VIII районный конкурс творческих исследовательских работ школьников
Уравнения с параметром
Творческая работа
Выполнена: Гостевой Ксенией Андреевной,
учащейся 9 «б» класса МКОУ СОШ №47 Барабинского района Новосибирской области
Руководитель-консультант: Леонова Надежда Васильевна, учитель математики высшей квалификационной категории
Барабинск 2012
Оглавление
1. Введение.
2. Основная часть.
2.1. Линейное уравнение с параметром.
2.2. Методы решения уравнения с параметром.
2.3. Квадратное уравнение с параметром.
2.4. Графический способ решения уравнения с параметром.
3. Заключение.
4. Список литературы.
1.Введение.
Решение уравнений с параметрами требует не только знания свойств функций и уравнений. умения выполнять преобразования, но также высокой логической культуры и хорошей техники исследования.
Тема моей исследовательской работы «Уравнения с параметром».
Я поставила перед собой проблему : в чём заключаются трудности при решении уравнений с параметром?
Цель работы : изучение методов решения уравнений с параметром.
Характер работы определил следующие задачи:
- проанализировать литературу по данному предмету;
- систематизировать сведения о линейных и квадратных уравнениях с параметром;
- совершенствовать технику алгебраических преобразований.
2.Основная часть
2.1 Линейное уравнение с параметром.
Рассмотрим уравнение f(x,у)=g(x,а). Поставлю такую проблему: найти все такие пары (х,а) которые удовлетворяют данному уравнению, значит это уравнение с двумя переменными х и а . Но поставлю и другую проблему: Если придам переменной а какое-то фиксированное значение, то данное уравнение буду рассматривать как уравнение с одной переменной х, причём решение этого уравнения определяются выбранным значением а. Если для каждого значения а из некоторого числового множества А решить уравнение f (х,а)=g(х,а) относительно х, то это уравнение называется уравнением с одной переменной х и одним параметром а, множество А называется областью изменения параметра. Значит уравнение f(х,а)=g(х,а)- это уравнение с одной переменной х и одним параметром а.
Пример №1 Решить уравнение:
Х+2=ах
Решение: перенесём ах в левую часть уравнения, слагаемое 2 в правую часть.
Х-ах=-2
Х(1-а)=-2
Если а=1, то х×0=-2, решений нет,
Если
а неравно 1, то х=
=
,
Ответ:
решений нет при а=1, при а ≠1.
Пример № 2. Решите уравнение
ах=2х+5
Решение: ах-2х+5
х(а-2)=5
Чтобы найти значение х, нужно разделить обе части уравнения на (а-2). При всех ли значениях параметра мы можем обе части разделить на (а-2) ? Нет.
При а=2 выражение а-2 обращается в нуль, поэтому значение параметра а=2 является «особым»-контрольным значением параметра.
При а=2, (2-2)х=5, 0х=5 – уравнение решений не имеет;
При
а
2, х=
Ответ:
решений нет при а=2; х= при а2
2.2 Методы решения уравнений с параметром.
Решить уравнение с параметром , значит для каждого значения параметра найти множество всех корней данного уравнения.
Основной принцип решения уравнения с параметром можно сформулировать так: необходимо разбить все значения параметра на участки, такие, что при изменении параметра на каждом из них решаем получающиеся уравнения. Для этого используем приёмы такие же, как при решении уравнений с числовыми коэффициентами.
Сложность заданий с параметром: при разных значениях параметра применяются различные методы решения.
Пример № 3.Дано уравнение.
2а(а-2) х=а-2 и задана область изменения параметра. А={-1,0,2,3}. Тогда данное уравнение есть краткая запись семейства уравнений
При а=-1, 6х=-3,
При а=0, 0×х=-2,
При а=1 -2х=-1,
При а=2 0×х=0,
При а=3, 6х=1,
Под областью изменения параметра будем подразумевать множество всех действительных чисел.
Решить уравнение с параметром - это значит решить (на множестве действительных чисел) семейство уравнений, которое получается из уравнения f(х,а)=g(х,а) при различных действительных значениях параметра.
Так как выписать отдельно каждое уравнение бесконечного семейства невозможно, то
«особые» значения параметра (мы будем называть их контрольными), в которых или при переходе через которые происходит качественное изменение уравнения.
2.3 Квадратное уравнение с параметром.
Пример
№ 4 При каких значениях параметра уравнение (
(b+4) х +b+7=0 имеет только один корень?
Решение: при всех ли значениях параметра данное уравнение будет квадратным? Нет при b=1 уравнение становится линейным , b=1 – контрольное значение параметра.
Подставим
значение 
исходное уравнение.
(1-1)
+ (1+4) х + 1+7=0;5х+8=0; х=-1,6
При
=1 уравнение имеет один корень х=-1,6
При 
имеет квадратное уравнение. Так как по условию
квадратное уравнение имеет один корень, то Д=0
Д=(
А 
Д=256+12
44=784
В 
, 
Ответ:
при 
уравнение имеет только один корень.
Решение: Контрольными будут те значения параметра а, при которых коэффициент при х обращается в нуль. При этих значениях параметра невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х, при остальных же значениях параметра такое деление возможно. Значит рассмотрим уравнение при следующих значениях параметра
1) а=0; 2) а=2; 3) а
1) При а=2 уравнение принимает вид 0×х=-2. Это уравнение решений не имеет.
2) При а=2 уравнение принимает вид 0×=0 Решением этого уравнения служит любое действительное число.
3)
Если а≠0 и а≠2, то получаем х=
, х
Ответ решений нет при а=0;
Любое число при а=2;
при 
Пример № 5 Решим уравнение. 2а(а-2)х=а-2
Решение: Контрольным является значение а=1, т.к. происходит качественное изменение уравнения при а≠1 уравнение является квадратным, при а=1 оно линейное. Рассмотрим следующие случаи.
1) а=1 уравнение примет вид
6х=7=0
Х= -
2)а≠1
Для квадратного уравнения
(а-1)
+2(2а+1) х+(4а+3)=0 выделим те значения параметра n,
при которых дискриминант уравнения обращается в нуль. Найдём
дискриминант уравнения.
Д=4(2а+1
-4(а-1) (4а+3)= 4(
-4а+3а-3)= 16
16а-12а+12= 20а+16
Д=0, если а=-0,8
Д<0 Если а<-0,8
Д≥0,
если 
а≥-0,8, то х
= 
= 
Ответ:
решений нет при а<-0,8 
при а=1
при { а≥-0,8 а≠1
2.4.Дробно рациональное уравнение с параметром.
Пример № 7. Решим уравнение
- 
= 
+ 
= 
Контрольным значением параметра а является значение 1) а=0, уравнение решений не имеет;
2)а≠0,
тогда 
=
(1-а)
Найдём второе контрольное значение
1) а≈1, 2х+2=0
3) если
уравнение квадратное
(1-а)
Д=4-4(1-а)
(а+1)=4-4(1-
При
Х=
=
=
=а при а>0, а≠1
=-а при а<0, а≠1
При
, х=
, 
=-1
=
= 
= 
При 
, х=
=
==
=
=-1
Проверка уравнения
=
и (1-а)
+а+1=0 равносильны при х ≠
При
мы получили =-1, =
Выясним
при каких значениях параметра выполняется равенство =
, =-1, -1=
, находим а=-2, значит при а=-2, =-1-- постоянный корень (т.к. знаменатель 
х-2а при а=-2, =-1 обращается в нуль) тогда =
Выясним,
при каких значениях параметра выполняется равенство = имеем 
, отсюда 
Д=-1-4=-3
уравнение не имеет решений. Значит, = ни при каких значениях параметра не является
посторонним корнем.
Ответ:
решений нет при а=0 , -1 при а=1, 
при а=-2
Пример № 8:
Заключение
Решение уравнений , содержащих параметры – один из труднейших разделов школьного курса математики.
Я обобщила и систематизировала теоретические знания. научилась решать задачи повышенной сложности .
Я выяснила трудности решения уравнения с параметрами:
- Необходимо производить ветвление всех значений параметра на отдельные классы;
- Следить за сохранением равносильности решаемых уравнений;
- Учитывать область определения выражений, входящих в уравнение.
Литература.
1.Крамов В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры .
2.Никольский С.М. Алгебра и начало анализа 11 класса – М.: Просвещение, 2007.
3.Потапов М.К. Алгебра и начало математического анализа 11-М.: «Просвещение», 2008.
4. Семёнов В.А Ященко А.Н. КИМ ГИА.-М. Просвещение, 2012.
5.Цыпкин А.Г, Пинский А.И Справочное пособие по методам решения задач по математике.-М.: Наука,1983
6.Ястребинетский Г.А. Задачи с параметрами. – М.: Просвещение, 1986.
Рецензия
творческой работы по математике Гостевой Ксении ученицы 9б класса МКОУ СОШ № 47 Барабинского района Новосибирской области
Тема творческой работы « Уравнения с параметром».
Работа поисково-реферативного характера, выполнена в соответствии с предъявляемыми требованиями.
В работе систематизируется решение линейных уравнений, квадратных уравнений, дробно-рациональных уравнений с параметром. Рассматривается алгоритм решений уравнений с параметром.
Работа трудоёмкая. На окружном конкурсе ТИР работа получила высшую категорию и рекомендована на районный конкурс ТИР.
Учитель: Леонова Н.В.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
"Описание материала:
Уравнения с параметрами требуют решения, для этого необходимо знать свойства функций и уравнений, уметь выполнять преобразования, иметь хорошую технику исследования. Я подготовил тему «Уравнения с параметром», которая и стала моей исследовательской работой. Главная проблема, которую я выделил: понять, в чём заключаются трудности решения уравнений с параметром.
Цель работы: изучение методов решения уравнений с параметром. Характер работы выявил следующие задачи: анализ литературы в данной области, систематизация знаний об уравнения с параметром, как линейных, так и квадратных, а также совершенствование техники алгебраических преобразований.
6 664 887 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Мельникова Оксана Валерьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
2 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
3 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.