Многоуровневые системы решения планиметрических задач по теме "Треугольник"

муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 66 городского округа Самара

443076, г. Самара,  ул. Аэродромная, 65

тел.:/факс [phone], e-mail: scholа[e-mail]

 Многоуровневые   системы планиметрических   задач по теме «Треугольник»

Выполнила:

Кочмарева Елена Александровна,

учитель математики

МБОУСОШ № 66 г.о. Самара

Самара,2014

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Решение планиметрических задач по теме «Треугольник»

Программа обеспечивает обязательный минимум подготовки учащихся по геометрии, определяемый образовательным стандартом, соответствует общему уровню развития и подготовки учащихся данного возраста.

Геометрия – один из важнейших компонентов математического образования. Она необходима для приобретения конкретных знаний о пространстве и практически значимых умений, формирования языка описания объектов окружающего мира, развития пространственного воображения и интуиции, математической культуры, эстетического воспитания учащихся. Изучение геометрии вносит вклад в развитие логического мышления, в формирование понятия доказательства.

Программа направлена на достижение следующих целей:

§            овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения практической деятельности изучения смежных дисциплин, продолжения образования;

§            интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе: ясность и точность мысли, критичность мышления, интуиция, логическое мышление, элементы алгоритмической культуры, пространственных представлений;

§            формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов;

§            воспитание культуры личности, отношения к математике как части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для научно технического прогресса;

развитие представлений о полной картине мира, о взаимосвязи математики с другими предметами.

         В ходе обучения геометрии по данной программе решаются следующие задачи:

§  систематическое изучение свойств геометрических фигур на плоскости;

§  формирование пространственных представлений; развитие логического мышления и подготовка аппарата для изучения смежных дисциплин (физика, черчение и др.) и курса стереометрии в старших классах;

§   овладение конкретными знаниями необходимыми для применения в практической деятельности.

Требования к уровню подготовки учащихся

 Учащиеся дополняют знания о треугольниках сведениями о методах вычисления элементов произвольных треугольниках, основанных на теоремах синусов и косинусов. Даются систематизированные сведения о правильных многоугольниках, об окружности, вписанной в правильный многоугольник и описанной. Особое место занимает решение задач на применение формул. Серьезное внимание уделяется формированию умений рассуждать, делать простые доказательства, давать обоснования выполняемых действий.

В результате изучения курса геометрии  учащиеся должны уметь:

§  пользоваться геометрическим языком для описания предметов окружающего мира;

§  распознавать геометрические фигуры, различать их взаимное расположение;

§  изображать геометрические фигуры; выполнять чертежи по условию задач; осуществлять преобразование фигур;

§  вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей), в том числе: определять значение тригонометрических функций по заданным значениям углов; находить значения тригонометрических функций по значению одной из них; находить стороны, углы и площади треугольников, дуг окружности, площадей основных геометрических фигур и фигур, составленных из них;

§  решать геометрические задания, опираясь на изученные свойства фигур и отношений между ними, применяя дополнительные построения, алгебраический и тригонометрический аппарат, соображения симметрии;

§  проводить доказательные рассуждения при решении задач, используя известные теоремы, обнаруживая возможности для их использования;

§  решать простейшие планиметрические задачи в пространстве.

Содержание программы соответствует  обязательному минимуму содержания образования и имеет большую практическую направленность.

Соотношения между сторонами и углами треугольника.

Синус, косинус и тангенс угла. Теоремы синусов и косинусов. Решение треугольников. Скалярное произведение векторов и его применение в геометрических задачах. Основная цель — развить умение учащихся применять тригонометрический аппарат при решении геометрических задач.

Синус и косинус любого угла от 0° до 180° вводятся с помощью единичной полуокружности, доказываются теоремы синусов и косинусов и выводится еще одна формула площади треугольника (половина произведения двух сторон на синус угла между ними). Этот аппарат применяется к решению треугольников.

Скалярное произведение векторов вводится как в физике (произведение длин векторов на косинус угла между ними). Рассматриваются свойства скалярного произведения и его применение при решении геометрических задач.

Основное   внимание   следует   уделить   выработке   прочных   навыков   в   применении тригонометрического аппарата при решении геометрических задач.

Длина окружности и площадь круга.

Правильные многоугольники. Окружности, описанная около правильного многоугольника и вписанная в него. Построение правильных многоугольников. Длина окружности. Площадь круга.

Основная цель — расширить знание учащихся о многоугольниках; рассмотреть понятия длины окружности и площади круга и формулы для их вычисления В начале темы дается определение правильного многоугольника и рассматриваются теоремы об окружностях, описанной около правильного многоугольника и вписанной в него. С помощью описанной окружности решаются задачи о построении правильного шестиугольника и правильного 2ге-угольника, если дан правильный п-угольник.

Формулы, выражающие сторону правильного многоугольника и радиус вписанной в него окружности через радиус описанной окружности, используются при выводе формул длины окружности и площади круга. Вывод опирается на интуитивное представление о пределе: при неограниченном увеличении числа сторон правильного многоугольника, вписанного в окружность, его периметр стремится к длине этой окружности, а площадь — к площади круга, ограниченного окружностью.

Треугольник: Базовые задачи.

      В данном разделе принимаются следующие обозначения:

·         A, B, C- вершины и соответственно внутренние углы треугольника ABC;

·         a, b, c – стороны, соответственно противолежащие углам A, B, C;

·         P,2p – периметр;

·         h_a, h_b, h_c – длины высот, проведенных к сторонам a, b, c;

·         m_a, m_b, m_c – длины медиан;

·         l_a, l_b, l_c –длины биссектрис внутренних углов A, B, C;

·          l_a ^*_, l_b ^*_, l_c^*  - длины биссектрис внешних углов A, B, C;

·         S-площадь треугольника

·         R-радиус описанной окружности

·         r – радиус вписанной окружности

·         r_a – радиус вневписанной окружности , касающейся стороны a.

 

H3

H2

B

A

M3

M2

A

B

M1

                                   

	a	b	c	l
	12	25	36	lc-?	l*c-?

В треугольнике ABC AB=c. BC=a, AC=b. Вычислите:

ЗАДАЧА 1.

Найти площадь треугольника АВС, если известны длины сторон треугольника   а=12см,   в=25 см,   с=36 см.

РЕШЕНИЕ:

По формуле Герона имеем   ,  где

Ответ:   см

ЗАДАЧА 2.

Найти cosА,  sinВ,  cos, если известны длины сторон треугольника   а=12см,   в=25 см,   с=36 см.

РЕШЕНИЕ:

А) По   теореме   косинусов   имеем        а² = в² + с² - 2вс·cosА

Тогда cos А = (в² + с² - а²)/2вс  

cos А = (25² + 36² - 12²)/2·25·36 = 

Б) По теореме косинусов имеем        в² = а² + с² - 2ас·cosВ

Тогда cos В = (а² + с² - в²)/2ас  

cos В = (12² + 36² - 25²)/2·25·12 = 

Далее используя формулу sin² В + cos² В = 1 ,  получаем

sinВ = √1- cos² В = =

В) соs =

Ответ:   cos А= ,         sinВ=,           соs =

ЗАДАЧА 3.

Найти R - радиус описанной около треугольника окружности.

РЕШЕНИЕ:

Имеем формулу нахождения площади треугольника через R радиус описанной около треугольника окружности  и длин трех сторон треугольника    

Тогда   

Подставляем значения и получаем следующее:

см

Ответ:   см

ЗАДАЧА 4.

Найти r - радиус вписанной в треугольник окружности.

РЕШЕНИЕ:

Имеем формулу нахождения площади треугольника через r радиус вписанной в треугольник окружности  и длин трех сторон треугольника     , где

Тогда   

см

Ответ:   см

ЗАДАЧА 5.

Найти mₐ - медиану АМ1

РЕШЕНИЕ:

По теореме косинусов имеем  с² = в² + а² - 2ав·cosφ, где угол φ – это угол между стороной а и в.                                

Тогда  получаем cosφ = (а² + в² - с²)/2ав   (1)

Рассмотрим треугольник АСМ1

mₐ² = в² + (а²/4) – 2в·а· cosφ    (2)

Далее подставим в формулу (2) формулу (1) и преобразуем выражения, получим формулу для нахождения длины медианы треугольника:

 mₐ = ½ · (2в² + 2с² -а²)

Получаем mₐ = ½ · (2·25² +2·36² - 12²) =

Ответ:   mₐ = см

ЗАДАЧА 6.

Найти lс -длину биссектрисы

Подставим в (1):

Ответ:    см

ЗАДАЧА 7.

Найти СН₃   - длину высоту

РЕШЕНИЕ:

ЗАДАЧА 8.

Найти длину радиуса вписанной окружности r_a , касающейся стороны а

.

РЕШЕНИЕ:

ЗАДАЧА 9.

Дано:

DАВС,

АМ₁, ВМ₂, СМ₃ – медианы,

АВ = 36,

ВС = 12,

АС = 25.

Найти:   SDМ₁М₂М₃.

Решение:

АМ₁, ВМ₂ – медианы Þ М₁ и М₂ – середины сторон ВС и АС Þ М₁М₂ – средняя линия DАВС. По свойству средней линии треугольника:

М₁М₂ || АВ и М₁М₂ = ½ АВ.

Аналогично:

М₂М₃ || ВС и М₂М₃ = ½ ВС,

М₁М₃ || АС и М₁М₃ = ½ АС.

 Þ DАВС ~ DМ₁М₂М₃ по III признаку – по трем пропорциональным сторонам с коэффициентом подобия k=½. Тогда, по свойству площадей подобных треугольников .

Отсюда имеем: . Т.к. k = ½, то .

Площадь DАВС вычислим по формуле Герона: , где .

Вычислим полупериметр: .

Найдём площадь DАВС: .

.

Ответ: .

ЗАДАЧА 10.

Дано:

DАВС,

АМ₁, ВМ₂, СМ₃ – медианы,

АВ = 36,

ВС = 12,

АС = 25.

Найти:   PDМ₁М₂М₃.

Решение:

АМ₁, ВМ₂ – медианы Þ М₁ и М₂ – середины сторон ВС и АС Þ М₁М₂ – средняя линия DАВС. По свойству средней линии треугольника:

М₁М₂ || АВ и М₁М₂ = ½ АВ.

Аналогично:

М₂М₃ || ВС и М₂М₃ = ½ ВС,

М₁М₃ || АС и М₁М₃ = ½ АС.

.

Ответ:

ЗАДАЧА 11.

Дано:

DАВС,

АL₁, ВL₂, СL₃ – биссектрисы углов А, В и С,

АВ = 36, ВС = 12, АС = 25.

Найти:   SDL₁L₂L₃.

Решение:

Для удобства вычислений введём следующие обозначения:

1)    BC = a, AC = b, AB = c;

2)    CL₁ = a_b, BL₁ = a_c, CL₂ = b_a, AL₂ = b_c, BL₃ = c_a, AL₃ = c_b.

Выразим отрезки, на которые биссектрисы делят стороны, через стороны треугольника.

Т.к. биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки пропорциональные прилегающим сторонам, имеем: . Заменив a_c на разность a - a_b, выразим a_b через стороны треугольника: .

Аналогично выражаем остальные отрезки:

, , , , .

                         (1)

Используя свойство отношения площадей треугольников с общим углом выразим площади треугольников DCL₁L₂, DAL₂L₃ и DBL₁L₃ через площадь треугольника DАВС:

, , .

Подставим эти выражения в формулу (1)

.

Вынеся площадь треугольника DАВС за скобки, и заменив a_b, a_c, b_a, b_c, c_a, c_b соответствующими выражениями получаем:

.

Выполнив необходимые преобразования в скобках, получаем формулу:

                               (2)

Площадь DАВС вычислим по формуле Герона: , где . Она равна (см. задачу 1).

Выполняем расчет:

.

Ответ: .

ЗАДАЧА 12.

P_L1L2L3= L₁L₂ + L₂L₃ + L₁L₃

_{По теореме косинусов:}

L₁L₂ =

L₂L₃=

L₁L₃=

Косинусы углов:

cos A = ;      cos B = ;      cos C =

L₁L₂ = =

L₂L₃= =

L₁L₃= =

Периметр

P _L1L2L3 =  + +

ЗАДАЧА 13.

По  теореме Эйлера

ЗАДАЧА 14. В треугольнике АВС АВ=с, ВС=а, АС=в.  Вычислите расстояние между центрами вписанной и вневписанной окружностями.

                              Решение:

Так как О₂ –центр вневписанной окружности, то он лежит на пересечении биссектрис

 внешних углов к  углам   В и С треугольника АВС и биссектрисы угла А.

      Т.к. ВО₁ и ВО₂ биссектрисы смежных углов, то ∟О ₂ВО₁ =90°. Следовательно, 

О ₁О₂ -гипотенуза прямоугольного треугольника О ₁ВО₂. Найдем радиусы вписанной и вневписанной окружностей:

 , где р- полупериметр

= ===

R = О₂ М =  ,  где S- площадь треугольника

S=

S===

R =  : (36,5-25)=  = 3,5

Рассмотрим  О₂МЕ и _1.

Они подобны с коэффициентом k= , по двум углам.

Значит , k =

BМ=p-AB

CH=p-AC

BM=36,5 – 36 = 0,5

СН=36,5 – 25 = 11,5

МН=12 – 0,5-11,5 =0, значит, длина отрезка О₁О₂ =R

                                                           Ответ:

ЗАДАЧА 15.

Найти: S

Решение:АВС, ==, А==с

А=, ,,,

P=8p , гдер= , S=

или другой способ

S=S(1-

По теореме косинусов найдем , ,  , зная стороны треугольника.

S=,  гдер=

S= , ,

S=(1- - )

ЗАДАЧА 16.

Дано:ВС, АВ=36, ВС=12, АС=25

                        С

                                Н 

             Н 

А                                                                В

                       Н

Найти  Р, где Н, Н, Носнования высот.            

Решение:  Р= Н Н+ НН+ НН.

     Прямоугольные треугольники А НВ  и  СНВ подобны по двум углам (угол В – общий, углы А НВ и СНВ прямые).

      Значит,     или   НВАВ=НВСВ.

      Следовательно, треугольники   Н ВН  и  АВС подобны (по второму признаку) с коэффициентом подобия  .

      Аналогично, треугольники  Н НС и АВС  подобны с  коэффициентом подобия    и треугольники  А НН и АВС подобны с  коэффициентом подобия  . 

     Значит,      НН=АВ;

                       НН=ВС;

                     НН=АС.

Найдем косинусы углов треугольника АВС по теореме косинусов.

=;   =;  =.

Тогда    НН=36=31,62;   НН=12=1111,85; 

НН=25=2323,58.

Р= Н Н+ НН+ НН 

Р=66,69.

Ответ: 66,69

ЗАДАЧА 17.

Дано:

DАВС,

K₁, K₂, K₃ – точки касания вписанной окружности,

АВ = 36,

ВС = 12,

АС = 25.

Найти:   SDK₁K₂K₃.

Решение:

Используя свойство отрезков касательных к окружности, проведённых из одной точки,  обозначим равные отрезки  буквами x, y, z:

АK₁ = AK₃ = x, BK₁ = BK₂ = y, CK₂ = CK₃ = z. 

Составим систему: Сложив почленно эти равенства получаем:

a + b + c = 2(x + y + z) Þ x + y + z = (a + b + c)/2 = p (полупериметр).

Тогда получаем такую систему: Þ           (1)

Запишем формулы площадей треугольников D AK₁K₃, D BK₁K₂ и D CK₂K₃ через две стороны и синус угла между ними, используя формулы (1):

, , .  (2)

Синусы углов выразим через площадь треугольника DАВС:

, , .          (3)

Площадь треугольника DK₁K₂K₃ равна следующему:

.

Подставляя в эту формулу данные формул (2) и (3), получаем:

.

Подставим числа и найдём значение площади треугольника DK₁K₂K₃:

.

 Ответ: .

ЗАДАЧА 18.

В треугольнике АВС АВ=с, ВС=а, АС=в. 

Найти Р  _К1К2К3 , где К_i – точки касания вписанной окружности

Решение:

К₁К₃² = 2х² - 2х² cosА = 2х² (1 – cosА) = 4 х² sin²  

К₁К₃ = 2хsin

К₁К₂ = 2y sin

К₂К₃ = 2z sin

Р = 2х sin  + 2y sin  2z sin  = 2 (p-a) sin  + (p-b) sin +(p-c) sin =49sin 

       Ответ: 49sin 

Краткое описание документа:

Решение планиметрических задач по теме «Треугольник»

Программа обеспечивает обязательный минимум подготовки учащихся по геометрии, определяемый образовательным стандартом, соответствует общему уровню развития и подготовки учащихся данного возраста.

Геометрия – один из важнейших компонентов математического образования. Она необходима для приобретения конкретных знаний о пространстве и практически значимых умений, формирования языка описания объектов окружающего мира, развития пространственного воображения и интуиции, математической культуры, эстетического воспитания учащихся. Изучение геометрии вносит вклад в развитие логического мышления, в формирование понятия доказательства.

Программа направлена на достижение следующих целей:

§            овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения практической деятельности изучения смежных дисциплин, продолжения образования;

§            интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе: ясность и точность мысли, критичность мышления, интуиция, логическое мышление, элементы алгоритмической культуры, пространственных представлений;

§            формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов;

§            воспитание культуры личности, отношения к математике как части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для научно технического прогресса;

развитие представлений о полной картине мира, о взаимосвязи математики с другими предметами.

         В ходе обучения геометрии по данной программе решаются следующие задачи:

§  систематическое изучение свойств геометрических фигур на плоскости;

§  формирование пространственных представлений; развитие логического мышления и подготовка аппарата для изучения смежных дисциплин (физика, черчение и др.) и курса стереометрии в старших классах;

§   овладение конкретными знаниями необходимыми для применения в практической деятельности.

Требования к уровню подготовки учащихся

 Учащиеся дополняют знания о треугольниках сведениями о методах вычисления элементов произвольных треугольниках, основанных на теоремах синусов и косинусов. Даются систематизированные сведения о правильных многоугольниках, об окружности, вписанной в правильный многоугольник и описанной. Особое место занимает решение задач на применение формул. Серьезное внимание уделяется формированию умений рассуждать, делать простые доказательства, давать обоснования выполняемых действий.

В результате изучения курса геометрии  учащиеся должны уметь:

§  пользоваться геометрическим языком для описания предметов окружающего мира;

§  распознавать геометрические фигуры, различать их взаимное расположение;

§  изображать геометрические фигуры; выполнять чертежи по условию задач; осуществлять преобразование фигур;

§  вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей), в том числе: определять значение тригонометрических функций по заданным значениям углов; находить значения тригонометрических функций по значению одной из них; находить стороны, углы и площади треугольников, дуг окружности, площадей основных геометрических фигур и фигур, составленных из них;

§  решать геометрические задания, опираясь на изученные свойства фигур и отношений между ними, применяя дополнительные построения, алгебраический и тригонометрический аппарат, соображения симметрии;

§  проводить доказательные рассуждения при решении задач, используя известные теоремы, обнаруживая возможности для их использования;

§  решать простейшие планиметрические задачи в пространстве.

Содержание программы соответствует  обязательному минимуму содержания образования и имеет большую практическую направленность.

Соотношения между сторонами и углами треугольника.

Синус, косинус и тангенс угла. Теоремы синусов и косинусов. Решение треугольников. Скалярное произведение векторов и его применение в геометрических задачах. Основная цель — развить умение учащихся применять тригонометрический аппарат при решении геометрических задач.

Синус и косинус любого угла от 0° до 180° вводятся с помощью единичной полуокружности, доказываются теоремы синусов и косинусов и выводится еще одна формула площади треугольника (половина произведения двух сторон на синус угла между ними). Этот аппарат применяется к решению треугольников.

Скалярное произведение векторов вводится как в физике (произведение длин векторов на косинус угла между ними). Рассматриваются свойства скалярного произведения и его применение при решении геометрических задач.

Основное   внимание   следует   уделить   выработке   прочных   навыков   в   применении тригонометрического аппарата при решении геометрических задач.

Длина окружности и площадь круга.

Правильные многоугольники. Окружности, описанная около правильного многоугольника и вписанная в него. Построение правильных многоугольников. Длина окружности. Площадь круга.

Основная цель — расширить знание учащихся о многоугольниках; рассмотреть понятия длины окружности и площади круга и формулы для их вычисления В начале темы дается определение правильного многоугольника и рассматриваются теоремы об окружностях, описанной около правильного многоугольника и вписанной в него. С помощью описанной окружности решаются задачи о построении правильного шестиугольника и правильного 2ге-угольника, если дан правильный п-угольник.

Формулы, выражающие сторону правильного многоугольника и радиус вписанной в него окружности через радиус описанной окружности, используются при выводе формул длины окружности и площади круга. Вывод опирается на интуитивное представление о пределе: при неограниченном увеличении числа сторон правильного многоугольника, вписанного в окружность, его периметр стремится к длине этой окружности, а площадь — к площади круга, ограниченного окружностью.