Методическое пособие по теме «Тригонометрия»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Методическое пособие             по теме    «Тригонометрия»

для студентов I курса

 Методическое пособие для студентов  1 курса по теме «Тригонометрия»

 Асиновский техникум промышленной индустрии и сервиса. - 2012.

 

 

 

 

 

 

Составитель:

 Л.В. Журавлёва, преподаватель  математики АТпромИС.

 

 

 

 Методическое пособие    по  теме «Тригонометрия» предназначен для студентов 1 курса, обучающимся по направлению начального профессионального образования социально-экономического профиля по профессии:  260807.01 «Повар, кондитер»;        

 

 

 

 

 

 

Рассмотрено на заседании методического объединения « Общеобразовательных дисциплин»/

 Протокол № 3   от    15.11. 2012 г.

 

Рекомендовано к печати Методическим советом Асиновского техникума промышленной индустрии и сервиса 

Протокол № 3  от  15.11.  2012 года

                                                                                                

 

 

                                                               Аннотация

       Данное пособие предназначено для студентов 1 курса, обучающихся  по направлению начального профессионального образования социально-экономического профиля по профессиям:  260807.01 «Повар, кондитер». В пособие входит теоретический материал по теме «Тригонометрические функции», «Тригонометрические уравнения»,  «Преобразование  тригонометрических выражений», соответствующий структуре изложения материала по УМК А.Г. Мордковича (базовый уровень), представлены примеры с решениями, а также задания для самостоятельной работы, подкреплённые ответами и рекомендациями.  Пособие содержит пробные контрольные и зачётные работы по данным темам. В приложении - справочный материал по теме «Тригонометрия»

        Теоретический и практический материал поможет студентам качественно подготовиться к текущему контролю, повторить и систематизировать знания по данной теме при подготовке к выпускной итоговой аттестации.

     При составлении данного методического пособия преследовались следующие цели:

1)    оказание методической помощи:

-       при изучении данной темы  студентам, пропустившим занятия по различным причинам;

-       при повторении данной темы  в ходе подготовки к сдаче зачётов, решению контрольных работ и подготовке к итоговой аттестации;

2)     ликвидация пробелов знаний студентов по данной теме.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                   Содержание

 

                          Зачётный раздел№1

1.                      Конспект№1 «Тригонометрические функции любого аргумента.    

2.                                               Определение и свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

3.                                               Радианная мера угла».

             Конспект№2 «Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же                                 аргумента»

4.                      Конспект№3 «Формулы приведения».

5.                      Контрольная работа №1 по теме «Тригонометрические функции».

6.                      Обобщающее занятие  по  зачётному разделу №1

7.                      Зачет №1 по теме: «Тригонометрические  функции»

                        Зачётный раздел№2

8.                      Конспект№4 «Тригонометрические уравнения»

9.                      Контрольная работа №2 по теме «Тригонометрические уравнения»

10.                 Обобщающее занятие  по  зачётному разделу №2

11.                 Зачет №2 по теме: «Тригонометрические  уравнения»

                        Зачётный раздел№3

 Конспект№5 «Формулы суммы и разности двух аргументов»

 Конспект№6 «Тригонометрические функции двойного и половинного аргументов»

 Конспект№7 «Формулы суммы и разности тригонометрических функций»

 Контрольная работа №3 по теме «Преобразования тригонометрических выражений»

 Обобщающее  занятие по зачётному разделу №3

 Зачет №3 по теме: «Преобразования тригонометрических  выражений»

 Итоговая контрольная работа по теме «Тригонометрия»

 Справочный материал по теме «Тригонометрия»

 Список использованной литературы

  

 

 

 

  Зачётный раздел №1

 Конспект №1

 

 

«Тригонометрические функции любого аргумента.

Определение и свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Радианная мера угла».

 

 

 Отметим на оси Ох  от начала координат точку А и проведем через нее окружность с центром в точке О. Радиус ОА будем называть начальным радиусом.  Угол Р (ОМ; ОЕ) можно описать как получившийся в результате вращения вокруг начала координат луча с началом в точке О от положения ОМ - начального до положения ОЕ - конечного. Это вращение может происходить или против часовой стрелки или по часовой стрелке,  причем

а) либо на неполный оборот,

б) либо на целое число полных оборотов;

в) либо на целое число полных оборотов и неполный оборот.

 Меры углов, ориентированных против часовой стрелки, считаются положительными, а по часовой стрелки - отрицательными.

Будем считать равными углами такие углы, для которых при совмещении каким либо образом их начальных лучей совмещаются и конечные лучи, причем движение от начального луча к конечному осуществляется в одну и ту же сторону на одно и то же количество полных и неполных оборотов, вокруг точки О. Нулевые углы считаются равными.

Свойства мер углов:

1.     Существует угол, мера которого равна 1 - единица измерения углов;

2.     Равные углы имеют равные меры;

3.     Мера суммы двух углов равна сумме мер углов;

4.     Мера нулевого угла равна нулю.

Наиболее распространенные меры углов - градусная и радианная.

     Единицей измерения углов в градусной мере является угол величины в один градус - 1/180 часть развернутого  угла. Из курса геометрии известно, что мера угла в градусах выражается числом от 0⁰ до 180⁰ . что касается угла поворота, то он может выражаться в градусах каким угодно действительным числом от -∞ до + ∞.

     В качестве окружности с центром в начале координат мы будем брать окружность единичного радиуса, обозначая точки ее пересечения с координатными осями A(1;0), B(0;1), C(-1;0), D(0;-1). В качестве начального угла у рассматриваемых углов будет браться луч ОА.

     Координатные оси абсцисс и ординат взаимно перпендикулярны и разбивают плоскость на четыре координатные четверти: I, II, III, IV (см. рисунок).

В зависимости от того, в какой координатной четверти окажется радиус ОМ, угол α будет так же углом этой четверти.

Так, если 0⁰<α<90⁰ , то угол α – угол первой четверти;

Если 90⁰<α<180⁰ , то угол α – угол второй четверти;

Если 180⁰<α<270⁰ , то угол α – угол третьей четверти;

Если 270⁰<α<360⁰ , то угол α – угол четвертой четверти.

Очевидно, что при прибавлении к углу целого числа оборотов получается угол той же четверти.

 Например, угол 430⁰ является углом 1 – ой четверти, так как 430⁰ = 360⁰ + 70⁰ = 70^0;

Угол 920⁰ является углом 3-ей четверти, так как 920⁰ = 360⁰ ·2 + 200⁰ = 200⁰

 (т.е. число целых оборотов можно не учитывать!)

Углы 0⁰, ± 90⁰ , ± 180⁰, ± 270⁰, ± 360⁰ – не относятся ни к какой четверти!

Давайте определим, углом, какой четверти является угол α, если:

   α =283⁰  (4)             α  = 190⁰ (3)                  α =100⁰  (2)     α  = -20⁰  (4ч –отрицательное направление)

 Выполнить самостоятельно:  α = 179⁰             α  = 325⁰                   α =800⁰  (2)     α  = -120⁰ 

В курсе геометрии были определены синус, косинус, тангенс и котангенс угла α при  0⁰ ≤ α ≤ 180⁰ . Теперь мы рассмотрим эти определения на случай произвольного угла α.

Пусть при повороте около точки О на угол α начальный радиус ОА переходит в радиус ОМ.

Синусом угла α называется  отношение ординаты точки М к длине радиуса.

Косинусом угла α называется отношение абсциссы точки М к длине радиуса.

Тангенсом угла α называется  отношение ординаты точки М  к ее абсциссе.

Котангенсом  угла α называется  отношение абсциссы точки М  к ее ординате.

 Так как координаты точки М равны х и у, а длина радиуса равна единице, то

Sinα = у/R=y;  cosα = x/R = x;   tgα = y/x =  ;  ctgα = x/y =   

Рассмотрим примеры вычисления тригонометрических функций с помощью таблиц значений некоторых углов. Прочерки сделаны в том случае, когда выражение не имеет смысла.

α (град)	00	300	450	600	900	1800	2700	3600
(рад)	0					π		2π
sin α	0				1	0	-1	0
cos α	1				0	-1	0	1
tg α	0		1		-	0	-	0
ctg α	-		1		0	-	0	-

 

Рассмотрим примеры:

Пример №1

Найти sin30⁰; cos45⁰; tg60⁰;

Решение: а) находим в столбике таблицы sinα и в строчке 30⁰, на пересечении столбца и строчки находим значение sin30⁰- это число . Пишут так: sin30⁰=

б) находим в столбике таблицы cosα и в строчке 45⁰, на пересечении столбца и строчки находим значение cos45⁰ - это число . Пишут так: cos45⁰ =

в) находим в столбике таблицы tgα и в строчке 60⁰, на пересечении столбца и строчки находим значение tg60⁰- это число . Пишут так: tg60⁰=.

Пример №2

 Вычислить: а) 2сos60⁰ + cos30⁰ = 2·

                         б)3tg45⁰ ·tg60⁰ = 3·1·= 3

Вычислите самостоятельно: а) 5sin30⁰  - ctg45⁰

                                                  б) 2sin30⁰ + 6cos60⁰ – 4tg45⁰

                                                  в) 4tg60⁰·sin60⁰

                                                  г) 2cos0⁰ -4sin90⁰ +5tg180⁰

Рассмотрим  некоторые свойства тригонометрических функций.

   Выясним, какие знаки имеют синус, косинус, тангенс и котангенс в каждой из координатных четвертей.  Пусть при повороте радиуса ОА, равного R, на угол α, точка А перешла в точку М с координатами х и у. Так как Sinα = у/R=y, то знак Sinα зависит от знака у.

В I и II четвертях у>0, а в II и IV четвертях – у <0.

Знак cosα зависит от х, так как cosα = x/R = x, то для углов I и IV четвертях – у >0, а во

 II и III  четвертях у <0.

Так как tgα = y/x = ;  ctgα = x/y =   , то в I и III  четвертях tgα и ctgα имеют знак «+», а во II и IV четвертях они имеют знак «минус».

Знаки синус, косинус, тангенс и котангенс в каждой из четвертей покажем на рисунке.

                   ЗНАКИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

 

                Знаки синуса                                          Знаки косинуса            знаки тангенса и котангенс

                                               

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выясним теперь вопрос о четности и нечетности тригонометрических функций.

Синус, тангенс и котангенс являются нечетными функциями, а косинус является четной функцией

            sin (-α) = - sin α      cos (-α) = cos α                  tg (-α) = - tg α      ctg (-α) = -ctg α

                 нечетная                              четная              нечетная                   нечетная

 

Например:

 cos(-40⁰) = cos40⁰; sin( -30⁰) = -sin30⁰ = - ; tg(-60⁰) = -tg60⁰ = -

Отметим еще одно свойство тригонометрических функций:

При изменении угла на целое число оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса не изменяются.

Например: а)sin 765⁰ = sin(2·360⁰ + 45⁰) =sin45⁰ =

                   б)cos (-1170⁰) = cos1170⁰ = cos(3·360⁰ +90⁰)= cos90⁰ = 0.

Попробуй определить знак выражения:

а)sin (-30⁰) ; cos (-70⁰); tg(-45)⁰; б) sin100⁰·cos300⁰; в) cos320⁰·ctg17⁰

Мы уже отмечали, что наряду с градусной мерой угла существует и радианная мера углов.

       Единицей измерения углов в радианной мере является угол величины в один радиан - это такой центральный угол, которой опирается (или стягивает) дугу окружности, по длине равной ее радиусу.

Если обозначить 1⁰ и 1рад. соответственно градусную и радианную меры, то для выражения градусной меры через радианную будем использовать формулу

, а для выражения радианной меры углов через градусную будем использовать формулу   

1 рад ≈ 57⁰, а 1⁰ ≈ 0,017рад

1.     Выразим в градусах  а) 4,5рад. б)

4,5рад. = 4,5·

= ·

2.     Найдем радианную меру углов: а) 45⁰ б) 72⁰

Решение: 45⁰ = 45⁰ ·

                 72⁰ = 72⁰ · 

3.     Найдем значение sin2,5

Решение: sin2,5= sin(2+ 0,5) = sin0,5= 0,5

 

 

Выполнить самостоятельно:

1. Выразите в радианной мере углы: 30⁰; 45⁰; 60⁰; 90⁰ ; 180⁰; 270⁰; 360⁰.

2.Выразите в градусной мере углы: 0,5; ; ; -

3.Используя значения таблицы синуса, косинуса, тангенса и котангенса, найдите:

а) 2sin                                    б) cos

                              

                                             Конспект№2

 

 

«Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента»

                          Основное тригонометрическое тождество

Для произвольного угла  найдем соотношения между тригонометрическими функциями.

Для любого угла  справедливо равенство:

 

 

 

                                   (1)

Доказательство. На единичной окружности углу  соответствует точ­ка . Квадрат расстояния между точками  и  равен единице: , откуда следует .■

 Определение 1. , где .

Определение 2. , где .

, где ; .

Действительно, .

    Разделив обе части равенства (1) на , получим , т.е. , .

    Разделим обе части  равенства (1) на : , , .

 Из основного тригонометрического тождества (1) следуют формулы:

, .

Знаки перед корнями соответствуют знакам .

 Из формулы  найдем : , где .

Из формулы  найдем : , где .

             Рассмотрим применение основных тригонометрических функций

Пример№1

Упростите выражение: 1-cos²α

Из основного тригонометрического тождества sin²α + cos²α = 1 выразим cos²α, получим cos²α =1 - sin²α. Подставим это выражение в данное и получим:

1-cos²α = 1 – (1 - sin²α) = 1 –1 + sin²α = sin²α

Пример №2

Упростите выражение: 1 - sin²α -  cos²α

Из основного тригонометрического тождества sin²α + cos²α = 1 выразим cos²α, получим cos²α =1 - sin²α. Подставим это выражение в данное и получим:

 1 - sin²α – (1 - sin²α) =  1 - sin²α – 1 + sin²α = 0.

Пример №3

Упростите выражение: sinx cosx tgx

Вспомним формулу tgx = , подставим это выражение в данное и получим:

sinx cosx  сократим числитель и знаменатель на общий множитель cosx,

sinx cosx  = sin²x

окончательно имеем: sinx cosx tgx =  sinx cosx  = sin²x

   Пример №4

Упростите выражение:

 т.к.  = tgx, то , получим:  =  

Пример №5

Упростите выражение:cos²x – (ctg²x + 1)sin² x

Решение: воспользуемся формулой ctg²x + 1= , получим:

cos²x – (ctg²x + 1)sin² x = cos²x – sin² x = cos²x – 1 = - (1 - cos²x ) = - sin²x.

Пример №6

Найти cosα, tgα, ctgα, если известно, что sinα = .

Решение: найдем сначала cosα. Из формулы sin²α + cos²α = 1 выразим cos²α, получим cos²α =1 - sin²α. Так как α является углом 2-ой четверти, то его косинус отрицателен. Значит,

Зная синус и косинус угла α, можно найти его тангенс:

Для отыскания котангенса угла α удобно воспользоваться формулой tgα·ctgα = 1. Имеем:

Пример№7

Известно, что tgα = 2 и 0<α<π/2. Найти sinα, cosα, ctgα.

Воспользовавшись формулой 1 + tg² α = , найдем cosα. Имеем:

1 + 2² = ;           = 5,  cos² α = 1/5

По условию угол α является углом 1-ой четверти, поэтому его косинус положителен. Значит, cosα =        

Зная cosα и tgα , можно найти sinα. Из формулы tgα =  получаем:

sinα = tgα· cosα =2·=

Для отыскания котангенса угла α удобно воспользоваться формулой tgα·ctgα = 1. Имеем:

 

    Выполните самостоятельно:

1.     Упростите выражение: а) sin² α -1; б) cos²x + (1 - sin²α); в) ;

г) tgα·ctgα +  ctg² α; д) (tg²x + 1)( 1-cos²α); е)7сos² α + 7sin² α – 5; ж) сos⁴ α + sin² α· сos² α

2.     Вычислите: а) сosα, если sinα = 0,6, 90⁰ <α<180⁰ ;

 б) sinα и  tgα, если  cosα = 0,8, ;

в) tgα = 7. Найти  сtgα, cosα.

 

 

 

 

 

 

 

 

                                       

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                        Конспект№3

 

 

«Формулы приведения».

   Формулы приведения позволяют вычислять значения тригонометрических функций  произвольного аргумента через значения тригонометрических функций острого угла. Рассмотрим это утверждение подробно для функций .

Если аргумент  больше , то разделив  на , получим , где   и . Далее, используя периодичность функций получаем ; .Если , то утверждение доказано. Пусть . Покажем, что и в этом случае вычисление  можно свести к значениям данных функций для угла , при этом значения , равные  и  не рассматриваем. Действительно, любой угол   можно представить в зависимости от величины  в виде , , , , где .

Значения синусов и косинусов таких углов вычисляются по формулам суммы и разности аргументов.

,                                   ,

,                                  ,

,                                   ,

,                                      ,

,                                     ,

,                                  ,

,                                     .

Данные формулы называются формулами приведения для синуса и косинуса. Докажем некоторые из них:

,,

, и т.д.

Аналогичные рассуждения можно провести для тангенса и котангенса. Если аргумент  больше , то, используя их периодичность, можем записать: , , где .Для перехода к аргументу  воспользуемся формулами приведения  для синуса и  косинуса: .

Аналогично доказываются следующие формулы приведения для тангенса и котангенса:, , .

Для запоминания формул приведения удобно использовать следующее правило.

1) При переходе через углы  наименование тригонометрической функции меняется на кофункцию ( на ,  на ,  на ,  на ). При переходе через углы  и  наименование функции сохраняется.

2) Знак перед приведенной функцией определяется знаком приводимой функции, в зависимости от четверти, к которой принадлежит ее аргумент.

Например: .

 Наименование функции меняем на кофункцию, так как аргумент содержит слагаемое . Знак перед приведенной функцией «+», поскольку , а во второй четверти .

 Другие примеры: 1.

 Наименование функции не меняем на кофункцию, так как аргумент содержит слагаемое . Знак перед приведенной функцией «-», поскольку , а в третьей четверти cosx<0

2.  вынесем за скобки «минус». Т.е. поменяем знак у каждого слагаемого, т.е. поменяем местами слагаемые, чтобы получить формулу приведения , т.к. функция синус нечетная, то знак минус вынесем за скобки

= -  = - sinα

 3.cos(α-π) = cos(-(π - α) функция косинус четная, а значит знак минус можно просто опустить

 cos(α-π) = cos(-(π - α) = cos(π - α) = - cosα

     4.Иногда удобно использовать таблицы формул приведения. Найдем,  используя таблицу. Смотрим столбик и находим sinx , а в строчке находим . На пересечении столбца и строчки найдем значение выражения cosx. Окончательно имеем:  = cosx.

                                          ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ

х	π + α	π - α	2π + α	2π - α
sin x	- sin x	sin x	sin x	- sin x
cos x	- cos x	- cos x	cos x	cos x
tg x	tg x	- tg x	tg x	- tg x
ctg x	ctg x	- ctg x	ctg x	- ctg x

 

х
sin x	cos x	cos x	- cos x	- cos x
cos x	- sin x	sin x	sin x	- sin x
tg x	- ctg x	ctg x	- ctg x	ctg x
ctg x	- tg x	tg x	- tg x	tg x

Выполните самостоятельно:

Приведите к тригонометрической функции угла α

 ;

 ;

;

 

  Найдем значение выражения cos120⁰

Решение:

Мы представили 120⁰ как разность 180⁰ и 60⁰. Учитывая,   что для углов 180⁰ наименование функции сохраняется, получим туже функцию cos. Угол  180⁰ - 60⁰     является углом второй четверти, где функция   косинус имеет знак минус. Окончательно имеем: cos120⁰ = cos(180⁰ – 60⁰) = - cos60⁰ = -0,5

Найдем значение выражения: cos

Решение: из дроби выделим целую часть, для этого разделим 8 на 3. Целых  2 и остаток 8-2·3 = 8-6 = 2, т.е. =

cos ()наименование функции не меняем на кофункцию, так как аргумент содержит слагаемое 2. Знак перед приведенной функцией «+», поскольку , а в первой четверти cosx>0

cos ()= cos приведем угол к углу первой четверти, т.е. = π-, тогда cos ()= cos = cos(π-) наименование функции не меняем на кофункцию, так как аргумент содержит слагаемое . Знак перед приведенной функцией «-», поскольку , а во второй четверти cosx<0. Окончательно имеем:

cos ()= cos = cos(π-) = -  cos= - 0,5

Проверь себя!

1.     Упростить выражение:

а)sin(90⁰ –α) + cos(180⁰ ₊ α) + tg(270⁰+α) + ctg(360⁰ +α)  (ответ: 0)

б) sin(π/2+α) -  cos(α-π) + tg(π - α) + ctg(5π/2 - α)  ( ответ: 2cosα)

  2. Найдите значение выражения: а) sin 240⁰; б) cos (-210⁰); в)  tg300⁰

Ответ. а) -;  б) -; в) -

 

 

 

 Контрольная работа №1

 

 

По теме «Тригонометрические функции»

Цель:  проверка  знаний  и  практических  умений  студентов

1.     Дано: cosα = 0,6, 1,5 π<α<2π. Вычислить а) sinα б)tg(π/2 +α)

2.     Докажите равенство:

3.     Найдите наименьшее и наибольшее значения выражения 6 sinα

4.     Переведите из градусной меры в радианную: а)150⁰ б)270⁰

5.     Переведите из радианной меры в градусную: а)

6.     Упростите выражение: (1 – sin² α): (1- cos² α)

                                                        Внимание!

Если вы выполнили предложенную вам работу, я предлагаю вам проверить правильность ее выполнения:

      №1 Решение: а) sinα = -Т.к cosα = 0,6, 1,5 π<α<2π,

 б) tg(π/2 +α) = - ctgα = -

№2 Решение:

№3 Решение: 6 sinα , т.к. -1 ≤ sinα ≤ 1, то     . -6 ≤ 6 sinα ≤ 6. Значит наименьшее значение функции равно -6, а наибольшее значение функции равно 6.

№4 Решение: а)150⁰ =             б)270⁰ =

№5 Решение: а)

№6 Решение: (1 – sin² α): (1- cos² α) = cos²x : sin²x = ctg²x

Надеюсь, что вы не нашли ошибочных решений у себя или их было очень мало!

 

Обобщающее повторение по зачетному разделу №1

 

 

 

Теоретическая разминка

(ответь сам или найди ответ с помощью материалов предыдущих занятий)

1.   Для каких значений угла  имеет смысл выражения:

           

2.  Какие знаки имеет синус, косинус, тангенс и котангенс в каждой из координатных четвертей?

3.   а) Чему равен ;   

      б) Чему равен

 4.  а) Выразите в радианах              

      б) Выразите в радианах

 5.  а) Назовите формулу, выражающую связь между синусом и

          косинусом одного и того же угла.    

      б) Чему равно выражение

6.   а) Как выражается тангенс угла через косинус того же угла?

      б) Как выражается котангенс угла через синус того же угла?

7.   а) Назовите формулы приведения для первой, второй, третьей и четвертой четвертей.

 

·        Найдите ошибку:

  Подумай и реши:

1. Упростите выражение:

2. Вычислите  и , если  

 

3. Упростите выражение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Зачет №1 по теме: «Тригонометрические  функции »

 

 

 Рассмотрите внимательно предполагаемый вариант зачета №1 и попробуйте свои силы.                           Желаю удачи!

Запишите cos с помощью наименьшего положительного числа:

а) sin ; б) sin ; в) cos; г) cos ;

2. Сравните с нулем выражения и выберите правильную серию ответов:

        sin; cos5 и tg1,6.

а) - - +    б) + + -;  в) - + - ; г) - + +.

3. Найдите значение выражения:

             5 sin²  - 3 cos² + tg

а) 2,5 б)1,25; в) 1,75; г) 1,5.

4.Упростите выражение:

а) соs; б) -sin²; в) sin²; г) соs²;

5.Дано:  соs = - и    <

Найти: sin

а) - ; б) ; в)  ;г) -

6. Упростите выражение:

а) 2tg2; б)  -2сtg2; в) 2сtg2; г) -2tg2;

8. Найдите значение выражения: , если tg= -2 а) -;   б) -3;    в) ;    г) -5.

Зачётный раздел №2

Конспект № 4

 

«Тригонометрические уравнения»

Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшие тригонометрические уравнения решаются по формулам:

	x=arcsin𝒂+𝛑𝛋 (|𝒂|≤1), 𝛋
	x=±arccos𝒂+2𝛑n (|𝒂|≤1), n
tgx=𝒂	x=arctg𝒂+𝛑m, m
ctgx=𝒂	x=arcctg𝒂+𝛑m, m

 

При решении частных случаев уравнений удобно использовать более простые формулы:

sinx=-1	x= - +2𝛑𝛋, 𝛋
sinx=0	x=𝛑𝛋, 𝛋
sinx=1	x= +2𝛑𝛋, 𝛋

 

cosx=-1	x=𝛑+2𝛑n, n
cosx=0	x= +𝛑n, n
cosx=1	x=2𝛑n, n

 

 Пример:

) = 2

 Решение:

)=

2х- =arcsin+𝛑𝛋, 𝛋

2х= +arcsin+𝛑𝛋, 𝛋

 х=arcsin+𝛋, 𝛋 

Ответ: arcsin+𝛋, 𝛋

 

           

                   Некоторые способы решения тригонометрических уравнений

1.  Введение новой переменной

·        Приводимые к квадратным

·        Однородные

·        Симметричные

·        Универсальная подстановка

2.  Разложение на множители

·        Вынесение общего множителя за скобки

·        Применение формул сокращенного умножения

·        Применение  тригонометрических тождеств

3.  Понижение степени уравнения

4. Метод вспомогательного аргумента

5. Метод оценки левой и правой частей уравнения

6. Графический способ

7. Метод сравнения аргументов одноименных функций

1. ВВЕДЕНИЕ НОВОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Однородные уравнения

1) -2=3;

+-=2;

3) -=2-2;

4) 2++3=3

 Пример:

2++3=3

 Решение:

2++3=3+3

+-3=0  | :0     

Действительно, если =0, то из данного уравнения следует, что =0, однако, +=1, следовательно,

tg²x – 3tgx + 2 = 0

Замена:   tgx=у

у²-3у+2=0

 у₁= 1;     у  

 

Выполним обратную замену:          

tgx=1               или               tgx=2

x=+𝛑𝛋, 𝛋 Z                        x=arctg2+𝛑n, n Z      

 

Ответ: +𝛑𝛋, 𝛋 Z;  arctg2+𝛑n, n Z      

Введение новой переменной. Симметричные уравнения

Уравнения, которые при  замене на  и наоборот не изменяются, являются симметричными.  Такие  уравнения решаются с помощью замены:     

у=

 у²=1+2

=  =у²-1

 

1)()=4;

2) ++=1;

3) -2+=0;

4) =1+;

  Пример:

()=4

 Решение:

Пусть      у=,         тогда = 

у=2(у²-1)        

у-2у²+2=0

у₁=,  у₂=-

Таким образом, решение исходного уравнения сводится к решению двух тригонометрических уравнений:

=,                         =

+=1        +=-

)=1)=-

х=+2𝛑n, nZ               х=-+𝛑𝛋, 𝛋Z

Ответ:+2𝛑n, nZ; -+𝛑𝛋, 𝛋Z.

 

Метод универсальной тригонометрической подстановки

Формулы универсальной тригонометрической подстановки: sin ;      ;      tg ;      ctgx =

 

1) 2+2tg²x = 5;

2) + ctg= 2;

3) ctg( - x)=5tg2x + 7;

4) () + 2=0;

  Пример:

2+2tg²x = 5

Решение:

Подстановка:     =

                          2* +2tg²x = 5

Замена:  tg²x=𝒂 , 𝒂≥0

 + 2𝒂 = 5

𝒂₁=3;   𝒂₂= - - не подходит, т.к. 𝒂≥0

Выполним обратную замену:

tg²x=3;    

tgx= ,                            x= + 𝛑n, n,

tgx=- ;                           x=-  + 𝛑𝛋, 𝛋.

Ответ: ± + 𝛑m, m

Разложение на множители

1) +=0;       

2)                  

3) (1+ctgx)+(1+tgx)=;

4) ;

 

 Пример:

++=0

Решение:

++=0

2+=0

(2+1)=0                                                  

=0                или        2+1=0

2х=𝛑n, nZ                       =-

х=n, n                            х=arccos(- +2𝛑𝛋, 𝛋Z

                                                 х=+2𝛑𝛋, 𝛋

 

Ответ: n, n;   +2𝛑𝛋, 𝛋 

Понижение степени       

=             =

Если показатели степеней синусов и косинусов, входящих в уравнение, четные, то понижение степени производится по формулам половинного аргумента.

 

1) +=2 - 2;

2) +++= 2;

3)+=1;

4) +=  ;

 

 Пример:

 +  =

 Решение:

+ = 

Замена: =t                           

+=

2+20t²+10t⁴=58t⁴

24t⁴-10t²-1=0

Пусть  t²=y, где  y≥0, тогда

24y²-10y-1=0

y₁=

y₂= - - ; y₂‹0,   

Тогда    t²= ,        t₁= ,   t₂=

Выполним обратную замену:

= ,    х=±+𝛑n, n

= ,   х=±+𝛑n, n

Ответ:  + , 𝛋

            

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа № 2

 

 

по теме «Тригонометрические уравнения»

Цель:  проверка  знаний  и  практических  умений  студентов

1 вариант

         А1.   arccos a   имеет смысл, если:

а) а[0;];   б) а[-1;1];    в) а[-;];    г) а(-1;1).

   А2. Решением уравнения   cos х = 0  являются:

а) х =+2n, nZ;   б) x =n, nZ;  в) x =+n, nZ;  г) x =+2n, nZ.

         А3. Вычислите:   arcsin 0  +  arctg

             а)0,5;                б) 1;                          в);               г).

   А 4. Уравнение  2tg х = -3:

              а) имеет  одно решение; б) не имеет решения;  в) имеет  два решения;

              г) имеет бесконечное множество решений.

         А5. Уравнение   sin х =   имеет решения:

а) x =(-1)n+2n, nZ;   б) x =(-1)n+2n, nZ;  в) x =(-1)n +n, nZ;                г) x =(-1)n+n, nZ.          В. Решите  уравнения:                  а) cos () = ;      б)  sin2 x – 3 cos x – 3 = 0;   в) 1 + sin x = 0.

 

2 вариант

         А1.   arcsin a   имеет смысл, если:

а) а[0;];   б) а[-1;1];    в) а[-;];    г) а(-1;1).

   А2. Решением уравнения   cos х =  - 1  являются:

а) х =+2n, nZ;   б) x =n, nZ;  в) x =+n, nZ;  г) x =+2n, nZ.

         А3. Вычислите:   arcos 0  +  arctg 1

             а)0,5;                б) 1;               в);               г).

   А 4. Уравнение  ctg х - 4 = 0:

              а) имеет  одно решение; б) не имеет решения;  в) имеет  два решения;

              г) имеет бесконечное множество решений.

         А5. Уравнение   sin x =   имеет решения:

а) x =(-1)n+2n, nZ;   б) x =(-1)n+2n, nZ;  в) x =(-1)n +n, nZ;                г) x =(-1)n+n, nZ.          В. Решите  уравнения:                  а)  sin () = ;   б)  cos2 x – 4 sin x – 1 = 0;  в) 1 + sin x = 0.         Критерии оценки контрольной  работы   Задания Баллы Примечание А1 – А5 5 Каждый правильный ответ  1  балл В 6 Каждый правильный ответ  2 балла   Максимальный балл за работу – 11  баллов Шкала перевода баллов в отметки   Отметка Число баллов, необходимое для получения отметки « 5» (отлично)  10-11 « 4» (хорошо)  9-10 « 3» (удовлетворительно) 6-8 « 2 « (неудовлетворительно) менее 5

 

 

 

 

 

 

Ответы к контрольной работе

 

	1 Вариант	2 Вариант
А1	б)	б)
А2	в)	г)
А3	в)	г)
А4	г)	г)
А5	в)	в)
В	а) x =+ + 4πn, nZ; б) х = π + 2πn, nZ; в)  x =+ 2πn, nZ.	а) x =( - 1)n -  + 2πn, nZ; б) х = 0 + πn,nZ; в)  x =+ 2πn, nZ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обобщающее занятие  по  зачётному разделу №2

  

                                         Теоретическая разминка

(ответь сам или найди ответ с помощью материалов предыдущих занятий)

                        

                                                  Теоретическая часть:

1.     Определение арккосинуса числа а.

2.     Решение уравнения вида cos t = a (показать на окружности).

3.     Арккосинус отрицательного числа (показать на окружности).

4.     Определение арксинуса числа а.

5.     Решение уравнения вида sin t = a (показать на окружности).

6.     Арксинус отрицательного числа (показать на окружности).

7.     Определение арктангенса числа а.

8.     Решение уравнения вида tg t = a (показать на окружности).

9.     Арктангенс отрицательного числа (показать на окружности).

10. Определение арккотангенса числа а.

11. Решение уравнения вида ctg t = a (показать на окружности).

12. Арккотангенс отрицательного числа (показать на окружности).

13. Однородные тригонометрические уравнения первой степени.

14. Однородные тригонометрические уравнения второй степени.

                                        

                                                   Практическая часть:

1.     Вычислить:

а)            б)

в)                                    г)

2.     Решить уравнения:

а)          б)

в)                г)

д)          е)

 

3.     Решить неравенства:

а)                  б)

в)                   г)

д)         е)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зачет №2 по теме: «Тригонометрические  уравнения»

 

 

 

Рассмотрите внимательно предполагаемый вариант зачета №2 и попробуйте свои силы. Желаю удачи!

  

Проверяемые элементы содержания и виды деятельности:

умение решать простейшие тригонометрические уравнения.

1. Решите уравнение  .

1)         2)          3)           4)

2. Решите уравнение  cos2x = 0.

1) ;    2) ;    3) ;  4) .

3. Решите уравнение   ctg² x = 3.

1)         2)          3)          4)

4. Решите уравнение  -3sinx = 0.

1) πm, mZ;       2) 2 πm, mZ;          3) , mZ;         4) , mZ.

5. Решите уравнение  .

1)      2)       3)     4)

6. Решите уравнение  .

     1) х=π+pk, kΠ Z;  2) х=+pk, kΠ Z;  3) х=2pk, kΠ Z;     4) х=π+2pk, kΠ Z.

7. Решите уравнение  .         

1) x=π+2πk, kΠ Z;   2) x=-πk, kΠ Z;     3) x= -+πk, kΠ Z;      4) x=2πk,  kΠ Z.

8. Решите уравнение  sinx – sin² x = cos²х.

     1) х=+2pk, kΠ Z;  2) х=2pk, kΠ Z;  3) х=pk, kΠ Z;     4) х=+pk, kΠ Z.     

9. Найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения    .

   1)                      2) 0                     3)                            4)

 10. Найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения   .

   1)                            2)                            3)                            4)

 

 11.Решите уравнение   .

     1)            2)           3)          4)

12. Решите уравнение   .                               

 1)    2)      3)    4)

 

13.Решите уравнение 

     1) х= π+2pk, kΠ Z;    2) х=+pk, kΠ Z;    3) х=pk, kΠ Z;     4) х=+pk, kΠ Z.   

14. Решите уравнение  sinx - cosx = 0.

       1) +pk, kΠ Z;      2) ±+2pk, kΠ Z;    3) +pk, kΠ Z;     4) -+pk, kΠ Z. 

 

15. Решите уравнение    .

1) ;            2) ;       3) ;      4) .

16. Решите уравнение    .

1) ;      2) ;    3) ;  4) .

17. Решите уравнение    .

18. Решите уравнение    .

19. Решите уравнение    .

20. Решите уравнение    .

21. Решите уравнение    .

22. Решите уравнение    .

23. Решите уравнение    .

24. Решите уравнение    .

Ответы:

 

№ вопроса	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Ответ	3	1	1	1	3	4	2	1	2	1	3	4	2	1	2	1

 

 

№ вопроса	17	18	19	20	21	22	23	24
Ответ	1	2	2	1	1	3	2	2

 

 

 

 

 

 

 

 

Зачётный раздел №3

Конспект № 5

 

«Преобразование тригонометрических выражений»

                           Косинус суммы и разности двух аргументов

 Для любых двух углов    и   справедливо тождество

.

Доказательство. На единичной окружности возьмем точки ,   и , соответствующие углам   ,  ,    и  .

Найдем координаты данных точек пользуясь определениями синуса и косинуса:

, 

, .

Очевидно, что отрезки  и  равны как хорды, стягивающие равные дуги. Выразим длины этих отрезков через координаты точек  , ,    и  .

;

.

Так как , то, возводя обе части этого равенства в квадрат и выполняя преобразования, получаем цепочку эквивалентных равенств

. ■

  Для любых двух углов    и   справедливо тождество

.

Доказательство.

так как  и .■

Синус суммы и разности аргументов

Предварительно докажем формулы:

1)  ;                2) .

1)  .

2) 

Теорема 1. Для любых углов     и    справедливо тождество

.

Доказательство. Используя формулы  1) и  2),  докажем теорему 1

■

Теорема 2. Для любых углов     и    справедлива формула

.

Доказательство.

так как , .

 

 

Тангенс суммы и разности двух аргументов

Тангенс суммы двух аргументов можно получить из рассмотренных выше формул:

Рассмотрим примеры на применение данных формул

Пример 1

Используя формулы сложения, вычислить cos75⁰ ; sin75⁰.
Решение:

соs 75⁰ = cos(45⁰ + 30⁰) = cos45⁰cos30⁰ – sin45⁰sin30⁰  =

Sin 75⁰ = sin(45⁰ + 30⁰)= sin45⁰cos30⁰ + cos45⁰sin30⁰=  

Закончите вычисления с помощью вышерассмотренных формул:

а) сos105⁰= cos(60⁰ +45⁰) =

б)sin15⁰   = sin(45⁰ – 30⁰) =

Пример 2

Дано sinα = 0,6, sinβ = 0,8, π/2<α<π, π/2<β<π.  Найти sin(α+β)

Решение: sin(α+β) = sinαcosβ+sinβcosα

Так как по условию задачи углы α и β принадлежат второй четверти, то cosα и cosβ имеют знак «минус». Используем формулs  cos²α = 1-sin²α; cos²β = 1-sin²β

cos²α = 1-0,6²= 1-0,36 = 0,64

cosα = -= -0,8

cos²β = 1-0,8²= 1-0,64 = 0,36

cosα = -= -0,6

Подставим полученные данные и имеющиеся в условии данные в формулу sin(α+β) = sinαcosβ+sinβcosα и выполним действия

sin(α+β) = 0,6·(-0,8)+0,8·(-0,6) = -0,48-0,48=-0,96

Используя решение примера №2 в качестве образца, вычислите

 cos(α + β), если sinα = 0,6, sinβ = 0,8, π/2<α<π, π/2<β<π

 

Пример №3.  

Найдите значение выражения cos76⁰cos16⁰ + sin76⁰sin16⁰

Решение: cos76⁰cos16⁰ + sin76⁰sin16⁰ здесь развернутая формула косинуса разности двух углов. Вспомним, что, значит: cos76⁰cos16⁰ + sin76⁰sin16⁰ = cos(76⁰ – 16⁰) = cos60⁰ = 0,5

 

 Вычислите самостоятельно:

 а)sin58⁰cos13⁰ + cos58⁰sin13⁰

б)cos16⁰cos14⁰ – sin16⁰sin14⁰

 

Пример №4

Упростить выражение: cos(α + β) + cos(α - β)

Решение: воспользовавшись формулами косинуса суммы косинуса разности, получим: cos(α + β) + cos(α - β) =  cosαcosβ – sinαsinβ + cosαcosβ + sinαsinβ  = 2 cosαcosβ

 

Упростите самостоятельно:

а) cos(α + β) – cosαcosβ; 

б) sinα cosβ – sin(α - β).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                            Конспект №6

 

Тригонометрические функции двойного и

половинного аргументов

Теорема 1. Для любого угла  справедливы тождества:

;      

 ,                (1)

которые называются формулами двойного угла.

Доказательство. В формулах  и  положим  равным . Получим тождества: , .■

Следствие. Из формулы  следуют формулы:

           .

Доказательство.

 

Теорема 2. Формулы двойного угла для тангенса и котангенса имеют вид:

, где ;

, где .

Доказательство.

В формулах  и  положим  равным . В результате получим формулы двойного угла для тангенса и котангенса.

Используя формулы двойных углов, можно получить формулы половинного угла для тригонометрических функций.

1. Из формул следствия теоремы 1 найдем  и :

, .

В данных формулах  заменим на :

, ,

откуда следует , .

Знаки перед корнями соответствуют знакам  и .

2. , где ;

, где .

Знаки перед корнями соответствуют знакам  и .

Доказательство. Формулы получаются при почленном делении каждого тождества из предыдущего пункта 1.

3.Для любого  справедлива формула ;

     для любого  справедлива формула .

Доказательство первой формулы:

.

Вторая формула доказывается аналогично.

4. Выразим тригонометрические функции через тангенс половинного аргумента. Докажем, что для любого угла , , справедливы формулы: , , , если при этом , то .

Доказательство. .

Разделив числитель и знаменатель дроби на  (, так как ), получим: .

Аналогичным способом доказывается вторая формула:

;

;

Рассмотрим примеры на применение вышерассмотренных формул

Пример №1

Упростите выражение:

Решение: В числите дроби мы видим формулу синуса двойного угла sin2α =2 sinαcosβ, имеем

( здесь мы числитель и знаменатель дроби сократили на одинаковый множитель sinα).

Пример №2

 Упростите выражение: cos² β- cos2β

Решение: в данном выражении встречается формула косинуса двойного угла

 cos2β = cos² β-sin²β

упростим выражение  cos² β- cos2β = cos² β – (cos² β-sin²β) = cos² β – cos² β+sin²β = sin²β

Упростите следующие выражения самостоятельно:

а) ;  б)  cos2β + sin²β;  в)

Пример №3

Найти значение sin2α, если cosα = -0,8, α  - угол 3-ей четверти.

Решение: сначала вычислим sinα . Так как α – угол 3-ей четверти, то sinα<0. Поэтому

По формуле синуса двойного угла имеем: sin2α =2 sinαcosβ = 2·(-0,6)·(-0,8) = 0,96

Самостоятельно найди значение cos2α, если sinα = -0,8, α  - угол 3-ей четверти.

Пример №4

Упростить выражение:

Решение: к выражению 1 – cosα применим формулу 1 – cos2α= 2sin²α и, представим α в виде произведения 2· , получим 1 – cosα =2sin².

   К выражению 1 + cosα применим формулу 1 + cos2α= 2cos²α и, представим α в виде произведения 2· , получим 1 + cosα =2cos².

Упростим данное выражение =

Упростите самостоятельно: а) ; б)

Пример №5

Вычислите: а) 2sin45⁰cos45⁰

Решение: 2sin45⁰cos45⁰ = sin2·45⁰ = sin90⁰ = 1

б) 4cos² 45⁰ -4sin45⁰

Решение: 4cos² 45⁰ -4sin45⁰ = 4(cos² 45⁰ -sin45⁰) =4 cos2·45⁰ =4 cos90⁰= 0

в)

Вычислите самостоятельно: а) 2sin15⁰cos15⁰ б) cos² 15⁰ –sin15⁰ в) .

 

                                

                                             Конспект №7

 

 

 

Конспект №7

 

 

               Формулы суммы и разности тригонометрических функций

Теорема: сумма синусов  двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности

Sin α + Sinβ = 2

Докажем это: положим, α = х + у; и β = х – у и воспользуемся формулами синуса суммы  и синуса разности.

Получим: Sin α + Sinβ = Sin (х + у) + Sin(х – у) = sinxcosy + cosxsiny + sinxcosy – cosxsiny = 2 sinxcosy

Из равенства α = х + у; и β = х – у найдем сумму этих выражений α + β = 2х, откуда  х = ; найдем разность выражений:  α - β = 2у и выразим у; у = . Поэтому

Sin α + Sinβ = 2

Аналогично можно вывести формулы разности синусов, суммы и разности косинусов:

Формула разности синусов:   Sin α - Sinβ = 2

Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус их полусуммы.

Формула суммы косинусов:   cosα +  cosβ = 2

Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинусов полусуммы этих углов на косинус полуразности этих углов.

Формула разности косинусов:  cosα -  cosβ = - 2

Разность косинусов двух углов равна взятому со знаком «минус» удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на синус их полуразности.

Формула суммы тангенсов:  

Формула разности тангенсов:  

Рассмотрим примеры применения полученных формул.

Пример №1

Упростим сумму Sin 10⁰ + Sin50⁰

Решение: Sin 10⁰ + Sin50⁰ =                                     =2

Пример №2

Представить в виде произведения:   cos15⁰ +  cos45⁰ = 2

Пример№3

Докажите, что

Доказательство: преобразуем левую часть равенства используя формулы суммы синуса и косинуса суммы двух углов:

Пример №4 Найдите значение выражения:

преобразуем левую часть равенства используя формулы разности синуса и косинуса разности двух углов: =

Попробуйте свои силы: 1. Представить в виде произведения:

 а) cos46⁰ -  cos74⁰; б)sin15⁰ +  sin45⁰ ; в)cos50⁰ +  cos10⁰ ; г) tg15⁰ +  tg45⁰

2.     Докажите, что  

3.      

                           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                       Контрольная работа № 2

 

 

 

по теме: « Преобразования тригонометрических выражений»

Цель:  проверка  знаний  и  практических  умений  студентов

Подготовительный вариант

1.     Вычислите: a)cos100⁰cos40⁰ + sin100⁰sin40⁰; б) cos²75⁰ – sin²75⁰

2.     Упростите выражение: (1-cos²(π-x))(1-cos²(1,5π-x))

3.     Дано: cosα = 0,6, 1,5 π<α<2π. Вычислить а) sin2α б)cos (π/6- α)

4.     Докажите тождество: (sint -cost)² = 1 - sin2t

5.     Вычислите:

Проверь свое решение:

№1 Решение:

  а)cos100⁰cos40⁰ + sin100⁰sin40⁰ = cos(100⁰ – 40⁰) = cos60⁰ = 0,5

         б) cos²75⁰ – sin²75⁰ = cos150⁰ = cos(180⁰ -30⁰) = -cos30⁰ = -

       №2 Решение: (1-cos²(π-x))(1-cos²(1,5π-x)) = (1-cos²x)(1-sin²x) = sin²x·cos²x= 0,5sin²2x

       №3 Решение:

а) sin2α = 2sinαcosα. Т.к.  cosα = 0,6, 1,5 π<α<2π,  то

sin2α = 2sinαcosα = 2·(-0,8)·0,6 = - 0,96

б) cos (π/6- α) = cos

№4 Решение:

(sint – cost)² = sin²t – 2sintcost + cos²t = 1 – sin2t

  1 - sin2t = 1- sin2t

№5Решение:

Надеюсь, что ошибок было мало и можно готовиться к зачету!

 

 

                                  Обобщающее повторение

 по зачетному разделу  №3

 

Теоретическая разминка

  (ответь сам или найди ответ с помощью материалов предыдущих занятий)

1.     Чему равен синус суммы двух углов?

2.     Чему равен косинус суммы двух углов?

3.     Чему равна разность синусов двух углов?

4.     Чему равна разность косинусов двух углов?

5.     Чему равна сумма синусов двух углов?

6.     Чему равна сумма косинусов двух углов?

7.     Чему равен синус разности двух углов?

8.     Чему равен косинус разности двух углов

9.     Назовите формулы двойного угла.

·        Найдите ошибку:

  Реши самостоятельно

1. Упростите выражение:

        

2. Упростите выражение:

        

3. Вычислите , если

        

5. Докажите тождество:

        

6. Сократите дробь:

        

7. Сократите дробь:

        

Благодарю за сотрудничество. Надеюсь на удачную сдачу зачета!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                      Зачет №3 по теме:

« Преобразование тригонометрических выражений »

 

1.     Запишите формулы сложения для тригонометрических функций.

2.     Выведите формулы приведения для аргументов π/2 + α ; π – α.

3.     Запишите формулу двойного аргумента.

4.     Выведите формулы для cos2α, cosα/2.

5.     Запишите формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

6.     Запишите формулы преобразования разности тригонометрических функций в произведение.

7.     Вычислите sin14⁰cos31⁰  + sin31⁰ cos14⁰

8.     Упростите выражение tqx (1 + cos2x)

9.     Вычислите sin x/2, если sinx = 0,6, 0<x<π/2.

10. Упростите выражение: cos50⁰ cos20^{0 –} 0/5cos70⁰

11. Вычислите: sin105⁰ + sin75⁰

12. Упростите: 2sin40⁰sin50⁰

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                    Итоговая контрольная работа по теме «Тригонометрия»

 

 

 

      1 вариант

 

1).  Вычислить:

 

2). Упростить выражение:

 

3). Доказать тождество:

 

4). Решить уравнение

а).

5). Зная, что  и  ,  найти .

 

 

 

 

 

 

2 вариант

 

1).  Вычислите:

 

2). Упростить выражение:

 

3). Доказать тождество:

 

4). Решить уравнение

а).

5). Зная, что  и  ,  найти .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

         Справочный материал по теме «Тригонометрия»

 

 

 

 

 

 

Макеты числовой окружности

Связь градусной и радианной мер

Определение тригонометрических функций

Синусом числа t  называется ордината точки  Рt  числовой окружности :  sin t  = у Косинусом числа t  называется абсцисса точки  Рt числовой окружности :  соs t = х Cекансом числа t называется обратное значение косинусу числа t : Косекансом числа t называется обратное значение синусу числа t :

Тангенсом числа t называется отношение sin t  к  cos t. Котангенсом числа t называется отношение cos t  к  sin t. Ось тангенсов  –  прямая х = 1. Ось котангенсов  –  прямая у = 1.

Знаки тригонометрических функций по четвертям

sin t

cos t

tg t   и  ctg t

Чётные и нечётные функции

Функция f называется  чётной,  если для любого х из её области определения   f ( - х) = f (х). Функция f называется  нечётной,  если для любого х из её области определения   f ( - х) = - f (х). График чётной функции симметричен относительно оси ординат. График нечётной функции симметричен относительно начала координат. Функции  y = sin x,  y = tg x ,  y = ctg x  -  нечётные, т.к.  sin (- x) = - sin x ,  tg (- x) = - tg x ,  ctg (- x) = - ctg x .   Функция  y = cos x  - чётная , т.к.  cos (- x) = cos x .

Мнемоническое правило для запоминания формул приведения

1. Функция в правой части берётся с тем же знаком, который имеет исходная функция, если считать,     что угол  α  является углом  I четверти. 2. Для углов   название исходной функции сохраняется; для углов     и    название     исходной функции заменяется (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс)

Периодичность тригонометрических функций

Функция  y = f(x) называется  периодической , если существует число Т (Т ≠ 0), что для любого х из области определения   f(x -T) = f(x) = f(x +T).      Период функции представляющей собой сумму непре- рывных и периодических функций, равен наименьшему кратному периодов слагаемых. #   ;

Наименьший положительный период функций y = sin x  и  y = cos x равен  .    Наименьший положительный период функций y = tg x  и  y = ctg x  равен является . Формула для нахождения периода:    #   , то  #   ,то

Функция

Преобразование графика функции  y = f (x)

у = f (x) + а

Параллельный перенос вдоль оси ординат на а единиц вверх.

у = f (x) - а

Параллельный перенос вдоль оси ординат на а единиц вниз.

у = f (x + а)

Параллельный перенос вдоль оси абсцисс на а единиц влево.

у = f (x - а)

Параллельный перенос вдоль оси абсцисс на а единиц вправо.

у = k f (x), k › 0

Растяжение вдоль оси ординат в k раз.  (Растяжение от оси абсцисс в k раз)

у =  f (x) , k › 0

Сжатие вдоль оси ординат в k раз.  (Сжатие к оси абсцисс в k раз)

у = -  f (x)

Симметричное отображение его относительно оси ОХ.

у = f (-x)

Симметричное отображение его относительно оси ОУ.

у = f (k x), k › 0

Сжать вдоль оси ОХ в k раз.

у =  , k › 0

Растянуть вдоль оси ОХ в k раз.

у = | f (x)|

Часть графика расположенная выше оси абсцисс остаётся без изменения, а расположенная ниже оси абсцисс отображается симметрично  этой оси.

у =   f (|x|)

Часть графика, расположенная в области х ≥ 0, остаётся без изменения , а его часть для области  х ≤ 0  заменяется симметричным отображение относительно оси ОУ части графика для  х ≥ 0.

Замечание:   Чтобы построить график функции  , необходимо выполнить преобразование                              , а затем только строить график

Графики основных тригонометрических функций

y = sin x         D(y) = R                                          E(y) = [-1; 1]

y = cos x         D(y) = R                                               E(y) = [-1; 1]

y = tg x                                   E(y) = R

y = ctg x                                               E(y) = R

Две точки, симметричные относительно

Оси абсцисс

Оси ординат

Начала координат

 

Значения тригонометрических функций некоторых углов
t	00   0	300	450	600	900	1200	1350	1500	1800		2100	2250	2400	2700	3000	3150	3300	3600
sin t	0				1				0					- 1				0
cos  t	1				0				- 1					0				1
tg t	0		1		--		- 1		0			1		-		- 1		0
ctg t	--		1		0		- 1		--			1		0		- 1		-
Решение тригонометрических уравнений
sin x = a, |a|≤ 1                                               Частные случаи: sin x = 1                              sin x = 0                                     sin x = -1                      sin2x = a, 0 ≤ a ≤ 1               sin x = a,
cos x = a, |a|≤ 1                                                 Частные случаи: cos x = 1                              cos x = 0                                     cos x = -1                                                             cos2x = a, 0 ≤ a ≤ 1                                            cos x = a,
tg x = a ,                 tg2x = a,     tg x = a ,										сtg x = a ,                сtg2x = a,  сtg x = a ,

 

Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс

1)    arcsin a = x   , sin x = a, |a| ≤ 1. 2)  arcsin (-a) = - arcsin a

1)      arccos a = x   , cos x = a, |a| ≤ 1. 2)  arccos (-a) =  - arccos a

a

0

1

a

0

1

arcsin  a

0

arccos  a

0

1)      arctg a = x   , tg x = a,  R 2)      arctg (-a) = - arctg a

1)      arcctg a = x   , ctg x = a,  R. 2)  arcctg (-a) =  - arcctg a

a

0

1

-1

a

0

1

-1

arctg  a

0

arcctg  a

Обратные тригонометрические функции

y = arcsin x         D(y) = [-1; 1]

y = arccos x           D(y) = [-1; 1]

y = arctg x         D(y) = R

y = arcctg x           D(y) = R

Тождества

1) , если |х| ≤ 1 2) sin (arcsin x) = x,  если  - 1≤ х ≤ 1 3) сos (arccos x) = x,  если  - 1≤ х ≤ 1 4) arcsin (sin x) = x,  если  5) arcсos (cos x) = x,  если  0 ≤ х ≤ 6) sin (arccos x) = , если |х| ≤ 1 7) сos (arcsin x) = , если |х| ≤ 1

1) 2) tg (arctg x) = x 3) сtg (arcctg x) = x 4) arctg (tg x) = x,  если  |x| < 5) arcсtg (ctg x) = x,  если  0 < х <

Формулы    тригонометрии

Основные формулы

Формулы двойного угла

Формулы понижения степени

Формулы половинного угла

Формулы сложения

Произведение тригонометрических функций

Дополнительные формулы

Формулы тройного угла

Сумма тригонометрических функций

Универсальная подстановка

Формула дополнительного угла     , где

Решение простейших тригонометрических уравнений

Однородные тригонометрические уравнения

Уравнения вида  a sin x + b cos x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением I степени; уравнение вида a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0  называют однородным тригоно- метрическим уравнением II степени. Чтобы решить однородное уравнение первой степени, необходимо обе части уравнения разделить на sin x  или  cos x, а при решении однородного уравнения второй степени разделить обе части уравнения на sin2x  или  сos2x. (сos x ≠ 0  и sin x ≠ 0, т.к. sin x  и cos x  обращаются в нуль в различных точках).

разделим на cos x

|:cos2x