- 03.05.2014
- 709
- 0
-
Курсы
-
Другое
МКОУ "СОШ №7"
Методическая разработка
по стереометрии
для учащихся 10 класса
(Рекомендуемый учебник: Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г., Геометрия 10-11. Учебник для 10-11 классов средней школы. М., 1994 и последующие годы издательства)
Белоусова Е.Н., учитель математики
2014г, Нальчик
«Основные понятия и аксиомы стереометрии.
Параллельность прямых и плоскостей»
Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.
Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» — объемный, пространственный и «μετρεο» — измерять.
Простейшие фигуры в пространстве: точка, прямая, плоскость.
|
Плоскость. Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны. |
|
|
На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области и обозначаются греческими буквами α, β, γ и т.д. Точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит через эти точки), а точки M, N, P не лежат в этой плоскости. Коротко это записывают так: А ∈ β, B ∈ β, |
|
Аксиомы стереометрии и их следствия
|
Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. |
|
|||
|
Аксиома 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую). |
|
|||
|
Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.
|
|
|||
|
Аксиома 3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой.
Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты. |
|
|||
|
Некоторые следствия из аксиом
Теорема 1.
Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна. |
|
|||
|
Теорема 2.
Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна. |
|
|||
|
Параллельные прямые в пространстве
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
|
||||
|
Теорема о параллельных прямых.
Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
|
|
|||
|
Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми.
Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
|
|
|||
|
Теорема о трех прямых в пространстве. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (если a∥c и b∥c, то a∥b).
|
|
|||
|
Параллельность прямой и плоскости
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
|
||||
|
Признак параллельности прямой и плоскости Теорема. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости. |
|
|||
|
Теорема. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. |
|
|||
|
Теорема. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости. |
||||
|
Взаимное расположение прямых в пространстве
|
||||
|
Пересекающиеся прямые: лежат в одной плоскости, имеют одну общую точку.
|
Параллельные прямые: лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются)
|
Скрещивающиеся прямые: не лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются)
|
||
|
Параллельность плоскостей Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, т.е. не имеют ни одной общей точки. α∥β.
|
|
|||
|
Признак параллельности двух плоскостей Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости , то эти плоскости параллельны. Если а∥а1 и b∥b1, то α∥β.
|
|
|||
|
Свойства параллельных плоскостей |
||||
|
Если α∥β и они пересекаются с γ, то а∥b.
|
Если α∥β и AB∥CD, то АВ = CD.
|
|||
|
Перпендикулярность прямых и плоскостей
|
||||
|
Определение Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения. |
|
|||
|
Теорема (ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ). Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости. |
|
|||
|
Теорема. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. |
|
|||
|
Теорема. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны. |
|
|||
|
Перпендикуляр и наклонная Перпендикуляром, опущенным из данной точки данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра. Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.
AB – перпендикуляр к плоскости α. AC – наклонная, CB – проекция. С – основание наклонной, B - основание перпендикуляра. |
|
|||
|
Теорема о трех перпендикулярах
Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. |
|
|||
|
Обратная теорема о трех перпендикулярах
Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.
|
|
|||
|
Перпендикулярные плоскости
Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым. Плоскость α перпендикулярна плоскости β. Они пересекаются по прямой с. Плоскость γ перпендикулярна с и пересекает плоскости α и β по прямым a и b соответственно. |
|
|||
|
Признак перпендикулярности плоскостей
Теорема. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
|
|
|||
|
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. Оно равно расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые. |
|
|||
|
Расстояние между скрещивающимися прямыми. Свойства
Теорема. Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и при том только один. Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые.
|
|
|||
|
|
||||
|
Двугранный угол Двугранным углом называется фигура, образованная двумя плоскостями с общей ограничивающей их прямой. Полуплоскости называются гранями, а ограничивающая их прямая – ребром двухгранного угла. Плоскость, перпендикулярная ребру двухгранного угла, пересекает его грани по двум полупрямым. Угол, образованный этими полупрямыми, называется линейным углом двухгранного угла. |
||||
|
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
Многогранники
Обозначения:
|
V — объем; Sполн — площадь полной поверхности; Sбок — площадь боковой поверхности; Sо — площадь основания; Pо — периметр основания; Pо — периметр перпендикулярного сечения; l — длина ребра; h — высота. |
Формула Эйлера: N − L + F = 2 ; N — число вершин, L — число ребер, F — число граней выпуклого многогранника.
|
|
Призма — многогранник, две грани которого — равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, а остальные — параллелограммы.
|
|
|
Параллелепипед — призма, основание которой — параллелограмм. Параллелепипед имеет шесть граней и все они — параллелограммы.
|
|
|
Пирамида — многогранник, у которого одна грань n-угольник — основание пирамиды, а остальные боковые грани — треугольники с общей вершиной — вершиной пирамиды.
|
|
|
Если в пирамиде провести сечение параллельное основанию, то тело, ограниченное этим сечением, основанием, и заключенной между ними боковой поверхностью пирамиды, называется усеченной пирамидой.
где S1 и S2 — площади оснований
|
|
|
Правильные многогранники |
|
|
Многогранник называется правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники, а все многогранные углы имеют одинаковое число граней.
Все ребра правильного многогранника — равные отрезки, все плоские углы правильного многогранника также равны.
Существует пять различных правильных многогранников (выпуклых): правильный четырехгранник (правильный тетраэдр), правильный шестигранник (куб), правильный восьмигранник (правильный октаэдр), правильный двенадцатигранник (правильный додекаэдр), правильный двадцатигранник (правильный икосаэдр).
|
Обозначения: а — длина ребра; V — объем; Sбок — площадь боковой поверхности; Sполн — площадь полной поверхности; R — радиус описанной сферы; r — радиус вписанной сферы; h — высота. |
|
Тетраэдр — четыре грани — равносторонние равные треугольники. Тетраэдр имеет четыре вершины и шесть ребер
|
|
|
Куб — шесть граней — равные квадраты. Куб имеет восемь вершин и двенадцать ребер.
|
|
|
Октаэдр — восемь граней — равносторонние равные треугольники. Октаэдр имеет шесть вершин и двенадцать ребер
|
|
|
Додекаэдр — двенадцать граней — правильные равные пятиугольники. Додекаэдр имеет двадцать вершин и тридцать ребер.
|
|
|
Икосаэдр — двадцать граней — равносторонние равные треугольники. Икосаэдр имеет двенадцать вершин и тридцать ребер.
|
|
Настоящий материал опубликован пользователем Белоусова Елена Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Курс повышения квалификации
Курс повышения квалификации
Курс повышения квалификации
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов (Рекомендуемый учебник: Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г., Геометрия 10-11. Учебник для 10-11 классов средней школы. М., 1994 и последующие годы издательства). Методическая разработка включает теоретический материал(определения, теоремы, аксиомы, рисунки, основные формулы) по темам: · Основные понятия и аксиомы стереометрии. · Параллельность прямых и плоскостей. · Аксиомы стереометрии и их следствия. · Параллельные прямые в пространстве. · Теорема о трех прямых в пространстве. · Параллельность прямой и плоскости. · Взаимное расположение прямых в пространстве. · Свойства параллельных плоскостей. · Перпендикулярность прямых и плоскостей. · Многогранники. · Правильные многогранники.
7 366 299 материалов в базе
Вам будут доступны для скачивания все 359 595 материалов из нашего маркетплейса.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.