Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Конспекты / Тема урока: «Производная тригонометрических функций
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Тема урока: «Производная тригонометрических функций

библиотека
материалов

Алгебра 10 класс.

Тема урока: «Производная тригонометрической функции»

Цели:

1. Образовательные.

  • обеспечить усвоение правил дифференцирования и техники вычисления производных в разнообразных ситуациях.

  • организовать вычисление производных тригонометрических функций по образцу и в измененной ситуации с целью формирования целостной системы дифференцирования

2. Развивающие.

  • создать условия для быстрой актуализации и практическому применению ранее полученных знаний

  • обеспечить развитие у учащихся сравнивать познавательные объекты

  • обеспечить условия для развития у учащихся умений анализировать.

3. Воспитательные.

  • содействовать развитию у учащихся чувства ответственности за личную и коллективную деятельность

  • содействовать учащимся в осознании ценности совместной деятельности.

Тип урока: урок комплексного применения знаний и способов действий.

Оборудование урока: доска, мел, таблица с формулами, карточки с заданиями.

Ход урокаI. Организационный момент.

Учитель: «На прошлых уроках мы познакомились с правилами вычисления производных, научились находить производные сложных функций. Назовите функции, производные которых вы уже умеете вычислять».

Выслушиваются ответы учеников.

Учитель: «Сегодня мы проверим ваши умения самостоятельно применять полученные знания для вычисления производных функций».II. Презентация (историческая справка-это д/з, которое выполняет один из учеников)1) Математика развивалась стремительно, но без понятия производной многие исследования не имели смысла.В 1679 году Пьер Ферма находил экстремумы функции, касательные, наибольшие и наименьшие значения функций. Но в своих записях он использовал сложнейшую символику Виета, и поэтому эти исследования не привели к созданию теории интегральных и дифференциальных исчислений.В 1736 году Исаак Ньютон получил теорию интегральных и дифференциальных исчислений методом флюксий (производных). Но вся теория была осмыслена с точки зрения физики. Математики хотели строгих логических обоснований.Современник Ньютона Лейбниц предложил новый подход к математическому анализу. Он ввёл обозначения дифференциала, интеграла, функции, такие понятия как ордината, абсцисса, координата. Но в его теории было много “тёмных мест”.И вот в 18 веке величайший математик Леонард Эйлер создал теорию дифференциальных и интегральных исчислений, и в таком виде мы с вами ее изучаем. 1) Проверка домашнего задания

Функция

Производная

1

f(x) = sin(2x + 1) 3cos(1 – x)

f’(x) = 2cos(2x + 1) – 3sin(1 – x)

2

f(x) = 4sinx + x²

f’(x) = 4cosx + 2x

3

f(x) = 3sinx7

f’(x) = 21xhttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image002.gifcosxhttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image004.gif

4

f(x) = tgx + ctgx

f’(x) = http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image006.gif

5

f(x) = 3sinx

f’(x) =3cosx

6

f(x) = cos6x

f’(x) = – 6sinx

7

f(x) = 4tg7x

f’(x) =28cos²x

8

f(x) = cos(x + 2)

f’(x) = –sin(x + 2)

9

f(x) = cos

f’(x) = –3x²sinx³

10

f(x) = –2ctg10x

f’(x) =20/sin²10x

III. Актуализация опорных знаний учащихся Фронтальный опрос по ранее изученным формулам вычисления производных.Чему равна производная:

  • от числа

  • от переменной «х»

  • от выражения kx + b

  • от суммы функций

  • от произведения двух функций

  • от частного

  • степенной функции

  • сложной функции

  • тригонометрических функций

Учащиеся выходят к доске по одному и записывают формулы в столбик.

Затем идет проверка с помощью таблицы.

C´ = 0, X´ = 1, (kx + b) ´= k

(U + V)´ = U´ +V´; (U · V)´ = U´V +UV´

http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image008.gif; http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image010.gif

http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image012.gif; (СU)' = СU'

(sin x)´= cos x; (cos x) ´= sin x; (tg x) ´= http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image014.gif; (сtg x) ´= - http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image016.gif

IV. Устная работа

1) Проверить верно ли найдена производная

(http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image018.gif)'=http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image020.gif {1/2};

(http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image022.gif)'=http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image024.gif {http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image026.gif};

( http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image028.gif)'=http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image030.gif.

2) Найти производные функций:

G(x) = sinx + 4x6,

F(x) = –17tgx + 1,

F(x) = cos(4x – 11),

Y = tgxctgx

3) Задайте формулой функцию f(x):

f ´(x) = 2x

f ´(x) = 3x2 – sinx

f ´(x) = 5 – cosx

(f(x) = x2 + C),

(f(x) = x3 + cosx + C),

(f(x) = 5x – sinx + C).

4) Производные каких функций записаны на доске?
http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image031.gif http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image032.gif http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image033.gif http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image034.gif http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image035.gif 

(действие обратное дифференцированию будем изучать в 11 классе.)

V. Коллективная работа по учебнику

№ 42.12 Найти значение производной функции в данной точке

г) у = ctg²x – 1, у'(π/4)-?

Решение.

у'(х)= -2ctgx/sin²x, у'(π/4)= -4

№42.17 При каких значениях аргумента скорости изменения функций равны?

а) f(x)=cos2x, g(x)=sinx

Решение.

 f ' (x)= – 2sin2x, g' (x)= cosx. - 2sin2x = cosx, cosx(4sinx + 1)=0, xhttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image037.gif=π/2+πn xhttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image039.gif=(-1)http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image041.gifarcsinhttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image043.gif+ πn

№42.21 Определите абсциссы точек, в которых в которых угловой коэффициент касательной равен 0

а) f(x)=tg³x

Решение.

f ' (x)=3tg²x/cos²x, f ' (x)=0, sinx=0, x=πn

VI. Контроль и самопроверка знаний и способов действий.

У каждого из учеников на столе находится тестовое задание (по вариантам). Решают в тетради, на полях записывают правильные ответы.

Самоконтроль. Ответы на доске.

Тест.

Вариант 1

Вариант 2

Y= sin2x

1. sin 2x

2. 2sin x

3. –sin 2x

Y= cos2x

1.- sin 2x

2. sin 2x

3. 2sin x

Y = 3cos 2 x

4. 6sin 4x

5.-3sin 2x

6. -6sin 2x

Y= 3sin 2x

1.3cos 2x

2. 6cos 2x

3. -6cos 4x

Y= 4tg 3x

7.4/cos23x

8. 4/cos2х

9. 12/cos23x

Y= 3ctg2x

1. -3/sin22x

2. 6/sin22x

3.- 6/sin22x

Вычислить Y´(π) Y= sin 2x – 3cos 3x

1. 2cos 2x – 3sin 3x

2. 2cos 2x + 9sin 3x

3. -2cos 2x + 3sin 3x

Вычислить Y´(π/2) Y= cos 2x – sin 3x

1. -2sin 2x – 3cos 3x

2. 2cos 2x – 3sin 3x

3. –sin 2x – cos 3x

Вариант 3

Вариант 4

y=sinxhttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image045.gif

1. 5 xhttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image047.gifcosxhttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image045_0000.gif 

2. 5 cosxhttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image045_0001.gif 

3. 5 xhttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image047_0000.gif sinxhttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image045_0002.gif

y=coshttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image004_0000.gif(3x+π/6)

1.- 21sin(3x+π/6)coshttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image002_0000.gif(3x+π/6)

2. -7sin(3x+π/6)

3. 7coshttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image002_0001.gif (3x+π/6)

y=1/coshttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image055.gifx

4.2/coshttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image047_0001.gifx

5. 1/sinhttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image055_0000.gifx

6. 2sinx/coshttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image059.gifx

y=1/sinhttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image055_0001.gifx

1. 1/coshttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image055_0002.gifx

2. -2cos/ xsin³x

3.-2/sinhttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image047_0002.gifx

y=1/ tg3x

7. 3cos²3x

8. 3/tg²3x

9. -3/sin²3x

y=2/ctg2x

1. -2sin²2x

2. 2/ctg2x

3.4/cos²2x

y=http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image063.gif, у'(0)-?

1. 1 /(2http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image063_0000.gif)

2. cosx/(2http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image063_0001.gif)

3. cosx(1+sinx)

y'(0)=1/2

y=http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image067.gif, у'(π/2)-?

1. -1 /(1+sinx)

2. cosx /(1+sinx)²

3. sinx /(1+sinx)²

 у'(π/2) =-1/2

В-1,3. Ответ:1692(номер нашей школы) В-2,4. Ответ:1231

VII. Закрепление и применение знаний и способов действий учащихся.Проводится в виде игры. Задания написаны на доске. Учащиеся выходят по очереди. Результат решения соответствует какой-либо букве. Буквы лежат на отдельном столе. Ученик находит полученную букву, на обратной стороне которой написан её порядковый номер в фразе. Фраза записывается на доске. Учитель называет оценку каждому вышедшему к доске.Ключ к расшифровке высказывания.

y

y'

Буква

№ окошка

cos²π– 4x2 + 7

– 8x

А

15

1/tgπ/4  + 3x2

6x

Б

25

1/x + 5

-http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image069.gif

В

1,12,16

x6 – 4sinx

6x5 – 4cosx

Г

18

20x4  - cosx

80x3 + sinx

Е

2,7,9,13,17

2sin4x+16

8cos4x

И

4,6,30,35

sin²x + 13

sin2x

К

14

cos² 2x

sin4x

Л

3,10,34

2x6 + (sinx)/2

12x5 + ½(cosx)

М

31

http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image071.gif- 5хhttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image047_0003.gif

7x5 – 20x3

Н

26

x²sin2x

2xsin2x + 2x²cos2x

О

11,19,12,24,27

http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image074.gif- ctg3x

http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image076.gif+ 3/(sin²3x)

П

21

sinxhttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image045_0003.gif+ tg6x

5xhttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image047_0004.gifcosxhttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image045_0004.gif+ http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image081.gif

Т

29,36

x+ 3sinx/3

1 + cosx

С

20,23,28,33

2x3 – x2 + x

6x2 – 2x + 1

Ч

5,8

x/cosx

http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image083.gif

Ы

32

sin6xcos3x+cos6xsin3x

9cos9x

Ь

37

Величие человека - в его способности мыслить.
Блез Паскаль (1623-1662)

1

2

3

4

5

6

7

 

8

9

10

11

12

13

14

15

 

16

 

17

18

19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

31

32

33

34

35

36

37

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VIII. Домашнее задание: записано на доске















Алгебра 10 класс. 13.02.2014г

Тема урока: «Производная тригонометрической функции»

Цели урока:

  • выработать умения решения задач на нахождение производных тригонометрических функций, закрепить умения и навыки , развитие навыков системного мышления и анализа, развитие познавательного интереса; развитие логического мышления и внимания;

  • воспитание ответственности, умения принимать самостоятельные решения.

Тип урока: урок закрепления и развития знаний, умений и навыков.

Ход урока:


  1. Организационный момент.

Проверить готовность к уроку. Отметить отсутствующих

  1. Проверка домашнего задания.

в) f(x)= hello_html_m4b4f057a.gif

hello_html_m1b49300d.gif

г)hello_html_m366aeaef.gif

hello_html_m2ce5f49f.gif


228

б) hello_html_29279828.gif

f^ʹ (x)=hello_html_d2bd1a7.gif

hello_html_m50c3d0c6.gif

г) hello_html_m48814c2.gif

hello_html_5e3bf8a4.gif


hello_html_13192375.gif




  1. Решите уравнения:

229

а) hello_html_m7544628c.gif

hello_html_5515bc96.gif

hello_html_m1b2d4c4e.gif

hello_html_m261d9cd2.gif


hello_html_21045f8c.gif

hello_html_m4134cef3.gif

б) hello_html_m3916777.gif

hello_html_m28b7a66b.gif

hello_html_m21e1a290.gif

hello_html_m744255ff.gif

hello_html_m5fe52400.gifhello_html_6852b116.gif


в)hello_html_1591c520.gif

hello_html_73216c27.gif

hello_html_m3b8ba56b.gif

hello_html_m1c2b0798.gif

hello_html_2cfd6f3d.gif

238. Вычислите значение производной f(x) в точке hello_html_m63ecfb67.gif

    1. hello_html_mce16b65.gif

hello_html_60aa10b1.gif

hello_html_4f2abcf9.gif

    1. hello_html_399d8b80.gif



hello_html_4af94575.gif

hello_html_mbb89787.gif

239. Напишите уравнение касательной к графику функции

а). hello_html_m60882e32.gif hello_html_m11e1d145.gif

1. hello_html_m1644b47f.gif

2. hello_html_2799cd23.gif

3. hello_html_fd49682.gif

hello_html_7c726240.gif

240. Вычислите производные функции.

а) hello_html_m48b258e7.gif

b) hello_html_m6b268a45.gif





4. Тестовые задания

1 вариант.

  1. Найдите производную функции hello_html_786b7449.gif

  1. hello_html_76b84691.gifb) -4cosx c) 4cosx d) -4sinx

  1. Найдите производную функции hello_html_468d1f93.gif

  1. 2sinx b) -2sinx c) 2cosx d) -2cosx

  1. Найдите производную функции hello_html_m57a8a265.gif

a)-4sin(4x-1) b) cos(4x-1) c) –cos(4x-1) d) -4cos(4x-1)

  1. Найдите производную функции hello_html_66581ded.gif и вычислите hello_html_7676e279.gif

a)-3 b) -1 hello_html_7f8f9891.gif c) 3 d) 16

5. Найдите производную функции hello_html_17e161de.gif

a) - hello_html_6b9e4e5b.gif b) hello_html_33290e40.gif c) hello_html_m292fa3fe.gif d) hello_html_m438e6033.gif

6. Найдите производную функции hello_html_m6d7e556.gif

a) cosx+cos2x b) cosx+0.5cos2x c) 2cosx d) 1.5cosx

7. Найдите производную функции hello_html_1c69248d.gif

a) hello_html_maf37642.gif b) cos2x c) hello_html_m2b5879f2.gif hello_html_m34da3e45.gif d) 2cosx

8. Найдите производную функции hello_html_114341de.gif

a) 4sin2x b) 1 c) 0 d) hello_html_mf10ffeb.gif

9. Найдите производную функции hello_html_m46548910.gif

a) hello_html_m7912f25.gif b) hello_html_74ddd0c6.gif c) hello_html_m2e562793.gif d) hello_html_2c1ba1dc.gif



II-вариант.

  1. Найдите производную функции hello_html_m4d17d318.gif

  1. 10sinx b) 10cosx c) -10sinx d)-10cosx

  1. Найдите производную функции hello_html_m71027bd1.gif

  1. 5sinx b) -5cosx c) 5cosx d) -5sinx

  1. Найдите производную функции hello_html_132662e0.gif

  1. cos(9x-2) b) –cos(9x-2) c) -9sin(x-2) d) -9cos(9x-2)

  1. Найдите производную функции hello_html_5ef1ec74.gif и вычислите hello_html_m3718ef73.gif

  1. -8 b) 24 c) -24 d) 8

  1. Найдите производную функции hello_html_m4118f44e.gif

  1. hello_html_m18cb65d3.gifb) hello_html_6c28ba60.gif c) hello_html_m3aa3fbf5.gif d) hello_html_m25a7b002.gif

  1. Найдите производную функции hello_html_459d9172.gif

  1. hello_html_m391ef8d0.gifb) hello_html_m72e97cf3.gif c) hello_html_m100d58e0.gif d) hello_html_35262b3f.gif



7. Найдите производную функции hello_html_114341de.gif

a) 4sin2x b) 1 c) 0 d) hello_html_mf10ffeb.gif

8. Найдите производную функции hello_html_17e161de.gif

a) - hello_html_6b9e4e5b.gif b) hello_html_33290e40.gif c) hello_html_m292fa3fe.gif d) hello_html_m438e6033.gif

9. Найдите производную функции hello_html_m22972ec3.gif

a) hello_html_m7377a146.gif b) hello_html_m2f647cf5.gif c) hello_html_4c6d644b.gif d)hello_html_65793220.gif





  1. Формулировка домашнего задания.

Даются указания для решения домашнего задания

№ №

6.Итог урока.

Комментируются оценки за урок.
















































































Алгебра 10 кл 11.02.2014г

Тема урока: Производная тригонометрических функции.

Цель: ввести формулы производных функций тригонометрических, рассмотреть примерные упражнения на применение изученных правил дифференцирования; вырабатывать умения и навыки учащихся в решении заданий на применение знаний правил вычисления производных.

Воспитание и развитие логического мышления учащихся.

Тип урока: изучение нового материала, первичное закрепление новых знаний.

Оборудование: учебник, доска, тетради учащихся, компьютер, экран.



Ход урока

1.Орг. момент.

Проверка готовности учащихся к уроку.

Сообщение темы урока, формулировка цели урока.


2.Актуализация опорных знаний учащихся:

Фронтальный опрос по ранее изученным формулам вычисления производных

Производная :

  • от числа

  • от переменной «х»

  • от выражения kx + b

  • от суммы функций

  • от произведения двух функций

  • от частного

  • степенной функции

  • сложной функции

Учащиеся выходят к доске по одному и записывают формулы в столбик.

Затем идет проверка с помощью таблицы на экране через компьютер.


C´ = 0 ,

X´ = 1

(kx + b) ´= k

(U + V)´ = U´ +V´

(U · V)´ = U´V +UV´

hello_html_m6c643b8e.gif

hello_html_m4f7ba960.gif

hello_html_f135494.gif




3.Изучение нового материала:


Производные тригонометрических функций


1)Формула производной синуса


Докажем, что производная синуса имеет такой вид:


hello_html_m5d31b940.gif


Воспользуемся для этого определением производной и формулой суммы и разности функций тригонометрических:


hello_html_m7ba43efb.gif


hello_html_56d2f981.gif


hello_html_mbaec7f1.gif

Для вывода формулы производной синуса достаточно показать, что:


а) hello_html_281a5c91.gif

б) hello_html_m56ee501b.gif


Действительно, опираясь на эти утверждения, при Δх → 0 можно получить формулу:

hello_html_m2790d747.gif





2)Формулы дифференцирования косинуса, тангенса и котангенса


Функции y=cos x, y =tgx, y = ctg x имеют производные в каждой точке

своей области определения и справедливы формулы:

hello_html_m8e99177.gifhello_html_m66aa55ef.gif

hello_html_64b4f134.gif


4.Закрепление изученного материала:

4.1. Работа у доски и на местах. Решение упражнений из учебника

231 – 233

hello_html_34d5032.png

4.2.Работа в группах

Теперь в путь!

Подъем к “Пику знаний” будет нелегким, могут быть и завалы, и обвалы, и заносы. Но будут и привалы.

Чтобы продвинуться вперед, надо показать знания.

Каждая группа пройдет “по своей лесенке” . Вам нужно будет найти производные данных функций

I группа

hello_html_6f7c7691.gif

hello_html_m19eb81fc.gif

hello_html_1f2b1fd7.gif

hello_html_211e503e.gif



II группа

hello_html_m144506f6.gif

hello_html_655c7e92.gif

hello_html_m7030abe3.gif

hello_html_m6a3d7f3e.gif






4.3. Применение ранее изученных формул для решения новых заданий:


Применяя формулу сложной функции, выполним решение задания № 234



hello_html_m55db959f.png

5.Подведение итогов урока


Итак, сегодня мы с вами изучили производные тригонометрических функций и пополнили свой багаж знания формулами производных функций.

Итак, подведем итоги урока.

  1. Что чувствовали сегодня на уроке?

  2. С какими трудностями вы встретились?

  3. Кому было трудно? Почему? Что ты сделал, чтобы преодолеть эту трудность?

  4. Что тебе помогло? (Опорные конспекты, подсказки товарищей…)

  5. Что было сегодня необычного? Что понравилось?

  6. Что взяли с урока? Кому и в чем помог разобраться данный урок?

Сами себе поставьте оценку в тетрадь.


6.Домашнее задание:













Конспект урока алгебры в 10-м классе по теме "Производные тригонометрических функций"

Цели:

1. Образовательные.

  • обеспечить усвоение правил дифференцирования и техники вычисления производных в разнообразных ситуациях.

  • организовать вычисление производных тригонометрических функций по образцу и в измененной ситуации с целью формирования целостной системы дифференцирования

2. Развивающие.

  • создать условия для быстрой актуализации и практическому применению ранее полученных знаний

  • обеспечить развитие у учащихся сравнивать познавательные объекты

  • обеспечить условия для развития у учащихся умений анализировать.

3. Воспитательные.

  • содействовать развитию у учащихся чувства ответственности за личную и коллективную деятельность

  • содействовать учащимся в осознании ценности совместной деятельности.

Тип урока: урок комплексного применения знаний и способов действий.

Форма урока: традиционная с элементами программированного обучения, с элементами адаптивной системы обучения.

Оборудование урока: ноутбуки, доска, мел, таблица с формулами, карточки с заданиями.

Ход урока

I. Организационный момент.

Учитель: «На прошлых уроках мы познакомились с правилами вычисления производных, научились находить производные сложных функций. Назовите функции, производные которых вы уже умеете вычислять».

Выслушиваются ответы учеников.

Учитель: «Сегодня мы проверим ваши умения самостоятельно применять полученные знания для вычисления производных функций».

II. Презентация (историческая справка-это д/з, которое выполняет один из учеников)

1) Математика развивалась стремительно, но без понятия производной многие исследования не имели смысла.

В 1679 году Пьер Ферма находил экстремумы функции, касательные, наибольшие и наименьшие значения функций. Но в своих записях он использовал сложнейшую символику Виета, и поэтому эти исследования не привели к созданию теории интегральных и дифференциальных исчислений.

В 1736 году Исаак Ньютон получил теорию интегральных и дифференциальных исчислений методом флюксий (производных). Но вся теория была осмыслена с точки зрения физики. Математики хотели строгих логических обоснований.

Современник Ньютона Лейбниц предложил новый подход к математическому анализу. Он ввёл обозначения дифференциала, интеграла, функции, такие понятия как ордината, абсцисса, координата. Но в его теории было много “тёмных мест”.

И вот в 18 веке величайший математик Леонард Эйлер создал теорию дифференциальных и интегральных исчислений, и в таком виде мы с вами ее изучаем.

1) Проверка домашнего задания с помощью ноутбука(сайт ЦОР)

ЦОР Производные тригонометрических функций

Функция

Производная

1

f(x) = sin(2x + 1)  3cos(1 – x)

f’(x) = 2cos(2x + 1) – 3sin(1 – x)

2

f(x) = 4sinx + x²

f’(x) = 4cosx + 2x

3

f(x) = 3sinx7

f’(x) = 21xhttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image002.gifcosxhttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image004.gif

4

f(x) = tgx + ctgx

f’(x) = http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image006.gif

5

f(x) = 3sinx

f’(x) =3cosx

6

f(x) = cos6x

f’(x) =  6sinx

7

f(x) = 4tg7x

f’(x) =28cos²x

8

f(x) = cos(x + 2)

f’(x) = sin(x + 2)

9

f(x) = cos

f’(x) = 3x²sinx³

10

f(x) = –2ctg10x

f’(x) =20/sin²10x

Дополнительное Д/З сдать на листочках (физ.-мат. группа).

III. Актуализация опорных знаний учащихся:

Фронтальный опрос по ранее изученным формулам вычисления производных.

Чему равна производная:

  • от числа

  • от переменной «х»

  • от выражения kx + b

  • от суммы функций

  • от произведения двух функций

  • от частного

  • степенной функции

  • сложной функции

  • тригонометрических функций

Учащиеся выходят к доске по одному и записывают формулы в столбик.

Затем идет проверка с помощью таблицы.

C´ = 0, X´ = 1, (kx + b) ´= k

(U + V)´ = U´ +V´; (U · V)´ = U´V +UV´

http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image008.gif; http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image010.gif

http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image012.gif; (СU)' = СU'

(sin x)´= cos x; (cos x) ´= sin x; (tg x) ´= http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image014.gif; (сtg x) ´= - http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image016.gif

IV. Устная работа

1) Проверить верно ли найдена производная

(http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image018.gif)'=http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image020.gif {1/2};

(http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image022.gif)'=http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image024.gif {http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image026.gif};

( http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image028.gif)'=http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image030.gif.

2) Найти производные функций:

G(x) = sinx + 4x6,

F(x) = –17tgx + 1,

F(x) = cos(4x – 11),

Y = tgxctgx

3) Задайте формулой функцию f(x):

f ´(x) = 2x

f ´(x) = 3x2 – sinx

f ´(x) = 5 – cosx

(f(x) = x2 + C),

(f(x) = x3 + cosx + C),

(f(x) = 5x – sinx + C).

4) Производные каких функций записаны на доске?
http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image031.gif http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image032.gif http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image033.gif http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image034.gif http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image035.gif 

(действие обратное дифференцированию будем изучать в 11 классе.)

V. Коллективная работа по учебнику автор А.Г.Мордкович

42.12 Найти значение производной функции в данной точке

г) у = ctg²x – 1, у'(π/4)-?

Решение.

у'(х)= -2ctgx/sin²x, у'(π/4)= -4

42.17 При каких значениях аргумента скорости изменения функций равны?

а) f(x)=cos2x, g(x)=sinx

Решение.

 f ' (x)= – 2sin2x, g' (x)= cosx. - 2sin2x = cosx, cosx(4sinx + 1)=0, xhttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image037.gif=π/2+πn xhttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image039.gif=(-1)http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image041.gifarcsinhttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image043.gif+ πn

42.21 Определите абсциссы точек, в которых в которых угловой коэффициент касательной равен 0

а) f(x)=tg³x

Решение.

f ' (x)=3tg²x/cos²x, f ' (x)=0, sinx=0, x=πn

VI. Контроль и самопроверка знаний и способов действий.

У каждого из учеников на столе находится тестовое задание (по вариантам). Решают в тетради, на полях записывают правильные ответы. Задание дифференцированные: № 1,2 оцениваются «3» баллами, №3,4 – «4» и «5» баллами, В-1,2 общеобр.группа,В-3,4 для физ.мат группы.

Самоконтроль. Ответы на доске.

Тест.

Вариант 1

Вариант 2

Y= sin2x

1. sin 2x

2. 2sin x

3. –sin 2x

Y= cos2x

1.- sin 2x

2. sin 2x

3. 2sin x

Y = 3cos 2 x

4. 6sin 4x

5.-3sin 2x

6. -6sin 2x

Y= 3sin 2x

1.3cos 2x

2. 6cos 2x

3. -6cos 4x

Y= 4tg 3x

7.4/cos23x

8. 4/cos2х

9. 12/cos23x

Y= 3ctg2x

1. -3/sin22x

2. 6/sin22x

3.- 6/sin22x

Вычислить Y´(π) Y= sin 2x – 3cos 3x

1. 2cos 2x – 3sin 3x

2. 2cos 2x + 9sin 3x

3. -2cos 2x + 3sin 3x

Вычислить Y´(π/2) Y= cos 2x – sin 3x

1. -2sin 2x – 3cos 3x

2. 2cos 2x – 3sin 3x

3. –sin 2x – cos 3x

Вариант 3

Вариант 4

y=sinxhttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image045.gif

1. 5 xhttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image047.gifcosxhttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image045_0000.gif 

2. 5 cosxhttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image045_0001.gif 

3. 5 xhttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image047_0000.gif sinxhttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image045_0002.gif

y=coshttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image004_0000.gif(3x+π/6)

1.- 21sin(3x+π/6)coshttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image002_0000.gif(3x+π/6)

2. -7sin(3x+π/6)

3. 7coshttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image002_0001.gif (3x+π/6)

y=1/coshttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image055.gifx

4.2/coshttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image047_0001.gifx

5. 1/sinhttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image055_0000.gifx

6. 2sinx/coshttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image059.gifx

y=1/sinhttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image055_0001.gifx

1. 1/coshttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image055_0002.gifx

2. -2cos/ xsin³x

3.-2/sinhttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image047_0002.gifx

y=1/ tg3x

7. 3cos²3x

8. 3/tg²3x

9. -3/sin²3x

y=2/ctg2x

1. -2sin²2x

2. 2/ctg2x

3.4/cos²2x

y=http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image063.gif, у'(0)-?

