Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»

библиотека
материалов

VIII районный конкурс творческих исследовательских работ школьников

Уравнения с параметром

Творческая работа




Выполнена: Гостевой Ксенией Андреевной,

учащейся 9 «б» класса МКОУ СОШ №47 Барабинского района Новосибирской области

Руководитель-консультант: Леонова Надежда Васильевна, учитель математики высшей квалификационной категории











Барабинск 2012



Оглавление

1. Введение.

2. Основная часть.

2.1. Линейное уравнение с параметром.

2.2. Методы решения уравнения с параметром.

2.3. Квадратное уравнение с параметром.

2.4. Графический способ решения уравнения с параметром.

3. Заключение.

4. Список литературы.







1.Введение.

Решение уравнений с параметрами требует не только знания свойств функций и уравнений. умения выполнять преобразования, но также высокой логической культуры и хорошей техники исследования.

Тема моей исследовательской работы «Уравнения с параметром».

Я поставила перед собой проблему : в чём заключаются трудности при решении уравнений с параметром?

Цель работы : изучение методов решения уравнений с параметром.

Характер работы определил следующие задачи:

- проанализировать литературу по данному предмету;

- систематизировать сведения о линейных и квадратных уравнениях с параметром;

- совершенствовать технику алгебраических преобразований.

2.Основная часть

2.1 Линейное уравнение с параметром.

Рассмотрим уравнение f(x,у)=g(x,а). Поставлю такую проблему: найти все такие пары (х,а) которые удовлетворяют данному уравнению, значит это уравнение с двумя переменными х и а . Но поставлю и другую проблему: Если придам переменной а какое-то фиксированное значение, то данное уравнение буду рассматривать как уравнение с одной переменной х, причём решение этого уравнения определяются выбранным значением а. Если для каждого значения а из некоторого числового множества А решить уравнение f (х,а)=g(х,а) относительно х, то это уравнение называется уравнением с одной переменной х и одним параметром а, множество А называется областью изменения параметра. Значит уравнение f(х,а)=g(х,а)- это уравнение с одной переменной х и одним параметром а.

Пример №1 Решить уравнение:

Х+2=ах

Решение: перенесём ах в левую часть уравнения, слагаемое 2 в правую часть.

Х-ах=-2

Х(1-а)=-2

Если а=1, то х×0=-2, решений нет,

Если а неравно 1, то х=hello_html_77c0af0d.gif =hello_html_m58f96a09.gif ,

Ответ: решений нет при а=1, hello_html_m58f96a09.gif при а ≠1.

Пример № 2. Решите уравнение

ах=2х+5

Решение: ах-2х+5

х(а-2)=5

Чтобы найти значение х, нужно разделить обе части уравнения на (а-2). При всех ли значениях параметра мы можем обе части разделить на (а-2) ? Нет.

При а=2 выражение а-2 обращается в нуль, поэтому значение параметра а=2 является «особым»-контрольным значением параметра.

При а=2, (2-2)х=5, 0х=5 – уравнение решений не имеет;

При аhello_html_m530e5cb2.gif2, х=hello_html_65839344.gif

Ответ: решений нет при а=2; х=hello_html_65839344.gif при аhello_html_m530e5cb2.gif2

2.2 Методы решения уравнений с параметром.

Решить уравнение с параметром , значит для каждого значения параметра найти множество всех корней данного уравнения.

Основной принцип решения уравнения с параметром можно сформулировать так: необходимо разбить все значения параметра на участки, такие, что при изменении параметра на каждом из них решаем получающиеся уравнения. Для этого используем приёмы такие же, как при решении уравнений с числовыми коэффициентами.

Сложность заданий с параметром: при разных значениях параметра применяются различные методы решения.

Пример № 3.Дано уравнение.

2а(а-2) х=а-2 и задана область изменения параметра. А={-1,0,2,3}. Тогда данное уравнение есть краткая запись семейства уравнений

При а=-1, 6х=-3,

При а=0, 0×х=-2,

При а=1 -2х=-1,

При а=2 0×х=0,

При а=3, 6х=1,

Под областью изменения параметра будем подразумевать множество всех действительных чисел.

Решить уравнение с параметром - это значит решить (на множестве действительных чисел) семейство уравнений, которое получается из уравнения f(х,а)=g(х,а) при различных действительных значениях параметра.

Так как выписать отдельно каждое уравнение бесконечного семейства невозможно, то

«особые» значения параметра (мы будем называть их контрольными), в которых или при переходе через которые происходит качественное изменение уравнения.

2.3 Квадратное уравнение с параметром.

Пример № 4 При каких значениях параметра уравнение (hello_html_m42908e19.gif(b+4) х +b+7=0 имеет только один корень?

Решение: при всех ли значениях параметра данное уравнение будет квадратным? Нет при b=1 уравнение становится линейным , b=1 – контрольное значение параметра.

Подставим значение hello_html_m59ea33b9.gif исходное уравнение.

(1-1)hello_html_b0f6fad.gif+ (1+4) х + 1+7=0;5х+8=0; х=-1,6

При hello_html_m1c1140f0.gif=1 уравнение имеет один корень х=-1,6

При hello_html_m28b21c9b.gif имеет квадратное уравнение. Так как по условию квадратное уравнение имеет один корень, то Д=0

Д=(hello_html_3612cd5d.gif

hello_html_40a2762e.gif

А hello_html_m41f8caf.gif

Д=256+12hello_html_55d48d66.gif44=784

В hello_html_m6ea4dea0.gif hello_html_m28aa34f1.gif , hello_html_66d2186b.gif

Ответ: при hello_html_67c3fba0.gif уравнение имеет только один корень.

Решение: Контрольными будут те значения параметра а, при которых коэффициент при х обращается в нуль. При этих значениях параметра невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х, при остальных же значениях параметра такое деление возможно. Значит рассмотрим уравнение при следующих значениях параметра

1) а=0; 2) а=2; 3) а

1) При а=2 уравнение принимает вид 0×х=-2. Это уравнение решений не имеет.

2) При а=2 уравнение принимает вид 0×=0 Решением этого уравнения служит любое действительное число.

3) Если а≠0 и а≠2, то получаем х=hello_html_m139ab395.gif, хhello_html_m7d4cc844.gif

Ответ решений нет при а=0;

Любое число при а=2;

hello_html_58f0ec90.gifпри hello_html_m7b39851e.gif

Пример № 5 Решим уравнение. 2а(а-2)х=а-2

Решение: Контрольным является значение а=1, т.к. происходит качественное изменение уравнения при а≠1 уравнение является квадратным, при а=1 оно линейное. Рассмотрим следующие случаи.

1) а=1 уравнение примет вид

6х=7=0

Х= -hello_html_m3ff1b25e.gif

2)а≠1

Для квадратного уравнения

(а-1) hello_html_b0f6fad.gif+2(2а+1) х+(4а+3)=0 выделим те значения параметра n, при которых дискриминант уравнения обращается в нуль. Найдём дискриминант уравнения.

Д=4(2а+1hello_html_m1dbb3f2e.gif-4(а-1) (4а+3)= 4(hello_html_m5b4a9294.gif-4а+3а-3)= 16hello_html_39658c02.gif16а-12а+12= 20а+16

Д=0, если а=-0,8

Д<0 Если а<-0,8

Д≥0, если hello_html_m12137c55.gif а≥-0,8, то хhello_html_75a8e6b0.gif= hello_html_m64471a22.gif= hello_html_m2e268835.gif

Ответ: решений нет при а<-0,8 hello_html_m71470193.gif при а=1

hello_html_m2e268835.gifпри { а≥-0,8 а≠1

2.4.Дробно рациональное уравнение с параметром.

Пример № 7. Решим уравнение



hello_html_4ea5ecf6.gif- hello_html_m7134007a.gif = hello_html_m5a0c72e8.gif



hello_html_3c99df0d.gif+ hello_html_m45f57fef.gif = hello_html_3efe446f.gif

Контрольным значением параметра а является значение 1) а=0, уравнение решений не имеет;

2)а≠0, тогда hello_html_1927e0c5.gif = hello_html_3efe446f.gif

hello_html_7a705b1e.gif

hello_html_m27006089.gif

(1-а)hello_html_136998f8.gif

Найдём второе контрольное значение

1) а≈1, 2х+2=0

3) если hello_html_2b48d89e.gif уравнение квадратное

(1-а)hello_html_136998f8.gif

Д=4-4(1-а) (а+1)=4-4(1-hello_html_m5560b512.gif

При hello_html_2b48d89e.gif

Х=hello_html_m41248278.gif=hello_html_m1e94bb37.gif=hello_html_5e13623e.gif

hello_html_2a98e4a5.gif=а при а>0, а≠1

hello_html_2a98e4a5.gif=-а при а<0, а≠1

При hello_html_m416ad7da.gif , х=hello_html_m103d0ec9.gif , hello_html_m61cbe1c5.gif =-1

hello_html_6ff492c1.gif=hello_html_m42921169.gif = hello_html_17c5d797.gif = hello_html_3b547ab7.gif

При hello_html_6a8a26cc.gif , х=hello_html_6407467f.gif=hello_html_m103d0ec9.gif

hello_html_m7f89d768.gif=hello_html_m42921169.gif=hello_html_3b547ab7.gif

hello_html_6ff492c1.gif=hello_html_m42c57713.gif=-1

Проверка уравнения

hello_html_m6956aa1b.gifhello_html_m7134007a.gif=hello_html_m5a0c72e8.gif и (1-а)hello_html_7a2a5240.gif+а+1=0 равносильны при х ≠hello_html_m2968e738.gif

При hello_html_m695e35f1.gif мы получили hello_html_m7f89d768.gif=-1, hello_html_6ff492c1.gif=hello_html_3b547ab7.gif

Выясним при каких значениях параметра выполняется равенство hello_html_m7f89d768.gif=hello_html_m2968e738.gif , hello_html_m7f89d768.gif=-1, -1=hello_html_m2968e738.gif , находим а=-2, значит при а=-2, hello_html_m7f89d768.gif=-1-- постоянный корень (т.к. знаменатель hello_html_m37106755.gifх-2а при а=-2, hello_html_m7f89d768.gif=-1 обращается в нуль) тогда hello_html_b0f6fad.gif=hello_html_62ed1ab8.gif

Выясним, при каких значениях параметра выполняется равенство hello_html_6ff492c1.gif=hello_html_m2968e738.gif имеем hello_html_48e824f7.gif , отсюда hello_html_55d760c2.gif Д=-1-4=-3hello_html_m360d6129.gif уравнение не имеет решений. Значит, hello_html_6ff492c1.gif=hello_html_3b547ab7.gif ни при каких значениях параметра не является посторонним корнем.

Ответ: решений нет при а=0 , -1 при а=1, hello_html_7f8f9891.gif при а=-2

hello_html_9d0d55e.gif





Пример № 8:



D:\Документы_Ученик\Мои рисунки\Безымянный.bmp











Заключение

Решение уравнений , содержащих параметры – один из труднейших разделов школьного курса математики.

Я обобщила и систематизировала теоретические знания. научилась решать задачи повышенной сложности .

Я выяснила трудности решения уравнения с параметрами:

  • Необходимо производить ветвление всех значений параметра на отдельные классы;

  • Следить за сохранением равносильности решаемых уравнений;

  • Учитывать область определения выражений, входящих в уравнение.











































Литература.

1.Крамов В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры .

2.Никольский С.М. Алгебра и начало анализа 11 класса – М.: Просвещение, 2007.

3.Потапов М.К. Алгебра и начало математического анализа 11-М.: «Просвещение», 2008.

4. Семёнов В.А Ященко А.Н. КИМ ГИА.-М. Просвещение, 2012.

5.Цыпкин А.Г, Пинский А.И Справочное пособие по методам решения задач по математике.-М.: Наука,1983

6.Ястребинетский Г.А. Задачи с параметрами. – М.: Просвещение, 1986.







































































Рецензия

творческой работы по математике Гостевой Ксении ученицы 9б класса МКОУ СОШ № 47 Барабинского района Новосибирской области

Тема творческой работы « Уравнения с параметром».

Работа поисково-реферативного характера, выполнена в соответствии с предъявляемыми требованиями.

В работе систематизируется решение линейных уравнений, квадратных уравнений, дробно-рациональных уравнений с параметром. Рассматривается алгоритм решений уравнений с параметром.

Работа трудоёмкая. На окружном конкурсе ТИР работа получила высшую категорию и рекомендована на районный конкурс ТИР.

Учитель: Леонова Н.В.













Краткое описание документа:

"Описание материала:

Уравнения с параметрами требуют решения, для этого необходимо знать свойства функций и уравнений, уметь выполнять преобразования, иметь хорошую технику исследования. Я подготовил тему «Уравнения с параметром», которая и стала моей исследовательской работой. Главная проблема, которую я выделил: понять, в чём заключаются трудности решения уравнений с параметром.

Цель работы: изучение методов решения уравнений с параметром. Характер работы выявил следующие задачи: анализ литературы в данной области, систематизация знаний об уравнения с параметром, как линейных, так и квадратных, а также совершенствование техники алгебраических преобразований.

Автор
Дата добавления 24.06.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров406
Номер материала 131289062434
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх