Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методические рекомендации для практических занятий специальности 21.02.06
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методические рекомендации для практических занятий специальности 21.02.06

библиотека
материалов

hello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m761c5302.gifhello_html_5471a247.gifhello_html_m5234c760.gifhello_html_62719af.gifhello_html_m302f3104.gifhello_html_m302f3104.gifhello_html_m2ab117a2.gifhello_html_55208f83.gifhello_html_2c25b901.gifhello_html_7cc66b66.gifhello_html_5d1db4d9.gifhello_html_62719af.gifhello_html_m5234c760.gifhello_html_m67a2e807.gifhello_html_m3f88b94.gifhello_html_m104b4c15.gifhello_html_62719af.gifhello_html_m5234c760.gifhello_html_7ae7aee3.gifhello_html_m1ba8b4bd.gifhello_html_2eab355b.gifhello_html_m2a9d694f.gifhello_html_2eab355b.gifhello_html_m2a9d694f.gifhello_html_m51beb78e.gifhello_html_m51beb78e.gifhello_html_m51beb78e.gifhello_html_m51beb78e.gifhello_html_78ce449b.gifhello_html_m2a9d694f.gifhello_html_7ae7aee3.gifhello_html_m1ba8b4bd.gifhello_html_m51beb78e.gifhello_html_m51beb78e.gifhello_html_m51beb78e.gifhello_html_m51beb78e.gifhello_html_78ce449b.gifhello_html_7ae7aee3.gifhello_html_m77cbb537.gifhello_html_m2a9d694f.gifhello_html_cb35c14.gifhello_html_2eab355b.gifhello_html_m2a9d694f.gifhello_html_2eab355b.gifhello_html_m51beb78e.gifhello_html_m51beb78e.gifhello_html_m51beb78e.gifhello_html_m739b980a.gifhello_html_7ae7aee3.gifhello_html_58ed4e85.gifhello_html_m51beb78e.gifhello_html_af95d32.gifhello_html_m684e728b.gifhello_html_482db1e8.gifhello_html_788944c1.gifhello_html_m7b31c99e.gifhello_html_54e79c09.gifhello_html_426862a4.gifhello_html_m27648980.gifhello_html_m6045026c.gifhello_html_40838eaa.gifhello_html_7648f83e.gifhello_html_7648f83e.gifhello_html_7648f83e.gifhello_html_7648f83e.gifhello_html_7648f83e.gifhello_html_7648f83e.gifhello_html_7648f83e.gifhello_html_7648f83e.gifhello_html_460eea0b.gifhello_html_7648f83e.gifhello_html_m5da32e5d.gifhello_html_58ed4e85.gifhello_html_m739b980a.gifhello_html_7648f83e.gifhello_html_58ed4e85.gifhello_html_m3180ffea.gifhello_html_m29edcc69.gifhello_html_m29edcc69.gifhello_html_m385dbcc.gifhello_html_19283fb1.gifhello_html_22aa7bc3.gifhello_html_m46b36d8d.gifhello_html_m787c132c.gifhello_html_m5f85ebf3.gifhello_html_cae06e9.gifhello_html_m7177020d.gifhello_html_50217870.gifhello_html_2ec95baf.gifhello_html_m19f6742a.gifhello_html_m97279a8.gifhello_html_6320084c.gifhello_html_20e8f514.gifhello_html_m1c8b30ee.gifhello_html_8432a96.gifhello_html_2cb37be3.gifhello_html_714422ce.gifhello_html_532fd5e6.gifhello_html_mefb4c32.gifhello_html_56825267.gifhello_html_15118ac4.gifhello_html_m1d3e732d.gifhello_html_m40c13a01.gifhello_html_m6c1ca2b.gifhello_html_m1a96487b.gifhello_html_38f5952.gifhello_html_3690d7a2.gifhello_html_252b2178.gifhello_html_m2c7042b2.gifhello_html_mef368f0.gifhello_html_m644409b6.gifhello_html_12062974.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifМинистерство образования и науки Самарской областиОписание: Описание: знак_техникум ГБОУ 10см

Государственное бюджетное образовательное

учреждение среднего профессионального образования

«Тольяттинский политехнический техникум»

(ГБОУ СПО «ТПТ»)





УТВЕРЖДАЮ

Заместитель директора по УР

___________ С.А.Гришина

___ ____________ 2015






СБОРНИК МЕТОДИЧЕСКИХ РЕКОМЕНДАЦИЙ

ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

ДИСЦИПЛИНЫ МАТЕМАТИКА


Специальность: 120703 Информационные системы обеспечения

градостроительной деятельности











Тольятти, 2015


ОДОБРЕНА


Протокол ПЦК ЕНД

от ___ _____20__ № ____

Председатель ПЦК ЕНД

________ Л.А. Гончарова

___ ______ 20___


СОГЛАСОВАНО





Старший методист

________ Н.В. Роменская

___ _______ 20___








Сборник методических рекомендаций разработан Лабгаевой Э.В. – преподавателем дисциплины «Математика» ГБОУ СПО «ТПТ»



Рецензент:





Сборник методических рекомендаций для выполнения практических работ составлен в соответствии с рабочей программой дисциплины «Математика», специальности 120703 Информационные системы обеспечения градостроительной деятельности для студентов второго курса















Содержание


Введение 4

Практическое занятие №1 «Вычисление пределов функций» 5

Практическое занятие №2 Нахождение производных и дифференциалов функции, приложения производных и дифференциалов 11

Практическое занятие №3 Исследование функции с помощью производной 20

Практическое занятие №4 Вычисление интегралов 29

Практическое занятие №5 Решение прикладных задач с помощью определённого интеграла 36

Практическое занятие №6 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений 43

Практическое занятие №7 Определение сходимости рядов 51

Практическое занятие №8 Нахождение вероятности событий 59

Практическое занятие №9 Нахождение функции распределения и числовых характеристик дискретной случайной величины 66

Практическое занятие №10 Обработка статистических данных 73






















Введение

Сборник методических рекомендаций для выполнения практических работ дисциплины

«Математика» предназначен для студентов второго курса специальности 120703 «Информационные системы обеспечения градостроительной деятельности»

Дисциплина «Математика» в соответствии с рабочей программой рассчитана на 66 часов, из них 20 часов отведено на проведение практических занятий. Практические занятия направлены на проверку усвоения и закрепление материала, изученного на теоретических занятиях.

Сборник методических указаний содержит 10 практических занятий, в каждом из которых

имеются:

  • краткие теоретические сведения

  • образец решений задач

  • задания для самостоятельного решения

  • контрольные вопросы

  • литература

Методическая разработка рекомендуется для использования преподавателями, ведущими данный предмет в средних специальных учебных заведениях.





















Практическое занятие №1

«Вычисление пределов функций»


Цель занятия:

освоение знаний правил раскрытия неопределённостей и формул для вычисления пределов

последовательностей и функций, умений раскрывать неопределённости и вычислять пределы

При выполнении задания студент должен:

знать:

  • определение предела в точке и на бесконечности

  • теоремы о пределах

  • первый и второй замечательные пределы

  • правила раскрытия неопределённостей

  • эквивалентные бесконечно малые

уметь:

  • раскрывать неопределённости различных видов

  • вычислять пределы функций


Краткие теоретические сведения


Понятие предела функции в точке

Пусть функция у = f(x) определена на некотором промежутке Х и пусть точка х0 є Х.

Составим из множества Х последовательность точек: х1, х2,…,хn,…сходящихся к х0. Значения

функции в этих точках также образуют последовательность: f(x1), f(x2),…,f(xn).

Число А называется пределом функции y = f (hello_html_m4bae53f5.gif) в точке hello_html_m4bae53f5.gif=hello_html_m3934e15b.gif, если при любых

значениях hello_html_m4bae53f5.gif, сколь угодно близких к числу hello_html_m3934e15b.gif(hello_html_46e59634.gif), значение функции f (hello_html_m4bae53f5.gif)

становится сколь угодно близким к числу А, т.е.hello_html_25fb229f.giff (hello_html_m4bae53f5.gif) = hello_html_m7755c8c0.giff (hello_html_m4bae53f5.gif)hello_html_m656f399.gif

Основные теоремы о пределах

Пусть существует hello_html_25fb229f.giff (hello_html_m4bae53f5.gif), hello_html_25fb229f.gifg (hello_html_m4bae53f5.gif), тогда верны следующие теоремы:

  • Предел аргумента в точке hello_html_m36386047.gifравен значению аргумента в этой точке: hello_html_17f7395e.gif=hello_html_m36386047.gif

  • Если с – постоянная величина, то предел постоянной равен самой постоянной:

hello_html_25fb229f.gifc= c, cconst

  • Если с – постоянная величина, то постоянный множитель выносится за знак предела:

hello_html_25fb229f.gifcx = chello_html_25fb229f.gifx

  • Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций: hello_html_m299111a6.gif

  • Предел произведения равен произведению пределов: hello_html_7b9d0391.gif

  • Предел отношения равен отношению пределов, если предел знаменателя отличен от нуля:

hello_html_68a1fcb7.gif

  • Предел степени равен степени пределов:hello_html_3b391de3.gif= (hello_html_17f7395e.gif)hello_html_m57aefcec.gif

Понятие бесконечно малой и бесконечно большой функции. Предел функции

на бесконечности

Функция hello_html_7bbb0244.gif- называется бесконечно малой при hello_html_58d530ca.gif, если hello_html_4a8cf56c.gif.

Функцияhello_html_7bbb0244.gif- называется бесконечно большой при hello_html_58d530ca.gif, если hello_html_m1632d99b.gif.

Если функцияhello_html_7bbb0244.gif бесконечно большая, то функцияhello_html_7613237.gif- бесконечно малая и

наоборот.

Число А называется пределом функцииhello_html_7bbb0244.gif на бесконечности, если при всех

достаточно больших значений х разность hello_html_9971d01.gif есть бесконечно малая функция.

Правила раскрытия неопределённостей при вычислении пределов

Часто встречаются случаи, когда непосредственно применить теоремы о пределах нельзя.

В этих случаях необходимо сначала раскрыть неопределенности и потом только вычислять

пределы.

В ситуации, когда числитель и знаменатель дроби стремится к нулю, говорят, что имеет

место неопределенность вида hello_html_m59068a8a.gif. Для раскрытия неопределенности такого вида необходимо:

а) числитель и знаменатель дроби разложить на множители, а затем сократить на множитель, приведший к неопределенности, при этом можно использовать:

  • формулы сокращенного умножения,

  • вынесение общего множителя за скобки,

  • группировку,

  • преобразование квадратного трехчлена с помощью дискриминанта или теоремы Виета;

т.к. ax2 + bx + c = a (x-x1)(x-x2), где x1,x2 - корни уравнения ax2+bx+c=0,

  • преобразование многочлена с помощью деления многочлена на (x-x0),


  • умножение на сопряженное выражение, т.е. если предел содержит выражение hello_html_m6498f.gif то путем умножения на hello_html_m535edbee.gif избавляемся от корней, т.к. hello_html_m289a4ccd.gif

б) использовать первый замечательный предел, т.е. формулы hello_html_5f6702fd.gif, hello_html_m2114399e.gif

в) использовать эквивалентные бесконечно малые (при hello_html_m65776930.gif), т.е. формулы hello_html_m643c4f58.gif

hello_html_mb1eadfa.gif,hello_html_703d21e0.gif,hello_html_30e4c18b.gif, hello_html_m9ec01bf.gif ,hello_html_m78dbf85f.gif,hello_html_m1f715a0e.gif,hello_html_15520510.gif, hello_html_m38298bb7.gif,hello_html_54c823ca.gif,hello_html_m31567467.gif,hello_html_43be59e2.gif

Если числитель и знаменатель неограниченно возрастают при х→∞, то в таком случае

имеет место неопределенность вида hello_html_m180cef2a.gif. Для ее раскрытия надо разделить числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной х.

Если имеет место неопределённость hello_html_m63056305.gifи hello_html_36fa4baa.gif, то в этих случаях применяют второй

замечательный предел, т.е. формулы hello_html_m658c65c5.gif и hello_html_m6b402cf7.gif

Если имеют место неопределённости [∞-∞], [0-0], то в этих случаях необходимо заданную функцию привести к дробно-линейному виду, а затем использовать предыдущие правила


Образец решения задач

Вычислить пределы последовательностей и функций, использую правила раскрытия

неопределённостей

Задание 1 hello_html_m67174f0d.gif

Решение: Имеем неопределённость видаhello_html_2c7579b9.gif. Используя правило раскрытия

неопределённостей разделим каждое слагаемое почленно на hello_html_3327506b.gif

hello_html_4a797e5b.gif

Задание 2 hello_html_m325f1e71.gif

Решение: Имеем неопределённость видаhello_html_2c7579b9.gif. Используя правило раскрытия



неопределённостей разделим каждое слагаемое почленно на hello_html_m11c774ea.gif, учитывая, что под знаком радикала hello_html_m6f761f6e.gif

hello_html_m325f1e71.gifhello_html_m7da59c95.gif

Задание 3 hello_html_m20c15fde.gif

Решение: Имеем неопределённость видаhello_html_m687141a2.gif. Применим формулы сокращённого умножения

hello_html_m4d01ce1f.gifhello_html_17e7ba20.gif


Задание 4 hello_html_m281aa76.gif

Решение: Имеем неопределённость видаhello_html_m5814c73.gif. Выделим целую часть, используя

арифметические преобразования. Далее воспользуемся формулой второго замечательного

предела, затем в показателе раскроем неопределённостьhello_html_m1669213f.gif, разделив почленно на х, ответ

приведём к стандартному виду

hello_html_m281aa76.gif= hello_html_m5814c73.gif=hello_html_m602eb62e.gif= hello_html_m43c0c68b.gif = hello_html_45831b40.gif=

= hello_html_m6d6df7a4.gif= hello_html_1448e254.gif= hello_html_3a9d4541.gif = hello_html_m10984119.gif = hello_html_m7f210358.gif = hello_html_m45d77a91.gif

Задание 5 Вычислить предел hello_html_4351637f.gif

Решение: Имеем неопределённость видаhello_html_m687141a2.gif. Заменим бесконечно малые функции на эквивалентные

hello_html_m6786c10e.gif

Задание 6 hello_html_668aab4d.gif



Решение: Имеем неопределённость видаhello_html_m4b2d1a54.gif.Приведём к дробному виду. Домножим и числитель и знаменатель на сопряжённое выражение. Воспользуемся формулой разности квадратов

hello_html_668aab4d.gifhello_html_30e040a0.gifhello_html_m7e919e13.gifhello_html_m24b6f44e.gifhello_html_m7407d016.gifhello_html_m7129cbd4.gif= hello_html_mf989ab5.gif

Задание 7 hello_html_m3abc1e7a.gif

Решение: Имеем неопределённость видаhello_html_m687141a2.gif. Воспользуемся тригонометрическими формулами разности синусов, после преобразований применим формулы первого замечательного предела

hello_html_2a39a3f4.gif

Задание 8 Вычислить предел hello_html_m4f12c6af.gif

Решение: Имеем неопределённость видаhello_html_1021306e.gif. Разделим числитель и знаменатель дроби на (х-2), затем сократим на множитель, приводящий к неопределённости

x3 - 5x2 + 8x – 4 x –2 x3 – 3x2 + 4 x – 2

x3 – 2x2 x2 – 3x +2 x3 – 2x2 x2x –2

-3x2 +8x - x2 + 4

-3x2 +6x - x2 + 2x

2x – 4 -2x +4

2x – 4 -2x +4

0 0

hello_html_38508d6b.gifhello_html_m6100d59b.gifhello_html_m62ab8a25.gif








Задания для самостоятельного решения

Вычислить пределы последовательностей и функций, использую правила раскрытия неопределённостей

  1. hello_html_m5dd6f601.gif

  2. hello_html_43c2f0aa.gif

  3. hello_html_669a02b.gif

  4. hello_html_m4635a11a.gif

  5. hello_html_m3266dd63.gif

  6. hello_html_7980eef5.gif

  7. hello_html_m59364a17.gif

  8. hello_html_4b3bb33.gif


Контрольные вопросы

  1. Последовательности и функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

  2. Определение предела функции в точке и на бесконечности

  3. Основные теоремы о пределах

  4. Правила раскрытия неопределённостей при вычислении пределов.

  5. Первый и второй замечательные пределы

  6. Эквивалентные бесконечно малые


Литература

  1. Омельченко В.П. Математика: учеб. пособие В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова – 2-е изд., перераб. и доп.- Ростов на/Д: Феникс, 2007.- 380с.- (Среднее профессиональное образование)

  2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учеб. пособие для средних проф. учеб. заведений / Н.В. Богомолов. -10-е изд., перераб.- М.: Высш. шк., 2008.-495с

  3. Данко П.Е Высшая математика в упражнениях и задачах. В.2ч. Ч. 1. Учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 6-е изд.- М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2008.-304с., ил.

  4. Шипачёв В.С. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие.- М.: Высш. шк. 2005.- 192с.: ил.


Практическое занятие №2

«Нахождение производных и дифференциалов функции, приложения производных и дифференциалов»


Цель занятия:

освоение знаний алгоритмов решения задач на нахождение производных и дифференциалов по

правилам дифференцирования и формулам дифференцирования сложных функций, частных

производных и дифференциалов, умений находить производные сложных функций,

дифференциалы высших порядков, находить частные производные и дифференциалы

различных порядков, решать прикладные задачи на применение производной и

дифференциала

При выполнении задания студент должен:

знать:

  • понятие производной, ее физический смысл;

  • таблицу производных; формулы производных суммы, произведения, частного;

  • формулы нахождения производных сложных функций

  • понятие частной производной первого и второго порядков,

  • понятие дифференциала, формулу для его нахождения

  • формулу для нахождения приближённых значений с помощью дифференциала

уметь:

  • находить производную сложной функции

  • находить дифференциалы различных порядков.

  • находить частные производные функции

  • находить приближённые значения величин с помощью дифференциала

  • решать прикладные задачи, используя физический смысл производной


Краткие теоретические сведения

Понятие производной функции.

Пусть дана функция у =f(x) (см. рисунок 3), где x0– фиксированная точка,

x - произвольная точка, hello_html_m6ea9e42c.gifx = x-x0– приращение аргумента функции в точке x0,

f(x0) – значение функции в точке x0,f(x) – значение функции в произвольной точке x,

hello_html_m6ea9e42c.giff(x0) – значение функции в точке x0,f(x0) = f(x0 + x) – f(x0) = ∆y.

Тогда hello_html_m297d6a68.gif = hello_html_6e05db0a.gif- средняя скорость изменения функции, hello_html_m86206e4.gifhello_html_6e05db0a.gif = hello_html_m523b78da.gif - скорость

изменения функции в момент времени t = t0(мгновенная скорость). Обозначают hello_html_m523b78da.gif = hello_html_m1bb51924.gif.


Рисунок 3

http://www.bymath.net/studyguide/ana/sec/ana3b.gif

Производная функции y = f(x) в точке х0 – это предел отношения приращения функции hello_html_m1b7d27cc.gifк приращению аргумента hello_html_m5c89f2ff.gif, когда последнее стремится к нулю, т.е. hello_html_715afc57.gif

Производная обозначается hello_html_1f89b89d.gif(«игрек штрих») илиhello_html_4c82d300.gif(«эф штрих от икс») или hello_html_m4be05bfd.gif («де игрек по де икс»).

Формулы для вычисления производной даны в таблице 3

Таблица 3

1

hello_html_66ece701.gif

10

hello_html_4d882d7f.gif

19

hello_html_m5df38c94.gif

2

hello_html_m6fcb71ce.gif

11

hello_html_m76176c1a.gif

20

hello_html_896a91e.gif

3

hello_html_45f82321.gif

12

hello_html_m10d0917e.gif

21

hello_html_m3a9b7364.gif

4

hello_html_mb283b.gif

13

hello_html_103cb9de.gif

22

hello_html_m50217c8c.gif

5

hello_html_69f4454c.gif

14

hello_html_1c14bc1.gif

23

hello_html_3fdcc42.gif

6

hello_html_m4d278fac.gif

15

hello_html_m8cb0a1e.gif



7

hello_html_m1c80a6e5.gif

16

hello_html_3da43874.gif



8

hello_html_m1e4876d2.gif

17

hello_html_4583dc84.gif



9

hello_html_m7c630186.gif

18

hello_html_3318b07c.gif




Нахождение производной функции называется дифференцированием данной функции.

Физический и геометрический смысл производной.

Физический смысл производной: производная есть мгновенная скорость изменения функции.

Геометрический смысл производной: производная функции y = f(x) в точке х0равна угловому коэффициенту касательной k = tga к графику функции в этой точке.

Алгоритм решения задач на составления уравнения касательной:

Пусть дана функция у =f(x) в точке х=х0. Для составления уравнения касательной необходимо:

а) найти значение функции в точке х0:hello_html_1a623fca.gif

б) найти производнуюhello_html_me6f0b77.gif

в) найти значение производной функции в точке х0: hello_html_m75804796.gif

г) записать уравнение касательной:hello_html_m6c460dbb.gif

д) привести данное уравнение к стандартному виду y = ax+ b

Производная сложной функции

Если hello_html_327b79d1.gif, где hello_html_58591f1d.gif, т. е. если у зависит от х через промежуточный аргумент u, то функция у называется сложной функцией от х.

Теорема. Производная сложной функции равна произведению ее производной по

промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной, т.е.:

hello_html_22e01503.gif

Вторая производная и производные высших порядков.

Производная hello_html_449222e6.gif функции hello_html_m49d2dba5.gifcама является некоторой функцией аргумента x, следовательно по отношению к ней снова можно ставить вопрос о существовании производной.

Производная второго порядка – это производная от производной первого порядка.

Обозначается hello_html_27a27510.gif или hello_html_2b3df207.gif, последнее читается «де два игрек по де икс

дважды».

Производные, начиная со второй называются производными высшего порядка

и обозначаются hello_html_m4d8c6e3.gif.

Производная n-го порядка – это производная от производной (n –1)-го порядка, т.е

hello_html_m229da1e9.gif




Например, ускорение hello_html_6ff4b6ff.gif - это первая производная от скорости по времени или вторая от перемещения по времени: hello_html_m4883bcfe.gif Линейная скорость - это первая производная от

перемещения по времени:hello_html_m6ec4d16c.gif.

Дифференциал функции

Дифференциал функции y=f(x) в точке х0 – это главная часть приращения функции, линейная относительно приращения аргумента hello_html_9e63b13.gif. Обозначается hello_html_18c48fe.gif

Дифференциал аргумента х равен его приращению, т.е. hello_html_m229c8c6a.gif

Из определений дифференциала получаем формулу (2.3), согласно которой дифференциал

функции равен ее производной, умноженной на дифференциал аргумента:hello_html_m2bf8022c.gif

При вычислении дифференциалов верны правила и свойства аналогичные правилам и

свойствам производных. Кроме того, существует понятие дифференциалов высших порядков:

если hello_html_3c46e7d9.gif, аналогично из hello_html_m2a44fb10.gif и hello_html_m48792f0.gif

Приближенные вычисления

С помощью дифференциала производят приближенные вычисления. Эти приближенные

вычисления основаны на приближенной замене приращения функции hello_html_m1b7d27cc.gif в данной точке на ее

дифференциал dy: hello_html_6b4acffd.gif. При hello_html_m568efae6.gifабсолютная погрешность от такой замены является бесконечной малой более высокого порядка по сравнению с hello_html_2eb7613c.gif. Если hello_html_m7ec28180.gif, а hello_html_3f51d713.gif Получаем формулу применяемую в приближенных вычислениях:

hello_html_7a04c488.gif

Частные производные и дифференциал функции

Величина u называется функцией нескольких переменных величин x, y, если каждой

совокупности этих величин соответствует одно определенное значение величины u: u=f(x, y).

Частная производная функции u=f(x, y) нескольких переменных по аргументу х – это предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при условии, что последнее приращение стремится к нулю, обозначают: hello_html_51c3db.gif

Приращение получает только один аргумент х. Остальные аргументы фиксируются. Таким образом, частная производная функции u =f(x, y) по х – это обыкновенная производная

функции одной переменной х при фиксированном значении переменной у0. Аналогично

определяются частные производные трех и более переменных.

Частный дифференциал функции – это произведение частной производной по одной из


независимых переменных на дифференциал этой переменной, обозначают:

hello_html_m660979b0.gif

Полный дифференциал du – это сумма частных дифференциалов функции u=f(x, y),

вычисляется по формуле: hello_html_1c7ff920.gif

Частные производные первого порядка от функции двух и боле переменных также

представляют собой функции нескольких переменных и их также можно

продифференцировать. Для функции двух переменных u=f(x, y) возможны четыре вида

частных производных второго порядка, которые находят по формулам:

hello_html_5b08209f.gif


Образец решения задач

Задание 1 Найти производную сложной функцииhello_html_m506175a.gif

Решение: Здесь функция hello_html_m506175a.gif- сложная. Пусть hello_html_m53709c56.gifсогласно

формуле нахождения производной сложной функции имеем:

hello_html_m2499c04a.gif

По таблице производных найдём производную каждой функции

hello_html_3a487267.gifhello_html_m7d1ba0d9.gif

Подставим исходные значения

hello_html_473bd317.gif

Примечание: разумеется, нет необходимости в таких подробных записях. Обычно результат

следует писать сразу. Представляя последовательно в уме промежуточные аргументы

Задание 2 Найти дифференциал второго порядка для функции hello_html_651f3cb2.gif

Решение: по формулеhello_html_1fe86b6f.gif. Используя формулы производной произведения найдём

сначала hello_html_m4caa34e8.gif:

hello_html_3f07e762.gifhello_html_4b071583.gifhello_html_4a70c2b3.gif

Дифференцируем второй раз, дважды используя формулы производной произведения:

hello_html_1fe86b6f.gifhello_html_m33ad3147.gifhello_html_652d6e16.gif

hello_html_m27de2041.gif


hello_html_m74710a2f.gif

hello_html_219adf97.gif

Задание 3 Найти частные производные первого порядка и полный дифференциал функции hello_html_68a2859e.gif

Решение: Находим частную производнуюhello_html_ma592095.gif, считая hello_html_m5cfeb42d.gif, учитывая что функция

u сложная

hello_html_m198b540a.gifhello_html_62f52f67.gif

Находим частную производнуюhello_html_m5e6fdf72.gif, считая hello_html_1d40f3e2.gif, получим:

hello_html_757d30ae.gifhello_html_m7559a0c0.gifhello_html_9f56b72.gif

Полный дифференциал найдем по формуле hello_html_1c7ff920.gif:

hello_html_m3a4fad8f.gifhello_html_32128705.gifhello_html_m28e6d3c9.gif,

hello_html_m3a4fad8f.gifhello_html_m6b14202d.gif

Задание 4 Для функции hello_html_m2f3a4962.gif найти частные производные второго

порядка.

Решение: Сначала находим частные производные первого порядка:

hello_html_3a50d026.gifhello_html_m38c968e1.gif

hello_html_m5bf86233.gifhello_html_m22504f6a.gifhello_html_m4f5f266.gif

Находим частные производные второго порядка:

hello_html_28e986e7.gifhello_html_m375c0130.gif

hello_html_m2a3eb814.gifhello_html_m76ceed55.gifhello_html_m33998935.gif

hello_html_m423269a0.gifhello_html_m16453013.gifhello_html_4a9f4498.gif

hello_html_m38b9788d.gifhello_html_6e1454e2.gifhello_html_4fe9432e.gif

Задание 5 Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение hello_html_65643852.gif

Решение: приближенные вычисления с помощью дифференциала основаны на приближенной

замене приращения функции hello_html_m1b7d27cc.gif в данной точке на ее дифференциал dy:hello_html_55fab405.gif

hello_html_m7ec28180.gif, а hello_html_m587f3abc.gif


По условию задачи hello_html_m5a66005a.gifhello_html_m2fd82a5f.gif

Поэтому hello_html_mb6e46f5.gif

hello_html_305de05c.gif

Пусть hello_html_6402a7fe.gif

Тогда hello_html_5c17bf11.gif

hello_html_11fd6161.gif

hello_html_m339e7116.gif

hello_html_m3ea58ae6.gif

Подставим найденные значения в формулу для нахождения приближённых вычислений:

hello_html_23c68501.gif

hello_html_3597d893.gif

Проверим по калькулятору hello_html_m5bc2cd26.gif

Задание 6 Точка движется прямолинейно согласно уравнению S = 17t – 2t2 м. Построить графики расстояний, скорости и ускорения для первых пяти секунд движения.

Решение: Определим закон изменения скорости движения точки

hello_html_m272703ed.gifhello_html_m7844ff5c.gif

υ = (17t-2t2)' = 17-4t, м/с

Определим ускорение точки

hello_html_26446c6a.gif

аt = (17 – 4t)' = -4 м/с2

Поскольку ускорение постоянное, т.е. at = const, следовательно движение точки является равнопеременным (равнозамедленным).

Составим свободную таблицу значений S, υ, at, для первых пяти секунд движения

t, с

0

1

2

3

4

5

S=17t - 2t2, м

0

15

26

33

36

35

υ=17 - 4t, м/с

17

13

9

5

1

-3

аt=-4 м/с2

от времени не зависит


Построим графики S ( рисунок 4), υ( рисунок 5), at( рисунок 6), выбрав масштаб





Рисунок 4

0

1

2

3

4

5

t

5

10

15

20

25

300

35

S

S=17t-2t2














0

1

2

3

4

5

t

5

10

15

20

υ, м/с

-5

υ=17-4t

Рисунок 5












Рисунок 6

1

2

3

4

5

t

-5

аt, м/c2

а= -4









Если условно принять ускорение свободного падения g ≈ 10 м/с2 и пренебречь сопротивлением воздуха, то можно сказать, что графики описывают движение материальной точки (камня, например), брошенного вертикально вверх со скоростью υ0 = 17 м/с.


Задания для самостоятельного решения

  1. Найти производную сложной функции hello_html_5e3261ef.gif

  2. Найти дифференциал второго порядка для функцииhello_html_m5bc198f0.gif

  3. Найти частные производные и полный дифференциал функции hello_html_120af586.gif

  4. Для функции hello_html_3ef6a78d.gifнайти частные производные второго порядка

  5. Вычислить приближенно с помощью дифференциалаhello_html_623b31a5.gif

  6. Точка движется прямолинейно согласно уравнению S= 16t-5t2м. Построить графики расстояний, скорости и ускорения для первых пяти секунд движения


Контрольные вопросы

  1. Определение производной

  2. Механический и геометрический смысл производной

  3. Правила и формулы дифференцирования

  4. Производная сложной функции

  5. Дифференциал функции

  6. Производные и дифференциалы высших порядков

  7. Приложения производной и дифференциала

  8. Частные производные и дифференциалы различных порядков


Литература

  1. Омельченко В.П. Математика: учеб. пособие В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова – 2-е изд., перераб. и доп.- Ростов на/Д: Феникс, 2007.- 380с.- (Среднее профессиональное образование)

  2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учеб. пособие для средних проф. учеб. заведений / Н.В. Богомолов. -10-е изд., перераб.- М.: Высш. шк., 2008.-495с

  3. Данко П.Е Высшая математика в упражнениях и задачах. В.2ч. Ч. 1. Учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 6-е изд.- М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2008.-304с., ил.

  4. Шипачёв В.С. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие.- М.: Высш. шк. 2005.- 192с.: ил.


Практическое занятие №3

«Исследование функции с помощью производной»


Цель занятия:

освоение знаний схемы исследования функции с помощью производной, умений исследовать

функции с помощью производной и строить графики заданных функций

При выполнении задания студент должен:

знать:

  • основные свойства функции

  • алгоритм исследования функции с помощью производной

  • что называется областью определения функции;

  • какая функция называется возрастающей (убывающей);

  • необходимое условие экстремума функции;

  • определение точки перегиба;

  • определение интервалов выпуклости графика функции;

  • определение асимптот графика функции

уметь:

  • находить область определения и нули функции

  • находить точки пересечения графика функции с осями координат;

  • находить точки экстремума и промежутки монотонности с помощью первой производной

  • находить точки точек перегиба и направление выпуклости графика функции с помощью второй производной;

  • находить асимптоты графика функции

  • строить график функции


Краткие теоретические сведения


Область определения функции

Область определения функции D(y) определяют следующим образом: если функция y= f(x) задана в виде многочлена, то hello_html_m3b0cae1d.gif, если дробно-рациональная функция f(x) = hello_html_m1df20605.gif, то из условия чтоhello_html_m17fa00d3.gif; если иррациональная f(x) = hello_html_m475f96fa.gif, то т.к.

hello_html_m29bf89f1.gif; если логарифмическая f(x) = hello_html_m4bd41793.gif, то т.к. hello_html_m56d6d0f2.gif




Чётность, нечётность

Функция является чётной, если f(-x) = f(x). График чётной функции симметричен относительно оси Oy. Функция является нечётной, если f(-x) = - f(x). График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Точки пересечения с осями координат

Для того, чтобы найти точку пересечения с осью ординат необходимо в функцию y = f(x) подставить ноль вместо х и найти соответствующее значение y. Для того, чтобы найти точки пересечения с осью абсцисс нужно в функцию y = f(x) подставить ноль вместо y , т.е. решить уравнение f(x)=0 и найти соответствующие значения хn. Решения удобно записать в таблице 4

Таблица 4

Ox

Oy

y=0

x=0

(x1;0), (x2;0),…

(y;0)

Асимптоты

Асимптота - прямая, к которой график по направлению приближается,

но не пересекает её. Асимптоты бывают вертикальные, горизонтальные и наклонные. Виды

асимптот и формулы для их нахождения представлены в таблице (5)

Таблица 5

Вертикальные

Горизонтальные

Наклонные












x = const

y = const

y = kx + b

из D(y)

hello_html_433d8e12.gif

hello_html_m18e2a8ee.gif

hello_html_2efdad2a.gif

Для нахождения горизонтальных и наклонных асимптот необходимо вычислять пределы

функций, используя теоретические положения практического занятия №1. Кроме того можно

использовать правило Лопиталя.



Правило Лопиталя. Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в

некоторой окрестности точки х0 за исключением быть может самой точки х0. Кроме того, пусть

hello_html_809cd8e.gif, причем hello_html_67a60043.gif в указанной окрестности точки х0. Тогда если

существует предел отношения hello_html_5656111e.gif (конечный или бесконечный), то существует и предел

hello_html_m4d53c98d.gifпричем справедлива формула:hello_html_1f04cac.gif

Эта теорема верна и если hello_html_34baaa26.gif. Правило Лопиталя можно применять повторно, если hello_html_4c82d300.gif и

hello_html_m2f247e56.gifудовлетворяют тем же требованиям, что и исходные функции f(x) и g(x).

Промежутки монотонности и точки экстремума функции  

Производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной. Т.о. если  производная функции положительна  на промежутке (a,b), то функция  возрастает на этом промежутке; если  производная функции отрицательна  на промежутке (a,b), то функция  убывает на этом промежутке. Кроме того если функция  f(x) дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Обратное неверно:  непрерывная функция может не иметь производной. Если функция разрывна в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.

Критические точки 1-го рода - точки, в которых первая производная равна 0  или не

существует. Они делят область определения функции на интервалы, внутри которых

производная сохраняет знак. Используя эти интервалы, находят интервалы монотонности

функций и определяют экстремумы (т.е. точки максимума и минимума).

Алгоритм нахождения промежутков монотонности и точек экстремума:

а) найти производную hello_html_4959dbf2.gif

б) приравнять производную нулю: hello_html_m4003108f.gif. Выяснить, при каких условиях производная не

существует: hello_html_30771bfd.gif (с учётом D(y))

в) решив пункт (б) найти hello_html_m78bbe5df.gif…- критические точки первого рода

г) на координатном луче отметить эти точки, используя метод интервалов определить знаки

промежутков.

д) используя свойства производной отметить на луче промежутки возрастания и убывания,

точки максимума, минимума, разрыва и перегиба.

Наглядно координатный луч изображён на рисунке (7)





Рисунок 7

- разрыв + max - перегиб - min +

х1 х2 х3 х4

е) вычислить соответствующие значения функции в критических точках:hello_html_117de826.gif

hello_html_19268b11.gif; hello_html_68c96e6a.gif

Промежутки выпуклости и точки перегиба функции

Функция  f(x) называется  выпуклой  на интервале (a,b), если её график на этом интервале лежит  ниже  касательной, проведенной к кривой  y = f(x) в любой точке (x0f(x0)),  где x0 http://www.bymath.net/studyguide/belong.gif(a,b). Функция  f(x) называется  вогнутой на интервале (a,b), если её график на этом интервале лежит  выше  касательной, проведенной к кривой  y = f(x) в любой точке (x0f(x0)) Пусть функция f(x) дважды дифференцируема ( имеет вторую производную ) на интервале (a,b), тогда: если  вторая производная положительна, т.е. f ''(x)>0 для любого xhttp://www.bymath.net/studyguide/belong.gif(a,b), то функция  f(x) является вогнутой на интервале (a,b); если  f ''(x)<0 , то функция 

является выпуклой на этом интервале.

Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот,называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба  x0  существует вторая производная  f ''(x0), то  f ''(x0)=0.

Критические точки 2-го рода - точки, в которых вторая производная равна 0  или не

существует. Они делят область определения функции на интервалы, внутри которых вторая

производная сохраняет знак. Используя эти интервалы, находят интервалы выпуклости

функций и определяют точки перегиба (не все точки перегиба выявляются с помощью первой

производной).

Алгоритм нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба:

а) найти вторую производную hello_html_4cb344ea.gif

б) приравнять производную нулю: hello_html_m1e2c2fe1.gif. Выяснить, при каких условиях производная не

существует: hello_html_md8cd0.gif (с учётом D(y))

в) решив пункт (б) найти hello_html_m78bbe5df.gif…- критические точки второго рода

г) на координатном луче отметить эти точки, используя метод интервалов определить знаки

промежутков.

д) используя свойства второй производной отметить на луче промежутки выпуклости и

вогнутости, точки перегиба и разрыва.

Наглядно координатный луч изображён на рисунке (8).


Рисунок 8

hello_html_m5f653f32.gifhello_html_m56428c3.gifhello_html_73069449.gifhello_html_3ea28480.gifhello_html_m966d8a3.gif- разрыв - перегиб + + перегиб -

х1 х2 х3 х4


е) вычислить соответствующие значения функции в критических точках: hello_html_m3a69e930.gif;

hello_html_6b30188c.gif

Построение графика

Строить график функции целесообразно в следующем порядке:

а) определить на координатной плоскости область определения функции, отметив

промежутки либо точки разрыва

б) отметить точки пересечения с осями координат из таблицы (4)

в) построить асимптоты, используя формулы таблицы (5)

г) отметить точки максимума, минимума и перегиба

д) с помощью отмеченных точек и рисунков (7), (8) сделать эскиз графика и

определить, какие дополнительные точки и сколько необходимо взять для более

точного построения графика, учитывая при этом чётность - нечетность функции

е) вычислить значения функции для дополнительных точек, отметить эти точки на

плоскости

ж) построить график функции


Образец решения задач

Провести полное исследование функции и построить ее график

Задание 1 hello_html_7e1085d6.gif

Решение: Проведем исследование функции по общей схеме.

  1. Область определения функции:

D(y) = hello_html_m29c51a64.gif, т.к. знаменатель x -1hello_html_2acd939f.gif, т.е. xhello_html_m40d1c1e9.gif

  1. Чётность – нечётность:

hello_html_m27de55c6.gif, следовательно функция ни чётная, ни нечётная





3) Нули функции – точки пересечения с осями координат:

Ox

Oy

y = 0

x = 0

hello_html_m66f34100.gif

hello_html_58987acd.gif

hello_html_m7220ede6.gif

hello_html_m3332bf26.gif

hello_html_1eb13bb1.gif

hello_html_632de270.gif


нет пересечений

с осью Ох

(0;-1)

4) Асимптоты:

а) x = const из D(y), следовательно вертикальная асимптота: x = 1

б) hello_html_4a47c952.gif, следовательно

горизонтальных асимптот нет

в) y = kx + b

hello_html_2c1b72de.gif

b = hello_html_4b5ba184.gif, следовательно

наклонная асимптота: y = x + 1

5) Промежутки монотонности и точки экстремума:

hello_html_5bee973f.gif

Решим числитель по дискриминанту:

hello_html_4e747385.gif

Получим: hello_html_m569a6fc5.gif , т.е. hello_html_m23e7005c.gif - критические точки

первого рода.

+ max - * - min +

hello_html_1414f135.gif hello_html_50425732.gif hello_html_2e011590.gif


hello_html_m2875cfb1.gif

max =hello_html_5996a512.gif; min = hello_html_m6d005a50.gif

  1. Промежутки выпуклости и точки перегиба:

hello_html_m2c0be955.gif

hello_html_m52628532.gif

Сократим дробь на (х-1), получим hello_html_4ba15c19.gif, т.е. hello_html_4a050859.gif - критическая точка второго рода.

hello_html_m22053589.gifhello_html_m966d8a3.gif- +

1


y

7) Построение графика функции:




4,8





-1

x

-0,4

1

2,4


-0,8

-1






Задание 2 hello_html_1c330a5.gif

Решение:

1)hello_html_7dafcc57.gif



2) hello_html_cb972d4.gif

Функция не является ни чётной, ни нечётной, следовательно, симметрии нет.


3)

Оx

Оy

у=0

х=0

hello_html_2209711.gif

Сгруппируем:

hello_html_2c5f1b30.gif

hello_html_29ccca61.gif

hello_html_5b137c51.gif

hello_html_18036259.gif

hello_html_m431717c1.gif

hello_html_m5a89d3fc.gif

hello_html_m7844ff5c.gifhello_html_m64e1b9d6.gif

hello_html_632de270.gif


(1;0)

(0;-1)

4) Асимптот нет, так как нет точек разрыва функции

5)

hello_html_m6dab4aea.gif

hello_html_m4003108f.gif

hello_html_m428fd676.gif/:3

hello_html_m59edd3c5.gif

+


hello_html_26191f1b.gif. Экстремумов нет

6)

hello_html_m26c784ee.gif

hello_html_m22053589.gifhello_html_m966d8a3.gif- 1 +

hello_html_m3d96a99.gif, hello_html_m589f304c.gif, hello_html_m798cc7cc.gif, т.е. (1;0) - точка перегиба.


7)

hello_html_m157d50a7.png

Задания для самостоятельного решения

Провести полное исследование функции и построить ее график

  1. hello_html_m3af8bfe3.gif

  2. hello_html_m3e40334.gif

  3. hello_html_7af47988.gif

Контрольные вопросы

  1. Основные свойства функции

  2. Область определения функции

  3. Нули функции, промежутки знакопостоянства

  4. Признаки монотонности и экстремума функции

  5. Определение направления выпуклости и точек перегиба графика функции

  6. Асимптоты графика функции

  7. Схема исследование функции с помощью производной

Литература

  1. Омельченко В.П. Математика: учеб. пособие В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова – 2-е изд., перераб. и доп.- Ростов на/Д: Феникс, 2007.- 380с.- (Среднее профессиональное образование)

  2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учеб. пособие для средних проф. учеб. заведений / Н.В. Богомолов. -10-е изд., перераб.- М.: Высш. шк., 2008.-495с

  3. Данко П.Е Высшая математика в упражнениях и задачах. В.2ч. Ч. 1. Учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 6-е изд.- М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2008.-304с., ил.

  4. Шипачёв В.С. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие.- М.: Высш. шк. 2005.- 192с.: ил.


Практическое занятие №4

«Вычисление интегралов»


Цель занятия:

освоение знаний формул и методов интегрирования функций, умений вычислять

неопределённые и определённые интегралы методом непосредственного интегрирования,

интегрирования подстановкой и методом интегрирования по частям

При выполнении задания студент должен:

знать:

  • основные методы интегрирования;

  • таблицу простейших интегралов;

  • формулу Ньютона-Лейбница;

  • свойства определенного и неопределенного интегралов.

уметь:

  • определять методы интегрирования;

  • находить неопределённые интегралы

  • вычислять определённые интегралы.


Краткие теоретические сведения


Понятие первообразной и неопределённого интеграла

Первообразная – это такая функция F(x) для функции y= f(x), что имеет место равенство: hello_html_423753fe.gif. Понятие первообразной возникает из задачи математического анализа, в которой по данной функции f(x) необходимо найти такую функцию F(x), производная которой равна функции f(x). Две первообразные одной функции отличаются друг от друга на постоянную величину. Другими словами, если F(x) – первообразная для функции f(x), то и функция F(x)+C, где C – произвольное постоянное число, также первообразная для функции f(x), потому что hello_html_14384645.gif

Неопределенный интеграл функции y= f(x) – это совокупность всех первообразных функций F(x)+C для функции f(x). Неопределенный интеграл обозначается символом

hello_html_m772aaabe.gifгдеhello_html_70d87843.gif– знак интеграла; f(x) – подынтегральное выражение;

х – переменная интегрирования; С – постоянная интегрирования, способная принимать любое

значение. Интегрирование – это отыскание первообразной функции по ее производной,

действие обратное дифференцированию.


Основные свойства неопределенного интеграла

  • Неопределённый интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс

произвольная постоянная:hello_html_m11f7aa44.gif

  • Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению

hello_html_5ed2f261.gif

  • Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции: hello_html_51a18298.gif

  • Неопределённый интеграл алгебраической суммы функций равен сумме интегралов этих

функций: hello_html_m67292f05.gif

  • Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак интеграла: hello_html_2cfd55f2.gif

Методы интегрирования

Метод непосредственного интегрирования. Метод непосредственного интегрирования

заключается либо в прямом использовании таблиц интегралов, либо сначала применяются

основные свойства неопределенного интеграла, а также производятся элементарные

тождественные преобразования, а затем данный интеграл приводится к одному или нескольким

табличным интегралам (таблица 7 )

1

hello_html_m75666361.gif

9

hello_html_m4b4b8668.gif

17

hello_html_m4ed3e7d3.gif

2

hello_html_m38c90c57.gif

10

hello_html_m30e5e44.gif

18

hello_html_m2aaf406e.gif

3

hello_html_m6ca9d60e.gif

11

hello_html_4c2f9c64.gif

19

hello_html_m32673db3.gif

4

hello_html_m4271d2a4.gif

12

hello_html_81aeabb.gif

20

hello_html_m6c2f77a1.gif

5

hello_html_m2aab5648.gif

13

hello_html_m4eaa204c.gif

21

hello_html_m3e5207fa.gif

6

hello_html_m49c28084.gif

14

hello_html_39cc496a.gif

22

hello_html_4b99c3b3.gif

7

hello_html_3f4988d.gif

15

hello_html_2abb8300.gif



8

hello_html_7fd4903e.gif

16

hello_html_5b008553.gif




Метод интегрирования подстановкой. Метод подстановки заключается в том, что интеграл вида hello_html_6f57c36c.gif приводится к интегралу видаhello_html_66e1afab.gif, который в свою очередь


решается непосредственным интегрированием. Для этого в функции hello_html_e6a9ce5.gif некоторое выражение, содержащее переменную х заменяют на t, т.е. hello_html_m57611572.gif, затем находят hello_html_53e2c56b.gif

Метод интегрирования по частям. Пусть функции u=u(x) и v=v(x) определены и непрерывно дифференцируемы. Так как производная произведения двух функций вычисляется по формуле: hello_html_m3a9b7364.gif, то интегрируя обе части этого равенства hello_html_672e2741.gif получим формулу: hello_html_21f0e265.gif

Самое трудное в интегрирование по частям – это выбрать сомножитель dv в подынтегральном выражении: интеграл в правой части формулы hello_html_m503ae283.gif должен быть проще исходного. Чаще всего формула (4.1) применяется к интегралам вида: hello_html_m7f8d15cc.gif, где Р(х) – многочлен,hello_html_m2f3c3d54.gif, в эти интегралах u=P(x); hello_html_4fe5258b.gif или к интегралам вида hello_html_5b7fa69.gifгде R(x) – рациональная функция, здесь hello_html_m333eaf9a.gif.

Определённый интеграл

Определенный интеграл – это общий предел всех интегральных сумм функции f(x) на

отрезке [a,b]. Определенный интеграл обозначается hello_html_14e90067.gif гдеhello_html_m58501b1e.gif – произвольная точка существующего отрезка.

Если F(x) – первообразная для непрерывной функции hello_html_m3c6bec3e.gif, то имеет место формула формула Ньютона-Лейбница – основная формула интегрального исчисления, устанавливающая связь между определенным и неопределённым интегралом:

hello_html_m78ca6dce.gif

Правило вычисления определённого интеграла: для того, чтобы вычислить определённый интеграл необходимо сначала найти соответствующий неопределённый интеграл, а затем в полученное выражение подставить вместо х сначала верхний предел интегрирования, а затем нижний, и из первого результата вычесть второй.
Основные свойства определенного интеграла

  • Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю: hello_html_m766297ca.gif

  • При перестановке пределов интегрирования изменяется знак интеграла: hello_html_70cea80e.gif



  • Отрезок интегрирования можно разбивать на части: hello_html_m69a79742.gif, где hello_html_m5e7620d5.gif

  • Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их интегралов: hello_html_m79b23870.gif

  • Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: hello_html_229fd935.gif


Образец решения задач

Вычислить определённые и неопределённые интегралы, используя подходяшие методы интегрирования

Задание 1 hello_html_m34ff760f.gif

Решение: используя свойства интегралов (интеграл суммы равен сумме интегралов,

постоянный множитель выносится за знак интеграла) данный интеграл представим в виде

hello_html_m433df149.gifhello_html_m66ac0d05.gifhello_html_7f7a1ff5.gifhello_html_5a426c95.gifhello_html_m49490424.gif

далее используем свойства дифференциала для первого и второго слагаемого и таблицу

интегралов

hello_html_m66ac0d05.gifhello_html_65039866.gif

hello_html_7f7a1ff5.gifhello_html_4d86ae60.gif

тогда hello_html_m433df149.gifhello_html_711f3a3f.gifhello_html_m7e3b6b19.gif

Задание 2 hello_html_m4071853d.gif

Решение: Используя метод интегрирования подстановкой, сделаем замену hello_html_96f194.gif, тогда

hello_html_m10c10ff6.gif, откуда hello_html_6a7a42d.gif. Подставим найденные значения в исходный

интеграл, получим hello_html_116d61c9.gif, вынесем постоянный множитель за скобки и найдём табличный

интеграл hello_html_51a5e891.gif, вернёмся к замене hello_html_m70fd546.gif


Задание 3 hello_html_4efa8422.gif

Решение: используем метод интегрирования подстановкой

hello_html_m6e160097.gif

Задание 4 hello_html_71c0a4ba.gif

Решение: используем метод интегрирования подстановкой

hello_html_m3161a13a.gif

Задание 5 hello_html_m6b36daea.gif

Решение: используем метод интегрирования по частям

Пусть hello_html_m15b148d7.gif. Найдём значения hello_html_632f0702.gif:

hello_html_m3ca215d2.gif; hello_html_m7a7b1c85.gif

Решим последний интеграл методом подстановки:

hello_html_m7d138916.gifhello_html_10fa4238.gif.

Подставим найденные значения в формулу интегрирования по частям, получим

hello_html_m3f459d6b.gif, далее

hello_html_6a0b92e2.gif

Задание 6 hello_html_3103eeab.gif

Решение: здесь используется метод интегрирования по частям два раза:

hello_html_m4ae06d66.gif

hello_html_m50b3e5dc.gif=



=hello_html_4000d8f0.gif=

hello_html_m1b0b64b1.gif

Задание 7 hello_html_m549da4d5.gif

Решение: имеем определённый интеграл, используем метод подстановки и формулу Ньютона-

Лейбница:

hello_html_m68afbc81.gif

Задание 8 hello_html_m7509d5a7.gif .

Решение: найдём определённый интеграл, используем метод подстановки и формулу

Ньютона-Лейбница:

hello_html_6df207b6.gif.


Задания для самостоятельного решения

Вычислить определённые и неопределённые интегралы, используя подходяшие методы интегрирования

  1. hello_html_m34ff760f.gif

  2. hello_html_m4ea7bc50.gif

  3. hello_html_299e837e.gif

  4. hello_html_m604dae2d.gif


  1. hello_html_7123bbda.gif

  2. hello_html_4400f8a9.gif

  3. hello_html_75e644cb.gif

  4. hello_html_65e3179f.gif

Контрольные вопросы

  1. Первообразная и неопределённый интеграл.

  2. Свойства неопределённого интеграла.

  3. Таблица интегралов

  4. Основные методы интегрирования: непосредственно, подстановкой и по частям

  5. Определение и свойства определённого интеграла.

  6. Формула Ньютона-Лейбница


Литература

  1. Омельченко В.П. Математика: учеб. пособие В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова – 2-е изд., перераб. и доп.- Ростов на/Д: Феникс, 2007.- 380с.- (Среднее профессиональное образование)

  2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учеб. пособие для средних проф. учеб. заведений / Н.В. Богомолов. -10-е изд., перераб.- М.: Высш. шк., 2008.-495с

  3. Данко П.Е Высшая математика в упражнениях и задачах. В.2ч. Ч. 1. Учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 6-е изд.- М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2008.-304с., ил.

  4. Шипачёв В.С. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие.- М.: Высш. шк. 2005.- 192с.: ил.













Практическое занятие №5

«Решение прикладных задач с помощью определённого интеграла»

Цель занятия:

освоение знаний алгоритма решения задач на нахождение площади фигур с помощью

интегралов, формул для нахождения физических и геометрических величин с помощью

интегралов, умений находить площади плоских фигур и объёмы тел вращения с помощью

интегралов, решать простейшие задачи на физические приложения интегралов

При выполнении задания студент должен:

знать:

  • свойства определенного и неопределенного интегралов.

  • геометрический смысл определённого интеграла;

  • формулы для вычисления площадей плоских фигур и объёмов тел вращения;

уметь:

  • вычислять площади плоских фигур и объёмы тел вращения


Краткие теоретические сведения

Геометрический смысл определенного интеграла.

Определённый интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функцииhello_html_m5900f019.gif, осью Ох и прямыми х=а; х=b, гдеhello_html_42245c64.gif на отрезкеhello_html_m519dd0da.gif (рисунок 9). Получаем формулу: hello_html_m48afa127.gif

Рисунок 9

y y=f(x)





a b x


Алгоритм решения задач на нахождение площади плоской фигуры

Для нахождения площади плоской фигуры, ограниченной графиками некоторых функций, необходимо:

а) построить графики заданных функций, ограничивающих площадь плоской фигуры

б) найти пределы интегрирования по чертежу (при необходимости решить уравнение hello_html_m6589d2ae.gif)


в) вычислить площадь заданной фигуры по формуле

г) проверить результат вычислений по чертежу.

Объем тела вращения

Рис. 19

Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой hello_html_6c2dfc0a.gif и прямыми hello_html_m4491241c.gif, вращается вокруг оси hello_html_m66f7729e.gif, то объём тела вращения вычисляется по формуле:hello_html_1f50f5e4.gifhello_html_5378216b.png






Если фигура, ограниченная кривыми hello_html_74d99898.gif и hello_html_m4fd98548.gif, причём hello_html_m4b60aa54.gif и прямыми hello_html_5566e04.gif,вращается вокруг оси hello_html_m66f7729e.gif, то объём тела вращения вычисляется по формуле: hello_html_7546d99f.gif.

Вычисление пути, пройденного точкой

Если точка движется прямолинейно и ее скорость v=f(t) есть известная функция времени t, то путь, пройденный точкой за промежуток времени hello_html_7534d9e9.gif вычисляется по формуле: hello_html_565504fd.gif

Вычисление работы силы

Пусть тело перемещается по оси Оx от точки А (x=a) до точки В (х=b) под действием переменной силы F, являющейся функцией от х (F=f(х)) и направленной вдоль оси Оx. Работа, произведённая переменной силой f(х) при перемещении по оси Оx материальной точки от х = а до х = b, находится по формуле: hello_html_689e4cc9.gif

При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон Гука:hello_html_m56646f28.gif

где F – сила, H; х – абсолютное удлинение (сжатие) пружины, вызванное силой F,м; k – коэффициент пропорциональности, Н/м.

Сила давления жидкости

Из физики известно (закон Паскаля), что давление покоящейся жидкости на единицу площади ограничивающей ее поверхности сосуда направлено перпендикулярно к этой поверхности; величина этого давления не зависит ни от направления поверхности,


испытывающей давление, ни от формы остальной части сосуда, но меняется с глубиной погружения; давление на горизонтальную площадку равно весу вертикального столба жидкости, имеющего основанием эту площадку, а высотой – ее глубину под уровнем жидкости. Таким образом, вычисление давления жидкости на горизонтальную поверхность выполняется элементарно. Но для негоризонтальной поверхности элементарных средств недостаточно, ибо глубина площадки не остается постоянной. С помощью интегрального исчисления можно вычислить давление жидкости на вертикальную стенку любой формы. Сила давления Р жидкости плотности hello_html_13aa8817.gif на вертикальную пластинку, погруженную в жидкость, вычисляется по формуле: hello_html_4718d154.gif

где g = 9,81 м/с2 – ускорение свободного падения, S – площадь пластинки, а глубина погружения пластинки изменяется от a до b.


Образец решения задач

Задание 1 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:hello_html_m71a1ffc5.gif, hello_html_m6271b5f.gif

Решение: воспользуемся алгоритмом решения задач на нахождение площади плоской фигуры:

а) построим графики заданных функций.

hello_html_245f0525.gifкубическая парабола, полученная из hello_html_m39e47e8b.gif (см. таблицу 7) смещением на 2

единицы вниз, hello_html_m6d609702.gif - квадратичная парабола, для построения которой приведём ей

к стандартному виду

hello_html_2a9f0fb9.gifhello_html_68893fdd.gifhello_html_7304954b.gif, т.о. получим

параболу со смещением на 2 единицы вправо, на 6 вверх, ветви которой направлены вниз,

полученную из стандартной параболы hello_html_m3514bf86.gif (см. таблицу 8)

hello_html_m34f7ea82.gif

Таблица 7

x

-2

-1

0

1

2

y

-8

-1

0

1

8

Таблица 8

x

-2

-1

0

1

2

y

4

1

0

1

4







Графики заданных функций изображены на рисунке 11





Рисунок 11







-2




б) найдём пределы интегрирования по чертежу: а = -1, в = 2

в) для того, чтобы найти площадь заданной фигуры, необходимо из площади фигуры,

ограниченной графиком верхней функции вычесть площадь фигуры,

ограниченной нижней функцией: hello_html_m5b47812b.gif, т.е.

hello_html_m7711800a.gif= hello_html_m7ad78269.gif

hello_html_3adb61f9.gifhello_html_2945c9d8.gifhello_html_6edf0095.gif

= hello_html_m32b679be.gif

г) проверим результат вычислений по чертежу, получим ответ: 11,25 кв.ед.

Задание 2. Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями: у = sinх, х = 0, hello_html_m275ba6b2.gif, у = 0.

Решение: выполним чертеж

hello_html_m7b6027b7.pngрисунок



Объем тела вращения вычисляется по формуле: hello_html_m72745239.gif

В нашем случае a = 0, hello_html_m778c95d5.gif, у(х) = sinх

По формуле вычисляем:

hello_html_5118dba8.gif

hello_html_mfdb7f24.gif(куб.ед.)

Задание 3 Производительность труда рабочего в течение дня задается функцией z(t) = - 0,00625t² + 0,05t + 0,5 (ден. ед/ч), где t – время в часах от начала работы, 0 ≤ t ≤ 8. Найти функцию u = u(t), выражающую объем продукции (в стоимостном выражении) и его величину за рабочий день.

Решение: Функцию объема продукции найдем как первообразную функции производительности труда: hello_html_1c0c4329.gif

hello_html_m5143284c.gif

Значение объема продукции вычислим с помощью определенного интеграла функции производительности труда: hello_html_m2c47fcd2.gif

hello_html_m40809169.gif.

Итак, объем произведенной за рабочий день продукции составил 4,53 ден. ед.

Задание 4 Стоимость перевозки одной тонны груза на один километр (тариф перевозки) задается функцией: hello_html_m5c364f5d.gifОпределите расходы на перевозку одной тонны груза на расстояние 20 км.

Решение: Транспортные расходы z вычисляются как определенный интеграл от 0 до s

(s - расстояние) функции f(x), задающей тариф перевозки по dx, где x – переменная пути:

hello_html_m14637816.gif

Вычисляем затраты на перевозку одной тонны груза на расстояние 20 км:

hello_html_329debb9.gif


Итак, транспортные расходы составляют приблизительно 23,98 ден. ед.

Задание 5 Дано уравнение скорости движения телаhello_html_6529793f.gif. Найти уравнение пути,

если тело за первые 3с прошло путь 24м.

Решение: Уравнение пути s(t) находится интегрированием:

hello_html_c334965.gif

Найдем С из дополнительных условий при t=3c, s=24м:

hello_html_5d85afd0.gif,

решив данное линейное уравнение найдём С: С=30. Т.о. уравнение пути имеет вид

hello_html_76bfc12.gif

Задание 6 Сжатие х винтовой пружины пропорционально приложенной силе F. Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 0,04 м, если для сжатия ее на 0,01 м нужна сила 10 Н.

Решение: Работа, произведенная переменной силой hello_html_m329f2d7e.gif при перемещении по оси Ох материальной точки от hello_html_m6acf667f.gif до hello_html_32cb51dd.gif, находится по формуле: hello_html_m7bd8fa9f.gif При решении задач на вычисление работы силы используется закон Гука:hello_html_7c93492b.gif,

где F - сила, H; x - абсолютное удлинение пружины (м), вызванное силой F, а k - коэффициент пропорциональности (Н/м). Так как, hello_html_40623028.gif м при hello_html_m5a59d2b5.gifН получим hello_html_m1aa64e77.gif откуда hello_html_3dc4c928.gif1000 Н/м. Подставив теперь в это же равенство значение k, находим hello_html_m4254cb47.gif, т. е. hello_html_m39eee9f8.gif Искомую работу найдем интегрированием, полагая hello_html_598564ec.gif, hello_html_234b0d6a.gif:

hello_html_m5e202779.gif(Дж)

Задания для самостоятельного решения

1 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: hello_html_m485d447a.gifhello_html_cc56514.gifhello_html_28742279.gif

2 Найти объем тела вращения вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями: hello_html_mbff3b94.gifhello_html_m77592400.gifhello_html_71234898.gif

  1. Производительность труда рабочего в течение дня задается функцией z(t) = - 0,00325t² + 0,01t + 0,8 (ден. ед/ч), где t – время в часах от начала работы, 0 ≤ t ≤ 8. Найти функцию u = u(t), выражающую объем продукции (в стоимостном выражении) и его величину за вторую половину рабочего дня Стоимость перевозки одной тонны груза на один километр (тариф




перевозки) задается функцией hello_html_604b89ed.gifhello_html_52afc369.gif Определите затраты на перевозку одной тонны груза на расстояние S = 40 км

4 Пружина растягивается на 0,02 м под действием силы 60Н. Какую работу производит эта сила, растягивая пружину на 0,12 м?

5 Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью v=(3t2+4t) м/с, второе – со скоростью v=(6t+12)м/с. В какой момент и на каком расстоянии от начальной точки произойдет их встреча?


Контрольные вопросы

  1. Геометрический смысл определенного интеграла.

  2. Алгоритм вычисления площади фигуры с помощью интеграла

  3. Вычисление объёма тела вращения с помощью определённого интеграла.

  4. Физический смысл определённого интеграла.

  5. Приложения интеграла к решению прикладных задач


Литература

  1. Омельченко В.П. Математика: учеб. пособие В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова – 2-е изд., перераб. и доп.- Ростов на/Д: Феникс, 2007.- 380с.- (Среднее профессиональное образование)

  2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учеб. пособие для средних проф. учеб. заведений / Н.В. Богомолов. -10-е изд., перераб.- М.: Высш. шк., 2008.-495с

  3. Данко П.Е Высшая математика в упражнениях и задачах. В.2ч. Ч. 1. Учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 6-е изд.- М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2008.-304с., ил.

  4. Шипачёв В.С. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие.- М.: Высш. шк. 2005.- 192с.: ил.










Практическое занятие №6

«Решение обыкновенных дифференциальных уравнений»


Цель занятия:

освоение знаний алгоритма решения дифференциальных уравнений с разделяющимися

переменными, однородных, линейных дифференциальные уравнения первого порядка,

линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, умений

определять вид и решать обыкновенные дифференциальные уравнения

При выполнении задания студент должен:

знать:

  • определение дифференциального уравнения;

  • определение общего и частного решений дифференциальных уравнений,

  • методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений с разделяющимися

  • переменными, дифференциальных уравнений первого порядка, дифференциальных уравнений

  • второго порядка с постоянными коэффициентами;

уметь:

  • определять вид уравнения;

  • решать обыкновенные дифференциальные уравнения


Краткие теоретические сведения

Основные понятия дифференциального уравнения

Дифференциальное уравнение – равенство, содержащее производные или дифференциалы неизвестной функции. hello_html_m2549df99.gif - общий вид дифференциального уравнения, где x – независимая переменная, y – неизвестная функция, hello_html_4959dbf2.gif - её производная первого порядка и т.д.

Решение дифференциального уравнения – функция, подстановка которой в это

уравнение обращает его тождество.

Общее решение – решение дифференциального уравнения, содержащее столько

произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Частное решение – это решение, получающееся из общего решения при конкретных

определенных значениях произвольных постоянных C. Для нахождения частных решений

задают начальные условия hello_html_m635eca2b.gif.

Порядок дифференциального уравнения – наивысший порядок производных или


дифференциалов, входящих в это уравнение.

Интегральная кривая - график функции y=F(x), построенный на плоскости xOy,

являющийся решением дифференциального уравнения. Общему решению y=F(x,C)

соответствует семейство интегральных кривых, зависящих от постоянной С.

Теорема Коши: Если функция f(x,y) непрерывна и имеет непрерывную производную, то

решение дифференциального уравнения y’=f(x,y) при начальном условии f(x0)=y0 существует и

единственно, т.е. через точку (x00) проходит единственная интегральная кривая данного

уравнения.

Виды дифференциальных уравнений

Различают обыкновенные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения в частных производных. Обыкновенные дифференциальные уравнения - уравнения, в которых одна независимая переменная. Дифференциальные уравнения в частных производных – уравнения, в которых независимых переменных две и более.

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными представлены в таблице 9

Таблица 9

Вид уравнения

Способ решения

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,

если P(x,y) и Q(x,y) разлагаются на множители, зависящие каждый только от одной переменной, т.е.

f(x)g(y)dx+hello_html_m49aa4187.gif(x)q(y)dy=0 (*)

или hello_html_m5e9d91e2.gif

1 разделить переменные в уравнении (*)

hello_html_m567e01f4.gif

2 проинтегрировать

hello_html_1d8b0915.gif

3 привести к стандартному виду

hello_html_6ad4be59.gif


Однородные дифференциальные уравнения первого порядка в таблице 10

Таблица 10

Вид уравнения

Способ решения

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,

где P(x,y), Q(x,y) – однородные функции одного измерения,

т.е. если в функции заменить

x=tx, y=ty и преобразовать

вернемся исходному уравнению

1 замена hello_html_2073b3de.gif,

hello_html_m6fb402a2.gif, выразить через дифференциалы hello_html_66180309.gif, тогда hello_html_m2827b2ee.gif

2 решить полученное уравнение с разделяющимися переменными

3 вернуться к замене, подставить hello_html_m61c9b860.gif

4 привести к стандартному виду hello_html_6ad4be59.gif



Линейные дифференциальные уравнения первого порядка в таблице 11

Таблица 11

Вид уравнения

Способ решения


hello_html_m4cbbf133.gif


1 замена hello_html_m46a27c97.gif, тогда y’=uv+vu

2 hello_html_66fc6f59.gif

сгруппировать первое и третье слагаемые, вынести hello_html_m51976d06.gif за скобки

hello_html_m2d8e5c70.gif(**)

3 в уравнении (**) приравнять скобку к нулю

hello_html_429a2d76.gif

решить полученное уравнение c разделяющимися переменными,

найти u: hello_html_3bae18ef.gif

4 значение u подставить в уравнение (**)

hello_html_m5dca75b9.gif

решить полученное уравнение c разделяющимися переменными,

найти v: hello_html_me6e8bda.gif

5 вернуться к замене

hello_html_m769883c3.gif


Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка

Неполные дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижения

в таблице 12

Таблица 12

Вид уравнения

Способ решения

hello_html_m20f1fd46.gif

дважды проинтегрировать

1 hello_html_2a46379.gif

2 hello_html_44c5d443.gif


Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными

коэффициентами в таблице 13

Таблица 13

Вид уравнения

Способ решения

hello_html_90979f.gif

где p, qзаданные числа


1 составить характеристическое уравнение

hello_html_65e6a861.gif

2 решить его, найти корни hello_html_m1391572.gif и hello_html_7690da9c.gif

3 в зависимости от вида корней, найти общее решение, т.е. если корни

  • действительные и различные hello_html_m65dbb51a.gif, тогда

hello_html_3dc03e4f.gif

  • действительные и равные hello_html_m4fce9fe.gif,

hello_html_20a0475f.gifили hello_html_m71c36a79.gif

  • мнимые hello_html_m147071a3.gif

hello_html_abb82df.gif

  • комплексныеhello_html_m2e30ef92.gif

hello_html_60d25cfa.gif


Образец решения задач

Задание 1 Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

hello_html_4d539f4f.gif

Решение: используем алгоритм решения дифференциального уравнения с разделяющимися

переменными

а) разделим переменные

hello_html_65c8a2a8.gif

hello_html_m5f2c329d.gif- дифференциальное уравнение с разделёнными переменными

б) проинтегрируем

hello_html_m378eca60.gif

Левый интеграл решаем непосредственно: hello_html_6e6e54d.gif, правый методом подстановки:

hello_html_6b8c962a.gif,

Получим hello_html_41868f56.gif

в) т.к. С – произвольная постоянная, для удобства представим её как hello_html_m15800aa9.gif, тогда

уравнение примет вид hello_html_6a469b7c.gif, тогда hello_html_2b5dd0bf.gif; используя

свойства логарифмов hello_html_485df08f.gif; потенцируем последнее равенство hello_html_455401e1.gif,

hello_html_m77a60792.gif,hello_html_m13c2a8cc.gif, и окончательно hello_html_45de6b51.gif - общее решение

Задание 2 Решить однородное дифференциальное уравнение hello_html_m53a859f1.gif

Решение: воспользуемся алгоритмом решения однородного дифференциального уравнения

  1. заменим hello_html_2073b3de.gif, hello_html_m2827b2ee.gif, получим

hello_html_m4a310fd7.gif

  1. решим полученное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменным

hello_html_m293c6fb5.gif



hello_html_58d8a03d.gif

hello_html_m40969280.gif

hello_html_4f437270.gif

hello_html_m272a5714.gif- с разделёнными переменными,

проинтегрируем

hello_html_70c61e81.gif

hello_html_2332b974.gif

hello_html_9556f02.gif

hello_html_m9cfb0f6.gif

в) вернёмся к замене, подставим hello_html_61cda45d.gif

г) hello_html_m6ea3b3a.gif; hello_html_5ca85012.gif - общее решение

Задание 3 Найти общее решение линейного дифференциального уравнения hello_html_m6f091099.gif

Решение: воспользуемся алгоритмом решения линейного дифференциального

уравнения

а) заменим hello_html_m46a27c97.gif, hello_html_m78278ced.gif

hello_html_781b9d92.gifб) сгруппируем первое и третье слагаемое


вынесем за скобки

hello_html_m46c18429.gif(*)

в) в уравнении (*) приравняем скобку к нулю

hello_html_m382ce82d.gif- д.у. c разделяющимися переменными

hello_html_6410881f.gif

hello_html_332e75b7.gif

hello_html_600be161.gif- с разделёнными переменными

hello_html_m567afaad.gif

hello_html_72cda163.gif, потенцируем по основанию e: hello_html_m5d5412a9.gif, получим hello_html_m36be95e3.gif


г) найденное значение u подставим в уравнение (*)

hello_html_4aefcba6.gif- д.у. с разделяющимися переменными

hello_html_161b9702.gif

hello_html_3242ab1d.gif- с разделёнными переменными

hello_html_m291e7ea1.gif

hello_html_m37dbdaed.gif

д) вернёмся к замене

hello_html_79001728.gif- общее решение

Задание 4 Решить дифференциальное уравнение второго порядка понижением: hello_html_40e1b272.gif.

Решение: последовательно интегрируя, находим сначала первую производную:

hello_html_mceb6a2f.gif,

а затем, интегрируя второй раз, и общее решение

hello_html_m7dfdbe90.gif

Задание 5 Решить задачу Коши для ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами:

hello_html_72c07a7e.gif, при hello_html_66a25e69.gif

Решение: для нахождения общего решения используем алгоритм решения ЛОДУ второго

порядка с постоянными коэффициентами:

а) составим характеристическое уравнение

hello_html_426e3d4e.gif

б) решим его с помощью дискриминанта: hello_html_3c81fb7f.gif

hello_html_m4d575969.gif- комплексные корни

в) hello_html_m1e3b83fd.gif- общее решение

Для нахождения частного решения найдем значение первой производной

hello_html_1442330e.gif

hello_html_m5e338bd2.gif

hello_html_m45677bb4.gif

Подставим начальные условия hello_html_m599d4b1a.gif в систему уравнений

hello_html_8216f9c.gif


hello_html_m2f4fd1e2.gif

hello_html_m42d7ad30.gif

hello_html_m4373c6f4.gif

Подставим значения С в общее решение

hello_html_187a929e.gif- частное решение (решение задачи Коши)

Задание 6 Дано ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами: hello_html_56e21ca8.gifНайти общее решение

Решение: составим характеристическое уравнение

hello_html_m34f094a6.gif

D = 0

hello_html_182b0699.gif

hello_html_3080ce8b.gif- действительные равные корни, т.е. общее решение запишется в виде:

hello_html_m4826646c.gif


Задания для самостоятельного решения

1 Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: hello_html_7226d07a.gif

2 Решить однородное дифференциальное уравнение: hello_html_m502c39c4.gif

3 Решить задачу Коши для линейного дифференциального уравнения: hello_html_maeffdd9.gif

4 Решить дифференциальное уравнение второго порядка понижением: hello_html_3f480ea9.gif

5 Дано ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами: hello_html_m66b6c6b6.gif. Найти общее решение

6 Решить задачу Коши для ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами: hello_html_mecee6e6.gif hello_html_75f8a671.gif





Контрольные вопросы

  1. Понятие обыкновенного дифференциального уравнения

  2. Порядок дифференциального уравнения

  3. Общее и частное решение дифференциального уравнения

  4. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

  5. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

  6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

  7. Дифференциальные уравнения второго порядка требующие понижения

  8. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами


Литература

  1. Омельченко В.П. Математика: учеб. пособие В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова – 2-е изд., перераб. и доп.- Ростов на/Д: Феникс, 2007.- 380с.- (Среднее профессиональное образование)

  2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учеб. пособие для средних проф. учеб. заведений / Н.В. Богомолов. -10-е изд., перераб.- М.: Высш. шк., 2008.-495с

  3. Данко П.Е Высшая математика в упражнениях и задачах. В.2ч. Ч. 2. Учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 6-е изд.- М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2008.-416с., ил.















Практическое занятие №7

«Определение сходимости рядов»

Цель занятия:

освоение знаний алгоритма исследования на сходимость числовых, функциональных и

степенных рядов, умений исследовать на сходимость указанные ряды

При выполнении задания студент должен:

знать:

  • определения числовых и функциональных рядов;

  • необходимый и достаточный признаки сходимости рядов, признак Даламбера; признак Коши

  • признаки знакопеременных рядов, признак Лейбница,

  • метод представления функций в степенные ряды с помощью ряда Маклорена;

уметь:

  • определять сходимость числовых и функциональных рядов по признакам сходимости;

  • применять признак Лейбница для знакопеременных рядов;

  • разлагать элементарные функции в ряд Маклорена.


Краткие теоретические сведения

Числовые ряды

Пусть hello_html_50201724.gif - бесконечная последовательность чисел. Выражение

hello_html_m41ca93fc.gifназывается числовым рядом, числа hello_html_m158561b5.gif- членами

ряда, hello_html_2cc1356b.gif - общим членом ряда.

Сумма n первых членов ряда называется частичной суммой этого ряда: hello_html_583e4f71.gif

Ряд hello_html_2886c573.gifназывается сходящимся, если последовательность его частичных сумм имеет

конечный предел: hello_html_m46e6da24.gif. Значение S называется суммой ряда. Если ряд не сходится, то

он называется расходящимся.

Основные свойства рядов

Пусть дан ряд hello_html_2886c573.gif. Ряд hello_html_1542da4e.gifназывается остатком данного ряда. Если сходится ряд hello_html_2886c573.gif, то сходится и n-й остаток этого ряда и наоборот.

Если сходится ряд hello_html_2886c573.gif, то сходится и ряд hello_html_m6a028f02.gif, причем сумма

последнего ряда равна aS.

Если сходятся ряд hello_html_m3e27e741.gifи ряд hello_html_m6ba02810.gif, имеющие

соответственно суммы S и T, то сходится и ряд hello_html_m584d71c1.gif,

причем сумма последнего ряда равна S+T.

Признаки сходимости рядов с положительными членами

Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд hello_html_2886c573.gifсходится, то hello_html_m70b1b0f9.gif. Этот признак сходимости является необходимым, но не является достаточным.

Достаточный признак расходимости: если для ряда hello_html_2886c573.gifпредел hello_html_m6c7e7250.gif, то ряд

расходится.

Первый признак сравнения рядов. Пусть даны два ряда: hello_html_62fe414f.gifи

hello_html_1ea70bca.gif, причем hello_html_m447fb40c.gif Тогда если сходится ряд hello_html_3fab92b1.gif, то будет сходиться и ряд

hello_html_42f8fb18.gif; если расходится ряд hello_html_42f8fb18.gif, то будет расходиться и ряд hello_html_44059c75.gif.

Второй признак сравнения рядов. Пусть даны два ряда: hello_html_62fe414f.gifи

hello_html_1ea70bca.gif. Если существует конечный и отличный от нуля предел hello_html_m5167013c.gif, то оба ряда

hello_html_7c5e5e77.gifи hello_html_7af35073.gif одновременно сходятся или одновременно расходятся.

В качестве рядов сравнения часто выбирают:

а) геометрический ряд hello_html_m796cb48c.gif, который при hello_html_m32fb2f21.gif- сходится (бесконечно убывающая

геометрическая прогрессия) и имеет сумму hello_html_mc20fe.gif при hello_html_6b84b1a8.gif- расходится;

б) гармонический ряд hello_html_6d325306.gif, являющийся расходящимся;

в) обобщенный гармонический ряд hello_html_21d8479d.gif, который при p>1- сходится, при phello_html_7350fd4c.gif1- расходится

Признак Даламбера. Если для ряда (7.1) существует hello_html_7a2c8db1.gif, то при p<1 ряд

сходится, а при p>1 ряд расходится (при p=1 вопрос остается нерешенным).



Признак Коши. Если для ряда (7.1) существует hello_html_2c3fdcc3.gif, то при q < 1 ряд

сходится, а при q > 1 ряд расходится (при q = 1 вопрос остается нерешенным).

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды

Знакопеременным рядом называется ряд, членами которого являются действительные

числа произвольного знака.

Знакопеременный ряд hello_html_m60a9da3.gif сходится, если сходится ряд, составленный из

абсолютных величин его членов: hello_html_m73e49e67.gif. В этом случае исходный ряд hello_html_11679088.gif

называется абсолютно сходящимся. Если же знакопеременный ряд сходится, а составленный

из абсолютных величин его членов ряд расходится, то исходный ряд называют условно сходящимся.

Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если соседние его члены имеют

различные знаки, т.е. hello_html_m1f810eb9.gif где hello_html_m6c49838.gif

Признак сходимости Лейбница. Знакочередующийся ряд сходится, если выполняются

следующие два условия:

- абсолютные величины его членов монотонно убывают: hello_html_434fbddb.gif;

- hello_html_115a8668.gif.

Алгоритм исследования на сходимость знакопеременных рядов:

  • исследовать на сходимость ряд, составленный из модулей членов данного ряда, используя какой-либо признак сходимости;

  • cделать вывод об абсолютной или условной сходимости этого ряда;

  • выяснить, сходится ли данный знакочередующийся ряд, применяя признак Лейбница, для этого: проверить, выполняется ли равенство для абсолютных величин членов ряда; - найти предел общего члена ряда;

  • сделать вывод о сходимости данного исходного ряда.

Функциональные ряды

Выражение hello_html_2420d2ea.gifhello_html_5f7f0561.gifназывается функциональным рядом относительно переменной x.

Степенной ряд – это функциональный ряд видаhello_html_2f035231.gif, где hello_html_m137a9bc0.gif- действительные числа (коэффициенты ряда).

Придавая х различные числовые значения, будем получать различные числовые ряды, которые


могут быть как сходящимися, так и расходящимися. Множество тех значений х, при которых

функциональный ряд сходится, называют областью сходимости ряда. Если значение hello_html_144cedcb.gif

принадлежит области сходимости ряда hello_html_m332f28aa.gif, то говорят о сумме этого функционального

ряда в точке hello_html_5f3b4a47.gif: hello_html_m7b5caa54.gif.

Для любого степенного ряда существует такое неотрицательное число R, что этот ряд сходится абсолютно при hello_html_2e71c066.gif и расходится при hello_html_372a9422.gif. Поведение ряда при hello_html_78b94444.gif подлежит

дальнейшему анализу. Число R называется радиусом сходимости данного степенного ряда.

Область значений переменной x: -R<x<R интервалом сходимости.

Если R = 0, то ряд сходится лишь при x = 0, если же R=hello_html_m21fcceb9.gif, то ряд сходится при любом

действительном x. Радиус сходимости ряда находят по формуле hello_html_m367f2aaa.gif

Ряды Тейлора и Маклорена

Пусть функция f(x) имеет в окрестности точки x = a непрерывные производные до

(n + 1) – ого порядка включительно. Тогда для любого x из этой окрестности имеет место формула Тейлора: hello_html_m49f13284.gif

Если hello_html_m5e079ab8.gif, то ряд сходится и его суммой будет функция f(x).

Представление функции f(x) в виде ряда hello_html_m7a0f0769.gif называется разложением этой функции в ряд Тейлора. В частности, при a = 0 разложение в ряд Тейлора называется разложением в ряд Маклорена:hello_html_561e7348.gif

Алгоритм представления элементарной функции в виде суммы ряда Тейлора (Маклорена)

  • Вычислить последовательные производные данной функции в точке х=х0.

  • Составить ряд Тейлора (Маклорена) для функции

  • Определить промежуток сходимости полученного ряда.


Образец решения задач

Задание 1 Исследовать числовой ряд на сходимость hello_html_52c9448b.gif

Решение: используем необходимый признак сходимости

hello_html_m51254160.gif, следовательно ряд расходится

Задание 2 Исследовать числовой ряд на сходимость hello_html_m50f1ef0e.gif



Решение: по условию hello_html_18e81a03.gif, сравним ряд с геометрическим рядом: hello_html_243f974f.gif,

применим первый признак сравнения рядов:hello_html_m52cc7cab.gif hello_html_m222d2e96.gif

Так как ряд hello_html_525ac8c0.gif сходится, то сходится и ряд hello_html_m50f1ef0e.gif

Задание 3 Исследовать числовой ряд на сходимость hello_html_m56bc10d9.gif

Решение: имеем ряд вида hello_html_6eebc431.gif Сравним с гармоническим рядом hello_html_m25f6f98f.gif

Применим второй признак сравнения рядов: hello_html_m7d767cdc.gifhello_html_3c1ae551.gif. Так как

предел конечен и отличен от нуля, а ряд hello_html_m15608ad5.gif расходится, то расходится и данный ряд.

Задание 4 Исследовать числовой ряд на сходимость hello_html_400e75b0.gif

Решение: применим признак Даламбера; имеем hello_html_63f384f5.gif тогда hello_html_b305eb8.gif,

hello_html_58fc6eed.gifhello_html_m2b7686a9.gifhello_html_d4145a.gif

Так как p=0<1, то ряд сходится

Задание 5 Исследовать на сходимость ряд hello_html_m373b887f.gif

Решение: применим признак Коши:

hello_html_1aef1cf8.gif.

Так как hello_html_m3d2a4bce.gif, ряд сходится.

Задание 6 Исследовать на сходимость ряд hello_html_m7035b676.gif

Решение: Этот ряд знакочередующийся. Первое условие Лейбница не выполняется:

1,1 > 1,02 > 1,003 > …

Проверим выполнение второго условия: hello_html_m3bbd155c.gif

Так как hello_html_22bcc2ff.gifряд расходится

Задание 7 Исследовать сходимость ряд hello_html_459c24d6.gif

Решение: Имеем знакопеременный ряд. Составим ряд из абсолютных величин:

hello_html_m7d0d2f19.gifЭтот ряд сходится как бесконечно убывающая


геометрическая прогрессия. Значит, и данный ряд сходится, причем абсолютно.

Задание 8 Исследовать ряд hello_html_148422b1.gifна абсолютную и условную сходимость

Решение: данный ряд знакочередующийся. Проверяем условия Лейбница.

hello_html_53032bd6.gif- верно

hello_html_ma77a41.gif- верно

Условия Лейбница выполняются, следовательно, ряд сходится.

Составим ряд из абсолютных величин: hello_html_m18e86175.gif. Это ряд Дирихле, hello_html_693224a0.gif, следовательно он расходится. Значит, исходный данный ряд сходится условно

Задание 9 Исследовать ряд hello_html_m7a7795d6.gifна абсолютную и условную сходимость

Решение: данный ряд знакочередующийся. Проверяем условия Лейбница.

hello_html_35c2b229.gif- верно

hello_html_348d2a6d.gif- верно.

Условия Лейбница выполняются, следовательно, ряд сходится.

Составим ряд из абсолютных величин: hello_html_m117780ee.gif. Исследуем его на сходимость, применив признак Даламбера:

hello_html_699f9ebe.gifhello_html_m6fb1f227.gifряд составленный из абсолютных величин сходится hello_html_m6fb1f227.gifисходный ряд сходится абсолютно

Задание 10 Найдите интервал сходимости степенного рядаhello_html_m765f8f7e.gif

Решение: Найдём радиус сходимости

hello_html_m7130cf9d.gif

Т.е. (-1;1) – интервал сходимости.

Проверим сходимость на концах интервала.

При hello_html_m64e1b9d6.gif hello_html_m18e86175.gif - числовой знакоположительный ряд, ряд Дирихле, hello_html_4de3a95b.gif, значит, ряд расходится.

При hello_html_185af88f.gif hello_html_m4e0cf8e4.gif- числовой знакочередующийся ряд. Проверяем условия Лейбница:

hello_html_53032bd6.gif- верно

hello_html_ma77a41.gif- верно

Условия Лейбница выполняются, следовательно, ряд hello_html_m4e0cf8e4.gifсходится. А так как ряд hello_html_m18e86175.gif, составленный из абсолютных величин расходится, то ряд hello_html_m4e0cf8e4.gif) сходится условно.

Следовательно hello_html_m7acd6e81.gif - интервал сходимости

Задание 11 Найдите интервал сходимости степенного ряда hello_html_2ce9c068.gif

Решение: найдём радиус сходимости.

hello_html_f626c82.gif

hello_html_m2665527e.gif- интервал сходимости.


Задание 12 Разложить функцию hello_html_1f7a8929.gifв ряд Маклорена

Решение: по формуле:hello_html_m1fc70dcd.gif

hello_html_1f7a8929.gif, hello_html_m5e075f.gif

hello_html_m785e2e5a.gif,hello_html_25447803.gif

hello_html_5127e6e8.gif, hello_html_m251f8ba0.gif

hello_html_m7138fd43.gif, hello_html_m28eecad1.gif

hello_html_77b48a5.gif, hello_html_4fb4f6d8.gif

hello_html_7bfdd092.gifЗадание 13 Разложить функциюhello_html_m469f9d5c.gif в ряд Маклорена

Решение: используем разложение функции косинуса:

hello_html_m46b67c71.gif

Умножим аргумент на 2:

hello_html_494b0d5f.gif

Далее умножим всё на х, получим:

hello_html_4f49a535.gif



Задания для самостоятельного решения

Исследуйте числовые ряды на сходимость

  1. hello_html_3f9a433c.gif

  2. hello_html_495e524e.gif

  3. hello_html_m59170d9.gif

  4. hello_html_m6cdd72dc.gif

Исследуйте ряды на абсолютную и условную сходимость

  1. hello_html_545e0d0c.gif

  2. hello_html_6cf1c5bb.gif

Найдите интервал сходимости степенного ряда

  1. hello_html_m398cec6a.gif

Разложите функцию в ряд Маклорена

8 hello_html_m5715c921.gif


Контрольные вопросы

  1. Числовые ряды: основные понятия и определения

  2. Необходимый и достаточный признаки сходимости числовых рядов

  3. Признаки сходимости Даламбера, Коши, признаки сравнения

  4. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды.

  5. Абсолютная и условная сходимость рядов

  6. Признак сходимости Лейбница для знакопеременных рядов

  7. Функциональные ряды. Степенные ряды.

  8. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена


Литература

  1. Омельченко В.П. Математика: учеб. пособие В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова – 2-е изд., перераб. и доп.- Ростов на/Д: Феникс, 2007.- 380с.- (Среднее профессиональное образование)

  2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учеб. пособие для средних проф. учеб. заведений / Н.В. Богомолов. -10-е изд., перераб.- М.: Высш. шк., 2008.-495с

  3. Данко П.Е Высшая математика в упражнениях и задачах. В.2ч. Ч. 2. Учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 6-е изд.- М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2008.-416с., ил.

  4. Шипачёв В.С. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие.- М.: Высш. шк. 2005.- 192с.: ил.



Практическое занятие №8

«Нахождение вероятности событий»


Цель занятия:

освоение знаний основных понятий по теории вероятностей, умений решать простейшие задачи

на определение вероятности событий

При выполнении задания студент должен:

знать:

  • понятия вероятности события,

  • понятия совместные и несовместные события;

  • теорему сложения вероятностей;

  • теорему умножения вероятностей;

  • формулу полной вероятности,

  • формулу Бернулли

  • формулу Байеса

уметь:

  • находить вероятность в простейших задачах, используя классическое определение

  • вероятностей и формулы комбинаторики;

  • решать задачи с применением теорем и формул


Краткие теоретические сведения

Основные понятия

Теория вероятностей это математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений, т.е. таких явлений, которые при неоднократном повторении каждый раз протекают по-разному.

Комбинаторикаэто раздел теории вероятностей, в котором решаются задачи на составление различных комбинаций из конечного числа элементов, удовлетворяющих некоторым условиям и подсчета числа всех возможных комбинаций.

Существует три типа комбинаторных задач: 1) на составление перестановок, 2) на составление размещений, 3) на составление сочетаний

Перестановки - всевозможные упорядоченные комбинации, состоящие из n различных элементов. Число перестановок вычисляется по формуле: hello_html_m5f465eff.gif

Размещения - всевозможные упорядоченные комбинации m элементов, составленные из n различных элементов, вычисляется по формуле: hello_html_m5ed9ea55.gif

Сочетания - всевозможные неупорядоченные комбинации m элементов, составленные из n различных элементов, вычисляется по формуле: hello_html_5f3833e4.gif

При решении комбинаторных задач используют следующие правила:

Правило суммы: если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов s способами, а другой объект B может быть выбран t способами, то выбрать объект A либо B можно (s+t) способами.

Правило произведения: если объект A можно выбрать из совокупности объектов s способами и после каждого такого выбора можно выбрать объект B t способами, то объект A и B можно выбрать hello_html_m33fb92cc.gif способами.

Событие – это факт, который при осуществлении определенных условий может произойти или нет. События обозначаются большими буквами латинского алфавита А, В,С...

Виды событий:

Достоверное событие – это событие, которое в результате испытания непременно должно

произойти.

Невозможное событие – это событие, которое в результате испытания не может произойти.

Случайное событие – это событие, которое при испытаниях может произойти или не может

произойти.

Несовместные события - события, если в результате данного испытания появление одного

из них исключает появление другого.

Совместные события - события, если в результате данного испытания появление одного из

них не исключает появление другого.

Равновозможные события - события, если нет оснований считать, что одно из них

происходит чаще, чем другое.

События образуют полную группу событий, если в результате испытания обязательно

произойдет хотя бы одно из них и любые два из них несовместны.

Противоположные события - два несовместных события А и Ā (читается «не А»), если в

результате испытания одно из них должно обязательно произойти.

Операции над событиями

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания.

Произведением нескольких событий называется событие, которое состоит в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания.

Определение вероятности

Вероятность события – это число, характеризующее степень возможности появления событий при многократном повторении событий.


Вероятность обозначается буквой Р (probability (англ.) – вероятность).

Классическое определение вероятности: Вероятностью Р(А) события А называется

отношение числа благоприятствующих исходов m к общему числу равновозможных

несовместных исходов n: Р(А)=m/n

Свойства вероятности:

  • Вероятность случайного события А находится между 0 и 1, т.е. 0<Р(А)<1

  • Вероятность достоверного события равна 1

  • Вероятность невозможного события равна 0

Условная вероятностьвероятность наступления событий, вычисленная в предположении, что событие уже произошло

Теоремы сложения вероятностей

  • Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих

событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

  • Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме

вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В).

Теоремы умножения вероятностей

  • Вероятность произведения 2 независимых событий А и В равна произведению вероятностей

этих событий: Р(А*В)=Р(А)*Р(В)

  • Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного

из них на условную вероятность второго при условии первого:

P(AB)=P(A)*P(B/A)=P(B)*P(A/B)

Формула полной вероятности

Пусть событие А может быть реализовано только при условии появления одного из событий Hi, i = 1,..., n. Предположим, что события Hi несовместны, образуют полную группу (т.е. в результате испытания непременно произойдет одно из них) и вероятности их до опыта известны. Такие события Hi называются гипотезами. Тогда вероятность события А можно вычислить с помощью формулы полной вероятности: hello_html_5770c973.gif

Формулы Байеса

Предположим теперь другую ситуацию: пусть теперь известно, что событие A произошло. Это знание влияет на нашу оценку вероятностей гипотез Нk, т.е. на вероятность того, что событие A произошло именно путем Нk. Эти условные вероятности (т.е. при условии,




что событие А произошло), вычисляются с помощью формулы Байеса:hello_html_59a4c7b6.gif.

Отметим, что в знаменателе этой формулы записана ничто иное как вероятность Р(А), вычисленная по формуле полной вероятности.

Формула Бернулли

Под схемой Бернулли понимают конечную серию n повторных независимых испытаний с двумя исходами. Вероятность появления одного исхода при одном испытании обозначают p , а не появления его q, причём q=1-p. Вероятность ровно m успехов в серии из n повторных независимых испытаний вычисляется по формуле: hello_html_5c50a52f.gif


Образец решения задач

Задание 1 Для контроля качества продукции из партии готовых изделий выбирают для проверки 100 изделий. Проверку не выдерживают 5 изделий. Какова вероятность того, что наугад взятое изделие будет качественным?

Решение: hello_html_7ee28018.gif

n=100 - число всех исходов – количество всех изделий

m=100-5 - число благоприятных исходов – количество качественных изделий

hello_html_4ecb1618.gif

hello_html_285ee37b.gif

Задание 2 Из 500 деталей, среди которых 100 бракованных, наугад берутся 2 детали. Какова вероятность того, что из двух взятых деталей одна бракованная?

Решение: hello_html_7ee28018.gif

n - число всех исходов (взяли 2 детали из 500)

hello_html_m7826d4cc.gif

m - число благоприятных исходов (взяли 1 деталь из 100 бракованных и 1 деталь из 400 годных)

hello_html_264d6e42.gif

hello_html_m55515eb8.gif, т.е. 32%

Задание 3 Мастер обслуживает 5 станков. 30% рабочего времени он проводит у первого станка, 20 – у второго, 15 – у третьего, 25 – у четвертого и, наконец, 10 % – у пятого. Найти вероятность того, что в наудачу выбранный момент времени он находится у второго или пятого станка


Решение: пусть A,B,C,D,E - события, которые состоятся, если в наугад выбранный момент времени мастер находится соответственно у 1,2,3,4-го или 5 станка. Из условия задачи следует что A,B,C,D,E попарно несовместные события.

Р(А)=0,20, Р(В)=0,10, Р(С)=0,15, Р(D)=0,25, Р(Е)=0,30.

В+Е-событие, которое состоится, если мастер находится у 2-го или 5-го станка.

По теореме сложения вероятностей

Р(В+Е)=Р(В)+Р(Е)=0,10+0,30=0,40, т.е. 40%

Задание 4 В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов соответственно равны hello_html_6bd787b6.gif, hello_html_m1668566.gif и hello_html_4bbe8824.gif. Найдите вероятность того, что тока в цепи не будет.

Решение: А - событие, состоящее в том, что тока нет,

hello_html_207c0642.gif- событие, состоящее в том, что ток есть,

hello_html_207c0642.gif= В123, где Вi - событие, состоящее в том, что элемент исправен

hello_html_2fd8b269.gif

Задание 5 С первого станка-автомата на сборочный конвейер поступает hello_html_m75524828.gif деталей, со 2-го и 3-го – по hello_html_8a20885.gif и hello_html_2532d5c9.gif соответственно. Вероятности выдачи бракованных деталей составляют для каждого из них соответственно hello_html_6ed9eb96.gif, hello_html_m23d17e51.gif и hello_html_62b1539c.gif. Найдите вероятность того, что поступившая на сборку деталь окажется бракованной, а также вероятности того, что она изготовлена на 1-м, 2-м и 3-м станках-автоматах, при условии, что она оказалась бракованной.

Решение: по формуле полной вероятности:hello_html_m74e930e8.gif найдём вероятность того, что поступившая на сборку деталь бракованная:

hello_html_2a73b4f7.gif

По формуле Байеса:hello_html_m4792c2d3.gif

найдём вероятности того, что она изготовлена на 1-м, 2-м и 3-м станках-автоматах

hello_html_m672a2702.gif

hello_html_3de4db6b.gif

hello_html_m2e4e72a2.gif

Задание 6 Вероятность допустить ошибку сверх требуемой точности при одном измерении данным прибором равна 0,2. Найдите вероятность того, что при 10 измерениях этим же прибором число измерений с подобными ошибками будет равно трём

Решение: искомую вероятность найдём по формуле Бернулли: hello_html_m147afbd5.gif

Из условия задачи n = 10, m = 3, p = 0,2, тогда q = 1 – p = 1 – 0,2 = 0,8, следовательно

hello_html_m2be88d01.gif, т.е. 30%

Задание 7 В магазине покупателей обслуживают три кассовых аппарата А1, А2, А3, каждый из которых в течение рабочего дня может проработать безотказно с вероятностями 0,85, 0,9 и 0,95 соответственно. Найти вероятность того, что в течение дня выйдут из строя:

а) первый и третий аппарат;

б) только один аппарат;

в) хотя бы один аппарат.

Решение: Вычисляем вероятности противоположных событий, состоящих в том, что в течение дня кассовые аппараты выйдут из строя:

hello_html_6d652c6f.gif

hello_html_m3bc9d2ac.gif

hello_html_6e3528e8.gif

а) Вероятность того, что в течение дня выйдут из строя первый и третий аппарат, вычисляем по теореме вероятности произведения событий. Так как события hello_html_4573d2d9.gif независимы, то вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей:

hello_html_7751818f.gif

hello_html_5d67aa7b.gif

б) Вероятность того, что в течение дня выйдет из строя только один аппарат, вычисляем по теоремам вероятностей суммы и произведения событий:

hello_html_m5319f3be.gif

в) Событие, состоящее в том, что в течение дня хотя бы один кассовый аппарат выйдет из строя, противоположно событию, состоящему в том, что в течение дня все аппараты проработают безотказно. Применяя формулу вероятности противоположного события и теорему вероятности произведения событий, получим:

hello_html_m1c0c397f.gif


Задания для самостоятельного решения

  1. Среди 200 изделий, подвергавшихся термической обработке, в среднем 180 высшего сорта. Найти вероятность извлечения не высокосортного изделия

  2. В партии из 20 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых наудачу деталей 3 стандартных

  3. Данное предприятие в среднем дает 21% продукции высшего сорта и 65% продукции первого сорта. Найти вероятность того, что случайно взятое изделие окажется первого или высшего сорта

  4. Участок электрической цепи состоит из трёх элементов, каждый из которых работает незави- симо от двух других. Элементы не выходят из строя за определённый промежуток времени соответственно с вероятностью -0,8, 0,7, 0,9. Определить вероятность нормальной работы всего участка

  5. Литьё на болванках для дальнейшей обработки поступает из двух заготовительных цехов: 70% из первого цеха и 30% из второго, при этом материал первого цеха имеет 10% брака, а материал второго цеха - 20% Найти вероятность того, что одна взятая на удачу болванка не имеет дефектов

  6. Вероятность допустить ошибку сверх требуемой точности при одном измерении данным прибором равна 0,2. Найдите вероятность того, что при 10 измерениях этим же прибором число измерений с подобными ошибками будет равно трём

  7. Трое рабочих собирают подшипники. Вероятность того, что подшипник, собранный первым рабочим, – высшего качества, равна 0,7, вторым – 0,8, третьим – 0,6. Для контроля взято по одному подшипнику из собранных каждым рабочим. Какова вероятность того, что высшего качества будут: а) все подшипники; б) два подшипника; в) хотя бы один подшипник?

Контрольные вопросы

  1. Задачи теории вероятностей.

  2. Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания

  3. Понятие испытания и события. Виды событий.

  4. Сумма и произведение событий

  5. Определение вероятности события

  6. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

  7. Формула полной вероятности. Формула Байеса

  8. Формула Бернулли

Литература

  1. Омельченко В.П. Математика: учеб. пособие В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова – 2-е изд., перераб. и доп.- Ростов на/Д: Феникс, 2007.- 380с.- (Среднее профессиональное образование)

  2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учеб. пособие для средних проф. учеб. заведений / Н.В. Богомолов. -10-е изд., перераб.- М.: Высш. шк., 2008.-495с

  3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. Изд. 7-е, стер. – М.: Высш. шк. 1999.- 479с.: ил.



Практическое занятие №9

«Нахождение функции распределения и числовых характеристик дискретной случайной величины»

Цель занятия:

освоение знаний построения закона распределения дискретной случайной величины,

нахождение функции распределения и числовых характеристик дискретной случайной

величины

При выполнении задания студент должен:

знать:

  • способы задания случайной величины,

  • определения непрерывной и дискретной случайных величин;

  • закон распределения случайной величины,

  • определение математического ожидании, дисперсии и среднего квадратического отклонения

  • дискретной случайной величины;

уметь:

  • строить ряд распределения случайной величины;

  • находить функцию распределения случайной величины.

  • находить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение

  • случайной величины по заданному закону ее распределения


Краткие теоретические сведения

Случайная величина - величина, которая принимает в результате испытания то или иное возможное значение, заранее неизвестное, меняющееся от испытания к испытанию и зависящее от случайных обстоятельств.

Случайные величины могут быть дискретными и непрерывными.

Дискретной называют такую случайную величину, которая принимает счётное

множество значений

Непрерывной называют такую случайную величину, которая может принимать любые значения в определённом интервале. Занумеровать все значения величины, попадающие даже в узкий интервал принципиально невозможно.

Случайные величины обозначают прописными буквами латинского алфавита X, Y, Z, а их возможное значение – соответствующими строчными буквами x, y, z.

При многократных испытаниях определённые значения случайной величины могут встречаться несколько раз. Поэтому, для задания случайной величины недостаточно перечислить лишь все


её возможные значения. Необходимо также знать, как часто могут появляться те или иные значения в результате испытания при одних и тех же условиях, т.е. нужно задать вероятности их появления.

Случайная величина считается заданной, если известен закон распределения случайной величины.

Распределением (законом распределения) случайной величины называется всякое соотношение между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Распределение дискретной случайной величины может быть задано в виде таблицы, в графическом и аналитическом виде.

Пусть дискретная величина X принимает значения Х=х1, Х=х2,…, Х=хn. Обозначим вероятности этих событий соответственно: Р(Х = х1) = р1, Р(Х = х2) = р2,…, Р(Х = хn) = рn.

Таблица, содержащая возможные значения случайной величины и соответствующие вероятности, является простейшей формой задания распределения дискретной случайной величины:

Значение случайной величины х1

х1

х2

хn

Вероятности значений р1

р1

р2

рn

Так как в результате испытания случайная величина Х всегда примет одно из своих возможных значений х1, х2, … хn, то эти случайные события образуют полную группу событий и

n

р1 + р2 + …+ рn = pi = 1.

i =1

Табличную формулу задания называют также рядом распределения.

Для наглядности ряд распределения можно представить в графическом виде, где по оси абсцисс откладываются значения случайной величины, а по оси ординат вероятности этих значений.

Функция распределения

В ряде практических случаев вместо вероятности того, что случайная величина Х принимает некоторое определённое значение хi ,необходимо знать, что случайная величина Х меньше хi. Эта вероятность задаётся интегральной функцией распределения.

Функция распределения определяет вероятность того, что случайная величина Х принимает значение, меньшее фиксированного действительного числа х, т.е. F(x) = P(X < x).

Функцию распределения F(x) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Функцию F(x) можно получить, суммируя значения вероятностей по тем значениям случайной величины, которые меньше xi, т. е. F(xi) = P (X < xi) = ∑ P(xi), где неравенство x < xi под знаком суммы показывает, что суммирование распространяется на все значения х меньше xi.



Для дискретной случайной величины график функции распределения представляет собой разрывную ступенчатую функцию. Когда переменная х принимает какое-нибудь из своих возможных значений, функция распределения увеличивается скачкообразно на величину вероятности этого значения. Причём при переходе слева к точкам разрыва функция сохраняет своё значение. На графике это отмечено чёрной точкой. Сумма величин всех скачков функции F(x) равна 1.

Числовые характеристики случайных величин

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Но при решении ряда практических задач нет необходимости знать все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, а удобнее пользоваться некоторыми количественными показателями, которые в сжатой форме дают достаточную информацию о случайной величине. Такие показатели называются числовыми характеристиками случайной величины. Основными из них являются: математические ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Математическое ожидание характеризует положение случайной величины на числовой оси, определяя некоторое среднее значение, около которого сосредоточены все возможные значения случайной величины.

Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений всех возможных её значений на соответствующие вероятности: hello_html_m38819fde.gif

Дисперсия характеризует рассеяние (отклонение) случайной величины относительно математического ожидания. Дисперсия случайной величины Х - математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от её математического ожидания М (Х), обозначают D(X), т.е. D(X) = M(XM(X))2

Для дискретных случайных величин эту формулу можно записать в следующем виде:hello_html_m7da5a517.gif

Для вычислений удобно использовать формулу: D(Х) = М(Х2) –М2(Х)

Размерность дисперсии равна квадрату случайной величины и её неудобно использовать для характеристики разброса, поэтому удобнее применять корень квадратный из дисперсии – среднее квадратическое отклонение. Эта величина даёт представлять о размахе колебаний случайной величины около математического ожидания: hello_html_m37ddb926.gif(Х) =hello_html_m16b6ecbc.gif






Образец решения задач

Задание 1 Дан закон распределения случайной величины. Найти функцию распределения и построить ее график. Найти числовые характеристики

хi

-1

2

6

pi

0,5

р

0,2

Решение: Сначала найдём неизвестное р2 =1– р1 – р3 =1–0,5–0,2=0,3

Для нахождения функции распределения воспользуемся схемой:

hello_html_7bfe2095.gif

Получим hello_html_44989023.gif

Построим график функции распределения

hello_html_m2f334cfa.png

Для вычисления математического ожидания воспользуемся формулой: hello_html_7f9d1852.gif

Получим M(X)=(-1).0,5+2.0,3+6.0,2=1,3

Для вычисления дисперсии воспользуемся двумя соотношениями, одно из которых соответствует определению дисперсии, другое – ее свойству.

По определению: hello_html_m7da5a517.gif

В примере получим: D(X)=(-1-1,3)2 . 0,5+(2-1,3)2 . 0,3+(6-1,3)2 . 0,2=7,21

По формуле: D(Х) = М(Х2) –М2(Х)

M(X2) = (-1)2 . 0,5+22 . 0,3+62 . 0,2=8,9

М2(Х) = 1,32 = 1,69

D(X) = 8,9 – 1,69 =7,21

Проверяем: значения D(X) совпадают

Среднее квадратическое отклонение находим по формуле

hello_html_m37ddb926.gif(Х) =hello_html_m16b6ecbc.gif

hello_html_m37ddb926.gif(Х) =hello_html_m4adb2396.gif


Задание 2 Депозитный риск (вероятность досрочного отзыва депозита) для трех клиентов некоторого банка есть величина постоянная, равная p=0,2. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа отозванных депозитов. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины

Решение: Имеем серию n=3 независимых испытаний, в каждом из которых событие A (отзыв депозита) происходит с вероятностью p=0,2. Так как описанная в условии случайная величина X распределена по закону Бернулли, то вероятности p(X=m) того, что событие A произойдет m раз, могут быть вычислены по формуле Бернулли:

hello_html_md530691.gif

где hello_html_50cf8806.gif- количество сочетаний из n элементов по m, определяемое комбинаторной формулой:

hello_html_c527da4.gif

В нашем случае: n=3, p=0,2, q=1-p=1-0,2=0,8, поэтому:

hello_html_m490c2db8.gif

hello_html_5097a98e.gif

hello_html_6a328f7d.gif

hello_html_5f6fd7e0.gif

Контроль: hello_html_66f42e56.gif

Составляем закон распределения случайной величины X:

xi

0

1

2

3

pi

0,512

0,384

0,096

0,008

Вычисляем числовые характеристики данной случайной величины, распределенной по закону Бернулли:

математическое ожидание: M(X)=np

M(X)=3·0,2=0,6.

дисперсия: D(X)=np(1-p)

D(X)=3∙0,2∙0,8=0,48.

среднее квадратическое отклонение: hello_html_m37ddb926.gif(Х) =hello_html_22318855.gif

hello_html_m37ddb926.gif(Х) = hello_html_43840edd.gif

Задание 3 Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа каждого из приборов равны соответственно р1=0,3; p2=0,4; p3=0,5; p4=0,6. Найти закон распределения этой случайной величины, математическое ожидание и дисперсию


числа отказавших приборов. 
Решение: принимая за случайную величину число отказавших  приборов, видим что эта случайная величина может принимать значения 0, 1, 2, 3 или 4.
Для составления закона распределения этой случайной величины необходимо определить соответствующие вероятности. Примем Описание: Image – вероятность безотказной работы приборов
Рассмотрим все возможные варианты:

1) Не отказал ни один прибор
Описание: Image
2) Отказал один из приборов
Описание: Image0,302.
3) Отказали два прибора
Описание: Image
4) Отказали три прибора
Описание: Image
5) Отказали все приборы
Описание: Image
Получаем закон распределения:

 х 

 

 

 

 

 

 р

 0,084

 0,302

 0,38

 0,198

 0,036

Контроль: р=0,084+0,302+0,38+0,196+0,036=1

Математическое ожидание:
Описание: Image

 x2

 0

 1

 4

 9

 16

 р

 0,084

 0,302

 0,38

 0,198

 0,036

Описание: Image
Дисперсия:
Описание: Image


Задания для самостоятельного решения

  1. Выход из строя коробки передач происходит по трем основным причинам: поломка зубьев шестерен, недопустимо большие контактные напряжения и излишняя жесткость конструкции. Каждая из причин приводит к поломке коробки передач с одной и той же вероятностью, равной 0,1. СВ X – число причин, приведших к поломке в одном испытании. Найти закон распределения указанной дискретной случайной величины (СВ) X и её


функцию распределения F(x). Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение (Х). Построить график функции распределения

  1. В цехе имеется три резервных электродвигателя. Для каждого из них вероятность того, что в данный момент он включен, соответственно равна: 0,2; 0,3; 0,1. СВ X – число включенных электродвигателей. Найти закон распределения указанной дискретной случайной величины (СВ) X и её функцию распределения F(x). Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение (Х). Построить график функции распределения

  2. Дан закон распределения случайной величины. Найти функцию распределения и построить ее график. Найти числовые характеристики

Х

3,2

5,2

8,1

4.5

Р

р

0,3

0,2

0.1




Контрольные вопросы

  1. Случайная величина. Способы задания случайной величины.

  2. Определения непрерывной и дискретной случайных величин

  3. Закон распределения случайной величины

  4. Функция распределения случайной величины и её график

  5. Числовые характеристики дискретной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение


Литература

  1. Омельченко В.П. Математика: учеб. пособие В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова – 2-е изд., перераб. и доп.- Ростов на/Д: Феникс, 2007.- 380с.- (Среднее профессиональное образование)

  2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учеб. пособие для средних проф. учеб. заведений / Н.В. Богомолов. -10-е изд., перераб.- М.: Высш. шк., 2008.-495с

  3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. Изд. 7-е, стер. – М.: Высш. шк. 1999.- 479с.: ил.

  4. Данко П.Е Высшая математика в упражнениях и задачах. В.2ч. Ч. 2. Учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 6-е изд.- М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2008.-416с., ил.





Практическое занятие №10

«Обработка статистических данных»

Цель занятия: приобретение навыков записи выборки в виде вариационного ряда и в

виде статистического ряда, вычисления числовых характеристик выборки, закрепить навыки вычисления числовых характеристик выборки и обработки результатов исследования с помощью математической статистики

При выполнении задания студент должен:

знать:

  • основные понятия математической статистики

уметь:

  • определять объем и размах выборки, моду и медиану

  • составлять вариационный ряд и статистическое распределение

  • строить функцию распределения, полигон гистограмму

  • находить статистические оценки параметров распределения


Краткие теоретические сведения

Задачи математической статистики

Математическая статистика — раздел прикладной математики, наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятности, позволяющую оценить надежность и точность выводов. Этот раздел прикладной математики посвящен изучению случайных величин по результатам наблюдений.

В прикладных задачах вероятность исследуемого события обычно неизвестна. Она

определяется приближенно по статистическим данным. Дать оценку полученной на основе опытных данных, вероятности события - одна из основных задач математической статистики.

Разработать методы анализа статистических данных зависимости от целей исследования. определить ее распределение с точностью до некоторого неизвестного параметра. Дать оценку этого параметра в виде числа или интервала, в котором с заданной вероятностью заключено значение неизвестного параметра.

Методы математической статистики широко применяются в самых различных областях

знаний - в физике, звездной астрономии, экономике, геологии, гидрологии, климатологии, биологии, медицине и др. Также широко используется математическая статистика и в промышленности. Исходным материалом являются статистические данные.



Основные понятия

Статистические данные - сведения о числе объектов какой-либо более или менее

обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками.

Генеральная совокупность - совокупность всех исследуемых объектов.

Выборочная совокупностью (или выборка) - совокупность случайно отобранных

объектов из генеральной совокупности.

Объём выборки -число объектов выборочной или генеральной совокупности

Размах выборки -разность между наибольшим значением числовой выборки и ее

наименьшим значением.

Медиана – это значение, занимающее середину упорядоченного ряда, а в случае четного количества равное среднему арифметическому двух средних значений ряда

Модаэто значение признака выборки, имеющее наибольшую частоту

Распределение выборки

Пусть для изучения количественного признака X из генеральной совокупности извлечена выборка x1, х2,...., хi. Наблюдавшиеся значения хi, признака X называют вариантами. Повторяемость признака хi называется частотой ni. Сумма всех частот равна п. Относительная частота — рi = ni /n — выборочный аналог вероятности pi появления значения xi случайной величины X. Тогда выборочным аналогом ряда распределения естественно считать вариационный ряд. Вариационный ряд - выборка, представляющая собой неубывающую последовательность чисел

Частота - число членов совокупности с данной вариацией.

Относительная частота - отношение частоты к объему выборки

Дискретным вариационным рядом распределения называется ранжированная (расположенная в порядке возрастания или убывания) совокупность вариантов хi с соответствующими им частотами пi или относительными частотами рi.

Интервальным вариационным рядом называется упорядоченная совокупность интервалов варьирования значений случайной величины с соответствующими частотами или относительными частотами попаданий в каждый из них значений величины.

Функция распределения - функцию F(x) ,определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение меньшее х, т.е. F(x)=Р(Х>x)

Графические изображения выборки

Для наглядного представления выборки часто используют различные графические

изображения. Простейшими графическими изображениями выборки являются полигон и гистограмма. Пусть выборка задана статическим рядом: (x1, п1), (х2, п2), ..., i, ni).

Полигон частот - ломанная, отрезки которой соединяют точки(xi ;ni).



Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты xi, а на оси ординат соответствующие им частоты ni. Точки (xi ;ni) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Аналогично полигону распределения строится полигон относительных частот. Нецелесообразно построение дискретного ряда для непрерывной случайной величины или для дискретной, число возможных значений которой велико. В подобных случаях следует построить интервальный ряд.

Полигон относительных частот - ломаная, отрезки которой соединяют точки (xi; Wi).

Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты Xi, а на оси ординат - соответствующие им относительные частоты Wj Точки (xi; Wi) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.

Гистограмма частот - ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями

которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению n,/h (плотность частоты). При большом объеме выборки более наглядное представление дает гистограмма

Статистические оценки распределения

Построив вариационный ряд и изобразив его графически, можно получить

первоначальное представление о закономерностях, имеющих место в ряду наблюдений. Однако на практике зачастую этого недостаточно. Поэтому для дальнейшего изучения изменения значений случайной величины используют числовые характеристики вариационных рядов. Их обычно называют статистическими характеристиками или оценками.

Статистическое распределениеэто таблица, в первой строке которой записаны все различные значения выборки в порядке возрастания, а во второй строке указаны соответствующие им частоты

Выборочной средней (выборочным математическим ожиданием) hello_html_m3aa7f40a.gif называют среднее

арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Если все значения hello_html_26818609.gif признака выборки объема hello_html_m1c290046.gif различны, то:hello_html_m38512a1.gifЕсли же значения признака hello_html_m12128a50.gif имеют соответственно частоты hello_html_m379e2abd.gif, причем hello_html_4fe2f1b0.gif, то hello_html_74840689.gif или hello_html_m53624a22.gif.

Выборочной дисперсией hello_html_m17adc42b.gif называют среднее арифметическое квадратов отклонения

наблюдаемых значений признака от их среднего значения hello_html_m3aa7f40a.gif.

Если все значения hello_html_26818609.gif признака выборки объема hello_html_m1c290046.gif различны, то hello_html_m69676e6f.gif



Если же значения признака hello_html_m12128a50.gif имеют соответственно частоты hello_html_m379e2abd.gif, причем hello_html_4fe2f1b0.gif, то Описание: Описание: сканирование003

Выборочное среднее квадратическое отклонениеэто квадратный корень из hello_html_1262741a.jpg

выборочной дисперсии


Образец решения задач

Задание 1 В опыте было получено 30 наблюдений над случайной величиной X, составляющих выборочную совокупность. Они приведены в таблице.

89

83

94

90

95

90

98

82

89

87

92

92

94

98

95

94

88

86

80

90

82

92

84

99

86

92

91

81

86

82

По выборочным данным: 1) составить ряд распределения; найти размах выборки; 2) построить эмпирическую функцию распределения; 3) найти числовые характеристики выборки: hello_html_m549d9cf4.gifв- выборочное среднее, Dв- выборочную дисперсию; hello_html_4e93ace8.gifв- выборочное среднее квадратическое отклонение;

Решение: 1) Составим ряд распределения: расположим наблюдения hello_html_565e1edf.gif в порядке возрастания в верхней строке таблицы, в нижней строке nί - количество наблюдений в общем ряду наблюдений.

hello_html_m2a9e0b53.gif

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

n.ί

1

1

3

1

1

0

3

1

1

2

3

1

4

0

3

2

0

0

2

1


Из этих наблюдений определим наибольшее Хмах = 99 и наименьшее Хмin = 80.

Вычислим размах варьирования d=Xmax – Xmin = 99-80=19.

2) Эмпирическая функция распределения hello_html_m6127aa9e.gif определяет для каждого значения х относительную частоту события Х < x. Она принимает значения hello_html_m215b1f4a.gif причем hello_html_38aa63f0.gif при hello_html_46bae7b5.gif>hello_html_702cd0c4.gifТаким образом, имеем

hello_html_1dc929c4.gif

hello_html_42c68509.gif

hello_html_59901157.gif

hello_html_m377b487e.gif

hello_html_56146a63.gif

hello_html_3e2effd7.gif

hello_html_m52dd61cc.gif


hello_html_1d0ce8c4.gif

hello_html_m37cb8121.gif

hello_html_5800019b.gif

hello_html_m58c2efb8.gif

hello_html_m542f73f4.gif

hello_html_m5bb650fa.gif

hello_html_408328cd.gif

hello_html_m19d8ab20.gif

Построим график эмпирической функции распределения hello_html_6e7e3a69.gif


1

9/10

8/10

7/10

6/10

5/10

4/10

3/10

2/10

1/10

0

80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

3) Найдем числовые характеристики выборочной совокупностиhello_html_m169b4eb4.gif

Оценка математического ожидания признака Х

hello_html_1f11e058.gif

Выборочная дисперсия hello_html_54cf8c24.gif

=hello_html_739db9ea.gifhello_html_432069d4.gif

Среднеквадратическое отклонение hello_html_m1717ee1.gif

Задание 2 В результате измерения получена выборка: 121, 115, 125, 125, 117, 124, 120, 120, 119, 121, 122, 127, 118, 120, 123, 130, 123, 116, 124, 127,122. Постройте гистограмму, если число частичных промежутков равно 5.

Решение: Наименьшее значение выборки: 115. Наибольшее значение выборки: 130.

hello_html_m49c9b8f9.png


Число попаданий выборки в частичные промежутки соответственно равно:

[115, 118)— 3, [118, 121)— 8, [121, 124)— 6, [124, 127) — 4, [127, 130] — 3.

Составим интервальный вариационный ряд:

hello_html_m75759169.png

Для контроля правильности находим

hello_html_m17515690.png

Строим гистограмму:

hello_html_m2c3897c4.png

Задание 3 Для выборки 3, 8, -1, 3, 0, 5, 3, -1, 3, 5 определите объем и размах. Запишите выборку в виде вариационного ряда и в виде статистического ряда. Найдите выборочное распределение.

Решение: Объем выборки n=10; ее размах равен Δxhello_html_m2cd0ada9.gif-xhello_html_4a6c5ad6.gif=8-(-1)=9.

Записав значения выборки в виде неубывающей последовательности, получим вариационный ряд: -1, -1, 0, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 8.

Составим статистический ряд

xi

-1

0

3

5

8

ni

2

1

4

2

1

Для контроля находим сумму частот 2+1+4+2+1=10 и убедимся в том, что она равна объему выборки. Вычислив относительные частоты, найдем выборочное распределение

xi

-1

0

3

5

8

wi

2

10

1

10

4

10

2

10

1

10

Для контроля убедимся в том, что сумма относительных частот равна 1: hello_html_5324759.gif

Задание 4 Постройте полигон относительных частот для статистического распределения выборки, заданной таблицей:

xi

1

2

3

4

5

6

ni

4

6

12

16

44

18


Решение: находим объем выборки как сумму частот всех вариант: n=4+6+12+16+44+18=100.



Находим относительные частоты всех вариант как отношения соответствующих частот к объему выборки:

xi

1

2

3

4

5

6

wi

0,04

0,06

0,12

0,16

0,44

0,18

Строим полигон относительных частот:

hello_html_4088fae7.png

Задания для самостоятельного решения

  1. В результате эксперимента была получена последовательность данных, составляющих выборочную совокупность наблюдений над случайной величиной X

88

94

91

98

87

88

86

89

86

82

93

86

81

83

84

87

88

86

89

86

По выборочным данным требуется:

  1. определить объем и размах выборки

  2. определить моду и медиану

  3. составить вариационный ряд

  4. составить статистическое распределение частот и относительных частот

  5. построить эмпирическую функцию распределения

  6. построить полигон частот и относительных частот

  7. построить гистограмму частот и относи тельных частот

  8. найти числовые характеристики выборки: выборочную среднюю; выборочную дисперсию;

выборочное среднее квадратическое отклонение


Контрольные вопросы

  1. Предмет математической статистики, основные задачи статистики. Область применения статистических методов

  2. Понятие о генеральной совокупности и выборки

  3. Вариационный ряд

  4. Объём, размах, мода, медиана выборки


  1. Частота и относительная частота

  2. Статистическое распределение.

  3. Гистограмма. Полигон

  4. Характеристики положения и рассеяния статистического распределения

  5. Статистические оценки параметров распределения


Литература

  1. Омельченко В.П. Математика: учеб. пособие В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова – 2-е изд., перераб. и доп.- Ростов на/Д: Феникс, 2007.- 380с.- (Среднее профессиональное образование)

  2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. Изд. 7-е, стер. – М.: Высш. шк. 1999.- 479с.: ил.

  3. Данко П.Е Высшая математика в упражнениях и задачах. В.2ч. Ч. 2. Учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – 6-е изд.- М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2008.-416с., ил.










Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 18.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров435
Номер материала ДВ-352113
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх