Методическое пособие к проведению практического занятия по дисциплине МАТЕМАТИКА на тему: «Исследование функции на непрерывность».

Методическое пособие

к проведению практического занятия

по дисциплине   математика

на тему: «Исследование функции на непрерывность».

1.Цель работы:      Приобрести исследования функции на непрерывность.

2 Литература : Н.В. Богомолов Практические занятия по математике. – М.: Высшая школа

В.С .Шипачев Задачник по высшей математике. ­М.; Высшая школа

3.Задание:

Исследовать на непрерывность следующие функции:

a)f(x)=2x+1 в точках x=1 и x=-1	б) f(x)=  в точках x=0 и x=-1
г) f(x)=  в точке x=0 ,x=-1, x=-3	в)f(x)=  в точках  x=-1, x=1, x=2

4. Теоретические сведения, необходимые для выполнения задания.

Непрерывность функции в точке.

         Пусть функция y=f(x)  определена в точке  и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке, если существует предел функции в  точке и он равен значению функции в этой точке, т.е.

= f().

         Согласно данному определению непрерывность функции f(x)   в точке  означает выполнение следующих трех условий:

1)   функция f(x)  определена  в точке (т.е. существует f());

2)   функция f(x) имеет предел в точке ;

3)   предел функции в  точке равен значению функции в этой точке.

Пример1. Исследовать непрерывность в точке =0 заданных функций:

а) y=

б) y=

в) y=

u) y=

Решение. а) В точкефункция y=f(x) не является непрерывной, так как нарушено первое условие непрерывности - существование f(0).

б) В точкефункция y=f(x) не является непрерывной - первое условие непрерывности выполнено f(0) существует(f(0)=1), но нарушено второе условие  - отсутствует(точнее говоря, здесь существуют односторонние пределы функции слева=-1 и справа x→0 не существует).

         в) В точкефункция y=f(x) не является непрерывной – первые два условия непрерывности выполнены - существуют f(0) (f(0)=1) и конечный предел = 0, но нарушено третье основное условие ≠ f().

г) В точкефункция y=f(x) функция непрерывна, так как выполнены все три условия непрерывности - = f(0)=0.

Точки разрыва функции и их классификация.

         Точка называется точкой разрыва функции ), если функция  в точке  не является непрерывной ( т.е. для точкинарушаются условия непрерывности).

         Таким образом, если  точка разрыва функции ), то в ней:

-     либо ) не определена;

-    либо  не существует;

-    ≠f().

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода функции y=f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е.= А и = В. При этом:

а) если А=В, то точка называется точкой устранимого разрыва;

б) если А≠В, то точка называется точкой конечного разрыва.

Величину  называют скачком функции в точке разрыва первого рода.

         Точка разрыва называется точкой разрыва второго  рода функции y=f(x), если, по крайней мере, один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.

В примере 1.

 а) =0 точка разрыва второго  рода функция y=f(x) ; 

б)=0 точка разрыва первого  рода функция y=f(x), а, именно,-  точка конечного разрыва;

 в)=0 точка разрыва первого  рода функция y=f(x), а, именно,-  точкой устранимого разрыва.

5. Вывод по работе ____________________________________

:

Краткое описание документа:

для обучающихся учреждений сред. проф. образования