МУНИЦИПАЛЬНОЕ
БЮДЖЕТНОЕ
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
«СРЕДНЯЯ
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 3»
Делимость многочленов
Научно
- практическая конференция учащихся
5-7
классов
«Малые грани»
Физико-математическое
направление
Математическая секция
Работу выполнили:
Бормотова Яна и Окунев Артем
ученики 7 «В» класса
МБОУ «средняя общеобразовательная школа №3»
Руководитель:
Черняева Ирина Викторовна
учитель математики
МБОУ «средняя общеобразовательная школа №3»
г.
Моршанск, Тамбовской области
2013
- 2014 учебный год
Содержание:
Введение______________________________________________________________3
Основная часть__________________________________________________________________4
1.Общие понятия______________________________________________________4
1.1 Одночлен___________________________________________________________ 4
1.2 Многочлен__________________________________________________________ 4
1.3 Стандартный
вид многочлена______________________________________
4
1.4 Степень
многочлена________________________________________________
4
2. Действия с многочленами____________________________________________5
2.1 Сложение
(вычитание) многочленов_________________________________5
2.2 Умножение
многочленов____________________________________________
5
2.3 Деление
многочленов________________________________________________
5
3.Делимость многочленов______________________________________________ 6
3.1 Деление
нацело______________________________________________________
6
3.2 Деление с
остатком
_________________________________________________6
4. Алгоритм Евклида___________________________________________________ 7
4.1 Исторические
сведения______________________________________________
8
4.2 Обобщённый
алгоритм Евклида для
многочленов____________________________________________________________ 8
4.3 Ускоренные
версии алгоритма_______________________________________9
5. Применение теории делимости________________________________________9
5.1 Разложение на
множители__________________________________________9
5.2 Сокращение
дробей_________________________________________________
10
5.3 Решение
уравнений__________________________________________________
10
5.4 Теорема Безу_______________________________________________________ 11
Заключение____________________________________________________________13
Библиография_________________________________________________________
13
1
ВВЕДЕНИЕ
В данной работе рассматриваются основы теории делимости
многочленов и её применение в реальной жизни. Кратко рассказываем об истории
возникновения данной теории. В работе представлены формулировки и основные
понятия теории делимости многочленов: решение уравнений, сокращение дробей,
алгоритм Евклида, теорема Безу. Показан основой принцип деления и его
приложения.
Применение теории делимости многочленов является важной частью
работы.
Методами исследования являлись: анализ учебной и дополнительной
литературы, собственный анализ, решение уравнений и сокращение дробей.
Мы выбрали эту тему, потому что на уроках математики изучали
сложение, вычитание, умножение многочленов, а вот деление многочленов нет.
Цели работы:
·
изучить
теорию делимости многочленов и области ее применения
·
развитие
умений и навыков в исследовательской и научно - практической работе
Для достижения этих целей необходимо изучить основные понятия, теоремы и
алгоритмы теории делимости.
С помощью основ теории делимости многочленов можно
делить многочлены, раскладывать многочлены на множители, решать уравнения
высших степеней, сокращать дроби, решать математические задачи.
Задачи:
·
пропаганда научных знаний и развитие у интереса к будущей профессиональной деятельности
·
активизация поисковой и научно-практической деятельности
2
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
1. Общие понятия.
1.1 Одночлен.
Одночленом называют алгебраическое выражение, являющееся
произведением букв и чисел. Эти буквы и числа являются множителями данного
одночлена.
Одночлены или Монономы
- проcтой вид математических
выражений,
прежде всего рассматриваемых и используемых в элементарной алгебре.
Произведение, состоящее из числового
множителя
и одной или несколько переменных, взятых каждая с той или другой положительной
отметкой степени подразумевается также каждое отдельное число без буквенных
множителей.
Примеры: О; x; -3y; -1/3a; 7abc...
1.2 Многочлен.
Многочленом называют сумму одночленов. Одночлены, входящие в эту
сумму, называют членами многочлена.
В математике,
многочлены или полиномы от одной переменной — функции вида
где ci фиксированные коэффициенты,
а x — переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных
функций. Многочлен (или полином) от n переменных
— есть конечная формальная сумма вида
,
где I = (i1,i2,...,in) есть набор
из целых
неотрицательных чисел (называется мультииндекс), cI — число
(называемое «коэффициент многочлена»), зависящее только от мультииндекса I.
В частности, многочлен от одной переменной есть конечная
формальная сумма вида
Например: a2+2ab+b2.
1.3 Стандартный вид
многочлена.
Говорят, что многочлен имеет
стандартный вид, если все его члены записаны в стандартном виде и среди них нет
подобных.
Например: a-b,
a2+2ab2+b2.
3
Многочлен стандартного вида,
состоящий из двух членов, называют двучленом; многочлен стандартного вида,
состоящий из трёх членов, называют трёхчленом и т. д.
Например:
двучлен: ab-cd,
7a2-2b;
трёхчлен:
3a-2b-7, x+yz-2z2;
четырёхчлен:
a+b-c-d, -abc-acd-bcd-abd
Любой многочлен можно привести
к стандартному виду.
1.4 Степень многочлена.
Степенью многочлена называют
наибольшую из степеней входящих в него одночленов.
2. Действия с многочленами.
2.1 Сложение (вычитание) многочленов.
Суммой (разностью) двух
многочленов называется многочлен, коэффициенты которого являются суммой
(разностью) коэффициентов при подобных членах этих многочленов.
На практике для нахождения
суммы и разности многочленов используют правила раскрытия скобок, перед
которыми стоит знак плюс (знак минус).
Пример:(2x+3y)+(-5x+3y-4)=2x+3y-5x+3y-4=-3x+6y-4;
(4x-5y)-(-x-4y)=4x-5y+x+4y=5x-y.
2.2 Умножение многочленов.
Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно умножить каждый член
многочлена на этот одночлен и сложить полученные произведения.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый
член первого многочлена на каждый член второго многочлена полученные одночлены
сложить.
Пример:(-5a)(4-b-a2)=-20a+5ab+5a3;
(2+b)(b2-4)=2b2-8+b3-4b.
2.3 Деление многочленов
В алгебре
рассматривается деление многочленов столбиком — алгоритм
деления многочлена
f(x) на многочлен g(x), степень
которого меньше или равна степени многочлена f(x). Алгоритм представляет собой
обобщенную форму деления
чисел столбиком, легко реализуемую вручную.
4
Для любых многочленов f(x) и g(x), ,
существуют единственные полиномы q(x) и r(x), такие что
,
причем r(x) имеет более низкую степень, чем g(x).
Целью алгоритма деления многочленов в столбик является нахождение
частного q(x) и остатка r(x) для заданных делимого f(x) и ненулевого делителя
g(x).
Пример:
Покажем, что
Частное и остаток от деления могут быть найдены в ходе выполнения
следующих шагов:
а) Делим первый элемент делимого на старший элемент делителя,
помещаем результат под чертой .
б) Умножаем делитель на полученный выше результат деления (на
первый элемент частного). Записываем результат под первыми двумя элементами
делимого .
в) Вычитаем полученный после умножения многочлен из делимого,
записываем результат под чертой .
г) Повторяем предыдущие 3 шага, используя в качестве делимого
многочлен, записанный под чертой.
5
д) Повторяем шаг 4.
е) Конец алгоритма.
Таким образом, многочлен q(x) = x2 − 9x − 27 —
частное деления, а r(x) = − 123 — остаток.
3. Делимость многочленов
Говорят, что многочлен P(x) делится на многочлен Q(x), если
существует многочлен S(x), такой, что P(x) = Q(x)S(x). Многочлен S(x)
называется частным от деления P(x) на Q(x). Из (??) следует, что deg S(x) = deg
P(x) - degQ(x).
Теория делимости многочленов имеет много общего с теорией
делимости целых чисел. В частности, выполняются следующие свойства:
•
если P1(x) и P2(x) делятся на Q(x); то P1(x) + P2(x) и P1(x) -
P2(x) делятся на Q(x);
(3)
•
если P(x) делится на Q(x); а T(x) – произвольный многочлен; то
P(x)T(x) делится на Q(x); (4)
•
если P(x) делится на Q(x); а Q(x) делится на H(x); то P(x) делится
на
H(x):
(5)
Доказательство этих свойств ничем не отличается от доказательства
соответствующих свойств делимости целых чисел. Отметим еще некоторые простые
свойства:
•
если ненулевой многочлен P(x) делится на Q(x); то deg P(x) ≥
degQ(x);
(6)
•
если deg P(x) = degQ(x); то P(x) делится на Q(x) тогда и только
тогда, когда эти многочлены
пропорциональны:
(7)
(Многочлены называются пропорциональными, если один из них
получается из другого умножением на число, отличное от 0.)
6
Действительно, если P(x) делится на Q(x) и deg P(x) = degQ(x), то частное
имеет степень 0, т.е. является числом, отличным от 0. Обратное
утверждение очевидно.
3.1 Деление нацело.
Рассмотрим случай, когда частное от
деления многочлена А на многочлен В есть многочлен С.
Многочлен А делится
нацело на ненулевой многочлен В, если существует многочлен С, такой, что
А = В · С.
Например:
а2+2ав+в2=(а+в)(а+в),
а4- в4=(а-в)(а4+а3в+а2в2+ав3+в4)
Вообще для
любого натурального числа n≥2 выполняется равенство
аn-вn=(а-в)(аn-1+аn-2в+...+авn-2+вn-1)
Пример: Разделим многочлен х3-
8 на многочлен х - 2;
х3 + 0х2 + 0х - 8│ х - 2
х3 - 2х2
х2 + 2х + 4
2х2 + 0х
2х2 - 4х
4х - 8
4х - 8
0
Итак
, х3 - 8 = ( х2 + 2х + 4)(х - 2)
3.2 Деление с остатком
Будем рассматривать многочлены
относительно х, т. е. многочлены вида
аnхn +
аn-1хn-1
+...+а1х + а0 , где а0,а1,а2,...аn
- коэффициенты многочлена
Пусть даны два многочлена ; А = аnхn +
аn-1хn-1
+...+а1х + а0
В = вmхm +
вm-1хm-1
+...+в1х + в0 относительно х.
Разделить многочлен А на многочлен В с
остатком - значит найти многочлены Q
и R
такие, что выполняется равенство A
= Q·B
+ R
причём степень многочлена R
меньше степени многочлена В, либо R
- нулевой многочлен.Q - частное , R
- остаток.
7
Пример: Разделим многочлен х3-
8 на многочлен х - 3;
х3 + 0х2 + 0х - 8│ х - 3
х3 - 3х2
х2 + 3х + 9
3х2 + 0х
3х2 - 9х
9х - 8
9х - 27
19
Итак
, х3 - 8 = ( х2 + 3х + 9)(х - 3) + 19
4. Алгоритм Евклида.
4.1 Исторические сведения.
Алгоритму
Евклида более 2000 лет и он традиционно используется для нахождения наибольшего
общего делителя натуральных чисел посредством остатков от деления.
Со
временем алгоритм Евклида стали применять и в диафантовом анализе (для решения
уравнений в целых числах), и в механизме цепных дробей (для наилучшего
приближения действительных чисел рациональными), используется и для быстрого
возведения в степень в компьютерных алгоритмах, и в криптографии.
Древнегреческие математики называли этот алгоритм «взаимное
вычитание».
В «Началах»
Евклида он описан дважды — в VII книге для
нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел и в X книге для
нахождения наибольшей общей меры двух однородных величин. В обоих случаях дано
геометрическое описание алгоритма, для нахождения «общей меры» двух отрезков.
Историками математики (Цейтен
и др.) было выдвинуто предположение, что именно с помощью алгоритма Евклида
(процедуры последовательного взаимного вычитания) в древнегреческой математике
впервые было открыто существование несоизмеримых величин (стороны и диагонали
квадрата, или стороны и диагонали правильного пятиугольника). Впрочем, это
предположение не имеет достаточных документальных подтверждений. Алгоритм для
поиска наибольшего общего делителя двух натуральных чисел описан также в I
книге древнекитайского трактата Математика
в девяти книгах.
Ряд математиков средневекового Востока (Сабит
ибн Курра, ал-Махани,
Ибн
ал-Хайсам, Омар
Хайям) попытались построить на основе алгоритма Евклида теорию
отношений, альтернативную по отношению теории отношений Евдокса,
изложенной в V книге «Начал»
Евклида. Согласно определению, предложенному
этими авторами, четыре величины, первая ко второй и третья к четвёртой, имеют
между собой одно и то же отношение, если при последовательном взаимном
вычитании второй величин в обеих парах на каждом шаге будут получаться одни и
те же неполные частные.
4.2 Обобщённый алгоритм Евклида для многочленов.
Рассмотрим пример использования алгоритма Евклида для многочленов.
Найдём наибольший общий делитель многочленов А=x3+3x2+3x+2
и B=x3+2x2+2x+1.
Применим алгоритм Евклида:
_
|
x3+3x2+3x+2
|
x3+2x2+2x+1
|
х3+2x2+2x+1
|
1
|
_x3+2x2+2x+1
|
x2+x+1
|
|
|
x3+ x2+ x
|
x+1
|
|
|
|
_x2+x+1
|
|
|
|
|
x2+x+1
|
|
|
|
|
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.3 Ускоренные версии алгоритма.
Одним из методов ускорения целочисленного алгоритма Евклида
является использование симметричного остатка:
где
Одна из наиболее многообещающих версий ускоренного алгоритма
Евклида для полиномов основывается на том, что промежуточные значения алгоритма
в основном зависят от высоких степеней. Применение стратегии Разделяй
и Властвуй позволяет уменьшить асимптотическую
сложность алгоритма.
5. Применение теории делимости.
5.1 Разложение на множители.
f(x):(x-1/2)
Разделим.
2x3+7x2-28x+12
|
x-1/2
|
2x3-x2
|
2x2+8x-24
|
|
8x2-28x
|
|
|
8x2-4x
|
|
-24x+12
|
|
-24x+12
|
|
0
|
|
|
x=-6
|
|
|
x=2
|
|
|
|
|
|
|
Значит 2x2+88x-24=0, т.е. x2+4x-12=0
Ответ: 2(x-1/2)(x+6)(x-2)
5.2 Сокращение дробей.
2x3+7x2-28x+12
|
=
|
2(x-1/2)(x+6)(x-2)
|
=
|
2(x+6)(x-2)
|
=
|
2(x+6)(x-2)
|
x-1/2
|
(x-1/2)
|
1
|
Ответ:
2(x+6)(x-2)
5.3 Решение уравнений.
1) 2x2-3x-5=0; f(x)=2x2-3x-5
f(-1)=2(-1)2-3(-1)-5=0, значит
f(x):(x+1) (:-символ кратности).
Разделим уголком:
а) 2x2:(x)=2x поставим под уголок
2x2-3x-5
|
x+1
|
|
Умножим
2x на (x+1)
|
|
2x
|
|
б) 2x(x+1)=2x2+2x подставим под выражением 2x2-3x-5.
в) Вычтем (2x2-3x-5)-(2x2+2x)=-5x-5
2x2-3x-5
|
|
x+1
|
2x2+2x
|
|
2x
|
|
-5x-5
|
|
|
|
|
|
г) (-5x):x=-5
2x2-3x-5
|
x+1
|
|
2x2+2x
|
2x-5
|
|
|
-5x-5
|
|
|
|
|
|
д) -5*(x+1)=-5x-5. Подставим под -5x-5
10
2x2-3x-5
|
x+1
|
2x2+2x
|
2x-5
|
|
-5x-5
|
|
|
-5x-5
|
|
е) (-5x-5)-(-5x-5)=0, значит остаток равен нулю.
2x2-3x-5
|
x+1
|
2x2+2x
|
2x-5
|
|
-5x-5
|
|
|
-5x-5
|
|
|
0
|
|
|
x+1=0
|
|
|
2x-5=0
|
|
|
|
|
|
|
|
Процесс деления закончен.
Ответ:{-1;2,5}
5.4 Теорема Безу
Теорема. Остаток от деления многочлена на
многочлен равен
.
Доказательство. Степень остатка меньше 1, следовательно, остаток —
константа. Пусть —
остаток.
Это равенство верно при любых значениях .
Положим :
Задачи.
1) Проверьте, выполняются ли условия:
а) делится
на ;
б) делится
на .
2) Докажите, что
делится
на .
3) Найдите значения параметров и
,
при которых
делится
на .
4) Найдите все значения параметров
и ,
такие, что остаток от деления
на
равен
.
5) Найдите все натуральные ,
такие, что
делится
на .
11
6) Известно, что остаток от деления полинома на
равен
2, от деления на равен
1. Найдите остаток от деления на .
7)
Найдите остаток от деления многочлена на .
12
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Итак, в теории делимости многочленов изучают признаки
делимости одного многочлена на другой. Теория делимости многочленов предлагает
математический аппарат для описания этих законов. Этот математический аппарат
является таким же логически строгим и точным, как математический аппарат в
других разделах математики. Рассмотренные понятия позволяют дать определение
теории делимости многочленов: теория делимости многочленов - это математическая
наука, изучающая деление одного многочлена на другой.
Данная работа помогает разобраться в сущности теории
делимости многочленов, научиться решать с помощью нее математические уравнения,
понять в каких областях она может применяться.
Библиография:
1.Энциклопедия онлайн «Википедия»: статья о делимости многочленов.
2. Энциклопедия онлайн «Википедия»: статья о алгоритме Евклида.
3.
sbiryukova.narod.ru: статья о делимости многочленов.
4.
www.ref.by/refs:
статья о теореме Безу.
5.
ru.math.wikia.com: статья о теореме Евклида.
6.
ega-math.narod.ru: статья о вычислениях многочленов.
7. Энциклопедия онлайн «Википедия»: статья о многочленах.
8. Никольский.С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В.
Алгебра: Учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений, Москва,
Просвещение, 2009 г. (дополнения к главе).
13
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.