Методы решения тригонометрических уравнений

Областное государственное автономное образовательное учреждение

дополнительного профессионального образования

«Белгородский институт развития образования»

Методы решения

тригонометрических уравнений.

Проектная работа

Выполнил:

Простит Алексей Владимирович,

учитель математики и информатики

МОУ «Ближнеигуменская СОШ»

Белгородского района

Белгородской области

Руководитель:

Вертелецкая О.В.,

старший преподаватель

кафедры естественно-

математического образования

и информационных технологий

Белгород, 2016

СОДЕРЖАНИЕ

                                                                                                                      стр.

Введение…………………………………………………………………….3

Теоретическая часть……………………………………………………... 4-6

Практическая часть……………………………………………………… 5-12

Заключение……………………………………………………………… 12-13

Библиография…………………………………………………………… 13

Введение

Тригонометрические уравнения возникают при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях. Зачатки тригонометрии можно найти в математических рукописях древнего Египта, Вавилона и древнего Китая. 56-я задача из папируса Ринда (II тысячелетие до н. э.) предлагает найти наклон пирамиды, высота которой равна 250 локтей, а длина стороны основания — 360 локтей.

От вавилонской математики ведёт начало привычное нам измерение углов градусами, минутами и секундами (введение этих единиц в древнегреческую математику обычно приписывают Гипсиклу, II век до н. э.). Среди известных вавилонянам теорем была, например, такая: вписанный угол, опирающийся на диаметр круга — прямой. Главным достижением этого периода стало соотношение, позже получившее имя теоремы Пифагора; Ван дер Варден считает, что вавилоняне открыли его между 2000 и 1786 годами до н. э. Вполне возможно, что китайцы открыли его независимо (см. «Математика в девяти книгах»); неясно, знали ли общую формулировку теоремы древние египтяне, но прямоугольный «египетский треугольник» со сторонами 3, 4 и 5 был там хорошо известен и широко использовался.

В России первые сведения о тригонометрии были опубликованы в сборнике «Таблицы логарифмов, синусов и тангенсов к изучению мудролюбивых тщателей», опубликованном при участии Л.Ф. Магницкого в 1703 году. В 1714 году появилось содержательное руководство «Геометрия практика», первый русский учебник по тригонометрии, ориентированный на прикладные задачи артиллерии, навигации и геодезии. Завершением периода освоения тригонометрических знаний в России можно считать фундаментальный учебник академика М.Е. Головина (ученика Эйлера) «Плоская и сферическая тригонометрия с алгебраическими доказательствами» (1789).

В конце XVIII века в Петербурге возникла авторитетная тригонометрическая школа (А. И. Лексель, Н. И. Фусс, Ф. И. Шуберт), которая внесла большой вклад в плоскую и сферическую тригонометрию.

Цель работы: изучить методы решения тригонометрических уравнений, исследовать их применение при решении задач различного содержания.

Теоретическая часть

Тригонометрическое уравнение – это уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком триго­нометрической функции.

Простейшие тригонометрические уравнения - это уравнения вида

sin x = a,       cos x= a,        tq x = a,        ctq x = a

sin x= a, или	cos x= a, или
tg x= a

Частные случаи:    

sin x = 0 ,  n-целое	cos x = 0 ,  n-целое
sin x = 1 , n-целое	cos x = 1 , n-целое
sin x = -1 , n-целое	cos x = -1 , n-целое
tg x = 0  nÎZ	Ctg x = 0 x = , nÎZ
tg x = 1 x =  , nÎZ	ctg x = 1 x =  , nÎZ
tg x = -1 x =  , nÎZ	ctg x = -1 x =  , nÎZ

Практическая часть

При решении тригонометрических уравнений необходимо привести уравнение к такому виду, чтобы слева стояла тригонометрическая функция, а справа число. После такого преобразования, надо найти значение аргумента функции.

Уравнение	Решение	Уравнение	Решение

Уравнение	Решение	Уравнение	Решение
tg x = – 1		ctg x = – 1
tg x = 0		ctg x = 0
tg x = 1		ctg x = 1

Применение «понижения порядка уравнения»

Пример 1

Пример 2

 

Уравнения, сводящиеся к квадратным.

Отличительные признаки уравнений,  сводящихся к квадратным:

1. В уравнении присутствуют тригонометрические функции от одного аргумента  или они легко сводятся к одному аргументу.
2. В уравнении присутствует только одна тригонометрическая функция или все функции можно свести к одной.

Алгоритм решения:

– Используются ниже приведённые тождества; с их помощью необходимо выразить одну тригонометрическую функцию через другую:

– Выполняется подстановка.
– Выполняется преобразование выражения.
– Вводится обозначение (например, sinx = y).
– Решается квадратное уравнение.
– Подставляется значение обозначенной величины, и решается тригонометрическое уравнение.

Примеры:

№1.   6cos² x + 5 sin x – 7 = 0. Решение:

№2

№3

Однородные уравнения

Уравнение вида a sinx + b cosx =0, где a ≠ 0, b ≠ 0  называется однородным тригонометрическим уравнением первой степени.

Однородные тригонометрические уравнения первой степени решаются делением обеих частей уравнения на cosx (sinx).

Например: 2 sinx – 3 cosx = 0,

Т.к. cosx ≠ 0, то

2tgx – 3 = 0;

tgx = 3/2;

х = arctg (3/2) +πn, n ∈Z.   

Уравнение вида a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0 , где a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 называется тригонометрическим уравнением второй степени.

Однородные тригонометрические уравнения второй степени решаются делением обеих частей уравнения на cos²x (sin²x).

Например: 3 sin²x – 4 sinx*cosx + cos²x = 0.

Т.к. cos²x ≠ 0, то

3tg²x – 4 tgx + 1 = 0

Замена:  tgx = у.   3у²– 4 у + 1 = 0

D = 16 – 12 = 4

y₁ = 1 или y₂ = 1/3

tgx = 1 или                                       tgx = 1/3

х = arctg1 + πn, n ∈Z.                      x = arctg (1/3) + πn, n ∈Z.

x = π/4 + πn, n ∈Z.

Примеры:

№1

 sinx + cosx = 0,

Т.к.  cosx ≠ 0, то

tgx + 1 = 0;

tgx = ;

х = arctg () + πn, n ∈Z.

х = + πn, n ∈Z.

№2

sin2x – 10 sinx cosx + 21cos2x = 0.

Т.к. cos2x ≠ 0, то tg2x – 10 tgx + 21 = 0

Замена: tgx = у. 

у² – 10у + 21 = 0

у₁ = 7     или                       у₂ = 3

tgx = 7   или                     tgx = 3

х = arctg7 + πn, n ∈Z                  х = arctg3 + πn, n ∈Z  

№3

 sin22x – 6 sin2x cos2x + 5cos22x = 0.

Т.к. cos22x ≠ 0, то 3tg22x – 6tg2x +5 = 0

Замена: tg2x = у.

3у² – 6у + 5 = 0

D = 36 – 20 = 16

у₁= 5                или                      у₂ = 1

tg2x = 5  или                       tg2x = 1

2х = arctg5 + πn, n ∈Z                2х = arctg1 + πn, n ∈Z

х = arctg5 + n, n ∈Z     х = n, n ∈Z

№4

6sin2x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1.

6sin2x + 4 sinx cosx = 1.

6sin2x + 4 sinx cosx – sin2x – cos2x = 0.

5sin2x + 4 sinx cosx – cos2x = 0.

т.к. cos2x ≠0, то 5tg2x + 4 tgx –1 = 0

Замена:  tg x = у. 

5у² + 4у – 1 = 0

D = 16 + 20 = 36

у₁ =               или                      у₂ = –1

tg x =            или                      tg x = –1

х = arctg+ πn, n ∈Z                   х = arctg(–1) + πn, n ∈Z 

х = –+ πn, n ∈Z

Заключение.

Использование методов решения тригонометрических уравнений позволяет применять математические знания в практической деятельности, развивать умственные способности, выполнять различные самостоятельные работы.

Надо помнить, что для успешного решения тригонометрических уравнений необходимо знать формулы корней простейших тригонометрических уравнений, значения тригонометрических функций для основных углов и значения обратных тригонометрических функций, универсальные правила решения уравнений.

В данном проекте рассмотрены решения элементарных тригонометрических уравнений,  которые наиболее часто встречаются в практике.  Приведенные примеры не исчерпывают все способы решений тригонометрических уравнений.

Данный проект имеет практическую значимость, его материалы могут быть использованы в качестве учебного материала, при подготовке творческих работ и т.д.

                                                 Библиография

1. Евдокимова Н.Н. Тригонометрия: Теория и примеры. - СПб: Издательский Дом "Литера", 2005. - 64с.

2. Азаров А.И. и др. Тригонометрические уравнения: Учеб. пособие – ООО "Тривиум", 2004. - 160с.

3. Потапов М.К. Алгебра и начала анализа: дидактические материалы для 10 кл., 2-е изд. - М.: Просвещение, 2007. - 159с

4. Ивлев Б.М. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса,  8-е изд. - М.: Просвещение, 2004. - 176с.

4. Коноплева О.А. Математика в таблицах: 7-11 классы. - СПб.: "Тригон", 2005. - 104с.

5. Математика. Сборник тестов ЕГЭ 2001 - 2008. Под редакцией Ф.Ф. Лысенко. - Ростов-на-Дону: Легион, 2008. - 192с.

6. Математика. Способы решения экзаменационных задач - 2006. Под редакцией З.С. Стромова. - Волгоград: Братья Гринины, 2006. - 64с.