Методическое пособие для студенов "Решение логарифмических уравнений"

Авторская педагогическая разработка

Методическое пособие

для студентов по  дисциплине «Математика»

Тема: «Решение  логарифмических  уравнений»

Иркутск, 2015

Пояснительная  записка.

Методическое пособие  «Логарифмические  уравнения»  выполнено для   использования  его студентами техникума при самостоятельных занятиях  по  данной  теме  в  разделе  «Показательная,   логарифмическая  и  степенная  функции» с целью углубления знаний по этой теме и отработки практических навыков решения логарифмических уравнений.

В главе I данного пособия приведены определения логарифма и свойства логарифмов, которые необходимо знать при решении логарифмических уравнений.

В главе II дано определение логарифмического  уравнения и приведены примеры логарифмических  уравнений.

В главе III рассмотрены  5 основных методов  решения  логарифмических  уравнений  и  приведены  примеры,  демонстрирующие  применение  этих  методов.

I.   Вопросы для повторения:

·         что называется логарифмом?

·         как записывается основное  логарифмическое  тождество?

·         log _a b  -  какие  ограничения  накладываются на  а?

·         чему  равен   log _a a ?

·         чему  равен   log _a (x_1*x₂)?

·         чему  равен   log _a (x₁/x₂)?

·         чему  равен   log _a a^m ?

·         если а>1 и  х₁ > х₂,  то какой знак  нужно  поставить  между 

log _a x₁  и  log _a x₂ ?

Если вы смогли ответить на все эти вопросы, то можете сразу переходить к главе II.  Если же на какие-либо вопросы вы не смогли дать ответ, стоит почитать всю эту главу.

1.                      Логарифмом числа  b по основанию  а называется  показатель степени, в которую нужно возвести число а,  чтобы получить число b, (а>0,  a ≠ 1,  b>0)

         log _a b = х

           Например,  log ₂ 8 = 3, так как  2³ = 8

                    log ₃ 1/27 = –3, так как 3 ^-3 = 1/27

2.     Основное логарифмическое тождество имеет вид:

        а ^{lоg b}  = b

3.                      log _a a = 1

4.                      log _a (x_1*x₂) = log _a x₁ + log _a x₂

5.                      log _a (x₁/x₂) = log _a x₁ –  log _a x₂

6.                      log _aa^m = m log _aa

7.                      Если а>1 и  х₁ > х₂,  то   log _a x₁ > log _a x₂

II.  Определение.   Уравнение, в  котором  переменная  находится под  знаком  логарифма,  называется  логарифмическим.

Например:    2 log ₂ x – 7 = 0,     log _x 4 = 2,     2 lg x – 1 = 0.

Простейшим  логарифмическим  уравнением  является  уравнение  вида:   log _a x = b,  где  a >0   и   a ≠ 1.

Его  решением  является  x = a^b,     x > 0.

Если логарифмическое  уравнение  имеет вид: log _a f(x) = b, то есть под  знаком логарифма находится  некоторая  функция  f(x), то его решение   сводится к решению  уравнения  f(x) = a^b (по определению логарифма). При этом уравнение имеет  множество  допустимых  значений  x,  задаваемых  неравенством   f(x) > 0. 

После того, как логарифмическое уравнение решено, то есть найдены корни уравнения, необходимо произвести проверку всех полученных корней.

Иногда сначала находят множество  допустимых  значений  x.

III.  Основные  способы  решения  логарифмических  уравнений:

1)   применение  определения  логарифма;

2)   применение свойств логарифмов;

3)   предварительная  замена  числа  его  логарифмом;

4)   введение  вспомогательной переменной;

5)   почленное  логарифмирование.

1.           Применение  определения  логарифма.

Данный метод применяется в том случае, когда в одной части логарифмического уравнения имеется логарифм, а в другой – число.

                   log _x-1 (x² – 7x + 41) = 2

По  определению  логарифма   log _a x = b    ═►  a^b = х

Получим:   (x –1)² = x² – 7x + 41

                    x² – 2x + 1 = x² – 7x + 41

                    x² – 2x + 1 – x² + 7x – 41 = 0

 5х = 40   ═►    х = 8  

Проверка:  подставив  в  уравнение  значение  x = 8,  получим:

log _8–1 (64 –56 + 41) = 2    ═►  log ₇ 49 = 2    

7² = 49  – верно.

Ответ:  х = 8  

2.           Применение свойств логарифмов.

Данный метод применяется в том случае, когда в уравнении имеется сумма или разность логарифмов по одному и тому же основанию.

          4 lg 2 + 2 lg (x – 3) = lg 3 + lg (7x + 1) + lg (x – 6)

Пользуясь  свойствами  логарифмов, преобразуем:

          lg 2⁴ + lg (x – 3)² = lg (3(7x + 1)(x – 6))

                   lg (2⁴ (x –3)²) = lg ((21x + 3)(x – 6))

Так как логарифмы по одному и тому же основанию равны, то равны и выражения, стоящие под знаками этих логарифмов:

                    2⁴ (x – 3)²  = (21x + 3) (x – 6)

16 (x² – 6х + 9)  = 21x² + 3x – 126x – 18

16x² – 96х + 144 = 21x²– 123x – 18

16x² – 96х + 144 – 21x² + 123x +18 = 0

– 5x² + 27x + 162 =0

                    5x² – 27x – 162 =0

Решив полученное  квадратное  уравнение,  получим:

                     x₁ = -3.6      и     x₂ = 9

Проверка показывает, что значение    x = -3.6    не  удовлетворяет  данному  уравнению.

Ответ: x = 9.

3.    Предварительная  замена  числа  его  логарифмом.

Данный метод применяется в том случае, когда в уравнение наряду с логарифмами входит число.

                   lg (2^x + x – 5) = x(1 – lg 5)

Заменив 1 его эквивалентом  lg 10, получим:

                  lg (2^x + x – 5) = x( lg 10 – lg 5)

Пользуясь  свойствами  логарифмов, преобразуем:

                             lg (2^x + x – 5) = x lg                         

 lg (2^x + x – 5) = x lg 2

 lg (2^x + x – 5) = lg 2^x

                   2^x + x – 5 = 2^x  

2^x + x – 5 – 2^x = 0

 x – 5 = 0

 x = 5

Проверка  показывает, что полученный корень удовлетворяет  уравнению.

Ответ: x = 5.

4.           Введение новой переменной.

Данный метод применяется в том случае, когда в уравнение входят логарифмы во второй и в первой степени. Введение новой переменной позволяет свести логарифмическое уравнение к квадратному.

                   lg ² x + lg x – 2 = 0

 Обозначим    lg x = y,  получим  уравнение:

                   y² + y – 2 =0

                   y₁ = -2     и    y₂ = 1

Возвращаясь к старой переменной,  получим:

lg x = y₁     ═►   lg x = -2   ═►   x = 10^-2   ═►  x = 0.01

                  lg x = y₂       ═►    lg x = 1    ═►    x = 10

Проверка показывает,  что оба  корня  удовлетворяют  уравнению.

Ответ:  x₁ = 0.01,   x₂ = 10.

5.    Почленное  логарифмирование.

Данный метод применяется в том случае, когда в уравнении логарифм  находится в показателе степени.

                         x ^{lg x} =   

Воспользуемся  свойством  логарифма  степени,  получим:

lg x lg x = lg

lg x lg x = lg 100 – lg x

                         lg ² x  = 2 – lg x

                         lg ² x  + lg x – 2 = 0

Получили квадратное уравнение, подобное тому, что мы решали в п.3.

Обозначим    lg x = y,  получим  уравнение:

                   y² + y – 2 =0

                   y₁ = -2     и    y₂ = 1

Возвращаясь к старой переменной,  получим:

lg x = y₁     ═►   lg x = -2   ═►   x = 10^-2   ═►  x = 0.01

                  lg x = y₂       ═►    lg x = 1    ═►    x = 10

Проверка показывает,  что оба  корня  удовлетворяют  уравнению.

Ответ:  x₁ = 0.01,   x₂ = 10.

6.    Примеры: 

1)    log ₅ x = log ₅ (6 - x²) 

2)    log _{x +1}  (2x² +1) = 2

3)    log _{x - 6}  (x² - 5) = log _{x - 6} (2x + 19)

4)    lg² x = 3 - 2 lg x

5)    log² ₃ x - log ₃ x = 2

Ответы:

1) 2;    2)   2;    3) корней нет;    4) 1; 10;    5) ; 9.

Литература:

1.       Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. 3-е изд., стер. - СПб,: Издательство "Лань", 2011. - 464 с.

2.       Алгебра и начала анализа 10-11классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый уровень/[Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева и др.]-16-е изд., перераб.-М.: Просвещение, 2010.-464с.

Дополнительные источники:

3.       Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для техникумов.- 3-е изд.- М.: Высшая школа, 1990.-495с.