Олимпиадные
задания для 6 класса
(каждая
задача оценивается из 7 баллов)
Задача № 1 : Будет
ли сумма чисел 1 + 2 + 3 + ......+ 2005 + 2006 + 2007 делиться на 2007?
Ответ обоснуйте.
Ответ: будет.
Решение: Представим данную сумму в виде
следующих слагаемых: (1 + 2006) + (2 + 2005) + …..+ (1003 + 1004) + 2007.
Так как каждое слагаемое делится на 2007,
то и вся сумма будет делиться на 2007.
Задача № 2 :
Каждый из трёх приятелей либо всегда
говорит правду, либо всегда лжёт. Им был задан вопрос: «Есть ли хотя бы один
лжец среди двух остальных?» Первый ответил: «Нет», второй ответил: «Да». Что
ответил третий?
Ответ : «Нет».
Решение:
Так как первый и второй приятели дали различные ответы, то один из них – лжец,
а другой – рыцарь. Кроме того, рыцарь не мог ответить «Нет» на предложенный ему
вопрос, так как в этом случае он бы сказал неправду (среди двух оставшихся
точно есть лжец). Следовательно, первый – лжец. Он солгал, значит среди двух
оставшихся должен быть лжец, и им может быть только третий приятель. Значит
третий ответил «Нет».
Задача № 3 :
Существует ли 10-угольник, который можно
разрезать на 5 треугольников?
Ответ : существует.
Решение:
смотри рисунки
Задача № 4 : Кассир продал все билеты в
первый ряд кинотеатра, причем по ошибке на одно из мест было продано два
билета. Сумма номеров мест на всех этих билетах равна 857. На какое место
продано два билета?
Ответ : на тридцать седьмое место.
Решение: Сколько мест могло
быть в первом ряду. Во-первых, их не больше 40, так как сумма натуральных чисел
от 1 до 41 равна 861. Во-вторых, их не меньше 40, так как сумма натуральных
чисел от 1 до 39 равна 780, и даже после прибавления к ней 39, результат будет
меньше 857. Значит в первом ряду ровно 40 мест. Теперь несложно определить, на
какое место был продан лишний билет: 1 + … + 40 = 820; 857 – 820 = 37.
Задача № 5 :
На острове Невезения отменили
понедельники: у них за воскресеньем сразу следует вторник. За последний год (то
есть, с 15 декабря 2002 года по 14 декабря 2003 года) воскресенья на острове
совпадали с нашими воскресеньями ровно восемь раз. Какой день недели на острове
сегодня?
Ответ : суббота.
Решение:
Так как обычная неделя состоит из семи дней, а неделя на острове – из шести, то
совпадение воскресений происходит один раз в 6 х 7 = 42 дня. Значит, за 378
дней происходит 9 совпадений. Поскольку 378 – 365 = 13, то девятое совпадение
должно произойти в течение ближайших тринадцати дней (с 15 по 27 декабря).
Единственное воскресенье в этот период – 21 декабря. Непосредственным подсчетом
получаем, что сегодня на острове – суббота.
2 вариант
Задача № 1 :
У двузначного числа "n" цифра
десятков в два раза больше, чем цифра единиц.
Тогда число "n" обязательно: A
- четное; B - нечетное; C - меньше 20; D - делится на 3; E - делится на 6.
Решение : Ищем число "n" среди
ряда чисел: 10 - 99.
По условию, у всех подозреваемых чисел -
десятки четны (2,4,6,8), а единицы - в два раза меньше (1,2,3,4,).
Перечислим все эти числа: 21, 42, 63, 84.
Все они делятся на 3.
Следовательно верен ответ (D).
Задача № 2 :
На
некотором острове необычайно регулярный климат :
по понедельникам
и средам всегда идут дожди, по субботам - туман, зато в остальные дни -
солнечно.
Утром какого дня
недели нужно начать свой отдых группе туристов, если они хотят пробыть там 44
дня и захватить при этом как можно больше солнечных дней?
A - в
понедельник; B - в среду; C - в четверг; D - в пятницу; E - во вторник
Решение :
Выясним, сколько полных недель в 44 днях.
Получим 6 недель.
В течении этих недель число солнечных дней не зависит от того, когда начнется
отдых.
В качестве
оставшихся двух дней выбираем четверг и пятницу - солнечные дни.
Следовательно,
отправляем туристов утром в четверг.
То есть верный
ответ - (С).
Задача № 3 :
Остаток от
деления 100 на некоторое число равен 4. При делении 90 на это же число в
остатке получается 18. На какое число делили? A - 18; B - 32; C - 24; D - 36; A
- 48;
Решение :Из
условия следует, что 100-4=96 делится на искомое число.
Также 90-18=72 делится
на искомое число.
Их разность также
делится на искомое число: 96-72=24.
Следовательно,
искомое число - 24, так как на него делится и 96, и 72.
Верен ответ (С).
Задача № 4 :
Раньше называли
число, равное миллиону миллионов , словом "легион". Если разделить
миллион легионов на легион миллионов, то получится : A - легион; B - миллион; C
- миллион миллионов; D - легион легионов; E - 1
Решение :
Перепишем заново:
делимое: миллион
легионов - это миллион миллионов миллионов,
делитель: легион
миллионов - это миллион миллионов миллионов,
следоватально частное
равно 1.
Верен ответ (Е).
Задача № 5 :
На каждом километре между селами Марьино и
Рощино стоит столб с табличкой, на одной стороне которой написано расстояние до
Марьино, на другой – расстояние до Рощино. Останавливаясь у каждого столба,
Бобик заметил, что если сложить все цифры, записанные на обеих сторонах
таблички, то получится 13. Найдите расстояние между селами.
Ответ : 49 километров.
Решение:
Расстояние между селами не может быть больше, чем 49 километров, так как тогда
на одном из столбов будет написано с одной стороны 49, а с другой – не 0, то
есть, сумма цифр будет больше 13. На первых девяти столбах с одной стороны
записаны однозначные числа от 1 до 9, поэтому числа, записанные с другой
стороны, также должны быть из одного десятка (чтобы суммы цифр были одинаковы).
Следовательно, искомое расстояние выражается числом, оканчивающимся на 9. Числа
9, 19, 29 и 39 решениями не являются, так как на первом столбе сумма цифр не
будет равна 13. Таким образом, искомое расстояние равно 49 километрам.
Баллы
|
Правильность
(ошибочность) решения
|
7
|
Полное
верное решение.
|
6
|
Верное
решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не
влияющие
на решение.
|
5
|
Решение
в целом верное. Однако оно содержит ряд ошибок,
либо не
рассмотрение отдельных случаев, но может стать
правильным
после небольших исправлений или дополнений.
|
4
|
Верно
рассмотрен один из двух (более сложный)
существенных
случаев, или в задаче типа «оценка + пример»
верно
получена оценка.
|
3
|
Доказаны
вспомогательные утверждения, помогающие в
решении
задачи, или в задаче типа «оценка + пример» верно
построен
пример.
|
2
|
Рассмотрены
отдельные важные случаи при отсутствии
полного
решения (или при ошибочном решении).
|
1
|
Решение
отсутствует. Ответ правильный.
|
0
|
Решение
неверное. Ответ правильный или не правильный.
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.