1. 1 /(2http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image063_0000.gif)

2. cosx/(2http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image063_0001.gif)

3. cosx(1+sinx)

y'(0)=1/2

y=http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image067.gif, у'(π/2)-?

1. -1 /(1+sinx)

2. cosx /(1+sinx)²

3. sinx /(1+sinx)²

 у'(π/2) =-1/2

В-1,3. Ответ:1692(номер нашей школы) В-2,4. Ответ:1231

VII. Закрепление и применение знаний и способов действий учащихся.

Проводится в виде игры. Задания написаны на доске. Учащиеся выходят по очереди. Результат решения соответствует какой-либо букве. Буквы лежат на отдельном столе. Ученик находит полученную букву, на обратной стороне которой написан её порядковый номер в фразе. Фраза записывается на доске. Учитель называет оценку каждому вышедшему к доске.

Ключ к расшифровке высказывания.

y

y'

Буква

окошка

cos²π– 4x2 + 7

8x

А

15

1/tgπ/4  + 3x2

6x

Б

25

1/x + 5

-http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image069.gif

В

1,12,16

x6 – 4sinx

6x5 – 4cosx

Г

18

20x4  - cosx

80x3 + sinx

Е

2,7,9,13,17

2sin4x+16

8cos4x

И

4,6,30,35

sin²x + 13

sin2x

К

14

cos² 2x

sin4x

Л

3,10,34

2x6 + (sinx)/2

12x5 + ½(cosx)

М

31

http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image071.gif- 5хhttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image047_0003.gif

7x5 – 20x3

Н

26

x²sin2x

2xsin2x + 2x²cos2x

О

11,19,12,24,27

http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image074.gif- ctg3x

http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image076.gif+ 3/(sin²3x)

П

21

sinxhttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image045_0003.gif+ tg6x

5xhttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image047_0004.gifcosxhttp://festival.1september.ru/articles/599125/full_image045_0004.gif+ http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image081.gif

Т

29,36

x+ 3sinx/3

1 + cosx

С

20,23,28,33

2x3 – x2 + x

6x2 – 2x + 1

Ч

5,8

x/cosx

http://festival.1september.ru/articles/599125/full_image083.gif

Ы

32

sin6xcos3x+cos6xsin3x

9cos9x

Ь

37

Величие человека - в его способности мыслить.
Блез Паскаль (1623-1662)

1

2

3

4

5

6

7

 

8

9

10

11

12

13

14

15

 

16

 

17

18

19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

31

32

33

34

35

36

37

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VIII. Домашнее задание: записано на доске

Общеобр группа: №42. 10 (1 в, 2 г), 42. 12 (1 б, 2 г), 42. 14 (1 а, 2 в), 42. 15 (1 б, 2 г), 42. 18 (1 а, 2 в), 42. 21 (1 а, 2 б)

Физ-мат группа №42. 8 (1 а б, 2 в г), 42.1 6 (1 а в, 2 б г), 42. 27 (1 а, 2 в), 42.19 (1 а, 2 в), 42. 22 (1 а, 2 б)

Предмет: алгебра и начала анализа, 16.01.2014г

Тема: " Правила нахождения производных "

Цели и задачи:

  • закрепление и обобщение знаний по данной теме

  • повторение определения производной, правила нахождения производной;

  • закрепление умения нахождения производной суммы, произведения и частного функции, производной степенной и тригонометрических функций. 

Тип урока: обобщающий урок

Ход урока

1. Организационный момент.

Учитель сообщает цель урока и рассматривает план работы урока.

2. Фронтальная работа.

Устный счет:

Задания

1. Найти производную функции.

2. Составь пару.

1. Найти производную

1) Что называется производной функции f(х) в точке х0?

2) Укажите, для какой из функций

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image10984.gifhttp://festival.1september.ru/articles/611696/Image54.gif

Функция http://festival.1september.ru/articles/611696/Image10985.gif является производной.

Ответ: f(x)= 4,5x2 - sin x

Примечание.

На первый взгляд задания сложные, но после соответствующих преобразований задания становятся проще.

3)- 9) Найдите производную функции:

3) http://festival.1september.ru/articles/611696/Image10986.gif;

подсказка  y= x4-x3

ответ

y'=4x3- 3x2

4) http://festival.1september.ru/articles/611696/Image10987.gif; y=x4-1 y?=4x3

5) http://festival.1september.ru/articles/611696/Image10988.gif; y'=http://festival.1september.ru/articles/611696/Image10989.gif

6) http://festival.1september.ru/articles/611696/Image10990.gif; y=1 y'=0

7) http://festival.1september.ru/articles/611696/Image10991.gif; y=cos2x y'=-2sin2x

8) http://festival.1september.ru/articles/611696/Image10992.gif; y=x3-8 y'=3x2

9) http://festival.1september.ru/articles/611696/Image10993.gif. y =http://festival.1september.ru/articles/611696/Image10994.gif y'=http://festival.1september.ru/articles/611696/Image10995.gif

10) Найдите скорость изменения функции h(x)=4x3-x2 в х 0=0

подсказка v(x)=h'(x)= 12х2-2х; ответ v(0)=0.

Фронтальную работу оценивает учитель, ученики выставляют баллы в оценочный лист.

2. Составь пару (один из вариантов).

Объяснение задания: В клетках таблицы записаны функции. Для каждой функции найдите производную и запишите соответствие клеток. Например:http://festival.1september.ru/articles/611696/Image10996.gif,следовательно ответ:1- 9; и т.д.

Вариант 1

1. x5

6. http://festival.1september.ru/articles/611696/Image10998.gif

11. http://festival.1september.ru/articles/611696/Image10999.gif

16. а

2.Х

7.http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11000.gif

12. - 3

17. cos x

3. 2x

8. sin x

13. - sin x

18. http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11001.gif

4. 1

9. http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11002.gif

14. http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11003.gif

19. 0

5. 2

10. http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11004.gif

15. ах

20. http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11005.gif

Ответы: 1-9; 6-3; 11-14; 16-19; 2-4; 7-18; 12-19; 17-13; 3-5; 8-17; 4-19; 5-19; 15-16;10-20. 

Ученики выставляют в оценочный лист баллы, 1 балл за один правильный ответ.

3. Групповая работа.

Эта работа проводится с целью подготовки к программированному контролю.

1 группа и 2 группа работают под руководством ученика, ответственного за данную группу. 3 группа (менее подготовленная) работает под руководством учителя. У каждого учащегося 1 и 2 группы своя зачётная карточка. Все решают. На возникшие вопросы, получают консультацию у ответственного за группу или учителя. После выполнения работы учитель проверяет работы у ответственных, а ответственные у членов своей группы.

Вариант № 1

Вариант № 2

1. Найдите производную функции:

а)y=x6 - 13x4+11; (1б)

б)y=x3+ sinx. (1б)

2. Найдите значение производной функции y= 12 cosx в точке x0 = -http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11006.gif. (1б)

3. Найдите точки, в которых значение производной функции y=http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11007.gif х3 - 6x2 + 27x -21 равно 0. (2б)

4. Дополнительное задание.

Найдите скорость изменения функции y=xsinx в точке х0 =http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11008.gif (3б)

1. Найдите производную функции:

а) http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11009.gif; (1б)

б) http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11010.gif. (1б)

2. Найдите значение производной функции http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11011.gifв точке http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11012.gif. (2б)

3. Найдите точки, в которых значение производной функции http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11013.gif равно http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11014.gif. (2б)

4. Дополнительное задание.

Найдите скорость изменения функции в точке х0.http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11015.gif в х0 = 1. (2б)

А в это время 3 группа под руководством учителя работает следующим образом:

Учитель предлагает задания. 

1. Найдите производную функции

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11016.gif в точке х0 = 0

2. Найдите производную функции:

а) http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11017.gif; б) http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11018.gif в) http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11019.gif;

Один из учеников третьей группы решает его на доске. Затем каждый ученик выполняет аналогичные задания на месте (карточки уже на руках у учеников).

Задания 3 группы

Вариант №1

Вариант №2

Вариант №3

Вариант №4

1. Найти производную функции в х0 = 1

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11020.gif. (2б)

2. Найдите производную функции

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11021.gif. (3б)

Дополнительное задание.

3. Найдите производную функции.

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11022.gif(3б)

1. Найти производную функции в х0 = 1

y=4x4+3x3+2x2+x-1. (2б)

2. Найдите производную функции

y=http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11023.gif. (3б)

Дополнительное задание.

3. Найдите производную функции.

y= sinx+4http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11024.gif (3б)

1. Найти производную функции в х0 = 0

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11025.gif. (2б)

2. Найдите производную функции

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11026.gif. (3б)

Дополнительное задание.

3. Найдите производную функции.

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11027.gif(3б)

1. Найти производную функции в х0 = 2

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11028.gif. (2б)

2. Найдите производную функции

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11029.gif. (3б)

Дополнительное задание.

3. Найдите производную функции.

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11030.gif(3б)

В помощь ученикам 3 группы дается образец решения.(слайд 8)

Образец.

1. Найдите производную функции

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11016.gif в точке х0 = 0

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11031.gif

2. Найдите производную функции:

а) http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11017.gif;

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11032.gif

б) http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11018.gif

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11033.gif

в) http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11019.gif;

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11034.gif

Пока ученики 3 группы выполнят задания, учитель подводит итоги с учениками 1 и 2 группы. Наиболее сложные задания разбираются на доске. Учащиеся проверяют решение и сверяют ответы. 

Вариант №1

Вариант №2

1.а). y'= 6x5 - 52x3;

б). y'= 3x2 + cosx.

2. y'= -12sinx; http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11035.gif http://festival.1september.ru/articles/611696/Image54.gif

3. y'= x2 - 12x +27; y'= 0.

x2 - 12x + 27= 0; Д =36; x1=9; x2 =3

4. v(x)=y'=x\sinx+ x(sinx)'=sinx + xcosx;

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11036.gif

1. а) y'=135x4 + 19;

б) http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11037.gif

2. y'=19cosx;

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11038.gif

3. y'= x2 - 14x + 38; y'= -2;

x2 -14x + 38=-2; Д=36; x1=10; x2=4.

4. v(x)=y?=2(х+1); v(1)=4.

Руководители 1 и 2 группы выставляют баллы в оценочный лист в зависимости от выполненных заданий. Результаты выполнения работы 3 группы проверяет учитель и выставляет баллы в оценочный лист.

4. Программированный контроль.

Повторив определение производной и правила нахождения производной, учащиеся проверяют свои знания с помощью программированного контроля.

У каждого ученика на столе приготовлена карточка программированного контроля. Карточки приготовлены индивидуально (по уровню сложности).

Карточки находятся в Приложении1.

Ключом к ответу является слово, имеющее отношение к математике. Учитель объясняет на данном примере.(слайд 10)

Образец .

Ответ

Задание

а

с

р

у

и

Д

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11039.gif

-1

14

4

1

3

-3

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11040.gif

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11041.gif

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11042.gif

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11043.gif

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11044.gif

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11045.gif

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11046.gif

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11047.gif

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11048.gif

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11049.gif

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11050.gif

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11051.gif

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11052.gif

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11053.gif

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11054.gif

-24

24

18

-18

3

-3

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11055.gif

24

-36

1

0

-1

36

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11056.gif

-4

4

40

-42

36

-36

Ответ: радиус.

После выполнения работы учащиеся сверяют свои ответы и выставляют баллы в оценочный лист.

Ответы: №1-куб; №2- луч; №3-час; №4-шар; №5-знак; №6-метр; №7-угол; №8-плюс;№9-тело; № 10-конус; №11-точка; №12-число; №13-минус.

6.Домашнее задание:

7. Подведение итогов урока.  Выставление оценок.















Алгебра и начала анализа 10 класс 9.01.2014г

Тема: «Предел функции в точке и непрерывность функции»


Цель урока: формирование у учащихся наглядно – интуитивных представлений о пределе функции в точке.


Задачи урока:

  • ввести понятие предела функции в точке;

  • рассмотреть геометрическую иллюстрацию понятия предела функции в точке;

  • ввести понятие непрерывности функции;

  • рассмотреть правила о нахождении предела суммы, произведения и частного двух функций;

  • рассмотреть примеры нахождения предела функции в точке.


Тип урока: урок объяснение нового материала.


Ход урока.

1. Организационный момент.

- Здравствуйте, ребята. Тема нашего урока: «Предел функции в точке». Сегодня на уроке мы познакомимся с понятиями «предел функции в точке», «непрерывность функции», а также рассмотрим правила вычисления предела функции в точке.


2. Мотивация изучения темы.

- Эта тема очень важна для дальнейшего изучения алгебры: понятие предела функции имеет большое значение для построения графиков функций. Кроме того, в дальнейшем мы будем изучать понятие производной и без знания предела функции рассмотрение этого понятия невозможно.


3. Подготовительная работа.

- Перед тем как начать изучать новую тему выполним следующее задание: постройте график функции hello_html_1752b074.gif если:

а) при х = 4 значение функции не существует; (рис.1)

б) при х = 4 значение функции равно 3; (рис.2)

в) при х = 4 значение функции равно 2. (рис.3)

(В ходе выполнения этого упражнения учащиеся повторяют нахождение области определения функции, а также построение графика функции, которая при данном значении аргумента либо имеет значение, либо не определена).

hello_html_m3892b775.png

Рисунок 1

hello_html_m2ba25a2e.png

Рисунок

hello_html_4fc55751.png

Рисунок


4. Изучение нового материала.

- Воспользуемся построенными графиками функций. Во всех трех случаях изображена одна и та же кривая, тем не менее, это три разные функции.

- Чем они отличаются друг от друга?

(Они отличаются друг от друга своим поведением в точке х = 4).

- Как ведет себя функция в точке х = 4 на первом графике?

(Для функции hello_html_1752b074.gif при х = 4 значение функции не существует, функция в указанной точке не определена).

- Как ведет себя функция в точке х = 4 на втором графике?

(Для функции hello_html_1752b074.gif при х = 4 значение функции существует, но оно отличается от естественного значения функции в указанной точке).

- Как ведет себя функция в точке х = 4 на третьем графике?

(Для функции hello_html_1752b074.gif при х = 4 значение функции существует, и оно равно естественному значению функции в указанной точке, то есть двум).

- Если мы исключим точку х = 4 из рассмотрения, то все три функции будут тождественными.

- Для всех трех случаев используется одна и та же запись: hello_html_m4cf80bad.gif.

- В общем случае эта запись выглядит следующим образом: hello_html_233eef35.gif.

- Эту запись читаем так: «предел функции y=f(x) при стремлении х к а равен b».

- А теперь ответьте на такой вопрос: какую из трех рассмотренных функций естественно считать непрерывной в точке х = 4?

(Непрерывной будет третья функция)

- Так как эта функция непрерывна, то она удовлетворяет условию hello_html_m46948d9a.gif. И функцию f (x) называют непрерывной в точке х = а.

- Иными словами, функцию y = f (x) называют непрерывной в точке х = а, если предел функции y = f (x) при стремлении х к а равен значению функции в точке х = а.

- Функция y = f (x) называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке промежутка.

- При изучении различных функций (линейной, квадратичной, степенной, иррациональной, тригонометрических) мы отмечали, что они являются непрерывными либо на всей числовой прямой, либо на промежутке. Исходя из этого, можно сформулировать следующее утверждение: если выражение f (x) составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений, то функция y = f (x) непрерывна в любой точке, в которой определено выражение f (x).


5. Решение задач.

- Для закрепления понятия предела функции в точке выполним номер 678.

39.18. Какая из функций, графики которых изображены на рис. 74 – 81, имеет предел при х 3? Чему равен этот предел?


Решение.

hello_html_7cbc570.pnghello_html_m4c9d1139.png

Рисунок 74 Рисунок 75

hello_html_m4f975f30.pnghello_html_19fb9b77.png

Рисунок 76 Рисунок 77

hello_html_m1df015b9.pnghello_html_m77740ee3.png

Рисунок 78 Рисунок 79

hello_html_m6601342d.pnghello_html_20750bf8.png

Рисунок 80 Рисунок 81


- Решим номер 39.19 (а, б).

39.19 (а, б). Постройте график какой – нибудь функции y = g (x), обладающей заданным свойством:

а) hello_html_m5b59a2d0.gif, (рис.4)

б) hello_html_61c3ebc5.gif. (рис.5)


Решение.

hello_html_m25ccf75f.pnghello_html_m4177ee4b.png

Рисунок Рисунок



- Рассмотрим несколько примеров на вычисление пределов функций.

Пример 1. Вычислить: hello_html_11326e48.gif.

Решение. Выражение х3 – 2х2 + 5х + 3 определено в любой точке х, в частности, в точке х = 1. Следовательно, функция у = х3 – 2х2 + 5х + 3 непрерывна в точке х = 1, а потому предел функции при стремлении х к 1 равен значению функции в точке х = 1.

Имеем: hello_html_2b16da5.gif.

Ответ: 7.

- Для решения следующего примера нам потребуются правила вычисления предела функции в точке.

Правило 1. hello_html_1116d3f.gif.

Правило 2. hello_html_16e0eb2f.gif.

Правило 3. hello_html_7043962e.gif.

Пример 2. Используя эти правила, вычислим hello_html_m4260d8c0.gif.

Решение. Выражение hello_html_m9267841.gif определено в любой точке х 0, в частности, в точке х = 2. Следовательно, функция у = f (x) непрерывна в точке х = 2, а потому предел функции при стремлении х к 2 равен значению функции в точке х = 2. Имеем: hello_html_m5337ee55.gif.

Ответ: 0.


- Решим номер 39.23.

39.23. Вычислите: а) hello_html_482c3b84.gif;

б) hello_html_m28e1ae14.gif;

в) hello_html_m15baeda5.gif;

г) hello_html_89bff32.gif.

Решение.

а) hello_html_482c3b84.gif. Выражение х2 – 3х + 5 определено в любой точке х, в частности, в точке х = 1. Следовательно, функция у = х2 – 3х + 5 непрерывна в точке х = 1, а потому предел функции при стремлении х к 1 равен значению функции в точке х = 1.

Имеем: hello_html_3730ccda.gif.

Ответ: 3.

б) hello_html_m28e1ae14.gif. Выражение hello_html_m59ef5c0b.gif определено в любой точке х hello_html_28f14bcb.gif, в частности, в точке х = hello_html_m55ec507a.gif. Следовательно, функция у = f (x) непрерывна в точке х = hello_html_m55ec507a.gif, а потому предел функции при стремлении х к hello_html_m55ec507a.gif равен значению функции в точке х = hello_html_m55ec507a.gif. Имеем: hello_html_m201cee25.gif.

Ответ: 0.

в) hello_html_m15baeda5.gif. Выражение х2 + 6х – 8 определено в любой точке х, в частности, в точке х = - 1. Следовательно, функция у = х2 + 6х – 8 непрерывна в точке х = - 1, а потому предел функции при стремлении х к - 1 равен значению функции в точке х = - 1.

Имеем: hello_html_62304756.gif.

Ответ: - 1.

г) hello_html_89bff32.gif. Выражение hello_html_51ee92ae.gif определено в любой точке х hello_html_m3ae596b.gif, в частности, в точке х = hello_html_m11f81418.gif. Следовательно, функция у = f (x) непрерывна в точке х = hello_html_m11f81418.gif, а потому предел функции при стремлении х к hello_html_m11f81418.gif равен значению функции в точке х = hello_html_m11f81418.gif.

Имеем: hello_html_5263343f.gif.


- Вы заметили, что в рассмотренных примерах вычисление пределов не составило значительных сложностей: достаточно было найти значение функции в точке, к которой стремится аргумент х. Но часты случаи, когда этот прием не срабатывает.

Пример 3. Вычислить hello_html_7996827b.gif.

Решение. Если подставить значение х = - 3 в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить: hello_html_m17ece2c.gif.

Значит, функции hello_html_21bf86.gif и hello_html_5da6d7ba.gif тождественны при условии х - 3. Но при вычислении предела функции при х - 3 саму точку х = - 3 можно исключить из рассмотрения. Значит, hello_html_604c1e90.gif.

Ответ: - 1,5.


- Решим номер 39.27.

39.27. Вычислите: а) hello_html_7e17705d.gif;

б) hello_html_5cc9fa6a.gif;

в) hello_html_m54db429d.gif;

г) hello_html_a874a04.gif.

Решение.

а) hello_html_7e17705d.gif. Если подставить значение х = 0 в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить: hello_html_m18a0cd90.gif.

Значит, функции hello_html_580a85be.gif и hello_html_44bd1717.gif тождественны при условии х 0, х 1. Значит, hello_html_m43439968.gif.

Ответ: 0.

б) hello_html_5cc9fa6a.gif. Если подставить значение х = - 1 в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить: hello_html_3ba88f90.gif.

Значит, функции hello_html_m68b2c76c.gif и hello_html_m3402396a.gif тождественны при условии х 0, х - 1. Значит, hello_html_1c87486c.gif.

Ответ: - 1.

в) hello_html_m54db429d.gif. Если подставить значение х = 3 в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить: hello_html_3760d544.gif.

Значит, функции hello_html_m2dd4e860.gif и hello_html_58cb3afd.gif тождественны при условии х 3. Значит, hello_html_m763d0f3b.gif.

Ответ: 3.

г) hello_html_a874a04.gif. Если подставить значение х = - 5 в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить: hello_html_m54a76c6.gif.

Значит, функции hello_html_8f65e72.gif и hello_html_m3402396a.gif тождественны при условии х 0, х - 5. Значит, hello_html_b0d3b22.gif.

Ответ: - hello_html_530956d6.gif.


6. Домашнее задание.

- Открываем дневники и записываем домашнее задание: №_________. Эти номера подобны тем, которые мы решали в классе, образец записи у вас в тетрадях.


7. Итог урока.

- Сегодня на уроке мы познакомились с понятием предела функции, непрерывности функции в точке и на промежутке, правила вычисления предела в точке, научились вычислять предел функции в точке.
















































Предмет: алгебра и начала анализа, обобщающий урок.

Тема: "Производная" (слайд 1)

Продолжительность: 1 урок, 45 минут

Класс: 10 класс

Технологии:

  • компьютер с ОС MS Windows;

  • проектор;

  • экран (интерактивная доска);

  • презентация "Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями";

  • учебник - Алгебра и начала анализа - 10 класс. А.Н. Колмогоров

  • раздаточный материал для станции цветы.

Конспект урока

Цели и задачи:

  • закрепление и обобщение знаний по данной теме

  • повторение определения производной, правила нахождения производной;

  • закрепление умения нахождения производной суммы, произведения и частного функции, производной степенной и тригонометрических функций. (слайд 2)

Ход урока (слайд 3)

1. Организационный момент.

Учитель сообщает цель урока и рассматривает план работы урока.

2. Фронтальная работа.

Устный счет:

Задания

1. Найти производную функции.

2. Составь пару.

1. Найти производную (слайд 4)

1) Что называется производной функции f(х) в точке х0?

2) Укажите, для какой из функций

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image10984.gifhttp://festival.1september.ru/articles/611696/Image54.gif

Функция http://festival.1september.ru/articles/611696/Image10985.gif является производной.

Ответ: f(x)= 4,5x2 - sin x

Примечание.

На первый взгляд задания сложные, но после соответствующих преобразований задания становятся проще.

3)- 9) Найдите производную функции: (слайд 5)

3) http://festival.1september.ru/articles/611696/Image10986.gif;

подсказка  y= x4-x3

ответ

y'=4x3- 3x2

4) http://festival.1september.ru/articles/611696/Image10987.gif; y=x4-1 y?=4x3

5) http://festival.1september.ru/articles/611696/Image10988.gif; y'=http://festival.1september.ru/articles/611696/Image10989.gif

6) http://festival.1september.ru/articles/611696/Image10990.gif; y=1 y'=0

7) http://festival.1september.ru/articles/611696/Image10991.gif; y=cos2x y'=-2sin2x

8) http://festival.1september.ru/articles/611696/Image10992.gif; y=x3-8 y'=3x2

9) http://festival.1september.ru/articles/611696/Image10993.gif. y =http://festival.1september.ru/articles/611696/Image10994.gif y'=http://festival.1september.ru/articles/611696/Image10995.gif

10) Найдите скорость изменения функции h(x)=4x3-x2 в х 0=0

подсказка v(x)=h'(x)= 12х2-2х; ответ v(0)=0.

Фронтальную работу оценивает учитель, ученики выставляют баллы в оценочный лист.

2. Составь пару (один из вариантов).(слайд 6)

Объяснение задания: В клетках таблицы записаны функции. Для каждой функции найдите производную и запишите соответствие клеток. Например:http://festival.1september.ru/articles/611696/Image10996.gif,следовательно ответ:1- 9; и т.д.

Вариант 1

1. x5

6. http://festival.1september.ru/articles/611696/Image10998.gif

11. http://festival.1september.ru/articles/611696/Image10999.gif

16. а

2.Х

7.http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11000.gif

12. - 3

17. cos x

3. 2x

8. sin x

13. - sin x

18. http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11001.gif

4. 1

9. http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11002.gif

14. http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11003.gif

19. 0

5. 2

10. http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11004.gif

15. ах

20. http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11005.gif

Ответы: 1-9; 6-3; 11-14; 16-19; 2-4; 7-18; 12-19; 17-13; 3-5; 8-17; 4-19; 5-19; 15-16;10-20. (слайд 6)

Ученики выставляют в оценочный лист баллы, 1 балл за один правильный ответ.

3. Групповая работа.

Эта работа проводится с целью подготовки к программированному контролю.

1 группа и 2 группа работают под руководством ученика, ответственного за данную группу. 3 группа (менее подготовленная) работает под руководством учителя. У каждого учащегося 1 и 2 группы своя зачётная карточка. Все решают. На возникшие вопросы, получают консультацию у ответственного за группу или учителя. После выполнения работы учитель проверяет работы у ответственных, а ответственные у членов своей группы.

Вариант № 1

Вариант № 2

1. Найдите производную функции:

а)y=x6 - 13x4+11; (1б)

б)y=x3+ sinx. (1б)

2. Найдите значение производной функции y= 12 cosx в точке x0 = -http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11006.gif. (1б)

3. Найдите точки, в которых значение производной функции y=http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11007.gif х3 - 6x2 + 27x -21 равно 0. (2б)

4. Дополнительное задание.

Найдите скорость изменения функции y=xsinx в точке х0 =http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11008.gif (3б)

1. Найдите производную функции:

а) http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11009.gif; (1б)

б) http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11010.gif. (1б)

2. Найдите значение производной функции http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11011.gifв точке http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11012.gif. (2б)

3. Найдите точки, в которых значение производной функции http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11013.gif равно http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11014.gif. (2б)

4. Дополнительное задание.

Найдите скорость изменения функции в точке х0.http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11015.gif в х0 = 1. (2б)

А в это время 3 группа под руководством учителя работает следующим образом:

Учитель предлагает задания. (слайд 7)

1. Найдите производную функции

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11016.gif в точке х0 = 0

2. Найдите производную функции:

а) http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11017.gif; б) http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11018.gif в) http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11019.gif;

Один из учеников третьей группы решает его на доске. Затем каждый ученик выполняет аналогичные задания на месте (карточки уже на руках у учеников).

Задания 3 группы

Вариант №1

Вариант №2

Вариант №3

Вариант №4

1. Найти производную функции в х0 = 1

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11020.gif. (2б)

2. Найдите производную функции

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11021.gif. (3б)

Дополнительное задание.

3. Найдите производную функции.

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11022.gif(3б)

1. Найти производную функции в х0 = 1

y=4x4+3x3+2x2+x-1. (2б)

2. Найдите производную функции

y=http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11023.gif. (3б)

Дополнительное задание.

3. Найдите производную функции.

y= sinx+4http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11024.gif (3б)

1. Найти производную функции в х0 = 0

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11025.gif. (2б)

2. Найдите производную функции

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11026.gif. (3б)

Дополнительное задание.

3. Найдите производную функции.

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11027.gif(3б)

1. Найти производную функции в х0 = 2

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11028.gif. (2б)

2. Найдите производную функции

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11029.gif. (3б)

Дополнительное задание.

3. Найдите производную функции.

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11030.gif(3б)

В помощь ученикам 3 группы дается образец решения.(слайд 8)

Образец.

1. Найдите производную функции

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11016.gif в точке х0 = 0

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11031.gif

2. Найдите производную функции:

а) http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11017.gif;

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11032.gif

б) http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11018.gif

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11033.gif

в) http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11019.gif;

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11034.gif

Пока ученики 3 группы выполнят задания, учитель подводит итоги с учениками 1 и 2 группы. Наиболее сложные задания разбираются на доске. Учащиеся проверяют решение и сверяют ответы. (слайд 9)

Вариант №1

Вариант №2

1.а). y'= 6x5 - 52x3;

б). y'= 3x2 + cosx.

2. y'= -12sinx; http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11035.gif http://festival.1september.ru/articles/611696/Image54.gif

3. y'= x2 - 12x +27; y'= 0.

x2 - 12x + 27= 0; Д =36; x1=9; x2 =3

4. v(x)=y'=x\sinx+ x(sinx)'=sinx + xcosx;

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11036.gif

1. а) y'=135x4 + 19;

б) http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11037.gif

2. y'=19cosx;

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11038.gif

3. y'= x2 - 14x + 38; y'= -2;

x2 -14x + 38=-2; Д=36; x1=10; x2=4.

4. v(x)=y?=2(х+1); v(1)=4.

Руководители 1 и 2 группы выставляют баллы в оценочный лист в зависимости от выполненных заданий. Результаты выполнения работы 3 группы проверяет учитель и выставляет баллы в оценочный лист.

4. Программированный контроль.

Повторив определение производной и правила нахождения производной, учащиеся проверяют свои знания с помощью программированного контроля.

У каждого ученика на столе приготовлена карточка программированного контроля. Карточки приготовлены индивидуально (по уровню сложности).

Карточки находятся в Приложении1.

Ключом к ответу является слово, имеющее отношение к математике. Учитель объясняет на данном примере.(слайд 10)

Образец .

Ответ

Задание

а

с

р

у

и

д

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11039.gif

-1

14

4

1

3

-3

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11040.gif

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11041.gif

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11042.gif

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11043.gif

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11044.gif

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11045.gif

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11046.gif

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11047.gif

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11048.gif

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11049.gif

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11050.gif

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11051.gif

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11052.gif

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11053.gif

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11054.gif

-24

24

18

-18

3

-3

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11055.gif

24

-36

1

0

-1

36

http://festival.1september.ru/articles/611696/Image11056.gif

-4

4

40

-42

36

-36

Ответ: радиус.

После выполнения работы учащиеся сверяют свои ответы и выставляют баллы в оценочный лист.

Ответы: №1-куб; №2- луч; №3-час; №4-шар; №5-знак; №6-метр; №7-угол; №8-плюс;№9-тело; № 10-конус; №11-точка; №12-число; №13-минус.(слайд 11)

5. Дополнительные задания.

Для тех кто, выполнил своё задание, выполняют задания:

- дружная четвёрка. (приложение 2.)

Задание: Установите соответствия между функцией, записанной в строке А, её изображение в строке Б, производной функции в строке В и графиком производной в строке Г.(слайд 12)

Ответы: (слайд 13)

А

1

2

3

4

5

6

7

Б

3

4

1

2

6

7

5

В

3

5

1

7

2

4

6

Г

2

4

7

5

6

1

3

6.Домашнее задание:

уч. стр.171, работа №3.(слайд 14)

7. Подведение итогов урока. (слайд 15)

Выставление оценок.

Примечание: все записи решения заданий выполняются в рабочих тетрадях, а баллы выставляются в оценочный лист (оценочный лист для каждой группы).

Оценочный лист

№п/п

Ф И учашегося

Устный счет (оценивается учителем)

Составь пару (оценивается учеником)

Групповая работа (оценивается руководителем группы или учителем)

Программированный контроль (оценивается учеником)

Дружная четверка (оценивается учеником)

Итог

1

Руководитель группы

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 


Тема урока: Урок повторения по теме « Решение тригонометрических уравнений»


Задачи урока:

учебные:

  • повторение основных методов решения тригонометрических уравнений;

  • контроль уровня подготовки выпускников к государственной итоговой аттестации по теме «Решение тригонометрических уравнений»

развивающие:

  • развитие умения работать в группе;

воспитательные:

  • воспитание активности и интерес к математике.


Место урока в учебном плане: данный урок является уроком повторения в конце 11 класса в курсе алгебры и начала анализа

Возраст учащихся: 11 класс

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний, комбинированный.

Оборудование урока: презентация, карточки для заполнения пропусков, карточки для выполнения групповой работы, карточки для самостоятельной работы

Подготовительный этап: на предыдущем уроке учащимся было дано домашнее задание – повторить формулы для нахождения корней простейших тригонометрических уравнений и таблицу значений тригонометрических функций.

План урока.

  1. Организационный момент – 1 мин.

  2. Актуализация опорных знаний- 4 мин.

  3. Устная работа – 4 мин.

  4. Математический диктант – 4 мин.

  5. Работа в группах – 15 мин.

  6. Самостоятельная работа – 15 мин.

  7. Подведение итогов урока- 2 мин.

Ход урока

  1. Организационный момент. Здравствуйте, ребята. Сегодня на уроке нам предстоит с вами повторить способы решения тригонометрических уравнений, каждому из вас проверить свою готовность к ЕГЭ в части решения заданий В5 и С1( только те задания, которые касаются решения тригонометрических уравнений) , а мне проконтролировать ваши знания по этой теме. Чтобы нам с вами было легче выполнить задачи урока, вам предстоит в течение всего урока заполнять таблицу самооценки, а в конце урока пользуясь ключом поставить себе оценку за урок.

Таблица самооценки:

Заполнение пропусков в таблице(3,5б)


Математический диктант (2б)


Работа в группе (2 б)


Самостоятельная работа (5б)




  1. Актуализация опорных знаний. Прежде чем мы приступим к решению уравнений , нам необходимо освежить в памяти основные формулы по решению тригонометрических уравнений, для этого вам нужно самостоятельно заполнить пропуски в таблицах:(таблицы выданы всем учащимся)

Таблица 1.Формулы для решения простейших тригонометрических уравнений

Уравнение

Формула для нахождения корней

а

Sinx=a

x=


Cosx=a

x=


tgx=a

x=


ctgx=a

х=


Таблица2. Частные случаи решения простейших тригонометрических уравнений

а

sin x = a

cos x = a

0



1



-1



Проверка: учащиеся сверяются с таблицами на слайдах и выставляют себе баллы в таблицу

самооценки – максимум 3,5 балла, т.е. по 0,25 б за каждую верно заполненную ячейку.

Таблица 1.

Уравнение

Формула для нахождения корней

а

Sinx=a

x= arcsin a+2pn,

х=p- arcsin a+2pn, nÎZ

| a |≤ 1

Cosx=a

x=± arccos a+2pk, kÎZ

| a |≤ 1

tgx=a

x=arctg a+pk, kÎZ

а- любое

ctgx=a

х=arсctg a+pk, kÎZ

а- любое

Таблица 2.

а

sin x = a

cos x = a

0

х = hello_html_33c685de.gifк

х =hello_html_745e821c.gif

1

х = hello_html_16715c37.gif


х = hello_html_1567a6d0.gif

-1

х = - hello_html_16715c37.gif


х = hello_html_2edb0027.gif



















  1. Устная работа. Задания представлены на слайдах:

Задание1.Выбрать из чисел те, которые принадлежат промежутку[0;2π]

hello_html_m7b867da5.gif

Задание2.Решить уравнения:

hello_html_m17db37db.gif

Задание 3.Корнями некоторого тригонометрического уравнения являются числа hello_html_m2a806af9.gif. Запишите единую формулу корней этого уравнения.

  1. Математический диктант ( выполняется по вариантам на отдельных листках)

Вычислить:

1 вариант

2 вариант

arcsin 1

hello_html_7664357b.gif

hello_html_6fa5a0b7.gif

arcsin 0

arcctg0

arcsin(-1)

arcsin 1/2

arctg1

hello_html_29771c38.gif

hello_html_m67a7a610.gif

arcctg1

hello_html_m5fc4edc7.gif

hello_html_7197fbd2.gif

arcctg0

arcsin (-1/2)

аrctg(-1)



Проверка: учащиеся сверяются с таблицами на слайдах и выставляют себе баллы в таблицу

самооценки – максимум 2 балла, т.е. по 0,25 б за каждую верно заполненную ячейку.

1 вариант

2 вариант

hello_html_69eea861.gif

hello_html_78cf1855.gif

hello_html_f2b08d9.gif

0

hello_html_69eea861.gif

hello_html_5e9d859d.gif

hello_html_2c440f82.gif

hello_html_f2b08d9.gif

hello_html_2c440f82.gif

hello_html_7c38493.gif

hello_html_f2b08d9.gif

hello_html_fa9b759.gif

hello_html_522885f8.gif

hello_html_69eea861.gif

hello_html_7df7b68b.gif

hello_html_522885f8.gif



  1. Работа в группах. Класс делится на 5 групп. Каждая группа получает задание – решить уравнение. Группе необходимо вспомнить теоретический материал, необходимый для решения данного уравнения; решить уравнение; оформить решение в своей тетради и на доске и ответить на вопросы учащихся из других групп по представленному решению, если вопросы возникнут. Группы представляют решение на доске по очереди, учащимся необходимо записать решение всех 5 уравнений в тетрадь.

1 группа: hello_html_685d7409.gif

2 группа: hello_html_3faeb643.gif

3 группа: hello_html_78e78696.gif

4 группа: hello_html_m66b17de7.gif

5 группа: (группа «сильных» учащихся)

hello_html_6d5bcb52.gif


Если группа верно решила уравнение и ответила на все вопросы учащихся, то в таблицу самооценки все участники группы ставят себе 2 балла.

  1. Самостоятельная работа. Решить уравнения. Первые три задания из Открытого банка заданий по математике, 4 уравнение аналогично заданию С1 из ЕГЭ.

1 вариант

2 вариант

\cos\frac{\pi(x-7)}{3}=\frac12. В ответе записать наибольший отрицательный корень.

\tg \frac{\pi x}{4}=-1 В ответе записать наибольший отрицательный корень.

\sin \frac{\pi x}{3}=0,5 В ответе напишите наименьший положительный корень.

\cos\frac{\pi(2x-7)}{3}=\frac12. В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

\sin \frac{ \pi(x +9)}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2} В ответе напишите наименьший положительный корень.

\sin \frac{ \pi(x +5)}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2} В ответе напишите наибольший отрицательный корень

hello_html_m7ae289d4.gif

hello_html_2e7e683b.gif

Проверка: учащиеся сверяются с таблицей на слайде и выставляют себе баллы в таблицу

самооценки – максимум 5 баллов, т.е. по 1б за каждое верно решенное уравнение 1-3, 2 балла за верно решенное 4 уравнение..

1 вариант

2 вариант

-4

-1

0,5

-2

6

-6

hello_html_70054ca5.gif

hello_html_5ca4ab27.gif


  1. Подведение итогов урока. Выставление оценок за урок

Ключ для выставления оценки:

  • 10,5-12,5- оценка «5»

  • 9-10,25- оценка «4»

  • 6,25-8,75 – оценка «3»

Домашнее задание : задание из самостоятельной работы из другого варианта.

Урок алгебры в 10 классе с применением информационных технологий по теме: «Обратные тригонометрические функции».


Тимаков А.Н., учитель математики МОУ Пичаевской средней общеобразовательной школы Пичаевского района Тамбовской области


Компьютеры стремительно вторгаются практически во все сферы нашей деятельности, поэтому все более актуальной становится задача достижения всеобщей компьютерной грамотности населения, в том числе и школьников. Значит, школа должна подготовить своих выпускников к жизни и деятельности в информационном обществе.

Известно, что школа начинается с учителя. Сегодня на него ложится огромная ответственность по формированию информационной культуры членов нового общества.

Как должен работать в этом направлении современный учитель? Учитель должен знать и владеть новыми информационными технологиями (НИТ).

Возможно ли использовать НИТ в обучении математики? Да. Компьютер в школьном математическом образовании не только справочник, в котором можно найти формулу, график, рисунок или ответ к задаче. Он может восприниматься так же, как воспринимается прибор в физике.

Использование НИТ обеспечивает возможность:

-дать учащимся более полную информацию об изучаемых процессах;

-повысить роль наглядности в учебном процессе;

-удовлетворить интересы учащихся;

-каждый ученик выполняет индивидуальное задание;

-ученик успевает выполнить за урок достаточно большое количество заданий за счет экономии времени;

-работа ученика сразу же оценивается;

-освободить учителя от работы, связанной с проверкой тетрадей;

-организовать полный и объективный учет успеваемости и т.д.

Несомненно, что все это оказывает свое положительное влияние на качество знаний учащихся.

Традиционно урок делится на этапы и на каждом возможно использовать новые информационные технологии.

Компьютер на уроках математики я применяю в следующих случаях: диагностического тестирования качества усвоения материала; в тренировочном режиме для обработки элементарных умений и навыков после изучения темы;

в обучающем режиме; при работе с отстающими учениками, у которых применение компьютера обычно значительно повышает интерес к процессу обучения; в режиме самообучения; в режиме графической иллюстрации изучаемого материала.

Для самого учителя, на таких уроках, высвобождается много времени, что позволяет уделять большое внимание учащимся с замедленным темпом усвоения материала.

Приведу пример повторительно-обобщающего урока математики в 10 классе по теме «Обратные тригонометрические функции».


Цели урока:


Закрепить понятие арксинус, арккосинус, арктангенс и навыки их вычисления при решении более сложных упражнений.

Научить пользоваться микрокалькулятором для вычисления значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса.


Оборудование урока:


а). ЭВМ;

б). Дидактические материалы;

в). Диск Teach Pro –Математика 5-11


Ход урока


I.Организационный момент, сообщение темы, цели и задачи урока


II.Повторение теоретического материала


а). Повторить с учащимися определение обратных тригонометрических функций.

б). Рассмотреть с учащимися графики обратных тригонометрических функций.

Для этих целей использовать компьютер и Диск Teach Pro –Математика 5-11

(тема: «Обратные тригонометрические функции и их графики»).


III.Устная работа


1). Вычислите:

arcsin (hello_html_m55ec507a.gif); arccos (-hello_html_7f543b8d.gif); arctq (-hello_html_m487b4b13.gif)

arcsin hello_html_m55ec507a.gif + arcos hello_html_m55ec507a.gif; arccos (-1) + arcsin 0.

2). Ученик сдал работу. Справедливы ли следующие равенства?

arcsin hello_html_m6b9b924e.gif = hello_html_78cf1855.gif; arctq (-1) = hello_html_fa9b759.gif; arccos (-hello_html_105e53ee.gif= - hello_html_78cf1855.gif;

arctq hello_html_m487b4b13.gif = hello_html_2c440f82.gif; arcsin 2=0; arcsin (-1) =hello_html_m35ad8b01.gif


3). Вычислите:

аrcsin 0,1; arсcos 0,95; arctq(-0-5)


В этом задании перед учащимися возникает проблема, как найти значения обратных тригонометрических функций, используя подручные средства (не табличных).

(для этих целей используется компьютер)


IY.Отработка с учащимися навыков и приемов работы с МК в компьютере.

(на столах дидактический материал)


Вычислите с помощью МК:

а). arcsin (-0,7825);

б). arсcos 0,1524;

в). arctq (-hello_html_m42c9ef8f.gif;

г). cos (5 arсcos 0,7321);

д). sin (4 arcsin 0,0237 + arсcos 0,67)


Y.Решение упражнений и задач


1) Найдите значение выражения:

6hello_html_m56861e50.gif cos(hello_html_m193f7a3f.gif- arсcos (-hello_html_6844eb5b.gif)


а). 4hello_html_4ed4338.gif cos(arctq 1)

б). 24hello_html_m487b4b13.gif tq (arcsin 0,5)

в). 12hello_html_m2f3f2f2e.gif ctq (hello_html_33c685de.gif – arcsin(-hello_html_1573a5a3.gif)

г). 6hello_html_m46a848cf.gif cos(hello_html_9583a98.gif- arсcos (-hello_html_58813031.gif)

д). hello_html_4f7b8ae9.gif


2)Решите уравнение:


а). 6 arcsin( х2 -6х + 8,5) =hello_html_33c685de.gif


Решение:

аrcsin ( х2 -6х + 8,5) =hello_html_7a946ced.gif

х2 - 6х + 8,5 = sinhello_html_7a946ced.gif

х2 - 6х + 8 =0

х1 =4; х2=2

Ответ: х1=4; х2=2


б). 4 arcsinх + arсcosх = hello_html_33c685de.gif


Решение:

Воспользуемся соотношением

arcsinх + arсcosх=hello_html_3f3ecb0e.gif

3 arcsinх +hello_html_3f3ecb0e.gif =hello_html_33c685de.gif

3 arcsinх =hello_html_3f3ecb0e.gif

аrcsinх =hello_html_7a946ced.gif

х =hello_html_m55ec507a.gif

Ответ: х =hello_html_m55ec507a.gif

YI. Подведение итогов урока. Выставление оценок.


YII.Домашнее задание


Вычислите:

1). tq(arcsin (-hello_html_m705e46ea.gif - ctq (-arсcoshello_html_m2f59e8a4.gif

2). sin(2arctg hello_html_6159300f.gif+ cos( arctg 2hello_html_m53a9978e.gif)

3). 3 arсcos2

Краткое описание документа:

Урок по алгебре и началам анализа для учащихся 10 класса. По теме «Производная тригонометрических функций» Целью  урока является обеспечить усвоение правил дифференцирования и техники вычисления производных в разнообразных ситуаций. В начале урока повторяют простейшие вычисления производных., затем решают по образцу.учащиеся работают по вариантам по таблице, затем проверяют друг друга Закрепление проводится в виде игры, учащиеся по очереди выходят к доске и выполняют задания.Результат решения соответствует определенной букве.
Автор
Дата добавления 22.05.2014
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров2164
Номер материала 110628052205
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх