Олимпиада по математике 6 класс

Олимпиадные задания для 6 класса

(каждая задача оценивается из 7 баллов)

Задача № 1 : Будет ли сумма чисел 1 + 2 + 3 + ......+ 2005 + 2006 + 2007 делиться на 2007?

Ответ обоснуйте.

Ответ: будет.

Решение: Представим данную сумму в виде следующих слагаемых: (1 + 2006) + (2 + 2005) + …..+ (1003 + 1004) + 2007.

Так как каждое слагаемое делится на 2007, то и вся сумма будет делиться на 2007.

Задача № 2 :

Каждый из трёх приятелей либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Им был задан вопрос: «Есть ли хотя бы один лжец среди двух остальных?» Первый ответил: «Нет», второй ответил: «Да». Что ответил третий?

Ответ : «Нет».

Решение: Так как первый и второй приятели дали различные ответы, то один из них – лжец, а другой – рыцарь. Кроме того, рыцарь не мог ответить «Нет» на предложенный ему вопрос, так как в этом случае он бы сказал неправду (среди двух оставшихся точно есть лжец). Следовательно, первый – лжец. Он солгал, значит среди двух оставшихся должен быть лжец, и им может быть только третий приятель. Значит третий ответил «Нет».

Задача № 3 :

Существует ли 10-угольник, который можно разрезать на 5 треугольников?

Ответ : существует.

Решение: смотри рисунки

Задача № 4 : Кассир продал все билеты в первый ряд кинотеатра, причем по ошибке на одно из мест было продано два билета. Сумма номеров мест на всех этих билетах равна 857. На какое место продано два билета?

Ответ : на тридцать седьмое место.

Решение: Сколько мест могло быть в первом ряду. Во-первых, их не больше 40, так как сумма натуральных чисел от 1 до 41 равна 861. Во-вторых, их не меньше 40, так как сумма натуральных чисел от 1 до 39 равна 780, и даже после прибавления к ней 39, результат будет меньше 857. Значит в первом ряду ровно 40 мест. Теперь несложно определить, на какое место был продан лишний билет: 1 + … + 40 = 820; 857 – 820 = 37.

Задача № 5 :

На острове Невезения отменили понедельники: у них за воскресеньем сразу следует вторник. За последний год (то есть, с 15 декабря 2002 года по 14 декабря 2003 года) воскресенья на острове совпадали с нашими воскресеньями ровно восемь раз. Какой день недели на острове сегодня?

Ответ : суббота.

Решение: Так как обычная неделя состоит из семи дней, а неделя на острове – из шести, то совпадение воскресений происходит один раз в 6 х 7 = 42 дня. Значит, за 378 дней происходит 9 совпадений. Поскольку 378 – 365 = 13, то девятое совпадение должно произойти в течение ближайших тринадцати дней (с 15 по 27 декабря). Единственное воскресенье в этот период – 21 декабря. Непосредственным подсчетом получаем, что сегодня на острове – суббота.

2 вариант

Задача № 1 :

У двузначного числа "n" цифра десятков в два раза больше, чем цифра единиц.

Тогда число "n" обязательно: A - четное; B - нечетное; C - меньше 20; D - делится на 3; E - делится на 6.

Решение : Ищем число "n" среди ряда чисел: 10 - 99.

По условию, у всех подозреваемых чисел - десятки четны (2,4,6,8), а единицы - в два раза меньше (1,2,3,4,).

Перечислим все эти числа: 21, 42, 63, 84. Все они делятся на 3.

Следовательно верен ответ (D).

Задача № 2 :

На некотором острове необычайно регулярный климат :

по понедельникам и средам всегда идут дожди, по субботам - туман, зато в остальные дни - солнечно.

Утром какого дня недели нужно начать свой отдых группе туристов, если они хотят пробыть там 44 дня и захватить при этом как можно больше солнечных дней?

A - в понедельник; B - в среду; C - в четверг; D - в пятницу; E - во вторник

Решение : Выясним, сколько полных недель в 44 днях.

Получим 6 недель. В течении этих недель число солнечных дней не зависит от того, когда начнется отдых.

В качестве оставшихся двух дней выбираем четверг и пятницу - солнечные дни.

Следовательно, отправляем туристов утром в четверг.

То есть верный ответ - (С).

Задача № 3 :

Остаток от деления 100 на некоторое число равен 4. При делении 90 на это же число в остатке получается 18. На какое число делили? A - 18; B - 32; C - 24; D - 36; A - 48;

Решение :Из условия следует, что 100-4=96 делится на искомое число.

Также 90-18=72 делится на искомое число.

Их разность также делится на искомое число: 96-72=24.

Следовательно, искомое число - 24, так как на него делится и 96, и 72.

Верен ответ (С).

Задача № 4 :

Раньше называли число, равное миллиону миллионов , словом "легион". Если разделить миллион легионов на легион миллионов, то получится : A - легион; B - миллион; C - миллион миллионов; D - легион легионов; E - 1

Решение : Перепишем заново:

делимое: миллион легионов - это миллион миллионов миллионов,

делитель: легион миллионов - это миллион миллионов миллионов,

следоватально частное равно 1.

Верен ответ (Е).

Задача № 5 :

На каждом километре между селами Марьино и Рощино стоит столб с табличкой, на одной стороне которой написано расстояние до Марьино, на другой – расстояние до Рощино. Останавливаясь у каждого столба, Бобик заметил, что если сложить все цифры, записанные на обеих сторонах таблички, то получится 13. Найдите расстояние между селами.

Ответ : 49 километров.

Решение: Расстояние между селами не может быть больше, чем 49 километров, так как тогда на одном из столбов будет написано с одной стороны 49, а с другой – не 0, то есть, сумма цифр будет больше 13. На первых девяти столбах с одной стороны записаны однозначные числа от 1 до 9, поэтому числа, записанные с другой стороны, также должны быть из одного десятка (чтобы суммы цифр были одинаковы). Следовательно, искомое расстояние выражается числом, оканчивающимся на 9. Числа 9, 19, 29 и 39 решениями не являются, так как на первом столбе сумма цифр не будет равна 13. Таким образом, искомое расстояние равно 49 километрам.

Баллы

Правильность (ошибочность) решения

7

Полное верное решение.

6

Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не

влияющие на решение.

5

Решение в целом верное. Однако оно содержит ряд ошибок,

либо не рассмотрение отдельных случаев, но может стать

правильным после небольших исправлений или дополнений.

4

Верно рассмотрен один из двух (более сложный)

существенных случаев, или в задаче типа «оценка + пример»

верно получена оценка.

3

Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в

решении задачи, или в задаче типа «оценка + пример» верно

построен пример.

2

Рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии

полного решения (или при ошибочном решении).

1

Решение отсутствует. Ответ правильный.

0

Решение неверное. Ответ правильный или не правильный.