Метод математической индукции как эффективный метод доказательства

Реферативная работа

«Метод математической индукции как эффективный метод доказательства»

Автор: Тарасова Диана,

8 класс,

Руководитель: Чиркова Мария Юрьевна,

учитель математики

2016-2017 учебный год

Оглавление
Введение		3
1	Обзор литературы	4
2	Основные понятия метода математической индукции	5
3	Применение метода математической индукции	8
Заключение		12
Литература		13
Приложение1		14
Приложение2		15

Введение

В математике часто требуется доказательство сформулированных предложений. Универсальным орудием доказательства является метод математической индукции. Однако в школьной программе с методом математической индукции знакомятся только поверхностно. В то время как подробное знакомство с этим методом полезно учащимся не только из-за расширения их кругозора, но также и потому, что на его принципе основано решение многих задач (включая олимпиадные). Это позволяет говорить об актуальности рассмотренной темы.

Цель работы: наглядно показать практическое значение метода математической индукции как необходимого фактора для решения задач.

Задачи работы:

1. Рассмотреть развитие метода математической индукции в истории

математики.

2. Изучить метод математической индукции.

3. Выявить преимущества и недостатки метода математической индукции.

4. Научится решать задачи различных видов, применяя данный метод.

Методы и методики исследования, используемые в работе:

1. Анализ математической литературы и ресурсов интернета по данной теме.

2. Репродуктивное воспроизведение изученного материала.

3. Познавательно-поисковая деятельность.

4. Анализ и сравнение данных в поиске задач.

5. Постановка гипотез и их проверка.

6. Сравнение и обобщение математических фактов.

7. Решение задач различных видов.

8. Анализ полученных результатов.

1.Обзор литературы.

Осознание метода математической индукции как отдельного важного метода восходит к Блезу Паскалю и Герсониду, хотя отдельные случаи применения встречаются ещё в античные времена у Прокла и Эвклида.

Принципом математической индукции фактически пользовались ещё некоторые древнегреческие учёные. Однако впервые он был ярко выражен Герсонидом в 1321 году. Одна из первых характеристик принципа математической индукции содержится у итальянского математика XVI веке Ф. Мавролико, переводчика Архимеда. В «Трактате об арифметическом треугольнике» Б. Паскаль доказывает закон образования членов этого треугольника методом математической индукции, после чего этот метод начинает постепенно привлекать внимание некоторых учёных, в частности Я. Бернулли. Лишь со второй половины XIX века после трудов Больцано, Коши, Гаусса, Абеля чисто индуктивные методы доказательств теряют значение в математике. На первый план выдвигается дедукция и математическая индукция.

Современное название метода было введено де Морганом в 1838 году. Окончательное оформление метода математической индукции приписывается именно Паскалю.

Известно, что доказательства с помощью принципа математической индукции имеет дедуктивный характер.

История математики знает немало примеров «ложных» доказательств с помощью метода математической индукции. Г. И. Глейзер отмечает, что наиболее любопытным из них является доказательство П. Ферма. Известный математик предполагал, что все натуральные числа вида Fn=2^(2ⁿ)+1 являются простыми после того, как проверил факт на пяти случаях, при n=0, 1, 2, 3. Действительно, это будут числа 3, 5, 17, 257. Однако в 1732 году Эйлер опроверг предположение Ферма, доказав, что число F5=225+1=4 294 967 297 составное, ибо делится на 641.

Почётный член Ан СССР и основатель киевской алгебраической школы, Дмитрий Александрович Граве (1863-1939) предполагал, что для всех простых чисел p число 2^p-1-1 не делится на p² на основе того, что факт был проверен для всех простых чисел, меньших тысячи. Предположение отвергли, когда было обнаружено, что число 2¹⁰⁹²- делится на 1093²(1093 - простое число). История математики содержит немало таких казусов.

Всё это позволяет говорить об актуальности применения метода математической индукции к доказательству различных утверждений. В наше время развитие метода продолжается.

2.Основные понятия метода математической индукции.

В основе всякого математического исследования лежит дедуктивный и индуктивный методы обоснования того или иного утверждения. Дедуктивный метод – это рассуждение, исходным моментом которого является общее утверждение, а заключительным моментом – частный результат. А индуктивный метод – это рассуждение, в котором, опираясь на ряд частых результатов, делается некий вывод.

Однако результат, полученный индукцией, вообще говоря, логически обоснованным, доказанным. Известно много случаев, когда утверждения, полученные индукцией, были неверными. Т.е. индукция может привести как к верным, так и к неверным выводам.

Рассмотрим пример. Подставляя квадратный трехчлен P(x)=x²+x+41 вместо x натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5. Получим, что:

P(1)=43 ;P(2)=47; P(3)=53; P(4)=61; P(5)=71.

Все значения данного трехчлена являются простыми числами. Подставляя вместо x числа 0, -1, -2, -3, -4, получаем:

P(0)=41; P(-1)=41; P(-2)=43; P(-3)=47; P(-4)=53.

Значения данного трехчлена при указанных значениях переменной x также являются простыми числами. Возникает гипотеза, что значения трехчлена P(x) является простым числом при любом целом значении x. Но высказанная гипотеза ошибочна, так как, например, P(41)=41²+41+41=1763=41∙43.

Так как при этом методе вывод делается после разбора нескольких примеров, не охватывающих всех возможных случаев, то этот метод называется неполной или несовершенной индукцией.

Метод неполной индукции, как мы видим, не приводит к вполне надежным выводам, но он полезет тем, что позволяет сформулировать гипотезу, которую потом можно доказать точным математическим рассуждением или отвергнуть. Иными словами, неполная индукция в математике не считается законным методом строгого доказательства, но является мощным эвристическим методом открытия новых истин.

Если же вывод делается на основании разбора всех случаев, то этот метод рассуждений называют полной индукцией.

Вот пример подобного рассуждения. Пусть требуется установить, что каждое натуральное четное число n в пределах 10<n<20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения: 10=7+3; 12=7+5; 14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7. Эти шесть равенств показывают, что каждое из интересующих нас чисел действительно представляется в виде суммы двух простых слагаемых.

Но не всегда в математике утверждения ограничиваются рассмотрением ситуации с конечным числом частных случаев. Чаще всего они охватывают бесконечное множество частных случаев, когда сделать проверку для всех случаев невозможно. Опираться при этом на неполную индукцию опасно, можно сделать неправильный вывод. Во многих случаях выход заключается в обращении к особому методу рассуждений, который называют методом математической индукции.

В основе этого метода лежит следующий принцип. Некоторое утверждение верно при любом натуральном n если:

1)                    оно верно при n=1 (базис индукции)

2)                    затем доказывается, что если верно утверждение n=k (k≥1) следовательно, что верно и при n=k+1.

Действительно, при n=1 утверждение верно при n=2; 3=2+1, поэтому в силу второго 2) утверждение верно и при n=3.

Вообще, любое натуральное число n может быть получено из 1 путем последовательного прибавления к нему единицы n – 1 раз. При каждом таком прибавлении мы получаем натуральное число, для которого рассматриваемое утверждение верно. Поэтому оно верно и для натурального числа n.

Рассмотрим применение данного метода на нескольких примерах. Самым известным является задача о Ханойской башне.

Пример 1.

Ханойская башня представляет собой n дисков, нанизанных в порядке уменьшения их размеров на один из трех колышков. Докажем, что возможно переместить всю башню на один из других колышков, перенося каждый раз только один диск и не помещая больший диск на меньший. Пусть изначально диски нанизаны на первом стержне (Приложение, рис. 1), а переложить мы должны на третий. Если n=2, то мы можем действовать следующим образом: переложить меньший диск на второй стержень, потом больший диск на третий, а затем меньший поверх большего (рис. 2). задача решена для n=2. Для n=3 можно было бы так же подробно описать процедуру перекладывания дисков, но мы попробуем воспользоваться тем, что уже умеем перекладывать башню из двух дисков. Временно забудем про нижний, самый большой диск. Тогда останется башня из двух верхних дисков. Переложим ее на свободный стержень. Теперь переложим третий диск на третий стержень (рис. 3), а потом башню из двух верхних дисков со второго стержня на третий (третий диск не мешает проведению операции, так как он самый большой). Аналогично можно поступить и для четырех дисков: сначала переложить башню из трех дисков на второй стержень, потом самый большой диск на третий, а затем башню из трех дисков на второго стержня на третий. И так далее. Башню из k дисков можно переложить аналогично: сначала переложить башню из k-1 дисков на второй стержень, k-и диск на третий стержень, а затем башню из k-1 дисков на третий стержень.

Понятно, что таким образом мы можем поступать с башней из любого числа дисков (рис. 4).

В этой задаче мы сначала научились решать задачу для n=2, а потом объяснили, как, умея перекладывать башню из k дисков, переложить башню из k+1 дисков. Сделаем вывод: мы сможем предложить башню из любого числа дисков.

Пример 2.

Доказать, что 1+3+5+…+(2n-1)=n².

Для доказательства применим метод математической индукции.

1)                    Очевидно, что при n=1 данное равенство справедливо.

2)                    Предположим, что оно справедливо при n= k, т.е. имеет место

1+3+5…+(2k-1)=k²

3)                    Докажем, что тогда оно имеет место при n=k+1

К выражению, полученному в пункте 2 прибавим, с левой и правой стороны одно и тоже слагаемое 2k+1. Тогда получим следующее

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k²+(2k+1)=k²+2k+1=(k+1)².

Таким образом, из условия, что это равенство справедливо при n=k вытекает, что оно справедливо и при n=k+1, значит оно справедливо при любом натуральном n, что и требовалось доказать.

3. Применение метода математической индукции.

В данной главе представлены доказательства различных примеров с использованием метода математической индукции.

Пример 1. Доказать, что

(1)

1) Проверим справедливость этого утверждения при n=1, т.е.

 это очевидно, 1=1.

2) Предположим, что равенство (1) выполняется при n=k, т.е.

.

(2)

3) Докажем, что проверяемое равенство (1) при n=k+1, тоже верно, т.е. докажем, что верно равенство

(3)

К каждой части равенства (2) прибавим число (k+1)² . Тогда

Итак, равенство (2) вытекает из равенства (3). Оба условия принципа математической индукции выполняются, значит, равенство (1) справедливо для любого натурального числа n.

Пример 2. Доказать, что

(4)

1) Проверим справедливость этого утверждения при n=1, т.е.

2) Предположим, что равенство (4) выполняется при n=k, т.е.

(5)

3) Докажем, что проверяемое равенство (4) при n=k+1, тоже верно, т.е. докажем, что верно равенство

К каждой части равенства (5) прибавим число. Тогда получаем

Итак, из равенства (5) вытекает равенство при n=k+1. Оба условия принципа математической индукции выполняются, значит, равенство (4) справедливо для любого натурального числа n.

Пример 3. Доказать, что при любом n выражение

1) При n=1 получаем

2) Предположим, что утверждение верно и для n=k, т.е.  - верно.

3) Докажем для n=k+1, т.е.  Преобразуем данное выражение:

Так как утверждение верно для n=k, то первое слагаемое делиться на 9, как видно второе и третье слагаемое тоже делиться на 9. Поэтому, согласно пунктам 1 и 2 мы доказали, что

Пример 4. Доказать, что для любого n выражение

1) При n=1

2) Пусть верно и для n=k,

3) Докажем для n=k+1

Исходя из пункта 2, следует, что, а 6 делиться на 6. Поэтому выражение  - истинно.

Пример 5. Найти сумму

Сначала найдем суммы одного, двух и трех слагаемых. Имеем:

В каждом из этих случаев получается дробь, в числителе которой стоит число слагаемых, а в знаменателе – число, на единицу большее числа слагаемых.

Это позволяет высказать предположение, что при любом натуральном  n

Для проверки этой гипотезы воспользуемся методом математической индукции.

1) При n=1 гипотеза верна, т.к.

2) Предположим, что гипотеза верна при n=k, т.е.

3) Докажем, сто тогда гипотеза должна быть верной и при n=k+1, т.е.

Действительно,

Таким образом, исходя из предположения, что гипотеза  верна при n=k, мы доказали, что она верна и для n=k+1. Поэтому формула  верна при любом натуральном n.

Пример 6. Вычислите сумму

Сначала найдем суммы одного, двух и трех слагаемых. Имеем:

В каждом из этих случаев получается дробь, в числителе которой стоит число слагаемых, а в знаменателе – число, на единицу большее числа слагаемых.

Это позволяет сделать предположение, что при любом натуральном n

Для проверки этой гипотезы воспользуемся методом математической индукции.

1) При n=1 гипотеза верна, т.к.

2) Предположим, что гипотеза верна при n=k, т.е.

3) Докажем, сто тогда гипотеза должна быть верной и при n=k+1, т.е.

Действительно,

Таким образом, исходя из предположения, что гипотеза  верна при n=k, мы доказали, что она верна и для n=k+1. Поэтому формула  верна при любом натуральном n.

Заключение

В данной работе я рассмотрела понятие индукции, ее виды. Индукция бывает полная и неполная. Метод неполной индукции состоит в переходе к универсальной формулировке после проверки частных формулировок для отдельных, но не всех значений n. Но только применение полной индукции, позволяет говорить об истинности универсальной формулировки, если она справедлива для каждого значения n. Метод математической индукции – метод доказательства, основанный на принципе математической индукции. Он позволяет в поисках общего закона испытывать гипотезы, отбрасывать ложные и утверждать истинные. Достоинством метода математической индукции является его универсальность, так как с помощью этого метода можно решить многие задачи.

В работе представлено широкое применение метода математической индукции в алгебре и арифметике, для доказательства тождеств, решения задач на делимость. Работа над углубленным изучением этого метода, я получила навыки в решении примеров, доказательстве тождеств, которые я считаю, пригодятся мне в дальнейшей учебе.

Обобщив и систематизировав знания по математической индукции, убедилась в необходимости знаний по теме «метод математической индукции». Кроме того эти знания повышают интерес к математике как к науке.

Думаю, моя работа может пригодиться не только школьникам, но и абитуриентам, поступающим в высшие учебные заведения.

Список литературы

1. Говоров В.М., Дыбов П.Т., Мирошин Н.В., Смирнова С.Ф, Сборник конкурсных задач по математике. – М.: Наука, 1983 г.

2. Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С., Чехлов В.И., Яковлева Т.Х. пособие по математике для поступающих в вузы. – М.: Наука, 1981 г.

3. Соминский И.С. О математической индукции. – П.: Наука, 1967 г.

4. Журнал «Математика», издательский дом «Первое сентября», №23, 2004 г.

5. Пособие для учителей. Пер. с англ. Тростникова В.Н., Киро С.Н., Киро Н.С. – М.: Просвещение ,1979 г.

6. Энциклопедический словарь юного математика/ Сост. Савин А.П. – М.: Педагогика, 1989 г.

7. Соминский И.С. Метод математической индукции. Популярные оекции по математике, вып. 3 – М.: Наука, 1974 г.

8. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. – М.: просвещение, 1989 г.

9. http://filisof.histiric.ru/

10. http://wikibooks.org

11. http://dic.academic.ru

Приложение 1

Приложение 2

Блез Паскаль (19.06.1623— 19.08.1662)

Счетная машина Паскаля

Паскаль родился в семье председателя налогового управления и сам неплохо разбирался в математике. В 1641 (по др. сведениям, в 1642) Паскаль сконструировал суммирующую машину. К 1654 закончил ряд работ по арифметике, теории чисел, алгебре и теории вероятностей. Круг математических интересов Паскаля был весьма разнообразен. Паскаль нашел общий алгоритм нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, сформулировал ряд основных положений элементарной теории вероятностей. В этих работах Паскаль впервые точно определил и применил для доказательства метод математической индукции. Вместе с Г. Галилеем и С. Стевином Б. Паскаль является основоположником классической гидродинамики: он

установил ее основной закон – т.н. закон Паскаля, принцип действия гидравлического пресса, указал на общность основных законов равновесия жидкостей и газов. Опыт, проведенный под руководством Паскаля (1648), подтвердил предположение Торричелли о существовании атмосферного давления. Работа Паскаля над проблематикой точных наук в основном относится к 1640-1650 годам. К тому же Паскаль сыграл огромную роль в формировании французской классической прозы.