Методические рекомендации по выполнению практического занятия по теме "Векторы и координаты"

Методические рекомендации по выполнению практического занятия по теме: «Векторы и координаты».

Цели: научить учащихся применять полученные знания, выполняя действия над векторами.

Опорный теоретический материал:

1. Понятие вектора.

Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой – концом, называется вектором. Направление вектора (от начала к концу) на рисунках отмечается стрелкой. Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым. Длиной вектора называется длина отрезка АВ.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и при том только один. Векторы называются компланарными, если при откладывании из от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.

Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

В прямоугольной системе координат каждой точке пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются ее координатами.

Любой вектор можно разложить по координатным векторам, т.е представить в виде: , причем коэффициенты разложения x, y, z определяются единственным образом.

2. Правила действий над векторами.

а) Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат.

б) Каждая координата разности двух или более векторов равна разности соответствующих координат.

в) Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на число.

k

k*

Координаты середины отрезка:

Длина вектора:

Расстояние между двумя точками:

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Найти , если: и

Решение:

Пример 2. Найти , если: и

Решение:

Пример 3. Найти , если и

Решение:

Пример 4. Найти-, если и

Решение:

-

3. Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними:

Скалярное произведение ненулевых векторов рано нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Скалярное произведение векторов выражается формулой:

Пример 5. Найти скалярное произведение векторов: и

Решение:

Косинус угла между ненулевыми векторами вычисляется по формуле:

Пример 6. Вершины треугольника АВС заданы координатами А(1;3;4), В(6;2;3), С(8;4;1), Найти косинус угла В.

Решение: ВА(-5;1;1), ВС(2;2;-2)

Контрольные вопросы:

1) что такое вектор, ненулевой вектор;

2) коллинеарные векторы;

3) компланарные векторы;

4) действия над векторами;

5) разложение вектора по его координатам;

6) скалярное произведение векторов.

Варианты заданий:

Таблица 1

На оценку «3» - удовлетворительно

1. Вычислить координаты вектора, если , ,

2. Вычислить длину вектора, если , ,

2

, ,

Вариант 5

Вариант 6

1

2

На оценку «4» - хорошо

Даны векторы , . Найди значение x, если  =с.

Таблица 2

На оценку «5» - отлично

Определи косинус ∡ L треугольника АLM, если даны координаты вершин треугольника:

А(;)

L(;)

M;)

Таблица 3

A(;), L(;), M;3)

Вариант 2

А(4;2;4), L(3;0;2), М(3;-4;5)

Вариант 3

А(5;0;5), L(2;0;1), М(4;2;2)

Вариант 4

А(-3;1;2), L(0;1;2), М(2;2;0)

Вариант 5

А(6;1;1), L(2;1;1), М(5;-1;7)

Вариант 6

А(3;4;4), L(1;2;3), М(-1;1;5)