МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по выполнению практических работ по дисциплине «МАТЕМАТИКА» для обучающихся профессий 140446.03 Электромонтер по ремонту и обслуживанию электрооборудования (по отраслям), 151902.03 Станочник (металлообработка), 150709.02 Свар

Министерство  общего и профессионального образования

Ростовской области

государственное  бюджетное профессиональное образовательное учреждение Ростовской области

 «Белокалитвинский многопрофильный техникум»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

по выполнению практических работ по дисциплине

«МАТЕМАТИКА»

для обучающихся профессий

 140446.03 Электромонтер по ремонту и обслуживанию электрооборудования (по отраслям),

151902.03 Станочник (металлообработка),

150709.02 Сварщик

г. Белая Калитва, 2014

Рассмотрено на заседании  ЦМК Общеобразовательных дисциплин Протокол № ___   от «___» _________2014 г. Председатель ЦМК____________ Е.И. Романюк

«Утверждаю»           Заместитель директора по УР                                                          ________________С.П. Калинина                                                   «____»_______________2014 г.

Составитель: преподаватель  Котелевская Е.А..

Методические указания по выполнению практических работ по дисциплине «Математика»  для всех специальностей.

Рассмотрен порядок выполнения практических работ по дисциплине «Математика», определены исходные данные, тематика практических работ, предложены рекомендации по выполнению этих работ. Методические рекомендации предназначены для обучающихся дневной формы обучения.

/ГБПОУ  РО «БКМТ» – Белая Калитва, 2014.

СОДЕРЖАНИЕ Назначение методических указаний
Требования к знаниям и умениям при выполнении практических работ
Практические работы:
Практическая работа №1 «Приближенное значение величины и погрешности приближений. Нахождение приближенных значений величин и погрешности вычислений (абсолютной и относительной)»
Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом»
Практическая работа №2 «Правила действий с логарифмами»
Практическая работа №3 «Решение упражнений на преобразование рациональных, иррациональных, степенных, показательных и логарифмических выражений».
Практическая работа №4 «Решение тригонометрических уравнений».
Практическая работа №5 «Решение упражнений на определение свойств функций».
Практическая работа №6 «Тригонометрические функции. Определения функций, их свойства и графики».
Практическая работа №7 «Производные обратной функции и композиции функции».
Практическая работа № 8 «Нахождение неопределённого интеграла разными методами». Практическая работа №9 «Решение рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений и неравенств»
Практическая работа № 8 «Элементы комбинаторики»
Практическая работа №10 «Вычисление в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов»
Практическая работа №11 «Решение практических задач с примененияем вероятностных методов»
Практическая работа №12 «Свойства параллелепипеда,призмы»
Практическая работа №13 «Многогранники»
Практическая работа №14 «Векторы»

Назначение методических указаний

Настоящий сборник практических работ предназначен в качестве методического пособия при проведении практических занятий по программе дисциплины «Математика» для профессий 140446.03 Электромонтер по ремонту и обслуживанию электрооборудования (по отраслям), 151902.03 Станочник (металлообработка), 150709.02 Сварщик. в соответствии с ФГОС СПО по дневной форме обучения.

         Сборник содержит описания практических работ.

Требования к знаниям и умениям при выполнении

практических работ

В результате выполнения практических работ, предусмотренных программой по данной специальности, студент должен уметь:

АЛГЕБРА

·               выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения;

·               находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах;

·               выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

·               для практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства.

Функции и графики

·               вычислять значение функции по заданному значению аргумента при различных способах задания функции;

·               определять основные свойства числовых функций, иллюстрировать их на графиках;

·               строить графики изученных функций, иллюстрировать по графику свойства элементарных функций;

·               использовать понятие функции для описания и анализа зависимостей величин;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности в повседневной жизни:

·               для описания с помощью функций различных зависимостей, представления их графически, интерпретации графиков.

Начала математического анализа

·               находить производные элементарных функций;

·               использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков;

·               применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения;

·               вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

·               решения прикладных задач, в том числе социально-экономических и физических, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения.

Практические занятия - один из видов практического обучения, имеющий целью закрепление теоретических знаний и формирование практических умений и навыков.

Практическая работа по математике заключается в выполнении студентами под руководством преподавателя комплекса учебных заданий, направленных на усвоение основ учебной дисциплины «Математика», приобретение практических навыков решения примеров и задач. Выполнение практической работы студенты производят в письменном виде и предоставляется преподавателю, ведущему данную дисциплину для проверки.

Для лучшего усвоения студентами изучаемого материала и получения уверенных навыков решения примеров и задач при проведении практических занятий целесообразно использовать различные методы и приемы:

- рассмотрение решения типовых примеров в форме видеолекции;

- исследовательская работа при решении примеров и практических задач;

- работа в группах;

- применение компьютерных программ для решения математических задач.

Содержанием практических занятий являются

— Выполнение вычислений, расчетов;

— Работа со справочниками, таблицами.

Необходимые структурные элементы практического занятия:

— Инструктаж, проводимый преподавателем;

— Самостоятельная деятельность студентов;

— Анализ и оценка выполненных работ и степени овладения студентами запланированных умений.

Перед выполнением практического занятия проводится проверка знаний студентов на предмет их готовности к выполнению задания.

Методические указания к выполнению практических работ содержат :

·       Тему занятия.

·       Цель занятия.

·       Краткая теория.

·       Порядок выполнения занятия.

Оценки за выполнение являются показателями текущей успеваемости студентов по дисциплине «Математика».

Критерии оценки практических заданий.

Отметка «5» ставится, если:

       работа выполнена полностью;

       в логических  рассуждениях и обосновании решения нет пробе­лов и ошибок; 

       в решении нет математических ошибок (возможна одна неточ­ность, описка, не являющаяся следствием незнания или непо­нимания учебного материала).

 Отметка «4» ставится, если:

            работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение        обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);

       допущена одна существенная ошибка или два-три несущественных ошибки.

 Отметка «3» ставится, если:

            допущены более одной существенной ошибки или более двух-трех  

            несущественных ошибок, но учащийся владеет обязательными 

            умениями по проверяемой теме; при этом правильно выполнено не

            менее половины работы. 

Отметка «2» ставится, если:

            допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не владеет

обязательными умениями по данной теме в полной мере или работа показала полное отсутствие у учащегося обязательных знаний и умений по проверяемой теме или значительная часть работы выполнена не самостоятельно.

Практические работы.

Каждое практическое занятие имеет следующую структуру

1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;

2.Проверка готовности студентов к занятию;

3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:

·       Изучить теоретический материал по теме занятия.

·       Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

·       Выполнить самостоятельную практическую работу.

Время выполнения самостоятельной работы – 45 минут.

Практическая работа №1

 «Приближенное значение величины и погрешности приближений. Нахождение приближенных значений величин и погрешности вычислений (абсолютной и относительной). Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом»

Цель работы: Приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний по нахождению приближенных значений величин и погрешностей вычислений (абсолютной и относительной). Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Краткая теория.

При различных измерениях одной и той же величины будем получать различные приближения. Каждое из этих приближений будет отличаться от истинного значения измеряемой величины, равного, например, х, на некоторую величину, которую мы будем называть погрешностью.

Определение: Модуль разности между точным числом х и его приближенным значением а называется абсолютной погрешностью α приближенного значения числа х:

|x-a|=α.

Число а называется приближенным значением точного числа х с точностью до ∆а, если абсолютная погрешность приближенного значения а не превышает ∆а, т.е. |x-a|∆а.

Число ∆а называется границей абсолютной погрешности приближенного числа а. Существует бесконечное множество чисел ∆а, удовлетворяющих приведенному определению; поэтому на практике стараются подобрать возможно меньшее и простое по записи число ∆а.

По известной границе абсолютной погрешности ∆а находятся границы, в которых заключено точное значение числа х:

х=а∆а

а-∆ах а+∆а

Относительной погрешностью приближённого числа называется отношение абсолютной погрешности приближённого числа к самому этому числу: 

.

Число ɛ называют границей относительной погрешности.

Относительную погрешность можно выражать в процентах. Качество измерений и вычислений тем лучше, чем меньше граница относительной погрешности.

Примеры решения типовых задач.

1.                 Даны приближенные значения числа х=2/3: а₁=0,6; а₂=0,66; а₃=0,67. Какое из этих трех приближений является лучшим?

Решение.

Найдем абсолютную погрешность α:

α₁=

α₂=

α₃=

Значит, лучшим приближением числа х является а₃=0,67.

2.                 Длина детали х (см) заключена в границах 33 х 34. Найдите границу абсолютной погрешности измерения детали.

Решение.

Примем за приближенное значение длины детали среднее арифметическое границ:

а=. Тогда граница абсолютной погрешности приближенного значения длины детали не превзойдет 0,5 (см). Величину ∆а можно найти и как полуразность верхней и нижней границ, т.е. ∆а= Длина детали х, найденная с точностью до ∆а=0,5 (см), заключена между приближенными значениями числа х:

33,5 – 0,5х33,5+0,5; х=33,50,5 (см).

3.    В школе 1254 учащихся. При округлении этого числа до 1200 абсолютная погрешность составляет Δ = |1200 – 1254| = 54, относительная погрешность равна  или 4,3 %. При округлении до 1250: Δ = |1250 – 1254| = 4, а относительная погрешность или 0,3 %.

Так как в большинстве случаев истинное значение величины х неизвестно, то на практике относительную погрешность оценивают некоторым числом ɛ, большим этой погрешности. В качестве ɛ можно взять отношение  или любое число, большее этого отношения, но достаточно близкое к нему.

4.  Пусть . Вычислить в процентах границу относительной погрешности приближенного значения величины х.

Решение: Имеем а=42,1, Δа=0,2. ɛ==0,4%.

Самостоятельная работа студентов.

Вариант №1 1.                 В каких границах заключена величина х, если х=24,7±0,25. 2.   Вычислите приближенное значение величины х, равное среднему арифметическому границ, и укажите точность этого приближения, если 3,6≤х≤4,2. 3.   Установите, какое равенство точнее  или . 4.   Найдите верхнюю и нижнюю границы, если приближенное значение числа и относительная погрешность в процентах соответственно равны: 0,12 и 0,1%.

Вариант №2 1.                 В каких границах заключена величина х, если х=0,012±0,0014. 2.   Вычислите приближенное значение величины х, равное среднему арифметическому границ, и укажите точность этого приближения, если 0,12≤х≤0,14 3.   Установите, какое равенство точнее или  . 4. Найдите верхнюю и нижнюю границы, если приближенное значение числа и относительная погрешность в процентах соответственно равны: 3,15 и 5%.

Вариант №3 1. В каких границах заключена величина х, если х=6430±45. 2. Вычислите приближенное значение величины х, равное среднему арифметическому границ, и укажите точность этого приближения, если 1,2≤х≤2,4. 3. Установите, какое равенство точнее  или . 4. Найдите верхнюю и нижнюю границы, если приближенное значение числа и относительная погрешность в процентах соответственно равны: 13 и 2%.

Вариант №4 1. В каких границах заключена величина х, если х=1,128±0,005. 2. Вычислите приближенное значение величины х, равное среднему арифметическому границ, и укажите точность этого приближения, если 0,22≤х≤0,28 3. Установите, какое равенство точнее  или . 4. Найдите верхнюю и нижнюю границы, если приближенное значение числа и относительная погрешность в процентах соответственно равны: 0,15 и 0,2%.

Цель работы: Приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний и умений в выполнении операций над комплексными числами в алгебраической форме, решении уравнений с отрицательным дискриминантом. Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Краткая теория.

C - множество комплексных чисел

Множество комплексных чисел обладает свойствами:

1) На множестве комплексных чисел выполняются все операции, имеющие место на множестве действительных чисел

2) На множестве комплексных чисел разрешимы ВСЕ квадратные уравнения

Основные определения.

1.Существует элемент  – мнимая единица, 

2. Множество комплексных чисел С образуется добавлением к множеству действительных чисел R мнимой единицы.

3. Элемент  называется комплексным числом.  – действительная часть комплексного числа,  – мнимая часть комплексного числа.

 - комплексное число

Например, , имеет действительную часть 2 и мнимую часть 3

, имеет действительную часть 2 и мнимую часть -3

Два комплексных числа  и  называются сопряженными

Степени мнимой единицы:

i;
i² = – 1;
i³ = i²×i = (– 1)i = – i;
i⁴ = i³×i = – i×i = – i² = – (– 1) = 1;
i⁵ = i⁴×i = 1×i = i;
i⁶ = i⁵×i = i×i = i² = – 1;
i⁷ = i⁶×i = (– 1)×i = – i;
i⁸ = i⁷×i = – i×i = 1;

Сложение и вычитание комплексных чисел:

Умножение комплексных чисел:

Деление комплексных чисел:

Решение квадратных уравнений на комплексной плоскости

Квадратным уравнением называется уравнение вида , где  – неизвестная (переменная),  – действительные числа (первый и второй коэффициенты и свободный член), причем

Значение дискриминанта	Корни уравнения
	Уравнение имеет два различных действительных корня
	Уравнение имеет два равных действительных корня
	Уравнение имеет два различных мнимых корня Корни – сопряженные комплексные числа

Примеры решения типовых задач.

 1. Даны комплексные числа .  Найдите сопряженные к ним.

Решение:

Согласно определению:  два комплексных числа называются сопряженными, если их действительные части равны, а мнимые – противоположны, находим

.

 2. Найдите сумму, разность, произведение и частное двух комплексных чисел , если   .

Решение:

,

 ,

 

 т.к. , то

 .

 чтобы найти частное двух комплексных чисел надо числитель и знаменатель дроби домножить на сопряженное к знаменателю.

 в числителе перемножаем как при выполнении предыдущей операции, а в знаменателе стоит разность квадратов

 .

Самостоятельная работа студентов

Вариант 1.

1.Найдите решение уравнения на множестве комплексных чисел:

2. Даны два комплексных числа  и . Найдите их сумму, разность, произведение и частное.

Вариант 2

1.Найдите решение уравнения на множестве комплексных чисел:

2. Даны два комплексных числа  и . Найдите их сумму, разность, произведение и частное.

Вариант 3

1.Найдите решение уравнения на множестве комплексных чисел:

2. Даны два комплексных числа  и . Найдите их сумму, разность, произведение и частное.

Вариант 4

1.Найдите решение уравнения на множестве комплексных чисел:

2. Даны два комплексных числа  и . Найдите их сумму, разность, произведение и частное.

Вариант 5

1.Найдите решение уравнения на множестве комплексных чисел:

2. Даны два комплексных числа  и . Найдите их сумму, разность, произведение и частное.

Вариант 6

1.Найдите решение уравнения на множестве комплексных чисел:

2. Даны два комплексных числа  и . Найдите их сумму, разность, произведение и частное.

Вариант 7

1.Найдите решение уравнения на множестве комплексных чисел:

2. Даны два комплексных числа  и . Найдите их сумму, разность, произведение и частное.

Вариант 8

1.Найдите решение уравнения на множестве комплексных чисел:

2. Даны два комплексных числа  и . Найдите их сумму, разность, произведение и частное.

Практическая работа №2

«Правила действий с логарифмами»

Цель работы: Приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний понятия логарифм и его свойств. Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Краткая теория.

Логарифмом положительного числа b по основанию а (а>0, а≠1) называется показатель степени, в которую надо возвести основание a , чтобы получить b.

Если мы в равенстве  вместо с подставим его определение с=, то получим равенство, которое называют -  основное логарифмическое тождество:  .

Из определения логарифма очевидны следующие

Частные случаи:

 

Виды логарифмов:  - десятичный логарифм.

ln a =  - натуральный логарифм (основание е≈2.7)

Свойства логарифмов:

Для всех выполняется

1.    

2.    

3.    

4.    

5.     Если а>1 и b>с, то  

6.     Если 0<а<1 и b>с, то .

Свойства 5-6 называются свойствами монотонности логарифма.

Формула перехода к другому основанию:

, в частности .

Итак, вся информация по логарифмам изложена. Перед тем, как приступить к решению примеров отметим, что операция по нахождению логарифма называется логарифмированием.

Примеры решения типовых задач.

1. Вычислить Читаем «в какую степень надо возвести основание 2, чтобы получить 8?» Ответ: в третью. Значит, исходный логарифм равен показателю степени, т.е. 3. ().

2. Вычислить  т.к. , то .

3.  Вычислить  

4. Вычислить  ;    

5. Вычислить тогда, если обозначить искомый , то согласно определению данное логарифмическое равенство можно записать в виде , или (по св-ву 10 степеней) 3х=5, откуда х=.

Ответ: .

6.  Вычислить     можно иначе

 .

7. Определить, при каких х существует  ?

По определению логарифма должно выполняться неравенство . Решив его, получим 1<x<4.

8. Вычислить ; 

9.  ;

10. .

11. .

Самостоятельная работа студентов.

Вариант I. I. Вычислить: 1).  2).; 3). 24log2 log2 log2 16; 4). 103–lg 5 5). II. Определить, при каких х существует   ?

Вариант II. I. Вычислить: 1). 2).; 3). ; 4). 5). II. Определить, при каких х существует   ?

Практическая работа №3

«Решение упражнений на преобразование рациональных, иррациональных, степенных, показательных и логарифмических выражений»

Цель работы: Повторение, систематизация и контроль знаний по данной теме.

Данная работа включает в себя как теоретические, так и практические задания по указанной теме.

Самостоятельная работа студентов

Вариант I. 1. Ответить на вопросы: а) Дайте определение логарифма. б) Перечислите свойства степеней с действительным показателем. 2.Вычислить: а). ; б).  в).   103lg 2-1  3. Найти  если

Вариант II. 1. Ответить на вопросы: а) Запишите основное логарифмическое тождество. б) Перечислите свойства логарифмов. 2. Вычислить: а). б).    в).   3. Найти  если

Практическая работа №4

 «Решение тригонометрических уравнений»

Цель работы: Приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний и умений при решении тригонометрических уравнений. Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Краткая теория.

    Тригонометрические уравнения делятся на простейшие триг.уравнения вида sin(x)= a, cos(x)= a, tg(x)= a, сtg(x)= a,  где а – заданное число, и на уравнения, сводящиеся к простейшим.

По способу сведения уравнения к простейшему все триг.уравнения делятся на следующие группы:

1)    Сводящиеся к квадратным относительно синуса, косинуса, тангенса или котангенса;

2)    Решаемые разложением на множители;

3)    Однородные относительно синуса или косинуса (первой и второй степени);

4)    Прочие, требующие индивидуального подхода.

Решение простейших тригонометрических уравнений

Частные случаи:

tg x = 0, 

tg x = 1, 

tg x = -1, 

Частные случаи:

ctg x = 0, 

ctg x = 1, 

ctg x = -1, 

Примеры решения типовых задач.

1. Решить уравнение: 

Решение:

  - это простейшее уравнение, частный случай.

Смотрим в формулу и аргумент синуса приравниваем к 

Неизвестная переменная в уравнении «х». Вот ее и выразим из нового уравнения

.

Ответ: ,  .

2. Решить уравнение: 

Решение:

  - это простейшее уравнение, общий случай.

Т.к. [0; π] и , то

   /

Ответ:   , 

3. Решить уравнение: 

Решение:

, 

В силу нечетности арктангенса

  /

Ответ:  ,  .

4. Решить уравнение: 

Решение:

Т.к. , то решений нет.

5. Решить уравнение:

Решение:

Воспользуемся следствием из формулы косинуса двойного угла

 и преобразуем исходное уравнение к виду

  раскроем скобки и перенесем всё влево

  - квадратное уравнение относительно синуса

Замена:   –

 поскольку функция синуса ограниченная, т.е. значение синуса не может превышать по модулю 1, то сразу накладываем на новую переменную ограничения, которые в некоторых случаях позволят сразу отбросить «лишние» корни.

Решаем уравнение  , D=, =>,

, , - не удовлетворяет замене.

Возвращаемся к замене и получаем простейшее триг.уравнение, общий случай

,  решение которого находим по общей формуле

,  .

Ответ:   ,  .

6. Решить уравнение:

Решение:

Раз в уравнении есть тангенс, то выписываем

ОДЗ: x  π/2+πk,

Переходим к решению уравнения. Перенесем все члены уравнения в левую часть.

 . Сгруппируем второе и третье слагаемое, вынеся общий множитель за скобку

 . А теперь снова вынесем общий множитель

. Получили произведение двух множителей. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Т.о., одно уравнение  распадается на пару: скобку приравниваем нулю.

  или

 

Получили два простейших уравнения, частные случаи. Решаем каждое

. Вспоминаем ОДЗ:  x  π/2+πk, .

Второй корень не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: , .

7. Решить уравнение:  

Решение:

 - однородное первой степени. Делим на косинус

 или

 

 - простейшее триг.ур., частный случай

 /

 

Ответ: , .

Самостоятельная работа студентов.

Вариант 1.

I. Решить уравнения:

1)

2)  

3) cos 2x – cos x cos 3x = 0

4)

Вариант 2.

I. Решить уравнения:

1)

2)  

3) 2

4)

Вариант 3.

I. Решить уравнения:

1)

2)  

3)

4)

Вариант 4.

I. Решить уравнения:

1)

2)  

3) 3  x – sin x -1 = 0

4)

Практическая работа №5

 «Решение упражнений на определение свойств функций».

Цель работы: Приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний и умений на определение свойств функций. Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Краткая теория.

Множество X всех допустимых действительных значений аргументаx, при которых функция y = f (x) определена, называется областью определения функции.

Множество Y всех действительных значений y, которые принимает функция, называется областью значений функции.

Теперь можно дать более точное определение функции: правило(закон) соответствия между множествами X и Y, по которому для каждого элемента из множества X можно найти один и только один элемент из множества Y, называется функцией.

Функция считается заданной, если:

1.     задана область определения функции X ;

2.     задана область значений функции Y ;

3.     известно правило (закон) соответствия, причем такое, что для каждого значения аргумента может быть найдено только одно значение функции. Это требование однозначности функции является обязательным.

Если для любых двух значений аргумента x₁и x₂ из условия x₂ > x₁ следует f ( x₂ ) > f ( x₁ ), то функция f (x ) называется возрастающей; если для любых x₁ и x₂ из условия x₂ > x₁ следует f (x₂)< f (x₁), то функция f(x) называется убывающей. Функция, которая только возрастает или только убывает, называется монотонной.

Точка x_о называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точки x_о, для всех точек которой верно неравенство f(x) ≤ f(x_о) (f(x) ≥ f(x_о)).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f ( x )| M для всех значений x .  Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

Если для любого x из области определения функции имеет место: f ( - x ) = f(x), то функция называется чётной; если же имеет место: f (-x) = - f (x), то функция называется нечётной.

График чётной функции симетричен относительно оси Y (рис.5), 
a график нечётной функции симметричен относительно начала координат (рис.6).

Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, 
что для любого x из области определения функции имеет место: f ( x + T ) = f ( x ). 
Такое наименьшее число называется периодом функции.

Значение аргумента, при котором функция равна 0, называется нулём (корнем) функции.

Функция может иметь несколько нулей.

Геометрически нуль функции – это абсцисса точки пересечения графика функции с осью Х .

На рис.7 представлен график функции с нулями: x = a, x = b и x = c .

Если график функции неограниченно приближается к некоторой прямой при своём удалении от начала координат, то эта прямая называется асимптотой.

Примеры решения типовых задач.

1.     По графику функции , изображённому на рисунке, укажите :

-         область определения;

-         область значений;

-         промежутки монотонности;

-         экстремумы;

-         четность или нечетность;

-         периодичность;

-         непрерывность;

-         нули функции.

Решение.

1. Область определения: D(y)=[-5,6].

2. Область значений: E(y) = [-3, 7].

3. Функция возрастает на промежутке [-2, 4], убывает на [-5,-3] и [4,6].

4. Точки экстремума: точка х=-2 является точкой минимума, х=4 – точкой максимума. Экстремальные значения функции в этих точках: у(-2) = -3, у(4)=3.

5. Данная функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической, т.е. функцией общего вида.

6. Нули функции. Из графика видно, что нули функции х=-4 и х=1.

Самостоятельная работа студентов.

1. Перечертите график функции , изображённый на рисунке и  укажите :

-         область определения;

-         область значений;

-         промежутки монотонности;

-         экстремумы;

-         четность или нечетность;

-         периодичность;

-         непрерывность;

-         нули функции.

2. Дайте определение функции, приведите примеры.

Вариант 1	Вариант 2
Вариант 3	Вариант 4

Практическая работа №6

 «Тригонометрические функции. Определения функций, их свойства и графики».

Цель работы: Приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний понятия тригонометрических функций и их графиков. Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Краткая теория.

1.     Функцию, заданную уравнением y = sin x, называют синусом.

Область определения: Множество R, так как каждому действительному числу x соответствует единственное действительное число sin x.

Множество значений функции — отрезок [-1;1], так как |sin x| ≤ 1.

Периодичность: Синус — функция периодическая с периодом 2π, так как

sin(х ± 2π) = sin х

Чётность-нечётность: Синус нечётная функция, так как если x  R, то -x  R и                                            sin(-x) = -sin x

(график симметричен относительно начала координат)

Непрерывность: Синус — непрерывная функция в любой точке x₀  R

Интервалы возрастания, убывания:  Функция y = sin x строго возрастает от -1 до 1 на промежутках [-π/2+2πk; π/2+2πk], k  Z, и строго убывает от 1 до -1 на промежутках [π/2+2πk; 3π/2+2πk], k  Z.

Экстремумы и точки обращения функции в ноль:

Функция y=sin x имеет минимумы, равные -1, в точках x = - π/2+2πk, где kZ,

и имеет максимумы, равные 1, в точках x =  π/2+2πk, где k  Z

Функция принимает нулевое значение в точках x = πk, где k  Z

График функции - синусоида.

2.     Функцию, заданную уравнением y = cos x, называют косинусом.

Область определения: Множество R, так как каждому действительному числу x соответствует единственное действительное число cos x.

Множество значений функции — отрезок [-1;1], так как |cos x| ≤ 1.

Периодичность: Косинус — функция периодическая с периодом 2π, так как

cos(х ± 2π) = cos х

Чётность-нечётность: Косинус чётная функция, так как если x  R, то -x  R и  cos(-x) = cos x

(график симметричен относительно оси Oy)

Непрерывность: Косинус — непрерывная функция в любой точке x₀  R

Интервалы возрастания, убывания: Функция y = cos x строго возрастает от -1 до 1 на промежутках [-π +2πk; 2πk], k  Z, и строго убывает от 1 до -1 на промежутках [2πk; π +2πk], k  Z.

Экстремумы и точки обращения функции в ноль

Функция y= cos x имеет минимумы, равные -1, в точках x = π+2πk, где k  Z,

и имеет максимумы, равные 1, в точках x = 2πk, где k  Z

Функция принимает нулевое значение в точках x = π/2+πk, где k  Z

График функции - косинусоида.

3.     Функцию, заданную уравнением y = tg x, называют тангенсом.

Область определения: Множество R (действительных чисел), кроме точек x = π/2+πk, где k  Z (поскольку тангенс, как отношение синуса к косинусу не определен в тех точках, в которых его знаменатель, т.е. косинус обращается в ноль).

Множество значений функции — множество R (действительных чисел)

Периодичность: Тангенс — функция периодическая с периодом π, так как tg(х ± π) = tg х

Чётность-нечётность: Тангенс нечётная функция (её график симметричен относительно начала координат), так как x  R, то -x  R и tg(-x) = -tg x

Непрерывность: Тангенс — непрерывная функция на каждом интервале

(-π/2+πk; π/2+πk), k  Z области определения

Интервалы возрастания, убывания: Функция y = tg x строго возрастает на каждом промежутке (-π/2+πk; π/2+πk), k  Z

Экстремумы и точки обращения функции в ноль:

Функция y=tg x не имеет экстремумов, так как не ограничена.

Функция принимает нулевое значение в точках x = πk, где k  Z

График функции- тангенсоида

4.     Функцию, заданную уравнением y = сtg x, называют котангенсом.

Область определения: Множество R (действительных чисел), кроме точек x = πk, где

k  Z (поскольку котангенс, как отношение косинуса к синусу не определен в тех точках, в которых его знаменатель, т.е. синус обращается в ноль)

Множество значений функции — множество R (действительных чисел).

Периодичность: Котангенс — функция периодическая с периодом π, так как

ctg(х ± π) = ctg х

Чётность-нечётность: Котангенс нечётная функция (её график симметричен относительно начала координат), так как x  R, то -x  R и ctg(-x) = -ctg x

Непрерывность: Тангенс — непрерывная функция в каждом интервале (πk; π(k+1)),

k  Z области определения

Интервалы возрастания, убывания:

Функция y = ctg x строго убывает на каждом интервале (πk; π(k+1)), k  Z области определения.

Экстремумы и точки обращения функции в ноль:

Функция y=ctg x не имеет экстремумов, так как не ограничена.

Функция принимает нулевое значение в точках x = π/2+πk, где k  Z

График функции- котангенсоида

Самостоятельная работа студентов.

Вариант 1 Постройте график функции y=sin2x и перечислите ее свойства.	Вариант 2 Постройте график функции y=sinx и перечислите ее свойства.
Вариант 3 Постройте график функции y=cosx и перечислите ее свойства.	Вариант 4 Постройте график функции y=соs2x и перечислите ее свойства.

Практическая работа №7

«Производные обратной функции и композиции функции».

Цель работы: Приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний производных обратной и сложной функций. Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Краткая теория.

Пусть функция  f(x) имеет в точке x_o производную . Тогда обратная функция  имеет в соответствующей точке y_o производную , которую можно отыскать по формуле

Производная сложной функции находится по формуле:

Иногда удобно использовать таблицу для производных сложных функций.

Название функции	Сложная функция
Степенная функция
Показательная функция	f ʹ(x)
Логарифмическая функция	(ln f(x))’
Тригонометрические функции	( )’
Обратные тригонометрические функции	( )’               ( )’ ( )’             ()
Частные случаи	( )’

Примеры решения типовых задач.

1. Найти производную функции .

Применим формулу дифференцирования сложной функции

Как определить порядок дифференцирования в сложной функции? Надо посмотреть, какая операция была бы последней при вычислении значения этой композиции и с неё начинать дифференцирование. Если бы я стала вычислять значение функции

 при х=1, то сначала я бы подсчитала значение многочлена при данном иксе

,

потом бы вычислила значение тригонометрической функции  от этого аргумента  , а в самом конце возвела бы полученное число в квадрат .

Итак, какая операция была последней? – Возведение в степень! С неё и начнём дифференцирование.

 

По формуле синуса двойного угла  свернём удвоенное произведение синуса на косинус одного и того же аргумента

.

2. Найти производную функции  

Вся сложность дифференцирования заключена в дробях и корнях.

Самостоятельная работа студентов.

Найдите производные функций.

ВариантI.	ВариантII.
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
ВариантIII.	ВариантIV.
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.

Практическая работа № 8 «Нахождение неопределённого интеграла разными методами».

Цель работы: Приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний и умений нахождения неопределенного интеграла разными методами. Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Краткая теория.

Интегрированием называется действие обратное дифференцированию. Или восстановление функции f(х) по данной производной f`(х). Латинское слово “integro” означает – восстановление.

Опр.1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если при всех значениях переменной х выполняется равенство F=f(x) – производная первообразной для функции f(x) равна самой функции f(x).

Т.(о первообразных) : Если функции (x) и (x)  являются первообразными для функции f(x), то найдется такое число С, что (x)= (x)+С. Таким образом,  две первообразными одной  функции f(x) отличаются друг от друга на число (константу).

Например, для функции f (х)=3х² первообразными, согласно определению, являются F₁ (х)=х³ ,и F₂ (х)=х³ +5, и F₃ (х)=х³-12, т.к. по правилу дифференцирования .

Замечание ( Геометрическая иллюстрация): График любой первообразной F(х)+С функции f(x) можно получить из графика первообразной у=F(х) при помощи параллельного переноса вдоль оси ординат Оу.

Опр.2: Совокупность всех первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается интеграл f(x)dx. Функция f(x) называется подынтегральной функцией, а комбинация f(x)dx-подынтегральным выражением.

f(x)dx = F(x)+C, где С – произвольная константа.

Свойства неопределённого интеграла.

1.     Если функция f(x) имеет первообразную, то  и

2.      

Свойства 2) и1) говорят о том ,что знаки  и d стоящие друг около друга “взаимно уничтожаются” т.е. операции интегрирования и дифференцирования являются взаимно обратными операциями.

3.       , где k-константа. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

4.      = . Интеграл суммы равен сумме интегралов.

Таблица  неопределенных интегралов

1.      

2.      

3.      

4.      

5.      

6.    

7.      

8.      

9.      

10.  

11.  

12.  

13.  

14.

Если a , то

15.  

16.  

17.  

18.   

19.

Рассмотрим два способа решения неопределенного интеграла – это метод непосредственного интегрирования и метод замены переменной.

Непосредственным интегрированием называется такой метод вычисления интеграла, при котором исходный  интеграл путем преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Интегрирование методом подстановки (иначе называют метод замены переменной) заключается в подборе такой замены одной переменной интегрирования на другую, чтобы подынтегральное выражение упростилось, а исходный интеграл превратился в табличный. После вычисления интеграла не забываем возвращаться к замене от новой переменной к старой.

Итак: Решить неопределенный интеграл – это значит найти множество всех первообразных, а не какую-то одну функцию. Т.е. при вычислении неопределенного интеграла надо не забывать в конце записывать константу – произвольное действительное число, обычно обозначаемое буквой С.

Примеры решения типовых задач.

1.     

2.   

3.   

4.

 .

5.   

6. 

7.

Самостоятельная работа студентов.

	Табличный метод		Метод подстановки
1 вариант		1 2 3 4 5
2 вариант		1 2 3 4 5
3 вариант		1 2 3 4 5
4 вариант		1 2 3 4 5

Практическая работа № 8 « Элементы комбинаторики»

Теоритическое обоснование:

Рассмотрим некоторое множество Х, состоящее из n элементов  . Будем выбирать из этого множества различные упорядоченные подмножества  из kэлементов.

Размещением из n элементов множества Х по k элементам назовем любой упорядоченный набор  элементов множества Х.

Если выбор элементов множества  из Х происходит с возвращением, т.е. каждый элемент множества Х может быть выбран несколько раз, то число размещений из n по kнаходится по формуле  (размещения с повторениями).

Если же выбор делается без возвращения, т.е. каждый элемент множества Х можно выбирать только один раз, то количество размещений из n по k обозначается  и определяется равенством
 
(размещения без повторений).

Пример. Пусть даны шесть цифр: 1; 2; 3; 4; 5; 6. Определить сколько трехзначных чисел можно составить из этих цифр.

Решение. Если цифры могут повторяться, то количество трехзначных чисел будет  . Если цифры не повторяются, то  .

Пример. Студенты института изучают в каждом семестре по десять дисциплин. В расписание занятий включаются каждый день по 3 дисциплины. Сколько различных расписаний может составить диспетчерская?

Решение. Расписание на каждый день может отличаться либо предметами, либо порядком расположения этих предметов, поэтому имеем размещения: 

Частный случай размещения при n=k называется перестановкой из n элементов. Число всех перестановок из n элементов равно .

Пример. 30 книг стоит на книжной полке, из них 27 различных книг и одного автора три книги. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы книги одного автора стояли рядом?

Решение. Будем считать три книги одного автора за одну книгу, тогда число перестановок будет  . А три книги можно переставлять между собой  способами, тогда по правилу произведения имеем, что искомое число способов равно:  *  =3!*28!

Пусть теперь из множества Х выбирается неупорядоченное подмножество  (порядок элементов в подмножестве не имеет значения). Сочетаниями из n элементов по kназываются подмножества из k элементов, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. Общее число всех сочетаний из n по k обозначается  и равно
 .

Справедливы равенства:  ,  ,  .

Пример. В группе из 27 студентов нужно выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно это сделать?

Решение. Так как порядок студентов не важен, используем формулу для числа сочетаний:  .

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n способами.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана m*n способами.

Пример. Наряд студентки состоит из блузки, юбки и туфель. Девушка имеет в своем гардеробе четыре блузки, пять юбок и трое туфель. Сколько нарядов может иметь студентка?

Решение. Пусть сначала студентка выбирает блузку. Этот выбор может быть совершен четырьмя способами, так как студентка имеет четыре блузки, затем пятью способами произойдет выбор юбки и тремя способами выбор туфель. По принципу умножения получается 4*5*3=60 нарядов (комбинаций).

Самостоятельная работа:

Задача 1. У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней подряд она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

Задача 2. Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинами, по другой - 6 мужчинам, по третьей - 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?

Задача 3. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?

Задача 4. В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?

Задача 5. Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую — 5 и в третью — 12. Сколькими способами это можно сделать.

Задача 6. Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду?

Задача 7. В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?

Задача 8. Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа? Сколько среди них будет правильных дробей?

Задача 9. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове Гора и Институт?

Задача 10. Каких чисел от 1 до 1 000 000 больше: тех, в записи которых встречается единица, или тех, в которых она не встречается?

Практическая работа №9 «Решение рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений и неравенств»

огарифмические уравнения

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

loga x = b.

(1)

Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = a^b.

Пример 1. Решить уравнения:

a) log₂ x = 3,       b) log₃ x = -1,       c) 

Решение. Используя утверждение 1, получим 
a) x = 2³ или x = 8;     b) x = 3^-1 или x = ¹/₃;     c)  или x = 1.

Показательная функция это функция y(x) = a^x, зависящая от показателя степени x, при некотором фиксированном значении основании степени a.

Основные формулы

Когда показатель степени x есть натуральное число x = n, выражение aⁿ есть произведение nмножителей:

an =	a·a·a· ... ·a
	n раз

Для произвольного значения x показательная функция определяется так, что обладает всеми свойствами натурального показателя степени.

 
 
 
 

Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком  тригонометрических функций.

Простейшими тригонометрическими уравнениями являются уравнения вида

 ,

,

,

 .

Самостоятельная работа студентов.

Задание № 1 (ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ  Ф-ИЯ)

Вариант № 1                                            Вариант № 2

1)  Решить  уравнения.

а)  813х = 1/3                                                       б)  5х – 14х – 1 + 3х + 1 = 66                           в)  72х + 1 –  8х + 1 = 0

а)  (1/125)4х = 5 б)  2х + 1 –  6х – 1 – 3х = 9 в)  112х + 1 –  12х + 1 = 0

2)  Решить  неравенства.

а)  (1/5)2х + 1  1                                                  б)  9х + 3х – 12 > 0

а)  71 – 3х  1 б)  25х –  2х – 15 < 0

Задание № 2 (ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ  ФУНКЦИЯ)

Вариант № 1                                            Вариант № 2

1)  Решить  уравнения.

а)  log1/2(2х – 1) + log1/ 2(х + 3) = – 2            б)  хlog = 32

а)  log2(х – 3) + log2(2х + 1) = 2 б)  хlog = 27

2)  Решить  неравенства.

а)  log0,5(3х – 2) <  – 1                                     б)  log3x + log3(x – 2)  1

а)  log2(2x + 3) > 2 б)  log1/6(х – 5) + log1/6х  – 1

Задание № 3 (ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ    УРАВНЕНИЯ  И  НЕРАВЕНСТВА)

Вариант № 1                                              Вариант № 2

1)  Решить  уравнения.

а)  2 sin x + 5 cos x = 0                                    б)  2 sin2x + 3 sinx cosx – 3 cos2x = 1         в)  sin 2x + cos2x = 1   г)  sin x = cos 3x  д)  cos 5x + cos 3x + cos x = 0

а)  3 sin x – 7 cos x = 0 б)  4 sin2x + sinx cosx – cos2x = 1 в)  sin 2x + sin2x = 1 г)  cos x = sin 3x д)  sin 5x + sin 3x – sin 4x = 0

2)     Решить  неравенства.

а)  cos x                                               б)  tg x >                                                       в)  2 cos2x + sin x – 1 < 0

а)  sin x б)  tg x < в)  2 sin2x – 5 cosx + 1 > 0

Практическая работа №10 «Вычисление в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов»

Основные понятия комбинаторики

В разделе математики, который называется комбинаторикой, решаются некоторые задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. Например, если взять 10 различных цифр 0, 1, 2, 3,: , 9 и составлять из них комбинации, то будем получать различные числа, например 143, 431, 5671, 1207, 43 и т.п.

Мы видим, что некоторые из таких комбинаций отличаются только порядком цифр (например, 143 и 431), другие - входящими в них цифрами (например, 5671 и 1207), третьи различаются и числом цифр (например, 143 и 43).

Таким образом, полученные комбинации удовлетворяют различным условиям.

В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания.

Предварительно познакомимся с понятием факториала.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут .

Пример 1.

Вычислить: а) ; б) ; в) .

Решение. а) .

б) Так как и , то можно вынести за скобки

Тогда получим

.

в) .

Перестановки.

Комбинация из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками.

Перестановки обозначаются символом Р_n, где n- число элементов, входящих в каждую перестановку. (Р - первая буква французского слова permutation- перестановка).

Число перестановок можно вычислить по формуле

или с помощью факториала:

Запомним, что 0!=1 и 1!=1.

Самостоятельная работа:

1. Сколькими способами можно расставлять на одной полке шесть различных книг?

2. Сколько вариантов распределения трех путевок в санатории различного профиля можно составить для пяти претендентов?

3. В бригаде из 25 человек нужно выделить четырех для работы на определенном участке. Сколькими способами это можно сделать?

4. На факультете изучается 16 предметов. На понедельник нужно в расписание поставить 3 предмета. Сколькими способами можно это сделать?

5. Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат и одного офицера, если имеется 80 солдат и 3 офицера?

6. В соревнованиях участвовало четыре команды. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно?

Практическая работа №13 «Многогранники»

Многогранники

Поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело, называется многогранной поверхностью или многогранником. Тетраэдр и параллелепипед — примеры многогранников.

Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями.Гранями тетраэдра и октаэдра являются треугольники (рис. 1 (a) и 2), гранями параллелепипеда — параллелограммы (рис. 1 (б)). Стороны граней называются ребрами, а концы ребер — вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну стороны от плоскости каждой его грани. Тетраэдр, параллелепипед и октаэдр — выпуклые многогранники. На рисунке 3 изображен невыпуклый многогранник.

Самостоятельная работа

Вариант 1

1. Основанием пирамиды DАВС является правильный треугольник АВС, сторона которого равна а. Ребро перпендикулярно к плоскости АВС, а плоскость DBC составляет с плоскостью АВС угол 30 ^о. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

2. Основанием прямого параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ является ромб АВСD, сторона которого равна а и угол равен 60^о. Плоскость АD₁C₁ составляет с плоскостью основания угол 60^о.

Найдите: а) высоту ромба;

б) высоту параллелепипеда;

в) площадь боковой поверхности параллелепипеда;

г)* площадь поверхности параллелепипеда.

Вариант 2

1. Основанием пирамиды МАВСD является квадрат АВСD, ребро МD перпендикулярно к плоскости основания, AD=DM=a. Найдите площадь поверхности пирамиды.

2. Основанием прямого параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ является параллелограмм АВСD, стороны которого равны и 2а, острый угол равен 45^о. Высота параллелепипеда равна меньшей высоте параллелограмма.

Найдите: а) меньшую высоту параллелограмма;

б) угол между плоскостью АВС₁ и плоскостью основания;

в) площадь боковой поверхности параллелепипеда;

г)* площадь поверхности параллелепипеда.

Практическая работа №14 «Векторы»

1  Вектором называется отрезок, у которого указано, какой из концов является началом, а какой – концом (направленный отрезок), обозначается , , где  - начало вектора, - конец.

2  Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых.

3  Векторы называются ортогональными, если угол между ними .

4  Векторы можно складывать ( по правилам треугольника и параллелограмма), можно умножать на число:                 ;    .

5  Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов:   

6  Модуль вектора    равен  

7  Если заданы начало   и конец  вектора   , то его координаты и длина  находятся следующим образом:

 ;      .

8  Скалярным произведением векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними

9 

10  Необходимое и достаточное условие ортогональности векторов: .

11  Проекция вектора на направление: 

Самостоятельная работа

Задание

1  Найти линейную комбинацию векторов

2  Найти длины векторов

3  Найти косинусы углов между векторами

4  Найти Найти

5  Найти

6  Выяснить, коллинеарны ли векторы  и

7  Выяснить, ортогональны ли векторы  и

Исходные данные:

Даны точки  .

Задание 1

Решение:

Задание 2

Решение:

Задание 3

Решение:

Задание 4

Решение:

Даны точки  .

 

Задание 5

Решение:

,

, ,

.

.

Задание 6

Решение:

,

 векторы не являются коллинеарными.

Задание 7

Решение:

,

, следовательно, векторы не являются ортогональными.

Задания к практической работе.

1  A (2; 3; -1); B (0; 1; 2); C (4; -1; -1); D (2; -3; 1)

2  A (3; -1; 1); B (1; 3; 2); C (1; -1; -1); D (4; 0; 3)

3  A (4; 1; 2); B (1; 0; 1); C (-1; 2; -1); D (3; 1; 0)

4  A (3; -2; 1); B (2; -1; 1); C (4; 0; 2); D (1; 1; -1)

5  A (-2; 2; 1); B (3; 0; 4); C (7; 1; 0); D (3; 0; 5)

6  A (1; -1; -1); B (2; 5; 7); C (-3; 1; -1); D (2; 2; 3)

7  A (-3; 1; 4); B (1; -2; -3); C (2; 2; 3); D (5; 3; 1)

8  A (2; -5; 1); B (4; 3; 5); C (-1; 0; 1); D (2; 1; 0)

9  A (-2; 2; 1); B (3; -1; 0); C (4; 4; 0); D (1; -1; 1)

10  A (4; 2; 5); B (0; 1; 3); C (-1; -1; 1); D (2; -2; 1)

11  A (1; 0; 1); B (7; 4; 3); C (3; -5; 1); D (-2; 2; 2)

12  A (5; 1; 0); B (-1; -1; -1); C (2; 4; 7); D (1; 0; 1)

13  A (10; 1; 1); B (-2; -1; 1); C (4; 3; 2); D (1; 0; -1)

14  A (2; -7; 4); B (2; -1; 3); C (1; 0; -1); D (2; 1; 3)

15  A (6; 3; 3); B (-1; 0; -2); C (3; 1; 1); D (0; 4; 5)

16  A (3; 2; 0); B (2; -1; 7); C (4; 0; 5); D (1; -2; -1)

17  A (4; -1; 2); B (1; 0; 3); C (-2; 1; 5); D (3; 8; -1)

18  A (1; 1; -3); B (-7; 5; 2); C (2; 1; 0); D (3; -3; 1)

19  A (5; 0; 1); B (2; -1; -1); C (-6; -1; 1); D (3; 1; 3)

20  A (3; 5; 1); B (7; -4; 3); C (2; 1; 1); D (0; -1; 3)

21  A (1; -2; 1); B (-1; 8; -3); C (3; 2; 1); D (5; 3; 1)

22  A (-3; -1; 1); B (2; -3; 0); C (1; 4; 5); D (2; 3; 4)

23  A (3; -1; 2); B (4; 0; 4); C (-1; 9; -1); D (3; -2; -2)

24  A (3; -2; 1); B (4; 2; 1); C (-1; -1; 1); D (3; 0; 1)

25  A (-2; 0; 1); B (4; -1; 3); C (-3; 2; 1); D (4; 1; 1)