Инфоурок / Математика / Научные работы / Методика изучения тригонометрических функций.
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

Методика изучения тригонометрических функций.

библиотека
материалов

Методика изучения тригонометрических функций.

1. Введение понятий sinhello_html_2e28ff68.gif, coshello_html_2e28ff68.gif, tghello_html_2e28ff68.gif для острого угла прямоугольного треугольника рассматривается: Погорелов - 8 кл. стр. 102,108; Атанасян - 8 кл. стр. 180.

  1. Изучение тригонометрических функций sinhello_html_2e28ff68.gif, coshello_html_2e28ff68.gif, tghello_html_2e28ff68.gif для углаhello_html_m4495a595.gif:

Погорелов - 8 кл. стр. 132.

Атанасян - 9 кл. стр.239.

При введении данных понятий используется окружность радиуса R (Погорелов) и R=l (Атанасян), взятая на координатной плоскости. От положительного направления оси х откладываем значения углаhello_html_2e28ff68.gif. Используя определения для прямоугольного треугольника, получаем:

hello_html_1c0eb3ca.jpg

hello_html_m3eeff553.gif;

hello_html_m1ac7240a.gif (Погорелов);

sin a = у (Атанасян).



3.Рассматриваем произвольный угол, как положительный, так и отрицательный.

Используется окружность радиуса R. Но теперь рассматривается поворот начального радиуса, как в положительном, так и в отрицательном направлении:

hello_html_2744ef84.jpg


ОА- начальный радиус.


Определения sinhello_html_2e28ff68.gif, coshello_html_2e28ff68.gif, tghello_html_2e28ff68.gif сохраняются и вводится определение ctghello_html_2e28ff68.gif .

4. Введение радианной меры угла.

Как известно из геометрии углы измеряются с помощью дуг. Дугу при этом выражают либо в долях окружности, либо в долях радиуса.

hello_html_6d4d7c96.jpg

Радианная мера угла, т.е. величина угла, выраженная в радианах, не зависит от длины радиуса. Это следует из того, что фигуры, ограниченные углом и дугой окружности с центром в вершине этого угла подобны, а следовательно:


hello_html_m72c46150.png

hello_html_m3e848272.gif




Итак, радианной мерой угла называют отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности.

Возникает вопрос, когда это отношение равно 1? Или, какой смысл единицы измерения в радианной мере?

hello_html_6706a6ee.gif

Итак, углом в 1 радиан называют центральный угол, которому соответствует дуга, равная длине радиуса окружности.

Посмотрим, как связаны градусная и радианная меры:

Градусная мера Радианная мера

180ohello_html_m2f0fbcae.gif

Итак, hello_html_5bc85afe.gifhello_html_1fbe758c.gif.

5. Введение тригонометрических функций.

Если любому действительному числу х поставить в соответствие х рад, а углу в х рад поставить в соответствие sinx, то имеем функцию, где числу х ставится в соответствие sinx:

hello_html_796ffe0e.gif; hello_html_7ee958e6.gif.

hello_html_dddeb84.gif

  1. Изучение свойств тригонометрических функций.

Возьмём тригонометрическую функцию у = sinx.

Замечание: в школьном учебнике Колмогорова свойства этой функции изучаются раздельно. Покажем изучение этих свойств одним блоком.

Основные понятия: 1. Определение sinx;

  1. Определение периодичности функции;

  2. Определение четной функции;

  3. Определение возрастания (убывания) функции.

Оформим свойства функции у = sinx в виде таблицы:

Свойства функции

Рисунок

Доказательство

1. Область определения: D(sinx)=R

hello_html_m4d7195b5.png

xhello_html_m289d78ff.gifR

2. Область значений: E(sinx)=[-1;1]

hello_html_6c08a392.png

sinx=y

hello_html_m153d7f8d.gif

3 .Периодичность

hello_html_m202ac9c4.png

Совершив поворот на угол х, мы получим точку А единичной окружности.




хhello_html_m6b7fc4d1.gifА


hello_html_m60f0f09d.gif





4. Нули функции:

hello_html_m1d7cf359.gif







hello_html_m77f95f9f.png

sinx - ордината точки на единичной окружности. Ордината равна нулю в точках А и В. Для точки А соотв. углы: 0; 2hello_html_1bfc1af9.gif; 4hello_html_1bfc1af9.gif,… Для точки В:hello_html_1bfc1af9.gif;3hello_html_1bfc1af9.gif,...,-hello_html_1bfc1af9.gif; -3л,....

Объединив решения, получим:

...-3hello_html_1bfc1af9.gif,-2hello_html_1bfc1af9.gif,-hello_html_1bfc1af9.gif,0, hello_html_1bfc1af9.gif, 2hello_html_1bfc1af9.gif, 3hello_html_1bfc1af9.gif,...





5. Знаки функции


hello_html_3352e484.png

sinx- это ордината. Ордината положительна, если точки расположены на верхней части окружности.

6. Четность, нечетность:

Функция

у = sinx - нечетная.

hello_html_m7c74130a.png

Возьмём углы х и —х . Получим точки А и В.

Точки А и В симметричны относительно оси Ох, значит их ординаты противоположны sin(-x) = -sinx (знак "-" можно вынести из под знака синуса).

7. Возрастание функции:

hello_html_3e11c5ea.gifУбывание функции:

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m108da0a5.gif

Рассмотрим изменение угла от hello_html_6f90481b.gif до hello_html_m77fdfc92.gif: угол увеличивается, ордината

возрастает.

Если с увеличением х, у возрастает, то функция возрастающая.

8. Экстремумы: sinx = 1, если

hello_html_m7dedc51a.gif,

Sinx=-1, если

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m75aeec4.gif

hello_html_19ffc78b.png


sin - это ордината. Ордината наибольшая в точке А, а наименьшая в точке В.



В точке А hello_html_m6437d065.gif

В точке Вhello_html_mf1362b4.gif

Далее используем периодичность.




Замечание: Дополнительно следует рассмотреть:

  1. доказательство того, что 2П- наименьший положительный период функции у = sinx;

  2. доказательство того, что функция возрастает на указанном промежутке и убывает на указанном промежутке без обращения к рисунку.

Доказательство 1):

Мы уже показали, что функция у= sinx - периодическая. Следовательно, существует Т-период. По определению периодической функции: для любого х из области определения выполняется равенство:

sin(x + Т) = sinx.

Возьмём hello_html_m6437d065.gif, тогда sin(T +hello_html_m77fdfc92.gif) = sinhello_html_m77fdfc92.gif = 1. Т.к. sinx=l только при hello_html_m3beed49e.gifто Т+ hello_html_m77fdfc92.gif=hello_html_m77fdfc92.gif+khello_html_1b730b13.gifТ=2hello_html_1bfc1af9.gifk.

Наименьшее положительное число есть при n=1.

Доказательство 2):

Пусть hello_html_m35d0ffc4.gif hello_html_60260a67.gif.

Рассмотрим разность hello_html_4a9f3ca5.gif.

Оценим разностьhello_html_51fcab26.gif. Наименьшее значение будет, если уменьшаемое наибольшее, а вычитаемое наименьшее.

hello_html_m3ce482.gif

Следовательно, hello_html_m14041ce7.gif

Оценим суммуhello_html_m1507ba62.gif: сумма будет наименьшей, если каждое слагаемое наименьшее. Сумма будет наибольшая, если каждое слагаемое наибольшее. Следовательно:

hello_html_1c83ae86.jpg


Следовательно, hello_html_m7651330c.gif

Итак, hello_html_m1b96b9b6.gif функция y=sinx возрастает на промежутке hello_html_64eb8fe6.gif Аналогично доказывается убывание функции у =sinx.

8. График функции у = sinx.

Существует три подхода к построению графика функции у = sinx :

1)график функции строится после изучения всех свойств - этот подход очень важный, так как мы показываем, что от аналитической записи можно придти к графику. В этом случае мы отмечаем нули функции, область значений, точки максимума, минимума, учитывая промежутки возрастания и убывания функции, а также периодичность. Строим график функции y=sinx.

hello_html_bd59bd9.jpg




2hello_html_41a8a833.jpg)на основе определения sinx:



Для слабого класса удобен именно этот путь построения графика, а уже из графика выведение всех свойств этой функции.

3) график строится как во втором случае, свойства называются по графику, как во втором случае.

Общая информация

Номер материала: ДВ-537693

Похожие материалы