Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Способы решения
уравнений
X
X
Y
A
X
A
Y
S
B
Y
2 слайд
Почему именно эта тема?
Существует великое множество уравнений, а если уравнений много, значит и способы их решений очень разнообразны. Вот я и решила рассмотреть хотя бы некоторые из них.
3 слайд
Содержание.
Основные определения.
Рациональные уравнения.
Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
Пример 4.
Пример 5.
Теоремы.
Заключение.
4 слайд
Основные определения.
В алгебре рассматриваются два вида равенств – тождества и уравнения.
Тождество – это равенство, которое выполняется при всех (допустимых) значениях входящих в него букв.
Уравнение – это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях входящих в него букв.
5 слайд
Алгебраические уравнения бывают разных видов:
Линейные уравнения
Квадратные уравнения
Двучленные уравнения
Кубические уравнения
Биквадратные уравнения
Возвратные уравнения
Рациональные уравнения
Иррациональные уравнения
Трансцендентные уравнения
Показательные уравнения
Логарифмические уравнения
6 слайд
Рациональные уравнения.
Под рациональным равнением принято понимать уравнение, которое может быть записано в виде
где
,
,...,
- заданные числа,
а
x- неизвестное
7 слайд
Пример 1
Решается путём обычных упрощений – приведение к общему знаменателю, приведение подобных членов и.т.д.
Квадратные уравнения
решаются по готовой формуле
8 слайд
Пример:
Решение: Приводим уравнение к виду
(7x - 14)( – 7x + 12) = ( -4x + 14)( – 4x – 12), раскрываем скобки.
7 – 49 + 84x – 14 + 98x – 168 + 4 – 16 – 48x – 14 + 56x + 168 = 0
11 – 93 + 190x = 0
x(11 – 93x + 190)=0
=0, 11 – 93x + 190 = 0
= =
=5, =38/11
Ответ: =0, =5, =38/11
= -2
9 слайд
Пример 2
Путем группировки слагаемых, применения формул сокращенного умножения приводим уравнение к виду, когда слева записано произведение нескольких сомножителей, а справа – ноль. Затем приравниваем к нулю каждый из сомножителей.
10 слайд
Пример: – 3x + 2 = 0.
Решение. Перепишем уравнение записав -3x = -x – 2x, – x – 2x + 2 = 0, а теперь группируем
x( – 1) – 2(x – 1) = 0
(x - 1)(x(x + 1) - 2) = 0
x -1 = 0 + x – 2 = 0
= 1 = -2, = 1.
Ответ: = 1, = 1, = -2
11 слайд
Пример 3
Ищем в уравнении некоторые повторяющиеся выражения, которое обозначим новой переменной, тем самым упрощая вид уравнения.
12 слайд
Пример:
Решение. Легко решается с помощью подстановки , получаем t + + 4 = 0. Или
. Здесь можно сделать подстановку – 4x = t. Тогда дальше решаем как обычное уравнение.
13 слайд
Пример 4
При решении уравнений высших степеней рациональные корни уравнения
ищем в виде , где
p – делитель , q – делитель . Р и q взаимно просты. р , q .
14 слайд
Пример: - – 8x + 6 = 0.
Решение. Здесь =1, =6. Поэтому, если данное уравнение имеет рациональные корни то их следует искать среди делителей числа 6; Проверкой убеждаемся, что x = 3. т.к.
27 – 9 – 24 + 6 = 0
Делим - – 8x + 6 = 0. на x – 3.
Получаем + 2x – 2.
Тогда - – 8x + 6 = (x – 3)( + 2x – 2).
Т.е. данное уравнение можно представить в виде (x– 3)( + 2x – 2) = 0. Отсюда находим, что = 3
(решение, найденное подбором). x2, = -1 - из уравнения + 2x – 2=0
Ответ: = 3, x2, = -1
![Пример 5Т.е. решать пример не стандартно, придумать "свой метод", догадаться...](https://documents.infourok.ru/102aee95-b75f-410f-9bd0-de5d3c22d655/0/slide_15.jpg "Пример 5Т.е. решать пример не стандартно, придумать "свой метод", догадаться...")
15 слайд
Пример 5
Т.е. решать пример не стандартно, придумать "свой метод", догадаться что- то прибавить и отнять, выделить полный квадрат, на что-то разделить и умножить и. т. д.
16 слайд
Пример:
Решение: разделим числитель и знаменатель дробей на x 0
обозначим 2x + = t.
Получаем т.е. 13t – 65 + 2t + 2 = 6 – 24t – 30,
6 – 39t + 33 =0, т.е. 2 – 13t + 11 = 0
=1, = 5
Следовательно,
2x + 3/x =12x + 3/x = 11/2
2 – x + 3 =04 – 11x + 6 = 0
Корней нет. = 2, = 3/4
Ответ: = 2, = 3/4
17 слайд
Теоремы.
При решении алгебраических уравнений полезна следующая теорема (называемая теоремой Безу).
ТЕОРЕМА 1: Остаток от деления многочлена f(x) на x – a равен f(a) ( т.е. равен значению этого многочлена при x = a ).
Пример:
Произведем деление с остатком многочлена f(x) на x – a
f (x) = (x –a) q (x) + r(x)
где остаток r(x), если он не равен нулю, является многочленом, степень которого меньше степени делителя x – a, т.е. равна нулю. Поэтому r(x) = r является числом:
f(x) = (x – f) q (x) + r.
Чтобы найти число r, положим в этом равенстве x = a. Мы получим f(a) = r, что и доказывает теорему.
18 слайд
ТЕОРЕМА 2: Если а – корень многочлена f(x), то этот многочлен делится на x – a.
Заметим, что в теоремах 1 и 2 число а и коэффициенты рассматриваемого многочлена могут быть как действительными, так и комплексными.
Мы знаем, что произведение двух чисел в том и только в том случае обращается в нуль, если равно нулю хотя бы одно из этих чисел. Отсюда вытекает следующая теорема.
ТЕОРЕМА 3: Пусть f(x) и g(x) - произвольные многочлены. Число в том и только в том случае является корнем уравнения f(x)g(x) = 0, если оно является корнем хотя бы одного из уравнений f(x) = 0, g(x) = 0.
Если нам известен один корень уравнения f(x) = 0, то f(x) = (x – a)g(x) и нахождение остальных корней этого уравнения сводится к решению уравнения g(x) = 0, имеющего на единицу меньшую степень, чем исходное уравнение. Короче, знание одного корня позволяет снизить степень уравнения на единицу.
19 слайд
ТЕОРЕМА 4: Если все коэффициенты многочлена
F (x)=
являются целыми числами, то всякий целый корень этого многочлена является делителем свободного члена
20 слайд
Пример: Решим уравнение – 4 – 13 + 28x + 12 =0
Решение:
Возьмем свободный член 12 и выпишем его делители:
1; -1; 2; -2; 3; -3; 4; -4; 6; -6; 12; -12.
Теперь, подставляя эти числа в многочлен f(x) = – 4 – 13 + 28x + 12, проверим, нет ли среди них корней этого многочлена.
f(1) = 24 (т.е не является корнем)
f(-1) = -24 (т.е. не является корнем)
f(2) =0 (является корнем)
Один корень нашли x = 2. По теореме 2 многочлен f(x) делится на x – 2
f(x) = (x -2) ( – 2 – 17x -6).
Надо решить уравнение – 2 – 17x -6 = 0
Выписываем делители свободного члена 6:
1; -1; 2; -2; 3; -3; 6; -6; .
Числа 1 и -1 не являются. Остальные подставляем в многочлен g(x)= – 2 – 17x -6.
Мы находим:
g(2) = -40 (не является)
g(-2) = 12 (не является)
g(3) = -48 (не является)
g(-3) =0 (является)
Второй корень x = -3. По теореме 2 многочлен g(x) делится на x+3.
– 2 – 17x – 6 = (x+3)( – 5x - 2).
– 5x – 2 = 0
x = ; x = .
21 слайд
Заключение.
Представленные мною способы решения уравнений, лишь часть от всех возможных способов. Я надеюсь, что мой доклад заинтересовал вас. Ведь эти способы значительно облегчают решение уравнений разной сложности.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Презентация «Способы решения уравнений».
В содержании презентации есть основные определения тождеств и уравнений: линейных, квадратных, кубических, биквадратных, двучленных, возвратных, рациональных, иррациональных, трансцендентных, показательных и логарифмических.
Приведены решения рациональных уравнений, кубического уравнения.
"Приведены способы решения - способ замены переменной.
Приведена теорема Безу и решено уравнение высшей степени с использованием теоремы Безу.
Презентацию подготовила ученица 10 класса Малышева Анна под руководством учителя математики Номоконовой Т.В.
6 672 030 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Номоконова Татьяна Васильевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
72/144/180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
3 ч.
Мини-курс
6 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.