Методические рекомендации по выполнению практического занятия на тему "Действия над векторами"

Практическое занятие

Раздел программы:              Геометрия

Тема программы:               Векторы в пространстве

Тема практического занятия: Действия над векторами

Цель занятия - овладение умениями решения задач на действия с векторами, используя аналитический и графический способы

Дидактическое оснащение практического занятия - методические указания по выполнению практического занятия , линейка, карандаш

Время выполнения - 45 мин.

Краткие теоретические сведения

Определение: Вектор – направленный отрезок.                                           

Любая точка пространства – нулевой вектор

                                                                                                 N

                    . С                                                 

                                                                       В

                                                                                          М

                А                                                   

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых.

Сложение

Для сложения двух неколлинеарных векторов используются правила: треугольника, параллелограмма, многоугольника.

Правило треугольника: для любых трех точек А, В.С имеет место равенство

АВ + ВС = АС   

Свойства сложения векторов: для любых векторов а, в, с справедливы равенства:

1.      а + в = в + а    - переместительный закон

2.      ( а +  в) + с = а + ( в + с) -  сочетательный закон     

 Вычитание  

Разностью векторов а  и  в  называется такой вектор, сумма которого с вектором в  равна вектору  а.

Разность векторов можно найти по формуле а  - в = а  + ( - в )          

Умножение вектора на число

Произведением ненулевого вектора а  на  число  k называется такой вектор  в , длина которого равна   k*| а|, причем векторы а  и  в  сонаправлены при  k ≥0 и противоположно направлены при   k < 0 . Произведением ненулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.

Свойства умножения вектора на число: для любых векторов а,  в  и чисел l, k справедливы равенства:

1.      (kl)*a = k*(la) – сочетательный закон

2.      k*( a + b) = ka + kb – первый распределительный закон

3.      (k + l)* a = ka + lа - второй распределительный закон

Примеры:

CD + DE = CE

MN + NK = MK

MN + FO + NF = (MN + NF) + FO = MF + FO = MO

BC – BD = DC

AC – AP – CP = PC – CP = PC + PC = 2 PC

2( m – n) = 2m – 2n

Варианты заданий

Вариант 1	Вариант 2
№ 1. Дан тетраэдр АВСD. Докажите, что   АВ + ВD = AC + CD	№ 1. Дан тетраэдр АВСD. Докажите, что   AB + BC = DC + AD
№ 2. Упростите выражение A)    PE + CD + EC Б) AB + CA + DC В) AB – CD – AC Г) 4(a + b) – 2(a – b) - b	№ 2. Упростите выражение А) FD + KO + DK Б) KM + XY + DK В) OP – EN – OE Г) 3 (x –y) + 5(x +y) - y
№ 3. Построить 2а + b	№ 3. Построить 3а - b
№ 4. Точки E и  F – середины оснований АВ и ВC параллелограмма АВСD. Точка О – произвольная точка пространства . Выразите вектор ОА – ОС через вектор Е F	№ 4. Точки E и  F – середины оснований АВ и ВC параллелограмма АВСD. Точка О – произвольная точка пространства. Выразите вектор ОА – ОЕ через вектор DC.

    Критерии оценивания

«5» (отлично)  – выполнены верно все задания

«4» (хорошо ) - выполнены верно  задания № 1, № 2 и любое из заданий № 3 или № 4

 «3»( удовлетворительно) - выполнено верно любые 2 задания

« 2» неудовлетворительно - не удовлетворяет критериям оценки «3»

Литература:  Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа. Геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни). 10—11 классы. — М., 2014