Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическое пособие учителю по теме "Элементы теории вероятности"

Методическое пособие учителю по теме "Элементы теории вероятности"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

В помощь учителю





Алгебра и начала математического анализа

11 класс

Учебник для общеобразовательных учреждений

Базовый и профильный уровни

Авторы:Ю.М.Колягин,М.В.Ткачева,Н.Е.Федорова,М.И.Шабунин

Под редакцией А.Б.Жижченко

C:\Users\Марина Васильевна\Desktop\111111111.jpg



Глава 6.Элементы теории вероятностей

Вероятность события. Сложение вероятностей. Условная вероятность. Независимость событий. Вероятность произведения независимых событий. Формула Бернулли.

Основная цель-сформировать понятие вероятности случайного независимого события; научить решать задачи на применение теоремы о вероятности суммы двух несовместных событий и на нахождение вероятности произведения двух независимых событий.

В программу включено изучение (частично на интуитивном уровне) лишь отдельных элементов теории вероятностей. При этом введению каждого понятия предшествует неформальное объяснение, раскрывающее сущность данного понятия, его происхождение и реальный смысл. Так вводятся понятия случайных, достоверных и невозможных событий, связанных с некоторым испытанием; определяются и иллюстрируются операции над событиями.

Классическое определение вероятности события с равновозможными элементарными исходами формулируется строго, и на его основе (с использованием знаний комбинаторики) решается большинство задач. Понятия геометрической вероятности и статистической вероятности вводились на интуитивном уровне в основной школе.

Независимость событий вводится достаточно строго (после определения понятия условной вероятности) Разбирается решение задачи на нахождение вероятности события. В, состоящего в том, что при n испытаниях наблюдаемое событие А произойдет ровно kраз, после чего обосновывается формула Бернулли.

При изложения материала данного раздела подчеркивается прикладное значение теории вероятностей в различных областях знаний и практической деятельности человека.









Глава VI Элементы теории вероятностей

§1

1.

1)невозможное

2)случайное

3)достоверное

2.

1)несовместными являются

2)не являются несовместными(так как они могут наступить одновременно:можно вытащить туз бубновой масти)

3)не являются несовместными (так как они могут наступить одновременно:четыре очка-это четное число)

4)являются несовместными

3

1)Сегодня первый урок –не физика

2)экзамен сдан не на отлично

3)на игральной кости выпало не меньше пяти очков

4)ни одна пуля не попала в цель

4

1)AB

2)A+B

3)AḂ+ĀB


4)ĀḂ

5)ĀB

5

Событие А-выпало число,кратное 3

Р(А)=hello_html_4e51c5b1.gif=hello_html_7f8f9891.gif (всего 2 числа:3,6)

6

Событие А- выпало 5 число на високосный год

Р(А)=hello_html_17592a7.gif=hello_html_757e6855.gif (в високосном году 366 дней,12 раз в году выпадает 5 число)

7

1)А-вынутый шар черный

Р(А)=hello_html_m62264ffd.gif=hello_html_685d8d49.gif

2)А-вынутый шар белый

Р(А)=hello_html_2b161cb3.gif=hello_html_7f8f9891.gif

3) А-вынутый шар красный

Р(А)=hello_html_17e293e3.gif

4)А-вынутый шар черный или белый

Р(А)=hello_html_6e0b8d43.gif

5)А-вынутый шар черный или красный

р(А)=hello_html_m1beea2ce.gif=hello_html_6a1c94eb.gif

6)А-вынутый шар красный или белый

р(А)=hello_html_m271a2d9e.gif=hello_html_m57c90caf.gif

7)А-вынутый шар или черный,или белый,или красный

р(А)=1

8) А-вынутый шар зеленый

р(А)=0

8

Событие А-наудачу выбранные 3 лампы исправные

р(А)=hello_html_5beb3157.gif=hello_html_m5106a565.gif=hello_html_5c11c5f5.gif≈0,86

9

1)Общее число исходов при бросании трех игральных костей 6hello_html_m49340676.gif6=216

Событие А-на трех костях выпало одинаковое количество очков.

Количество благоприятствующих исходов 6:1,1,1;2,2,2;3,3,3;4,4,4;5,5,5;6,6,6

р(А)=hello_html_794b25c3.gif=hello_html_435e96cc.gif

2)Общее число исходов при бросании трех игральных костей 6hello_html_m49340676.gif6=216

А-сумма выпавших очков равна 4

Набор,дающий в сумме 4:2,1,1 .Он допускает 3 перестановки

Р(А)=hello_html_6193cfbb.gif=hello_html_m6e65b20f.gif

3)Событие А-сумма очков на всех костях равна 5

Наборы,дающи в сумме 5:3,11;2,2,1.Каждый набор допускает по 3 перестановки ,следовательно,3+3=6

Р(А)=hello_html_794b25c3.gif=hello_html_435e96cc.gif



10

Событие А-сумма очков ,выпавших на обеих костях ,есть число нечетное






1

2

3

4

5

6

1

11

21

31

41

51

61

2

12

22

32

42

52

62

3

13

23

33

43

53

63

4

14

24

34

44

54

64

5

15

25

35

45

55

65

6

16

26

36

46

56

66



Р(А)=hello_html_29b7437b.gif=hello_html_6eec8aff.gif

2)Событие А-произведение очков,выпавших на обеих костях,есть число четное


1

2

3

4

5

6

1

11

21

31

41

51

61

2

12

22

32

42

52

62

3

13

23

33

43

53

63

4

14

24

34

44

54

64

5

15

25

35

45

55

65

6

16

26

36

46

56

66



р(А)=hello_html_34c0ca93.gif=hello_html_m57c90caf.gif

3)Событие А-сумма выпавших очков больше 6


1

2

3

4

5

6

1

11

21

31

41

51

61

2

12

22

32

42

52

62

3

13

23

33

43

53

63

4

14

24

34

44

54

64

5

15

25

35

45

55

65

6

16

26

36

46

56

66



Р(А)=hello_html_52a5a616.gif=hello_html_6e0b8d43.gif

11

1)Событие А-оба вынутых билета выигрышные

Р(А)=hello_html_1fa8a0ea.gif=hello_html_5f8c00a4.gif=hello_html_m35414a8f.gif

2)Событие А-только один билет выигрышный

р(А)=hello_html_28294d91.gif=hello_html_2edfe0f0.gif=hello_html_m56ccab50.gif

3)Событие А-выигрышного билета не оказалось

Р(А)=hello_html_5e21aed1.gif=hello_html_55c2f995.gif=hello_html_m6a835079.gif



12

Событие А-на первой кости очков больше ,чем на второй


1

2

3

4

5

6

1

11

21

31

41

51

61

2

12

22

32

42

52

62

3

13

23

33

43

53

63

4

14

24

34

44

54

64

5

15

25

35

45

55

65

6

16

26

36

46

56

66



Р(А)=hello_html_m6c41ab21.gif=hello_html_17e293e3.gif

13

В обеих урнах по 8 шаров.

Событие А-достанут два белых шара

Р(А)=hello_html_m6e3ecaf7.gif ·hello_html_m1b987981.gif=hello_html_4bc57f62.gif

Событие В-достанут два черных шара

Р(В)=hello_html_m1b987981.gif·hello_html_319ff41d.gif=hello_html_m7b1c328e.gif

Событие С-достанут два красных шара

Р(С)=hello_html_61ec8901.gif=hello_html_9343be2.gif

Вороятность,что шары одного цвета р(А+В+С)=р(А)+р(В)+р(С)=hello_html_m4d954ca3.gif

§2

14

Событие А-вынутая карта туз

Событие В-вынутая карта дама

А+В-наугад вынутая карта либо туз,либо дама

Р(А)=hello_html_m7387db24.gif=hello_html_m218a2db.gif

Р(В)=hello_html_m7387db24.gif=hello_html_m218a2db.gif

Так как события Аи В несовместные ,к ним применима теорема сложения вероятностей

Р(А+В)=hello_html_m218a2db.gif+hello_html_m218a2db.gif=hello_html_5db99c31.gif



15

А-наудачу вынутый билет будет билетом денежно-вещевой лотереи

В-наудачу вынутый билет будет билетом художественной лотереи

А+В-один наудачу вынутый билет будет билетом либо денежно-вещевой ,либо худождественной лотереи

Очевидно р(А)= hello_html_2f751131.gif

Р(В)=hello_html_5ff44ac9.gif

Так как события Аи В несовместны,к ним применима теорема сложения вероятностей

Р(А+В)=hello_html_2f751131.gif+hello_html_5ff44ac9.gif=hello_html_m4e2f412c.gif=hello_html_6a1c94eb.gif



16

1 способ

Событие А-вынутый шар белый

Р(А)=hello_html_18622ead.gif=hello_html_m11f0fb5b.gif

Событие Ā-вынутый шар не белый

Р(Ā)=1-hello_html_m11f0fb5b.gif=hello_html_6533ba.gif

2способ

Событие А-появление черного шара

Событие В-появление красного шара

А+В-появление цветного шара (не белого)

Р(А)=hello_html_m5fc5e57d.gif=hello_html_7f8f9891.gif

Р(В)=hello_html_md8777a6.gif=hello_html_6eec8aff.gif

Р(А+В)=р(А)+р(В)=hello_html_7f8f9891.gif+hello_html_6eec8aff.gif=hello_html_6533ba.gif



2способ

Событие А-наугад вынутый шар не белый

Р(А)=hello_html_19c8b6d9.gif=hello_html_6533ba.gif

17

Событие А-выигрыш главного приза

По условию р(А)=hello_html_m6c779cd7.gif

Не выиграть главный приз –противоположное выигрышу событие,и его вероятность:

Р(hello_html_1c1d6bcf.gif)=1-hello_html_m6c779cd7.gif=0,99999999

18

Событие А-наугад вынутая из полного набора кость домино будет «дублем»

Р(А)=hello_html_6f1c22f4.gif=hello_html_685d8d49.gif

Событие hello_html_1c1d6bcf.gif-наугад вынутая из полного набора кость домино не будет «дублем»

Р(hello_html_1c1d6bcf.gif)=1-р(А)=1-hello_html_685d8d49.gif=hello_html_m57c90caf.gif

19

Событие А-среди отобранных цветков нет белой астры

Р(А)=hello_html_m513001d2.gif=hello_html_m49a5427d.gif=hello_html_m37a1afba.gif

Ā-среди отобранных студентов по крайней белая астра

Р(Ā)=1-hello_html_m37a1afba.gif=hello_html_m21ee40b8.gif

20

Событие А-среди отобранных студентов нет девушки

Р(А)=hello_html_m6b76478a.gif=hello_html_7f3aa896.gif=hello_html_284349f1.gif

Ā-среди отобранных студентов по крайней мере одна девушка

Р(Ā)=1-hello_html_284349f1.gif=hello_html_77b6235b.gif

21

Событие А-поражение цели из первого орудия

По условию,р(А)=0,7

Событие В-поражение цели из второго орудия.

По условию ,р(В)=0,6

А и В-независимые события

Р(А·В)=р(А)·р(В)=0,7·0,6=0,42

22

р(АВ)=р(А)+р(В)-р(А+В)

р(А+В)=р(А)+р(В)-р(АВ)

р(А+В)=0,3+0,8-0,1

р(А+В)=1

А+В=U



§3 Условная вероятность.Независимость событий

23

    1. способ

Событие А-первым вынут синий карандаш

В-вторым был взят красный карандаш

После извлечения со стола первым синего карандаша (произошло событие А)там останутся 3 синих и 3 красных карандаша.Появлению красного карандаша из 6 оставшихся благоприятствуют 3 события,поэтому

Р(В/А)=hello_html_2e647abd.gif=hello_html_6eec8aff.gif

Р(В/А)-вторым был взят красный карандаш при условии ,что первым был синий

  1. способ

р(А)=hello_html_m3be95b8.gif

Всего исходов 7,т.к.на столе первоначально 4+3=7 карандаша.Исходов,благоприятствующих наступлению события А,всего 4: синих 4 карандаша.

А·В-последовательно извлечены синий,затем красный карандаш

Число всех возможных вариантов извлечения двух шаров со стола с 7 карандашами( с учетом порядка их появления)равно hello_html_5eeb05f4.gif=7·6=42

Благоприятствующими событию А·В будут всевозможные упорядоченные пары синий,красный карандаш,составленные из имеющихся 4 синих и 3 красных карандашей.Таких соединений ,согласно правилу умножения будет 4·3=12

Таким образом,р(А·В)=hello_html_m2a3f44c8.gif=hello_html_m1d10b43b.gif

Р(В/А)=hello_html_m1e6211dd.gif=hello_html_6eec8aff.gif

2)Событие А-первым вынут синий карандаш

В-вторым вынут синий карандаш

После извлечения со стола первым синего карандаша (произошло событие А)там останутся три синих и три красных карандаша.Появлению синего карандаша из 6 оставшихся благоприятствуют 3 события

Р(В/А)=hello_html_2e647abd.gif=hello_html_6eec8aff.gif

3)А-первым вынут красный карандаш

В-вторым вынут синий карандаш

После извлечения со стола красного карандаша (произошло событие А) там останется 4 синих и 2 красных карандаша.Появлению синего карандаша вторым из 6 оставшихс благоприятствует 4 события,поэтому р(В/А)=hello_html_m66c4f464.gif=hello_html_6a1c94eb.gif

4)А-первым вынут красный карандаш

В-вторым вынут красный карандаш

После извлечения со стола первым красного карандаша (произошло событии А)там останутся 4 синих и 2 красных карандаша.

Появлению красного карандаша вторым из 6 оставшихся благоприятствует 2 события,поэтому р(В/А)=hello_html_4e51c5b1.gif=hello_html_7f8f9891.gif

24

1)А-первым вынут выигрышный билет

В-вторым извлечен билет без выигрыша

После извлечения из барабана первым выигрышного билета(произошло событие А)там останутся 1 выигрышный и 8 билетов без выигрыша.Появлению билета без выигрыша из 9 оставшихся благоприятствует 8 событий,поэтому

Р(В/А)=hello_html_2a9d16cb.gif



2)Событие А-первым вынут выигрышный билет

В-второй вынут билет без выигрыша

Вероятность того,что сначала вынут выигрышный билет

Р(А)=hello_html_m585258c6.gif=hello_html_3b7b3c70.gif

Вероятность того,что вторым вынут билет без выигрыша (произошло событие В)вычисляется при условии,что первым уже вынули выигрышный билет

Р(В/А)=hello_html_2a9d16cb.gif

Р(А·В)=р(А)·р(В/А)=hello_html_m585258c6.gif·hello_html_2a9d16cb.gif=hello_html_f161169.gif





25

1)А-первым вынут красный шар

В-вторым вынут красный шар

После извлечения из ящика первым красного шара(произошло событие А)там останутся 4 белых и 4 красных шара

Появлению красного шара вторым из 8 оставшихся благоприятствуют 4 события ,поэтому

Р(В/А)=hello_html_m7f99b4f9.gif=hello_html_6eec8aff.gif

2)А-первым вынут красный шар

В-вторым вынут красный шар

Вероятность того,что первым вынут красный шар р(А)=hello_html_138d6a3a.gif

Вероятность того,что вторым вынут красный шар (произошло событие В) вычисляется при условии,что первым уже вынут красный шар

Р(В/А)=hello_html_6eec8aff.gif

Р(Аhello_html_24e83144.gifВ)=р(А)·р(В/А)=hello_html_138d6a3a.gif·hello_html_m7f99b4f9.gif=hello_html_2b3604ff.gif

26

1)А-первой извлекли карту красной масти

В-второй извлекли карту красной масти

Р(А)=hello_html_29b7437b.gif=hello_html_6eec8aff.gif

Р(В/А)=hello_html_5391155e.gif (после извлечения из колоды карты красной масти(произошло событие А)там останутся 18 карт черной масти и 17 карт красной масти.Появлению карты красной масти второй из 35 оставшихся благоприятствует 17 событий)

Р(Аhello_html_24e83144.gifВ)=р(А)·р(В/А)=hello_html_3ec93e8b.gif=hello_html_m6283f39f.gif

2)А-первым извлекли карту красной масти

В-второй извлекли карту черной масти

Р(А)=hello_html_29b7437b.gif=hello_html_6eec8aff.gif

Р(В/А)=hello_html_697f3962.gif

После извлечения из колоды карты красной масти (произошло событие А)там останутся 18 карт черной масти и 17 карт красной масти.Появлению карты черной масти второй из 35 оставшихся благоприятствует 18 исходов)

Р(Аhello_html_24e83144.gifВ)=р(А)·р(В/А)=hello_html_m32acf777.gif=hello_html_m154ebc2b.gif

3)А-первой вынута карта красной масти

В-вынута карта черной масти

В/А-второй вынута карта черной масти при условии,что первой была карта красной масти.

После извлечения из колоды первой карты красной масти(произошло событие А) там останутся 18 черных и 17 красных карт.Появлению карты черной масти второй из 35 оставшихся благоприятствует 18 исходов,поэтому р(В/А)=hello_html_697f3962.gif

27

1,2,3)наступление события А не оказывает влияния на вероятность события В.Следовательно,события А и В –независимые события

4)события Аи В не являются независимыми событиями,так как наступление события А оказывает влияние на вероятность события В(карту не возвращают в колоду)

28

А-Оля вынула гвоздику

В-Таня вынула нарцисс

АВ-последовательно вынули гвоздику,а затем нарцисс

В/А-вторым вынут нарцисс при условии,что первым вынули гвоздику

Р(А)=hello_html_m164c0b66.gif=hello_html_6a1c94eb.gif

Р(В/А)=hello_html_m43879431.gif

Р(АВ)=р(А)р(В/А)=hello_html_3f1bc27.gif=hello_html_18753622.gif

  1. способ

число всех возможных вариантов извлечения двух цветов из букета с 15 цветами(с учетом порядка их появления)равно hello_html_3cffb252.gif=15·14=210

Благоприятствующими событию АВ будут все возможные упорядоченные пары «гвоздика,нарциис»,составленные из имеющихся 10 гвоздик и 5 нарциссов.Таких соединений согласно правилу умножения 10·5=50



Р(АВ)=hello_html_576f19c7.gif=hello_html_18753622.gif

29

А-первому контролеру досталась бракованная деталь

В- второму контролеру досталась не бракованная деталь

АВ-последовательно пкрвый достал бракованную деталь,а второй небракованную

В/А-второй достал небракованную деталь при условии,что первый достал бракованную

Р(А)=hello_html_m2ac177ec.gif=hello_html_d538969.gif

Р(В/А)=hello_html_m41f750e1.gif

Р(АВ)=р(А)р(В/А)=hello_html_d538969.gif·hello_html_m41f750e1.gif=hello_html_1d7b7cbc.gif

30

Студент знал ответы на 70 вопросов ,и на 20 вопросов не знал

1)А-верно ответит на первый вопрос

В-верно ответит на второй вопрос

АВ-верно ответит на два вопроса

Р(А)=hello_html_m2deebbd8.gif=hello_html_m2c19ebde.gif

(всего исходов 90,т.к. всего 90 билетов.Исходов ,благоприятствующих наступлению события А,равно 70,т.к. студент знал ответы на 70 вопросов)

Р(В/А)-=hello_html_525ee522.gif

(после вытягивания 1 билета (произошло событие А)останется 69 вопросов,на которые он знал ответы и 20 вопросов ,на которые он не знал ответы.Вытягивание билета,на который он знал

ответ,вторым благоприятствует 69 исхода

АВ-верно ответит на два вопроса

Р(АВ)=р(А)р(В/А)=hello_html_m4c3643ed.gif=hello_html_m56adb5a5.gif

2)Событие А-не ответит на первый вопрос

Событие В-ответит на второй вопрос

После того,как студент вытащил один билет и не ответил на него (произошло событие А) там останутся 70 вопросов,на которые он знал ответ,на 19 вопросов не знал ответ.

В/А-ответит на второй вопрос при условии ,что он не знал ответа на первый вопрос

Р(В/А)=hello_html_m48165056.gif





§4 Вероятность произведения независимых событий

31

Событие А-попадание в мишень при первом выстреле ,по условию ,р(А)=0,6

Событие В-попадание в мишень при втором выстреле,по условию ,р(В)=0,6

АиВ-независимые события

Р(АВ)=р(А)р(В)=0,6·0,6=0,36

32

Событие А-поражение цели из первого орудия .По условию р(А)=0,7

Событие В-поражение цели из второго орудия.По условию р(В)=0,6

А и В –независимые события

Р(АВ)=р(А)р(В)=0,7·0,6=0,42

33

1)Событие А-первым вынут красный шар

Событие В-вторым вынут черный шар

А и В-независимые события(шары возвращают в урну)

Р(АВ)=hello_html_m64a6d796.gif·hello_html_11620b8a.gif=hello_html_m5965ef3f.gif

2)Событие А-первым вынут черный шар

Событие В-вторым вынут белый шар

А и В –независимые события

Р(АВ)=р(А)р(В)=0,5·0,2=0,1

34

Событие А-выпадение четного числа на 1 кости

Р(А)=hello_html_2e647abd.gif=hello_html_6eec8aff.gif

Событие В-выпадение четного числа на 2 кости

Р(В)=hello_html_6eec8aff.gif

Событие С-выпадение четного числа на 3 кости

Р(С)=hello_html_6eec8aff.gif

А,В,С-независимые события

Р(АВС)=р(А)р(В)р(С)=hello_html_m6e3ecaf7.gif

35

Событие А-при первом бросании появилось 6 очков

Событие В-при втором бросании появилось число очков,кратное трем.

Событие Ḃ-при втором бросании появилось очков,не кратное трем

Р(А)=hello_html_m11f0fb5b.gif

Р(В)=hello_html_4e51c5b1.gif=hello_html_7f8f9891.gif

Р(hello_html_m7ed4c03.gif)=1-р(В)=hello_html_6a1c94eb.gif

А и Ḃ-независимые события

Р(АḂ)=р(А)р(Ḃ)=hello_html_m218a2db.gif

36

Событие А-первый раз выпало четное число очков

Событие В-второй раз выпало число очков ,меньшее трех

Событие Ḃ-второй раз выпало число очков ,не меньшее трех

Р(В)=hello_html_4e51c5b1.gif=hello_html_7f8f9891.gif

Р(Ḃ)=1-р(В)=hello_html_6a1c94eb.gif

А и Ḃ-независимые события

р(АḂ)=р(А)р(Ḃ)=hello_html_2e647abd.gif·hello_html_6a1c94eb.gif=hello_html_7f8f9891.gif

37

Событие А-хотя бы однажды попадет по мишени

Событие Ā-ни одного попадания

Событие hello_html_39487cfe.gif-первый раз стрелок попал в мишень ,по условию р(hello_html_39487cfe.gif)=0,7

Событие hello_html_m3dd2e029.gif-второй раз стрелок попал в мишень ,по условию р(hello_html_m3dd2e029.gif)=0,7

Р(Ā)=0,3·0,3=0,09

Р(А)=1-0,09=0,91

38

Событие А-хотя бы один стрелок попал в мишень

Событие Ā-ни одного попадания

Событие hello_html_39487cfe.gif-первый стрелок попал в мишень р(hello_html_39487cfe.gif)=0,2

Событие hello_html_m3dd2e029.gif-второй стрелок попал в мишень р(hello_html_m3dd2e029.gif)=0,3

р(hello_html_m7b62e4c7.gif)=0,8

р(hello_html_7ff87810.gif)=0,7

Ā=hello_html_c51c695.gif

Р(Ā)=р(hello_html_c51c695.gif)=р(hello_html_m7b62e4c7.gif)р(hello_html_7ff87810.gif)=0,8·0,7=0,56

Р(А)=1- Р(Ā)=1-0,56=0,44

39

Событие А-появление бракованных деталей.По условию р(А)=hello_html_m2ac177ec.gif=hello_html_d538969.gif

Появление небракованных деталей р(Ā)=1-р(А)=hello_html_m44fcb64b.gif

Событие В-появление деталей зеленого цвета.По условию р(В)=hello_html_m64a6d796.gif

Появление неокрашенных деталей

Р(Ḃ)=1-р(А)=1-0,3=0,7

Задача сводится к нахождению вероятности совместного появления независимых событий Āи Ḃ ,т.е.к нахождению вероятности событий hello_html_742253c8.gif

Р(ĀḂ)=р(Ā)р(Ḃ)=hello_html_7736ee1f.gif=hello_html_m2feae361.gif=68,6%

40

А-попадание в мишень первым стрелком р(А)=0,6

В-попадание в мишень вторым стрелком р(В)=0,7

С-попадание в мишень третьим стрелком р(С)=0,8

АḂС-мишень поразят первый и третий стрелки

Р(АḂС)=0,6·0,3·0,8=0,144

41

Событие А-из списка сотрудников выбран мужчина

Р(А)=hello_html_m6d974d67.gif=hello_html_6a1c94eb.gif

Событие В-выигрышный билет денежно-вещевой лотереи

Р(В)=0,2

Событие С-выигрышный билет спортивной лотереи

Р(С)=0,1

АВС-выбранный человек мужчина ,выигравший в обеих лотереях

Р(АВС)=р(А)р(В)р(С)=hello_html_6a1c94eb.gif·0,2·0,1=hello_html_m49eb8cfc.gif



§5.Формула Бернулли

42

А-появление орла

Р(А)=hello_html_6eec8aff.gif

1)hello_html_69545253.gif=hello_html_m63c9879a.gif=hello_html_m4be781c2.gif·hello_html_67b7ff8c.gif=hello_html_67ee0733.gif

2)hello_html_m1a101283.gif=hello_html_m220cebb7.gif0,550,55=hello_html_51c67f5d.gif=hello_html_m73df0ec8.gif

43

Событие А-появление 6 очков

Р(А)=hello_html_m11f0fb5b.gif

1)hello_html_2c483419.gif=hello_html_m70c4c986.gif=hello_html_327641ad.gif=hello_html_m504aac01.gif

2)hello_html_m5ca1a21a.gif=hello_html_33e965c6.gif=hello_html_m517222cc.gif=hello_html_589d6b01.gif

44

Событие А-появление 6 очков,р(А)=hello_html_m11f0fb5b.gif

hello_html_226bd1bf.gif=hello_html_38078207.gif=hello_html_m70632c09.gif

hello_html_m7d84e22.gif=hello_html_366f3904.gif=hello_html_24a3fe1d.gif

hello_html_m70632c09.gif+hello_html_24a3fe1d.gif=hello_html_m53c10f46.gif

45

Событие А-попадания в кольцо

Р(А)=0,7

hello_html_6d05fcff.gif+hello_html_5d3243dc.gif+hello_html_10d8899c.gif=hello_html_m4735fa5f.gif0,7·0,32+hello_html_1744a7dd.gif·0,72·0,3+0,73=0,973

Упражнения к главе VI

46

Событие А-появление пяти очков на игральной кости при одном бросании

Событие В-появление шести очков

А+В-появление при одном бросании либо пяти,либо шести очков

Р(А+В)=р(А)+р(В)=hello_html_m11f0fb5b.gif+hello_html_m11f0fb5b.gif=hello_html_7f8f9891.gif

47

Событие А-появление белого шара

Р(А)=hello_html_md8777a6.gif=hello_html_6eec8aff.gif

48

Событие А-сумма выпавших очков равна 8


1

2

3

4

5

6

1

11

21

31

41

51

61

2

12

22

32

42

52

62

3

13

23

33

43

53

63

4

14

24

34

44

54

64

5

15

25

35

45

55

65

6

16

26

36

46

56

66





Р(А)=hello_html_m53a9de17.gif

49

Событие А-набрана первая цифра

Р(А)=hello_html_m1d4fc936.gif

Событие В-набрана вторая цифра

АВ-набрана первая цифра,а затем вторая

,отличная от первой

Р(АВ)=hello_html_m1d4fc936.gif·hello_html_m218a2db.gif=hello_html_m345bbfd4.gif

50

Событие А-выпадут 3 очка

Событие Ā-не выпадут 3 очка

Р(А)=hello_html_m11f0fb5b.gif

Р(Ā)=hello_html_6533ba.gif

51

Событие А-выпадет герб при бросании монеты

Событие В –появятся 6 очков при бросании кости

События А и В –независимые

Р(АВ)=р(А)р(В)=hello_html_6eec8aff.gif·hello_html_m11f0fb5b.gif=hello_html_m1bcf515d.gif

52

Событие hello_html_39487cfe.gif-попадание в мишень при первом выстреле,по условию р(hello_html_39487cfe.gif)=0,8

Событие hello_html_m3dd2e029.gif-попадание в мишень при втором выстреле,по условию р(hello_html_m3dd2e029.gif)=0,9

Событие hello_html_m7b62e4c7.gif-промах в мишень при первом выстреле р(hello_html_m7b62e4c7.gif)=0,2

Событие hello_html_7ff87810.gif-промах в мишень при втором выстреле р(hello_html_7ff87810.gif)=0,1

А-мишень не будет поражена ни одним выстрелом

А=hello_html_c51c695.gif

Р(А)=р(hello_html_c51c695.gif)=р(hello_html_m7b62e4c7.gif) р(hello_html_7ff87810.gif)=0,02

53


1

2

3

4

5

6

1

11

21

31

41

51

61

2

12

22

32

42

52

62

3

13

23

33

43

53

63

4

14

24

34

44

54

64

5

15

25

35

45

55

65

6

16

26

36

46

56

66



Событие А-оба раза появится одинаковое число очков

Р(А)=hello_html_m16b44fe7.gif=hello_html_m11f0fb5b.gif

54

Событие А-вынутый шар черный

1)Р(А)=hello_html_m62264ffd.gif=hello_html_685d8d49.gif

2)Событие А-вынутый шар черный ,р(А)=hello_html_m62264ffd.gif=hello_html_685d8d49.gif

В-вынутый шар белый,р(В)=hello_html_2b161cb3.gif=hello_html_7f8f9891.gif

А+В-вынутый шар черный или белый

Р(А+В)=р(А)+р(В)=hello_html_685d8d49.gif+hello_html_7f8f9891.gif-=hello_html_6e0b8d43.gif

55

Событие А- ни на одной из костей нет 3-х очков




1

2

3

4

5

6

1

11

21

31

41

51

61

2

12

22

32

42

52

62

3

13

23

33

43

53

63

4

14

24

34

44

54

64

5

15

25

35

45

55

65

6

16

26

36

46

56

66



Р(А)=hello_html_m34c71878.gif

Событие Ā-3 очка появятся хотя бы на одной из костей

Р(Ā)=hello_html_6eea5d21.gif

56

1)Событие А-первым вынут туз

Событие В-вторым вынут туз

АВ-вынуты два туза

Р(АВ)=р(А)р(В/А)=hello_html_3119ba63.gif=hello_html_m41917d35.gif

2)Событие А-первым извлечен туз

Событие В –второй извлечена дама

АВ-сначала извлечен туз,затем дама

Р(АВ)=р(А)р(В/А)=hello_html_e1c3416.gif=hello_html_m2ef23398.gif

3)Событие А-первой вынута карта бубновой масти

Событие В-второй вынута карта бубновой масти

Р(АВ)=р(А)р(В/А)=hello_html_m16095716.gif=hello_html_m7a3c63cf.gif

4)Событие А-первой была вынута дама

После извлечения из колоды дамы (произошло событие А)в колоде останется 35 карт

Событие В-вторым извлечен туз

В/А-вторым извлечен туз при условии,что первой была вынута дама

Появлению туза вторым из 35 оставшихся благоприятствует 4 события,поэтому р(В/А)=hello_html_5980761.gif

57

1)А-первым извлекли шар черного цвета

В-вторым извлекли шары черного цвета

Р(А)=hello_html_m28a60d91.gif=hello_html_6eec8aff.gif

Р(В/А)=hello_html_m5e0da854.gif

АВ-последовательно извлечены черный шар,затем опять черный шар

Р(АВ)=р(А)hello_html_24e83144.gifр(В/А)=hello_html_m3c2812ae.gif

2)А-первым вынут белый шар

В-вторым извлекли шар черного цвета

Р(А)=hello_html_m28a60d91.gif=hello_html_6eec8aff.gif

Р(В/А)=hello_html_23757f75.gif

АВ-первым вынут белый шар,а вторым –черный

Р(АВ)=р(а)р(В/А)=hello_html_6ef5162d.gif

3)А-первым вынут белый шар

В –вторым извлечен черный шар

В/А-вторым извлечен черный шар при условии ,что первым был вынут белый шар.

После извлечения из урны первого шара белого цвета (произошло событие А)там останутся 9 белых и 10 черных шаров.Появлению шара черного цвета вторым из 19 оставшихся благоприятствует 10 исходов ,поэтому

Р(В/А)=hello_html_23757f75.gif

58








1бросок

2бросок

3бросок

1

о

о

о

2

о

р

р

3

р

о

Р

4

р

р

о

5

о

о

р

6

о

р

о

7

р

о

о

8

р

р

р



А-выпадет не более двух орлоа

hello_html_1c1d6bcf.gif-выпадет более 2-х орлов

Р(Ā)=hello_html_m6e3ecaf7.gif

Р(А)=1-hello_html_m6e3ecaf7.gif=hello_html_m403f83f2.gif

59

Всего 28 костей домино :7 дублей и 21 с разными числами.Числа от 0 до 6

Количество вариантов выбора 2 костей равно 28·27=756.Порядок имеет значение.

Количество благоприятных случаев :

Если первая кость дубль

Если первая кость «не дубль»

7 вариантов и к ней подходит 6 «не дублей»

Всего 7·6=42

21 вариантов и к первому числу подходит 6 костей и ко второму числу 6 костей.Всего 21·12=252

Всего 42+252=294



А-вторую кость можно приставить к первой

Р(А)=hello_html_23dbbc00.gif=hello_html_52df1a5f.gif

60

А- ни на один из трех купленных билетов не выпадет выигрыш

Р(А)=hello_html_fbe046c.gif

61

А-хотя бы один билет выигрышный

Ā-нет выигрышного билета

Р(Ā)=hello_html_m229589da.gif

Р(А)=1-hello_html_m229589da.gif

62

А-среди k деталей pбракованных

Р(А)=hello_html_m6c7ce7a0.gif

63

Cобытие А-в каждой стопке по два туза



Р(А)=hello_html_m21aad711.gif=hello_html_40b9db8d.gif=hello_html_m5a32a0e4.gif

64

Событие А-все команды высшего класса попадут в одну и ту же группу

Число способов составления группы в 9 команд из 18 команд равно hello_html_m325e3a43.gif

Для благоприятного исхода мы должны выбрать 5 команд из 5 команд высшего класса и 4 команды из 13 команд не высшего класса hello_html_652bdcd2.gif способами

Так как формируется 2 группы,то

Р(А)=hello_html_m3589bb8b.gif=hello_html_357e40bf.gif=hello_html_m22d47177.gif

65

А-орел выпадет при бросании монеты

Р(А)=hello_html_6eec8aff.gif

1)hello_html_ba375d5.gif=hello_html_m69eee617.gif 0,52 0,56=hello_html_m47e8bdde.gif

2)hello_html_m7c09df10.gif=hello_html_m2e988d31.gif 0,56 0,52=hello_html_m47e8bdde.gif

3)hello_html_m7c09df10.gif+hello_html_2534482e.gif+hello_html_23f8003d.gif=hello_html_2c4173ae.gif0,560,52+hello_html_40d5f84d.gif0,570,5+0,58=hello_html_m47e8bdde.gif+hello_html_76b176a5.gif+hello_html_mbde6f2d.gif=hello_html_m4c2486c9.gif

4)hello_html_m74968d2d.gif+hello_html_ba375d5.gif=hello_html_399fbb95.gif0,5·0,57+hello_html_6b371888.gif0,52·0,56=hello_html_76b176a5.gif+hello_html_m47e8bdde.gif=hello_html_ef91d03.gif

66

А- выпадет одно очко на кубике

Р(А)=hello_html_m11f0fb5b.gif

1)hello_html_m1195b5c8.gif=hello_html_4138f6e9.gif(hello_html_m11f0fb5b.gif)2(hello_html_6533ba.gif)3=hello_html_m504aac01.gif

2)hello_html_m77bac968.gif=hello_html_2442973d.gif(hello_html_m11f0fb5b.gif)3(hello_html_6533ba.gif)2=hello_html_m4948c2fe.gif

3)hello_html_6ea04d3e.gif+hello_html_m1195b5c8.gif=hello_html_m1149ab6b.gif(hello_html_m11f0fb5b.gif)(hello_html_6533ba.gif)4+hello_html_4138f6e9.gif(hello_html_m11f0fb5b.gif)2(hello_html_6533ba.gif)3=hello_html_m4ae39944.gif+hello_html_457af9bb.gif=hello_html_m4a4181bf.gif

4)hello_html_617c23c7.gif+hello_html_5608a03e.gif=hello_html_7e071064.gif(hello_html_m11f0fb5b.gif)4(hello_html_6533ba.gif)+(hello_html_m11f0fb5b.gif)5=hello_html_361b634d.gif

67

А-насекомое будет жить более 100 дней

Р(А)=0,5

hello_html_a852d72.gif+hello_html_m67ee3df6.gif=hello_html_m16dc1c08.gif0,58 ·0,52+hello_html_1418fbd7.gif0,59 0,5+0,510=hello_html_m212eaa9f.gif















Проверь себя!

1.Событие А-на обеих монетах выпадет «орел»


орел

решка

орел

оо

ро

решка

ор

рр

Р(А)=hello_html_685d8d49.gif

2) Событие А-появление в партии бракованной детали,по условию р(А)=0,05

Событие Ā-наугад извлеченная деталь окажется небракованной

Р(Ā)=0,95

3)Событие А-наугад вынутый шар черного цвета

Событие В-наугад вынутый шар белого цвета

А+В-наугад вынутый один шар окажется или черного или белого цвета

Р(А+В)=р(А)+р(В)=hello_html_m795cfe5a.gif+hello_html_m45a8710a.gif=hello_html_7f8f9891.gif

4)Событие А-первым взят апельсин

Событие В-вторым взято яблоко

АВ-первым взят апельсин,а вторым –яблоко

Р(АВ)=р(А)р(В/А)=hello_html_5dd19408.gif=hello_html_m3cdfc978.gif

5)Событие hello_html_39487cfe.gif-попадание по мишени в первом выстреле.По условию р(hello_html_39487cfe.gif)=0,8

Событие hello_html_m3dd2e029.gif-попадание по мишени во втором выстреле,по условию р(hello_html_m3dd2e029.gif)=0,8

hello_html_39487cfe.gifи hello_html_m3dd2e029.gif-независимые события

Р(hello_html_4c5b5e31.gif )= р(hello_html_39487cfe.gif)р(hello_html_m3dd2e029.gif)=0,8hello_html_24e83144.gif0,8=0,64

6)После того,как ученик на первый на зачете вопрос не знал ответа,то там осталось 15 вопросов,на которые он знал ответ, и 4 вопроса,на которые он не знал ответ.

Событие А-ученик ответит на второй из предложенных ему вопросов

Р(А)=hello_html_7137edac.gif

1) А-попадание в мишень при первом выстреле р(А)=0,9

В- попадание в мишень при втором выстреле р(А)=0,9

Ā-промах в мишень при первом выстреле р(Ā)=0,1

Ḃ-промах в мишень при втором выстреле р(Ḃ)=0,1

Р(Аhello_html_m21a63e83.gif+р(ĀВ)=0,9·0,1+0,1·0,9=0,09+0,09=0,18





2)А-попадание в мишень при первом выстреле р(А)=0,8

В- попадание в мишень при втором выстреле р(А)=0,8

D- попадание в мишень при третьем выстреле р(А)=0,8

ĀḂḊ-мишень не будет поражена

Р(ĀḂḊ)=0,2·0,2·0,2=0,008

1-0,008=0,992

3)А-вынутый шар не красный,но легкий

Р(А)=hello_html_m7ae49f4a.gif·hello_html_m20ad0210.gif=0,3

4)Событие А-вынутые по одному из каждой коробки шары окажутся разных цветов

Р(А)=hello_html_5db99c31.gif·hello_html_4e51c5b1.gif+hello_html_5db99c31.gif·hello_html_2e647abd.gif+hello_html_3d8c233d.gif·hello_html_m11f0fb5b.gif+hello_html_3d8c233d.gif·hello_html_2e647abd.gif+hello_html_m1ae3d52d.gif·hello_html_m11f0fb5b.gif+hello_html_m1ae3d52d.gif·hello_html_4e51c5b1.gif=hello_html_798f3efa.gif



















Автор
Дата добавления 29.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров157
Номер материала ДВ-391943
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх