Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»

библиотека
материалов

hello_html_m45726be4.gifhello_html_3e001793.gifhello_html_3bb98dfa.gif














Модель урока на тему:


«Решение тригонометрических уравнений и неравенств»


в рамках реализации регионального компонента по математике

для учащихся 10 класса.







Помыкалова

Елена Викторовна

учитель математики

МОУ СОШ поселка Восход

Балашовского района

Саратовской области








Цель урока.

1. Обобщить теоретические знания по теме: «Решение тригонометрических уравнений и неравенств», повторить основные методы решения тригонометрических уравнений и неравенств.

2. Развивать качества мышления: гибкость, целенаправленность, рациональность. Организовать работу учащихся по указанной теме на уровне, соответствующем уровню уже сформированных знаний.

3. Воспитывать аккуратность записей, культуру речи, самостоятельность.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний, приобретенных при изучении данной темы.

Методы обучения: системное обобщение, тестовая проверка уровня знаний, решение обобщающих задач.

Формы организации урока: фронтальная, индивидуальная.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, бланки ответов, карточки с заданием, таблица формул корней тригонометрических уравнений.


















Ход урока.

I. Начало урока

Учитель сообщает учащимся тему урока, цель, обращает внимание учащихся на раздаточный материал.

II. Контроль знаний учащихся

1) Устная работа (Задание проектируется на экран)

Вычислите:


а) hello_html_m6de4a085.gif;

б) hello_html_3a9d701d.gif;

в) hello_html_m3f8a448d.gif;

г) hello_html_1195f4b9.gif;

д) hello_html_6fd1888b.gif;
е)
hello_html_m810ba27.gif.


2) Фронтальный опрос учащихся.

Какие уравнения называются тригонометрическими?

Какие виды тригонометрических уравнений вы знаете?

Какие уравнения называются простейшими тригонометрическими уравнениями?

Какие уравнения называются однородными?

Какие уравнения называются квадратными?

Какие уравнения называются неоднородными?

Какие способы решения тригонометрических уравнений вы знаете?


После ответа учащихся на экран проектируются некоторые способы решения тригонометрических уравнений.

  1. Введение новой переменной:

1. 2sin²x – 5sinx + 2 = 0. №2. tg hello_html_1e04a11c.gif + 3ctg hello_html_1e04a11c.gif = 4.

Пусть sinx = t, |t|≤1, Пусть tg hello_html_1e04a11c.gif = z,

Имеем: 2t² – 5t + 2 = 0. Имеем: z + hello_html_259f9e0e.gif = 4.

2. Разложение на множители:

2sinx cos5xcos5x = 0;

cos5x (2sinx – 1) = 0.

Имеем: cos5x = 0,

2sinx – 1 = 0; …

3. Однородные тригонометрические уравнения:

I степени II степени

a sinx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0). a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0.

Разделим на cosx ≠ 0. 1) если а ≠ 0, разделим на cos²x ≠ 0

Имеем: a tgx + b = 0; … имеем: a tg²x + b tgx + c = 0.

2) если а = 0, то

имеем: b sinx cosx + c cos²x =0;…

4. Неоднородные тригонометрические уравнения:

Уравнения вида: asinx + bcosx = c

4sinx + 3cosx = 5.

(Показать два способа)

1)применение универсальной подстановки:

sinx = (2tg x/2) / (1 + tg2x/2);

cosx = (1– tg2x/2) / (1 + tg2x/2);

2)введение вспомогательного аргумента:

4sinx + 3cosx = 5

Разделим обе части на 5:

4/5sinx + 3/5cosx = 1

Т. к. (4/5)2 +(3/5)2 = 1, то пусть 4/5 = sinφ; 3/5=cosφ, где 0< φ<π/2, тогда

sinφsinx + cosφcosx = 1

cos(xφ) = 1

xφ = 2πn, nZ

x = 2πn + φ, nZ

φ = arccos3/5, значит, x = arcos 3/5 +2πn, nZ

Ответ: arccos3/5 + 2πn, nZ

3)Решение уравнений с применением формул понижения степени.

4)Применение формул двойного и тройного аргументов.

a) 2sin4xcos2x = 4cos32x – 3cos2x


cos6x +cos2x = cos6x


III. Выполнение тестового задания

Учитель предлагает учащимся применить только что сформулированные теоретические факты к решению уравнений.

Задание проводится в виде теста. Учащимися заполняется бланк ответов, находящийся у них на партах.

Задание проектируется на экран.

Предложите способ решения данного тригонометрического уравнения:

1) приведение к квадратному;

2) приведение к однородному;

3) разложение на множители;

4) понижение степени;

5) преобразование суммы тригонометрических функций в произведение.

Бланк ответов.

Вариант I

Уравнение

Способы решения


1

2

3

4

5

3 sin²x + cos²x = 1 - sinx cosx






4 соs²x - cosx – 1 = 0






2 sin² x/2 + cosx = 1






cosx + cos3x = 0






2 sinx cos5x – cos5x = 0






Вариант II

Уравнение

Способы решения


1

2

3

4

5

2sinxcosx – sinx = 0






3 cos²x - cos2x = 1






6 sin²x + 4 sinx cosx = 1






4 sin²x + 11sin²x = 3






sin3x = sin17x







Ответы:

Вариант I Вариант II


1

2

3

4

5

1


+




2

+





3




+


4





+

5



+



1

2

3

4

5

1



+



2




+


3


+




4

+





5





+







IV. Повторение формул для решения уравнений

Формулы корней тригонометрических уравнений.

Общие

Частные

Уравнение

Формула корней

Уравнение

Формула корней

1. sinx = a, |a|≤1

x = (-1)narcsin a + πk,

k є Z

1. sinx = 0

x = πk, k є Z

2. cosx = a, |a|≤1

x = ±arccos a + 2πk,

k є Z

2. sinx = 1

x = hello_html_m72fe1c.gif + 2πk, k є Z

3. tg x = a

x = arctg a + πk, k є Z

3. sinx = –1

x = –hello_html_m72fe1c.gif + 2πk, k є Z

4. ctg x = a

x = arcctg a + πk,k є Z

4. cosx = 0

x = hello_html_m72fe1c.gif + πk, k є Z



5. cosx = 1

x = 2πk, k є Z



6. cosx = –1

x = π + 2πk, k є Z


Устная работа по решению простейших тригонометрических уравнений

Учитель предлагает учащимся применить только что сформулированные теоретические факты к решению уравнений. На экран проектируется тренажёр для устной работы по теме: «Тригонометрические уравнения»

Решить уравнения.


sin x = 0

cos x = 1

tg x = 0

ctg x = 1

sin x = -1/2

sin x = 1

cos x = 1/2

sin x = -√3/2

cos x = √2/2

sin x = √2/2

cos x = √3/2

tg x = √3

sin x = 1/2

sin x = -1

cos x = -1/2

sin x = √3/2

tg x = -√3

ctg x = √3/3

tg x = -√3/3

ctg x = -√3

cos x – 1 =0

2 sin x – 1 =0

2ctg x + √3 = 0


V. Решение примеров.

Карточки с заданиями раздаются на каждую парту, одна – на учительском столе для учеников, выходящих к доске.

1. Найдите среднее арифметическое всех корней уравнения hello_html_m2ac207d4.gif, удовлетворяющие условию hello_html_3164a5ef.gif;

Решение.

hello_html_e53659a.gif,

hello_html_7449f4ce.gif,

hello_html_722b0373.gif,

hello_html_56f6e640.gif

hello_html_m1d14f9f8.gif

hello_html_m6874e45e.gif


hello_html_m1a1c5440.gif

Найдем среднее арифметическое всех корней заданного уравнения из промежутка hello_html_m17d7b49.gif.

hello_html_m58700325.gif.


Ответ: а) hello_html_m3abc0d7d.gif.


2. Решите неравенство hello_html_47a16ddd.gif.

Решение.

hello_html_47a16ddd.gif,

hello_html_m57923d46.gif,

hello_html_m57c52d37.gif,

hello_html_491cb836.gif,

hello_html_602b4944.gif,

hello_html_6ed2d443.gif

hello_html_6362692e.gif

hello_html_m77f971dc.gif

hello_html_m6146c18a.gif

hello_html_1a5db383.gif

hello_html_mafa28f8.gif.


Ответ: hello_html_5d9144ba.gif


3. Решите уравнение hello_html_6b9c6823.gif.

(Совместно определить метод решения задачи)

Решение.

hello_html_6b9c6823.gif,

hello_html_m45a52b38.gif,

hello_html_3d21c12d.gif,

hello_html_m5148a629.gif.

Оценим правую и левую части последнего равенства.

hello_html_3db7c039.gif

hello_html_71eca397.gif, следовательно, равенство выполняется тогда и только тогда, когда выполняется система
hello_html_21d3bf82.gif

hello_html_2dba900f.gif

hello_html_154e694e.gif

hello_html_4801004.gif

hello_html_m6241fc66.gif

hello_html_m3ba89d04.gif

Ответ: 0,5





VI. Самостоятельная работа

Учитель выдает задания для самостоятельной работы. Карточки подготовлены по уровням сложности.

Более подготовленным учащимся можно дать карточки с задачами повышенного уровня сложности.

Учащимся 2-й группы учитель выдал карточки с заданиями базового уровня сложности.

Для учащихся 3-й группы учителем составлены карточки с заданиями базового уровня сложности, но это, как правило, учащиеся со слабой математической подготовкой, они могут выполнять задания под контролем учителя.

Вместе с заданиями учащиеся получают бланки для выполнения заданий.

1 группа

Вариант №1 (1)

1. Решите уравнение hello_html_m7bd20f66.gif

2. Решите уравнение hello_html_19678abb.gif.hello_html_74730bf4.gif


Вариант №2 (1)

1. Решите уравнение hello_html_m27ba58b.gif.

2. Решить уравнение hello_html_m72e50e2f.gif.



2 группа

Вариант №1 (2)

1. Решите уравнение hello_html_m739c6452.gif.

1)

hello_html_2beea87d.gif

3)

hello_html_136ee823.gif

2)

hello_html_m5b53783c.gif

4)

hello_html_m28457e3d.gif

2. Решите уравнение hello_html_d6b2b99.gif.

1)

hello_html_26a936ec.gif

3)

hello_html_1ca5c8a.gif

2)

hello_html_1c0e3fe3.gif

4)

hello_html_3d165cdb.gif

3. Решите уравнение hello_html_m6b8fe1dc.gif.

1)

hello_html_m47e54565.gif

3)

hello_html_6a2315c0.gif

2)

hello_html_m65ba41f4.gif

4)

hello_html_m753ccaf3.gif


Вариант № 2 (2)

1. Решите уравнение hello_html_d90cdd0.gif.

1)

hello_html_m44528d00.gif

3)

hello_html_335c25b3.gif

2)

hello_html_6d0a33b8.gif

4)

hello_html_374dd89f.gif

2. Решите уравнение hello_html_48881874.gif.

1)

hello_html_7d2373b9.gif

3)

hello_html_m78471c4.gif

2)

hello_html_m24210c38.gif

4)

hello_html_2bac340d.gif

3. Решите уравнение hello_html_63a798fb.gif.

1)

hello_html_m47e54565.gif

3)

hello_html_725b2dca.gif

2)

hello_html_473913b1.gif

4)

hello_html_m753ccaf3.gif




3 группа


Вариант № 1 (3)


1. Решите уравнение hello_html_m7463c1e9.gif.

1)

hello_html_m5d1064aa.gif

3)

hello_html_442ec17d.gif

2)

hello_html_77145901.gif

4)

hello_html_m358ac73d.gif

2. Решите уравнение hello_html_77dd461f.gif.

1)

hello_html_72710ca9.gif

3)

hello_html_m22fad5c7.gif

2)

hello_html_6da27a45.gif

4)

hello_html_72b5771c.gif

3. Решите уравнение hello_html_5c81d0df.gif.

1)

hello_html_m59fe528f.gif

3)

hello_html_3397f46e.gif

2)

hello_html_50a24601.gif

4)

hello_html_70640fce.gif









Вариант № 2 (3)

1.  Решите уравнение hello_html_m7e07bbe6.gif.

1)

hello_html_78bf0d37.gif

3)

hello_html_3703d641.gif

2)

hello_html_m5d1064aa.gif

4)

hello_html_72b5771c.gif

2. Решите уравнение hello_html_8bd2ece.gif.

1)

hello_html_m129af768.gif

3)

hello_html_5dcfda91.gif

2)

hello_html_m41af6d69.gif

4)

hello_html_7b8e1d17.gif

3. Решите уравнение hello_html_396b9c9f.gif.

1)

hello_html_72a4511e.gif

3)

hello_html_m6c3de96f.gif

2)

hello_html_5cdc34bf.gif

4)

hello_html_m54b7886a.gif




  1. Итог урока.

Задачи для домашней работы.

  1. Укажите наименьший положительный корень уравнения hello_html_36cb5cdc.gif.

  2. Укажите абсциссы точек пересечения графиков функций hello_html_4b5ac629.gif, hello_html_m70b63b2a.gif.

  3. Найдите область определения функции hello_html_m79afef94.gif.

  4. Решите уравнение hello_html_2ecb3ad0.gif.






Краткое описание документа:

Урок на тему: «Решение тригонометрических уравнений и неравенств» проводится в рамках реализации регионального компонента по математике для учащихся 10 класса.Урок нацелен на обобщение теоретических знаний по данной теме, на повторение основных методов решения тригонометрических уравнений и неравенств.
Автор
Дата добавления 28.03.2014
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров980
Номер материала 41215032733
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх