Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Научные работы / Методика изучения тригонометрических функций.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методика изучения тригонометрических функций.

библиотека
материалов

Методика изучения тригонометрических функций.

1. Введение понятий sinhello_html_2e28ff68.gif, coshello_html_2e28ff68.gif, tghello_html_2e28ff68.gif для острого угла прямоугольного треугольника рассматривается: Погорелов - 8 кл. стр. 102,108; Атанасян - 8 кл. стр. 180.

  1. Изучение тригонометрических функций sinhello_html_2e28ff68.gif, coshello_html_2e28ff68.gif, tghello_html_2e28ff68.gif для углаhello_html_m4495a595.gif:

Погорелов - 8 кл. стр. 132.

Атанасян - 9 кл. стр.239.

При введении данных понятий используется окружность радиуса R (Погорелов) и R=l (Атанасян), взятая на координатной плоскости. От положительного направления оси х откладываем значения углаhello_html_2e28ff68.gif. Используя определения для прямоугольного треугольника, получаем:

hello_html_1c0eb3ca.jpg

hello_html_m3eeff553.gif;

hello_html_m1ac7240a.gif (Погорелов);

sin a = у (Атанасян).



3.Рассматриваем произвольный угол, как положительный, так и отрицательный.

Используется окружность радиуса R. Но теперь рассматривается поворот начального радиуса, как в положительном, так и в отрицательном направлении:

hello_html_2744ef84.jpg


ОА- начальный радиус.


Определения sinhello_html_2e28ff68.gif, coshello_html_2e28ff68.gif, tghello_html_2e28ff68.gif сохраняются и вводится определение ctghello_html_2e28ff68.gif .

4. Введение радианной меры угла.

Как известно из геометрии углы измеряются с помощью дуг. Дугу при этом выражают либо в долях окружности, либо в долях радиуса.

hello_html_6d4d7c96.jpg

Радианная мера угла, т.е. величина угла, выраженная в радианах, не зависит от длины радиуса. Это следует из того, что фигуры, ограниченные углом и дугой окружности с центром в вершине этого угла подобны, а следовательно:


hello_html_m72c46150.png

hello_html_m3e848272.gif




Итак, радианной мерой угла называют отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности.

Возникает вопрос, когда это отношение равно 1? Или, какой смысл единицы измерения в радианной мере?

hello_html_6706a6ee.gif

Итак, углом в 1 радиан называют центральный угол, которому соответствует дуга, равная длине радиуса окружности.

Посмотрим, как связаны градусная и радианная меры:

Градусная мера Радианная мера

180ohello_html_m2f0fbcae.gif

Итак, hello_html_5bc85afe.gifhello_html_1fbe758c.gif.

5. Введение тригонометрических функций.

Если любому действительному числу х поставить в соответствие х рад, а углу в х рад поставить в соответствие sinx, то имеем функцию, где числу х ставится в соответствие sinx:

hello_html_796ffe0e.gif; hello_html_7ee958e6.gif.

hello_html_dddeb84.gif

  1. Изучение свойств тригонометрических функций.

Возьмём тригонометрическую функцию у = sinx.

Замечание: в школьном учебнике Колмогорова свойства этой функции изучаются раздельно. Покажем изучение этих свойств одним блоком.

Основные понятия: 1. Определение sinx;

  1. Определение периодичности функции;

  2. Определение четной функции;

  3. Определение возрастания (убывания) функции.

Оформим свойства функции у = sinx в виде таблицы:

Свойства функции

Рисунок

Доказательство

1. Область определения: D(sinx)=R

hello_html_m4d7195b5.png

xhello_html_m289d78ff.gifR

2. Область значений: E(sinx)=[-1;1]

hello_html_6c08a392.png

sinx=y

hello_html_m153d7f8d.gif

3 .Периодичность

hello_html_m202ac9c4.png

Совершив поворот на угол х, мы получим точку А единичной окружности.




хhello_html_m6b7fc4d1.gifА


hello_html_m60f0f09d.gif





4. Нули функции:

hello_html_m1d7cf359.gif







hello_html_m77f95f9f.png

sinx - ордината точки на единичной окружности. Ордината равна нулю в точках А и В. Для точки А соотв. углы: 0; 2hello_html_1bfc1af9.gif; 4hello_html_1bfc1af9.gif,… Для точки В:hello_html_1bfc1af9.gif;3hello_html_1bfc1af9.gif,...,-hello_html_1bfc1af9.gif; -3л,....

Объединив решения, получим:

...-3hello_html_1bfc1af9.gif,-2hello_html_1bfc1af9.gif,-hello_html_1bfc1af9.gif,0, hello_html_1bfc1af9.gif, 2hello_html_1bfc1af9.gif, 3hello_html_1bfc1af9.gif,...





5. Знаки функции


hello_html_3352e484.png

sinx- это ордината. Ордината положительна, если точки расположены на верхней части окружности.

6. Четность, нечетность:

Функция

у = sinx - нечетная.

hello_html_m7c74130a.png

Возьмём углы х и —х . Получим точки А и В.

Точки А и В симметричны относительно оси Ох, значит их ординаты противоположны sin(-x) = -sinx (знак "-" можно вынести из под знака синуса).

7. Возрастание функции:

hello_html_3e11c5ea.gifУбывание функции:

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m108da0a5.gif

Рассмотрим изменение угла от hello_html_6f90481b.gif до hello_html_m77fdfc92.gif: угол увеличивается, ордината

возрастает.

Если с увеличением х, у возрастает, то функция возрастающая.

8. Экстремумы: sinx = 1, если

hello_html_m7dedc51a.gif,

Sinx=-1, если

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m75aeec4.gif

hello_html_19ffc78b.png


sin - это ордината. Ордината наибольшая в точке А, а наименьшая в точке В.



В точке А hello_html_m6437d065.gif

В точке Вhello_html_mf1362b4.gif

Далее используем периодичность.




Замечание: Дополнительно следует рассмотреть:

  1. доказательство того, что 2П- наименьший положительный период функции у = sinx;

  2. доказательство того, что функция возрастает на указанном промежутке и убывает на указанном промежутке без обращения к рисунку.

Доказательство 1):

Мы уже показали, что функция у= sinx - периодическая. Следовательно, существует Т-период. По определению периодической функции: для любого х из области определения выполняется равенство:

sin(x + Т) = sinx.

Возьмём hello_html_m6437d065.gif, тогда sin(T +hello_html_m77fdfc92.gif) = sinhello_html_m77fdfc92.gif = 1. Т.к. sinx=l только при hello_html_m3beed49e.gifто Т+ hello_html_m77fdfc92.gif=hello_html_m77fdfc92.gif+khello_html_1b730b13.gifТ=2hello_html_1bfc1af9.gifk.

Наименьшее положительное число есть при n=1.

Доказательство 2):

Пусть hello_html_m35d0ffc4.gif hello_html_60260a67.gif.

Рассмотрим разность hello_html_4a9f3ca5.gif.

Оценим разностьhello_html_51fcab26.gif. Наименьшее значение будет, если уменьшаемое наибольшее, а вычитаемое наименьшее.

hello_html_m3ce482.gif

Следовательно, hello_html_m14041ce7.gif

Оценим суммуhello_html_m1507ba62.gif: сумма будет наименьшей, если каждое слагаемое наименьшее. Сумма будет наибольшая, если каждое слагаемое наибольшее. Следовательно:

hello_html_1c83ae86.jpg


Следовательно, hello_html_m7651330c.gif

Итак, hello_html_m1b96b9b6.gif функция y=sinx возрастает на промежутке hello_html_64eb8fe6.gif Аналогично доказывается убывание функции у =sinx.

8. График функции у = sinx.

Существует три подхода к построению графика функции у = sinx :

1)график функции строится после изучения всех свойств - этот подход очень важный, так как мы показываем, что от аналитической записи можно придти к графику. В этом случае мы отмечаем нули функции, область значений, точки максимума, минимума, учитывая промежутки возрастания и убывания функции, а также периодичность. Строим график функции y=sinx.

hello_html_bd59bd9.jpg




2hello_html_41a8a833.jpg)на основе определения sinx:



Для слабого класса удобен именно этот путь построения графика, а уже из графика выведение всех свойств этой функции.

3) график строится как во втором случае, свойства называются по графику, как во втором случае.

Автор
Дата добавления 18.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Научные работы
Просмотров865
Номер материала ДВ-537693
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх