Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / «Применение графического метода при решении задач с параметрами по материалам ГИА»

«Применение графического метода при решении задач с параметрами по материалам ГИА»



Внимание! Сегодня последний день приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Методическое пособие по теме:

«Применение графического метода при решении задач с параметрами по материалам ГИА»

Цель работы: систематизация и обобщение у учащихся умений и навыков применения графического метода при решении задач с параметрами при подготовке к ОГЭ.

Задачи:

- обучающие: анализировать и осмысливать текст задачи, самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели, строить логическую цепочку рассуждений, критически оценивать полученный ответ, выбор наиболее эффективного способа решения задач, постановка и формулирование проблемы, выдвижение гипотез и их обоснование, смысловое чтение;

-развивающие: целеполагание, планирование своей деятельности в зависимости от конкретных условий, рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности, развитие творческой и мыслительной деятельности учащихся;

-воспитательные: смыслообразование, умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, воспитывать ответственность и аккуратность.

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение или неравенство с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений и неравенств, для каждого из которых должно быть получено решение.

Такие задачи постоянно предлагаются при проведении Государственной итоговой аттестации, поэтому те школьники, которые хотят получить высокий результат должны уметь их решать. Поэтому начинать знакомить учащихся с подобными задачами нужно намного раньше – параллельно с соответствующими разделами школьной программы по математике.

Многие задания с параметром удобно решать, представив условие в графическом виде. Для этого нужно уметь строить графики уравнений и семейства кривых, зависящих от параметра.



Формируемые УУД в рамках ФГОС при решении задач с параметрами:

Этапы решения задач

Формируемые УУД

Анализ условия(введение буквенных обозначений)

  • целеполагание;

  • выделение существенной информации;

  • формулирование задачи и прогнозирование способов решения;

  • аналогия;

  • классификация;

  • знакосимволические действия.

Схематическая запись условия задачи в виде таблицы, схемы, графа с введенными буквенными обозначениями

  • планирование;

  • систематизация;

  • знакосимволические действия;

  • моделирование.

Составление модели(поиск аналога, привлечение из математики или физики известного закона)

  • создание способа решения задачи;

  • корректировка условия;

  • моделирование в графическом виде.

Решение уравнения, системы и т.д. (поиск неизвестного)

  • анализ и выявление существенной информации;

  • выведение следствий;

  • построение цепи рассуждений;

  • выдвижение и проверка гипотез;

  • преобразование модели.

Интерпретация модели(проверка и оценка решений, корней)

  • анализ;

  • выведение следствий;

  • конкретизация;

  • знакосимволическое действие (интерпретация).

Исследование(обобщение задачи или способа её решения для видоизмененных условий, другие подходы к решению)

  • анализ;

  • синтез;

  • поиск аналогов;

  • построение цепи рассуждений;

  • умение сжато передать содержание;

  • умение применять схемы, символы, модели;

  • создание способов решения проблем поискового, творческого характера.

Рефлексия

  • смыслообразование;

  • планирование;

  • контроль;

  • коррекция;

  • оценка;

  • волевая саморегуляция;

  • готовность к саморазвитию, к самообразованию;

  • умение ставить и формулировать для себя новые задачи;

  • развивать мотивы и интересы своей образовательной деятельности.

Задания данного типа можно разделить на группы:

1) Уравнение прямой;

2) Функция ;

3) Парабола;

4) Кусочные функции.


Рассмотрим каждую группу на конкретных заданиях.

Уравнение прямой.

Уравнение прямой задаётся уравнением .

Если


hello_html_m3d9836f3.jpg

Если


hello_html_m3d9836f3.jpg

Если

, т.е.

, где - угловой коэффициент, - свободный коэффициент.


hello_html_m57e3bf50.jpg

hello_html_m61e23a40.jpg

hello_html_m25fa5a0.jpg





Подготовительные задания.

1) Постройте прямую , если:

а)

б)

в)

2) Постройте прямую , если:

а)

б)

в)

3) Постройте прямую , если:

а)

б)

в)

4) Постройте прямую , если:

а)

б)

в)

5) Постройте прямую , если:

а)

б)

в)

Взаимное расположение прямых на плоскости. Системы линейных уравнений.

Параллельные прямые

Пересекающиеся прямые

Совпадающие прямые

hello_html_21662820.jpg

hello_html_m7a0512e8.jpg

hello_html_4637b935.jpg

Не имеют общих точек

Одна общая точка

Бесконечно много общих точек

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными.


Геометрическое представление на плоскости - две прямые, где решение системы (; является общей точкой двух этих прямых.

Если

система имеет единственное решение

Если

система имеет бесконечное множество решений

Если

система не имеет решений


Задания с решениями.

№1. При каких значениях прямая

а) параллельна прямой

б) совпадает с этой прямой.


Решение.


а) Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны , а свободные коэффициенты не равны.

При прямые параллельны.


б) Прямые совпадают, если равны и угловые коэффициенты и свободные коэффициенты соответственно, т.е.

Эта система не имеет решений, поэтому прямые не могут совпадать.

Ответ: а) ; б) решений нет.


2. Постройте график функции hello_html_3b88bc70.png и найдите значения hello_html_m4ef86722.png, при которых прямая hello_html_7ae58fb.png имеет с ним ровно две общие точки.


Решение.

Раскрывая модули, получаем, что график функции совпадает с прямой hello_html_7874e905.png при hello_html_m13fb4b0c.png, совпадает с прямой hello_html_mc5baa2.png при hello_html_6b089e7c.png и совпадает с прямой hello_html_mce66453.png при hello_html_3d5725b7.png.
График изображен на рисунке.
hello_html_5037c258.png

Прямая hello_html_7ae58fb.png имеет с графиком данной функции ровно две общие точки при hello_html_13f660c3.png и hello_html_m60c23a4f.png.

Ответ: hello_html_2812e38.png.


3. Постройте график функции hello_html_3d665a52.png и найдите все значения k, при которых прямая hello_html_m2238d68f.png имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.


Решение.

Раскрывая модули, получаем, что при hello_html_637f3ef8.png функция принимает вид hello_html_m57215a3.png при hello_html_4fc6acb6.png функция принимает вид hello_html_m97072ea.png а при hello_html_12db7cbe.png функция принимает вид hello_html_f7e4b9a.png

График функции изображён на рисунке.

hello_html_2ccadb49.png

Прямая hello_html_m2238d68f.png имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку при hello_html_1832d417.png

 

Ответ: hello_html_1832d417.png


Решите самостоятельно.


1) Найдите , при котором прямая проходит через точку (2;1).


2) Найдите , при котором прямая проходит через точку (-3;5).


3) Постройте график функции hello_html_1e81bd35.png и найдите значения hello_html_m4ef86722.png, при которых прямая hello_html_7ae58fb.png имеет с ним ровно две общие точки.


4) Постройте график функции hello_html_m1fe6e8f5.png и найдите все значения k, при которых прямая hello_html_m2238d68f.png имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.


График функции .

Область допустимых значений . Графиком функции является гипербола. Если , то её ветви расположены в 1 и 3 координатных четвертях; если , то её ветви расположены во 2 и 4 координатных четвертях.


Подготовительные задания.

1) Постройте график функции , если

а)

б)

в)

г)

д)

2) Постройте график функции , если

а)

б)

в)

г)

3) Постройте график функции , если

а)

б)

в)

г)

Задания с решениями.

1. Найдите, при каких значениях параметра p уравнение имеет один корень?

Решение.

Уравнение имеет столько решений, сколько общих точек имеют графики и .

hello_html_m52d8686b.jpg

множество графиков такого вида



Рассмотрим функцию . О.Д.З.:

- гипербола.



Графики имеют одну общую точку, если и если график не проходит через

точку A(2; .


hello_html_mbcf64cf.jpg


Найдём :

Значит исходное уравнение имеет один корень при и .

Ответ: , .

2. Постройте график функции  hello_html_m5c0e6848.png  и определите, при каких значениях hello_html_mf1de0f7.png прямая hello_html_598cb3f5.png имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение.

При hello_html_17f1f412.png имеем:

 

hello_html_56537af0.png

 

Поэтому график заданной функции представляет собой гиперболу, с выколотой точкой (-0,5; -2). Прямая hello_html_598cb3f5.png будет иметь с графиком одну общую точку, если пройдёт через выколотую точку. Тогда hello_html_m623c0931.png и уравнение прямой примет вид: hello_html_1794e59e.png

hello_html_m13df55c3.png

Ответ:

№3. Постройте график функции hello_html_45bcd5bf.png и найдите все значение hello_html_mf1de0f7.png, при которых прямая hello_html_598cb3f5.png имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.


Решение.

Найдем область определения функции:

hello_html_594c8861.png.

 

Поскольку  hello_html_m6959aa55.png, получаем, что на области определения функция принимает вид  hello_html_348c8f16.png.


График изображён на рисунке.
hello_html_2192d6eb.png

Прямая  hello_html_598cb3f5.png  имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку при  hello_html_a784b87.png.

 

Ответ:  hello_html_a784b87.png.


Решите самостоятельно.

1) Постройте график функции и определите при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

2) Найти все значения параметра , при которых уравнение не имеет корней.

Парабола.


hello_html_548877c4.jpg


Парабола получается из параболы смещением

на единиц вдоль оси : вправо - при , влево - при ;

на единиц вдоль оси : вверх - при , вниз - при .

В точке (- вершина параболы.

Парабола получается из графика растяжением в раз вдоль оси ординат .


Парабола получается из графика отражением относительно оси абсцисс .


Парабола имеет вершину в точке , где

Подготовительные задания.

1) Постройте график функции , если

а)

б)

в)

г)

2) Постройте график функции , если

а)

б)

в)

г)

3) Постройте график функции , если

а)

б)

в)

г)

Задания с решениями.

1. При каком значении hello_html_m59d1ca2e.png прямая hello_html_m740a3413.png имеет с параболой hello_html_31eedb66.png ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки. Постройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении hello_html_m59d1ca2e.png.

Решение.

График функции изображён на рисунке.hello_html_46083172.png

Запишем условие общей точки: hello_html_m73a78de7.png

Прямая hello_html_m740a3413.png будет иметь с параболой единственную общую точку при условии, что дискриминант полученного квадратного уравнения равен нулю: hello_html_15bbe144.png откуда hello_html_3a7571d.png Подставив значение параметра в уравнение, находим hello_html_m1d357c06.png

 

Ответ: (-2;0).


2. При каком значении р прямая hello_html_26ea602d.png имеет с параболой hello_html_a9a4979.png ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки. Постройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении hello_html_m5355096c.png

Решение.

Найдём абсциссы точек пересечения:

 

hello_html_m2fc0ebbc.png

 

Графики функций, будут иметь ровно одну точку пересечения, если это уравнение имеет ровно одно решение. То есть, если дискриминант этого квадратного уравнения будет равен нулю.

 

hello_html_mf9fa3cc.png

 

Подставив параметр hello_html_m59d1ca2e.png в уравнение, найдём hello_html_277729cd.png координату точки пересечения этих функций:

 

hello_html_m6fdac734.png

 

Координата hello_html_m5a356915.png находится путём подстановки координаты hello_html_277729cd.png в любое из уравнений, например, в первое:

 

hello_html_m64b6374f.png

 

Теперь, зная hello_html_m7c9d2bd1.png можем построить графики обеих функций (см. рисунок).

 

hello_html_3967c9d2.png

 

 

Ответ: (2; 0).

Решите самостоятельно.

1) При каком значении р прямая hello_html_m740a3413.png имеет с параболой hello_html_m60dca560.png ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки. Постройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении hello_html_m5355096c.png

2) При каких отрицательных значениях hello_html_mf1de0f7.png прямая hello_html_1a1aa4f2.png имеет с параболой hello_html_509d561e.png ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки и постройте данные графики в одной системе координат.



Кусочная функция.

Кусочно-заданная (кусочная) функция - это функция, заданная несколькими подфункциями, каждая из которых имеет свою область определения.

Подготовительные задания.

1) Постройте график функции , если

а)

б)

г)

2) Постройте график функции , если

а)

б)

в)

3) Постройте график функции , если

а)

б)

в) .

Задания с решениями.

1. Постройте график функции  hello_html_65591a73.png и определите, при каких значениях параметра hello_html_m72ce8c2.pngпрямая hello_html_6f062c83.png имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение.

hello_html_56f5f23c.pngГрафик функции изображён на рисунке.

Прямая hello_html_6f062c83.png будет иметь с графиком единственную общую точку при hello_html_3b1b3bd8.png

 

Ответ: (−1;0].

Решите самостоятельно.

1) Постройте график функции  hello_html_39f8103f.png и определите, при каких значениях параметра hello_html_m72ce8c2.png прямая hello_html_6f062c83.png имеет с графиком три общие точки.


2) Постройте график функции

hello_html_m6a002a41.png

 

и определите, при каких значениях hello_html_m72ce8c2.png прямая hello_html_6f062c83.png имеет с графиком ровно две общие точки.

3) Постройте график функцииhello_html_mc2d6311.png

 

и определите, при каких значениях hello_html_m72ce8c2.png прямая hello_html_6f062c83.png будет иметь с графиком единственную общую точку.






57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 12.07.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров44
Номер материала ДБ-141858
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх