А для множеств А и В, указанных в №3.

5. Найти дополнения множества А до множества В, если:

а)А =

а

б)А=

в)А =

Контрольные вопросы

1. Что понимают под множеством?

2. Какие множества называются равными?

3.Что называется подмножеством данного множества?

4. Какое множество называется пустым?

5. Что называют пересечением множеств? Объединением множеств?

6. Что называется разностью множеств?

7. Что называется дополнением множества А до множества В?

Критерии оценки

«5»-верно выполнены все задания и даны ответы на все вопросы

«4»-верно выполнены любые четыре задания и даны ответы на все вопросы

«3»-верно выполнены любые три задания и даны ответы на все вопросы

«2»-выполнено два задания

Рекомендуемая литература

Алгебра и начала анализа под ред. Г.Н.Яковлева «Математика для техникумов».- М.: Наука,1987.

Практическая работа № 14

Тема: Основные понятия комбинаторики и теории вероятностей.

Цель: научить решению комбинаторных задач и применению комбинаторики в вычислении вероятностей события.

Теоретические сведения

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называется n-факториалом и записывается n! =1

Комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками.

P_n = n(n-1)(n-2)…3 или P_n = n!

Комбинации из m элементов по n элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами или 3 порядком элементов, называются размещениями.

Сочетаниями из m элементов по n элементов, называются все возможные комбинации, которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом.

Примеры и решения

1.Вычислить: а). 7! - 5!=1∙2∙3

б).

в).

2.В соревнованиях участвовало четыре команды. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно?

Решение: Число перестановок из четырех элементов составляет Р₄ =1

Ответ: 24

3.Сколько двузначных чисел можно составить из 5 цифр 1,2,3,4,5 при условии, что ни одна цифра не повторится.

Решение: Так как двузначные числа отличаются друг от друга или самими цифрами или их порядком, поэтому искомое количество

Ответ: 20

4. Сколькими способами можно выбрать трех дежурных, если в классе 30 учащихся?

Решение: т.к. в классе 30 человек, т.е. m=30, нужно составить комбинацию из трех человек, которые отличались хотя бы одним человеком, т.е. Ответ: 4060.

Случайные события . Вероятность события

Изучение каждого явления в порядке наблюдения или производства опыта связано с осуществлением некоторого комплекса условий (испытаний).Всякий результат или исход испытания называется событием.

Если событие при заданных условиях может произойти или не произойти, то оно называется случайным. В том случае, когда событие должно непременно произойти, его называют достоверным , а в том случае, когда оно заведомо не может произойти- невозможным.

События называются несовместными, если каждый раз возможно появление только одного из них. События называются совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появления другого при том же испытании.

События называются противоположными, если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны.

Вероятностью события А называется отношение Числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события А, к числу n всех исходов, т.е.

Вероятность любого события не может быть меньше 0 и больше 1, т. е.

Невозможному событию соответствует вероятность

Примеры и решения

1. Из букв составлено слово «книга». Это слово рассыпали и произвольно собрали заново. Какова вероятность того, что снова получится слово «книга»?

Решение:

Пусть событие А-слово получится. Общее число возможных случаев n = ,число случаев m благоприятствующих событию А - одно, т.о.

2. В классе 17 девочек и 14 мальчиков. Определить вероятность того, что оба вызванных ученика окажутся: а) мальчиками; б) девочками.

Решение: Событие А- вызваны два мальчика; событие В – вызваны две девочки. Общее число возможных случаев n = 17 + 14 = 31 равно числу сочетаний из 31 по 2, т.е.

n =

Число случаев m благоприятствующих событию А ,составляет

m = Т.о.

Число случаев m благоприятствующих событию В, составляет

m =

Ответ:

Задания для самостоятельного решения

Вариант-1 Вариант-2

1. Вычислить:

а) а)

б)

в)

г)

д)

2. В соревнованиях участвовало 4 команды. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно?

2. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,…9?

3. Решить уравнение:

4. В корзине 15 красных и 10 синих шаров. Определить вероятность того, что оба шара извлеченных из корзины окажутся синими.

4. В пакете 9 белых и 12 черных носков. Найти вероятность того, что пара, которую достали наугад, окажется белой.

Контрольные вопросы

1. Что такое размещение?

2. Что такое перестановка?

3. Что такое сочетание?

4. Что такое случайное событие?

5. Что такое достоверное событие и независимое событие?

6. Какие события называются совместными, какие несовместными?

7. Что называют вероятностью события?

Критерии оценки:

«5»-верно выполнили все задания и ответили на все вопросы

«4»-верно выполнили три задания и ответили на все вопросы

«3»-верно выполнили два задания и ответили на все вопросы

«2»-выполнили одно задание

Рекомендуемая литература

1. В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. Математика: учебное пособие для техникумов.-М.: Высш. шк.,1991.

2. В.Е.Гмурман. Теори вероятностей и математической статистики.1998.

3. И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул. Математика для техникумов.- М.: Наука,1990

Литература

Основные источники:

1. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике: учебн. пособие для ссузов.-3-е изд. стер. - М.: Дрофа,2006

2. Богомолов Н.В. Сборник дидактических заданий по математике: учебное пособие для ссузов.-М.: Дрофа,2005

3. Лапчик М.П. Элементы численных методов: учебник для студ. сред. проф. образования.- М.: издат. центр «Академия»,2007

4. Спирина М.С. Дискретная математика: учебник для студ. Учреждений сред.проф.образован.-6-е изд., стер..-М: издат. центр «Академия»,2010

5. Стойлова Л.П. Математика: уч. Пособие для студ. Высш. учеб. заведений.-3-е изд., стер. - М: Издательский центр «Академия»,2005

6. Филимонова Е.В.Математика для средних спец. уч.заведений.: учебное пособие.-Изд.4-е,доп.и перераб .-Ростов н/Д:.Феникс,2008

7. Филимонова Е.В. Математика и информатика: Учебник-3-е изд.-М.: Издательско-торговая корпорация «Данилов и К»,2009

Дополнительные источники:

1. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа: Учебник для вузов.12-е изд., стер. - СПб. Изд-во «Лань».2005

2. Лисичкин В.Т. ,Соловейчик И.П. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие.3-е изд., стер. - СПб.: Идательство «Лань»,2011

3. Подольский В.А, А.М. Сборник задач по математике: учебное пособие.-3-е изд., стер.- М.: Высш. Шк.2005