Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическое пособие для студенов "Решение логарифмических уравнений"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическое пособие для студенов "Решение логарифмических уравнений"

библиотека
материалов


hello_html_6f933fe4.gif






Авторская педагогическая разработка


Методическое пособие

для студентов по дисциплине «Математика»


Тема: «Решение логарифмических уравнений»


















Иркутск, 2015




Пояснительная записка.



Методическое пособие «Логарифмические уравнения» выполнено для использования его студентами техникума при самостоятельных занятиях по данной теме в разделе «Показательная, логарифмическая и степенная функции» с целью углубления знаний по этой теме и отработки практических навыков решения логарифмических уравнений.

В главе I данного пособия приведены определения логарифма и свойства логарифмов, которые необходимо знать при решении логарифмических уравнений.

В главе II дано определение логарифмического уравнения и приведены примеры логарифмических уравнений.

В главе III рассмотрены 5 основных методов решения логарифмических уравнений и приведены примеры, демонстрирующие применение этих методов.


















I. Вопросы для повторения:

  • что называется логарифмом?

  • как записывается основное логарифмическое тождество?

  • log ab - какие ограничения накладываются на а?

  • чему равен log a a ?

  • чему равен log a (x1*x2)?

  • чему равен log a (x1/x2)?

  • чему равен log a am ?

  • если а>1 и х1 > х2, то какой знак нужно поставить между

log a x1 и log a x2 ?


Если вы смогли ответить на все эти вопросы, то можете сразу переходить к главе II. Если же на какие-либо вопросы вы не смогли дать ответ, стоит почитать всю эту главу.

  1. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b, (а>0, a ≠ 1, b>0)

log ab = х

Например, log 2 8 = 3, так как 23 = 8

log 3 1/27 = –3, так как 3 -3 = 1/27


2. Основное логарифмическое тождество имеет вид:

а lоgb = b

  1. log a a = 1

  2. log a (x1*x2) = log a x1 + log a x2

  3. log a (x1/x2) = log a x1 – log a x2

  4. log aam = m log aa

  5. Если а>1 и х1 > х2, то log ax1 > log ax2


II. Определение. Уравнение, в котором переменная находится под знаком логарифма, называется логарифмическим.

Например: 2 log 2 x – 7 = 0, log x 4 = 2, 2 lg x – 1 = 0.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида: log ax = b, где a >0 и a ≠ 1.

Его решением является x = ab, x > 0.

Если логарифмическое уравнение имеет вид: log af(x) = b, то есть под знаком логарифма находится некоторая функция f(x), то его решение сводится к решению уравнения f(x) = ab (по определению логарифма). При этом уравнение имеет множество допустимых значений x, задаваемых неравенством f(x) > 0.

После того, как логарифмическое уравнение решено, то есть найдены корни уравнения, необходимо произвести проверку всех полученных корней.

Иногда сначала находят множество допустимых значений x.













III. Основные способы решения логарифмических уравнений:

  1. применение определения логарифма;

  2. применение свойств логарифмов;

  3. предварительная замена числа его логарифмом;

  4. введение вспомогательной переменной;hello_html_m53d4ecad.gif

  5. почленное логарифмирование.


  1. Применение определения логарифма.

Данный метод применяется в том случае, когда в одной части логарифмического уравнения имеется логарифм, а в другой – число.

log x-1 (x2 – 7x + 41) = 2

По определению логарифма log ax = b ═► ab= х

Получим: (x –1)2 = x2 – 7x + 41

x2 – 2x + 1 = x2 – 7x + 41

x2 – 2x + 1 – x2 + 7x – 41 = 0

5х = 40 ═► х = 8

Проверка: подставив в уравнение значение x = 8, получим:

log 8–1 (64 –56 + 41) = 2 ═► log 7 49 = 2

72 = 49 – верно.

Ответ: х = 8

  1. Применение свойств логарифмов.

Данный метод применяется в том случае, когда в уравнении имеется сумма или разность логарифмов по одному и тому же основанию.

4 lg 2 + 2 lg (x – 3) = lg 3 + lg (7x + 1) + lg (x – 6)

Пользуясь свойствами логарифмов, преобразуем:

lg 24 + lg (x – 3)2 = lg (3(7x + 1)(x – 6))

lg (24 (x –3)2) = lg ((21x + 3)(x – 6))

Так как логарифмы по одному и тому же основанию равны, то равны и выражения, стоящие под знаками этих логарифмов:

24 (x – 3)2 = (21x + 3) (x – 6)

16 (x2 – 6х + 9) = 21x2 + 3x – 126x – 18

16x2 – 96х + 144 = 21x2– 123x – 18

16x2 – 96х + 144 – 21x2 + 123x +18 = 0

5x2 + 27x + 162 =0

5x2 – 27x – 162 =0

Решив полученное квадратное уравнение, получим:

x1 = -3.6 и x2 = 9

Проверка показывает, что значение x = -3.6 не удовлетворяет данному уравнению.

Ответ: x = 9.


3. Предварительная замена числа его логарифмом.

Данный метод применяется в том случае, когда в уравнение наряду с логарифмами входит число.

lg (2x+ x – 5) = x(1 – lg 5)

Заменив 1 его эквивалентом lg 10, получим:

lg (2x + x – 5) = x( lg 10 – lg 5)

Пользуясь свойствами логарифмов, преобразуем:

lg (2x + x – 5) = x lg hello_html_4518aaa.gif

lg (2x + x – 5) = x lg 2

lg (2x + x – 5) = lg 2x

2x + x – 5 = 2x

2x + x – 5 2x = 0

x 5 = 0

x = 5

Проверка показывает, что полученный корень удовлетворяет уравнению.

Ответ: x = 5.


  1. Введение новой переменной.

Данный метод применяется в том случае, когда в уравнение входят логарифмы во второй и в первой степени. Введение новой переменной позволяет свести логарифмическое уравнение к квадратному.

lg 2x + lg x – 2 = 0

Обозначим lg x = y, получим уравнение:

y2 + y – 2 =0

y1 = -2 и y2 = 1

Возвращаясь к старой переменной, получим:

lg x = y1 ═► lg x = -2 ═► x = 10-2 ═► x = 0.01

lg x = y2 ═► lg x = 1 ═► x = 10

Проверка показывает, что оба корня удовлетворяют уравнению.

Ответ: x1 = 0.01, x2 = 10.


5. Почленное логарифмирование.

Данный метод применяется в том случае, когда в уравнении логарифм находится в показателе степени.

x lgx= hello_html_bd2db36.gif

Воспользуемся свойством логарифма степени, получим:

lg x lg x = lg hello_html_bd2db36.gif

lg x lg x = lg 100 – lg x

lg 2 x = 2 – lg x

lg 2 x + lg x – 2 = 0

Получили квадратное уравнение, подобное тому, что мы решали в п.3.

Обозначим lg x = y, получим уравнение:

y2 + y – 2 =0

y1 = -2 и y2 = 1

Возвращаясь к старой переменной, получим:

lg x = y1 ═► lg x = -2 ═► x = 10-2 ═► x = 0.01

lg x = y2 ═► lg x = 1 ═► x = 10

Проверка показывает, что оба корня удовлетворяют уравнению.

Ответ: x1 = 0.01, x2 = 10.


6. Примеры:

  1. log 5 x = log 5 (6 - x2)

  2. log x +1 (2x2 +1) = 2

  3. log x - 6 (x2 - 5) = log x - 6 (2x + 19)

  4. lg2 x = 3 - 2 lg x

  5. log2 3 x - log 3 x = 2

Ответы:

1) 2; 2) 2; 3) корней нет; 4) 1; 10; 5) hello_html_44df469e.gif; 9.



Литература:

1. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. 3-е изд., стер. - СПб,: Издательство "Лань", 2011. - 464 с.

2. Алгебра и начала анализа 10-11классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый уровень/[Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева и др.]-16-е изд., перераб.-М.: Просвещение, 2010.-464с.

Дополнительные источники:

3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для техникумов.- 3-е изд.- М.: Высшая школа, 1990.-495с.




Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 12.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров606
Номер материала ДВ-053718
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх