Инфоурок Алгебра Научные работыМатериалы для научно - практической конференции "Делимость многочленов"

Материалы для научно - практической конференции "Делимость многочленов"

Скачать материал

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 3»

 

 

Делимость многочленов

 

Научно - практическая конференция учащихся

5-7 классов

«Малые грани»

Физико-математическое направление

Математическая секция

 

 

 

 

                                        Работу выполнили:

                                        Бормотова Яна и Окунев Артем

                                        ученики 7 «В» класса

                                         МБОУ «средняя общеобразовательная школа №3»

 

 

                                       Руководитель:

                                       Черняева Ирина Викторовна

                                        учитель  математики

                                        МБОУ «средняя общеобразовательная школа №3»

 

 

 

 

 

 

 

 

г. Моршанск, Тамбовской области

2013 - 2014 учебный год

 

Содержание:

Введение______________________________________________________________3

Основная часть__________________________________________________________________4

1.Общие понятия______________________________________________________4

1.1 Одночлен___________________________________________________________ 4

1.2 Многочлен__________________________________________________________ 4

1.3 Стандартный вид многочлена______________________________________ 4

1.4 Степень многочлена________________________________________________ 4

2. Действия с многочленами____________________________________________5

2.1 Сложение (вычитание) многочленов_________________________________5

2.2 Умножение многочленов____________________________________________ 5

2.3 Деление многочленов________________________________________________ 5

3.Делимость многочленов______________________________________________ 6

3.1 Деление нацело______________________________________________________ 6

3.2 Деление с остатком _________________________________________________6

4. Алгоритм Евклида___________________________________________________  7

4.1 Исторические сведения______________________________________________ 8

4.2 Обобщённый алгоритм Евклида для

многочленов____________________________________________________________ 8

4.3 Ускоренные версии алгоритма_______________________________________9

5. Применение теории делимости________________________________________9

5.1 Разложение на множители__________________________________________9

5.2 Сокращение дробей_________________________________________________ 10

5.3 Решение уравнений__________________________________________________ 10

5.4 Теорема Безу_______________________________________________________   11

 Заключение____________________________________________________________13

Библиография_________________________________________________________  13

 

 

 

 

 

 

1

ВВЕДЕНИЕ

     В данной работе рассматриваются основы теории делимости многочленов и её применение в реальной жизни. Кратко рассказываем об истории возникновения данной теории. В работе представлены формулировки и основные понятия теории делимости многочленов: решение уравнений, сокращение дробей, алгоритм Евклида, теорема Безу.  Показан основой принцип деления и его приложения.

Применение теории делимости многочленов является важной частью работы.

Методами исследования являлись: анализ учебной и дополнительной литературы, собственный анализ, решение уравнений и сокращение дробей.

     Мы выбрали эту тему, потому что на уроках математики изучали сложение, вычитание, умножение многочленов, а вот деление многочленов нет.

  

    Цели  работы:

·        изучить теорию делимости многочленов и области ее применения

·        развитие умений и навыков в исследовательской и научно - практической работе

 

     Для достижения этих целей необходимо изучить основные понятия, теоремы и алгоритмы теории делимости.

     С помощью основ теории делимости многочленов можно делить многочлены, раскладывать многочлены на множители, решать уравнения высших степеней, сокращать дроби, решать математические задачи.

 

Задачи:

·          пропаганда научных знаний и развитие у интереса к будущей  профессиональной деятельности

·        активизация поисковой и научно-практической деятельности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1. Общие понятия.

1.1 Одночлен.

Одночленом называют алгебраическое выражение, являющееся произведением букв и чисел. Эти буквы и числа являются множителями данного одночлена.

Одночлены или Монономы - проcтой вид математических выражений, прежде всего рассматриваемых и используемых в элементарной алгебре.

Произведение, состоящее из числового множителя и одной или несколько переменных, взятых каждая с той или другой положительной отметкой степени подразумевается также каждое отдельное число без буквенных множителей.

Примеры:  О; x; -3y;  -1/3a; 7abc...

 

1.2 Многочлен.

Многочленом называют сумму одночленов. Одночлены, входящие в эту сумму, называют членами многочлена.

В математике, многочлены или полиномы от одной переменной — функции вида

где ci фиксированные коэффициенты, а x — переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Многочлен (или полином) от n переменных — есть конечная формальная сумма вида

,

где I = (i1,i2,...,in) есть набор из целых неотрицательных чисел (называется мультииндекс), cI — число (называемое «коэффициент многочлена»), зависящее только от мультииндекса I.

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

 

Например:   a2+2ab+b2.

 

1.3 Стандартный вид многочлена.

Говорят, что многочлен имеет стандартный вид, если все его члены записаны в стандартном виде и среди них нет подобных.

 

Например:    a-b,   a2+2ab2+b2.

3

Многочлен стандартного вида, состоящий из двух членов, называют двучленом; многочлен стандартного вида, состоящий из трёх членов, называют трёхчленом и т. д.

Например:

    двучлен:  ab-cd, 7a2-2b;

    трёхчлен: 3a-2b-7, x+yz-2z2;

    четырёхчлен: a+b-c-d, -abc-acd-bcd-abd

Любой многочлен можно привести к стандартному виду.

 

1.4 Степень многочлена.

Степенью многочлена называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

 

2. Действия с многочленами.

2.1 Сложение (вычитание) многочленов.

Суммой (разностью) двух многочленов называется многочлен, коэффициенты которого являются суммой (разностью) коэффициентов при подобных членах этих многочленов.

На практике для нахождения суммы и разности многочленов используют правила раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс (знак минус).

Пример:(2x+3y)+(-5x+3y-4)=2x+3y-5x+3y-4=-3x+6y-4; (4x-5y)-(-x-4y)=4x-5y+x+4y=5x-y.

 

 

 

2.2 Умножение многочленов.

Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно умножить каждый член многочлена на этот одночлен и сложить полученные произведения.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена полученные одночлены сложить.

 

Пример:(-5a)(4-b-a2)=-20a+5ab+5a3;
(2+b)(b2-4)=2b2-8+b3-4b.

 

2.3 Деление многочленов

В алгебре рассматривается деление многочленов столбиком — алгоритм деления многочлена f(x) на многочлен g(x), степень которого меньше или равна степени многочлена f(x). Алгоритм представляет собой обобщенную форму деления чисел столбиком, легко реализуемую вручную.

4

Для любых многочленов f(x) и g(x), , существуют единственные полиномы q(x) и r(x), такие что

,

причем r(x) имеет более низкую степень, чем g(x).

 

Целью алгоритма деления многочленов в столбик является нахождение частного q(x) и остатка r(x) для заданных делимого f(x) и ненулевого делителя g(x).

Пример:

Покажем, что

Частное и остаток от деления могут быть найдены в ходе выполнения следующих шагов:

а) Делим первый элемент делимого на старший элемент делителя, помещаем результат под чертой .

б) Умножаем делитель на полученный выше результат деления (на первый элемент частного). Записываем результат под первыми двумя элементами делимого .

 

в) Вычитаем полученный после умножения многочлен из делимого, записываем результат под чертой .

г) Повторяем предыдущие 3 шага, используя в качестве делимого многочлен, записанный под чертой.

 

 

 

 

 

 

 

5

д) Повторяем шаг 4.

е) Конец алгоритма.

Таким образом, многочлен q(x) = x2 − 9x − 27 — частное деления, а r(x) = − 123 — остаток.

 

3. Делимость многочленов

Говорят, что многочлен P(x) делится на многочлен Q(x), если существует многочлен S(x), такой, что P(x) = Q(x)S(x). Многочлен S(x) называется частным от деления P(x) на Q(x). Из (??) следует, что deg S(x) = deg P(x) - degQ(x).

Теория делимости многочленов имеет много общего с теорией делимости целых чисел. В частности, выполняются следующие свойства:

         если P1(x) и P2(x) делятся на Q(x); то P1(x) + P2(x) и P1(x) - P2(x) делятся на Q(x);          (3)

         если P(x) делится на Q(x); а T(x) – произвольный многочлен; то P(x)T(x) делится на Q(x);  (4)

         если P(x) делится на Q(x); а Q(x) делится на H(x); то P(x) делится на H(x):                        (5)

Доказательство этих свойств ничем не отличается от доказательства соответствующих свойств делимости целых чисел. Отметим еще некоторые простые свойства:

 

         если ненулевой многочлен P(x) делится на Q(x); то deg P(x) ≥ degQ(x);                             (6)

         если deg P(x) = degQ(x); то P(x) делится на Q(x) тогда и только тогда, когда эти многочлены пропорциональны:                    (7)

(Многочлены называются пропорциональными, если один из них получается из другого умножением на число, отличное от 0.)

6


  Действительно, если P(x) делится на Q(x) и deg P(x) = degQ(x), то частное

имеет степень 0, т.е. является числом, отличным от 0. Обратное утверждение очевидно.

 

3.1 Деление нацело.

Рассмотрим случай, когда частное от деления многочлена А на многочлен В есть многочлен С.

 Многочлен  А  делится нацело на ненулевой  многочлен  В, если существует многочлен  С, такой, что

                                                                  А = В · С.

Например:       а2+2ав+в2=(а+в)(а+в),

                             а4- в4=(а-в)(а43в+а2в2+ав34)

Вообще для любого натурального числа n≥2  выполняется равенство

                              аnn=(а-в)(аn-1n-2в+...+авn-2n-1)

Пример:  Разделим многочлен   х3- 8  на многочлен  х - 2;

   х3 + 0х2 + 0х - 8х - 2

   х3 - 2х2                  х2 + 2х + 4

        2х2 + 0х

        2 - 4х

                 4х - 8

                 4х - 8

                         0

Итак ,             х3 - 8 = ( х2 + 2х + 4)(х - 2)

3.2 Деление с остатком

Будем рассматривать многочлены относительно х, т. е. многочлены вида

аnхn + аn-1хn-1 +...+а1х + а0 , где а012,...аn - коэффициенты многочлена

Пусть даны два многочлена ;  А = аnхn + аn-1хn-1 +...+а1х + а0

                                                                            В = вmхm + вm-1хm-1 +...+в1х + вотносительно х.

Разделить многочлен А на многочлен В с остатком - значит найти многочлены Q и R такие, что выполняется равенство A = Q·B + R причём степень многочлена R меньше степени многочлена В, либо R - нулевой многочлен.Q - частное ,   R - остаток.

7

 Пример:  Разделим многочлен   х3- 8  на многочлен  х - 3;

   х3 + 0х2 + 0х - 8х - 3

   х3 - 3х2                  х2 + 3х + 9

        3х2 + 0х

        2 - 9х

                 9х - 8

                 9х - 27

                         19

Итак ,             х3 - 8 = ( х2 + 3х + 9)(х - 3) + 19

4. Алгоритм Евклида.

4.1 Исторические сведения.

 Алгоритму Евклида более 2000 лет и он традиционно используется для нахождения наибольшего общего делителя натуральных чисел посредством остатков от деления.

Со временем алгоритм Евклида стали применять и в диафантовом анализе (для решения уравнений в целых числах), и в механизме цепных дробей (для наилучшего приближения действительных чисел рациональными), используется и для быстрого возведения в степень в компьютерных алгоритмах, и в криптографии.

Древнегреческие математики называли этот алгоритм «взаимное вычитание».

В «Началах» Евклида он описан дважды — в VII книге для нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел и в X книге для нахождения наибольшей общей меры двух однородных величин. В обоих случаях дано геометрическое описание алгоритма, для нахождения «общей меры» двух отрезков.

Историками математики (Цейтен и др.) было выдвинуто предположение, что именно с помощью алгоритма Евклида (процедуры последовательного взаимного вычитания) в древнегреческой математике впервые было открыто существование несоизмеримых величин (стороны и диагонали квадрата, или стороны и диагонали правильного пятиугольника). Впрочем, это предположение не имеет достаточных документальных подтверждений. Алгоритм для поиска наибольшего общего делителя двух натуральных чисел описан также в I книге древнекитайского трактата Математика в девяти книгах.

Ряд математиков средневекового Востока (Сабит ибн Курра, ал-Махани, Ибн ал-Хайсам, Омар Хайям) попытались построить на основе алгоритма Евклида теорию отношений, альтернативную по отношению теории отношений Евдокса, изложенной в V книге «Начал» Евклида. Согласно определению, предложенному этими авторами, четыре величины, первая ко второй и третья к четвёртой, имеют между собой одно и то же отношение, если при последовательном взаимном вычитании второй величин в обеих парах на каждом шаге будут получаться одни и те же неполные частные.

4.2 Обобщённый алгоритм Евклида для многочленов.

Рассмотрим пример использования алгоритма Евклида для многочленов.

Найдём наибольший общий делитель многочленов А=x3+3x2+3x+2 и B=x3+2x2+2x+1.

Применим алгоритм Евклида:

 

 

_

x3+3x2+3x+2

x3+2x2+2x+1

х3+2x2+2x+1

1

_x3+2x2+2x+1

x2+x+1

 

 

 x3+  x2+  x

x+1

 

 

 

_x2+x+1

 

 

 

 

x2+x+1

 

 

 

 

          0

 

 

 

 

4.3 Ускоренные версии алгоритма.

Одним из методов ускорения целочисленного алгоритма Евклида является использование симметричного остатка:

где

Одна из наиболее многообещающих версий ускоренного алгоритма Евклида для полиномов основывается на том, что промежуточные значения алгоритма в основном зависят от высоких степеней. Применение стратегии Разделяй и Властвуй позволяет уменьшить асимптотическую сложность алгоритма.

5. Применение теории делимости.

5.1 Разложение на множители.

f(x):(x-1/2)

Разделим.

2x3+7x2-28x+12

x-1/2

2x3-x2

2x2+8x-24

 

8x2-28x

 

 

8x2-4x

 

-24x+12

 

-24x+12

 

   0

 

 

x=-6

 

 

x=2

 

Значит 2x2+88x-24=0, т.е. x2+4x-12=0

 

Ответ: 2(x-1/2)(x+6)(x-2)

 

5.2 Сокращение дробей.

2x3+7x2-28x+12

=

2(x-1/2)(x+6)(x-2)

=

2(x+6)(x-2)

=

2(x+6)(x-2)

x-1/2

(x-1/2)

1

Ответ: 2(x+6)(x-2)

5.3 Решение уравнений.

1) 2x2-3x-5=0;     f(x)=2x2-3x-5

    f(-1)=2(-1)2-3(-1)-5=0, значит

    f(x):(x+1) (:-символ кратности).

     Разделим уголком:

     а) 2x2:(x)=2x поставим под уголок

2x2-3x-5

x+1

 

Умножим

2x на (x+1)

 

2x

 

     б) 2x(x+1)=2x2+2x подставим под выражением  2x2-3x-5.

2x2-3x-5

x+1

  2x2+2x

2x

     в) Вычтем (2x2-3x-5)-(2x2+2x)=-5x-5

 

2x2-3x-5

 

x+1

2x2+2x

 

2x

   

-5x-5

 

      г) (-5x):x=-5

2x2-3x-5

x+1

 

2x2+2x

2x-5

 

 

-5x-5

 

   

  д) -5*(x+1)=-5x-5. Подставим под -5x-5

 

10

2x2-3x-5

x+1

2x2+2x

2x-5

 

-5x-5

 

 

-5x-5

 

 

       е) (-5x-5)-(-5x-5)=0, значит остаток равен нулю.

2x2-3x-5

x+1

2x2+2x

2x-5

 

-5x-5

 

 

-5x-5

 

 

0

 

 

x+1=0

 

 

2x-5=0

 

       Процесс деления закончен.

 

      Ответ:{-1;2,5}

5.4 Теорема Безу

Теорема. Остаток от деления многочлена на многочлен равен .

Доказательство. Степень остатка меньше 1, следовательно, остаток — константа. Пусть — остаток.

Это равенство верно при любых значениях . Положим :

Задачи.

1) Проверьте, выполняются ли условия:

а) делится на ;

б) делится на .

 

2) Докажите, что

делится на .

3) Найдите значения параметров и , при которых

 делится на .

4) Найдите все значения параметров  и , такие, что остаток от деления

на равен .

5) Найдите все натуральные , такие, что

делится на .

 

11

6) Известно, что остаток от деления полинома на равен 2, от деления  на равен 1. Найдите остаток от деления на .

7) Найдите остаток от деления многочлена на .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

    Итак, в теории делимости многочленов изучают признаки делимости одного многочлена на другой. Теория делимости многочленов предлагает математический аппарат для описания этих законов. Этот математический аппарат является таким же логически строгим и точным, как математический аппарат в других разделах математики. Рассмотренные понятия позволяют дать определение теории делимости многочленов: теория делимости многочленов - это математическая наука, изучающая деление одного многочлена на другой.

     Данная работа помогает разобраться в сущности теории делимости многочленов, научиться решать с помощью нее математические уравнения, понять в каких областях она может применяться.

 

 

Библиография:

1.Энциклопедия онлайн «Википедия»: статья о делимости многочленов.

2. Энциклопедия онлайн «Википедия»: статья о алгоритме Евклида.

3. sbiryukova.narod.ru: статья о делимости многочленов.

4. www.ref.by/refs: статья о теореме Безу.

5. ru.math.wikia.com: статья о теореме Евклида.

6. ega-math.narod.ru: статья о вычислениях многочленов.

7. Энциклопедия онлайн «Википедия»: статья о многочленах.

8. Никольский.С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра: Учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений, Москва, Просвещение, 2009 г. (дополнения к главе).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Материалы для научно - практической конференции "Делимость многочленов""

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Портной

Получите профессию

HR-менеджер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 609 595 материалов в базе

Скачать материал

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 04.11.2016 1126
    • DOCX 132.8 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Черняева Ирина Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Черняева Ирина Викторовна
    Черняева Ирина Викторовна
    • На сайте: 7 лет и 4 месяца
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 8037
    • Всего материалов: 10

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Бухгалтер

Бухгалтер

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания с применением дистанционных технологий

Учитель математики

300 ч. — 1200 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 38 человек из 19 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика и информатика: теория и методика преподавания в профессиональном образовании

Преподаватель математики и информатики

500/1000 ч.

от 8900 руб. от 4450 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 42 человека из 21 региона

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Учитель математики

300/600 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 1210 человек из 84 регионов

Мини-курс

Общая химия

10 ч.

1180 руб. 590 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Event-менеджмент и видеопродакшн: от концепции до успешной реализации

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Стартап: стратегия, развитие, и инвестиции

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе