Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическое пособие по теме «Тригонометрия»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическое пособие по теме «Тригонометрия»

библиотека
материалов

hello_html_6102b9f6.gifhello_html_66973c0b.gifhello_html_66973c0b.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m4250a63c.gifhello_html_dc59403.gifhello_html_m1d5cc93c.gifhello_html_617e2c5e.gifhello_html_66a3ba24.gifhello_html_66a3ba24.gifhello_html_m5d38ce8f.gifhello_html_m59cf9d8b.gifhello_html_m18733435.gifhello_html_m18733435.gifhello_html_m4151c10b.gifhello_html_m1c96a09a.gifhello_html_m4151c10b.gifhello_html_6473c263.gifhello_html_6473c263.gifhello_html_6473c263.gifhello_html_6473c263.gifhello_html_m264e624b.gifhello_html_m264e624b.gifhello_html_m4151c10b.gifhello_html_m4151c10b.gif























Методическое пособие

по теме «Тригонометрия»

для студентов I курса






























Методическое пособие для студентов 1 курса по теме «Тригонометрия»

Асиновский техникум промышленной индустрии и сервиса. - 2012.








Составитель:

Л.В. Журавлёва, преподаватель математики АТпромИС.







Методическое пособие по теме «Тригонометрия» предназначен для студентов 1 курса, обучающимся по направлению начального профессионального образования социально-экономического профиля по профессии: 260807.01 «Повар, кондитер»;











Рассмотрено на заседании методического объединения « Общеобразовательных дисциплин»/

Протокол № 3 от 15.11. 2012 г.


Рекомендовано к печати Методическим советом Асиновского техникума промышленной индустрии и сервиса

Протокол № 3 от 15.11. 2012 года





Аннотация

Данное пособие предназначено для студентов 1 курса, обучающихся по направлению начального профессионального образования социально-экономического профиля по профессиям: 260807.01 «Повар, кондитер». В пособие входит теоретический материал по теме «Тригонометрические функции», «Тригонометрические уравнения», «Преобразование тригонометрических выражений», соответствующий структуре изложения материала по УМК А.Г. Мордковича (базовый уровень), представлены примеры с решениями, а также задания для самостоятельной работы, подкреплённые ответами и рекомендациями. Пособие содержит пробные контрольные и зачётные работы по данным темам. В приложении - справочный материал по теме «Тригонометрия»

Теоретический и практический материал поможет студентам качественно подготовиться к текущему контролю, повторить и систематизировать знания по данной теме при подготовке к выпускной итоговой аттестации.

При составлении данного методического пособия преследовались следующие цели:

  1. оказание методической помощи:

  • при изучении данной темы студентам, пропустившим занятия по различным причинам;

  • при повторении данной темы в ходе подготовки к сдаче зачётов, решению контрольных работ и подготовке к итоговой аттестации;

  1. ликвидация пробелов знаний студентов по данной теме.

































К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов выбранный номер правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.

Время теста: 90 мин.

Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов; «3» - 5,6 прав. ответов;

«4» - 7-9 прав. ответов; «2» - 4 и менее прав. отв.







Содержание

Зачётный раздел№1

  1. Конспект№1 «Тригонометрические функции любого аргумента.

  2. Определение и свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

  3. Радианная мера угла».

Конспект№2 «Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента»

  1. Конспект№3 «Формулы приведения».

  2. Контрольная работа №1 по теме «Тригонометрические функции».

  3. Обобщающее занятие по зачётному разделу №1

  4. Зачет №1 по теме: «Тригонометрические функции»

Зачётный раздел№2

  1. Конспект№4 «Тригонометрические уравнения»

  2. Контрольная работа №2 по теме «Тригонометрические уравнения»

  3. Обобщающее занятие по зачётному разделу №2

  4. Зачет №2 по теме: «Тригонометрические уравнения»

Зачётный раздел№3

Конспект№5 «Формулы суммы и разности двух аргументов»

Конспект№6 «Тригонометрические функции двойного и половинного аргументов»

Конспект№7 «Формулы суммы и разности тригонометрических функций»

Контрольная работа №3 по теме «Преобразования тригонометрических выражений»

Обобщающее занятие по зачётному разделу №3

Зачет №3 по теме: «Преобразования тригонометрических выражений»

Итоговая контрольная работа по теме «Тригонометрия»

Справочный материал по теме «Тригонометрия»

Список использованной литературы







К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов выбранный номер правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.

Время теста: 90 мин.

Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов; «3» - 5,6 прав. ответов;

«4» - 7-9 прав. ответов; «2» - 4 и менее прав. отв.



Зачётный раздел №1

Конспект №1





«Тригонометрические функции любого аргумента.

Определение и свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Радианная мера угла».





Отметим на оси Ох от начала координат точку А и проведем через нее окружность с центром в точке О. Радиус ОА будем называть начальным радиусом. Угол Р (ОМ; ОЕ) можно описать как получившийся в результате вращения вокруг начала координат луча с началом в точке О от положения ОМ - начального до положения ОЕ - конечного. Это вращение может происходить или против часовой стрелки или по часовой стрелке, причем http://www.postupi.ru/ucheb/math_trig/Image804a.gif

а) либо на неполный оборот,

б) либо на целое число полных оборотов;

в) либо на целое число полных оборотов и неполный оборот.

Меры углов, ориентированных против часовой стрелки, считаются положительными, а по часовой стрелки - отрицательными.

Будем считать равными углами такие углы, для которых при совмещении каким либо образом их начальных лучей совмещаются и конечные лучи, причем движение от начального луча к конечному осуществляется в одну и ту же сторону на одно и то же количество полных и неполных оборотов, вокруг точки О. Нулевые углы считаются равными.

Свойства мер углов:

  1. Существует угол, мера которого равна 1 - единица измерения углов;

  2. Равные углы имеют равные меры;

  3. Мера суммы двух углов равна сумме мер углов;

  4. Мера нулевого угла равна нулю.

Наиболее распространенные меры углов - градусная и радианная.

Единицей измерения углов в градусной мере является угол величины в один градус - 1/180 часть развернутого угла. Из курса геометрии известно, что мера угла в градусах выражается числом от 00 до 1800 . что касается угла поворота, то он может выражаться в градусах каким угодно действительным числом от -∞ до + ∞.

В качестве окружности с центром в начале координат мы будем брать окружность единичного радиуса, обозначая точки ее пересечения с координатными осями A(1;0), B(0;1), C(-1;0), D(0;-1). В качестве начального угла у рассматриваемых углов будет браться луч ОА.

Координатные оси абсцисс и ординат взаимно перпендикулярны и разбивают плоскость на четыре координатные четверти: I, II, III, IV (см. рисунок).

В зависимости от того, в какой координатной четверти окажется радиус ОМ, угол α будет так же углом этой четверти.

Так, если 00<α<900 , то угол α – угол первой четверти;

Если 900<α<1800 , то угол α – угол второй четверти;

Если 1800<α<2700 , то угол α – угол третьей четверти;

Если 2700<α<3600 , то угол α – угол четвертой четверти.

Очевидно, что при прибавлении к углу целого числа оборотов получается угол той же четверти.

Например, угол 4300 является углом 1 – ой четверти, так как 4300 = 3600 + 700 = 700;

Угол 9200 является углом 3-ей четверти, так как 9200 = 3600 ·2 + 2000 = 2000

(т.е. число целых оборотов можно не учитывать!)

Углы 00, ± 900 , ± 1800, ± 2700, ± 3600 – не относятся ни к какой четверти!

Давайте определим, углом, какой четверти является угол α, если:

α =2830 (4) α = 1900 (3) α =1000 (2) α = -200 (4ч –отрицательное направление)http://www.postupi.ru/ucheb/math_trig/Image805a.gif

Выполнить самостоятельно: α = 1790 α = 3250 α =8000 (2) α = -1200

В курсе геометрии были определены синус, косинус, тангенс и котангенс угла α при 00 ≤ α ≤ 1800 . Теперь мы рассмотрим эти определения на случай произвольного угла α.

Пусть при повороте около точки О на угол α начальный радиус ОА переходит в радиус ОМ.

Синусом угла α называется отношение ординаты точки М к длине радиуса.

Косинусом угла α называется отношение абсциссы точки М к длине радиуса.

Тангенсом угла α называется отношение ординаты точки М к ее абсциссе.

Котангенсом угла α называется отношение абсциссы точки М к ее ординате.

Так как координаты точки М равны х и у, а длина радиуса равна единице, то

Sinα = у/R=y; cosα = x/R = x; tgα = y/x = hello_html_358b7cab.gif ; ctgα = x/y = hello_html_710f647.gif

Рассмотрим примеры вычисления тригонометрических функций с помощью таблиц значений некоторых углов. Прочерки сделаны в том случае, когда выражение не имеет смысла.

α

(град)

00

300

450

600

900

1800

2700

3600

hello_html_m21f33920.gif

(рад)

0

hello_html_m2182e39b.gif

hello_html_a45a8d.gif

hello_html_77404a01.gif

hello_html_6661fa35.gif

π

hello_html_34b3931c.gif

sin α

0

hello_html_m3152d157.gif

hello_html_m3f6d9a31.gif

hello_html_m36b871f.gif

1

0

-1

0

cos α

1

hello_html_m36b871f.gif

hello_html_m3f6d9a31.gif

hello_html_m3152d157.gif

0

-1

0

1

tg α

0

hello_html_6b0272d4.gif

1

hello_html_m2ca43d3d.gif

-

0

-

0

ctg α

-

hello_html_m2ca43d3d.gif

1

hello_html_6b0272d4.gif

0

-

0

-



Рассмотрим примеры:

Пример №1

Найти sin300; cos450; tg600;

Решение: а) находим в столбике таблицы sinα и в строчке 300, на пересечении столбца и строчки находим значение sin300- это число hello_html_m3b01351.gif. Пишут так: sin300=hello_html_m3b01351.gif

б) находим в столбике таблицы cosα и в строчке 450, на пересечении столбца и строчки находим значение cos450 - это число hello_html_m3c567c00.gif. Пишут так: cos450 =hello_html_m3c567c00.gif

в) находим в столбике таблицы tgα и в строчке 600, на пересечении столбца и строчки находим значение tg600- это число hello_html_2f275946.gif. Пишут так: tg600=hello_html_2f275946.gif.

Пример №2

Вычислить: а) 2сos600 + hello_html_2f275946.gifcos300 = 2·hello_html_4bbea85e.gif

б)3tg450 ·tg600 = 3·1·hello_html_2f275946.gif= 3hello_html_2f275946.gif

Вычислите самостоятельно: а) 5sin300 - ctg450

б) 2sin300 + 6cos600 – 4tg450

в) 4tg600·sin600

г) 2cos00 -4sin900 +5tg1800

Рассмотрим некоторые свойства тригонометрических функций.

Выясним, какие знаки имеют синус, косинус, тангенс и котангенс в каждой из координатных четвертей. Пусть при повороте радиуса ОА, равного R, на угол α, точка А перешла в точку М с координатами х и у. Так как Sinα = у/R=y, то знак Sinα зависит от знака у.

В I и II четвертях у>0, а в II и IV четвертях – у <0.

Знак cosα зависит от х, так как cosα = x/R = x, то для углов I и IV четвертях – у >0, а во

II и III четвертях у <0.

Так как tgα = y/x = hello_html_358b7cab.gif; ctgα = x/y = hello_html_710f647.gif , то в I и III четвертях tgα и ctgα имеют знак «+», а во II и IV четвертях они имеют знак «минус».

Знаки синус, косинус, тангенс и котангенс в каждой из четвертей покажем на рисунке.

ЗНАКИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ



+ +



- -





- -

Знаки синуса Знаки косинуса знаки тангенса и котангенс

- +





+ -





+ -

- +





- +

























- +



















Выясним теперь вопрос о четности и нечетности тригонометрических функций.

Синус, тангенс и котангенс являются нечетными функциями, а косинус является четной функцией

sin (-α) = - sin α cos (-α) = cos α tg (-α) = - tg α ctg (-α) = -ctg α

нечетная четная нечетная нечетная



Например:

cos(-400) = cos400; sin( -300) = -sin300 = - hello_html_m3b01351.gif; tg(-600) = -tg600 = -hello_html_2f275946.gif

Отметим еще одно свойство тригонометрических функций:

При изменении угла на целое число оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса не изменяются.

Например: а)sin 7650 = sin(2·3600 + 450) =sin450 = hello_html_m3c567c00.gif

б)cos (-11700) = cos11700 = cos(3·3600 +900)= cos900 = 0.

Попробуй определить знак выражения:

а)sin (-300) ; cos (-700); tg(-45)0; б) sin1000·cos3000; в) cos3200·ctg170

Мы уже отмечали, что наряду с градусной мерой угла существует и радианная мера углов.

Единицей измерения углов в радианной мере является угол величины в один радиан - это такой центральный угол, которой опирается (или стягивает) дугу окружности, по длине равной ее радиусу.

Если обозначить 10 и 1рад. соответственно градусную и радианную меры, то для выражения градусной меры через радианную будем использовать формулу

hello_html_m4ec0be3a.gif, а для выражения радианной меры углов через градусную будем использовать формулу hello_html_m153b585e.gif

1 рад ≈ 570, а 10 ≈ 0,017рад

  1. Выразим в градусах а) 4,5рад. б) hello_html_18677719.gif

4,5рад. = 4,5·hello_html_2cf529f8.gif

hello_html_18677719.gif= hello_html_18677719.gif·hello_html_6984b7ca.gif

  1. Найдем радианную меру углов: а) 450 б) 720

Решение: 450 = 450 ·hello_html_m47b54e43.gif

720 = 720 ·hello_html_m5c6e019e.gif

  1. Найдем значение sin2,5hello_html_47d0e225.gif

Решение: sin2,5hello_html_47d0e225.gif= sin(2hello_html_47d0e225.gif+ 0,5hello_html_47d0e225.gif) = sin0,5hello_html_47d0e225.gif= 0,5





Выполнить самостоятельно:

1. Выразите в радианной мере углы: 300; 450; 600; 900 ; 1800; 2700; 3600.

2.Выразите в градусной мере углы: 0,5; hello_html_m40729c16.gif; hello_html_772d90c9.gif; -hello_html_11a0d1f9.gif

3.Используя значения таблицы синуса, косинуса, тангенса и котангенса, найдите:

а) 2sinhello_html_13687fa0.gif б) coshello_html_m5420ed52.gif

К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов выбранный номер правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.

Время теста: 90 мин.

Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов; «3» - 5,6 прав. ответов;

«4» - 7-9 прав. ответов; «2» - 4 и менее прав. отв.



Конспект№2





«Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента»

Основное тригонометрическое тождество

Для произвольного угла hello_html_7bffe59a.gif найдем соотношения между тригонометрическими функциями.

Для любого угла hello_html_7bffe59a.gif справедливо равенство:







hello_html_57220ba4.gif (1)

Доказательство. На единичной окружности углу hello_html_7bffe59a.gif соответствует точка hello_html_m5ce3d516.gif. Квадрат расстояния между точками hello_html_m2b05c03c.gif и hello_html_m5ce3d516.gif равен единице: hello_html_2295579d.gif, откуда следует hello_html_33066080.gif.■

Определение 1. hello_html_1d49beba.gif, где hello_html_m693826e.gif.

Определение 2. hello_html_m59f267c1.gif, где hello_html_224d8226.gif.

hello_html_197cb6c5.gif, где hello_html_m693826e.gif; hello_html_m28f3fd82.gif.

Действительно, hello_html_31d27bd0.gif.

Разделив обе части равенства (1) на hello_html_m7fe44498.gif, получим hello_html_m5355b8.gif, т.е. hello_html_m70234ab4.gif, hello_html_m693826e.gif.

Разделим обе части равенства (1) на hello_html_m2008e330.gif: hello_html_m233b5f89.gif, hello_html_10e9ae.gif, hello_html_224d8226.gif.

Из основного тригонометрического тождества (1) следуют формулы:

hello_html_m349cc9a6.gif, hello_html_5e2825b7.gif.

Знаки перед корнями соответствуют знакам hello_html_473036c8.gif.

Из формулы hello_html_md3c2882.gif найдем hello_html_m6acce3fb.gif: hello_html_m2afa6871.gif, где hello_html_m4d21995a.gif.

Из формулы hello_html_256ea6c7.gif найдем hello_html_m6e4e9dd9.gif: hello_html_d3f4d8d.gif, где hello_html_224d8226.gif.

Рассмотрим применение основных тригонометрических функций

Пример№1

Упростите выражение: 1-cos2α

Из основного тригонометрического тождества sin2α + cos2α = 1 выразим cos2α, получим cos2α =1 - sin2α. Подставим это выражение в данное и получим:

1-cos2α = 1 – (1 - sin2α) = 1 –1 + sin2α = sin2α

Пример №2

Упростите выражение: 1 - sin2α - cos2α

Из основного тригонометрического тождества sin2α + cos2α = 1 выразим cos2α, получим cos2α =1 - sin2α. Подставим это выражение в данное и получим:

1 - sin2α – (1 - sin2α) = 1 - sin2α – 1 + sin2α = 0.

Пример №3

Упростите выражение: sinx cosx tgx

Вспомним формулу tgx = hello_html_m110e66c2.gif, подставим это выражение в данное и получим:

sinx cosxhello_html_m110e66c2.gif сократим числитель и знаменатель на общий множитель cosx,

sinx cosxhello_html_m110e66c2.gif = sin2x

окончательно имеем: sinx cosx tgx = sinx cosxhello_html_m110e66c2.gif = sin2x

Пример №4

Упростите выражение: hello_html_5ba48883.gif

т.к. hello_html_m110e66c2.gif = tgx, то hello_html_m1924635d.gif, получим: hello_html_5ba48883.gif= hello_html_m1924635d.gif

Пример №5

Упростите выражение:cos2x – (ctg2x + 1)sin2 x

Решение: воспользуемся формулой ctg2x + 1= hello_html_m6da1985c.gif, получим:

cos2x – (ctg2x + 1)sin2 x = cos2x –hello_html_m6da1985c.gif sin2 x = cos2x – 1 = - (1 - cos2x ) = - sin2x.

Пример №6

Найти cosα, tgα, ctgα, если известно, что sinα = hello_html_m70861292.gif.

Решение: найдем сначала cosα. Из формулы sin2α + cos2α = 1 выразим cos2α, получим cos2α =1 - sin2α. Так как α является углом 2-ой четверти, то его косинус отрицателен. Значит,

hello_html_196046c0.gif

Зная синус и косинус угла α, можно найти его тангенс:

hello_html_m679227e1.gif

Для отыскания котангенса угла α удобно воспользоваться формулой tgα·ctgα = 1. Имеем: hello_html_m21a48e40.gif

Пример№7

Известно, что tgα = 2 и 0<α<π/2. Найти sinα, cosα, ctgα.

Воспользовавшись формулой 1 + tg2 α = hello_html_333827ba.gif, найдем cosα. Имеем:

1 + 22 = hello_html_333827ba.gif; hello_html_333827ba.gif = 5, cos2 α = 1/5

По условию угол α является углом 1-ой четверти, поэтому его косинус положителен. Значит, cosα = hello_html_56431d5d.gif

Зная cosα и tgα , можно найти sinα. Из формулы tgα = hello_html_358b7cab.gif получаем:

sinα = tgα· cosα =2·hello_html_56431d5d.gif= hello_html_68f8a8b1.gif

Для отыскания котангенса угла α удобно воспользоваться формулой tgα·ctgα = 1. Имеем: hello_html_m1bccf86d.gif



Выполните самостоятельно:

  1. Упростите выражение: а) sin2 α -1; б) cos2x + (1 - sin2α); в) hello_html_22602b96.gif;

г) tgα·ctgα + ctg2 α; д) (tg2x + 1)( 1-cos2α); е)7сos2 α + 7sin2 α – 5; ж) сos4 α + sin2 α· сos2 α

  1. Вычислите: а) сosα, если sinα = 0,6, 900 <α<1800 ;

б) sinα и tgα, если cosα = 0,8, hello_html_m7e61662f.gif;

в) tgα = 7. Найти сtgα, cosα.

































К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов выбранный номер правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.

Время теста: 90 мин.

Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов; «3» - 5,6 прав. ответов;

«4» - 7-9 прав. ответов; «2» - 4 и менее прав. отв.





Конспект№3





«Формулы приведения».

Формулы приведения позволяют вычислять значения тригонометрических функций hello_html_m7f11b4fc.gif произвольного аргумента через значения тригонометрических функций острого угла. Рассмотрим это утверждение подробно для функций hello_html_m7be833c9.gif.

Если аргумент hello_html_m14cc10fb.gif больше hello_html_m2277cedd.gif, то разделив hello_html_m14cc10fb.gif на hello_html_m2277cedd.gif, получим hello_html_121280db.gif, где hello_html_m3cdbd3b7.gif и hello_html_575e316d.gif. Далее, используя периодичность функций hello_html_7ab05374.gifполучаем hello_html_m70043211.gif; hello_html_m32690826.gif.Если hello_html_7f3cf706.gif, то утверждение доказано. Пусть hello_html_496b9f36.gif. Покажем, что и в этом случае вычисление hello_html_m405949f3.gif можно свести к значениям данных функций для угла hello_html_m3c16ac3e.gif, при этом значения hello_html_4e5fa983.gif, равные hello_html_69fc88a.gif и hello_html_m3b97b55d.gif не рассматриваем. Действительно, любой угол hello_html_33f8b672.gif можно представить в зависимости от величины hello_html_4e5fa983.gif в виде hello_html_m1aff0a19.gif, hello_html_1164c74a.gif, hello_html_m5ac44309.gif, hello_html_1d5b7adc.gif, где hello_html_m3c16ac3e.gif.

Значения синусов и косинусов таких углов вычисляются по формулам суммы и разности аргументов.

hello_html_m25548d7f.gif, hello_html_m2d054d85.gif,

hello_html_547a444a.gif, hello_html_m547ca6d6.gif,

hello_html_5bc0283b.gif, hello_html_m7bf9e3c3.gif,

hello_html_m912e104.gif, hello_html_m17b8651e.gif,

hello_html_m25b8cc59.gif, hello_html_m2d6ffb1e.gif,

hello_html_m1557acab.gif, hello_html_43f79ad0.gif,

hello_html_e6e076c.gif, hello_html_m798c7c44.gif.

Данные формулы называются формулами приведения для синуса и косинуса. Докажем некоторые из них:

hello_html_527a4bf1.gif,hello_html_m14c17877.gif,

hello_html_m7588b784.gif, и т.д.

Аналогичные рассуждения можно провести для тангенса и котангенса. Если аргумент hello_html_m14cc10fb.gif больше hello_html_69fc88a.gif, то, используя их периодичность, можем записать: hello_html_m3d63e691.gif, hello_html_3de16e95.gif, где hello_html_m67c31c9e.gif.Для перехода к аргументу hello_html_m3c16ac3e.gif воспользуемся формулами приведения для синуса и косинуса: hello_html_m4471783a.gif.

Аналогично доказываются следующие формулы приведения для тангенса и котангенса:hello_html_6a706ee3.gif, hello_html_3538fddf.gif, hello_html_4a428967.gif.

Для запоминания формул приведения удобно использовать следующее правило.

1) При переходе через углы hello_html_38f372b6.gif наименование тригонометрической функции меняется на кофункцию (hello_html_m56ee2b8f.gif на hello_html_mf7f9cb5.gif, hello_html_mf7f9cb5.gif на hello_html_m7446cf68.gif, hello_html_494f5580.gif на hello_html_m654d2b25.gif, hello_html_m654d2b25.gif на hello_html_494f5580.gif). При переходе через углы hello_html_69fc88a.gif и hello_html_m2277cedd.gif наименование функции сохраняется.

2) Знак перед приведенной функцией определяется знаком приводимой функции, в зависимости от четверти, к которой принадлежит ее аргумент.

Например: hello_html_m25548d7f.gif.

Наименование функции меняем на кофункцию, так как аргумент содержит слагаемое hello_html_m3cd5efb0.gif. Знак перед приведенной функцией «+», поскольку hello_html_14b03761.gif, а во второй четверти hello_html_m4e89b97f.gif.

Другие примеры: 1. hello_html_m547ca6d6.gif

Наименование функции не меняем на кофункцию, так как аргумент содержит слагаемое hello_html_47d0e225.gif. Знак перед приведенной функцией «-», поскольку hello_html_m601ac9b9.gif, а в третьей четверти cosx<0

2. hello_html_1ac49d35.gif вынесем за скобки «минус». Т.е. поменяем знак у каждого слагаемого, т.е. поменяем местами слагаемые, чтобы получить формулу приведения hello_html_m1c002b75.gif, т.к. функция синус нечетная, то знак минус вынесем за скобки

hello_html_m1c002b75.gif= - hello_html_720747a8.gif = - sinα

3.cos(α-π) = cos(-(π - α) функция косинус четная, а значит знак минус можно просто опустить

cos(α-π) = cos(-(π - α) = cos(π - α) = - cosα

4.Иногда удобно использовать таблицы формул приведения. Найдем, hello_html_720747a8.gif используя таблицу. Смотрим столбик и находим sinx , а в строчке находим hello_html_m7e63ef84.gif. На пересечении столбца и строчки найдем значение выражения cosx. Окончательно имеем: hello_html_720747a8.gif = cosx.

ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ

х

π + α

π - α

2π + α

2π - α

sin x

- sin x

sin x

sin x

- sin x

cos x

- cos x

- cos x

cos x

cos x

tg x

tg x

- tg x

tg x

- tg x

ctg x

ctg x

- ctg x

ctg x

- ctg x



х

hello_html_74902769.gif

hello_html_59e2a1f1.gif

hello_html_m4cbc0f84.gif

hello_html_3f399c81.gif

sin x

cos x

cos x

- cos x

- cos x

cos x

- sin x

sin x

sin x

- sin x

tg x

- ctg x

ctg x

- ctg x

ctg x

ctg x

- tg x

tg x

- tg x

tg x

Выполните самостоятельно:

Приведите к тригонометрической функции угла α

hello_html_665a7da2.gifhello_html_176aa900.gif;

hello_html_287f4887.gif;

hello_html_637b39f.gif;

Найдем значение выражения cos1200

Решение:

Мы представили 1200 как разность 1800 и 600. Учитывая, что для углов 1800 наименование функции сохраняется, получим туже функцию cos. Угол 1800 - 600 является углом второй четверти, где функция косинус имеет знак минус. Окончательно имеем: cos1200 = cos(1800 – 600) = - cos600 = -0,5

Найдем значение выражения: coshello_html_m1bf5a95f.gif

Решение: из дроби hello_html_m1bf5a95f.gifвыделим целую часть, для этого разделим 8 на 3. Целых 2 и остаток 8-2·3 = 8-6 = 2, т.е. hello_html_m1bf5a95f.gif= hello_html_m2a87f62c.gif

cos (hello_html_m2a87f62c.gif)наименование функции не меняем на кофункцию, так как аргумент содержит слагаемое 2hello_html_47d0e225.gif. Знак перед приведенной функцией «+», поскольку hello_html_m4b282ede.gif, а в первой четверти cosx>0

cos (hello_html_m2a87f62c.gif)= cos hello_html_18677719.gifприведем угол hello_html_18677719.gifк углу первой четверти, т.е. hello_html_18677719.gif= π-hello_html_c1c5cfc.gif, тогда cos (hello_html_m2a87f62c.gif)= cos hello_html_18677719.gif= cos(π-hello_html_c1c5cfc.gif) наименование функции не меняем на кофункцию, так как аргумент содержит слагаемое hello_html_47d0e225.gif. Знак перед приведенной функцией «-», поскольку hello_html_34248161.gif, а во второй четверти cosx<0. Окончательно имеем:

cos (hello_html_m2a87f62c.gif)= cos hello_html_18677719.gif= cos(π-hello_html_c1c5cfc.gif) = - coshello_html_c1c5cfc.gif= - 0,5

Проверь себя!

  1. Упростить выражение:

а)sin(900α) + cos(1800 + α) + tg(2700+α) + ctg(3600 +α) (ответ: 0)

б) sin(π/2+α) - cos(α-π) + tg(π - α) + ctg(5π/2 - α) ( ответ: 2cosα)

2. Найдите значение выражения: а) sin 2400; б) cos (-2100); в) tg3000

Ответ. а) -hello_html_17f29ea0.gif; б) -hello_html_17f29ea0.gif; в) - hello_html_2f275946.gif







К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.

Время теста: 90 мин.

Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов; «3» - 5,6 прав. ответов;

«4» - 7-9 прав. ответов; «2» - 4 и менее прав. отв.





Контрольная работа №1





По теме «Тригонометрические функции»

Цель: проверка знаний и практических умений студентов

  1. Дано: cosα = 0,6, 1,5 π<α<2π. Вычислить а) sinα б)tg(π/2 +α)

  2. Докажите равенство: hello_html_5f4f6c18.gif

  3. Найдите наименьшее и наибольшее значения выражения 6 sinα

  4. Переведите из градусной меры в радианную: а)1500 б)2700

  5. Переведите из радианной меры в градусную: а)hello_html_m7f4b1702.gif

  6. Упростите выражение: (1 – sin2 α): (1- cos2 α)

Внимание!

Если вы выполнили предложенную вам работу, я предлагаю вам проверить правильность ее выполнения:

1 Решение: а) sinα = -hello_html_m378ec377.gifТ.к cosα = 0,6, 1,5 π<α<2π,

б) tg(π/2 +α) = - ctgα = - hello_html_7bb18829.gif

2 Решение: hello_html_53e1b46a.gif

3 Решение: 6 sinα , т.к. -1 ≤ sinα ≤ 1, то . -6 ≤ 6 sinα ≤ 6. Значит наименьшее значение функции равно -6, а наибольшее значение функции равно 6.

4 Решение: а)1500 = hello_html_m40bd79c1.gif б)2700 = hello_html_m52c1a3c.gif

5 Решение: а)hello_html_9b87c8.gif

6 Решение: (1 – sin2 α): (1- cos2 α) = cos2x : sin2x = ctg2x

Надеюсь, что вы не нашли ошибочных решений у себя или их было очень мало!



К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов выбранный номер правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.

Время теста: 90 мин.

Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов; «3» - 5,6 прав. ответов;

«4» - 7-9 прав. ответов; «2» - 4 и менее прав. отв.



Обобщающее повторение по зачетному разделу №1







Теоретическая разминка

(ответь сам или найди ответ с помощью материалов предыдущих занятий)

1. Для каких значений угла hello_html_77e8fedb.gif имеет смысл выражения:

hello_html_7bdbf9b0.gifhello_html_m581fd217.gif

2. Какие знаки имеет синус, косинус, тангенс и котангенс в каждой из координатных четвертей?

3. а) Чему равен hello_html_m2c8ebcc5.gif;

б) Чему равен hello_html_m79724287.gif

4. а) Выразите в радианах hello_html_m4a44b2fc.gif

б) Выразите в радианах hello_html_m4107f3ab.gif

5. а) Назовите формулу, выражающую связь между синусом и

косинусом одного и того же угла.

б) Чему равно выражение hello_html_m6ec251d3.gif

6. а) Как выражается тангенс угла через косинус того же угла?

б) Как выражается котангенс угла через синус того же угла?

7. а) Назовите формулы приведения для первой, второй, третьей и четвертой четвертей.


  • Найдите ошибку:

hello_html_m44e1ab72.gif

Подумай и реши:

1. Упростите выражение:

hello_html_15fd166a.gif

2. Вычислите hello_html_m51740b46.gif и hello_html_m3cf40551.gif, если hello_html_aebec7e.gif



3. Упростите выражение: hello_html_m65225bd0.gif























К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов выбранный номер правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.

Время теста: 90 мин.

Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов; «3» - 5,6 прав. ответов;

«4» - 7-9 прав. ответов; «2» - 4 и менее прав. отв.



Зачет №1 по теме: «Тригонометрические функции »



Рассмотрите внимательно предполагаемый вариант зачета №1 и попробуйте свои силы. Желаю удачи!

Запишите coshello_html_7f252e9a.gif с помощью наименьшего положительного числа:

а) sin hello_html_m11148a47.gifhello_html_m18677dbe.gif; б) sin hello_html_6733a59c.gif; в) coshello_html_6733a59c.gif; г) cos hello_html_m11148a47.gifhello_html_m18677dbe.gif;

2. Сравните с нулем выражения и выберите правильную серию ответов:

sinhello_html_40c8fe67.gif; cos5 и tg1,6hello_html_3d8973e2.gif.

а) - - + б) + + -; в) - + - ; г) - + +.

3. Найдите значение выражения:

5 sin2hello_html_m59daef72.gif - 3 cos2hello_html_e56f399.gif + tghello_html_3d8973e2.gif

а) 2,5 б)1,25; в) 1,75; г) 1,5.

4.Упростите выражение:

hello_html_4f3f8d6.gif

а) соshello_html_32aaac17.gif; б) -sin2hello_html_32aaac17.gif; в) sin2hello_html_32aaac17.gif; г) соs2hello_html_32aaac17.gif;

5.Дано: соshello_html_32aaac17.gif = -hello_html_m78c2279f.gif и hello_html_1f7743ad.gif <hello_html_m6ad3215.gif

Найти: sinhello_html_fca05c4.gif

а) - hello_html_m6d275929.gif; б) hello_html_m1958a52c.gif; в) hello_html_5190dfa3.gif ;г) -hello_html_74df95b6.gif

6. Упростите выражение:

hello_html_m73983e1d.gif

а) 2tg2hello_html_32aaac17.gif; б) -2сtg2hello_html_32aaac17.gif; в) 2сtg2hello_html_32aaac17.gif; г) -2tg2hello_html_32aaac17.gif;

8. Найдите значение выражения: hello_html_14d5042a.gif, если tghello_html_32aaac17.gif= -2 а) -hello_html_9684b9d.gif; б) -3; в) hello_html_m4055b2b8.gif; г) -5.

К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов выбранный номер правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.

Время теста: 90 мин.

Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов; «3» - 5,6 прав. ответов;

«4» - 7-9 прав. ответов; «2» - 4 и менее прав. отв.



Зачётный раздел №2

Конспект № 4



«Тригонометрические уравнения»

Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшие тригонометрические уравнения решаются по формулам:

hello_html_m128099a8.gif

x=hello_html_m81d42a3.gifarcsin+ (||≤1), hello_html_1725acdb.gif

hello_html_m314395aa.gif

x=±arccos+2n (||≤1), nhello_html_1725acdb.gif

tgx=

x=arctg+m, mhello_html_1725acdb.gif

ctgx=

x=arcctg+m, mhello_html_1725acdb.gif



При решении частных случаев уравнений удобно использовать более простые формулы:

sinx=-1

x= - hello_html_4a7c6de3.gif+2, hello_html_1725acdb.gif

sinx=0

x=, hello_html_1725acdb.gif

sinx=1

x= hello_html_4a7c6de3.gif+2, hello_html_1725acdb.gif



cosx=-1

x=+2n, nhello_html_1725acdb.gif

cosx=0

x= hello_html_4a7c6de3.gif+n, nhello_html_1725acdb.gif

cosx=1

x=2n, nhello_html_1725acdb.gif



Пример:

hello_html_m5790ca71.gif) = 2

Решение:

hello_html_m78a4719e.gif)=hello_html_m34a5a4be.gif

2х- hello_html_2f060c37.gif=hello_html_m81d42a3.gifarcsinhello_html_m34a5a4be.gif+, hello_html_1725acdb.gif

2х= hello_html_2f060c37.gif+hello_html_m81d42a3.gifarcsinhello_html_m34a5a4be.gif+, hello_html_1725acdb.gif

х=hello_html_m15fcc482.gifarcsinhello_html_m34a5a4be.gif+hello_html_4a7c6de3.gif, hello_html_1725acdb.gif

Ответ: hello_html_m15fcc482.gifarcsinhello_html_m34a5a4be.gif+hello_html_4a7c6de3.gif, hello_html_1725acdb.gif



Некоторые способы решения тригонометрических уравнений

1. Введение новой переменной

  • Приводимые к квадратным

  • Однородные

  • Симметричные

  • Универсальная подстановка

2. Разложение на множители

  • Вынесение общего множителя за скобки

  • Применение формул сокращенного умножения

  • Применение тригонометрических тождеств

3. Понижение степени уравнения

4. Метод вспомогательного аргумента

5. Метод оценки левой и правой частей уравнения

6. Графический способ

7. Метод сравнения аргументов одноименных функций

1. ВВЕДЕНИЕ НОВОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Однородные уравнения

1) hello_html_m10979b20.gif-2hello_html_184f0207.gif=3hello_html_5a3e546c.gif;

hello_html_48dd09cf.gif+hello_html_184f0207.gif-hello_html_5a3e546c.gif=2;

3) hello_html_m10979b20.gif-hello_html_m5a85c9b7.gif=2-2hello_html_477b657d.gif;

4) 2hello_html_m10979b20.gif+hello_html_5a3e546c.gif+3hello_html_184f0207.gif=3

Пример:

2hello_html_m10979b20.gif+hello_html_5a3e546c.gif+3hello_html_184f0207.gif=3

Решение:

2hello_html_m10979b20.gif+hello_html_5a3e546c.gif+3hello_html_184f0207.gif=3hello_html_m10979b20.gif+3hello_html_5a3e546c.gif

hello_html_m10979b20.gif+hello_html_m301ed7b2.gif-3hello_html_184f0207.gif=0 | :hello_html_21038e39.gif0

Действительно, если hello_html_m22a1186d.gif=0, то из данного уравнения следует, что hello_html_c7f0377.gif=0, однако, hello_html_m10979b20.gif+hello_html_5a3e546c.gif=1, следовательно, hello_html_m71070d7a.gif

tg²x – 3tgx + 2 = 0

Замена: tgx=у

у²-3у+2=0

у= 1; уhello_html_53a07d40.gif


Выполним обратную замену:

tgx=1 или tgx=2

x=hello_html_m31efd0a6.gif+, Z x=arctg2+n, n Z


Ответ: hello_html_m31efd0a6.gif+, Z; arctg2+n, n Z

Введение новой переменной. Симметричные уравнения

Уравнения, которые при замене hello_html_c7f0377.gifна hello_html_m22a1186d.gif и наоборот не изменяются, являются симметричными. Такие уравнения решаются с помощью замены:

у=hello_html_m17463d76.gif

у²=1+2hello_html_184f0207.gif

hello_html_184f0207.gif=hello_html_3e642447.gif hello_html_2a1d7697.gif hello_html_10aaac8a.gif=у²-1


1)hello_html_39f1b7ec.gif(hello_html_m779f5f66.gif)=4hello_html_184f0207.gif;

2) hello_html_c7f0377.gif+hello_html_m22a1186d.gif+hello_html_184f0207.gif=1;

3) hello_html_c7f0377.gif-2hello_html_561a6783.gif+hello_html_m22a1186d.gif=0;

4) hello_html_m779f5f66.gif=1+hello_html_10aaac8a.gif;

Пример:

hello_html_39f1b7ec.gif(hello_html_m779f5f66.gif)=4hello_html_184f0207.gif

Решение:

Пусть у=hello_html_m17463d76.gif, тогда hello_html_184f0207.gif=hello_html_3e642447.gif hello_html_11852162.gif

hello_html_39f1b7ec.gifу=2(у²-1)

hello_html_39f1b7ec.gifу-2у²+2=0

у=hello_html_39f1b7ec.gif, у=-hello_html_73ca8c00.gif

Таким образом, решение исходного уравнения сводится к решению двух тригонометрических уравнений:

hello_html_m779f5f66.gif=hello_html_39f1b7ec.gif, hello_html_m779f5f66.gif=hello_html_7499bbcf.gif

hello_html_m7bcdf25b.gif+hello_html_2497da7f.gif=1 hello_html_m7bcdf25b.gif+hello_html_2497da7f.gif=- hello_html_6eec8aff.gif

hello_html_52a4a397.gif)=1hello_html_52a4a397.gif)=- hello_html_6eec8aff.gif

х=hello_html_m31efd0a6.gif+2n, nZ х=hello_html_m7616b68d.gif-hello_html_m31efd0a6.gif+, Z

Ответ:hello_html_m31efd0a6.gif+2n, nZ; hello_html_m7616b68d.gif-hello_html_m31efd0a6.gif+, Z.



Метод универсальной тригонометрической подстановки

Формулы универсальной тригонометрической подстановки:

sinhello_html_78cbd1c8.gif ; hello_html_m1e30d1f7.gif ; tghello_html_m7182e0b0.gif ; ctgx =hello_html_26d737f2.gif



1) 2hello_html_m3d1b64da.gif+2tg²x = 5;

2) hello_html_39b6f98e.gif+ ctghello_html_m418f76f4.gif= 2;

3) ctg(hello_html_m31efd0a6.gif - x)=5tg2x + 7;

4) (hello_html_m15874ddc.gif) + 2=0;

Пример:

2hello_html_m3d1b64da.gif+2tg²x = 5

Решение:

Подстановка: hello_html_m2b768531.gif=hello_html_m3ab29abf.gif

2*hello_html_m3ab29abf.gif +2tg²x = 5

Замена: tg²x= , ≥0

hello_html_34661676.gif+ 2 = 5

=3; = -hello_html_6eec8aff.gif - не подходит, т.к. ≥0

Выполним обратную замену:

tg²x=3;

tgx=hello_html_5909bbae.gif , x=hello_html_2f060c37.gif + n, nhello_html_1725acdb.gif,

tgx=-hello_html_5909bbae.gif ; x=- hello_html_2f060c37.gif + , hello_html_5d3056d0.gif.

Ответ: ±hello_html_2f060c37.gif + m, mhello_html_1725acdb.gif

Разложение на множители

1) hello_html_m57cd1b7a.gif+hello_html_10aaac8a.gif=0;

2) hello_html_m793e7b36.gif

3) hello_html_4dce141.gif(1+ctgx)+hello_html_m64586f75.gif(1+tgx)=hello_html_m2b768531.gif;

4) hello_html_6827edbd.gif;



Пример:

hello_html_c7f0377.gif+hello_html_10aaac8a.gif+hello_html_b2aae17.gif=0

Решение:

hello_html_587dccd1.gif+hello_html_5ce3fe20.gif+hello_html_10aaac8a.gif=0

2hello_html_m1c335811.gif+hello_html_10aaac8a.gif=0

hello_html_10aaac8a.gif(2hello_html_m22a1186d.gif+1)=0

hello_html_10aaac8a.gif=0 или 2hello_html_m22a1186d.gif+1=0

2х=n, nZ hello_html_m22a1186d.gif=-hello_html_6eec8aff.gif

х=hello_html_4a7c6de3.gifn, nhello_html_1725acdb.gif х=arccos(- hello_html_6e23117e.gif+2, Z

х=hello_html_m61472d10.gif+2, hello_html_1725acdb.gif


Ответ: hello_html_4a7c6de3.gifn, nhello_html_1725acdb.gif; hello_html_m61472d10.gif+2, hello_html_1725acdb.gif

Понижение степени



Если показатели степеней синусов и косинусов, входящих в уравнение, четные, то понижение степени производится по формулам половинного аргумента.



1) hello_html_b2aae17.gif+hello_html_m188a5de9.gif=2hello_html_53277b75.gif - 2hello_html_m3c9052db.gif;

2) hello_html_b95bd48.gif+hello_html_m3c9052db.gif+hello_html_m2cf48410.gif+hello_html_m40457472.gif= 2;

3)hello_html_m10979b20.gif+hello_html_m40457472.gif=1;

4) hello_html_16c1ab9a.gif+hello_html_m7db328df.gif= hello_html_m4aae006e.gif;

Пример:

hello_html_m7bdf8357.gif+ hello_html_m2ca2b99a.gif = hello_html_m74d6ea9d.gif

Решение:

hello_html_49578850.gif+hello_html_7ee9738c.gif =hello_html_m74d6ea9d.gif

Замена: hello_html_m2b768531.gif=t

hello_html_23fc9e5e.gif+hello_html_m6c096a4f.gif=hello_html_m282bbf1f.gif

2+20t²+10t=58t

24t-10t²-1=0

Пусть t²=y, где y≥0, тогда

24y²-10y-1=0

y=hello_html_6eec8aff.gif

y= - -hello_html_m1bcf515d.gif ; y‹0,

Тогда t²=hello_html_6eec8aff.gif , t=hello_html_m41f3a28f.gif , t=hello_html_38b2f35d.gif

Выполним обратную замену:

hello_html_m2b768531.gif=hello_html_m41f3a28f.gif , х=±hello_html_1db9ac69.gif+n, nhello_html_1725acdb.gif

hello_html_m2b768531.gif=hello_html_38b2f35d.gif , х=±hello_html_m668377ec.gif+n, nhello_html_1725acdb.gif

Ответ: hello_html_1db9ac69.gif + hello_html_60712508.gif, hello_html_1725acdb.gif













































К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов выбранный номер правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.

Время теста: 90 мин.

Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов; «3» - 5,6 прав. ответов;

«4» - 7-9 прав. ответов; «2» - 4 и менее прав. отв.





Контрольная работа № 2





по теме «Тригонометрические уравнения»

Цель: проверка знаний и практических умений студентов

1 вариант

А1. arccos a имеет смысл, если:

а) аhello_html_10f296dd.gif[0;hello_html_m41628872.gif]; б) аhello_html_10f296dd.gif[-1;1]; в) аhello_html_10f296dd.gif[-hello_html_3689c29a.gif;hello_html_3689c29a.gif]; г) аhello_html_10f296dd.gif(-1;1).

А2. Решением уравнения cos х = 0 являются:

а) х =hello_html_3689c29a.gif+2hello_html_m41628872.gifn, nhello_html_10f296dd.gifZ; б) x =hello_html_m41628872.gifn, nhello_html_10f296dd.gifZ; в) x =hello_html_3689c29a.gif+hello_html_m41628872.gifn, nhello_html_10f296dd.gifZ; г) x =hello_html_m41628872.gif+2hello_html_m41628872.gifn, nhello_html_10f296dd.gifZ.

А3. Вычислите: arcsin 0 + arctg hello_html_f838b44.gif

а)0,5; б) 1; в)hello_html_m5d1e3167.gif; г)hello_html_2c97ca0a.gif.

А 4. Уравнение 2tg х = -3:

а) имеет одно решение; б) не имеет решения; в) имеет два решения;

г) имеет бесконечное множество решений.

А5. Уравнение sin х =hello_html_749f3b7b.gif имеет решения:

а) x =(-1)nhello_html_3a1b334f.gif+2hello_html_m41628872.gifn, nhello_html_10f296dd.gifZ; б) x =(-1)nhello_html_m33b3e25f.gif+2hello_html_m41628872.gifn, nhello_html_10f296dd.gifZ; в) x =(-1)n hello_html_m33b3e25f.gif+hello_html_m41628872.gifn, nhello_html_10f296dd.gifZ;

г) x =(-1)nhello_html_m190063f.gif+hello_html_m41628872.gifn, nhello_html_10f296dd.gifZ.

В. Решите уравнения:

а) cos (hello_html_213ddc03.gif) = hello_html_m6d9b05be.gif; б) sin2 x – 3 cos x – 3 = 0; в) 1 + sin x = 0.




2 вариант

А1. arcsin a имеет смысл, если:

а) аhello_html_10f296dd.gif[0;hello_html_m41628872.gif]; б) аhello_html_10f296dd.gif[-1;1]; в) аhello_html_10f296dd.gif[-hello_html_3689c29a.gif;hello_html_3689c29a.gif]; г) аhello_html_10f296dd.gif(-1;1).

А2. Решением уравнения cos х = - 1 являются:

а) х =hello_html_3689c29a.gif+2hello_html_m41628872.gifn, nhello_html_10f296dd.gifZ; б) x =hello_html_m41628872.gifn, nhello_html_10f296dd.gifZ; в) x =hello_html_3689c29a.gif+hello_html_m41628872.gifn, nhello_html_10f296dd.gifZ; г) x =hello_html_m41628872.gif+2hello_html_m41628872.gifn, nhello_html_10f296dd.gifZ.

А3. Вычислите: arcos 0 + arctg 1

а)0,5; б) 1; в)hello_html_m5d1e3167.gif; г)hello_html_7696778f.gif.

А 4. Уравнение ctg х - 4 = 0:

а) имеет одно решение; б) не имеет решения; в) имеет два решения;

г) имеет бесконечное множество решений.

А5. Уравнение sin x =hello_html_m5e2dacd5.gif имеет решения:

а) x =(-1)nhello_html_3a1b334f.gif+2hello_html_m41628872.gifn, nhello_html_10f296dd.gifZ; б) x =(-1)nhello_html_m33b3e25f.gif+2hello_html_m41628872.gifn, nhello_html_10f296dd.gifZ; в) x =(-1)n hello_html_m33b3e25f.gif+hello_html_m41628872.gifn, nhello_html_10f296dd.gifZ;

г) x =(-1)nhello_html_m190063f.gif+hello_html_m41628872.gifn, nhello_html_10f296dd.gifZ.

В. Решите уравнения:

а) sin (hello_html_m122252e2.gif) = hello_html_183a0696.gif; б) cos2 x – 4 sin x – 1 = 0; в) 1 + sin x = 0.

Критерии оценки контрольной работы


Задания

Баллы

Примечание

А1 – А5

5

Каждый правильный ответ 1 балл

В

6

Каждый правильный ответ 2 балла


Максимальный балл за работу – 11 баллов

Шкала перевода баллов в отметки


Отметка

Число баллов, необходимое для получения отметки

« 5» (отлично)

10-11

« 4» (хорошо)

9-10

« 3» (удовлетворительно)

6-8

« 2 « (неудовлетворительно)

менее 5









Ответы к контрольной работе



1 Вариант

2 Вариант

А1

б)

б)

А2

в)

г)

А3

в)

г)

А4

г)

г)

А5

в)

в)

В

а) x =hello_html_31cdee99.gifhello_html_m33b3e25f.gif+hello_html_me437e14.gif + 4πn, nhello_html_10f296dd.gifZ;

б) х = π + 2πn, nhello_html_10f296dd.gifZ; в) x =hello_html_m10ecf092.gif+ 2πn, nhello_html_10f296dd.gifZ.

а) x =( - 1)nhello_html_m33b3e25f.gif - hello_html_41d6d1b9.gif + 2πn, nhello_html_10f296dd.gifZ;

б) х = 0 + πn,nhello_html_10f296dd.gifZ; в) x =hello_html_m10ecf092.gif+ 2πn, nhello_html_10f296dd.gifZ

































К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов выбранный номер правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.

Время теста: 90 мин.

Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов; «3» - 5,6 прав. ответов;

«4» - 7-9 прав. ответов; «2» - 4 и менее прав. отв.





Обобщающее занятие по зачётному разделу №2

Теоретическая разминка

(ответь сам или найди ответ с помощью материалов предыдущих занятий)

Теоретическая часть:

  1. Определение арккосинуса числа а.

  2. Решение уравнения вида cos t = a (показать на окружности).

  3. Арккосинус отрицательного числа (показать на окружности).

  4. Определение арксинуса числа а.

  5. Решение уравнения вида sin t = a (показать на окружности).

  6. Арксинус отрицательного числа (показать на окружности).

  7. Определение арктангенса числа а.

  8. Решение уравнения вида tg t = a (показать на окружности).

  9. Арктангенс отрицательного числа (показать на окружности).

  10. Определение арккотангенса числа а.

  11. Решение уравнения вида ctg t = a (показать на окружности).

  12. Арккотангенс отрицательного числа (показать на окружности).

  13. Однородные тригонометрические уравнения первой степени.

  14. Однородные тригонометрические уравнения второй степени.

Практическая часть:

  1. Вычислить:

а) hello_html_m1ebfcd17.gif б) hello_html_4c54c67c.gif

в) hello_html_m2cfbede9.gif г) hello_html_602b7226.gif

  1. Решить уравнения:

а) hello_html_85378b3.gif б) hello_html_m3f4dabd2.gif

в) hello_html_m414887e7.gif г) hello_html_m960a5db.gif

д) hello_html_m97cf77b.gif е) hello_html_m716276be.gif

  1. Решить неравенства:

а) hello_html_53123c64.gif б) hello_html_23c27522.gif

в) hello_html_m26bae5d9.gif г) hello_html_m7a7f5e67.gif

д) hello_html_m1a435535.gif е) hello_html_3d472ce7.gif













































К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов выбранный номер правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.

Время теста: 90 мин.

Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов; «3» - 5,6 прав. ответов;

«4» - 7-9 прав. ответов; «2» - 4 и менее прав. отв.





Зачет №2 по теме: «Тригонометрические уравнения»







Рассмотрите внимательно предполагаемый вариант зачета №2 и попробуйте свои силы. Желаю удачи!

Проверяемые элементы содержания и виды деятельности:

умение решать простейшие тригонометрические уравнения.

1. Решите уравнение hello_html_m24ed073a.gif.

1) hello_html_m8ae992.gif 2) hello_html_4ddc212e.gif 3) hello_html_12b05684.gif 4) hello_html_mda9a948.gif

2. Решите уравнение cos2x = 0.

1) hello_html_m1fb6d81a.gif; 2) hello_html_m29639876.gif; 3) hello_html_m1f30b925.gif; 4) hello_html_m6cc00365.gif.

3. Решите уравнение ctg2 x = 3.

1) hello_html_36673a7f.gif 2) hello_html_m6cc90cf9.gif 3) hello_html_3094b6ff.gif 4) hello_html_379444ea.gif

4. Решите уравнение -3sinx = 0.

1) πm, mhello_html_2225d9b7.gifZ; 2) 2 πm, mhello_html_2225d9b7.gifZ; 3) hello_html_3799d081.gif, mhello_html_2225d9b7.gifZ; 4) hello_html_391581b9.gif, mhello_html_2225d9b7.gifZ.

5. Решите уравнение hello_html_1748ca24.gif.

1) hello_html_m396177af.gif 2) hello_html_78dafb81.gif 3) hello_html_m406477f1.gif 4) hello_html_m18ab8344.gif

6. Решите уравнение hello_html_m5e181721.gif.

1) х=π+pk, Z; 2) х=hello_html_m7260992d.gif+pk, Z; 3) х=2pk, Z; 4) х=π+2pk, Z.

7. Решите уравнение hello_html_62133288.gif.

1) x=π+2πk, Z; 2) x=-πk, Z; 3) x= -hello_html_m7260992d.gif+πk, Z; 4) x=2πk, Z.

8. Решите уравнение sinxsin2 x = cos2х.

1) х=hello_html_m7260992d.gif+2pk, Z; 2) х=2pk, Z; 3) х=pk, Z; 4) х=hello_html_m7260992d.gif+pk, Z.

9. Найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения hello_html_3f7bcbaa.gif .

1) hello_html_1864231f.gif 2) 0 3) hello_html_m7260992d.gif 4) hello_html_m1048febd.gif

10. Найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения hello_html_m351b0f88.gif.

1) hello_html_m159579d6.gif 2) hello_html_m7260992d.gif 3) hello_html_438bd3f4.gif 4) hello_html_c24b44e.gif



11.Решите уравнение hello_html_6a82909c.gif.

1) hello_html_33b15f9a.gif 2) hello_html_m2f9f21ca.gif 3) hello_html_79bfae02.gif 4) hello_html_m70043010.gif

12. Решите уравнение hello_html_3d1cf6e9.gif.

1) hello_html_m39a7296d.gif 2) hello_html_d78d729.gif 3) hello_html_m4f0b9d6e.gif 4) hello_html_7a12914a.gif



13.Решите уравнение hello_html_m529f7bfa.gif

1) х= π+2pk, Z; 2) х=hello_html_m7260992d.gif+pk, Z; 3) х=pk, Z; 4) х=hello_html_m1048febd.gif+pk, Z.

14. Решите уравнение sinx - hello_html_m5455e2f2.gifcosx = 0.

1) hello_html_2bb21b55.gif+pk, Z; 2) ±hello_html_2bb21b55.gif+2pk, Z; 3) hello_html_438bd3f4.gif+pk, Z; 4) -hello_html_2bb21b55.gif+pk, Z.



15. Решите уравнение hello_html_m54fec355.gif.

1) hello_html_23a95ef6.gif; 2) hello_html_m10865b49.gif; 3) hello_html_21f04865.gif; 4) hello_html_34bb7771.gif.

16. Решите уравнение hello_html_5f0f997b.gif.

1) hello_html_5f9a55d6.gif; 2) hello_html_m27a338fe.gif; 3) hello_html_m7a0ffa5b.gif; 4) hello_html_m46c3b33.gif.

17. Решите уравнение hello_html_18862a55.gif.

hello_html_m782899dc.gif

18. Решите уравнение hello_html_4cb16a14.gif.

hello_html_m723fc0f2.gif

19. Решите уравнение hello_html_b655e10.gif.

hello_html_7ed32895.gif

20. Решите уравнение hello_html_329f00d4.gif.

hello_html_m362b3446.gif

21. Решите уравнение hello_html_f7b47bc.gif.

hello_html_4976bed1.gif

22. Решите уравнение hello_html_m4295a2b9.gif.

hello_html_5299fdd4.gif

23. Решите уравнение hello_html_7eb70261.gif.

hello_html_m3bbdf2d1.gif

24. Решите уравнение hello_html_1e34f35b.gif.

hello_html_7547156d.gif

Ответы:



вопроса

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Ответ

3

1

1

1

3

4

2

1

2

1

3

4

2

1

2

1





вопроса

17

18

19

20

21

22

23

24

Ответ

1

2

2

1

1

3

2

2















К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов выбранный номер правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.

Время теста: 90 мин.

Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов; «3» - 5,6 прав. ответов;

«4» - 7-9 прав. ответов; «2» - 4 и менее прав. отв.





Зачётный раздел №3

Конспект № 5



«Преобразование тригонометрических выражений»

Косинус суммы и разности двух аргументов

Для любых двух углов hello_html_7bffe59a.gif и hello_html_540e185c.gif справедливо тождество

hello_html_m25bf893b.gif.

Доказательство. На единичной окружности возьмем точки hello_html_m1def81ac.gif, hello_html_31e06c32.gif и hello_html_m2534d83e.gif, соответствующие углам hello_html_7bffe59a.gif, hello_html_m63517a9d.gif, hello_html_m3ca0ef2d.gif и hello_html_4bb1774e.gif.

Найдем координаты данных точек пользуясь определениями синуса и косинуса:

hello_html_1d7b0cac.gif, hello_html_m75079c9e.gif

hello_html_m7921771d.gif, hello_html_m3de3a100.gif.

Очевидно, что отрезки hello_html_42d0ba5b.gif и hello_html_m7fb77e43.gif равны как хорды, стягивающие равные дуги. Выразим длины этих отрезков через координаты точек hello_html_31e06c32.gif, hello_html_5be2fb98.gif, hello_html_m39bd8940.gif и hello_html_m2534d83e.gif.

hello_html_m5ee5196b.gif;

hello_html_5abf3d8f.gif.

Так как hello_html_27f1e0b7.gif, то, возводя обе части этого равенства в квадрат и выполняя преобразования, получаем цепочку эквивалентных равенств

hello_html_628d9203.gif

hello_html_4fcf513b.gif

hello_html_m12735f3c.gif

hello_html_m107146a5.gif. ■

Для любых двух углов hello_html_7bffe59a.gif и hello_html_540e185c.gif справедливо тождество

hello_html_4bec7a6.gif.

Доказательство. hello_html_173fb201.gif

hello_html_m4c03944c.gif

так как hello_html_m5161ae89.gif и hello_html_aeb945.gif.■

Синус суммы и разности аргументов

Предварительно докажем формулы:

1) hello_html_m603d40f8.gif; 2) hello_html_m1216006b.gif.

1) hello_html_m492a726.gif.

2) hello_html_m5ff99fa6.gif

hello_html_m76daf70f.gif

Теорема 1. Для любых углов hello_html_7bffe59a.gif и hello_html_540e185c.gif справедливо тождество

hello_html_m210cfddf.gif.

Доказательство. Используя формулы 1) и 2), докажем теорему 1

hello_html_m3dc1d394.gif

hello_html_m7eadda79.gif

Теорема 2. Для любых углов hello_html_7bffe59a.gif и hello_html_540e185c.gif справедлива формула

hello_html_m47ef2867.gif.

Доказательство.

hello_html_37d4c99d.gif

так как hello_html_m7594971a.gif, hello_html_3842ba29.gif.





Тангенс суммы и разности двух аргументов

Тангенс суммы двух аргументов можно получить из рассмотренных выше формул:hello_html_m32c466ab.gif

Рассмотрим примеры на применение данных формул

Пример 1

Используя формулы сложения, вычислить cos750 ; sin750.
Решение
:

соs 750 = cos(450 + 300) = cos450cos300 – sin450sin300 = hello_html_m2dddb4df.gif

Sin 750 = sin(450 + 300)= sin450cos300 + cos450sin300=hello_html_16642bfd.gif

Закончите вычисления с помощью вышерассмотренных формул:

а) сos1050= cos(600 +450) =

б)sin150 = sin(450 – 300) =

Пример 2

Дано sinα = 0,6, sinβ = 0,8, π/2<α<π, π/2<β<π. Найти sin(α+β)

Решение: sin(α+β) = sinαcosβ+sinβcosα

Так как по условию задачи углы α и β принадлежат второй четверти, то cosα и cosβ имеют знак «минус». Используем формулs cos2α = 1-sin2α; cos2β = 1-sin2β

cos2α = 1-0,62= 1-0,36 = 0,64

cosα = -hello_html_15cd6430.gif= -0,8

cos2β = 1-0,82= 1-0,64 = 0,36

cosα = -hello_html_fa65c5b.gif= -0,6

Подставим полученные данные и имеющиеся в условии данные в формулу sin(α+β) = sinαcosβ+sinβcosα и выполним действия

sin(α+β) = 0,6·(-0,8)+0,8·(-0,6) = -0,48-0,48=-0,96

Используя решение примера №2 в качестве образца, вычислите

cos(α + β), если sinα = 0,6, sinβ = 0,8, π/2<α<π, π/2<β<π



Пример №3.

Найдите значение выражения cos760cos160 + sin760sin160

Решение: cos760cos160 + sin760sin160 здесь развернутая формула косинуса разности двух углов. Вспомним, чтоhello_html_4bec7a6.gif, значит: cos760cos160 + sin760sin160 = cos(760 – 160) = cos600 = 0,5



Вычислите самостоятельно:

а)sin580cos130 + cos580sin130

б)cos160cos140 – sin160sin140

Пример №4

Упростить выражение: cos(α + β) + cos(α - β)

Решение: воспользовавшись формулами косинуса суммы косинуса разности, получим: cos(α + β) + cos(α - β) = cosαcosβ – sinαsinβ + cosαcosβ + sinαsinβ = 2 cosαcosβ



Упростите самостоятельно:

а) cos(α + β) – cosαcosβ;

б) sinα cosβ – sin(α - β).

























К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов выбранный номер правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.

Время теста: 90 мин.

Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов; «3» - 5,6 прав. ответов;

«4» - 7-9 прав. ответов; «2» - 4 и менее прав. отв.





Конспект №6



Тригонометрические функции двойного и

половинного аргументов

Теорема 1. Для любого угла hello_html_7bffe59a.gif справедливы тождества:

hello_html_m18b02cd8.gif;

hello_html_m78dc8137.gif, (1)

которые называются формулами двойного угла.

Доказательство. В формулах hello_html_m19368c26.gif и hello_html_m936159f.gif положим hello_html_540e185c.gif равным hello_html_7bffe59a.gif. Получим тождества: hello_html_m225744a8.gif, hello_html_7b63f5d7.gif.■

Следствие. Из формулы hello_html_7b63f5d7.gif следуют формулы:

hello_html_5a44a9b7.gifhello_html_70d4b59b.gif.

Доказательство.

hello_html_4dae698e.gifhello_html_m12c0c1b0.gif

hello_html_m7b46b744.gifhello_html_2baf2e2f.gif

Теорема 2. Формулы двойного угла для тангенса и котангенса имеют вид:

hello_html_m6ed93326.gif, где hello_html_m736ae05b.gif;

hello_html_m35ad98fe.gif, где hello_html_m221d3977.gif.

Доказательство.

В формулах hello_html_c74c18f.gif и hello_html_697e6925.gif положим hello_html_540e185c.gif равным hello_html_7bffe59a.gif. В результате получим формулы двойного угла для тангенса и котангенса.

Используя формулы двойных углов, можно получить формулы половинного угла для тригонометрических функций.

1. Из формул следствия теоремы 1 найдем hello_html_m2008e330.gif и hello_html_2dd39f00.gif:

hello_html_m572ee413.gif, hello_html_m31e262d8.gif.

В данных формулах hello_html_7bffe59a.gif заменим на hello_html_47ac39a8.gif:

hello_html_m6a020c4.gif, hello_html_4bd73dcc.gif,

откуда следует hello_html_mac5269f.gif, hello_html_m660aa92e.gif.

Знаки перед корнями соответствуют знакам hello_html_m9fb6e26.gif и hello_html_m2c69de5e.gif.

2. hello_html_373f2417.gif, где hello_html_785d5b73.gif;

hello_html_3ab19a6f.gif, где hello_html_m3f224ee0.gif.

Знаки перед корнями соответствуют знакам hello_html_m3c4539b5.gif и hello_html_mcf76a98.gif.

Доказательство. Формулы получаются при почленном делении каждого тождества из предыдущего пункта 1.

3.Для любого hello_html_5be9fa26.gif справедлива формула hello_html_386e20b7.gif;

для любого hello_html_224d8226.gif справедлива формула hello_html_26ed4023.gif.

Доказательство первой формулы:

hello_html_7620f164.gif.

Вторая формула доказывается аналогично.

4. Выразим тригонометрические функции через тангенс половинного аргумента. Докажем, что для любого угла hello_html_7bffe59a.gif, hello_html_5be9fa26.gif, справедливы формулы: hello_html_327689e9.gif, hello_html_3db98240.gif, hello_html_md15f319.gif, если при этом hello_html_me942941.gif, то hello_html_3789b7b.gif.

Доказательство. hello_html_m7a00ad5e.gif.

Разделив числитель и знаменатель дроби на hello_html_m35aa9768.gif (hello_html_1e613128.gif, так как hello_html_m28d2c132.gif), получим: hello_html_m3f0edd75.gif.

Аналогичным способом доказывается вторая формула:

hello_html_m44172d99.gif;

hello_html_7b049f67.gif;

Рассмотрим примеры на применение вышерассмотренных формул

Пример №1

Упростите выражение: hello_html_4ee92c81.gif

Решение: В числите дроби мы видим формулу синуса двойного угла sin2α =2 sinαcosβ, имеем hello_html_m2f6c719b.gif

( здесь мы числитель и знаменатель дроби сократили на одинаковый множитель sinα).

Пример №2

Упростите выражение: cos2 β- cos2β

Решение: в данном выражении встречается формула косинуса двойного угла

cos2β = cos2 β-sin2β

упростим выражение cos2 β- cos2β = cos2 β – (cos2 β-sin2β) = cos2 βcos2 β+sin2β = sin2β

Упростите следующие выражения самостоятельно:

а) hello_html_2ac725ab.gif; б) cos2β + sin2β; в) hello_html_69235211.gif

Пример №3

Найти значение sin2α, если cosα = -0,8, α - угол 3-ей четверти.

Решение: сначала вычислим sinα . Так как α – угол 3-ей четверти, то sinα<0. Поэтому

hello_html_5ab04ab4.gif

По формуле синуса двойного угла имеем: sin2α =2 sinαcosβ = 2·(-0,6)·(-0,8) = 0,96

Самостоятельно найди значение cos2α, если sinα = -0,8, α - угол 3-ей четверти.

Пример №4

Упростить выражение: hello_html_m5cc06709.gif

Решение: к выражению 1 – cosα применим формулу 1 – cos2α= 2sin2α и, представим α в виде произведения 2· hello_html_m116e8c03.gif, получим 1 – cosα =2sin2hello_html_m116e8c03.gif.

К выражению 1 + cosα применим формулу 1 + cos2α= 2cos2α и, представим α в виде произведения 2· hello_html_m116e8c03.gif, получим 1 + cosα =2cos2hello_html_m116e8c03.gif.

Упростим данное выражение hello_html_m5cc06709.gif= hello_html_5199b8a7.gif

Упростите самостоятельно: а) hello_html_m63552930.gif; б) hello_html_78a76143.gif

Пример №5

Вычислите: а) 2sin450cos450

Решение: 2sin450cos450 = sin2·450 = sin900 = 1

б) 4cos2 450 -4sin450

Решение: 4cos2 450 -4sin450 = 4(cos2 450 -sin450) =4 cos2·450 =4 cos900= 0

в) hello_html_5cbc5c56.gif

Вычислите самостоятельно: а) 2sin150cos150 б) cos2 150sin150 в) hello_html_m3a45866b.gif.



Конспект №7







К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов выбранный номер правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.

Время теста: 90 мин.

Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов; «3» - 5,6 прав. ответов;

«4» - 7-9 прав. ответов; «2» - 4 и менее прав. отв.





Конспект №7





Формулы суммы и разности тригонометрических функций

Теорема: сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности

Sin α + Sinβ = 2hello_html_6c376746.gif

Докажем это: положим, α = х + у; и β = х – у и воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности.

Получим: Sin α + Sinβ = Sin (х + у) + Sin(х – у) = sinxcosy + cosxsiny + sinxcosycosxsiny = 2 sinxcosy

Из равенства α = х + у; и β = х – у найдем сумму этих выражений α + β = 2х, откуда х = hello_html_6aa2f00f.gif; найдем разность выражений: α - β = 2у и выразим у; у = hello_html_5e143038.gif. Поэтому

Sin α + Sinβ = 2hello_html_6c376746.gif

Аналогично можно вывести формулы разности синусов, суммы и разности косинусов:

Формула разности синусов: Sin α - Sinβ = 2hello_html_m6ddcdc65.gif

Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус их полусуммы.

Формула суммы косинусов: cosα + cosβ = 2hello_html_592363e5.gif

Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинусов полусуммы этих углов на косинус полуразности этих углов.

Формула разности косинусов: cosα - cosβ = - 2hello_html_721d5662.gif

Разность косинусов двух углов равна взятому со знаком «минус» удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на синус их полуразности.

Формула суммы тангенсов: hello_html_m439e2224.gif

Формула разности тангенсов: hello_html_7ecf1a7c.gif

Рассмотрим примеры применения полученных формул.

Пример №1

Упростим сумму Sin 100 + Sin500

Решение: Sin 100 + Sin500 = =2hello_html_22939fde.gif

Пример №2

Представить в виде произведения: cos150 + cos450 = 2hello_html_61b671f2.gif

Пример№3

Докажите, что hello_html_332ce0fa.gif

Доказательство: преобразуем левую часть равенства используя формулы суммы синуса и косинуса суммы двух углов:

hello_html_m71658765.gif

Пример №4 Найдите значение выражения: hello_html_m638766e4.gif

преобразуем левую часть равенства используя формулы разности синуса и косинуса разности двух углов: hello_html_m638766e4.gif= hello_html_m4b7be9e7.gif

Попробуйте свои силы: 1. Представить в виде произведения:

а) cos460 - cos740; б)sin150 + sin450 ; в)cos500 + cos100 ; г) tg150 + tg450

  1. Докажите, что hello_html_6c0229db.gif

























К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов выбранный номер правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.

Время теста: 90 мин.

Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов; «3» - 5,6 прав. ответов;

«4» - 7-9 прав. ответов; «2» - 4 и менее прав. отв.





Контрольная работа № 2







по теме: « Преобразования тригонометрических выражений»

Цель: проверка знаний и практических умений студентов

Подготовительный вариант

  1. Вычислите: a)cos1000cos400 + sin1000sin400; б) cos2750 – sin2750

  2. Упростите выражение: (1-cos2(π-x))(1-cos2(1,5π-x))

  3. Дано: cosα = 0,6, 1,5 π<α<2π. Вычислить а) sin2α б)cos (π/6- α)

  4. Докажите тождество: (sint -cost)2 = 1 - sin2t

  5. Вычислите: hello_html_m5a3a469.gif

Проверь свое решение:

1 Решение:

а)cos1000cos400 + sin1000sin400 = cos(1000 – 400) = cos600 = 0,5

б) cos2750 – sin2750 = cos1500 = cos(1800 -300) = -cos300 = - hello_html_17f29ea0.gif

2 Решение: (1-cos2(π-x))(1-cos2(1,5π-x)) = (1-cos2x)(1-sin2x) = sin2x·cos2x= 0,5sin22x

3 Решение:

а) sin2α = 2sinαcosα. Т.к. cosα = 0,6, 1,5 π<α<2π, то hello_html_m6529cc49.gif

sin2α = 2sinαcosα = 2·(-0,8)·0,6 = - 0,96

б) cos (π/6- α) = coshello_html_m4bf6d35c.gif

4 Решение:

(sint – cost)2 = sin2t – 2sintcost + cos2t = 1 – sin2t

1 - sin2t = 1- sin2t

5Решение: hello_html_11c51ac0.gif

Надеюсь, что ошибок было мало и можно готовиться к зачету!





К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов выбранный номер правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.

Время теста: 90 мин.

Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов; «3» - 5,6 прав. ответов;

«4» - 7-9 прав. ответов; «2» - 4 и менее прав. отв.





Обобщающее повторение

по зачетному разделу №3



Теоретическая разминка

(ответь сам или найди ответ с помощью материалов предыдущих занятий)

  1. Чему равен синус суммы двух углов?

  2. Чему равен косинус суммы двух углов?

  3. Чему равна разность синусов двух углов?

  4. Чему равна разность косинусов двух углов?

  5. Чему равна сумма синусов двух углов?

  6. Чему равна сумма косинусов двух углов?

  7. Чему равен синус разности двух углов?

  8. Чему равен косинус разности двух углов

  9. Назовите формулы двойного угла.

Найдите ошибку:

hello_html_m45e72541.gif

Реши самостоятельно

1. Упростите выражение:

hello_html_m44f20ac1.gif

2. Упростите выражение:

hello_html_m7275003a.gif

3. Вычислите hello_html_m33166ed6.gif, если

hello_html_m66e7d868.gif

5. Докажите тождество:

hello_html_m3802c132.gif

6. Сократите дробь:

hello_html_m45355cea.gif

7. Сократите дробь:

hello_html_1b7e6152.gif

Благодарю за сотрудничество. Надеюсь на удачную сдачу зачета!



































К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов выбранный номер правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.

Время теста: 90 мин.

Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов; «3» - 5,6 прав. ответов;

«4» - 7-9 прав. ответов; «2» - 4 и менее прав. отв.





Зачет №3 по теме:

« Преобразование тригонометрических выражений »

  1. Запишите формулы сложения для тригонометрических функций.

  2. Выведите формулы приведения для аргументов π/2 + α ; π – α.

  3. Запишите формулу двойного аргумента.

  4. Выведите формулы для cos2α, cosα/2.

  5. Запишите формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

  6. Запишите формулы преобразования разности тригонометрических функций в произведение.

  7. Вычислите sin140cos310 + sin310 cos140

  8. Упростите выражение tqx (1 + cos2x)

  9. Вычислите sin x/2, если sinx = 0,6, 0

  10. Упростите выражение: cos500 cos200 – 0/5cos700

  11. Вычислите: sin1050 + sin750

  12. Упростите: 2sin400sin500

















К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов выбранный номер правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.

Время теста: 90 мин.

Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов; «3» - 5,6 прав. ответов;

«4» - 7-9 прав. ответов; «2» - 4 и менее прав. отв.



Итоговая контрольная работа по теме «Тригонометрия»





1 вариант



1). Вычислить:

hello_html_m60e1a3bc.gif



2). Упростить выражение:

hello_html_7bf9f0cf.gif



3). Доказать тождество:

hello_html_m4dec4b9.gif



4). Решить уравнение

а).hello_html_m3a22ba9.gif

hello_html_m8bdfdf3.gif

5). Зная, что hello_html_m106cb2d7.gifи hello_html_m3396bf98.gif, найти hello_html_m7ce77800.gif.













2 вариант



1). Вычислите:

hello_html_m20a32b76.gif



2). Упростить выражение:

hello_html_30b2d93a.gif



3). Доказать тождество:

hello_html_1bbdab7e.gif



4). Решить уравнение

а). hello_html_m5e71b8a7.gif

hello_html_7b301452.gif

5). Зная, что hello_html_m4bf4a7c2.gifи hello_html_3f8e174c.gif, найти hello_html_14d0716f.gif.























К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов выбранный номер правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.

Время теста: 90 мин.

Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов; «3» - 5,6 прав. ответов;

«4» - 7-9 прав. ответов; «2» - 4 и менее прав. отв.





Справочный материал по теме «Тригонометрия»









hello_html_2f009f23.gif

hello_html_m3b2b05ea.gif





Макеты числовой окружности

Связь градусной и радианной мер

шим








шим








hello_html_4af73208.gif

hello_html_m1be8733c.gif

hello_html_m4918830f.gif

hello_html_6996f755.gif

Определение тригонометрических функций

Синусом числа t называется ордината точки Рt числовой окружности : sin t = у

Косинусом числа t называется абсцисса точки Рt числовой окружности : соs t = х

Cекансом числа t называется обратное значение косинусу числа t : hello_html_53b6dc5d.gif

Косекансом числа t называется обратное значение синусу числа t : hello_html_m582cdc5a.gif

Тангенсом числа t называется отношение sin t к cos t.

Котангенсом числа t называется отношение cos t к sin t.

Ось тангенсов – прямая х = 1.

Ось котангенсов – прямая у = 1.

hello_html_m4d802726.pnghello_html_m650f77bc.png






Знаки тригонометрических функций по четвертям

sin t

шим






cos t

шим




tg t и ctg t

шим


Чётные и нечётные функции

Функция f называется чётной, если для любого х из её области определения f ( - х) = f (х).

Функция f называется нечётной, если для любого х из её области определения f ( - х) = - f (х).

График чётной функции симметричен относительно оси ординат.

График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Функции y = sin x, y = tg x , y = ctg x - нечётные, т.к. sin (- x) = - sin x , tg (- x) = - tg x , ctg (- x) = - ctg x .

Функция y = cos x - чётная , т.к. cos (- x) = cos x .







Мнемоническое правило для запоминания формул приведения

1. Функция в правой части берётся с тем же знаком, который имеет исходная функция, если считать,

что угол α является углом I четверти.

2. Для углов hello_html_79369fe1.gif hello_html_bcceed8.gif название исходной функции сохраняется; для углов hello_html_m69da3288.gif и hello_html_7ef61044.gif название

исходной функции заменяется (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс)

Периодичность тригонометрических функций

Функция y = f(x) называется периодической , если существует число Т (Т ≠ 0), что для любого х из области определения f(x -T) = f(x) = f(x +T).

Период функции представляющей собой сумму непре- рывных и периодических функций, равен наименьшему кратному периодов слагаемых.

# hello_html_m1200d7a0.gif

hello_html_m1a13cd9e.gif; hello_html_m57f9acd8.gif hello_html_6becf242.gif

Наименьший положительный период функций

y = sin x и y = cos x равен hello_html_m6d2fdb05.gif.

Наименьший положительный период функций

y = tg x и y = ctg x равен является hello_html_47d0e225.gif.

Формула для нахождения периода: hello_html_5003856c.gif

# hello_html_m17977234.gif , то hello_html_m75e27f94.gif

# hello_html_m4412b877.gif ,то hello_html_370fad20.gif

Функция

Преобразование графика функции y = f (x)

у = f (x) + а

Параллельный перенос вдоль оси ординат на а единиц вверх.

у = f (x) - а

Параллельный перенос вдоль оси ординат на а единиц вниз.

у = f (x + а)

Параллельный перенос вдоль оси абсцисс на а единиц влево.

у = f (x - а)

Параллельный перенос вдоль оси абсцисс на а единиц вправо.

у = k f (x), k › 0

Растяжение вдоль оси ординат в k раз. (Растяжение от оси абсцисс в k раз)

у = hello_html_m21ee5408.gif f (x) , k › 0



Сжатие вдоль оси ординат в k раз. (Сжатие к оси абсцисс в k раз)

у = - f (x)

Симметричное отображение его относительно оси ОХ.

у = f (-x)

Симметричное отображение его относительно оси ОУ.

у = f (k x), k › 0

Сжать вдоль оси ОХ в k раз.

у = hello_html_m4af4cb59.gif , k › 0



Растянуть вдоль оси ОХ в k раз.

у = | f (x)|

Часть графика расположенная выше оси абсцисс остаётся без изменения, а расположенная ниже оси абсцисс отображается симметрично этой оси.

у = f (|x|)

Часть графика, расположенная в области х ≥ 0, остаётся без изменения , а его часть для области х ≤ 0 заменяется симметричным отображение относительно оси ОУ части графика для х ≥ 0.

Замечание: Чтобы построить график функции hello_html_m15355998.gif, необходимо выполнить преобразование

hello_html_m55418878.gif, а затем только строить график

Графики основных тригонометрических функций

y = sin x

Image-05







D(y) = R E(y) = [-1; 1]

y = cos x

Image-05







D(y) = R E(y) = [-1; 1]

y = tg x

Image-05











hello_html_m77d57aad.gifE(y) = R

y = ctg x

Image-05











hello_html_7f04ff43.gifE(y) = R

Две точки, симметричные относительно

Оси абсцисс

шим







hello_html_m1b2b6d9d.gif

Оси ординат

шим







hello_html_m697581d7.gif

Начала координат

шим







hello_html_m44008b3d.gif



Значения тригонометрических функций некоторых углов





t



00



0



300

hello_html_4df625bf.gif



450

hello_html_6e9922e4.gif



600

hello_html_197d3268.gif



900

hello_html_85c825c.gif



1200

hello_html_19d0138d.gif



1350

hello_html_7015f47e.gif



1500

hello_html_691479fc.gif



1800



hello_html_47d0e225.gif



2100

hello_html_41f42384.gif



2250

hello_html_71cc985b.gif



2400

hello_html_7f15b335.gif



2700

hello_html_m78ce1435.gif



3000

hello_html_mb0efc48.gif



3150

hello_html_592cc223.gif



3300

hello_html_791642f7.gif



3600



hello_html_m6d2fdb05.gif

sin t

0

hello_html_m3045a07.gif

hello_html_m6b4cd1a.gif

hello_html_m79c9f379.gif

1

hello_html_m79c9f379.gif

hello_html_m6b4cd1a.gif

hello_html_m3045a07.gif

0

hello_html_m2e22aa9b.gif

hello_html_m1c04ed4b.gif

hello_html_m337ee05c.gif

- 1

hello_html_m337ee05c.gif

hello_html_m1c04ed4b.gif

hello_html_m2e22aa9b.gif

0

cos t

1


hello_html_m6b4cd1a.gif

hello_html_m3045a07.gif

0

hello_html_m2e22aa9b.gif

hello_html_m1c04ed4b.gif

hello_html_m337ee05c.gif

- 1

hello_html_m337ee05c.gif

hello_html_m1c04ed4b.gif

hello_html_m2e22aa9b.gif

0

hello_html_m3045a07.gif

hello_html_m6b4cd1a.gif

hello_html_m79c9f379.gif

1

tg t

0

hello_html_41d6cd72.gif

1

hello_html_m50b650b4.gif

--

hello_html_1dddc69f.gif

- 1

hello_html_m4167640e.gif

0

hello_html_41d6cd72.gif

1

hello_html_m50b650b4.gif

-

hello_html_1dddc69f.gif

- 1

hello_html_m4167640e.gif

0

ctg t

--

hello_html_m50b650b4.gif

1

hello_html_41d6cd72.gif

0

hello_html_m4167640e.gif

- 1

hello_html_1dddc69f.gif

--

hello_html_m50b650b4.gif

1

hello_html_41d6cd72.gif

0

hello_html_m4167640e.gif

- 1

hello_html_1dddc69f.gif

-

Решение тригонометрических уравнений

sin x = a, |a|≤ 1 hello_html_75d68af2.gifhello_html_m430c1f7.gif

Частные случаи: sin x = 1 hello_html_738000d5.gif

sin x = 0 hello_html_4a393787.gif

sin x = -1 hello_html_m62efa13b.gif

sin2x = a, 0 ≤ a ≤ 1 hello_html_m1bd7911d.gif

sin x = a, hello_html_m446178ec.gif


cos x = a, |a|≤ 1 hello_html_m4fcda9c6.gifшим

Частные случаи: cos x = 1 hello_html_7db401b5.gif

cos x = 0 hello_html_4cb2fe67.gif

cos x = -1 hello_html_m23feac53.gif

cos2x = a, 0 ≤ a ≤ 1 hello_html_m6347340b.gif

cos x = a, hello_html_m7050066c.gif




tg x = a , hello_html_m6efca39c.gifhello_html_35eef21e.gif



шим











tg2x = a, hello_html_m47ddc4c4.gifhello_html_m7dcd5cd3.gif

tg x = a , hello_html_4a78a358.gifhello_html_m5127fbb0.gif




сtg x = a , hello_html_m6efca39c.gifhello_html_374ef137.gif



шим











сtg2x = a, hello_html_m47ddc4c4.gifhello_html_604a53a2.gif

сtg x = a , hello_html_m47374a.gifhello_html_7f7dfac4.gif



Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс

hello_html_m71c24d17.png







  1. arcsin a = x hello_html_m4bff1113.gif hello_html_m344fd53d.gif , sin x = a, |a| ≤ 1.

2) arcsin (-a) = - arcsin a

hello_html_2a1df655.png









  1. arccos a = x hello_html_m4bff1113.gif hello_html_4834f66e.gif , cos x = a, |a| ≤ 1.

2) arccos (-a) = hello_html_47d0e225.gif - arccos a

a

0

hello_html_m3045a07.gif

hello_html_m6b4cd1a.gif

hello_html_m79c9f379.gif

1

hello_html_m2e22aa9b.gif

hello_html_m1c04ed4b.gif

hello_html_m337ee05c.gif

a

0

hello_html_m3045a07.gif

hello_html_m6b4cd1a.gif

hello_html_m79c9f379.gif

1

hello_html_m2e22aa9b.gif

hello_html_m1c04ed4b.gif

hello_html_m337ee05c.gif

arcsin a

0

hello_html_4df625bf.gif

hello_html_6e9922e4.gif

hello_html_64965ade.gif

hello_html_85c825c.gif

hello_html_m26023e2b.gif

hello_html_m9dd0d5a.gif

hello_html_m5c360c33.gif

arccos a

hello_html_85c825c.gif

hello_html_64965ade.gif

hello_html_6e9922e4.gif

hello_html_4df625bf.gif

0

hello_html_691479fc.gif

hello_html_7015f47e.gif

hello_html_19d0138d.gif

hello_html_m46026fa4.png











  1. arctg a = x hello_html_m4bff1113.gif hello_html_4eb51c66.gif , tg x = a, hello_html_m1a8f4778.gifR

  2. arctg (-a) = - arctg a

hello_html_36cdfadb.png











  1. arcctg a = x hello_html_m4bff1113.gif hello_html_m486b198a.gif , ctg x = a, hello_html_m1a8f4778.gifR.

2) arcctg (-a) = hello_html_47d0e225.gif - arcctg a

a

0

hello_html_41d6cd72.gif

1

hello_html_m50b650b4.gif

-1

hello_html_m4167640e.gif

hello_html_1dddc69f.gif

a

0

hello_html_41d6cd72.gif

1

hello_html_m50b650b4.gif

-1

hello_html_m4167640e.gif

hello_html_1dddc69f.gif

arctg a

0

hello_html_4df625bf.gif

hello_html_6e9922e4.gif

hello_html_64965ade.gif

hello_html_m9dd0d5a.gif

hello_html_m26023e2b.gif

hello_html_m5c360c33.gif

arcctg a

hello_html_85c825c.gif

hello_html_64965ade.gif

hello_html_6e9922e4.gif

hello_html_4df625bf.gif

hello_html_7015f47e.gif

hello_html_19d0138d.gif

hello_html_691479fc.gif

Обратные тригонометрические функции

y = arcsin x

Image-05







D(y) = [-1; 1]

hello_html_m490a7963.gif

y = arccos x

Image-05









D(y) = [-1; 1]


y = arctg x

Image-05







D(y) = R

hello_html_e01a2a2.gif

y = arcctg x



hello_html_m5fdcead9.png







D(y) = R

hello_html_m3d09d844.gif

Тождества

1) hello_html_m6ef20247.gif, если |х| ≤ 1

2) sin (arcsin x) = x, если - 1≤ х ≤ 1

3) сos (arccos x) = x, если - 1≤ х ≤ 1

4) arcsin (sin x) = x, если hello_html_m14ed5d94.gif

5) arcсos (cos x) = x, если 0 ≤ х ≤ hello_html_47d0e225.gif

6) sin (arccos x) = hello_html_58054a8a.gif, если |х| ≤ 1

7) сos (arcsin x) = hello_html_58054a8a.gif, если |х| ≤ 1



1) hello_html_10643fa.gif

2) tg (arctg x) = x

3) сtg (arcctg x) = x

4) arctg (tg x) = x, если |x| <hello_html_85c825c.gif

5) arcсtg (ctg x) = x, если 0 < х < hello_html_47d0e225.gif


Формулы тригонометрии

Основные формулы

hello_html_3359c610.gifhello_html_3844ffad.gif

hello_html_m50977db1.gifhello_html_m4b698e5.gif

hello_html_m7e32fa6e.gif

hello_html_58550b0a.gif

hello_html_399335f3.gifhello_html_18f77bab.gif

Формулы двойного угла



hello_html_m9573388.gif

Формулы понижения степени

hello_html_m66b306a5.gif

Формулы половинного угла

hello_html_3923aed0.gif

Формулы сложения

hello_html_m5edba6b.gif

Произведение тригонометрических функций

hello_html_666a67f8.gif

Дополнительные формулы

hello_html_1fca03cf.gif

Формулы тройного угла



hello_html_m7183d13b.gif

Сумма тригонометрических функций

hello_html_m3f9602cc.gif

Универсальная подстановка

hello_html_m306768fd.gifhello_html_m6e645629.gif



Формула дополнительного угла

hello_html_dd0c834.gif, где hello_html_6cce79c7.gif

Решение простейших тригонометрических уравнений

hello_html_m57c33d72.gifhello_html_m19e9cea2.gif

hello_html_17433e2e.gif

hello_html_m783499a6.gif

hello_html_m447d2a1e.gif

hello_html_546c7a5e.gif

hello_html_170aeacc.gif

hello_html_m5192c0fb.gif

hello_html_m2c4211c6.gif

hello_html_m716a3328.gif

hello_html_m206f7c05.gif

hello_html_m3041cda5.gifhello_html_m18677dbe.gif

hello_html_78475b79.gif

hello_html_m1bc76eb.gif

hello_html_m8acf243.gif

hello_html_4714cea3.gif

hello_html_69191112.gif

hello_html_m3041cda5.gif

hello_html_515efeba.gif

hello_html_3e20f7c6.gif

hello_html_3ba71527.gif

hello_html_34d964cb.gif


hello_html_608d5e8b.gif

hello_html_mae77488.gif

Однородные тригонометрические уравнения

Уравнения вида a sin x + b cos x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением I степени; уравнение вида a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0 называют однородным тригоно-

метрическим уравнением II степени.

Чтобы решить однородное уравнение первой степени, необходимо обе части уравнения разделить на sin x или cos x, а при решении однородного уравнения второй степени разделить обе части уравнения на sin2x или сos2x. (сos x ≠ 0 и sin x ≠ 0, т.к. sin x и cos x обращаются в нуль в различных точках).



hello_html_524b4dcf.gifразделим на cos x

hello_html_m168a0f4d.gif

hello_html_1121ef78.gif|:cos2x

hello_html_m1857b056.gif





Список используемой литературы



  1. Алгебра и начала математического анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений/ А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др.; Под ред. А.Н.Колмогорова. – 13-е изд. – М.: Просвещение, 2008.-384с.


  1. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса6/ Б.М.Ивлев, С.М.Саакян, С.И.Шварцбург.-2-е изд. – М.:Просвещение, 1994.-176с.


  1. Алгебра и начала анализа. Тесты для промежуточной аттестации в 10-м классе. Под редакцией Ф.Ф.Лысенко. Ростов-на-Дону: Легион_М,2008.-80стр.(Промежуточная аттестация)


  1. Цыпкин А.Г., Пинский А.И.Справочник по методам решения задач по математике для средней школы.2-е изд.,перераб. и доп.-М.; Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1989.-576 с.

  2. Клово А.Г.Экзаменационные материалы для подготовки к ЕГЭ. ЕГЭ-2008. Математика. М.: ФГУ «Федеральный центр тестирования», 2007.

  3. Челомбитько В.П.Математика: весь курс: теория, задачи, решения: для выпускников и абитуриентов. М, Эксмо,2007.-448 с.

  4. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер: Пособие для школьников и абитуриентов. М.: Илекса, 2003.-320 с.



  1. 1 А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа 10-11. Часть Учебник

  2. А.Г. Мордкович и др. Алгебра и начала анализа, 10-11. Часть 2. Задачник

  3. А.Г. Мордкович, Е.Е. Тульчинская. Алгебра и начала анализа, 10-11. Контрольные работы.

  1. Л.О. Денищева и Т.А. Корешкова. Алгебра и начала анализа, 10-11. Тематические тесты и зачеты.

  2. Л.А. Александрова. Алгебра и начала анализа-10. Самостоятельные работы.



  1. Л.А. Александрова. Алгебра и начала анализа-11. Самостоятельные работы.













Краткое описание документа:

Аннотация Пособие написано для студентов 1 курса, обучающихся по направлению начального профессионального образования социально-экономического профиля В пособие входит теоретический материал по теме «Тригонометрические функции», «Тригонометрические уравнения», «Преобразование тригонометрических выражений», соответствующий УМК А.Г. Мордковича, в нём есть примеры с решениями, а также задания для самостоятельной работы с ответами и рекомендациями. Работа содержит пробные контрольные и зачётные работы по данным темам. В приложении - справочный материал по теме «Тригонометрия» Теоретический и практический материал поможет студентам качественно подготовиться к текущему контролю, повторить материал к итоговому экзамену. При составлении данного методического пособия преследовались следующие цели: 1) оказание методической помощи: - при изучении данной темы студентам, пропустившим занятия по различным причинам; - при повторении данной темы в ходе подготовки к сдаче зачётов, решению контрольных работ и подготовке к итоговой аттестации; 2) ликвидация пробелов знаний студентов по данной теме.
Автор
Дата добавления 22.03.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1070
Номер материала 36026032259
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх