Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Метод рационализации при решении неравенств лекция по алгебре и началам анализа для 11 класса
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Метод рационализации при решении неравенств лекция по алгебре и началам анализа для 11 класса

библиотека
материалов













Метод рационализации при решении неравенств



Содержание

1. Введение 3

2. Метод рационализации при решении неравенств,

содержащих логарифмические функции. 4

3. Метод рационализации при решении неравенств,

содержащих иррациональные выражения. 18

4. .Метод рационализации при решении неравенств,

содержащих модули. 22

5. Метод рационализации при решении неравенств,

содержащих показательные функции. 28

6. Заключение. 34

7.Список литературы. 35



Введение.

Самым легким способом решения неравенств является способ решения рациональных неравенств методом интервалов, но не все неравенства имеют структуру, которая позволяет решать их этим методом. Поэтому цель работы – предложить метод решения сложных неравенств (неравенства, содержащие логарифмические, показательные, иррациональные выражения и выражения с модулями) путем замены множителей. Идея этого метода заключается в том, что неравенства повышенной сложности сводятся к решению рациональных неравенств. Оказывается, достаточно широкий класс неравенств подобную попытку допускает. Решение неравенства – это объединение конечного числа непересекающихся промежутков. Их легко задать одним рациональным неравенством, что во многих ситуациях позволяет быстрее двигаться к ответу, а иногда получать более эффективные схемы решения типовых неравенств.























Метод рационализации при решении неравенств, содержащих логарифмические функции.

Разность логарифмов по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с произведением разности чисел этих логарифмов на отклонение от единицы. Другими словами выражение вида (logaflogag) имеет тот же знак (в области существования логарифмов) что и выражение (f-g)(α-1)

Выделим некоторые выражения и соответствующие рационализирующие выражения, позволяющие исключительно эффективно решать многие логарифмические неравенства, которые можно отнести к разряду повышенной сложности.

hello_html_m154f30d2.gif

hello_html_m265d8c5d.gif

Таблица для рационализации в логарифмических неравенствах

hello_html_5ebfcf54.jpg

hello_html_31a9fff0.jpg

Примеры решения логарифмических неравенств методом рационализации.

Пример. Решить неравенство

hello_html_33e28802.gif.

Решение. Воспользуемся теоремой 1. получим следующую систему неравенств:

hello_html_b13dcd8.gif

Решая первые четыре неравенства, практически находим ОДЗ исходного неравенства:

hello_html_78501ca5.gif

Откуда: hello_html_m12cb3db4.gif.

Решим теперь пятое неравенство системы. После элементарных преобразований получим неравенство

hello_html_m5ba6a8c6.gif.

Умножим второй сомножитель на -1 и поменяем знак неравенства:

hello_html_m2ee98c59.gif.

Нетрудно заметить, что корнями второго множителя в этом неравенстве являются числа 1 и -2. Поэтому, раскладывая второй множитель на одночлены первого порядка, получаем:

hello_html_69cf7974.gif.

Это неравенство легко решить методом интервалов: hello_html_7d7c83de.gif.

С учетом найденного ранее ОДЗ, получаем окончательный ответ.

Ответ: hello_html_302f3983.gif.



Приведем сравнение решения неравенства традиционным методом и методом рационализации:

1. Решить неравенство:

hello_html_m6f23f97a.gif

(метод рационализации)

hello_html_m6f23f97a.gif

Решение:
hello_html_m77c0fb2a.gif


hello_html_m11ecaf08.gif


hello_html_2cd71b8a.gif

hello_html_m35e65233.gif

hello_html_m539edf21.gif

hello_html_m284e1b2a.gif


hello_html_4adcd792.gif


Ответ:
hello_html_4adcd792.gif



( традиционный метод)

hello_html_m7c2c16c3.gif

Решение:

1) ОДЗ: hello_html_m13a2457.gif


hello_html_56fee183.gif

hello_html_d296e21.gif

hello_html_m45768816.gifилиhello_html_41e4f05a.gif


hello_html_m298bd277.gif; hello_html_m7d74eba.gif




hello_html_4139b1ac.gif



  1. hello_html_m13de18cd.gif


hello_html_cc7e35a.gif


hello_html_m6345228b.gif


hello_html_m298bd277.gif


б)hello_html_41798646.gif


hello_html_288df3a.gifhello_html_m57599940.gif


hello_html_77a31420.gif

Ответ:hello_html_21702887.gif



2. Решить неравенство:hello_html_md592b5a.gif

Решение: hello_html_md592b5a.gif

hello_html_61bd79c2.gif

hello_html_b900930.gif

2hello_html_m2b254a80.gif

hello_html_1ed36442.gif2hello_html_m2b254a80.gif

3.Решить неравенство:hello_html_m31769b8.gif

Решение: hello_html_m11607bdc.gif, hello_html_5802809b.gif

hello_html_m421735e4.gifhello_html_cf1fc35.gif



hello_html_m613235d7.gifhello_html_32e942b7.gif

Ответ: (hello_html_2848be69.gif

4. Решить неравенство hello_html_m4d4e1dc5.gif

Решение:

hello_html_m4d4e1dc5.gif,hello_html_3aa4ac1a.gif,

hello_html_m151f6a52.gifhello_html_167ed71e.gif



hello_html_1b31919d.gifhello_html_m45cc1aa5.gif



Ответ: (-1,5;-1)hello_html_2936856f.gif(-1;0)hello_html_2936856f.gif(0;3)

5. Решить неравенство hello_html_m375c98fa.gif

Решение:hello_html_m2e28a540.gif

hello_html_m2ab912d3.gif,

hello_html_m748acee8.gif,

hello_html_m566e4027.gif



hello_html_m630b07e1.gifhello_html_m1188a63a.gif

Ответ: (-0,5;hello_html_m1dab8af5.gif

6. Решить неравенство
hello_html_me921c9b.gif
Решение:

hello_html_me921c9b.gif
hello_html_7ef3f2f4.gif hello_html_m3fb3f633.gif

hello_html_42d521ee.gifhello_html_m5fae3aaa.gif

Ответ: (-1;0)hello_html_m4e7606f2.gif

7. Решить неравенство :hello_html_m566c1ba0.gif.

Решение: hello_html_m48169cfe.gif,hello_html_50560145.gif,

hello_html_m6a5818bb.gifhello_html_m2affb9b6.gifhello_html_m18893870.gif

hello_html_738386a1.gifhello_html_67725c8a.gif



hello_html_m7cb5bdc4.gif



hello_html_m542b9ad2.gif

hello_html_509b82ec.gifhello_html_m134c0f58.gif

hello_html_5df92284.gif

Ответ: hello_html_m70c42660.gif

8. Решить неравенство hello_html_m2d151c70.gif

Решение:

hello_html_m2d151c70.gif,

hello_html_m6011e4c8.gif

hello_html_m33141972.gifhello_html_11f4be5f.gif

hello_html_m7cf5a1f7.gifhello_html_14fe8da3.gifhello_html_5b97b8c8.gif

Ответ: hello_html_5b97b8c8.gif



9. Решить неравенство hello_html_76ed54cb.gif

Решение:
hello_html_m19731fed.gif

а)

hello_html_59b6b8a7.gif

hello_html_5bcb5ee2.gif

hello_html_m4f71ef9b.gif

hello_html_m6276dba1.gif



hello_html_m49e7fddc.gif



hello_html_1e58aa56.gif



hello_html_mbcaae2a.gif

hello_html_m56d0c289.png

0,5hello_html_2e47c64d.gif, 1,6hello_html_46daf48e.gif

Имеемhello_html_5d7ddf10.gif

следовательно hello_html_m688d81fb.gif;hello_html_5abd6106.gif;hello_html_1e1a4ed3.gif

б) если x-3=1, x=2- не является решением (при x=2 hello_html_58582b6e.gif) .

Ответ:hello_html_m5f5fc8fd.gif;hello_html_5abd6106.gif;hello_html_1e1a4ed3.gif

10. Решить неравенствоhello_html_7eeb974c.gif

Решение:

hello_html_m7a2a410.gif

hello_html_m7f9b0830.gif,

hello_html_m133a06b3.gif

hello_html_m78d13640.gif

hello_html_m50a9037d.gif



hello_html_m62bc96f3.gifhello_html_7dd018ee.gif

hello_html_5e1a5f10.gifhello_html_328b69ed.gifhello_html_m272ff3a6.gifhello_html_m716b948f.gifhello_html_mb6a445e.gif

Ответ: hello_html_mb6a445e.gif

11. Решить неравенство hello_html_m30043096.gif

Решение:

hello_html_6086c36b.gif
hello_html_28dd96d.gif hello_html_m5a1fef16.gif hello_html_9cdfe50.gif

hello_html_m52c0149d.gifhello_html_m15533d82.gif

hello_html_m341a1d27.gif1hello_html_3bbbceeb.gif

hello_html_45b10ad6.gif





Ответ: 1hello_html_3bbbceeb.gif

12. Решить неравенство hello_html_mf3ea8e6.gif

Решение:

hello_html_m209f2499.gifhello_html_41ba859a.gif

hello_html_4ea78362.gif)hello_html_7f48aa2f.gif hello_html_m2774169a.gif



hello_html_20e39b2e.gifhello_html_m48fd5202.gif

hello_html_5dabde59.gifhello_html_1d980228.gif

hello_html_70446b39.gif





hello_html_m23c05652.gif; 0hello_html_174d9bc8.gif

Ответ:hello_html_m23c05652.gif ; 0hello_html_174d9bc8.gif

13. (Применение метода рационализации при решении неравенств с параметрами)

Решить неравенство.

hello_html_m6a0f430c.gif

hello_html_m940b80d.gif

hello_html_590045e4.gif

Рассмотрим два случая.

1)Пусть hello_html_81367a8.gif. Тогда получим, что hello_html_m61822e05.gif и hello_html_m5a3c792b.gif следовательно,

hello_html_37981dbf.gif
для любых
x, что не удовлетворяет условию задачи.

2) Пусть теперь hello_html_7c2a36a3.gif . В этом случае hello_html_447e674c.gif и, для того чтобы неравенство hello_html_m47eb8b35.gif было верно для любых x , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие hello_html_m6ca2c75d.gif.

Получим систему:
hello_html_2389eb33.gif

Ответ: (hello_html_156e3cae.gif)







Метод рационализации при решении неравенств, содержащих иррациональные выражения.

При решении неравенств, содержащих иррациональные выражения, используем следующее правило hello_html_22bf9b9c.gif-hello_html_m65cd3b8c.gif(на области определения)

1.Решите неравенство:
hello_html_46903d64.gif

Решение.
hello_html_46903d64.gif

hello_html_323c5c1e.gif

hello_html_m3f6b969d.gif


hello_html_7ccc559b.gif


-7hello_html_7bdf5028.gif



Ответ: -7hello_html_m2c9c48f5.gif1


2.Решите неравенство

hello_html_m1c6af149.gif


Решение:
hello_html_m1c6af149.gif

hello_html_m675f7d8a.gif

hello_html_m5383dcc0.gif

hello_html_2fb2b45a.gif

Ответ:

hello_html_2fb2b45a.gif


№3Решите неравенство
hello_html_7169a1b0.gif


Решение:

hello_html_m4921fd60.gif


hello_html_m1cb385c1.gif

Ответ: 0hello_html_51fb389f.gif


4Решить неравенство:

hello_html_1cdfe07d.gif

Решение:

hello_html_1cdfe07d.gif



hello_html_1a1a501b.gif


hello_html_m3f7eb8c7.gif


hello_html_2dfb80b7.gif


hello_html_m597eccc9.gif

Ответ:
hello_html_m597eccc9.gif


5 Решить неравенство:


hello_html_m65a30391.gif

Решение:
hello_html_m5dd7fac2.gif


hello_html_c879d03.gif


hello_html_8c81651.gif

hello_html_a936947.gif

hello_html_4968e325.gif


Ответ:
hello_html_4968e325.gif


№6.Решить неравенство:


hello_html_6ead6022.gif


Решение:


hello_html_6ead6022.gif


hello_html_34c0538d.gif


hello_html_m206f82a6.gif


hello_html_m6c29c858.gif


hello_html_m1166b19c.gif



hello_html_3f66061c.gif



hello_html_m74e38df9.gif



Ответ:
hello_html_3d82ef01.gif







hello_html_41e61aa8.gif

hello_html_41e61aa8.gif

hello_html_m5e92846b.gif









Метод рационализации при решении неравенств, содержащих модули.

Опорная информация, позволяющая указать удобные замены, заключается в двух основных свойствах модуля:

m2 = m2 и │m│≥0 для всех m,

а также в монотонном возрастании на множестве неотрицательных чисел функции y=t2.

Приведем типы замен:

hello_html_5683056e.gif,

hello_html_m1a1a7e7d.gif,

hello_html_41f1c8e1.gif

hello_html_753a26ba.gif

hello_html_m18ead45d.gif

hello_html_2224d1d.gif

1.hello_html_349dc63c.gif

hello_html_m358c432a.gif: hello_html_32e38ece.gif

hello_html_f1c2048.gif


(
hello_html_2d0f8321.gif,

(10x+32)(2hello_html_m3bbcf14e.gif(10x+32)2x(x+5)hello_html_3cc700a5.gif ,

-5hello_html_m327c3c28.gif hello_html_m3accc4b6.gif

Ответ: -5hello_html_4f01020c.gif

Для решения дробных неравенств, содержащих модули удобно использовать следующее правило:
hello_html_75eff8db.gif

hello_html_5cebd58a.gif


hello_html_b91044f.gif

Решение:

hello_html_20909add.gif

hello_html_m2ca81453.gif

-6hello_html_m74f431b4.gif

Ответ: -6hello_html_m74f431b4.gif

3.Решить неравенство:
hello_html_1768b216.gif

Решение:
hello_html_1768b216.gif


hello_html_m7bb25b7d.gif


hello_html_m58c5297d.gif

hello_html_m142c8a19.gif

-9hello_html_m2e562002.gif

Ответ: -9hello_html_m2e562002.gif



4.Решить неравенство:
hello_html_m4031e645.gif



Решение:

hello_html_m4031e645.gif


hello_html_m420335c9.gif


hello_html_4a88d5f1.gif

hello_html_52334729.gif

xhello_html_m7c1444b1.gif , 2hello_html_284e3f8.gif 4hello_html_35f7624e.gif

Ответ: xhello_html_m7c1444b1.gif , 2hello_html_284e3f8.gif 4hello_html_35f7624e.gif

5.Решить неравенство:
hello_html_13ded101.gif

Решение:
hello_html_3aebdcf7.gif

hello_html_154f605a.gif

hello_html_5659f6f3.gif


hello_html_5a81c793.gif


hello_html_m62b175a.gif
hello_html_11ed5ebb.gif

Ответ: xhello_html_m2a3456ee.gif

6. Решить неравенство:

Решение:
hello_html_m6cc1107a.gif

hello_html_795c15ca.gif

hello_html_6b4b5517.gif


hello_html_55852c56.gif


hello_html_m1248a6c5.gif
xhello_html_4c3abb28.gif, 3hello_html_5b6465c1.gif

Ответ: xhello_html_4c3abb28.gif, 3hello_html_5b6465c1.gif

7. Решить неравенство:



hello_html_m3e1fe9c4.gif



hello_html_7ad23a6c.gif



hello_html_4459a486.gif



hello_html_37381263.gif



hello_html_7f18af12.gifhello_html_m37a7d2ff.gif

-13hello_html_77cc607d.gif

Ответ: -13hello_html_77cc607d.gif


hello_html_7f31403b.gifРешить неравенство:
hello_html_m2fdfc255.gif



hello_html_1f6b8a5.gif



hello_html_14f891d5.gif



hello_html_64aa5ead.gif



hello_html_72b331c6.gif



Ответ:
hello_html_72b331c6.gif































Метод рационализации при решении неравенств, содержащих показательные функции



Можно установить, что разность степеней по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с произведением разности показателей этих степеней на отклонение основания степени от единицы. Другими словами, выражение вида hello_html_m67a98e26.gif имеет тот же знак, что и выражение

(fg)(а – 1) при а> 0 (если а=1, то выражения равны нулю)hello_html_3f0c73a4.gif

hello_html_m64957edb.gif

Метод рационализации в показательных неравенствах

hello_html_m4e7517d6.jpg


1.Решить неравенство:



hello_html_a28ecfb.gif

Решение:

hello_html_6c96c0fe.gif;

hello_html_m56625a48.gif

Ответ: hello_html_m180f4743.gif



2.Решить неравенство:



hello_html_7179b870.gif

Решение:

hello_html_m490b55da.gif

hello_html_27f04045.gif

Ответ: hello_html_3ecda9e0.gif

Пример. Решить неравенство

hello_html_m563926ac.gif.

Решение. Составим систему неравенств, аналогичную системе (4) из теоремы 2:

hello_html_m3e6bd476.gif

Решив два первых неравенства, найдем ОДЗ исходного показательного неравенства:

hello_html_252bdf0a.gif

Откуда ОДЗ: hello_html_m79029ed6.gif.

Далее рассмотрим основное неравенство hello_html_m762b32bc.gif, которое упрощается к виду: hello_html_m120c494a.gif.

Корни первого множителя этого неравенства мы нашли ранее: hello_html_4b856175.gif. Корни второго множителя равны: hello_html_5d84f4ff.gif, hello_html_m19f27171.gif, hello_html_691f06b4.gif.

Теперь перед нами встала нетривиальная задача упорядочения корней. Так как hello_html_5628db56.gif, то hello_html_m71b6b6e1.gif. Применив метод интервалов, получим следующее решение основного неравенства: hello_html_19a7f423.gif.

Учитывая найденную ранее ОДЗ, получаем окончательный ответ:

hello_html_m27aeb418.gif.

3.Решить неравенство:

hello_html_37c565cf.gif

Решение:

hello_html_51152e18.gif

hello_html_55a538c2.gif

hello_html_m2e14dd99.gif

Ответ: hello_html_m2de6e7a8.gif

4.Решить неравенство:


hello_html_8360e2e.gif

Решение:

hello_html_8360e2e.gif;

hello_html_m7bbeb590.gif

hello_html_m245a545c.gif

hello_html_m1a0ed103.gif

Ответ: hello_html_55a71066.gif

5.Решить неравенство:hello_html_m5b92d478.gif


Решение:hello_html_m4ad070e2.gif. На множестве hello_html_m710b4d44.gif

исходное неравенство равносильно hello_html_m453197ea.gif

x(2x+1)(3x-7)hello_html_3cc700a5.gif

Получим hello_html_42912b23.gif

Ответ: hello_html_2ff6470e.gif


6.Решить неравенство hello_html_4e3eb7c6.gif


Решение: Область определения неравенства: hello_html_17d76bd6.gif

hello_html_m4536b756.gif

Применим метод рационализации неравенства:

hello_html_m6453cde3.gif


hello_html_m1032cab1.gif

(x+1)x(x-1)hello_html_3cc700a5.gif


hello_html_m6d4505e2.gif


Ответ:
hello_html_m6d4505e2.gif


7.Решить неравенство

hello_html_7bbf6d9b.gif

Решение:

Первый множитель в числителе заменяем на hello_html_63b56f18.gif, второй на hello_html_401c866c.gif , третий наhello_html_m1d713075.gif, четвертый на

hello_html_f4be784.gif, пятый на hello_html_515ca413.gif.

Первый множитель в знаменателе заменяем наhello_html_17d5be47.gif, а второй на hello_html_98860b0.gif.

Получаем в области допустимых значений рациональное неравенство, равносильное исходному:

hello_html_46ca1ae.gif

Область существования всех множителей в исходном неравенстве представляет собой два промежутка: hello_html_3e89e9ee.gif. В этой области множители hello_html_7c9362db.gif знакопостоянны, и поэтому их знаменяем соотвестственно на (-1) и 1.

Знакопостоянны и трехчлены hello_html_m4bd85b32.gif, поэтому их заменяем также, соответственно на (-1) и 1.

hello_html_159e6eee.gif

Решая последнее стандартное рациональное неравенство в указанной области существования всех множителей исходного неравенства, получаем ответ:

hello_html_m4c1cd3a8.gif.

Здесь я привожу лишь таблицу с  приемами  рационализации, облегчающими работу со сложными неравенствами.

hello_html_m5b91a2b8.jpg













Заключение.

При написании работы были проанализированы сборники по подготовке к ЕГЭ по математике. Многие задания части hello_html_68fb719a.gif содержат неравенства, содержащие неизвестное в основании логарифма, решение которых требует громоздких выкладок и больших затрат времени. Метод рационализации. позволяет сократить время при решении такого типа неравенств. Этот способ распространяется и на решение других неравенств ( показательных, иррациональных и неравенств, содержащих модули). Были сделаны следующие выводы:

1) Основная идея метода рационализации состоит в замене любого множителя А на знакосовпадающий с ним и имеющий одни и те же корни (в области определения) множитель B.

2) Преобразованные таким образом неравенства всегда равносильно исходному в области определения последнего.

3) Указанная замена возможна только тогда, когда заменяемый множитель находится в числители или знаменателе дроби, которая сравнивается с нулем.

4) По внешнему виду неравенства легко определяется возможность применения метода рационализации.

Эта работа может быть использована при подготовке к ЕГЭ. Здесь собрано достаточное количество формул и решенных неравенств, которые помогут любому выпускнику изучить этот метод.











Список литературы.

1) В помощь абитуриентам/Составители В. И. Голубев, А. А. Егоров, В. А. Тихомирова.- М.: Бюро Квантум,2009( приложение к журналу КВАНТ)

2)Егэ-2013. Математика: типовые экзаменационные варианты:30 вариантов / под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко. –М.: Издательство «Национальное образование»,2012.-192с.-(ЕГЭ-2013. ФИПИ – школе.)

3) Задачи вступительных экзаменов/ Составители А. А. Егоров, В. А. Тихомирова.- М.: Бюро Квантум,2008(приложение к журналу КВАНТ)

4) «Квант» 2006/№4, В.Голубев, «Метод замены множителей»

5)Математика. ЕГЭ: сборник заданий: методическое пособие для подготовки к экзамену / Ю. А. Глазков, Т. А. Корешкова, В. В. Мирошин, Н. В. Шевелева. – 3-е изд., испр.- М.: Издательство «Экзамен»,2010.-287с. ( Серия « ЕГЭ. Сборник заданий. »

6) Подготовка к ЕГЭ по математике в 2012 году. Методические указания/Ященко И. В., Шестаков. С. А., Трепалин А. Сю, Захаров П.И.-М.: МЦНМО,2012.

7)Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ:2010: Математика/ авт.-сост. И. Р. Высоцкий, Д. Д. Гущин, П. И. Захаров и др.; под ред. А. Л. Семенова, И.В. Ященко. – М,:АСТ: Астрель,2010.- 93с.-( Федеральный институт педагогических измерений.)

8)«Сборник задач по математике для поступающих в Вузы». Уч. Пособие / под ред. М. И. Сканави.- М.: Высшая шк.,1988.

9)«Эффективные пути Решения неравенств». Уч. Пособие / под ред. В. И. Голубева , В. А. Тарасова.1992.

10) www.alexlarin.narod.ru – Корянов А. Г., Прокофьев А. П. Метод решения неравенств с одной переменной.








35



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 09.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров316
Номер материала ДБ-336442
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх