«Применение графического метода при решении задач с параметрами по материалам ГИА»

Методическое пособие по теме:

 «Применение графического метода при решении задач с параметрами по материалам ГИА»

Цель работы: систематизация и обобщение  у учащихся умений и навыков применения графического метода при  решении задач с параметрами  при подготовке к ОГЭ.

Задачи:

- обучающие: анализировать и осмысливать текст задачи, самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели, строить логическую цепочку рассуждений, критически оценивать полученный ответ, выбор наиболее эффективного способа решения задач, постановка и формулирование проблемы, выдвижение гипотез и их обоснование, смысловое чтение;

-развивающие: целеполагание, планирование своей деятельности в зависимости от конкретных условий, рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности, развитие творческой и мыслительной деятельности учащихся;

-воспитательные: смыслообразование, умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, воспитывать ответственность и аккуратность.

                Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение или неравенство с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений и неравенств, для каждого из которых должно быть получено решение.

            Такие задачи постоянно предлагаются  при проведении Государственной итоговой аттестации, поэтому  те школьники, которые хотят получить высокий результат должны уметь их решать. Поэтому начинать знакомить учащихся с подобными задачами нужно намного раньше – параллельно с соответствующими разделами школьной программы по математике.

             Многие задания с параметром удобно решать, представив условие в графическом виде. Для этого нужно уметь строить графики уравнений и семейства кривых, зависящих от параметра.

Формируемые УУД в рамках ФГОС при решении задач с параметрами:

№	Этапы решения задач	Формируемые УУД
	Анализ условия(введение буквенных обозначений)	целеполагание; выделение существенной информации; формулирование задачи и прогнозирование способов решения; аналогия; классификация; знакосимволические действия.
	Схематическая запись условия задачи в виде таблицы, схемы, графа с введенными буквенными обозначениями	планирование; систематизация; знакосимволические действия; моделирование.
	Составление модели(поиск аналога, привлечение из математики или физики известного закона)	создание способа решения задачи; корректировка условия; моделирование в графическом виде.
	Решение уравнения, системы и т.д. (поиск неизвестного)	анализ и выявление существенной информации; выведение следствий; построение цепи рассуждений; выдвижение и проверка гипотез; преобразование модели.
	Интерпретация модели(проверка и оценка решений, корней)	анализ; выведение следствий; конкретизация; знакосимволическое действие (интерпретация).
	Исследование(обобщение задачи или способа её решения для видоизмененных условий, другие подходы к решению)	анализ; синтез; поиск аналогов; построение цепи рассуждений; умение сжато передать содержание; умение применять схемы, символы, модели; создание способов решения проблем поискового, творческого характера.
	Рефлексия	смыслообразование; планирование; контроль; коррекция; оценка; волевая саморегуляция; готовность к саморазвитию, к самообразованию; умение ставить и формулировать для себя новые задачи; развивать мотивы и интересы своей образовательной деятельности.

Задания данного типа можно разделить на группы:

 1) Уравнение прямой;

 2)  Функция  ;

 3)  Парабола;

 4)  Кусочные функции.

            Рассмотрим каждую группу на конкретных заданиях.

Уравнение прямой.

            Уравнение прямой задаётся уравнением  .

Если
Если
Если	, т.е. , где - угловой коэффициент, - свободный коэффициент.

Подготовительные задания.

1) Постройте прямую , если:

          а)

          б)  

          в)

2) Постройте прямую , если:

          а)

          б)  

          в)

3) Постройте прямую , если:

          а)

          б)  

          в)

4) Постройте прямую , если:

          а)

          б)  

          в)

5) Постройте прямую , если:

          а)

          б)  

          в)

Взаимное расположение прямых на плоскости. Системы линейных уравнений.

Параллельные прямые	Пересекающиеся прямые	Совпадающие прямые
Не имеют общих точек	Одна общая точка	Бесконечно много общих точек

            Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

	Геометрическое представление на плоскости  - две прямые, где решение системы  (; является общей точкой двух этих прямых.
Если	система имеет единственное решение
Если	система имеет бесконечное множество решений
Если	система не имеет решений

Задания с решениями.      

              №1. При каких значениях   прямая

а)  параллельна прямой

б)  совпадает с этой прямой.

              Решение.

а) Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны , а свободные коэффициенты не равны.

 

При  прямые параллельны.

б) Прямые совпадают, если равны и угловые коэффициенты и свободные коэффициенты соответственно, т.е.

 

Эта система не имеет решений, поэтому прямые не могут совпадать.

Ответ: а) ; б) решений нет.

№2. По­строй­те гра­фик функ­ции  и най­ди­те зна­че­ния , при ко­то­рых пря­мая  имеет с ним ровно две общие точки.

Ре­ше­ние.

Рас­кры­вая мо­ду­ли, по­лу­ча­ем, что гра­фик функ­ции сов­па­да­ет с пря­мой  при , сов­па­да­ет с пря­мой  при  и сов­па­да­ет с пря­мой  при .
Гра­фик изоб­ра­жен на ри­сун­ке.

Пря­мая  имеет с гра­фи­ком дан­ной функ­ции ровно две общие точки при  и .

Ответ: .

№3. По­строй­те гра­фик функ­ции  и най­ди­те все зна­че­ния k, при ко­то­рых пря­мая  имеет с гра­фи­ком дан­ной функ­ции ровно одну общую точку.

Ре­ше­ние.

Рас­кры­вая мо­ду­ли, по­лу­ча­ем, что при  функ­ция при­ни­ма­ет вид  при  функ­ция при­ни­ма­ет вид  а при  функ­ция при­ни­ма­ет вид 

Гра­фик функ­ции изоб­ражён на ри­сун­ке.

Пря­мая  имеет с гра­фи­ком дан­ной функ­ции ровно одну общую точку при 

Ответ: 

              Решите самостоятельно.

1)   Найдите , при котором прямая   проходит через точку  (2;1).

2)   Найдите , при котором прямая   проходит через точку  (-3;5).

3)  По­строй­те гра­фик функ­ции  и най­ди­те зна­че­ния , при ко­то­рых пря­мая  имеет с ним ровно две общие точки.

4)   По­строй­те гра­фик функ­ции  и най­ди­те все зна­че­ния k, при ко­то­рых пря­мая  имеет с гра­фи­ком дан­ной функ­ции ровно одну общую точку.

График функции .

              Область допустимых значений . Графиком  функции  является гипербола. Если , то её ветви расположены в 1 и 3 координатных четвертях; если , то её ветви расположены во  2 и 4 координатных четвертях.

              Подготовительные задания.

1)  Постройте график функции ,   если

        а) 

        б) 

        в) 

        г) 

        д) 

2)  Постройте график функции ,   если

        а) 

        б) 

        в) 

        г) 

3)  Постройте график функции ,   если

        а) 

        б) 

        в) 

        г) 

        Задания с решениями.      

№1. Найдите, при каких значениях параметра p уравнение   имеет один корень?

              Решение.

Уравнение   имеет столько решений, сколько общих точек имеют графики   и .

множество графиков такого вида

Рассмотрим функцию . О.Д.З.:

 - гипербола.

Графики имеют одну общую точку, если  и если график  не проходит через

точку A(2; .

Найдём :         

                       

                       

                       

Значит исходное уравнение имеет один корень при  и .

Ответ: , .

     №2.  По­строй­те гра­фик функ­ции    и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях  пря­мая  имеет с гра­фи­ком ровно одну общую точку.

Ре­ше­ние.

При  имеем:

По­это­му гра­фик за­дан­ной функ­ции пред­став­ля­ет собой ги­пер­бо­лу, с вы­ко­ло­той точ­кой (-0,5; -2). Пря­мая   будет иметь с гра­фи­ком одну общую точку, если пройдёт через вы­ко­ло­тую точку. Тогда  и урав­не­ние пря­мой при­мет вид: 

Ответ:

    №3. По­строй­те гра­фик функ­ции  и най­ди­те все зна­че­ние , при ко­то­рых пря­мая  имеет с гра­фи­ком дан­ной функ­ции ровно одну общую точку.

 Ре­ше­ние.

Най­дем об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции:

.

По­сколь­ку  , по­лу­ча­ем, что на об­ла­сти опре­де­ле­ния функ­ция при­ни­ма­ет вид  .

Гра­фик изоб­ражён на ри­сун­ке.

Пря­мая    имеет с гра­фи­ком дан­ной функ­ции ровно одну общую точку при  .

Ответ:  .

              Решите самостоятельно.

1) Постройте график функции  и определите при каких значениях k прямая  y=kx  имеет  с графиком        ровно одну  общую точку.

2) Найти все значения параметра , при которых уравнение   не имеет корней.

Парабола.

            Парабола  получается из параболы  смещением

на  единиц вдоль оси : вправо - при , влево - при  ;

на  единиц вдоль оси : вверх - при , вниз - при .

В точке (-  вершина параболы.

                Парабола   получается из графика  растяжением в  раз вдоль оси ординат .

            Парабола   получается из графика  отражением относительно оси абсцисс .

            Парабола   имеет вершину  в точке , где

  

              Подготовительные задания.

1)  Постройте график функции ,   если

        а) 

        б) 

        в) 

        г) 

2)  Постройте график функции ,   если

        а) 

        б) 

        в) 

        г) 

3)  Постройте график функции ,   если

        а) 

        б) 

        в) 

        г) 

Задания с решениями.

№1.   При каком зна­че­нии  пря­мая  имеет с па­ра­бо­лой  ровно одну общую точку? Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты этой точки. По­строй­те в одной си­сте­ме ко­ор­ди­нат дан­ную па­ра­бо­лу и пря­мую при най­ден­ном зна­че­нии .

Ре­ше­ние.

Гра­фик функ­ции изоб­ражён на ри­сун­ке.

За­пи­шем усло­вие общей точки: 

Пря­мая  будет иметь с па­ра­бо­лой един­ствен­ную общую точку при усло­вии, что дис­кри­ми­нант по­лу­чен­но­го квад­рат­но­го урав­не­ния равен нулю:  от­ку­да  Под­ста­вив зна­че­ние па­ра­мет­ра в урав­не­ние, на­хо­дим 

Ответ: (-2;0).

№2. При каком зна­че­нии р пря­мая  имеет с па­ра­бо­лой  ровно одну общую точку? Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты этой точки. По­строй­те в одной си­сте­ме ко­ор­ди­нат дан­ную па­ра­бо­лу и пря­мую при най­ден­ном зна­че­нии 

Ре­ше­ние.

Найдём абс­цис­сы точек пе­ре­се­че­ния:

Гра­фи­ки функ­ций, будут иметь ровно одну точку пе­ре­се­че­ния, если это урав­не­ние имеет ровно одно ре­ше­ние. То есть, если дис­кри­ми­нант этого квад­рат­но­го урав­не­ния будет равен нулю.

Под­ста­вив па­ра­метр  в урав­не­ние, найдём  ко­ор­ди­на­ту точки пе­ре­се­че­ния этих функ­ций:

Ко­ор­ди­на­та  на­хо­дит­ся путём под­ста­нов­ки ко­ор­ди­на­ты  в любое из урав­не­ний, на­при­мер, в пер­вое:

Те­перь, зная  можем по­стро­ить гра­фи­ки обеих функ­ций (см. ри­су­нок).

Ответ: (2; 0).

              Решите самостоятельно.

1) При каком зна­че­нии р пря­мая  имеет с па­ра­бо­лой  ровно одну общую точку? Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты этой точки. По­строй­те в одной си­сте­ме ко­ор­ди­нат дан­ную па­ра­бо­лу и пря­мую при най­ден­ном зна­че­нии 

2)  При каких от­ри­ца­тель­ных зна­че­ни­ях  пря­мая  имеет с па­ра­бо­лой  ровно одну общую точку? Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты этой точки и по­строй­те дан­ные гра­фи­ки в одной си­сте­ме ко­ор­ди­нат.

Кусочная функция.

Кусочно-заданная (кусочная) функция - это функция, заданная несколькими подфункциями, каждая из которых имеет свою область определения.

            Подготовительные задания.

1)  Постройте график функции ,   если

        а) 

        б) 

        г) 

2)  Постройте график функции ,   если

        а) 

        б) 

        в) 

3)  Постройте график функции ,   если

        а) 

        б) 

        в)  .

              Задания с решениями.

№1. По­строй­те гра­фик функ­ции   и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра пря­мая  имеет с гра­фи­ком ровно одну общую точку.

Ре­ше­ние.

Гра­фик функ­ции изоб­ражён на ри­сун­ке.

Пря­мая  будет иметь с гра­фи­ком един­ствен­ную общую точку при 

Ответ: (−1;0].

Решите самостоятельно.

1) По­строй­те гра­фик функ­ции   и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра  пря­мая  имеет с гра­фи­ком три общие точки.

2) По­строй­те гра­фик функ­ции

и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях  пря­мая  имеет с гра­фи­ком ровно две общие точки.

3) По­строй­те гра­фик функ­ции

и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях  пря­мая  будет иметь с гра­фи­ком един­ствен­ную общую точку.