МЕТОДИЧЕСКИЙ КЕЙС по теме «Нестандартные задачи - путь к развитию творческого мышления учащихся»

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ «Школа №77 города Донецка»

МЕТОДИЧЕСКИЙ КЕЙС

по теме

«Нестандартные задачи - путь к развитию

творческого мышления учащихся»

Автор: Кутателадзе Елена Вячеславовна,

учитель математики,

учитель высшей категории,

«Учитель-методист»

№       Содержание методического кейса                                                 Стр.

I.   Нестандартные задачи ……………………………………………………3

II.   Рекомендации «Как помочь школьникам научиться решать                                              нестандартные  задачи по математике?»…….. …………………………...11

III.   Схемы поиска решений нестандартных задач……………………… 14

IV.   Интересные советы…………………………………………………….14

V.   Литература ……………………………………………………………...16

I. Нестандартные задачи

Решение нестандартных задач является основой подготовки к будущей научной деятельности, хотя это обычно не требует знаний, выходящих за рамки школьной программы. Такие задачи, как правило, сформулированы так, что они не принадлежат ни к одному из стандартных типов задач школьного курса математики. Поэтому решение каждой из таких задач требует особого подхода, требующего у ученика интенсивной творческой работы.

         Умение решать нестандартные задачи свидетельствует о глубоком владения математическим аппаратом, а владение предметом гораздо важнее, чем «чистые знания», что всегда можно пополнить с помощью хороших справочников.

При решении нестандартных задач помогают общие принципы:

1)  превратить задачу к виду, удобному для решения;

2)  рассмотреть частный, наиболее простой случай, а затем обобщить идею решения;

3)  предположить, что утверждение задачи - неправильное. Если из этого предположения получим противоречие, то утверждение задачи является верным - доказательство от противного;

4) разбить задачу на несколько простых подзадач;

5) обобщить задачу.

Нередко исследование более общей проблемы требует меньших усилий, чем исследование ее частного случая ― «парадокс изобретателя».

Нестандартные задачи:

1. Принцип Дирихле ..........................................................................................

2. Комбинаторика ..............................................................................................

3. Переливание ........................................................................... ……………...

4. Взвешивание ..................................................................................................

5. Делимость чисел ...........................................................................................

6. Стратегии. Игры двух человек ............................................................ ........

1.     ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ

«Если по n ящикам рассадить больше n кроликов, то найдется ящик, в котором сидит более одного кролика» или «Если в n ящиках больше nk кроликов, то по крайней мере в одном ящике больше k кроликов».

Принцип Дирихле используют при решении различных задач связанных с проблемой существования. Решение происходит двумя способами: либо, очевидно, подаются в конкретной задаче и «кролики», и «ящики», либо доказательство ведется от противного.

        ОБОБЩЕННЫЙ ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ. «Если в n ящиках сидит не меньше nk + 1 кроликов, то, по крайней мере, в одном ящике сидит больше k кроликов».

Задача 1. В школе 20 классов. В ближайшем доме живут 23 ученика этой школы. Можно ли утверждать, что среди них найдутся хотя бы два одноклассника?

Решение: поскольку классы образуют n = 20 групп, а учеников 23> n, то по крайней мере в одной группе будет не менее двух одноклассников.

Задача 2. В ящике лежат 105 яблок четырех сортов. Доказать, что среди них по крайней мере 27 яблок одного сорта.

Доказательство: сорта яблок образуют n = 4 группы. Если каждого сорта взять по k = 26 яблок, то nk = 4 × 26 = 104 <105 Очевидно, что один из сортов будет 27 яблок.

Задача 3. На 5 полках шкафа стоят 160 книг. На одной из них - 3 книги. Докажите, что найдется полка, на которой стоит не менее 40 книг.

Доказательство: (от противного) Если такой полки нет, тогда на 5 полках 3 + 4 × 39 = 159 книг, но это противоречит условию задачи, поскольку имеем 160 книг, поэтому на одной из полок - 40 книг.

Задачи для решения:

1. В коробке лежат 4 красных и 2 зеленых шарика. Какое наименьшее число шариков необходимо извлечь, чтобы среди них оказался: а) один красный шарик; б) один зеленый шарик; в) один красный и один зеленый шарик;             г) два шарика одного цвета.

2. В коробке лежат 100 разноцветных шариков: 28 красных, 20 зеленых, 12 желтых, 20 синих, 10 белых и 10 черных. Какое наименьшее число шариков необходимо извлечь, чтобы среди них оказалось 15 шаров одного цвета?

3. В одном районе 7 школ. На район выделили 20 компьютеров. Доказать, что при любом распределении их между школами найдутся две, которые получат одинаковое количество компьютеров (возможно, ни одного).

4. 34 пассажира едут в автобусе, который останавливается на 9 остановках, и никакие новые пассажиры на одной из них не входят. Докажите, что на двух остановках выйдет одинаковое количество пассажиров.

5. Какому минимальному количеству школьников можно раздать 200 конфет, чтобы среди них при любом распределении нашлись двое, которые получат одинаковое количество конфет (возможно, ни одной).

6. 100 книг распределили между несколькими учениками. При каком минимальном количестве учеников это возможно сделать таким образом, чтобы все они получили разное количество книг?

7. Доказать, что среди любых 9 натуральных чисел найдутся два таких числа, которые при  делении на 8, дают одинаковые остатки.

8. Доказать, что среди любых  n + 1 натуральных чисел, найдутся два таких числа, разница которых  делится на n.

9. Действительно ли, что среди любых семи натуральных чисел найдутся три,  сумма которых делится на три?

10. Докажите, что среди любых трех чисел можно найти два таких, что их сумма является  четным числом.

2. КОМБИНАТОРИКА

Комбинаторикой  называют область математики, изучающую вопросы, связанные с определением количества различных комбинаций при данных условиях и заданных объектах. Большинство задач решаются с помощью двух основных правил - правило суммы и правило произведения.

ПРАВИЛО СУМЫ. Если объект А можно выбрать m способами, а объект В - n способами, то объект А или В можно выбрать m + n способами.

ПРАВИЛО  ПРОИЗВЕДЕНИЯ. Если объект А можно выбрать m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пару объектов А и В можно выбрать m × n способами.

Задача 1. Из города  А в город Б ведут две дороги, из города А в город Г - четыре дороги, из Б в В - три дороги, из Г в В - пять. а) Сколько разных дорог ведут из А в В через Б? б) Сколько вообще разных дорог из А в В?

Решение: а) по правилу произведения 2 × 3 = 6. б) Рассмотрим два случая: путь проходит через Б и через Г. В первом случае по правилу произведения имеем: 2 × 3 = 6, во втором - 4 × 5 = 20 дорог. По правилу суммы 20 + 6 = 26 дорог.

Задача 2. Сколько способов есть для выбора четырех дежурных из 30 учеников класса.

Решение: первого дежурного можно выбрать 30, второго - 29, третьего - 28 четвертого - 27 способами. Итак, всего 30 × 29 × 28 × 27 = 657 720 способов.

Задача 3. Из трех учебников алгебры, семи учебников геометрии и пяти учебников физики необходимо выбрать комплект из трех учебников. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: по правилу произведения: 3 × 7 × 5 = 105 способов.

Задача 4. В магазине есть 6 экземпляров олимпиадных задач по математике, 3-по физике и 4- по биологии. Кроме того, есть 5 комбинированных экземпляров по математике и физике и 7 - по физике и биологии. Сколькими способами можно приобрести экземпляр, содержащий задачи по одному предмету.

Решение: можно приобрести или экземпляр по каждому предмету, или экземпляр из двух предметов и экземпляр по одному предмету. По правилам произведения и суммы получим: 6 × 3 × 4 + 5 × 4 + 7 × 6 = 134 способами.

Задачи для решения:

1. Сколькими способами можно выбрать одну гласную и одну согласную букву из слова а) «город»; б) «молоко»; в) «математика»?

2. На вершину горы ведут пять дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и спуститься с нее? А если спуск и подъем происходят разными путями?

3.Сколько среди натуральных чисел от 10 до 1000 таких, у которых

а) в записи встречаются ровно три одинаковые цифры? б) каждая следующая цифра больше предыдущей? в) сумма цифр равна 9?

4.Сколько существует двузначных чисел, у которых: а) среди цифр есть хотя бы одна пятерка? б) цифра десятков меньше цифры единиц? в) цифра десятков больше цифры единиц?

5. Из 12 слов мужского рода, 9 женского, 10 среднего рода необходимо выбрать по одному слову каждого рода. Сколькими способами можно это сделать?

6. На каникулах 75% учеников отдыхали на море, 57% - отдыхали в горах. Известно, что каждый был или на море, или в горах. Сколько процентов учащихся были и на море, и в горах?

7. В классе 32 ученика. В хореографическом кружке занимаются 28 учеников, хоровым пением – 14, не посещают ни одного кружка 3 ученика. Сколько детей занимается и в хореографическом кружке, и хоровым пением?

8. Однажды на каникулах Андрюша не смог выйти на улицу, потому что на улице 70% времени шел дождь. Он решил поиграть со своим младшим братиком, примерно 55% времени, а также в комнате работал телевизор - 80% всего времени. Какую наименьшую часть времени это происходило одновременно?

9. На клумбе расцвели 18 роз. Сколькими способами можно составить букет из трех роз?

10. Сколькими способами из 7 членов комиссии можно избрать председателя и его заместителя?

3. ПЕРЕЛИВАНИЕ

          Задачи на переливание помогут развивать логическое мышление, пространственное воображение, выдержку, настойчивость в нахождении оптимального решения.  Рассмотрим решения некоторых задач.

Задача 1. Как с помощью 3-литрового и 5-литрового ведра набрать 1 литр воды? В нашем распоряжении есть водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду.

Решение: решение этой задачи можно записать в виде таблицы. Сначала оба ведра пустые. Наполняем 3-литровое ведро и выливаем воду из него в 5-литровое. Опять наполняем 3-литровое ведро и выливаем ее в 5-литровое, пока оно не наполнится. В 3-литровом ведре останется 1 литр воды.

3 л	0	3	0	3	1
5 л	0	0	3	3	5

Задача 2. Есть две емкости 5 и 7 л. Как с помощью емкостей отмерить 6 л воды из крана?

Решение:  составим таблицу решения:

7 л	7	2	2	0	7	4	4	0	7	6
5 л	0	5	0	2	2	5	0	4	4	5

Задача 3. Есть три емкости: 9 л, 5 л, 3 л. Первая наполнена водой, а другие две пустые. Как с помощью этих емкостей отмерить 1 л воды? Как отмерить 4 л воды?

Решение:

3 л	0	3	3	4
5 л	0	0	5	5
9 л	9	6	1	0

Задача 4. В трех стопках лежат 22, 14 и 12 орехов. С помощью трех переложений сравните количество орехов в стопках.

Решение: поскольку орехов всего 48, то в каждой кучке должно оказаться по 16. Переложить из одной кучки в другую можно столько орехов, сколько их в кучке, в которую перекладывают. Схематично перекладывание можно показать так:

(22,14,12) — (8,28,12) — (8,16,24) — (16,16,16).

Задачи для решения:

1. В бочке содержится не менее 13 ведер горючего. Как отлить из нее 8 ведер с помощью 9-ведерного и 5-ведерного ведер?

2. В бочке не менее 10 л бензина. Как отлить из нее 6 л с помощью девятилитрового ведра и пятилитрового бидона?

3. Бидон емкостью 10 л наполнен молоком. Необходимо перелить из этого бидона 5 л в семилитровый, используя при этом бидон емкостью 3 л. Как это сделать?

4. В трех стопках лежат 11, 7, 6 спичек соответственно. Разрешено перекладывать из одной кучки в другую столько спичек, сколько там уже есть. Как за три перекладывания сравнить количество спичек во всех кучах?

5. Есть двое песчаных часов: на 7 минут и на 11 минут. Яйцо должно вариться 15 минут. Как сварить яйцо, переворачивая часы минимальное количество раз?

6. В одном стакане налито 5 ложек чая, а во втором - 5 ложек молока. Ложку молока перелили из второго стакана в первый, затем тщательно размешали и ложку чая с молоком перелили опять во второй стакан. Чего теперь больше: чая во второй стакане или молока в первом? Как изменится ответ, если такое переливание выполнить 10 раз?

7. Некто из полного стакана кофе выпил половину и долил столько же молока. Затем выпил третью часть полученного кофе с молоком и долил столько же молока. Наконец, отпил шестую часть полученного напитка и долил столько же молока. Только после этого он выпил все до конца. Чего выпито больше: кофе или молока?

4. ВЗВЕШИВАНИЕ

    Условия следующих предложенных задач легко менять (монеты на камни, пакеты и т.п.), получая новые, помогающие учителю закрепить у учащихся понимание идеи решения.

Задача 1. Есть n одинаковых монет, из них одна фальшивая (легче по весу). Как с помощью чашечных весов без гирь найти фальшивую монету за наименьшее количество взвешиваний, если: a) n = 3; б) n = 9; в) n = 27; г) n- произвольное число.

Решение: г) При каждом взвешивании монеты делят на 3 группы, из которых 2 кладут на весы и определяют, в какой из групп находится фальшивая монета. Процесс повторяют в зависимости от количества монет.

Задача 2. Среди четырех монет есть одна фальшивая, как найти ее за 2 взвешивания на чашечных весах без гирь? Можно ли при этом выяснить легче она или тяжелее?

Решение: обозначим монеты a, b, c, d. Первым взвешиванием сравниваем вес a и b. Пусть a ≠ b (например, a < b). Тогда c и d - настоящие, а фальшивая a или b. Для определения сравниваем a и с. Если a = с, то b фальшивая и тяжелее, поскольку a < b. Если a ≠ с, то фальшивая a, причем сразу выясняем, тяжелее она или легче. Аналогично поступаем, когда a = b.

Задача 3. Есть 6 одинаковых по виду монет, четыре из них настоящие, а две фальшивые: обе легче настоящие, но их масса различна. За три взвешивания на на чашечных весах без гирь найдите обе фальшивые монеты.

Решение: обозначим вес монет a₁, ... a₆. Первым взвешиванием сравниваем a₁ и a₂.

Случай 1. a₁ = a_2. Тогда a₁ и a₂ настоящие. Сравниваем a₃ и a₄, если a₃ = a₄, тогда a₅ и a₆ - фальшивые. Если a₃ <a_4, то одна из фальшивых a₃, а вторая находится среди 4, 5 и 6 (она определяется сравнением a₄ и a₅). Случай

a₃> a₄ аналогичный.

Случай 2.  a₁ <a₂ - монета а₁ фальшивая. Вторая фальшивая монета определяется сравнением монет 1 и 3 и монет 4 и 5 (если при одном взвешивании неравенство, то легче монета фальшивая. Иначе фальшивая монета - 6).

 Случай   а₁> a₂ подобный случае 2.

Задачи для решения:

1. Есть четыре камня различной массы. За какое наименьшее количество взвешиваний на весах без гирь можно найти самый тяжелый и самый легкий камень?

2. Есть четыре пакета разной массы и правильные чашечные весы без гирь. Как за пять взвешиваний разложить пакеты в порядке возрастания их массы?

3. Из 21 монеты 10 настоящих и 11 фальшивых, причем каждая фальшивая- на 1 г легче настоящей. Взяли одну из монет, как за одно взвешивание на весах со стрелкой определить фальшивую монета?

4. Есть 6 одинаковых по виду монет, четыре из них настоящие, по 4 г каждая, а две - фальшивые: весом 5 г и 3 г. За четыре взвешивания на чашечных весах без гирь найдите обе фальшивые монеты.

5. Среди 18 монет одна фальшивая, причем фальшивая отличается по массе от настоящих. За какое наименьшее количество взвешиваний на правильных чашечных весах без гирь можно определить легче или тяжелее настоящих фальшивая монета?

6. Как взвесить груз на чашечных весах с гирями, если гири правильные, а весы неправильные.

7. а) Есть 4 камня различной массы. За какое наименьшее количество взвешиваний можно найти легкий и тяжелый камень?

б) Решить задачу для 6-ти камней.

5. ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ

Решение следующих задач основывается на основной теореме арифметики: каждое натуральное число кроме единицы разлагается  на произведение простых множителей, причем единственным образом.

Задача 1. Делится ли  2⁹ ∙ 3 на 6?

Решение: да, потому что 6 = 2 ∙ 3, а числа 2 и 3 входят  в разложение числа 6 на простые множители.

Задача 2. Действительно ли, что если натуральное число делится на 4 и на 3, то оно делится на 12?

Решение: Да. В разложении на простые множители числа, которые делятся на 4, двойка входит дважды.

Задача 3. Действительно ли, что если натуральное число делится на 4 и на 6, то оно делится на 24?

Решение: Нет. Например, число 12. Если число делится на 4, то в его разложение двойка входит дважды; при делимости на 6 - в его разложении числа 2 и 3. Таким образом, однозначно можно утверждать, что в разложении данного числа есть две двойки и тройка, то есть число делится на 12.

Задача 4. Число А - четное. Делится число 3А на 6?

Решение: Да. Поскольку число А четное, в его разложение входит число 2. Поэтому в  разложение числа 3А входят числа 2 и 3.

Задача 5. Число 15А делится на 6. Делится число А на 6?

Решение: Нет. Например А = 2. Тройка, которая входит в разложение числа 6, входит и в разложение числа 15. Поэтому можно утверждать только то, что в разложение числа А входит число 2.

Задачи для решения:

1. Доказать, что произведение трех последовательных натуральных чисел делится на 6.

2. Доказать, что произведение пяти последовательных натуральных чисел делится: а) на 30; б) на 120.

3. Обозначим через ab число с цифрами a и b. Доказать, что число ab + ba делится на 11.

4. Найти четыре таких натуральных числа, произведение любых трех из них прибавленное к единице, делился на четвертое.

5. Найти четыре различных целых числа таких, что сумма любых трех из них делится на четвертое.

6. Доказать, что число ababab делится на 7, 13, 37.

7. Чтобы узнать, является ли число 1601 простым, его стали последовательно делить на 2, 3, 5 и т.д. На каком простом числе можно остановить испытания?

8. а)   a + 1 делится на 3. Доказать, что число 4 + 7a делится на 3.

б)  2 + a и 35-b делится на 11. Доказать, что a + b делится на 11.

7. СТРАТЕГИИ. ИГРЫ  ДВУХ ЧЕЛОВЕК

Математические игры отличаются от обычных тем, что в них заранее можно определить результат игры. В подобных задачах обычно интересует один и тот же вопрос: кто и как победит при лучший стратегии обеих сторон. Для доказательства победы или ничьей используются следующие идеи:

Соответствие. Наличие удачного ответного хода (может обеспечиваться симметрией, разбивкой на пары, дополнением числа).

Решение с конца. Последовательно определяются позиции победы и поражения для начинающего. Следующая позиция является победной, если из нее можно получить заранее определенную позицию поражения и является поражением, если любой ход из нее ведет к заранее определенной позиции победы.

Передача хода. Если мы можем воспользоваться стратегией противника, то наши дела не хуже, чем у него. Например, победа (или ничья) обеспечивается, когда можно по своему желанию попасть в некоторую позицию, либо заставить противника попасть в нее.

В некоторых задачах стратегию игры не указывают, поскольку результат игры не зависит от игры противников.

Задача 1. Двое играют в следующую игру. Есть 3 кучки камней: в первой - 10, во второй - 15, в третий - 20. За один ход разрешается разбить любую кучку на 2 поменьше. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход.

Решение: После каждого хода количество кучек увеличивается на одну. Сначала их было 3, в конце - 45. Таким образом, всего будет сделано 42 хода. Последний, 42-й, ход сделает второй игрок.

Задача 2. На доске записаны 10 единиц и 10 двоек. За ход можно вытереть две любые цифры и, если они были одинаковые, написать 2, если разные - 1. Если последняя цифра оставшейся на доске - 1, то побеждает первый игрок, если - 2, то другой.

Решение: четность числа единиц на доске после каждого хода не меняется. Поскольку сначала единиц было четное количество, то после последнего хода не может оставаться одна (нечетное количество) единиц. Выигрывает второй игрок.

II. Рекомендации «Как помочь школьникам научиться решать нестандартные задачи по математике? »

1) Прочитайте задачу несколько раз. Сделайте столько подходов к тексту, сколько нужно для полного запоминания его содержания. Ваша умственная деятельность будет значительно более производительной, если из нее исключить учебник, на который приходится постоянно переключать внимание.

2) Старайтесь представлять предложенные условия (особенно с длинным текстом) схемами, таблицами, рисунками или любыми понятными вам формами краткой записи (предыдущей модели). Рисунок должен быть максимально аккуратным, компактным и информативным.

3) Постарайтесь сравнить задачу с какой-либо из стандартных. Для этого проверьте ваши прошлые записи. Если в одной из них вы узнали свою задачу- примените к ней известное общее правило. Если полного сходства нет, то попробуйте перенять принцип составления алгоритма и применить его в новой ситуации. Любые соответствия между условиями задач могут подсказать вам план действий.

4) Если вам кажется, что задача ни капли не похожа на стандартную, попробуйте разбить ее на более мелкие части и оценить каждую из них. Эти подзадачи, решенные в определенном порядке, часто составляют тело комбинированной сложной задачи. Это может быть ваш случай.

5) Не бросайте решения даже после нескольких неудачных попыток справиться с задачей. Возможно, следующий подход окажется более результативным. Ваше упорство - ключ к двери знаний. К отложенной проблеме нужно обязательно вернуться еще раз. Попробуйте это сделать через пару часов, на следующий день или даже через несколько дней. Помните о том, что при многократных попытках найти решение сложной задачи (или ошибку в существующем), вы не только испытываете новые алгоритмы и теоремы, но и просматриваете использованные. Это положительно влияет на прочность заучивания материала и на формирование уверенности в знаниях.

6) Заучите или повторите теорию. Большинство проблем умение школьника решать не только сложные математические вопросы, но и простые кроются в недостатке теоретической подготовки. Старайтесь компенсировать этот недостаток самостоятельным просмотром теоретических опорных правил.

7) Не забывайте о возможности изменить сюжет задачи. В геометрии полезно выполнить какое-либо дополнительное построение, а в алгебре, например, при решении текстовых задач на движение в 5 классе, можно «продлить» задачи, представляя себе ситуацию, когда один из участников движения не останавливается (как сказано в условии), а движется дальше к моменту остановки второго. Дополнительное построение не должно сильно усложнять рисунок. Обычно проводят одну - две линии для построения какого-то вспомогательного треугольника.

8) Чаще проверяйте алгебраические выкладки и вычисления. Возможно, вам не удается решить задачу только из-за наличия арифметической ошибки.

9) При решении задач по геометрии в случае крайней необходимости не бойтесь вводить вторую переменную. Это можно сделать даже тогда, когда у вас нет условий для составления второго уравнения. Если ответ задачи не зависит от какого-либо параметра и этот параметр введен в решение задачи в качестве дополнительной переменной, то при составлении с ней уравнения, скорее всего, вы увидите, что этот параметр сократится.

10) Если вам не удается справиться с геометрической задачей, попробуйте изменить ее рисунок. Это следует сделать так, чтобы не затронуть параметра математических объектов из условия, их формы и свойства, числовых или логических взаимосвязей. Если при этом какой-то параметр (длина отрезка или величина угла) изменился, то, скорее всего, при имеющемся наборе данных его вообще нельзя найти. Даже самый умный математик в мире откажется вам помочь. Тогда нет смысла тратить на его поиск драгоценное время.

11) Старайтесь находить объяснения всех выводам и фактам, что вы используете в процессе решения.

12) Иногда справиться с задачей помогает ее ответ. Его особенности могут нести информацию о том, с чьей помощью это ответ получен. Например, наличие иррационального числа в комплекте с целыми значениями условия геометрической задачи, укажет на поиск нелинейного уравнения или на вычисление sin 45◦; sin60; cos 30; cos 60. Если вы знаете чему равен, например sin 15◦, то наличие его в ответе и угла 30 ◦ в условии, помогут догадаться использовать биссектрису угла. Наличие в записи ответа тригонометрического уравнения (с синусами и косинусами) обратной тригонометрической функции, подскажет замену   и прием деления обеих частей на cos x.

13) Решение нестандартных задач является большим искусством, которым можно овладеть только при полной самоотдаче, любви к предмету, мотивации и глубоком погружении в предмет. Гениями не рождаются, ими становятся. Безусловно, способности закладывается с рождения, но если их не развивать, то потенциальный гений так и умрет, не проявив своей гениальности.

14) Проявляйте творческую активность и изобретательность. Каждая конкретная задача может быть в своем роде уникальной и неповторимой. Такие задачи, как правило, рассчитаны на ученика, сочетающего в себе мощную теоретическую подготовку с практикой решения задач, умноженную на математическую интуицию, видение и смекалку.

III. Схема методов решения нестандартной задачи

   

 

  

IV. Советы ученикам «Как решать задачу»

   1. Внимательно прочитай задачу.

 Выясни, что в ней дано и что нужно найти.

Если решаешь геометрическую задачу, начерти соответствующие фигуры, введи обозначения. Длинный текст задачи читай несколько раз.

     2. Составь план решения задачи.

         Если сразу этого не можешь сделать, еще раз прочитай задачу, проанализируй ее условия и требования. Рассуждай, каким образом связаны между собой величины, которые рассматриваются.

         Попробуй решить задачу «с конца». Что необходимо знать, чтобы получить ответ? Воссоздай ситуацию, которая рассматривается в задаче схематично, графически. Разбей задачу на части, попробуй решить часть задачи. Что следует из отдельных частей условия? Если не можешь  решить задачу со сменными или большими числовыми значениями, замени их на небольшие удобные  числа и решай сначала эту вспомогательную  задачу.

      Если  решаешь   геометрическую  задачу,  ищи  на  чертеже     равные

треугольники или другие фигуры, или подобные треугольники. Может стоит выполнить параллельный перенос либо повернуть часть фигypы, либо рассмотреть фигypу, симметричную данной? Если речь идет о нахождении гeoметрического места  точек, найди несколько таких точек, представь, чем является искомое место точек. Первый чертеж к задаче может быть неудачным. Измени его так, чтобы важные для данной задачи элементы чертежа было лучше видно или более удачно расположено. Если в задаче говорится о квадратах расстояний, примени теорему Пифагора или теорему косинусов, или координатный метод.

       Если решаешь задачу на доказательство  существования чего-либо, попробуй размышлять «от противного ».

       Если нужно найти величину угла или доказать перпендикулярнистъ некоторых отрезков, воспользуйся свойством скалярного произведения векторов.

       Задачи на нахождение наибольших или наименьших значений обычно решаются с помощью производной или свойств неравенств.

       Если в задаче даны длины отрезков и меры углов или треугольники, которые их содержат, то реши эти треугольники или сначала введи переменную и потом реши полученное уравнение.

   3. Выполни намеченный план.

Получив ответ, прикинь, соответствует ли он условию задачи, является  ли реальным. Если можешь, сделай проверку или проконтролируй каким –либо способом ответ. Если позволяет время, видоизмени задачу, рассмотри отдельный или более общий случай. Рассуждай, нельзя ли упростить решение.

     4. Оформляй решение в тетради разборчиво и аккуратно.

Используй только общепринятые символы и термины. Записывай решение таким образом, чтобы его мог понять каждый. Неаккуратные  записи к рисункам свидетельствуют о твоем отношении к работе вообще и к тому, кто это решение будет читать.

ЛИТЕРАТУРА

1. Колпаков А.Н. Как научиться решать задачи? - [Интернет - ресурс]. −  Режим доступа: http://www.ankolpakov.ru/2011/04/05/obshhie-rekomendacii-repetitora-po-poisku-reshenij-matematicheskix-zadach/.

2. Сборник: Психология мышления. Пойя Д. Эвристические приемы в решении математических задач, - Под. Ред. . Ю.Б. Гиппенрейтер и др., М., «Аст»; «Астрель», 2008 г., с. 462-467.

3. Пособие для учителей. Под редакцией Ю.М. Колягина. Поисковые  задачи по математике (4-5 класс) .- М .; Просвещение, 1975.

4. Фарков А.В. Олимпиадные задачи по математике и методы их решения,М.: Народное образование, -2003.

5. Фридман Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач.- М., 1991.

6. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. М., 1983.

7. Фридман Л. М., Турецкий Е. Н. Как научиться решать задачи. Пособие для учащихся. - М .: Просвещение, 1984.