Акмолинская
область
Зерендинский район
Зерендинская
средняя школа №1
Урок – консультация в 11
классе
по теме «Задачи на смеси
и сплавы»
Подготовила: учитель математики
Белогурова Н.С.
с. Зеренда
2013-2014 учебный
год
Урок – консультация в 11 классе по теме «Задачи на смеси и
сплавы»
Цели:
закрепить умение рассуждать и решать
задачи на дроби и проценты, составлять по задаче уравнения и решать его,
научить решать задачи на смеси и сплавы
арифметическим способом.
I. Организационный момент.
Задачи,
которые мы будем решать, относятся к традиционным задачам математики. Они
охватывают большой круг ситуаций: смешение товаров разной цены, жидкостей с
различным содержанием соли, кислот разной концентрации, сплавление металлов с
различным содержанием некоторого металла. Когда-то они имели исключительно
практическое значение. В настоящее время эти задачи часто встречаются в тестах
на выпускных экзаменах и на вступительных экзаменах в вузы.
Мы
рассмотрим задачи на смешение, которые можно решить не только алгебраически, то
есть с помощью уравнения, но и арифметическим способом.
Для успешной
работы нам понадобится повторить основные понятия этой темы.
II. Устный счёт
1. Концентрация
вещества в смеси – это часть, которую составляет масса вещества в смеси от
массы смеси. Нахождение части от целого. В химии вы называли эту
величину массовой долей вещества.
Концентрация вещества может быть
указана и числом и %.
2. Объясните значение высказываний:
а) Концентрация раствора 3 %;
(В 100
г раствора содержится 3 г вещества).
в) Молоко имеет 1,5 % жирности;
(В100 г молока
содержится 1,5 г жира).
с) золотое кольцо имеет 583 пробу?
(В1 г кольца содержит
583 миллиграмма золота).
Сколько сахара
содержится в 200 г 10%- го сахарного сиропа?
Теперь давайте попробуем
решить устно несколько задач.
3. К одной части сахара прибавили 4 части воды. Какова концентрация
полученного раствора?
(1: 5 ·100 = 20 %)
4. Килограмм соли
растворили в 9 л воды. Какова концентрация раствора?
(1 : 10 ·100 = 10%)
III. Разбор задач
Следующие задачи мы решим с вами с
помощью уравнения.
I Задачи на сушку грибов, ягод.
Важно помнить, что количество тв. вещ-ва в свежих и
сухих грибах, ягодах и т.д. постоянное, изменяется количество воды.
№1. Свежие абрикосы содержат 80 % воды по массе, а курага
(сухие абрикосы) – 12 % воды. Сколько понадобится килограммов свежих абрикосов,
чтобы получить 10 кг кураги?
Решение: Составим таблицу:
|
Свежие
абрикосы
|
Курага
|
Масса,
кг
|
Х
кг
|
10
кг
|
вода
|
80
%
|
12
%
|
Тв.
вещ., %
|
20
%
|
88
%
|
Тв.
вещ., кг
|
х∙0,2
|
10∙0,88
|
Количество тв. вещ-ва в свежих и сухих абрикосов
постоянное, изменяется количество воды.
Составим уравнение: 0,2х=10∙0,88
Х=44
Ответ: 44 кг.
№ 2 Свежие грибы по весу содержат 90% воды, а сухие
12% воды. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?
2,2=0,88х
Ответ:2,5 кг.
№ 3. Свежесрезанные грибы содержат 90% воды. После
длительного хранения 120 кг грибов на складе содержание воды в них уменьшилось
до 84%. Какой стала масса грибов после хранения?
120∙0,1=0,16х
Х= 75
Ответ: 75 кг
II Задачи на смешение двух растворов, решаемые алгебраически.
№1. В каких пропорциях
нужно смешать раствор 50 % и 70 % кислоты, чтобы получить раствор 65 % кислоты?
Для решения задачи я попрошу вас
заполнить таблицу, которая находится у вас на столе.
|
Концентрация
|
Масса раствора ( г )
|
Масса кислоты ( г )
|
I раствор
|
50
|
х
|
0,5х
|
II раствор
|
70
|
у
|
0,7у
|
смесь
|
65
|
х+у
|
0,65(х+у)
|
Заполняем 1-й
столбик. Здесь мы указываем концентрацию растворов.
Заполняем 2-й столбик. Здесь мы
указываем массу каждого раствора. Предположим, что первого раствора нужно взять
х г, а второго у г. Считаем, что при смешении нет потерь массы, то есть масса
смеси равна сумме масс смешиваемых растворов.
Тогда масса смеси будет (х + у) г.
Теперь заполним 3-й столбик. Найдем
количество чистой кислоты в 1-ом растворе. Это 0,5х г, во втором растворе 0,7у
г, а в смеси будет 0,65(х + у) г кислоты.
По условию задачи
составим и решим уравнение.
0,65 (х + у) = 0,5 х +
0,7 у,
65 х – 50 х = 70 у – 65
у,
15 х = 5 у,
3 х = 1 у,
х : у = 1 : 3.
Нужно взять: 1 часть раствора 50%
кислоты и 3 части раствора 70% кислоты
Ответ: 50% раствора кислоты -1
часть, 70% раствора кислоты - 3 части.
А теперь я хочу
предложить вам схему решения этой задачи арифметическим методом, который
позволяет решить ее практически устно. Запишем концентрацию каждого раствора
кислоты и концентрацию смеси так:
Вычислим, на сколько
концентрация первого раствора кислоты меньше, чем концентрация смеси и на
сколько концентрация второго раствора кислоты больше, чем концентрация смеси и
запишем результат по линиям:
Таким образом, 5 частей нужно взять
50% раствора кислоты и 15 частей 70% раствора кислоты, то есть отношение взятых
частей . Окончательно
получаем: 50% раствора кислоты-1 часть, 70% раствора кислоты-3 части. Сравните
полученные результаты. Делаем вывод: получили один и тот же ответ, но времени
затратили гораздо меньше.
Этот метод решения назвали
«правило креста». «Правилом креста» называют диагональную схему правила
смешения для случаев с двумя растворами. Слева на концах отрезков записывают
исходные массовые доли растворов (обычно слева вверху – большая), на
пересечении отрезков – заданная, а справа на их концах записываются разности
между исходными и заданной массовыми долями. Получаемые массовые части
показывают, в каком отношении надо слить исходные растворы.
№2. В каких
пропорциях нужно сплавить золото 375 пробы с золотом 750 пробы, чтобы получить
золото 500 пробы?
И так составляем схему.
Чтобы получить золото 500 пробы нужно взять: 2
части золота 375 пробы и 1 часть золота750 пробы.
№3. Морская вода содержит 5 % соли по массе. Сколько пресной воды
нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5 %?
Откуда х=70 кг.
Или нужно взять 7 частей пресной
воды и 3 части морской воды. По условию нам известно, что морской воды 30
кг и это 3 части нового раствора. Значит, на одну часть приходится 10
кг. Следовательно, 7частей пресной воды – это 70
кг.
Ответ: нужно добавить 70
кг пресной воды.
IV Задачи для самостоятельного
решения
Следующие задачи решить удобным для
вас способом.
№4. Имеется два сплава с разным содержанием меди. В первом сплаве
содержится 40%, а во втором – 70% меди. В каком отношении надо взять первый и
второй сплавы, чтобы из них получить новый сплав, содержащий 60% меди?
Решение: пусть X – масса сплава, 40% содержанием меди, Y – масса сплава с 60% содержанием меди. 0,4X –
масса меди в первом сплаве, 0,7Y – масса меди во втором
сплаве, 0,6(X +Y) – масса меди в
новом сплаве. Составим уравнение: 0,4X+0,7Y=0,6(X +Y). Решив уравнение,
имеем, что X: Y=1:2.
Ответ: необходимо взять одну часть 40% сплава и две части 70% сплава.
№5. В куске сплава меди и цинка количество меди увеличили на 40%, а
количество цинка уменьшила на 40%. В результате общая масса куска сплава
увеличилась на 20%. Определите процентное содержание меди и цинка в
первоначальном куске сплава.
Решение: пусть X – масса меди в сплаве, Y – масса цинка в сплаве. Если количество меди увеличить на 40%, то
масса меди составит 1,4 X, если уменьшить на 40%
количество цинка, то масса цинка составит 0,6 Y. Масса
всего куска увеличится на 20%, а значит будет составлять 1,2(X +Y). Составим уравнение: 1,4 X+0,6 Y=1,2(X +Y). Решив уравнение, имеем:
X: Y=3:1. Процентное содержание меди: 0,75=75%, цинка 0,25=25%.
Ответ: 75% меди и 25% цинка в сплаве.
№6. Смешали 30%-ный и 50%-ный раствор азотной кислоты и получили
45%-ный раствор. Найдите отношение массы 30% раствора к массе 50% раствора.
Решение: пусть X – масса 30% раствора азотной кислоты, Y – масса 50% раствора азотной кислоты. 0,3X –
масса азота в первом растворе, 0,5Y – масса азота во
втором растворе, 0,45(X +Y) – масса
азота в новом растворе. Составим уравнение: 0,3X+0,5Y=0,45(X +Y). Решив уравнение,
имеем, что X: Y=1:3.
Ответ: необходимо смешать одну часть 30% раствора и три части 50% раствора.
№7. Соединили два сплава с содержанием меди 40% и 60% и получили
сплав, содержащий 45% меди. Найдите отношение массы сплава с 40% содержанием
меди к массе сплава с 60% содержанием меди.
Решение: пусть X – масса сплава, 40% содержанием меди, Y – масса сплава с 60% содержанием меди. 0,4X –
масса меди в первом сплаве, 0,6Y – масса меди во втором
сплаве, 0,45(X +Y) – масса меди в
новом сплаве. Составим уравнение: 0,4X+0,6Y=0,45(X +Y). Решив уравнение,
имеем, что X: Y=3:1.
Ответ: необходимо взять три части 40% сплава и одну часть 60% сплава.
№8 Имеются два сплава, в одном
из которых содержится 20%, в другом 30% олова. Сколько нужно взять первого и
второго сплава, чтобы получить 10 кг нового сплава, содержащего 27% олова?
Ответ: 3 кг , 7 кг.
№9 Имеются два сплава, в одном
из которых содержится 40%, а во втором 20% серебра. Сколько кг второго сплава
нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 32% серебра?
№10 Имеются два сплава, в одном
из которых содержится 10%, а в другом – 20% меди. Сколько нужно взять первого и
второго сплавов, чтобы получить 15 кг нового сплава, содержащего 14%
меди?
Ответ: 9 кг и 6 кг.
№ 11 Имеются два сплава, в
одном из которых содержится 30%, а в другом – 50% золота. Сколько кг второго
сплава нужно добавить к 10 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 42%
золота?
Ответ: 15 кг.
№12 Из молока, жирность
которого 5%, делают творог, жирностью 0,5%. Определить, сколько творога
получается из 1 тонны молока?
Ответ: 300 кг.
№13 При смешивании растворов,
содержащих 25% и 60% кислоты, получился раствор, содержащий 39% кислоты.
Определить в какой пропорции были смешаны растворы?
Ответ: 3 : 2.
№ 14. Какое количество воды
надо добавить к 100 граммам 70%-ной уксусной эссенции, чтобы получить 5%
раствор уксуса?
Ответ: 1300 гр.
№15. Морская вода содержит 5%
соли. Сколько килограммов пресной воды надо добавить к 40 кг морской воды,
чтобы содержание соли в последней составляло 2%.
Ответ: 60 кг.
№16. Кусок сплава меди с
оловом весом 2 кг содержит 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к
этому куску, чтобы получившийся новый сплав имел 40% меди?
Ответ: 1,5 кг.
№17 Сколько чистого спирта надо
прибавить к 735 г 16%-ного раствора йода в спирте, чтобы получить 10%-ный
раствор?
Ответ: 441 г.
№18 .
Кусок сплава меди и цинка массой в 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди
нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди?
36∙0,45+х=0,6∙36+х
Ответ: 13,5 кг.
V. Самостоятельная
работа. (решить арифметическим способом задачи)
1.
Сколько граммов 75% - ного раствора кислоты надо добавить к 30
г 15%-ного раствора кислоты, чтобы получить 50%- ный раствор кислоты?
2. При
смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго
раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор,
содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?
VI.Домашнее
задание. (разложены карточки на парты с домашнем
заданием)
1.Сколько
граммов воды надо добавить к 180 г сиропа, содержащего 25% сахара, чтобы
получить сироп, концентрация которого равна 20%?
2.
Имеется кусок сплава цинка с железом общей массой 24
кг, содержащий 20% цинка. Сколько килограммов чистого железа надо добавить к
этому куску сплава, чтобы получившийся сплав содержал 15% цинка?
3. Составить задачу на
смешение и решить ее алгебраическим способом. Какие это могут быть задачи? На
смешение товаров разной цены, жидкостей с различным содержанием соли, кислот
разной концентрации, сплавление металлов с различным содержанием некоторого
металла. Запишите условие задачи, приведите схему решения и решите ее.
Несколько лучших задач мы рассмотрим на доске.
Подведем итог урока.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.