Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

библиотека
материалов

МКОУ "СОШ №7"



















Методическая разработка

по стереометрии

для учащихся 10 класса


(Рекомендуемый учебник: Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г., Геометрия 10-11. Учебник для 10-11 классов средней школы. М., 1994 и последующие годы издательства)






Белоусова Е.Н., учитель математики








2014г, Нальчик

«Основные понятия и аксиомы стереометрии.

Параллельность прямых и плоскостей»


Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.


Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» — объемный, пространственный и «μετρεο» — измерять.


Простейшие фигуры в пространстве: точка, прямая, плоскость.


Плоскость.

Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.

hello_html_4b3bc675.png

На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области и обозначаются греческими буквами α, β, γ и т.д.

Точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит через эти точки), а точки M, N, P не лежат в этой плоскости. Коротко это записывают так: А ∈ β, B ∈ β,

hello_html_m6ec6c6fd.png


Аксиомы стереометрии и их следствия


Аксиома 1.

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

hello_html_m2291474b.png


Аксиома 2.

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую).

hello_html_1d39c1e2.png


Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.


hello_html_m5ab5fa1e.png

Аксиома 3.

Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой.


Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты.

hello_html_m4db655fd.png

Некоторые следствия из аксиом


Теорема 1.


Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна.

hello_html_m5dbe7724.png

Теорема 2.


Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.

hello_html_m49daecc8.png

Параллельные прямые в пространстве


Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.


Теорема о параллельных прямых.


Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.


hello_html_m56eef529.png

Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми.


Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.



hello_html_4e7188b3.png

Теорема о трех прямых в пространстве.

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (если a∥c и b∥c, то a∥b).






hello_html_581a8b91.png

Параллельность прямой и плоскости


Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.


Признак параллельности прямой и плоскости

Теорема.

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.


hello_html_109847a9.png

Теорема.

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

hello_html_m3ac2c369.png

Теорема.

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Взаимное расположение прямых в пространстве


Пересекающиеся прямые:

лежат в одной плоскости, имеют одну общую точку.




hello_html_236b0d90.png

Параллельные прямые:

лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются)



hello_html_m60d9ac23.png

Скрещивающиеся прямые:

не лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются)

hello_html_m5642ced3.png

Параллельность плоскостей

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, т.е. не имеют ни одной общей точки. α∥β.




hello_html_m702c674a.png

Признак параллельности двух плоскостей

Теорема.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости , то эти плоскости параллельны.

Если а∥а1 и b∥b1, то α∥β.




hello_html_5fbdada8.png

Свойства параллельных плоскостей



Если α∥β и они пересекаются с γ, то а∥b.


Еhello_html_m51771067.pngсли две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.




Если α∥β и AB∥CD, то АВ = CD.


Оhello_html_6a28f65.pngтрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Перпендикулярность прямых и плоскостей


Определение

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.

hello_html_1742351b.png

Теорема (ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ).

Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

hello_html_28285c4f.png

Теорема. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.


Теорема. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

hello_html_6efdede2.png

Перпендикуляр и наклонная

Перпендикуляром, опущенным из данной точки данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.

Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.

Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.


AB – перпендикуляр к плоскости α.

AC – наклонная, CB – проекция.

С – основание наклонной, B - основание перпендикуляра.

hello_html_49b9c730.png

Теорема о трех перпендикулярах


Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной.

hello_html_38552dc7.png

Обратная теорема о трех перпендикулярах


Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.


hello_html_38552dc7.png

Перпендикулярные плоскости


Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

Плоскость α перпендикулярна плоскости β. Они пересекаются по прямой с. Плоскость γ перпендикулярна с и пересекает плоскости α и β по прямым a и b соответственно.

hello_html_566f6afd.png

Признак перпендикулярности плоскостей


Теорема. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.


hello_html_m66df517b.png

Расстояние между скрещивающимися прямыми


Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. Оно равно расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые.

hello_html_m5a5ab74.png

Расстояние между скрещивающимися прямыми. Свойства


Теорема. Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и при том только один. Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые.


hello_html_10fef437.png

hello_html_m2f38312e.png

Двугранный угол

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя плоскостями с общей ограничивающей их прямой. Полуплоскости называются гранями, а ограничивающая их прямая – ребром двухгранного угла.

