Методика изучения тригонометрических функций.

Методика изучения тригонометрических функций.

1. Введение понятий sin, cos, tg для острого угла прямоугольного треугольника рассматривается: Погорелов - 8 кл. стр. 102,108; Атанасян - 8 кл. стр. 180.

2. Изучение тригонометрических функций sin, cos, tg для угла:

Погорелов - 8 кл. стр. 132.

Атанасян - 9 кл. стр.239.

При введении данных понятий используется окружность радиуса R (Погорелов) и R=l (Атанасян), взятая на координатной плоскости. От положительного направления оси х откладываем значения угла. Используя определения для прямоугольного треугольника, получаем:

;

(Погорелов);

sin a = у (Атанасян).

3.Рассматриваем произвольный угол, как положительный, так и отрицательный.

Используется окружность радиуса R. Но теперь рассматривается поворот начального радиуса, как в положительном, так и в отрицательном направлении:

ОА- начальный радиус.

Определения sin, cos, tg сохраняются и вводится определение ctg .

4. Введение радианной меры угла.

Как известно из геометрии углы измеряются с помощью дуг. Дугу при этом выражают либо в долях окружности, либо в долях радиуса.

Радианная мера угла, т.е. величина угла, выраженная в радианах, не зависит от длины радиуса. Это следует из того, что фигуры, ограниченные углом и дугой окружности с центром в вершине этого угла подобны, а следовательно:

Итак, радианной мерой угла называют отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности.

Возникает вопрос, когда это отношение равно 1? Или, какой смысл единицы измерения в радианной мере?

Итак, углом в 1 радиан называют центральный угол, которому соответствует дуга, равная длине радиуса окружности.

Посмотрим, как связаны градусная и радианная меры:

Градусная мера Радианная мера

180^o

Итак, .

5. Введение тригонометрических функций.

Если любому действительному числу х поставить в соответствие х рад, а углу в х рад поставить в соответствие sinx, то имеем функцию, где числу х ставится в соответствие sinx:

; .

6. Изучение свойств тригонометрических функций.

Возьмём тригонометрическую функцию у = sinx.

Замечание: в школьном учебнике Колмогорова свойства этой функции изучаются раздельно. Покажем изучение этих свойств одним блоком.

Основные понятия: 1. Определение sinx;

2. Определение периодичности функции;

3. Определение четной функции;

4. Определение возрастания (убывания) функции.

Оформим свойства функции у = sinx в виде таблицы:

Свойства функции

Рисунок

Доказательство

1. Область определения: D(sinx)=R

xR

2. Область значений: E(sinx)=[-1;1]

sinx=y

3 .Периодичность

Совершив поворот на угол х, мы получим точку А единичной окружности.

хА

4. Нули функции:

sinx - ордината точки на единичной окружности. Ордината равна нулю в точках А и В. Для точки А соотв. углы: 0; 2; 4,… Для точки В:;3,...,-; -3л,....

Объединив решения, получим:

...-3,-2,-,0, , 2, 3,...

5. Знаки функции

sinx- это ордината. Ордината положительна, если точки расположены на верхней части окружности.

6. Четность, нечетность:

Функция

у = sinx - нечетная.

Возьмём углы х и —х . Получим точки А и В.

Точки А и В симметричны относительно оси Ох, значит их ординаты противоположны sin(-x) = -sinx (знак "-" можно вынести из под знака синуса).

7. Возрастание функции:

Убывание функции:

Рассмотрим изменение угла от до : угол увеличивается, ордината

возрастает.

Если с увеличением х, у возрастает, то функция возрастающая.

8. Экстремумы: sinx = 1, если

,

Sinx=-1, если

sin - это ордината. Ордината наибольшая в точке А, а наименьшая в точке В.

В точке А

В точке В

Далее используем периодичность.

Замечание: Дополнительно следует рассмотреть:

1. доказательство того, что 2П- наименьший положительный период функции у = sinx;

2. доказательство того, что функция возрастает на указанном промежутке и убывает на указанном промежутке без обращения к рисунку.

Доказательство 1):

Мы уже показали, что функция у= sinx - периодическая. Следовательно, существует Т-период. По определению периодической функции: для любого х из области определения выполняется равенство:

sin(x + Т) = sinx.

Возьмём , тогда sin(T +) = sin = 1. Т.к. sinx=l только при то Т+ =+ 2лkТ=2k.

Наименьшее положительное число есть 2П при n=1.

Доказательство 2):

Пусть .

Рассмотрим разность .

Оценим разность. Наименьшее значение будет, если уменьшаемое наибольшее, а вычитаемое наименьшее.

Следовательно,

Оценим сумму: сумма будет наименьшей, если каждое слагаемое наименьшее. Сумма будет наибольшая, если каждое слагаемое наибольшее. Следовательно:

Следовательно,

Итак, функция y=sinx возрастает на промежутке Аналогично доказывается убывание функции у =sinx.

8. График функции у = sinx.

Существует три подхода к построению графика функции у = sinx :

1)график функции строится после изучения всех свойств - этот подход очень важный, так как мы показываем, что от аналитической записи можно придти к графику. В этом случае мы отмечаем нули функции, область значений, точки максимума, минимума, учитывая промежутки возрастания и убывания функции, а также периодичность. Строим график функции y=sinx.

2)на основе определения sinx:

Для слабого класса удобен именно этот путь построения графика, а уже из графика выведение всех свойств этой функции.

3) график строится как во втором случае, свойства называются по графику, как во втором случае.