Методическое пособие для подготовки к ОГЭ по теме: «Функции и графики функций».

Методическое пособие для подготовки к ОГЭ по теме: «Функции и графики функций».

Данное задание требует умения строить и читать графики изученных функций, определять значение функции (аргумента) по значению аргумента (функции) при различных способах задания функции, определять свойства функции по её графику (промежутки возрастания, убывания, промежутки знакопостоянства, наибольшее и наименьшее значения).

Зависимость переменной от переменной называется функцией, если каждому значению соответствует единственное значение . Переменную называют независимой переменной или аргументом, а переменную - зависимой переменной . Значение , соответствующее заданному значению , называют значением функции.

Записывают так: где - данная функция, т.е. функциональная зависимость между переменными и ; есть значение функции, соответствующее значению аргумента ( говорят также, что есть значение функции в точке ).

Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции. Обозначают: .

Все значения, которые принимает функция (при , принадлежащих области её определения), образуют область значений функции. Обозначают: .

Способы задания функции.

Словесное задание функции (описательное)

Задание функции с помощью словесного описания.

Значение функции равно квадрату аргумента.

Чётные и нечётные функции.

Функция называется чётной, если для любого из области определения функции выполняется равенство

Функция называется нечётной, если для любого из области определения функции выполняется равенство

Свойство: Если функция является чётной, то её график симметричен относительно оси ординат.

Свойство: Если функция является нечётной, то её график симметричен относительно начала координат.

Периодические функции.

Функция называется периодической, если существует такое отличное от нуля число , такое что для любого из области определения функции справедливо равенство

Число называется периодом функции .

Монотонные функции.

Функция называется возрастающей на промежутке если для любых и из таких, что любых , выполняется неравенство , т.е.

Функция называется убывающей на промежутке если для любых и из таких, что любых , выполняется неравенство , т.е.

Наибольшее и наименьшее значения функции.

Значение функции в точке называется наибольшим значением этой функции на множестве , если для любого выполняется неравенство

Значение функции в точке называется наименьшим значением этой функции на множестве , если для любого выполняется неравенство .

Обозначается:

Обозначается:

Справедливы утверждения:

1) Если у функции существует , то функция ограничена снизу.

2) Если у функции существует , то функция ограничена сверху.

3) Если функция не ограничена снизу, то не существует.

4) Если функция не ограничена сверху, то не существует.

Графики элементарных функций.

Линейная функция

(

Линейная функция

Линейная функция

Линейная функция

Линейная функция

Линейная функция

- угловой коэффициент прямой. Графиком линейной функции является прямая.

Прямая пропорциональность

(

Прямая пропорциональность

Обратная пропорциональность

(

Обратная пропорциональность

(

Функция

- угловой коэффициент прямой. Графиком линейной функции является прямая.

График функции называется гипербола .

Функция

(

Функция

(

Функция

Функция

График функции называется кубическая парабола.

Квадратичная функция

Функция

(

Функция

(

Функция

(

Функция

(

График квадратичной функции называется параболой.

Подготовительные задания.

1. Укажите номер рисунка, на котором изображена:

а) гипербола;

б) прямая;

в) парабола;

г) кубическая парабола.

2. Найдите значение по графику функции , изображённому на рисунке

3. Найдите значение по графику функции , изображённому на рисунке

4. По графику функции , изображённому на рисунке, найдите:

а) значение ;

б) значение ;

в) значение .

5. На рисунке изображён график квадратичной функции

Какие из следующих утверждений о данной функции являются верными? Запишите их номера.

1) Функция убывает на промежутке

2) при и при

3) Наименьшее значение функции равно -9.

4) ;

5) Функция возрастает на промежутке

6) Наибольшее значение функции равно 1.

Примеры заданий с решениями.

№1. На рисунке изображены графики функций вида . Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками.

Графики

Коэффициенты

А)

Б) ;

В) .

Решение.

Графиком функции вида является прямая, направление которой определяется знаками коэффициентов и .

Используя данную таблицу, определяем по графику знаки коэффициентов и .

Вывод:

А

Б

В

2

3

1

Ответ: 231.

№2. Для каждой функции, заданной формулой, укажите ее график.

Формулы

A) Б) В)

Графики

Решение.

Графиком функции вида является прямая, которая проходит через точку (0;0) направлена в соответствии со знаком коэффициента .

Используя таблицу, определяем по графику знаки коэффициента .

имееют две формулы A) и Б) . Для определения значения коэффициента выберем произвольную точку графика, например (1;-3) и подставим в формулу общего вида . Получаем

. Значит данному графику соответствует формула A) .

имеет формула В)

имееют две формулы A) и Б) . Для определения значения коэффициента выберем произвольную точку графика, например (3;-1) и подставим в формулу общего вида . Получаем

. Значит данному графику соответствует формула Б) .

Вывод:

А

Б

В

1

3

2

Ответ: 132.

№3. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Формулы

А) Б) В)

Графики

Решение.

Графиком функции является гипербола, расположение которой определяется знаком коэффициента .

Используя таблицу, определяем по графику знаки коэффициента .

Выберем произвольную точку графика, например и подставим в формулу В) . Получаем , что не соответствует графику( при значение ).

Выберем произвольную точку графика, например (3;-3) и подставим в формулу В) . Получаем

.

Вывод: .

Выберем произвольную точку графика, например (3;3) и подставим:

Выберем произвольную точку графика, например и подставим

в оставшуюся формулу А)

Получаем

, что соответствует графику( при значение ).

Вывод: .

в формулу

А)

Получаем

.

в формулу Б) Получаем

Вывод: .

Ответ: 432.

№4. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Формулы

1) 2) 3) 4)

Графики

Решение.

А)

Б)

В)

Графиком является парабола, соответствующая формуле 1) (функция вида , сдвинута на 2 единицы вниз).

Графиком является гипербола, соответствующая формуле 4) .

Графиком является прямая, соответствующая формуле 3) .

Б

В

1

4

3

Ответ: 143.

№5. На рисунке изображены функции вида . Установите соответствие между графиками и знаками коэффициентов и .

Графики Коэффициенты

1)

2)

3)

4) .

Решение.

Для определения знака коэффициента замечаем, что

- ветви параболы направлены вниз;

- ветви параболы направлены вверх.

Для определения знака коэффициента находим координату точки пересечения параболы с осью , это значение равно коэффициенту .

А

Б

В

4

3

1

Ответ: 431.

№6. На рисунке изображены функции вида . Для каждого графика укажите соответствующее ему значения коэффициента и дискриминанта .

Графики

Знаки чисел

1)

2)

3)

4)

Решение.

Графиком функции вида является парабола.

При этом возможны следующие случаи:

Используя таблицу, определяем по графику знаки значения коэффициента и дискриминанта .

А

Б

В

Г

1

4

2

3

Ответ: 1423.

№7. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Графики

Формулы

1)

2)

3)

4) .

Решение.

По графику можно определить, что , , но этому условию соответствует две функции :

3)

4)

Для дальнейшего определения найдём абсциссу вершины параболы .

По графику можно определить, что , , но этому условию соответствует две функции :

1)

2)

Для дальнейшего определения найдём абсциссу вершины параболы .

По графику можно определить, что , , но этому условию соответствует две функции :

3)

4) .

Для дальнейшего определения найдём абсциссу вершины параболы .

3)

.

Вывод:

4)

- не соответствует графику.

1)

.

Вывод: Б

2)

- не соответствует графику.

3)

- не соответствует графику.

4)

.

Вывод:

Ответ: 314.

№8. На рисунке изображены графики функций вида . Установите соответствие между утверждениями и промежутками, на которых эти утверждения удовлетворяются.

Утверждения

А) Функция возрастает на промежутке

Б) Функция убывает на промежутке

Промежутки

1)

2)

3)

4)

Решение.

не монотонна.

Вывод: функция на данном промежутке возрастает, т.е. А

Вывод: функция на данном промежутке убывает, т.е. Б

Вывод: функция на данном промежутке не монотонна.

Ответ: 23.

№9. На рисунке изображён график квадратичной функции

Какие из следующих утверждений о данной функции являются верными? Запишите их номера.

1) ;

2) Функция убывает на промежутке

3)

Решение.

3)

Вывод: утверждение не верно.

Вывод: утверждение верно.

Вывод: утверждение не верно.

Ответ: 2.

Задания для самостоятельного решения.

Зачётные задания.

1. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают. Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру.

Графики функций

Формулы

1) 2) 3) 4) .

2. На рисунке изображены графики функций вида . Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками.

Графики

Коэффициенты

А)

Б) ;

В) .

3. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Графики

Формулы

1) 2) 3) 4) .

4. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Формулы

1) 2) 3) 4)

Графики

5. На рисунке изображены функции вида . Установите соответствие между графиками и знаками коэффициентов и .

Графики

Коэффициенты

1)

2)

3)

4) .

6. На рисунке изображены функции вида . Для каждого графика укажите соответствующее ему значения коэффициента и дискриминанта .

Графики

Знаки чисел

1)

2)

3)

4)

7. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Графики

Формулы

1)

2)

3)

4)

8. На рисунке изображён график квадратичной функции

Какие из следующих утверждений о данной функции являются неверными? Запишите их номера.

1) при

2) Наибольшее значение функции равно 3;

3)

9. На рисунке изображены графики функций вида . Установите соответствие между утверждениями и промежутками, на которых эти утверждения удовлетворяются.

Утверждения

А) Функция возрастает на промежутке

Б) Функция убывает на промежутке

Промежутки

1)

2)

3)

4)