Плоскость, перпендикулярная ребру двухгранного угла, пересекает его грани по двум полупрямым.

Угол, образованный этими полупрямыми, называется линейным углом двухгранного угла.

hello_html_70a48ece.gif

hello_html_m6dec9a7f.gif

hello_html_m2e05de8c.gif


Многогранники


Обозначения:

V — объем;

Sполн — площадь полной поверхности;

Sбок — площадь боковой поверхности;

Sо — площадь основания;

Pо — периметр основания;

Pо — периметр перпендикулярного сечения;

l — длина ребра;

h — высота.

Формула Эйлера: N − L + F = 2 ; N — число вершин, L — число ребер, F — число граней выпуклого многогранника.



Призма — многогранник, две грани которого — равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, а остальные — параллелограммы.

hello_html_5fa4505c.png

hello_html_m7ba3eca0.png

Параллелепипед — призма, основание которой — параллелограмм.

Параллелепипед имеет шесть граней и все они — параллелограммы.


hello_html_m740e2231.png


hello_html_m3fb10a27.png

Пирамида — многогранник, у которого одна грань n-угольник — основание пирамиды, а остальные боковые грани — треугольники с общей вершиной — вершиной пирамиды.


hello_html_636035.png

hello_html_7de4f382.png

Если в пирамиде провести сечение параллельное основанию, то тело, ограниченное этим сечением, основанием, и заключенной между ними боковой поверхностью пирамиды, называется усеченной пирамидой.


hello_html_390b1445.png

где S1 и S2 — площади оснований

hello_html_m11b392e.pngгде α — двугранный угол при ребре нижнего основания.

hello_html_40d0316f.png

Правильные многогранники


Многогранник называется правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники, а все многогранные углы имеют одинаковое число граней.


Все ребра правильного многогранника — равные отрезки, все плоские углы правильного многогранника также равны.


Существует пять различных правильных многогранников (выпуклых): правильный четырехгранник (правильный тетраэдр), правильный шестигранник (куб), правильный восьмигранник (правильный октаэдр), правильный двенадцатигранник (правильный додекаэдр), правильный двадцатигранник (правильный икосаэдр).



Обозначения:

а — длина ребра;

V — объем;

Sбок — площадь боковой поверхности;

Sполн — площадь полной поверхности;

R — радиус описанной сферы;

r — радиус вписанной сферы;

h — высота.

Тетраэдр — четыре грани — равносторонние равные треугольники. Тетраэдр имеет четыре вершины и шесть ребер

hello_html_m60f6ab4c.png




hello_html_1c4ce228.png

Куб — шесть граней — равные квадраты. Куб имеет восемь вершин и двенадцать ребер.

hello_html_53ad99df.png






hello_html_m72224062.png




Октаэдр — восемь граней — равносторонние равные треугольники. Октаэдр имеет шесть вершин и двенадцать ребер

hello_html_m36eb8f56.png

hello_html_19584f71.png

Додекаэдр — двенадцать граней — правильные равные пятиугольники. Додекаэдр имеет двадцать вершин и тридцать ребер.


hello_html_mee870a0.png


hello_html_369436e5.png



Икосаэдр — двадцать граней — равносторонние равные треугольники. Икосаэдр имеет двенадцать вершин и тридцать ребер.

hello_html_6ed1adfd.png


hello_html_44f8f6f0.png












7


Краткое описание документа:

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов (Рекомендуемый учебник: Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г., Геометрия 10-11. Учебник для 10-11 классов средней школы. М., 1994 и последующие годы издательства). Методическая разработка включает теоретический материал(определения, теоремы, аксиомы, рисунки, основные формулы) по темам: ·         Основные понятия и аксиомы стереометрии. ·         Параллельность прямых и плоскостей. ·         Аксиомы стереометрии и их следствия. ·         Параллельные прямые в пространстве. ·         Теорема о трех прямых в пространстве. ·         Параллельность прямой и плоскости. ·         Взаимное расположение прямых в пространстве. ·         Свойства параллельных плоскостей. ·         Перпендикулярность прямых и плоскостей. ·         Многогранники. ·         Правильные многогранники. 
Автор
Дата добавления 03.05.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров965
Номер материала 93360050346
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх