Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методы решения тригонометрических уравнений

Методы решения тригонометрических уравнений

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


Областное государственное автономное образовательное учреждение

дополнительного профессионального образования

«Белгородский институт развития образования»





Методы решения

тригонометрических уравнений.

Проектная работа



Выполнил:

Простит Алексей Владимирович,

учитель математики и информатики

МОУ «Ближнеигуменская СОШ»

Белгородского района

Белгородской области

Руководитель:

Вертелецкая О.В.,

старший преподаватель

кафедры естественно-

математического образования

и информационных технологий




Белгород, 2016


СОДЕРЖАНИЕ

стр.

Введение…………………………………………………………………….3

Теоретическая часть……………………………………………………... 4-6

Практическая часть……………………………………………………… 5-12

Заключение……………………………………………………………… 12-13

Библиография…………………………………………………………… 13























Введение

Тригонометрические уравнения возникают при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях. Зачатки тригонометрии можно найти в математических рукописях древнего Египта, Вавилона и древнего Китая. 56-я задача из папируса Ринда (II тысячелетие до н. э.) предлагает найти наклон пирамиды, высота которой равна 250 локтей, а длина стороны основания — 360 локтей.

Оhello_html_844411f.jpgт вавилонской математики ведёт начало привычное нам измерение углов градусами, минутами и секундами (введение этих единиц в древнегреческую математику обычно приписывают Гипсиклу, II век до н. э.). Среди известных вавилонянам теорем была, например, такая: вписанный угол, опирающийся на диаметр круга — прямой. Главным достижением этого периода стало соотношение, позже получившее имя теоремы Пифагора; Ван дер Варден считает, что вавилоняне открыли его между 2000 и 1786 годами до н. э. Вполне возможно, что китайцы открыли его независимо (см. «Математика в девяти книгах»); неясно, знали ли общую формулировку теоремы древние египтяне, но прямоугольный «египетский треугольник» со сторонами 3, 4 и 5 был там хорошо известен и широко использовался.

В России первые сведения о тригонометрии были опубликованы в сборнике «Таблицы логарифмов, синусов и тангенсов к изучению мудролюбивых тщателей», опубликованном при участии Л.Ф. Магницкого в 1703 году. В 1714 году появилось содержательное руководство «Геометрия практика», первый русский учебник по тригонометрии, ориентированный на прикладные задачи артиллерии, навигации и геодезии. Завершением периода освоения тригонометрических знаний в России можно считать фундаментальный учебник академика М.Е. Головина (ученика Эйлера) «Плоская и сферическая тригонометрия с алгебраическими доказательствами» (1789).

В конце XVIII века в Петербурге возникла авторитетная тригонометрическая школа (А. И. Лексель, Н. И. Фусс, Ф. И. Шуберт), которая внесла большой вклад в плоскую и сферическую тригонометрию.


Цель работы: изучить методы решения тригонометрических уравнений, исследовать их применение при решении задач различного содержания.


Теоретическая часть

Тригонометрическое уравнение – это уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком триго­нометрической функции.

Простейшие тригонометрические уравнения - это уравнения вида

sin x = a, cos x= a, tq x = a, ctq x = a


Практическая часть

При решении тригонометрических уравнений необходимо привести уравнение к такому виду, чтобы слева стояла тригонометрическая функция, а справа число. После такого преобразования, надо найти значение аргумента функции.

Решение

Уравнение

Решение

hello_html_6b27e396.png

hello_html_2b64f05d.png

hello_html_3fd8d87f.png

hello_html_3d214e1c.png

hello_html_5486363a.png

hello_html_74bbb2e7.png

hello_html_35fc0075.png

hello_html_2139c0fb.png

hello_html_mb319fd3.png

hello_html_me6b0e3e.png

hello_html_m374c5102.png

hello_html_m105a32c0.png

hello_html_700ead78.png

hello_html_ma07ae7d.png

hello_html_35e29e85.png

hello_html_m6eb2c3d5.png

hello_html_30e198f7.png

hello_html_m62be8b9c.png

hello_html_e45413d.png

hello_html_m42c1fe39.png

hello_html_m4ddcd7b7.png

hello_html_27e74b5c.png

hello_html_7a115056.png

hello_html_52990ef6.png


Решение

Уравнение

Решение

hello_html_m63aae45a.png

hello_html_7086fc3f.png

hello_html_m5d432a39.png

hello_html_7555d44f.png

tg x = – 1

hello_html_m22fd7156.png

ctg x = – 1

hello_html_m22fd7156.png

hello_html_19e6d7b2.png

hello_html_7555d44f.png

hello_html_m44eac453.png

hello_html_7086fc3f.png

tg x = 0

hello_html_1b626dea.png

ctg x = 0

hello_html_1aaf9adf.png

hello_html_3273316.png

hello_html_1ead119b.png

hello_html_443d7f80.png

hello_html_60e8fb10.png

tg x = 1

hello_html_705ac0b0.png

ctg x = 1

hello_html_705ac0b0.png

hello_html_7e0aa335.png

hello_html_60e8fb10.png

hello_html_7fe78b5a.png

hello_html_1ead119b.png


Применение «понижения порядка уравнения»

Пример 1

hello_html_m3af62bff.png

hello_html_75ee3a18.png


Пример 2

hello_html_m6b5afdf5.png

hello_html_m2862ac3c.png

hello_html_4cce2b21.png

hello_html_m160cdad4.png

hello_html_m404c399.png

Уравнения, сводящиеся к квадратным.

Отличительные признаки уравнений, сводящихся к квадратным:

1. В уравнении присутствуют тригонометрические функции от одного аргумента  или они легко сводятся к одному аргументу.
2. В уравнении присутствует только одна тригонометрическая функция или все функции можно свести к одной.

Алгоритм решения:

Используются ниже приведённые тождества; с их помощью необходимо выразить одну тригонометрическую функцию через другую:

hello_html_m10dbece9.jpg

Выполняется подстановка.
– Выполняется преобразование выражения.
– Вводится обозначение (например, sin
x = y).
– Решается квадратное уравнение.
– Подставляется значение обозначенной величины, и решается тригонометрическое уравнение.

Примеры:

hello_html_m52cfbefc.png1. 6cos2 x + 5 sin x – 7 = 0. Решение:

hello_html_m708e4ea4.png2













hello_html_3d3402c2.png3
















Однородные уравнения

Уравнение вида a sinx + b cosx =0, где a ≠ 0, b ≠ 0  называется однородным тригонометрическим уравнением первой степени.

Однородные тригонометрические уравнения первой степени решаются делением обеих частей уравнения на cosx (sinx).

Например: 2 sinx – 3 cosx = 0,

Т.к. cosx ≠ 0, то

hello_html_m283e61c9.jpg

2tgx – 3 = 0;

tgx = 3/2;

х = arctg (3/2) +πn, n Z.   

Уравнение вида a sin2x + b sinx cosx + c cos2x = 0 , где a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 называется тригонометрическим уравнением второй степени.

Однородные тригонометрические уравнения второй степени решаются делением обеих частей уравнения на cos2x (sin2x).

Например: 3 sin2x – 4 sinx*cosx + cos2x = 0.

Т.к. cos2x ≠ 0, то

hello_html_m3943a022.jpg

3tg2x – 4 tgx + 1 = 0

Замена:  tgx = у.   3у2– 4 у + 1 = 0

D = 16 – 12 = 4

y1 = 1 или y2 = 1/3

tgx = 1 или   tgx = 1/3

х = arctg1 + πn, n Z. x = arctg (1/3) + πn, n Z.

x = π/4 + πn, n Z.


Примеры:

1

hello_html_2d077f92.gifsinx + cosx = 0,

Т.к.  cosx ≠ 0, то

hello_html_2d077f92.giftgx + 1 = 0;

tgx = hello_html_m6c9ad786.gif;

х = arctg (hello_html_m6c9ad786.gif) + πn, n Z.

х = hello_html_18a95a5a.gif+ πn, n Z.


2

sin2x – 10 sinx cosx + 21cos2x = 0.

Т.к. cos2x ≠ 0, то tg2x – 10 tgx + 21 = 0

Замена: tgx = у. 

у2 – 10у + 21 = 0

у1 = 7 или у2 = 3

tgx = 7 или tgx = 3

х = arctg7 + πn, n Z х = arctg3 + πn, n Z  



3

sin22x – 6 sin2x cos2x + 5cos22x = 0.

Т.к. cos22x ≠ 0, то 3tg22x – 6tg2x +5 = 0

Замена: tg2x = у.

2 – 6у + 5 = 0

D = 36 – 20 = 16

у1= 5 или у2 = 1

tg2x = 5  или   tg2x = 1

2х = arctg5 + πn, n 2х = arctg1 + πn, n Z

х = hello_html_2b2ed72.gifarctg5 + hello_html_3f0dc136.gifn, n    х = hello_html_52ebb0df.gifn, n Z


4

6sin2x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1.

6sin2x + 4 sinx cosx = 1.

6sin2x + 4 sinx cosx – sin2x – cos2x = 0.

5sin2x + 4 sinx cosx – cos2x = 0.

т.к. cos2x ≠0, то 5tg2x + 4 tgx –1 = 0

Замена: tg x = у. 

2 + 4у – 1 = 0

D = 16 + 20 = 36

у1 = hello_html_57bf6a8.gif или у2 = –1

tg x = hello_html_57bf6a8.gif или tg x = –1

х = arctghello_html_57bf6a8.gif+ πn, n Z          х = arctg(–1) + πn, n

х = –hello_html_5a1dc688.gif+ πn, n Z



Заключение.

Использование методов решения тригонометрических уравнений позволяет применять математические знания в практической деятельности, развивать умственные способности, выполнять различные самостоятельные работы.

Надо помнить, что для успешного решения тригонометрических уравнений необходимо знать формулы корней простейших тригонометрических уравнений, значения тригонометрических функций для основных углов и значения обратных тригонометрических функций, универсальные правила решения уравнений.

В данном проекте рассмотрены решения элементарных тригонометрических уравнений, которые наиболее часто встречаются в практике. Приведенные примеры не исчерпывают все способы решений тригонометрических уравнений.

Данный проект имеет практическую значимость, его материалы могут быть использованы в качестве учебного материала, при подготовке творческих работ и т.д.


Библиография

1. Евдокимова Н.Н. Тригонометрия: Теория и примеры. - СПб: Издательский Дом "Литера", 2005. - 64с.

2. Азаров А.И. и др. Тригонометрические уравнения: Учеб. пособие – ООО "Тривиум", 2004. - 160с.

3. Потапов М.К. Алгебра и начала анализа: дидактические материалы для 10 кл., 2-е изд. - М.: Просвещение, 2007. - 159с

4. Ивлев Б.М. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса, 8-е изд. - М.: Просвещение, 2004. - 176с.

4. Коноплева О.А. Математика в таблицах: 7-11 классы. - СПб.: "Тригон", 2005. - 104с.

5. Математика. Сборник тестов ЕГЭ 2001 - 2008. Под редакцией Ф.Ф. Лысенко. - Ростов-на-Дону: Легион, 2008. - 192с.

6. Математика. Способы решения экзаменационных задач - 2006. Под редакцией З.С. Стромова. - Волгоград: Братья Гринины, 2006. - 64с.




Автор
Дата добавления 26.06.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров75
Номер материала ДБ-132528
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх