Методическое пособие для студентов по выполнению практических работ по стереометрии

Министерство образования Московской области
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение  Московской области

«Московский областной профессиональный колледж»

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

ДЛЯ  ВЫПОЛНЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ ПО МАТЕМАТИКЕ (РАЗДЕЛ   СТЕРЕОМЕТРИИ)

 

2015 год

Учебно-методическое пособие предназначено для студентов по специальностям технического профиля и призвано помочь усвоить курс стереометрии. В данном пособии представлен теоретический материал по основным темам стереометрии в конспективной форме.

     Разработчик: Рыбалкина  М.В., преподаватель математики  ГБПОУ МО «Московский областной профессиональный колледж»

Учебно – методическое пособие рассмотрено  и одобрено на заседании предметной (цикловой) комиссии общеобразовательного и социально-гуманитарного циклов

Протокол № _________ от «____» __________20____ г.

Председатель ПЦК ___________М.В. Данилина

Краткое изложение теоретических вопросов сопровождается необходимыми простыми рисунками и формулами для вычисления площадей поверхностей и объемов пространственных тел, изучаемых в разделе стереометрии.

Целью пособия является:

·       оказание помощи обучающимся, пропустившим по тем или иным причинам занятия;

·       воспитание навыков самостоятельной и индивидуальной работы;

·       выработка визуального образного мышления;

·       указание путей и возможностей в дальнейшем для решения стереометрических задач.

Пособие окажет помощь учащимся в создании конспекта по предмету в аудиторных и домашних условиях, поможет в изучении нового материала и в повторении, обобщении и систематизации пройденного, а  также поможет в подготовке к экзаменам.

Профильная составляющая отражается в требованиях к подготовке  обучающихся в части:

-                   общей системы знаний: содержательные примеры использования математических идей и методов в профессиональной деятельности;

-                   умений: различие в уровне требований к сложности применяемых алгоритмов;

-                   практического использования приобретенных знаний и умений: индивидуального учебного опыта в построении математических моделей, выполнении исследовательских и проектных работ.

Учебно-методическое пособие состоит из трех   практических заданий, каждое из которых включает в себя краткий конспект с рисунками и систему контролирующих вопросов и заданий. Результаты практических работ необходимо оформить в тетради, а ответы контролирующих заданий сдать преподавателю для контроля.

Особенностью пособия является наглядность изложения теории, направленная на усвоение теоретических знаний по стереометрии и развитие пространственного воображения и индивидуальных интеллектуальных способностей обучающихся.

Практическое задание № 1. ПРИЗМА

ЦЕЛЬ работы: приобретение и закрепление знаний по теме «Призма».

ХОД работы:

1.     Прочитайте текст.

2.     Выполните краткий конспект в тетради, используйте активно рисунки.

3.     Выполните отдельно контролирующие задания.

ПРИЗМА

1.      Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих и разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников.

Многоугольники ABCDE = A₁B₁C₁D₁E называются основаниями призмы. Многоугольники AA₁B₁B₁, BB₁C₁C,  … (параллелограммы) называются боковыми гранями призмы (рис. 1).

                             Рис. 1

Отрезки AA₁, BB₁, CC₁… называются боковыми рёбрами. Перпендикуляр HH₁ опущенный из какой-нибудь точки верхнего основания на плоскость нижнего основания, называется высотой призмы.

2.     Призма называется треугольной, четырёхугольной и т.д., когда её основание-треугольник, четырёхугольник и т.д.

3.     Призма называется наклонной, если её боковые рёбра не перпендикулярны к основаниям.

4.     Призма называется прямой, если её  боковые рёбра перпендикулярны основаниям.

5.     Призма называется правильной, если она прямая и её основания - правильные многоугольники.

6.     Плоскость, перпендикулярная к боковому ребру призмы, пересекает её грани. Полученный в сечении многоугольник называется перпендикулярным сечением (рис. 2).

Сечения призмы плоскостью

а) перпендикулярное сечение                                      б) диагональное сечение

 

рис.2                                                                рис.3

7.      Площадь боковой поверхности - это сумма площадей всех боковых граней.

8.      Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы (на длину бокового ребра), т.е.

S=P·H

9.      Площадь поверхности призмы - это сумма площадей всех граней.

10.   Развертка

Площадь полной поверхности призмы

  вычисляется по формуле:

     S_полн = S_бок + 2S_осн.

              Рис. 4

11.  Объём прямой призмы вычисляется по формуле:  V=S_осн · H

где  Н-высота призмы;  S_осн- площадь основания призмы.

12.  Объем наклонной призмы вычисляется по формулам:

а)V=S_осн · H                   б)V=S_^ · L

где S_^ - площадь перпендикулярного сечения; L – боковое ребро

Контролирующие задания к теме «Призма»:

1.     Изобразите наклонную пятиугольную призму

а) из одной ее вершины проведите высоту;

б) укажите стрелками элементы призмы;

в) постойте все диагональные сечения этой призмы.

2.     Какая призма не имеет диагональных сечений?

3.     Перечислите свойства правильной призмы.

4.     Выпишите формулы объема и полной поверхности.

Практическое задание № 2. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

ЦЕЛЬ работы: приобретение и закрепление знаний по теме «Параллелепипед».

ХОД работы:

1.     Прочитайте текст.

2.     Выполните краткий конспект в тетради, используйте активно рисунки.

3.     Выполните отдельно контролирующие задания.

 

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

1.       Параллелепипедом – называется призма, у которой основаниями служат параллелограммы. Параллелепипеды, как и всякие призмы могут быть прямые и наклонные.

2.       Из определения следует:

-          у параллелепипеда все шесть граней – параллелограммы;

-          у прямого параллелепипеда четыре боковые грани - прямоугольники, а два основания – параллелограммы;

-          у прямоугольного параллелепипеда все шесть граней – прямоугольники.

3.       В любом параллелепипеде:

-         противоположные грани равны и параллельны;

-         диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

4.       Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

5.       Квадрат длинны диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

            d²=a²+b²+c²

где  a,   b,   c –измерения прямоугольного

 параллелепипеда; d-диагональ.

6.      Развертка

Площадь полной поверхности параллелепипеда

вычисляется по формуле:

S_полн = S_бок + 2S_осн

7.      Объем параллелепипеда вычисляется по формуле:

V=S_осн · H

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

V = a · b · c

где a, b, c – измерения прямоугольного параллелепипеда.

Объем куба вычисляется по формуле:

V=a³

где a – ребро куба.

Контролирующие задания к теме «Параллелепипед»:

1.     Какие виды параллелепипедов Вы знаете? Разместите их в схему.

2.     Какие свойства параллелепипеда следуют из того, что он частный случай призмы?

3.     Чем прямой параллелепипед отличается от наклонного?

4.     В параллелепипеде проведено диагональное сечение. На какие многогранники разбился параллелепипед?

5.     Сколько боковых граней наклонного параллелепипеда могут быть прямоугольниками?

Практическое задание № 3. ПИРАМИДА

ЦЕЛЬ работы: приобретение и закрепление знаний по теме «Пирамида».

ХОД работы:

1. Прочитайте текст.

2. Выполните краткий конспект в тетради, используйте активно рисунки.

3. Выполните отдельно контролирующие задания.

 

ПИРАМИДА

1.       Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника – основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания, - вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания. На рисунке изображена пирамида SABCD, где АВСD – основание, точка S – вершина. Треугольники SAB, SBC, SCD, CDA называются боковыми гранями. Прямые SA, SB SC, SD называются боковыми рёбрами пирамиды. Перпендикуляр SO, опущенный из вершины на основание, называется высотой пирамиды и обозначается Н.

2.       Сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагонали, основания, называется диагональным сечением пирамиды.

      DASC и DBSD диагональные сечения

3.       Пирамида называется треугольной, четырёхугольной и т.д., если её основание - треугольник, четырёхугольник и т.д.

4.       Пирамида называется правильной, если основание её - правильный многоугольник, а высота её проходит через центр основания.

5.       Боковые грани правильной пирамиды - равнобедренные треугольники, равные вежду собой.

6.       Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой  пирамиды.

7.       Треугольная пирамида называется также тетраэдром. Если все четыре грани тетраэдра - правильные треугольники, то и тетраэдр называется правильным.

8.       Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, то:

-         боковые рёбра и высота разделяется на пропорциональные части;

-         в сечении получатся многоугольник, подобной основанию;

-         площадь сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины.

-         объём двух подобных тел относятся как кубы их соответствующих линейных размеров.

9.       Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.

10.    

S_бок =ph                      

   где p-полупериметр основания; h- апофема.

11.   Развертка пирамиды

Площадь полной поверхности вычисляется по формуле:

S_полн=S_бок+S_осн

12.  Объём пирамиды вычисляется по формуле:

V=1/3 S_осн ·Н

13.  Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, то получится новый многогранник, который называется усечённой пирамидой.

На рисунке треугольник ABC – нижнее основание, треугольник MNK -  верхнее основание.

14.   Для усечённой пирамиды площадь полной поверхности вычисляется по формуле:

15.    

S_полн=S_бок+S₁+S₂

где S₁-площадь нижнего основания;

S₂-площадь верхнего основания.

16.   Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

где h – высота усеченного конуса.

Контролирующие задания к теме «Пирамида»:

1.     Изобразите правильную четырехугольную пирамиду и покажите на ней стрелками основные элементы.

2.     Нарисуйте развертку правильной четырехугольной пирамиды. Как найти площадь ее полной поверхности?

3.     Перечислите свойства правильной пирамиды.

4.     В пирамиде проведено сечение параллельно ее основанию. Как называются полученные части пирамиды?

5.     Сколько диагональных сечений имеет шестиугольная пирамида?

ЛИТЕРАТУРА

1.      Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 10-11 кл. (базовый и профильный уровни) М.: Просвещение, 2014.

2.      Афанасьева О.Н., Бродский Я.С., Павлов А.Л. Математика для техникумов. – М.: Наука, 2013.

3.      Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: Высшая школа, 2012.

4.  Погорелов А. В.  Геометрия. 10-11 кл.  – М.  Дрофа, 2012.