Алгебра 10 класс.    

Тема урока: «Производная тригонометрической функции»

Цели:

1. Образовательные.

• обеспечить усвоение правил дифференцирования и техники вычисления производных в разнообразных ситуациях.
• организовать вычисление производных тригонометрических функций по образцу и в измененной ситуации с целью формирования целостной системы дифференцирования

2. Развивающие.

• создать условия для быстрой актуализации и практическому применению ранее полученных знаний
• обеспечить развитие у учащихся сравнивать познавательные объекты
• обеспечить условия для развития у учащихся умений анализировать.

3. Воспитательные.

• содействовать развитию у учащихся чувства ответственности за личную и коллективную деятельность
• содействовать учащимся в осознании ценности совместной деятельности.

Тип урока: урок комплексного применения знаний и способов действий.

Оборудование урока: доска, мел, таблица с формулами, карточки с заданиями.

Ход урокаI. Организационный момент.

Учитель: «На прошлых уроках мы познакомились с правилами вычисления производных, научились находить производные сложных функций. Назовите функции, производные которых вы уже умеете вычислять».

Выслушиваются ответы учеников.

Учитель: «Сегодня мы проверим ваши умения самостоятельно применять полученные знания для вычисления производных функций».II. Презентация (историческая справка-это д/з, которое выполняет один из учеников)1) Математика развивалась стремительно, но без понятия производной многие исследования не имели смысла.В 1679 году Пьер Ферма находил экстремумы функции, касательные, наибольшие и наименьшие значения функций. Но в своих записях он использовал сложнейшую символику Виета, и поэтому эти исследования не привели к созданию теории интегральных и дифференциальных исчислений.В 1736 году Исаак Ньютон получил теорию интегральных и дифференциальных исчислений методом флюксий (производных). Но вся теория была осмыслена с точки зрения физики. Математики хотели строгих логических обоснований.Современник Ньютона Лейбниц предложил новый подход к математическому анализу. Он ввёл обозначения дифференциала, интеграла, функции, такие понятия как ордината, абсцисса, координата. Но в его теории было много “тёмных мест”.И вот в 18 веке величайший математик Леонард Эйлер создал теорию дифференциальных и интегральных исчислений, и в таком виде мы с вами ее изучаем. 1) Проверка домашнего задания

III. Актуализация опорных знаний учащихся Фронтальный опрос по ранее изученным формулам вычисления производных.Чему равна производная:

• от числа
• от переменной «х»
• от выражения kx + b
• от суммы функций
• от произведения двух функций
• от частного
• степенной функции
• сложной функции
• тригонометрических функций

Учащиеся выходят к доске по одному и записывают формулы в столбик.

Затем идет проверка с помощью таблицы.

C´ = 0, X´ = 1, (kx + b) ´= k

(U + V)´ = U´ +V´; (U · V)´ = U´V +UV´

;

; (СU)' = СU'

(sin x)´= cos x; (cos x) ´= ­ sin x; (tg x) ´= ; (сtg x) ´= -

IV. Устная работа

1) Проверить верно ли найдена производная

()'= {1/2};

()'= {};

( )'=.

2) Найти производные функций:

G(x) = sinx + 4x⁶,

F(x) = –17tgx + 1,

F(x) = cos(4x – 11),

Y = tgxctgx

3) Задайте формулой функцию f(x):

f ´(x) = 2x f ´(x) = 3x2 – sinx f ´(x) = 5 – cosx

(f(x) = x2 + C), (f(x) = x3 + cosx + C), (f(x) = 5x – sinx + C).

4) Производные каких функций записаны на доске?
     

(действие обратное дифференцированию будем изучать в 11 классе.)

V. Коллективная работа по учебнику

№ 42.12 Найти значение производной функции в данной точке

г) у = ctg²x – 1, у'(π/4)-?

Решение.

у'(х)= -2ctgx/sin²x, у'(π/4)= -4

№42.17 При каких значениях аргумента скорости изменения функций равны?

а) f(x)=cos²x, g(x)=sinx

Решение.

 f ' (x)= – 2sin²x, g' (x)= cosx. - 2sin²x = cosx, cosx(4sinx + 1)=0, x=π/2+πn x=(-1)arcsin+ πn

№42.21 Определите абсциссы точек, в которых в которых угловой коэффициент касательной равен 0

а) f(x)=tg³x

Решение.

f ' (x)=3tg²x/cos²x, f ' (x)=0, sinx=0, x=πn

VI. Контроль и самопроверка знаний и способов действий.

У каждого из учеников на столе находится тестовое задание (по вариантам). Решают в тетради, на полях записывают правильные ответы.

Самоконтроль. Ответы на доске.

Тест.

В-1,3. Ответ:1692(номер нашей школы) В-2,4. Ответ:1231

VII. Закрепление и применение знаний и способов действий учащихся.Проводится в виде игры. Задания написаны на доске. Учащиеся выходят по очереди. Результат решения соответствует какой-либо букве. Буквы лежат на отдельном столе. Ученик находит полученную букву, на обратной стороне которой написан её порядковый номер в фразе. Фраза записывается на доске. Учитель называет оценку каждому вышедшему к доске.Ключ к расшифровке высказывания.

Величие человека - в его способности мыслить.
Блез Паскаль (1623-1662)

VIII. Домашнее задание: записано на доске

 

 

 

 

 

 

 

Алгебра 10 класс.     13.02.2014г

Тема урока: «Производная тригонометрической функции»

Цели урока:

·         выработать умения решения задач на нахождение производных тригонометрических функций,  закрепить умения и навыки , развитие навыков системного мышления и анализа, развитие познавательного интереса; развитие логического мышления и внимания;

·         воспитание ответственности, умения принимать самостоятельные решения.

Тип урока: урок закрепления и развития знаний, умений и навыков.

Ход урока:

 

1.      Организационный момент.

Проверить готовность к уроку. Отметить отсутствующих

2.      Проверка  домашнего задания.

в) f(x)=

г)

 

№228

б)

f^ʹ (x)=

г)

 

 

 

 

3.      Решите уравнения:

№229

а)

 

б)

 

 

в)

№238.  Вычислите значение производной f(x) в точке

a)  

b)  

 

№239. Напишите уравнение касательной к графику функции

а).    

1.

2.

3.

№240. Вычислите производные функции.

а)

b)

 

 

4. Тестовые задания

1 вариант.

1.   Найдите производную функции

a)    b) -4cosx  c) 4cosx  d) -4sinx

2.   Найдите производную функции 

a)      2sinx   b) -2sinx  c) 2cosx  d) -2cosx

3.   Найдите производную функции 

a)-4sin(4x-1)  b) cos(4x-1)   c) –cos(4x-1)  d) -4cos(4x-1)

4.   Найдите производную функции  и вычислите 

a)-3 b) -1   c) 3  d) 16

5. Найдите производную функции

a)  -    b)     c)     d)

6. Найдите производную функции  

a)   cosx+cos2x      b) cosx+0.5cos2x     c) 2cosx      d) 1.5cosx

7. Найдите производную функции   

a)       b) cos2x      c)          d) 2cosx

8.  Найдите производную функции      

a)  4sin2x    b) 1     c) 0     d)

9. Найдите производную функции   

a)        b)     c)     d)

 

II-вариант.

1.   Найдите производную функции

a)      10sinx b) 10cosx  c) -10sinx d)-10cosx

2.   Найдите производную функции

a)      5sinx  b) -5cosx  c) 5cosx d) -5sinx

3.   Найдите производную функции

a)      cos(9x-2)  b) –cos(9x-2)  c) -9sin(x-2)   d) -9cos(9x-2)

4.   Найдите производную функции   и вычислите

a)      -8  b) 24   c) -24 d) 8

5.   Найдите производную функции

a)       b)   c)   d)

6.      Найдите производную функции

a)         b)   c)   d)  

 

7. Найдите производную функции      

a)  4sin2x    b) 1     c) 0     d)

8. Найдите производную функции

a)  -    b)     c)     d)

9. Найдите производную функции

a)   b)     c)    d)  

 

 

5.      Формулировка домашнего задания.

Даются указания для решения домашнего задания

       №     №  

6.Итог урока.

Комментируются оценки за урок.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Алгебра 10 кл    11.02.2014г

Тема урока: Производная тригонометрических функции.

Цель: ввести формулы производных функций тригонометрических, рассмотреть примерные упражнения на применение изученных правил дифференцирования; вырабатывать умения и навыки учащихся в решении заданий на применение знаний правил вычисления производных.

Воспитание и развитие логического мышления учащихся.

Тип урока: изучение нового материала, первичное закрепление новых знаний.

Оборудование: учебник, доска, тетради учащихся, компьютер, экран.

 

Ход урока

1.Орг. момент.

Проверка готовности учащихся к уроку.

Сообщение темы урока, формулировка цели урока.

 

2.Актуализация опорных знаний учащихся:

Фронтальный опрос по ранее изученным формулам вычисления производных

Производная :

·        от числа

·        от переменной «х»

·        от выражения kx + b

·        от суммы функций

·        от произведения двух функций

·        от частного

·        степенной функции

·        сложной функции

Учащиеся выходят к доске по одному и записывают формулы в столбик.

Затем идет проверка с помощью таблицы на экране через компьютер.

 

C´ = 0  ,

X´ = 1

(kx + b) ´= k

(U + V)´ = U´ +V´

 (U · V)´ = U´V +UV´

 

 

 

3.Изучение нового материала:

 

Производные тригонометрических функций

 

1)Формула производной синуса

 

Докажем, что производная синуса имеет такой вид:

 

 

Воспользуемся для этого определением производной и формулой суммы и разности функций тригонометрических:

 

 

 

Для вывода формулы производной синуса достаточно показать, что:

 

а)

б)

 

Действительно, опираясь на эти утверждения, при Δх → 0 можно получить формулу:

 

 

 

 

2)Формулы дифференцирования косинуса, тангенса и котангенса

 

Функции y=cos x, y =tgx, y = ctg x имеют производные в каждой точке

своей области определения и справедливы формулы:

   

 

4.Закрепление изученного материала:

4.1. Работа у доски и на местах. Решение упражнений из учебника

№ 231 – 233

4.2.Работа в группах

Теперь в путь!

Подъем к “Пику знаний” будет нелегким, могут быть и завалы, и обвалы, и заносы. Но будут и привалы.

Чтобы продвинуться вперед, надо показать знания.

Каждая группа пройдет “по своей лесенке” . Вам нужно будет найти производные данных функций

I группа

 

II группа

 

 

 

 

4.3. Применение ранее изученных формул для решения новых заданий:

 

Применяя формулу сложной функции, выполним решение задания № 234

 

 

5.Подведение итогов урока

 

Итак, сегодня мы с вами изучили производные тригонометрических функций и пополнили свой багаж знания формулами производных функций.

Итак, подведем итоги урока.

1.     Что чувствовали сегодня на уроке?

2.     С какими трудностями вы встретились?

3.     Кому было трудно? Почему? Что ты сделал, чтобы преодолеть эту трудность?

4.     Что тебе помогло? (Опорные конспекты, подсказки товарищей…)

5.     Что было сегодня необычного? Что понравилось?

6.     Что взяли с урока? Кому и в чем помог разобраться данный урок?

Сами себе поставьте оценку в тетрадь.

 

6.Домашнее задание:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Конспект урока алгебры в 10-м классе по теме "Производные тригонометрических функций"

Цели:

1. Образовательные.

·         обеспечить усвоение правил дифференцирования и техники вычисления производных в разнообразных ситуациях.

·         организовать вычисление производных тригонометрических функций по образцу и в измененной ситуации с целью формирования целостной системы дифференцирования

2. Развивающие.

·         создать условия для быстрой актуализации и практическому применению ранее полученных знаний

·         обеспечить развитие у учащихся сравнивать познавательные объекты

·         обеспечить условия для развития у учащихся умений анализировать.

3. Воспитательные.

·         содействовать развитию у учащихся чувства ответственности за личную и коллективную деятельность

·         содействовать учащимся в осознании ценности совместной деятельности.

Тип урока: урок комплексного применения знаний и способов действий.

Форма урока: традиционная с элементами программированного обучения, с элементами адаптивной системы обучения.

Оборудование урока: ноутбуки, доска, мел, таблица с формулами, карточки с заданиями.

Ход урока

I. Организационный момент.

Учитель: «На прошлых уроках мы познакомились с правилами вычисления производных, научились находить производные сложных функций. Назовите функции, производные которых вы уже умеете вычислять».

Выслушиваются ответы учеников.

Учитель: «Сегодня мы проверим ваши умения самостоятельно применять полученные знания для вычисления производных функций».

II. Презентация (историческая справка-это д/з, которое выполняет один из учеников)

1) Математика развивалась стремительно, но без понятия производной многие исследования не имели смысла.

В 1679 году Пьер Ферма находил экстремумы функции, касательные, наибольшие и наименьшие значения функций. Но в своих записях он использовал сложнейшую символику Виета, и поэтому эти исследования не привели к созданию теории интегральных и дифференциальных исчислений.

В 1736 году Исаак Ньютон получил теорию интегральных и дифференциальных исчислений методом флюксий (производных). Но вся теория была осмыслена с точки зрения физики. Математики хотели строгих логических обоснований.

Современник Ньютона Лейбниц предложил новый подход к математическому анализу. Он ввёл обозначения дифференциала, интеграла, функции, такие понятия как ордината, абсцисса, координата. Но в его теории было много “тёмных мест”.

И вот в 18 веке величайший математик Леонард Эйлер создал теорию дифференциальных и интегральных исчислений, и в таком виде мы с вами ее изучаем.

1) Проверка домашнего задания с помощью ноутбука(сайт ЦОР)

ЦОР Производные тригонометрических функций

Дополнительное Д/З сдать на листочках (физ.-мат. группа).

III. Актуализация опорных знаний учащихся:

Фронтальный опрос по ранее изученным формулам вычисления производных.

Чему равна производная:

·         от числа

·         от переменной «х»

·         от выражения kx + b

·         от суммы функций

·         от произведения двух функций

·         от частного

·         степенной функции

·         сложной функции

·         тригонометрических функций

Учащиеся выходят к доске по одному и записывают формулы в столбик.

Затем идет проверка с помощью таблицы.

C´ = 0, X´ = 1, (kx + b) ´= k

(U + V)´ = U´ +V´; (U · V)´ = U´V +UV´

; 

; (СU)' = СU'

(sin x)´= cos x; (cos x) ´= ­ sin x; (tg x) ´= ; (сtg x) ´= - 

IV. Устная работа

1) Проверить верно ли найдена производная

()'= {1/2};

()'= {};

( )'=.

2) Найти производные функций:

G(x) = sinx + 4x⁶,

F(x) = –17tgx + 1,

F(x) = cos(4x – 11),

Y = tgxctgx

3) Задайте формулой функцию f(x):

f ´(x) = 2x f ´(x) = 3x2 – sinx f ´(x) = 5 – cosx

(f(x) = x2 + C), (f(x) = x3 + cosx + C), (f(x) = 5x – sinx + C).

4) Производные каких функций записаны на доске?
     

(действие обратное дифференцированию будем изучать в 11 классе.)

V. Коллективная работа по учебнику автор А.Г.Мордкович

№ 42.12 Найти значение производной функции в данной точке

г) у = ctg²x – 1, у'(π/4)-?

Решение.

у'(х)= -2ctgx/sin²x, у'(π/4)= -4

№42.17 При каких значениях аргумента скорости изменения функций равны?

а) f(x)=cos²x, g(x)=sinx

Решение.

 f ' (x)= – 2sin²x, g' (x)= cosx. - 2sin²x = cosx, cosx(4sinx + 1)=0, x=π/2+πn x=(-1)arcsin+ πn

№42.21 Определите абсциссы точек, в которых в которых угловой коэффициент касательной равен 0

а) f(x)=tg³x

Решение.

f ' (x)=3tg²x/cos²x, f ' (x)=0, sinx=0, x=πn

VI. Контроль и самопроверка знаний и способов действий.

У каждого из учеников на столе находится тестовое задание (по вариантам). Решают в тетради, на полях записывают правильные ответы. Задание дифференцированные: № 1,2 оцениваются «3» баллами, №3,4 – «4» и «5» баллами, В-1,2 общеобр.группа,В-3,4 для физ.мат группы.

Самоконтроль. Ответы на доске.

Тест.

В-1,3. Ответ:1692(номер нашей школы) В-2,4. Ответ:1231

VII. Закрепление и применение знаний и способов действий учащихся.

Проводится в виде игры. Задания написаны на доске. Учащиеся выходят по очереди. Результат решения соответствует какой-либо букве. Буквы лежат на отдельном столе. Ученик находит полученную букву, на обратной стороне которой написан её порядковый номер в фразе. Фраза записывается на доске. Учитель называет оценку каждому вышедшему к доске.

Ключ к расшифровке высказывания.

Величие человека - в его способности мыслить.
Блез Паскаль (1623-1662)

VIII. Домашнее задание: записано на доске

Общеобр группа: №42. 10 (1 в, 2 г), 42. 12 (1 б, 2 г), 42. 14 (1 а, 2 в), 42. 15 (1 б, 2 г), 42. 18 (1 а, 2 в), 42. 21 (1 а, 2 б)

Физ-мат группа №42. 8 (1 а б, 2 в г), 42.1 6 (1 а в, 2 б г), 42. 27 (1 а, 2 в), 42.19 (1 а, 2 в), 42. 22 (1 а, 2 б)

Предмет: алгебра и начала анализа, 16.01.2014г

Тема: " Правила нахождения производных "

Цели и задачи:

·         закрепление и обобщение знаний по данной теме

·         повторение определения производной, правила нахождения производной;

·         закрепление умения нахождения производной суммы, произведения и частного функции, производной степенной и тригонометрических функций. 

Тип урока: обобщающий урок

Ход урока

1. Организационный момент.

Учитель сообщает цель урока и рассматривает план работы урока.

2. Фронтальная работа.

Устный счет:

Задания

1. Найти производную функции.

2. Составь пару.

1. Найти производную

1) Что называется производной функции f(х) в точке х₀?

2) Укажите, для какой из функций

Функция  является производной.

Ответ: f(x)= 4,5x² - sin x

Примечание.

На первый взгляд задания сложные, но после соответствующих преобразований задания становятся проще.

3)- 9) Найдите производную функции:

3) ;

подсказка  y= x⁴-x³

ответ

y'=4x³- 3x²

4) ; y=x⁴-1 y?=4x³

5) ; y'=

6) ; y=1 y'=0

7) ; y=cos2x y'=-2sin2x

8) ; y=x³-8 y'=3x²

9) . y = y'=

10) Найдите скорость изменения функции h(x)=4x³-x² в х ₀₌0

подсказка v(x)=h'(x)= 12х²-2х; ответ v(0)=0.

Фронтальную работу оценивает учитель, ученики выставляют баллы в оценочный лист.

2. Составь пару (один из вариантов).

Объяснение задания: В клетках таблицы записаны функции. Для каждой функции найдите производную и запишите соответствие клеток. Например:,следовательно ответ:1- 9; и т.д.

Вариант 1

Ответы: 1-9; 6-3; 11-14; 16-19; 2-4; 7-18; 12-19; 17-13; 3-5; 8-17; 4-19; 5-19; 15-16;10-20. 

Ученики выставляют в оценочный лист баллы, 1 балл за один правильный ответ.

3. Групповая работа.

Эта работа проводится с целью подготовки к программированному контролю.

1 группа и 2 группа работают под руководством ученика, ответственного за данную группу. 3 группа (менее подготовленная) работает под руководством учителя. У каждого учащегося 1 и 2 группы своя зачётная карточка. Все решают. На возникшие вопросы, получают консультацию у ответственного за группу или учителя. После выполнения работы учитель проверяет работы у ответственных, а ответственные у членов своей группы.

А в это время 3 группа под руководством учителя работает следующим образом:

Учитель предлагает задания. 

Один из учеников третьей группы решает его на доске. Затем каждый ученик выполняет аналогичные задания на месте (карточки уже на руках у учеников).

Задания 3 группы

В помощь ученикам 3 группы дается образец решения.(слайд 8)

Пока ученики 3 группы выполнят задания, учитель подводит итоги с учениками 1 и 2 группы. Наиболее сложные задания разбираются на доске. Учащиеся проверяют решение и сверяют ответы. 

Руководители 1 и 2 группы выставляют баллы в оценочный лист в зависимости от выполненных заданий. Результаты выполнения работы 3 группы проверяет учитель и выставляет баллы в оценочный лист.

4. Программированный контроль.

Повторив определение производной и правила нахождения производной, учащиеся проверяют свои знания с помощью программированного контроля.

У каждого ученика на столе приготовлена карточка программированного контроля. Карточки приготовлены индивидуально (по уровню сложности).

Карточки находятся в Приложении1.

Ключом к ответу является слово, имеющее отношение к математике. Учитель объясняет на данном примере.(слайд 10)

Образец .

Ответ: радиус.

После выполнения работы учащиеся сверяют свои ответы и выставляют баллы в оценочный лист.

Ответы: №1-куб; №2- луч; №3-час; №4-шар; №5-знак; №6-метр; №7-угол; №8-плюс;№9-тело; № 10-конус; №11-точка; №12-число; №13-минус.

6.Домашнее задание:

7. Подведение итогов урока.  Выставление оценок.

 

 

 

 

 

 

 

Алгебра и начала анализа  10 класс  9.01.2014г

Тема: «Предел функции в точке и непрерывность функции»

 

Цель урока: формирование у учащихся наглядно – интуитивных представлений о пределе функции в точке.

 

Задачи урока:

-         ввести понятие предела функции в точке;

-         рассмотреть геометрическую иллюстрацию понятия предела функции в точке;

-         ввести понятие непрерывности функции;

-         рассмотреть правила о нахождении предела суммы, произведения и частного двух функций;

-         рассмотреть примеры нахождения предела функции в точке.

 

Тип урока: урок объяснение нового материала.

 

Ход урока.

1. Организационный момент.

- Здравствуйте, ребята. Тема нашего урока: «Предел функции в точке». Сегодня на уроке мы познакомимся с понятиями «предел функции в точке», «непрерывность функции», а также рассмотрим правила вычисления предела функции в точке.

 

2. Мотивация изучения темы.

- Эта тема очень важна для дальнейшего изучения алгебры: понятие предела функции имеет большое значение для построения графиков функций. Кроме того, в дальнейшем мы будем изучать понятие производной и без знания предела функции рассмотрение этого понятия невозможно.

 

3. Подготовительная работа.

- Перед тем как начать изучать новую тему выполним следующее задание: постройте график функции  если:

а) при х = 4 значение функции не существует; (рис.1)

б) при х = 4 значение функции равно 3; (рис.2)

в) при х = 4 значение функции равно 2. (рис.3)

(В ходе выполнения этого упражнения учащиеся повторяют нахождение области определения функции, а также построение графика функции, которая при данном значении аргумента либо имеет значение, либо не определена).

Рисунок 1

Рисунок 1

 

Рисунок 2

 

4. Изучение нового материала.

- Воспользуемся построенными графиками функций. Во всех трех случаях изображена одна и та же кривая, тем не менее, это три разные функции.

- Чем они отличаются друг от друга?

(Они отличаются друг от друга своим поведением в точке х = 4).

- Как ведет себя функция в точке х = 4 на первом графике?

(Для функции  при х = 4 значение функции не существует, функция в указанной точке не определена).

- Как ведет себя функция в точке х = 4 на втором графике?

(Для функции  при х = 4 значение функции существует, но оно отличается от естественного значения функции в указанной точке).

- Как ведет себя функция в точке х = 4 на третьем графике?

(Для функции  при х = 4 значение функции существует, и оно равно естественному значению функции в указанной точке, то есть двум).

- Если мы исключим точку х = 4 из рассмотрения, то все три функции будут тождественными.

- Для всех трех случаев используется одна и та же запись: .

- В общем случае эта запись выглядит следующим образом: .

- Эту запись читаем так: «предел функции y=f(x) при стремлении х к а равен b».

- А теперь ответьте на такой вопрос: какую из трех рассмотренных функций естественно считать непрерывной в точке х = 4?

(Непрерывной будет третья функция)

- Так как эта функция непрерывна, то она удовлетворяет условию . И функцию f (x) называют непрерывной в точке х = а.

- Иными словами, функцию y = f (x) называют непрерывной в точке х = а, если предел функции y = f (x) при стремлении х к а равен значению функции в точке х = а.

- Функция y = f (x) называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке промежутка.

- При изучении различных функций (линейной, квадратичной, степенной, иррациональной, тригонометрических) мы отмечали, что они являются непрерывными либо на всей числовой прямой, либо на промежутке. Исходя из этого, можно сформулировать следующее утверждение: если выражение f (x) составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений, то функция y = f (x) непрерывна в любой точке, в которой определено выражение  f (x).

 

5. Решение задач.

- Для закрепления понятия предела функции в точке выполним номер 678.

№ 39.18. Какая из функций, графики которых изображены на рис. 74 – 81, имеет предел при х ® 3? Чему равен этот предел?

 

Решение.

   

Рисунок 74                                                               Рисунок 75

  

Рисунок 76                                                               Рисунок 77

 

Рисунок 78                                                               Рисунок 79

 

 

Рисунок 80                                                               Рисунок 81

 

- Решим номер 39.19 (а, б).

№ 39.19 (а, б). Постройте график какой – нибудь функции y = g (x), обладающей заданным свойством:

а) , (рис.4)

б) . (рис.5)

 

Решение.

          

Рисунок 3                                                           Рисунок 4

 

 

- Рассмотрим несколько примеров на вычисление пределов функций.

Пример 1. Вычислить: .

Решение. Выражение х³ – 2х² + 5х + 3 определено в любой точке х, в частности, в точке х = 1. Следовательно, функция у = х³ – 2х² + 5х + 3 непрерывна в точке х = 1, а потому предел функции при стремлении х к 1 равен значению функции в точке х = 1.

Имеем: .

Ответ: 7.

- Для решения следующего примера нам потребуются правила вычисления предела функции в точке.

Правило 1. .

Правило 2. .

Правило 3. .

Пример 2. Используя эти правила, вычислим .

Решение. Выражение  определено в любой точке х ³ 0, в частности, в точке х = 2. Следовательно, функция у = f (x) непрерывна в точке х = 2, а потому предел функции при стремлении х к 2 равен значению функции в точке х = 2. Имеем: .

Ответ: 0.

 

- Решим номер 39.23.

№ 39.23. Вычислите: а) ;

                                          б) ;

                                          в) ;

                                         г) .

Решение.

а) . Выражение х² – 3х + 5 определено в любой точке х, в частности, в точке х = 1. Следовательно, функция у = х² – 3х + 5 непрерывна в точке   х = 1, а потому предел функции при стремлении х к 1 равен значению функции в точке х = 1.

Имеем: .

Ответ: 3.

б) . Выражение  определено в любой точке х ¹ , в частности, в точке х = . Следовательно, функция у = f (x) непрерывна в точке     х = , а потому предел функции при стремлении х к   равен значению функции в точке х = . Имеем: .

Ответ: 0.

в) . Выражение х² + 6х – 8 определено в любой точке х, в частности, в точке х = - 1. Следовательно, функция у = х² + 6х – 8 непрерывна в точке   х = - 1, а потому предел функции при стремлении х к - 1 равен значению функции в точке х = - 1.

Имеем: .

Ответ: - 1.

г) . Выражение  определено в любой точке х ¹ , в частности, в точке х = . Следовательно, функция у = f (x) непрерывна в точке     х = , а потому предел функции при стремлении х к   равен значению функции в точке х = .

Имеем: .

 

- Вы заметили, что в рассмотренных примерах вычисление пределов не составило значительных сложностей: достаточно было найти значение функции в точке, к которой стремится аргумент х. Но часты случаи, когда этот прием не срабатывает.

Пример 3. Вычислить .

Решение. Если подставить значение х = - 3 в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить: .

Значит, функции  и  тождественны при условии х ¹ - 3. Но при вычислении предела функции при х ® - 3 саму точку х = - 3 можно исключить из рассмотрения. Значит, .

Ответ: - 1,5.

 

- Решим номер 39.27.

№ 39.27. Вычислите: а) ;

                                          б) ;

                                          в) ;

                                         г) .

Решение.

а) . Если подставить значение х = 0  в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить: .

Значит, функции  и  тождественны при условии х ¹ 0, х ¹ 1. Значит, .

Ответ: 0.

б) . Если подставить значение х = - 1  в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить: .

Значит, функции  и  тождественны при условии х ¹ 0, х ¹ - 1. Значит, .

Ответ: - 1.

в) . Если подставить значение х = 3  в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить: .

Значит, функции  и  тождественны при условии х ¹ 3. Значит, .

Ответ: 3.

г) . Если подставить значение х = - 5  в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить: .

Значит, функции  и  тождественны при условии х ¹ 0, х ¹ - 5. Значит, .

Ответ: - .

 

6. Домашнее задание.

- Открываем дневники и записываем домашнее задание: №_________. Эти номера подобны тем, которые мы решали в классе, образец записи у вас в тетрадях.

 

7. Итог урока. 

- Сегодня на уроке мы познакомились с понятием предела функции, непрерывности функции в точке и на промежутке, правила вычисления предела в точке, научились вычислять предел функции в точке.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предмет: алгебра и начала анализа, обобщающий урок.

Тема: "Производная" (слайд 1)

Продолжительность: 1 урок, 45 минут

Класс: 10 класс

Технологии:

·         компьютер с ОС MS Windows;

·         проектор;

·         экран (интерактивная доска);

·         презентация "Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями";

·         учебник - Алгебра и начала анализа - 10 класс. А.Н. Колмогоров

·         раздаточный материал для станции цветы.

Конспект урока

Цели и задачи:

·         закрепление и обобщение знаний по данной теме

·         повторение определения производной, правила нахождения производной;

·         закрепление умения нахождения производной суммы, произведения и частного функции, производной степенной и тригонометрических функций. (слайд 2)

Ход урока (слайд 3)

1. Организационный момент.

Учитель сообщает цель урока и рассматривает план работы урока.

2. Фронтальная работа.

Устный счет:

Задания

1. Найти производную функции.

2. Составь пару.

1. Найти производную (слайд 4)

1) Что называется производной функции f(х) в точке х₀?

2) Укажите, для какой из функций

Функция  является производной.

Ответ: f(x)= 4,5x² - sin x

Примечание.

На первый взгляд задания сложные, но после соответствующих преобразований задания становятся проще.

3)- 9) Найдите производную функции: (слайд 5)

3) ;

подсказка  y= x⁴-x³

ответ

y'=4x³- 3x²

4) ; y=x⁴-1 y?=4x³

5) ; y'=

6) ; y=1 y'=0

7) ; y=cos2x y'=-2sin2x

8) ; y=x³-8 y'=3x²

9) . y = y'=

10) Найдите скорость изменения функции h(x)=4x³-x² в х ₀₌0

подсказка v(x)=h'(x)= 12х²-2х; ответ v(0)=0.

Фронтальную работу оценивает учитель, ученики выставляют баллы в оценочный лист.

2. Составь пару (один из вариантов).(слайд 6)

Объяснение задания: В клетках таблицы записаны функции. Для каждой функции найдите производную и запишите соответствие клеток. Например:,следовательно ответ:1- 9; и т.д.

Вариант 1

Ответы: 1-9; 6-3; 11-14; 16-19; 2-4; 7-18; 12-19; 17-13; 3-5; 8-17; 4-19; 5-19; 15-16;10-20. (слайд 6)

Ученики выставляют в оценочный лист баллы, 1 балл за один правильный ответ.

3. Групповая работа.

Эта работа проводится с целью подготовки к программированному контролю.

1 группа и 2 группа работают под руководством ученика, ответственного за данную группу. 3 группа (менее подготовленная) работает под руководством учителя. У каждого учащегося 1 и 2 группы своя зачётная карточка. Все решают. На возникшие вопросы, получают консультацию у ответственного за группу или учителя. После выполнения работы учитель проверяет работы у ответственных, а ответственные у членов своей группы.

А в это время 3 группа под руководством учителя работает следующим образом:

Учитель предлагает задания. (слайд 7)

Один из учеников третьей группы решает его на доске. Затем каждый ученик выполняет аналогичные задания на месте (карточки уже на руках у учеников).

Задания 3 группы

В помощь ученикам 3 группы дается образец решения.(слайд 8)

Пока ученики 3 группы выполнят задания, учитель подводит итоги с учениками 1 и 2 группы. Наиболее сложные задания разбираются на доске. Учащиеся проверяют решение и сверяют ответы. (слайд 9)

Руководители 1 и 2 группы выставляют баллы в оценочный лист в зависимости от выполненных заданий. Результаты выполнения работы 3 группы проверяет учитель и выставляет баллы в оценочный лист.

4. Программированный контроль.

Повторив определение производной и правила нахождения производной, учащиеся проверяют свои знания с помощью программированного контроля.

У каждого ученика на столе приготовлена карточка программированного контроля. Карточки приготовлены индивидуально (по уровню сложности).

Карточки находятся в Приложении1.

Ключом к ответу является слово, имеющее отношение к математике. Учитель объясняет на данном примере.(слайд 10)

Образец .

Ответ: радиус.

После выполнения работы учащиеся сверяют свои ответы и выставляют баллы в оценочный лист.

Ответы: №1-куб; №2- луч; №3-час; №4-шар; №5-знак; №6-метр; №7-угол; №8-плюс;№9-тело; № 10-конус; №11-точка; №12-число; №13-минус.(слайд 11)

5. Дополнительные задания.

Для тех кто, выполнил своё задание, выполняют задания:

- дружная четвёрка. (приложение 2.)

Задание: Установите соответствия между функцией, записанной в строке А, её изображение в строке Б, производной функции в строке В и графиком производной в строке Г.(слайд 12)

Ответы: (слайд 13)

6.Домашнее задание:

уч. стр.171, работа №3.(слайд 14)

7. Подведение итогов урока. (слайд 15)

Выставление оценок.

Примечание: все записи решения заданий выполняются в рабочих тетрадях, а баллы выставляются в оценочный лист (оценочный лист для каждой группы).

Оценочный лист

Тема  урока: Урок повторения по теме « Решение тригонометрических уравнений»

 

Задачи урока:

учебные:

·         повторение основных методов решения тригонометрических уравнений;

·         контроль уровня подготовки выпускников к  государственной итоговой аттестации по теме «Решение тригонометрических уравнений»

развивающие:

·         развитие умения работать в группе;

воспитательные:

·         воспитание активности и интерес к математике.

 

Место урока в учебном плане: данный урок является уроком повторения  в конце 11 класса в курсе алгебры и начала анализа

Возраст учащихся: 11 класс

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний, комбинированный.

Оборудование урока: презентация, карточки для заполнения пропусков, карточки для выполнения групповой работы, карточки для самостоятельной работы

Подготовительный этап: на предыдущем уроке учащимся было дано домашнее задание – повторить формулы для нахождения корней простейших тригонометрических уравнений и таблицу значений  тригонометрических функций.

                         План урока.

1.      Организационный момент – 1 мин.

2.      Актуализация опорных знаний- 4 мин.

3.      Устная работа – 4 мин.

4.      Математический диктант – 4 мин.

5.      Работа в группах – 15 мин.

6.      Самостоятельная работа – 15 мин.

7.      Подведение итогов урока- 2 мин.

Ход урока

1.      Организационный момент. Здравствуйте, ребята. Сегодня на уроке нам предстоит с вами повторить  способы  решения тригонометрических уравнений, каждому из вас проверить свою готовность к ЕГЭ в части решения заданий В5 и С1( только те задания, которые касаются решения тригонометрических уравнений) , а   мне проконтролировать ваши знания по этой теме. Чтобы нам с вами было легче выполнить задачи урока, вам предстоит в течение всего урока заполнять таблицу самооценки, а в конце урока пользуясь ключом поставить себе оценку за урок.

Таблица самооценки:

Заполнение пропусков в таблице(3,5б)
Математический диктант (2б)
Работа в группе (2 б)
Самостоятельная работа (5б)

 

2.      Актуализация опорных знаний. Прежде чем мы приступим к решению уравнений , нам необходимо освежить в памяти основные формулы по решению тригонометрических уравнений, для этого вам нужно самостоятельно заполнить пропуски в таблицах:(таблицы выданы всем учащимся)

Таблица 1.Формулы для решения простейших тригонометрических уравнений

Уравнение	Формула для нахождения корней	а
Sinx=a	x=
Cosx=a	x=
tgx=a	x=
ctgx=a	х=

Таблица2. Частные случаи решения простейших тригонометрических уравнений

а	sin x = a	cos x = a
0
1
-1

      Проверка: учащиеся сверяются с таблицами на слайдах и выставляют себе баллы в таблицу   

      самооценки – максимум 3,5 балла, т.е. по 0,25 б за каждую верно заполненную ячейку.

Таблица 1.

Уравнение	Формула для нахождения корней	а
Sinx=a	x= arcsin a+2pn, х=p- arcsin a+2pn,  nÎZ	| a |≤ 1
Cosx=a	x=± arccos a+2pk, kÎZ	| a |≤ 1
tgx=a	x=arctg a+pk, kÎZ	а- любое
ctgx=a	х=arсctg a+pk, kÎZ	а- любое

Таблица 2.

а	sin x = a	cos x = a
0	х = к	х =
1	х =	х =
-1	х = -	х =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.      Устная работа. Задания представлены на слайдах:

Задание1.Выбрать из чисел те, которые принадлежат промежутку[0;2π]

Задание2.Решить уравнения:

Задание 3.Корнями некоторого тригонометрического уравнения являются числа . Запишите единую формулу корней этого уравнения.

4.      Математический диктант ( выполняется по вариантам на отдельных листках)

Вычислить:

1 вариант	2 вариант
arcsin 1
	arcsin 0
arcctg0	arcsin(-1)
arcsin 1/2	arctg1
arcctg1
	arcctg0
arcsin (-1/2)	аrctg(-1)

 

      Проверка: учащиеся сверяются с таблицами на слайдах и выставляют себе баллы в таблицу   

      самооценки – максимум 2 балла, т.е. по 0,25 б за каждую верно заполненную ячейку.

1 вариант	2 вариант
	0

 

5.      Работа в группах. Класс делится на 5 групп. Каждая группа получает задание – решить уравнение. Группе необходимо вспомнить теоретический материал, необходимый для решения данного уравнения; решить уравнение; оформить решение в своей тетради и  на доске и ответить на вопросы учащихся из других групп по представленному  решению, если вопросы возникнут. Группы представляют решение на доске по очереди, учащимся необходимо записать решение  всех 5 уравнений в тетрадь.

1 группа: 

2 группа:

3 группа:

4 группа:

5 группа: (группа «сильных» учащихся)

 

 

         Если группа  верно решила уравнение и ответила на все вопросы учащихся, то в таблицу      самооценки все участники группы ставят себе 2 балла.

6.      Самостоятельная работа. Решить уравнения. Первые три задания из Открытого банка заданий по математике, 4 уравнение аналогично заданию С1 из ЕГЭ.

1 вариант	2 вариант
В ответе записать наибольший отрицательный корень.	В ответе записать наибольший отрицательный корень.
В ответе напишите наименьший положительный корень.	В ответе запишите наибольший отрицательный корень.
В ответе напишите наименьший положительный корень.	В ответе напишите наибольший отрицательный корень

Проверка: учащиеся сверяются с таблицей на слайде и выставляют себе баллы в таблицу   

самооценки – максимум 5 баллов, т.е. по 1б за каждое верно решенное уравнение 1-3, 2 балла за верно решенное 4 уравнение..

1 вариант	2 вариант
-4	-1
0,5	-2
6	-6

 

7. Подведение итогов урока. Выставление оценок за урок

Ключ для выставления оценки:

• 10,5-12,5- оценка «5»
• 9-10,25- оценка «4»
• 6,25-8,75 – оценка «3»

Домашнее задание : задание из самостоятельной работы из другого варианта.

Урок алгебры в 10 классе с применением информационных технологий по теме: «Обратные тригонометрические функции».

 

Тимаков А.Н., учитель математики МОУ Пичаевской средней общеобразовательной школы Пичаевского района Тамбовской области

 

   Компьютеры стремительно вторгаются практически во все сферы нашей деятельности, поэтому все более актуальной становится задача достижения всеобщей компьютерной грамотности населения, в том числе и школьников.    Значит, школа должна подготовить своих выпускников к жизни и деятельности в информационном  обществе.

  Известно, что школа начинается с учителя. Сегодня на него ложится огромная ответственность по формированию информационной культуры членов нового общества.

  Как должен работать в этом направлении современный учитель? Учитель должен знать и владеть новыми информационными технологиями (НИТ).

  Возможно ли использовать НИТ в обучении математики? Да. Компьютер в школьном математическом образовании не только справочник, в котором можно найти формулу, график, рисунок или ответ к задаче. Он может восприниматься так же, как воспринимается прибор в физике. 

  Использование НИТ обеспечивает возможность:

-дать учащимся более полную информацию об изучаемых процессах;

-повысить роль наглядности в учебном процессе;

-удовлетворить интересы учащихся;

-каждый ученик выполняет индивидуальное задание;

-ученик успевает выполнить за урок достаточно большое количество заданий за счет экономии времени;

-работа ученика сразу же оценивается;

-освободить учителя от работы, связанной с проверкой тетрадей;

-организовать полный и объективный учет успеваемости и т.д.

    Несомненно, что все это оказывает свое положительное влияние на качество знаний учащихся.

   Традиционно урок делится на этапы и на каждом возможно использовать новые информационные технологии.   

   Компьютер на уроках математики я  применяю в следующих случаях: диагностического тестирования качества усвоения материала; в тренировочном режиме для обработки элементарных умений и навыков после изучения темы;

 в обучающем режиме; при работе с отстающими учениками, у которых применение компьютера обычно значительно повышает интерес к процессу обучения; в режиме самообучения; в режиме графической иллюстрации изучаемого материала.      

   Для самого учителя, на таких уроках, высвобождается много времени, что позволяет  уделять большое внимание учащимся с замедленным темпом усвоения материала. 

 

Приведу пример повторительно-обобщающего урока математики в 10  классе по теме «Обратные тригонометрические функции».

 

  Цели урока:

 

       Закрепить понятие арксинус, арккосинус, арктангенс и навыки их  вычисления при решении более сложных упражнений.

      Научить пользоваться микрокалькулятором для вычисления значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса.

 

Оборудование урока:

 

  а). ЭВМ;

  б). Дидактические материалы;

  в). Диск Teach Pro –Математика 5-11

 

Ход урока

 

I.Организационный момент, сообщение темы, цели и задачи урока

 

 II.Повторение теоретического материала

 

а). Повторить с учащимися определение обратных тригонометрических функций.

б). Рассмотреть с учащимися графики обратных тригонометрических функций.

Для этих целей использовать компьютер и Диск  Teach Pro –Математика 5-11

(тема: «Обратные тригонометрические функции и их графики»).

 

III.Устная работа

 

    1). Вычислите:

          arcsin (); arccos (-); arctq (-)

          arcsin  + arcos ;  arccos (-1) + arcsin 0.

     2). Ученик сдал работу. Справедливы ли следующие равенства?

                     arcsin  = ;  arctq (-1) = ; arccos (-= - ;                                                       

                     arctq  = ;    arcsin 2=0; arcsin (-1) =

 

    3). Вычислите:

                   аrcsin 0,1; arсcos 0,95; arctq(-0-5)

 

 В этом задании перед учащимися возникает проблема, как найти значения обратных тригонометрических функций, используя подручные средства (не табличных).

(для этих целей используется компьютер)

 

IY.Отработка с учащимися навыков и приемов работы с МК в компьютере.

(на столах дидактический материал)

 

Вычислите с помощью МК:

    а). arcsin (-0,7825);

    б). arсcos 0,1524;

    в). arctq (-;

    г). cos (5 arсcos 0,7321);

    д). sin (4 arcsin 0,0237 + arсcos 0,67)

 

Y.Решение упражнений и задач

 

   1) Найдите значение выражения:

       6 cos(- arсcos (-)

 

       а). 4 cos(arctq 1)

       б). 24 tq (arcsin 0,5)

       в). 12 ctq ( – arcsin(-)

       г). 6 cos(- arсcos (-)

       д).

 

    2)Решите уравнение:

 

      а). 6 arcsin( х² -6х + 8,5) =

 

       Решение:

      аrcsin ( х²  -6х + 8,5) =

         х² - 6х + 8,5 = sin

          х² - 6х + 8 =0

           х₁ =4;  х₂=2

           Ответ:  х₁=4; х₂=2

 

       б). 4 arcsinх + arсcosх =

 

          Решение:

      Воспользуемся соотношением

    arcsinх + arсcosх=

    3 arcsinх + =

    3 arcsinх =

       аrcsinх =

                 х =

Ответ: х =

YI. Подведение итогов урока. Выставление оценок.

 

YII.Домашнее задание

 

Вычислите:

1). tq(arcsin (- - ctq (-arсcos

2). sin(2arctg + cos( arctg 2)

3). 3 arсcos (х² –