Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / МЕтодическая разработка Основные понятия тригонометрии
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ)" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 20 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 203 курсов со скидкой 40%

МЕтодическая разработка Основные понятия тригонометрии

библиотека
материалов


Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа №531 Красногвардейского района

Санкт-Петербурга












МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

Основные понятия тригонометрии






Подготовила

учитель математики

Смирнова Галина Васильевна










г. Санкт-Петербург
2015










Основные понятия тригонометрии



Расширение понятия угла

В тригонометрии мы рассматриваем угол как фигуру, полученную поворотом луча вокруг его начальной точки Луч может вращаться против часовой стрелки – тогда получаем положительные углы. Если луч вращается по часовой стрелке, то угол считается отрицательным. Таким образом мы можем получить углы любой величины. При этом разные по величине углы могут иметь одинаковые начальные и конечные стороны.

Радианная и градусная мера угла

Углы измеряются в градусах и радианах. Один градус ( обозначение 1° ) – это поворот луча на 1 / 360 часть одного полного оборота. Таким образом, полный оборот луча равен 360°. Один градус состоит из 60 минут ( их обозначение 1‘ );  одна минута – соответственно из 60 секунд ( обозначаются 1“ ).

Угол в 1 радиан, это центральный угол, который опирается на дугу окружности, длина которой равна длине радиуса.

hello_html_m29783bea.png

Чтобы найти радианную меру угла надо найти отношение длины дуги, проведенной произвольным радиусом и заключённой между сторонами этого угла, к радиусу дуги.

Справедливы формулы зависимости между радианной и градусной мерой.


hello_html_m5e3b5650.png

hello_html_dcfa73f.png

 


Таблица значений наиболее часто встречающихся углов в градусах и радианах:



Углы в градусах

30º

45º

60º

90º

180º

270º

360º

Углы в радианах

hello_html_m576e20f6.gif

hello_html_m5bb3a56e.gif

hello_html_m2f245c67.gif

hello_html_m3ea3a2d4.gif

hello_html_1bfc1af9.gif

hello_html_7403c76e.gif

hello_html_603673c6.gif



Тригонометрический круг. Поворот точки вокруг начала координат

Для понимания тригонометрии необходимо освоить понятия, связанные с, так называемым, тригонометрическим кругом. Тригонометрический круг — построенная на плоскости с прямоугольными декартовыми координатами окружность, имеющая центр в точке начала координат и радиус, равный 1.


hello_html_24ba1f71.png

В этой окружности рассматривают два диаметра: горизонтальный AA’ и вертикальный BB’. Они делят плоскость на четыре координатные четверти. У всех рассматриваемых углов начальная сторона будет совпадать с лучом ОА. Если конечная сторона угла лежит в какой-то четверти, то говорим, что это угол лежит в этой четверти.

Каждому углу hello_html_2e28ff68.gifна единичной окружности соответствует единственная точкаhello_html_m2bcbb5a3.gif, полученная поворотом точки hello_html_m415bba3e.gif на угол hello_html_2e28ff68.gif.

hello_html_m557732da.png

Если углы равны, то точки совпадают, но если точки совпали, то углы отличаются на hello_html_8986034.gif, где k- некоторое целое число.

Каждому числу t на числовой прямой мы можем сопоставить точку hello_html_610396ad.gifна единичной окружности. Для этого необходимо повернуть точку hello_html_m415bba3e.gif на угол t радиан.

Синус, косинус, тангенс и котангенс

Рассмотрим на координатной плоскости окружность единичного радиуса с центром O в начале координат. Повернем точкуhello_html_60a1f1db.gif(1;0) на угол hello_html_2e28ff68.gif. Получим точкуhello_html_m2bcbb5a3.gif.

Косинусом угла α называется абсцисса x точки hello_html_m2bcbb5a3.gif .Синусом угла α называется ордината y точки hello_html_m2bcbb5a3.gif.При этом тангенсом угла α называется отношение синуса этого угла к косинусу, а котангенсом угла α называется отношение косинуса этого угла к его синусу.

hello_html_77f40e2f.gifhello_html_529cc04e.gif

hello_html_53e5a9e1.png


Вычисление значений тригонометрических функций.

Используя определения тригонометрических функций можно найти значения тригонометрических функций часто используемых в тригонометрии углов.


hello_html_2e28ff68.gif

0

hello_html_6f398421.gif

hello_html_m746c7b5e.gif

hello_html_mfb8257.gif

hello_html_m117c7ce4.gif

hello_html_m74733c04.gif

hello_html_m3fb90a25.gif

hello_html_44cb516e.gif

sinhello_html_2e28ff68.gif

0

hello_html_m41b8770f.gif

hello_html_m4afa92e8.gif

hello_html_m4564b07f.gif

1

0

1

0

coshello_html_2e28ff68.gif

1

hello_html_m4564b07f.gif

hello_html_m4afa92e8.gif

hello_html_m41b8770f.gif

0

1

0

1

tghello_html_2e28ff68.gif

0

hello_html_mf86a50d.gif

1

hello_html_7136b11e.gif


Не определено

0


Не определено

0

сtghello_html_2e28ff68.gif


Не определено

hello_html_7136b11e.gif

1

hello_html_mf86a50d.gif

0


Не определено

0


Не определено



Знаки синуса, косинуса и тангенса.

Из определения тригонометрических функций следует, что синус положителен там, где положительна ордината, то есть в 1 и11 четверти. Косинус положителен в 111 и 1У четвертях, а тангенс в 1 и 111.

hello_html_4dfa0d8b.png

hello_html_m30ef10da.png

 

Синус, косинус и тангенс углов a и - a.


Из определения тригонометрических функций следует, что косинус -функция четная, а синус, тангенс и котангенс – нечетные, то есть

hello_html_m953a877.gif

hello_html_m470c4ea7.gif

hello_html_m436e6871.gif

hello_html_717060ae.gif

hello_html_7c5ed7f6.png


Задания с решением.

1. Найти значение выражения hello_html_146b20fd.gif

Решение.

Находим в таблице значения тригонометрических функций нужных нам углов и подставляем их в данное выражение

hello_html_m7eccf36b.gif

Ответ5,5

2. Определить знак числа

hello_html_4e6a39e5.gif

Решение

Найдем все углы на окружности

hello_html_m1877e623.gif- это угол в 1У четверти

hello_html_m576e20f6.gifэто угол в 1 четверти

hello_html_5f52eb3d.png

hello_html_m23a7b705.gifотрицательное число


hello_html_m596fbaf9.gifотрицательное число, значит hello_html_m5d42ea3.gifотрицательное число.

hello_html_m57b459f7.gifэто угол 111четверти

hello_html_m4e6e84e4.gifэто угол второй четверти

hello_html_daa622f.png


hello_html_m2ab09270.gifотрицательное число

hello_html_3d9fe897.gifотрицательное число, значит hello_html_73eb4a25.gifотрицательное число.

Произведение двух отрицательных чисел положительно, значит hello_html_4e6a39e5.gif число положительное

Ответ-число положительное

3. Расположить в порядке возрастания

hello_html_5d1cb37b.gif

Решение

Найдем все углы на окружности

hello_html_m4e6e84e4.gifэто угол второй четверти

hello_html_m437c1122.gifэто угол третьей четверти

hello_html_m71ff7b1f.gifэто угол четвертой четверти

hello_html_78b22d73.png


Ясно, чтоhello_html_404666a7.gif число положительное, а hello_html_11f47165.gif и hello_html_m36941448.gif отрицательны.

По рисунку видно, что hello_html_11f47165.gif больше чем hello_html_m36941448.gif

Ответ hello_html_m36941448.gif,hello_html_11f47165.gif,hello_html_404666a7.gif

4. Вычислить hello_html_m515554ce.gif

Решение

По свойству четности для косинуса и свойству нечетности для синуса получаем

hello_html_m727035ca.gif

hello_html_7b3d5a3d.gif

Тогда hello_html_m6b0445bc.gif

Ответ -12

5.Расположить в порядке возрастания

hello_html_m3f3264ef.gif

Решение

Найдем все углы на окружности

Вспомним, что 1 радиан hello_html_m3dd4563e.gif Тогда

2 радиана – это примерно 114º -это угол второй четверти

4 радиана –это примерно 228º -это угол третьей четверти

hello_html_55b28121.gif

hello_html_5fdcfa61.png

По рисунку видно, что hello_html_4795e93b.gif< hello_html_m2a8041bb.gif< hello_html_m731f8b24.gif

Ответ hello_html_4795e93b.gif,hello_html_m2a8041bb.gif,hello_html_m731f8b24.gif


Задания для самостоятельного решения

  1. Определить знак числаhello_html_m556b0feb.gif

  2. Расположить в порядке возрастанияSin 140o, Sin 190o, Sin 280o.

  3. Определить знак числаhello_html_m79c8a192.gif

  4. Расположить в порядке возрастанияhello_html_5d1cb37b.gif

  5. Определить знак числаhello_html_cc69568.gif

  6. Расположить в порядке возрастанияhello_html_2cf1e5d4.gif

  7. Определить знак числаhello_html_2f00ff03.gif

  8. Определить знак числаhello_html_343677c1.gif

  9. Определить знак числаhello_html_m3116cd93.gif

  10. Определить знак числаhello_html_m46ab3015.gif

  11. Расположить в порядке возрастанияhello_html_c676353.gif

  12. Определить знак числаhello_html_d81b5c7.gif

  13. Расположить в порядке возрастанияhello_html_m27f696c5.gif

  14. Определить знак числаhello_html_69111190.gif

  15. Расположить в порядке возрастанияhello_html_m3e5124ee.gif

  16. Определить знак числаhello_html_5e7887f.gif

  17. Расположить в порядке возрастанияhello_html_m8481ae4.gif

  18. Определить знак числаhello_html_7aad0e54.gif

  19. Расположить в порядке возрастанияhello_html_7ad9bb2d.gif

  20. Определить знак числаhello_html_41c79c63.gif

  21. Определить знак числаhello_html_7aad0e54.gif

  22. Определить знак числаhello_html_343677c1.gif

  23. Определите знак числаhello_html_m260d1294.gif

  24. Определите знак числаhello_html_5be5dd24.gif

  25. Определите знак числаhello_html_m5fc988c4.gif

  26. Найти значение выражения hello_html_m16f89a02.gif

  27. Найти значение выражения hello_html_486b972.gif

  28. Найти значение выражения hello_html_m51ce0bc2.png

  29. Найти значение выражения при hello_html_1c31e557.gif

hello_html_m22def898.png

  1. Найти значение выражения при hello_html_m6d084356.gif
    hello_html_m512f09f4.png

  2. Найти значение выражения при hello_html_76a8fdad.gif и hello_html_5ff61408.gif

hello_html_7663a113.png

  1. Найти значение выражения при hello_html_76a8fdad.gif и hello_html_5ff61408.gif
    hello_html_m7ba650a0.png


Алгебраические соотношения между тригонометрическими функциями

одного и того же аргумента


sin 2x + cos 2x = 1

hello_html_m52fb26af.gifhello_html_m1a5e7671.gif

1 + tg 2 x = hello_html_73648383.gif 1 + ctg 2 x = hello_html_7c1a4e7.gif


tgx ctg x = 1


С помощью данной группы формул и знания знака тригонометрических функций можно находить значения всех тригонометрических функций угла по значению одной из них.

Задания с решением.

1.Найти значения синуса, тангенса и котангенса угла hello_html_2e28ff68.gif, если hello_html_2b6e3f69.gif и hello_html_7403c76e.gif <hello_html_2e28ff68.gif<hello_html_603673c6.gif

Решение

Рассмотрим основное тригонометрическое тождество для углаhello_html_2e28ff68.gif sin 2hello_html_2e28ff68.gif+ cos 2hello_html_2e28ff68.gif = 1 и подставим в него вместо hello_html_4968b3d0.gif его значение hello_html_m233bf45f.gif.

Получим sin 2hello_html_2e28ff68.gif+ hello_html_m97b3d2b.gif = 1

Тогда sin 2hello_html_2e28ff68.gif= 1-hello_html_m97b3d2b.gif; sin 2hello_html_2e28ff68.gif= 1 hello_html_m700d250b.gif ; sin 2hello_html_2e28ff68.gif= hello_html_5dd292f5.gif

Будем извлекать квадратный корень с учетом того, что hello_html_7403c76e.gif <hello_html_2e28ff68.gif<hello_html_603673c6.gif ( то есть угол лежит в 1У четверти), а синус в этой четверти отрицателен. Получаем sin hello_html_2e28ff68.gif= hello_html_me6be1f3.gif=hello_html_m4a40e5cb.gif

Найдем теперь тангенс угла hello_html_2e28ff68.gif.Имеем hello_html_18bfccaf.gif, то есть hello_html_m1df916d5.gif.


Так как tghello_html_2e28ff68.gif ctg hello_html_2e28ff68.gif = 1, то hello_html_1bea14de.gif


Ответ sin hello_html_2e28ff68.gif= hello_html_m4a40e5cb.gif ;hello_html_4a891c88.gif; hello_html_1bea14de.gif

2. Найти значения синуса, косинуса и котангенса угла hello_html_2e28ff68.gif, если hello_html_79d487be.gif и hello_html_7403c76e.gif <hello_html_2e28ff68.gif<hello_html_603673c6.gif

Решение

Так как tghello_html_2e28ff68.gif ctg hello_html_2e28ff68.gif = 1, то hello_html_6d618c0a.gif


Рассмотрим тригонометрическое тождество для углаhello_html_2e28ff68.gif 1 + tg 2 hello_html_2e28ff68.gif = hello_html_10660f6a.gif и подставим в него вместо hello_html_9b5611d.gif его значение hello_html_m33011da6.gif.

Получим hello_html_m52b1c52b.gif Тогдаhello_html_m17b39f1.gif; hello_html_m1d03d873.gif; hello_html_3ce3cc22.gif.

Будем извлекать квадратный корень с учетом того, что hello_html_7403c76e.gif <hello_html_2e28ff68.gif<hello_html_603673c6.gif ( то есть угол лежит в 1У четверти), а косинус в этой четверти положителен. Получаем hello_html_m463b7d94.gif

Для того, чтобы найти синус углаhello_html_2e28ff68.gif рассмотрим основное тригонометрическое тождество для углаhello_html_2e28ff68.gif sin 2hello_html_2e28ff68.gif+ cos 2hello_html_2e28ff68.gif = 1 и подставим в него вместо hello_html_4968b3d0.gif его значение hello_html_m56055c26.gif.

Получим sin 2hello_html_2e28ff68.gif+ hello_html_m8b87475.gif = 1

Тогда sin 2hello_html_2e28ff68.gif= 1-hello_html_m8b87475.gif; sin 2hello_html_2e28ff68.gif= hello_html_m6ad4a7af.gif ; sin 2hello_html_2e28ff68.gif= hello_html_2d691a83.gif

Будем извлекать квадратный корень с учетом того, что hello_html_7403c76e.gif <hello_html_2e28ff68.gif<hello_html_603673c6.gif ( то есть угол лежит в 1У четверти), а синус в этой четверти отрицателен. Получаем sin hello_html_2e28ff68.gif= hello_html_4b598172.gif=hello_html_m3532dc40.gif

Ответ hello_html_6d618c0a.gif; hello_html_m463b7d94.gif; hello_html_m7a0219e4.gif


Формулы сложения аргументов


sin ( х + у ) = sin х cos у + cos х sin у


sin ( х у ) = sin х cos у cos х sin у


cos ( х у ) = cos х cos у + sin х sin у


cos ( х + у ) = cos х cos у sin х sin у

hello_html_m31298ae9.gif

hello_html_15d6fa1a.gif


Задания с решением.

1.Найти hello_html_m608410e0.gif

Решение

hello_html_m37de3bd6.gif

Ответ hello_html_1e636ef5.gif

2.Вычислитьhello_html_m746e07ff.gif

Решение

hello_html_m1ce6618b.gif

Ответ hello_html_2268cba1.gif

3. Найтиhello_html_m62306b46.gif


Решение

hello_html_m14b9a79a.gif

hello_html_57859e34.gif

Ответ hello_html_20fc3ba7.gif



Формулы двойного аргумента


cos 2х = cos 2х sin 2х


sin 2х = 2 sin х cos х


tg 2x = hello_html_m4524b24d.gif



Следствие из формул двойного аргумента


1 + cos 2х = 2 cos 2х

1 cos 2х = 2 sin 2х




Задания с решением.

1.Вычислить hello_html_30b66b3f.gif

Ответ 8

2. Вычислить hello_html_2bc25a7a.gif

Ответ 48



ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ


Вы наверно замечали, что во всех справочных таблицах по тригонометрии указаны значения тригонометрических функций для углов от 0 до 90 градусов. Почему?

Потому что значения всех других углов могут быть приведены к значениям функций от углов от 0 до 90 градусов. Помогают в этом так называемые формулы приведения и периодичность тригонометрических функций.

Действительно, благодаря периодичности значение тригонометрических функций от любого угла равно значению той же функции от угла в пределах от 0 доhello_html_m429d2fd.gif . А любой угол из интервала от 0 доhello_html_m429d2fd.gif может быть представлен в одном их восьми видов:

hello_html_m74733c04.gifhello_html_m78531b32.gifhello_html_284e617c.gif

hello_html_m25e34c55.gifhello_html_m78531b32.gifhello_html_284e617c.gif

hello_html_4ec01f59.gifhello_html_m78531b32.gifhello_html_284e617c.gif

hello_html_m429d2fd.gifhello_html_m78531b32.gifhello_html_284e617c.gif, где hello_html_284e617c.gif некоторый острый угол

С помощью формул сложения можно вывести 32 формулы, которые и называются

формулами приведения.

В таблице даны формулы приведения для тригонометрических функций.

Функция (угол в º)

90º - α

90º + α

180º - α

180º + α

270º - α

270º + α

360º - α

360º + α

sin

cos α

cos α

sin α

-sin α

-cos α

-cos α

-sin α

sin α

cos

sin α

-sin α

-cos α

-cos α

-sin α

sin α

cos α

cos α

tg

ctg α

-ctg α

-tg α

tg α

ctg α

-ctg α

-tg α

tg α

ctg

tg α

-tg α

-ctg α

ctg α

tg α

-tg α

-ctg α

ctg α

Функция (угол в рад.)

π/2 – α

π/2 + α

π – α

π + α

3π/2 – α

3π/2 + α

2π – α

2π + α


Подметим закономерности в этих формулах : всегда получается либо та же самая функция, либо кофункция от угла hello_html_284e617c.gif

В правой части формулы стоит либо знак « + » либо знак «»

Для того, чтобы не запоминать 32 формулы ,запомним правило


1.ПРАВИЛО ВЫБОРА НАЗВАНИЯ ФУНКЦИИ( правило лошади)

Если в формуле содержатся углы вида hello_html_m25e34c55.gifhello_html_m78531b32.gifhello_html_284e617c.gif или hello_html_4ec01f59.gifhello_html_m78531b32.gifhello_html_284e617c.gif, то есть угол hello_html_284e617c.gif отложен от «вертикального» диаметра, то название функции меняется, а если в формуле содержатся углы вида hello_html_m74733c04.gifhello_html_m78531b32.gifhello_html_284e617c.gif, или hello_html_m429d2fd.gifhello_html_m78531b32.gifhello_html_284e617c.gif, то есть угол hello_html_284e617c.gif отложен от «горизонтального» диаметра, то название функции не меняется

2. ПРАВИЛО ВЫБОРА ЗНАКА

Для того чтобы определить знак в правой части формулы достаточно определить знак левой части формулы, считая угол hello_html_284e617c.gif острым.

Задания с решением.

1. Упростить выражениеhello_html_2a9e3004.gif



Решение

Воспользуемся нечетностью синуса и его периодичностью6 hello_html_m693c90f6.gif=hello_html_m1b20a95c.gif

hello_html_m3a45ef85.gif

hello_html_3b21af4b.gif

Подставим все в исходное выражениеhello_html_m4076aa5.gif



Ответ 1

2.Упростить выражениеhello_html_m6af8fd34.gif

Решение

hello_html_m4d957b11.gif

Ответ -4


Задания для самостоятельного решения


  1. Найти значение выраженияhello_html_62674033.png.

  2. Найти значение выраженияhello_html_4a287a98.png. .

  3. Вычислить hello_html_m551dc655.png.

  4. Вычислить hello_html_m35e1da0e.png.

  5. Вычислить hello_html_m62d02d23.png.

  6. Вычислить hello_html_m2f312d79.png.

  7. Вычислить hello_html_133f513b.png. .

  8. Вычислить hello_html_m5a230f4a.png.

  9. Вычислить hello_html_13e43a74.png.

  10. Вычислить hello_html_4a49404.png.

  11. Вычислить hello_html_m9e1795.png.

  12. Вычислить hello_html_c80edc5.png.

  13. Вычислитьhello_html_m373441fb.png.

  14. Вычислить hello_html_m3d17c12e.png.

  15. Вычислить hello_html_13e663ab.png.

  16. Вычислить hello_html_3e3d3144.png.

  17. Вычислить hello_html_6023f1ca.png.

  18. Найдите hello_html_m33ccaf23.png, если hello_html_m62a7e12.png и hello_html_634f6a4.png.

  19. Найдите hello_html_m33ccaf23.png, если hello_html_m355aa5f9.png и hello_html_m14a6acef.png.

  20. Найдите hello_html_m496961f7.png, если hello_html_4f47df5e.png и hello_html_634f6a4.png.

  21. Найдите hello_html_70c8bc16.png, если hello_html_1ef9882.png и hello_html_634f6a4.png.

  22. Найдите hello_html_13b7ccff.png, если hello_html_m65d5d6d4.png.

  23. Вычислить hello_html_m769ca736.png, если hello_html_5abb400b.png

  24. Вычислить hello_html_m3a9c8b20.png, если hello_html_6cb7f1b7.png

  25. Вычислить hello_html_5b654edb.png, если hello_html_m3f03dfc5.png

  26. Упростить hello_html_m22def898.png

  27. Упростить hello_html_m53ec8f9f.png

  28. Упростить hello_html_m512f09f4.png

  29. Упростить hello_html_7663a113.png

  30. Упростить hello_html_m7ba650a0.png


  1. Упростить hello_html_m7bdceaac.png


  1. Вычислить hello_html_m12f60fcd.png

  2. Упростить hello_html_c8a33d2.png

  3. Вычислить hello_html_4ae755dd.png

  4. Найти значение выражения hello_html_m3b0a8d1f.png

  5. Найти значение выражения hello_html_665ce3cc.pngпри hello_html_m7d607a85.png

  6. Найти значение выражения hello_html_32cdc5bb.pngпри hello_html_m2c2c9b38.png

  7. Найти значение выражения hello_html_m176829ab.png, если hello_html_m2784eab1.png

  8. .Найти значение выражения hello_html_215cc94c.pngпри hello_html_4a2bf526.png.

  9. Найти значение выражения hello_html_m19b4ef1e.pngпри hello_html_m1fba95b6.png.

  10. Найти значение выражения hello_html_325f9cc.pngпри hello_html_227cff21.png.

  11. Найти значение выражения hello_html_m214954e.png, если hello_html_me740c1.png.

  12. Вычислить hello_html_41028d92.png.

  13. Вычислить: hello_html_m1bce05de.png

  14. Найти значение выражения hello_html_m10bfac1a.png, если hello_html_7758357f.pngи hello_html_m2a004120.png.

  15. Найти значение выражения hello_html_m2e937bce.png, если hello_html_m6c31c707.png.

  16. Найти значение выражения hello_html_1380378c.png, если hello_html_7c017328.png.

  17. Найдите hello_html_6c052b9e.png, если hello_html_6c2116c8.png.

  18. Найтиhello_html_m41130431.png, если hello_html_518cbcf4.png.

  19. Найдите hello_html_m56a5e95c.png, если hello_html_m56b3ea5e.png и hello_html_m5f504126.png.

  20. Найдите hello_html_14fbadf1.png, если hello_html_m4cc34c98.png и hello_html_m41fc4690.png.

  21. Найдите hello_html_46ec490.png, если hello_html_m3207ff69.png.

  22. Найдите hello_html_2da8fcc0.png, если hello_html_e1a9db6.png.

  23. Найдите hello_html_m7a825ef1.png, если hello_html_m7f06aa63.png.

  24. Найдите hello_html_m45fbee68.png, если hello_html_mf998a97.png.

  25. Найдите hello_html_m33ccaf23.png, если hello_html_1188b0d4.png.

  26. Найдите hello_html_m33ccaf23.png, если hello_html_m254253c0.png.

  27. Найдите hello_html_2f5084c4.png, если hello_html_m101beb2a.png.

  28. Найдите hello_html_mac71eb0.png, если hello_html_12503c98.png.

  29. Найдите hello_html_11f58268.png, если hello_html_m1565500.png.



Общая информация

Номер материала: ДВ-206041

Похожие материалы