Методические указания к выполнению контрольной работы по теме «Полное исследование функции и построение её графика»

Методические указания к выполнению контрольной работы по теме «Полное исследование функции и построение её графика»

                                                                          Разработчик

                                                                          Л.В. Брова

2018

План полного исследования функции и построения её графика

1.                  Найти область определения функции.

2.                  Исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность. В случае, когда, например, функция является нечетной (четной), достаточно проводить исследования и строить эскиз графика при x0с последующим симметричным его отображением (относительно начала координат для нечетной функции или относительно оси OY для четной).

3.                  Определить координаты точек пересечения графика функции с осями координат (для нахождения точки пересечения графика с осью OX решаем уравнение f(x)=0; для нахождения точки пересечения графика с осью OY подставляем в аналитическое выражение функции значение x=0).

4.                  Определить промежутки знакопостоянства функции (т.е. промежутки, где f (x)  0, f (x)  0).

5.                  Определить асимптоты графика функции.

6.                  Определить интервалы монотонности функции, экстремумы функции.

7.                  Определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, найти точки перегиба.

8.                  Построить эскиз графика.

Пример. Исследовать функцию методами дифференциального

x2

иссчисления и построить ее график: f x( )  .

x  2

Решение. Придерживаемся схемы исследования, приведённой выше

1.   Функция определена при всех действительных x, кроме x = -2.

2.   Исследуем функцию на четность (нечетность):  

                                                     2                    2

                                          (x)           x

f (x)      f (x), кроме того, f (x) f (x). (x)  2  x  2

Таким образом, функция не является ни четной, ни нечетной, т.е. имеем функцию общего вида. Функция не является периодической.

3.                  Решая уравнение f(x)=0, находим, что график функции пересекает оси координат в точке (0,0).

4.                  Определим промежутки знакопостоянства функции. Для этого на числовой оси отметим нули функции, т.е. точки пересечения с осью Ох, и  точки, в которых функция не определена. А далее определим знаки функции в получившихся промежутках:

               f (x)            –          +           +

                                        – 2            0

Таким образом, функция положительна (а значит, ее график расположен над осью Ох) на промежутке  2; ; функция отрицательна (а значит ее график расположен под осью Ох) на промежутке ; 2.

x2

5.                  В силу свойств непрерывных функций функция          f x( )         

x  2

непрерывна там, где определена, т.е. при всех действительных x, кроме x=–2.

x2

Поскольку lim f x( )  lim    , то прямая x = –2 является вертикальной

                                x2                    x2 x  2

асимптотой графика. 

Найдем теперь уравнение наклонной асимптоты:

x2

                                                                               2

                       f (x)           ^{x  2}  lim     ^x        lim      ^x  lim         ^{x/ x}  lim             ¹ 1

k  lim           lim

              x x           x x           x (x  2)x     x x  2    xx  2/ x     x1 2/ x

                                                               x²                      x²  x x(  2)          2x

b  lim( ( )x f x  kx)  limx x  ²  x limx x  2       limx x  2 2.

Таким образом, прямая y  x  2 – наклонная асимптота.

6. Для определения экстремумов функции найдем первую производную:

²          x²(x  2)  x²(x  2)    2x(x  2)  x²             x²  4x  x

f    x  2  x  22                    x  22     x  2² ,

                                                              x²  4x                 ₂

и решим уравнение:      0, т.е. x  4x  0,    x  2  0.

x  2²

Откуда получаем критические точки: x 0, x 4, x 2.

            f (x)           +        –             –          +                               – 4           –2             0

Таким образом, x = -4 – точка максимума, x = 0 – точка минимума.

2

                                                                                          4                     0

Экстремумы функции: y_max (4)    8, y_min (0)     0.

                                                                                           4  2                          0  2

Кроме того,  f(x) возрастает на интервалах (; 4) и (0;), а убывает на интервалах ( 4 ;2) и ( 2 ;0).

7. Найдем теперь вторую производную:

'

                                                                        x²  4x    (2x  4)(x  2)²  2(x  2)(x²  4 )x

                   f ''( )x   f '( ) 'x         ₂                                 ₄                                   

                                                                        (x  2)                         (x  2)                        

                                                                  2(x  2)((x  2)²  x²  4 )x      2 4

                                                                                       4                                     3 .

                                                                                          (x  2)                    (x  2)

Очевидно, что знак второй производной зависит только от знака знаменателя. При x>-2 f ''( )x  0 и график направлен выпуклостью вниз, а при x>-2 f ''( )x  0 и график направлен выпуклостью вверх.

Используя полученную информацию о функции, строим эскиз графика.