200317
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 6.900 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1.500 руб.
Престижные документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ 50%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО сейчас!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок")

ИнфоурокМатематикаКонспектыУрок «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»

Урок «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 258 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

hello_html_m45726be4.gifhello_html_3e001793.gifhello_html_3bb98dfa.gif














Модель урока на тему:


«Решение тригонометрических уравнений и неравенств»


в рамках реализации регионального компонента по математике

для учащихся 10 класса.







Помыкалова

Елена Викторовна

учитель математики

МОУ СОШ поселка Восход

Балашовского района

Саратовской области








Цель урока.

1. Обобщить теоретические знания по теме: «Решение тригонометрических уравнений и неравенств», повторить основные методы решения тригонометрических уравнений и неравенств.

2. Развивать качества мышления: гибкость, целенаправленность, рациональность. Организовать работу учащихся по указанной теме на уровне, соответствующем уровню уже сформированных знаний.

3. Воспитывать аккуратность записей, культуру речи, самостоятельность.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний, приобретенных при изучении данной темы.

Методы обучения: системное обобщение, тестовая проверка уровня знаний, решение обобщающих задач.

Формы организации урока: фронтальная, индивидуальная.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, бланки ответов, карточки с заданием, таблица формул корней тригонометрических уравнений.


















Ход урока.

I. Начало урока

Учитель сообщает учащимся тему урока, цель, обращает внимание учащихся на раздаточный материал.

II. Контроль знаний учащихся

1) Устная работа (Задание проектируется на экран)

Вычислите:


а) hello_html_m6de4a085.gif;

б) hello_html_3a9d701d.gif;

в) hello_html_m3f8a448d.gif;

г) hello_html_1195f4b9.gif;

д) hello_html_6fd1888b.gif;
е)
hello_html_m810ba27.gif.


2) Фронтальный опрос учащихся.

Какие уравнения называются тригонометрическими?

Какие виды тригонометрических уравнений вы знаете?

Какие уравнения называются простейшими тригонометрическими уравнениями?

Какие уравнения называются однородными?

Какие уравнения называются квадратными?

Какие уравнения называются неоднородными?

Какие способы решения тригонометрических уравнений вы знаете?


После ответа учащихся на экран проектируются некоторые способы решения тригонометрических уравнений.

  1. Введение новой переменной:

1. 2sin²x – 5sinx + 2 = 0. №2. tg hello_html_1e04a11c.gif + 3ctg hello_html_1e04a11c.gif = 4.

Пусть sinx = t, |t|≤1, Пусть tg hello_html_1e04a11c.gif = z,

Имеем: 2t² – 5t + 2 = 0. Имеем: z + hello_html_259f9e0e.gif = 4.

2. Разложение на множители:

2sinx cos5xcos5x = 0;

cos5x (2sinx – 1) = 0.

Имеем: cos5x = 0,

2sinx – 1 = 0; …

3. Однородные тригонометрические уравнения:

I степени II степени

a sinx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0). a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0.

Разделим на cosx ≠ 0. 1) если а ≠ 0, разделим на cos²x ≠ 0

Имеем: a tgx + b = 0; … имеем: a tg²x + b tgx + c = 0.

2) если а = 0, то

имеем: b sinx cosx + c cos²x =0;…

4. Неоднородные тригонометрические уравнения:

Уравнения вида: asinx + bcosx = c

4sinx + 3cosx = 5.

(Показать два способа)

1)применение универсальной подстановки:

sinx = (2tg x/2) / (1 + tg2x/2);

cosx = (1– tg2x/2) / (1 + tg2x/2);

2)введение вспомогательного аргумента:

4sinx + 3cosx = 5

Разделим обе части на 5:

4/5sinx + 3/5cosx = 1

Т. к. (4/5)2 +(3/5)2 = 1, то пусть 4/5 = sinφ; 3/5=cosφ, где 0< φ<π/2, тогда

sinφsinx + cosφcosx = 1

cos(xφ) = 1

xφ = 2πn, nZ

x = 2πn + φ, nZ

φ = arccos3/5, значит, x = arcos 3/5 +2πn, nZ

Ответ: arccos3/5 + 2πn, nZ

3)Решение уравнений с применением формул понижения степени.

4)Применение формул двойного и тройного аргументов.

a) 2sin4xcos2x = 4cos32x – 3cos2x


cos6x +cos2x = cos6x


III. Выполнение тестового задания

Учитель предлагает учащимся применить только что сформулированные теоретические факты к решению уравнений.

Задание проводится в виде теста. Учащимися заполняется бланк ответов, находящийся у них на партах.

Задание проектируется на экран.

Предложите способ решения данного тригонометрического уравнения:

1) приведение к квадратному;

2) приведение к однородному;

3) разложение на множители;

4) понижение степени;

5) преобразование суммы тригонометрических функций в произведение.

Бланк ответов.

Вариант I

Уравнение

Способы решения


1

2

3

4

5

3 sin²x + cos²x = 1 - sinx cosx






4 соs²x - cosx – 1 = 0






2 sin² x/2 + cosx = 1






cosx + cos3x = 0






2 sinx cos5x – cos5x = 0






Вариант II

Уравнение

Способы решения


1

2

3

4

5

2sinxcosx – sinx = 0






3 cos²x - cos2x = 1






6 sin²x + 4 sinx cosx = 1






4 sin²x + 11sin²x = 3






sin3x = sin17x







Ответы:

Вариант I Вариант II


1

2

3

4

5

1


+




2

+





3




+


4





+

5



+



1

2

3

4

5

1



+



2




+


3


+




4

+





5





+







IV. Повторение формул для решения уравнений

Формулы корней тригонометрических уравнений.

Общие

Частные

Уравнение

Формула корней

Уравнение

Формула корней

1. sinx = a, |a|≤1

x = (-1)narcsin a + πk,

k є Z

1. sinx = 0

x = πk, k є Z

2. cosx = a, |a|≤1

x = ±arccos a + 2πk,

k є Z

2. sinx = 1

x = hello_html_m72fe1c.gif + 2πk, k є Z

3. tg x = a

x = arctg a + πk, k є Z

3. sinx = –1

x = –hello_html_m72fe1c.gif + 2πk, k є Z

4. ctg x = a

x = arcctg a + πk,k є Z

4. cosx = 0

x = hello_html_m72fe1c.gif + πk, k є Z



5. cosx = 1

x = 2πk, k є Z



6. cosx = –1

x = π + 2πk, k є Z


Устная работа по решению простейших тригонометрических уравнений

Учитель предлагает учащимся применить только что сформулированные теоретические факты к решению уравнений. На экран проектируется тренажёр для устной работы по теме: «Тригонометрические уравнения»

Решить уравнения.


sin x = 0

cos x = 1

tg x = 0

ctg x = 1

sin x = -1/2

sin x = 1

cos x = 1/2

sin x = -√3/2

cos x = √2/2

sin x = √2/2

cos x = √3/2

tg x = √3

sin x = 1/2

sin x = -1

cos x = -1/2

sin x = √3/2

tg x = -√3

ctg x = √3/3

tg x = -√3/3

ctg x = -√3

cos x – 1 =0

2 sin x – 1 =0

2ctg x + √3 = 0


V. Решение примеров.

Карточки с заданиями раздаются на каждую парту, одна – на учительском столе для учеников, выходящих к доске.

1. Найдите среднее арифметическое всех корней уравнения hello_html_m2ac207d4.gif, удовлетворяющие условию hello_html_3164a5ef.gif;

Решение.

hello_html_e53659a.gif,

hello_html_7449f4ce.gif,

hello_html_722b0373.gif,

hello_html_56f6e640.gif

hello_html_m1d14f9f8.gif

hello_html_m6874e45e.gif


hello_html_m1a1c5440.gif

Найдем среднее арифметическое всех корней заданного уравнения из промежутка hello_html_m17d7b49.gif.

hello_html_m58700325.gif.


Ответ: а) hello_html_m3abc0d7d.gif.


2. Решите неравенство hello_html_47a16ddd.gif.

Решение.

hello_html_47a16ddd.gif,

hello_html_m57923d46.gif,

hello_html_m57c52d37.gif,

hello_html_491cb836.gif,

hello_html_602b4944.gif,

hello_html_6ed2d443.gif

hello_html_6362692e.gif

hello_html_m77f971dc.gif

hello_html_m6146c18a.gif

hello_html_1a5db383.gif

hello_html_mafa28f8.gif.


Ответ: hello_html_5d9144ba.gif


3. Решите уравнение hello_html_6b9c6823.gif.

(Совместно определить метод решения задачи)

Решение.

hello_html_6b9c6823.gif,

hello_html_m45a52b38.gif,

hello_html_3d21c12d.gif,

hello_html_m5148a629.gif.

Оценим правую и левую части последнего равенства.

hello_html_3db7c039.gif

hello_html_71eca397.gif, следовательно, равенство выполняется тогда и только тогда, когда выполняется система
hello_html_21d3bf82.gif

hello_html_2dba900f.gif

hello_html_154e694e.gif

hello_html_4801004.gif

hello_html_m6241fc66.gif

hello_html_m3ba89d04.gif

Ответ: 0,5





VI. Самостоятельная работа

Учитель выдает задания для самостоятельной работы. Карточки подготовлены по уровням сложности.

Более подготовленным учащимся можно дать карточки с задачами повышенного уровня сложности.

Учащимся 2-й группы учитель выдал карточки с заданиями базового уровня сложности.

Для учащихся 3-й группы учителем составлены карточки с заданиями базового уровня сложности, но это, как правило, учащиеся со слабой математической подготовкой, они могут выполнять задания под контролем учителя.

Вместе с заданиями учащиеся получают бланки для выполнения заданий.

1 группа

Вариант №1 (1)

1. Решите уравнение hello_html_m7bd20f66.gif

2. Решите уравнение hello_html_19678abb.gif.hello_html_74730bf4.gif


Вариант №2 (1)

1. Решите уравнение hello_html_m27ba58b.gif.

2. Решить уравнение hello_html_m72e50e2f.gif.



2 группа

Вариант №1 (2)

1. Решите уравнение hello_html_m739c6452.gif.

1)

hello_html_2beea87d.gif

3)

hello_html_136ee823.gif

2)

hello_html_m5b53783c.gif

4)

hello_html_m28457e3d.gif

2. Решите уравнение hello_html_d6b2b99.gif.

1)

hello_html_26a936ec.gif

3)

hello_html_1ca5c8a.gif

2)

hello_html_1c0e3fe3.gif

4)

hello_html_3d165cdb.gif

3. Решите уравнение hello_html_m6b8fe1dc.gif.

1)

hello_html_m47e54565.gif

3)

hello_html_6a2315c0.gif

2)

hello_html_m65ba41f4.gif

4)

hello_html_m753ccaf3.gif


Вариант № 2 (2)

1. Решите уравнение hello_html_d90cdd0.gif.

1)

hello_html_m44528d00.gif

3)

hello_html_335c25b3.gif

2)

hello_html_6d0a33b8.gif

4)

hello_html_374dd89f.gif

2. Решите уравнение hello_html_48881874.gif.

1)

hello_html_7d2373b9.gif

3)

hello_html_m78471c4.gif

2)

hello_html_m24210c38.gif

4)

hello_html_2bac340d.gif

3. Решите уравнение hello_html_63a798fb.gif.

1)

hello_html_m47e54565.gif

3)

hello_html_725b2dca.gif

2)

hello_html_473913b1.gif

4)

hello_html_m753ccaf3.gif




3 группа


Вариант № 1 (3)


1. Решите уравнение hello_html_m7463c1e9.gif.

1)

hello_html_m5d1064aa.gif

3)

hello_html_442ec17d.gif

2)

hello_html_77145901.gif

4)

hello_html_m358ac73d.gif

2. Решите уравнение hello_html_77dd461f.gif.

1)

hello_html_72710ca9.gif

3)

hello_html_m22fad5c7.gif

2)

hello_html_6da27a45.gif

4)

hello_html_72b5771c.gif

3. Решите уравнение hello_html_5c81d0df.gif.

1)

hello_html_m59fe528f.gif

3)

hello_html_3397f46e.gif

2)

hello_html_50a24601.gif

4)

hello_html_70640fce.gif









Вариант № 2 (3)

1.  Решите уравнение hello_html_m7e07bbe6.gif.

1)

hello_html_78bf0d37.gif

3)

hello_html_3703d641.gif

2)

hello_html_m5d1064aa.gif

4)

hello_html_72b5771c.gif

2. Решите уравнение hello_html_8bd2ece.gif.

1)

hello_html_m129af768.gif

3)

hello_html_5dcfda91.gif

2)

hello_html_m41af6d69.gif

4)

hello_html_7b8e1d17.gif

3. Решите уравнение hello_html_396b9c9f.gif.

1)

hello_html_72a4511e.gif

3)

hello_html_m6c3de96f.gif

2)

hello_html_5cdc34bf.gif

4)

hello_html_m54b7886a.gif




  1. Итог урока.

Задачи для домашней работы.

  1. Укажите наименьший положительный корень уравнения hello_html_36cb5cdc.gif.

  2. Укажите абсциссы точек пересечения графиков функций hello_html_4b5ac629.gif, hello_html_m70b63b2a.gif.

  3. Найдите область определения функции hello_html_m79afef94.gif.

  4. Решите уравнение hello_html_2ecb3ad0.gif.






Краткое описание документа:
Урок на тему: «Решение тригонометрических уравнений и неравенств» проводится в рамках реализации регионального компонента по математике для учащихся 10 класса.Урок нацелен на обобщение теоретических знаний по данной теме, на повторение основных методов решения тригонометрических уравнений и неравенств.
Общая информация

Номер материала: 41215032733

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Оставьте свой комментарий
Для того чтобы задавать вопросы нужно авторизироватся.
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.