Научная работа по теме Аликвотные дробы

Қазақстан Республикасының Ғылым және Білім министрлігі

Оңтүстік Қазақстан облысы

Түркістан қаласындағы Ә.Науаи атындағы №13 мектеп- гимназия

коммуналдық мемлекеттік мекеме

Тақырыбы: Жай бөлшектерге амалдар қолдау.

Аликвоттық бөлшектер

Бағытты: «Экономикалық және әлеуметтік процестерді математикалық модельдеу»

Секциясы: Математика

Авторы: 9-сынып оқушылары - Акимов Атабек

Айбекұлы, Шакиров Шакиржан Адылұлы

Жетекшісі: математика пәні мұғалімі Атаева Тунжир

Токтасыновна

Кенесшісі: Қожа Ахмет Ясауи атындағы ХҚТУ

“Математика” кафедрасы,

профессоры, ф-м. ғ.д Б.Турметов

Түркістан -2016

Жоспар

1. Кіріспе

2. Негізгі бөлім.

1. Сан ұғымының тарихи даму процесі

2. Жай бөлшектер туралы мағлумат.

3. Жай бөлшектердың өмірде қолданылуы

4. Аликвоттық бөлшектер

III. Қорытынды

Аликвоттық бөлшектерге үстінде амалдар

IV. Әдебиеттер

Ә.Науаи атындағы №13 мектеп-гимназияның 9- «А» сынып оқушылары Ш.Шакиров пен Акимов Атабектің «Жай бөлшектерге амалдар қолдау. Аликвоттық бөлшектер» тақырыбындағы жұмысына

Пікір

Ш.Шакиров және А. Акимовтардың бұл жұмысы жай бөлшектерге, атап айтқанда, аликвоттық бөлшектерді есептеудың оңтайлы әдіс-тәсілдерін зерттеуге арналған.

Жұмыс Кіріспе, Негізгі бөлім, Қорытынды және Әдебиет тізімінен тұрады.

Жұмыстың Кіріспе бөлімінде таңдалған тақырыптың өзектілігі мәселесі және осы тақырыпқа бәйланысты қысқаша мәліметтер қарастырылған.

Негізгі бөлім төрт параграфтан тұратын болып, онда жай бөлшектердың пайда болуы туралы қысқаша тарихи мәлімет, жай бөлшектердің маңызы және оның тұтқан орны көрсетілген.

Қорытынды бөлімде жоғарыда айтылған мәліметтерге негізделіп аликвоттық бөлшектерді қосу, азайту, бөлу және көбейтудің формулалары келтіріліп шығарылған.

Бұл жұмысты жазу кезінде Ш.Шакиров және А. Акимов көптеген тарихи-математик әдебиеттерді үйреніп шыққан.

Жұмыстың негізгі табысы аликвоттық бөлшектерді есептеудің оңтайлы әдіс-тәсілдерін табуы, яғни бөлімдері тізбектелген екі натурал саннан құрылған аликвотты бөлшектерді қосу, азайту, көбейту және бөлу формулаларын табуы деп есептеуге болады.

Жоғарыда айтылғандарды есепке алып, Ш.Шакиров және А.Акимовтардың бұл жұмысын оқушылардың ғылыми жұмыстар сайысында қатысуға ұсынуға болады деп есептеймін

Пікір беруші:

Қожа Ахмет Ясауи атындағы ХҚТУ

“Математика” кафедрасы,

профессоры, ф-м. ғ.д. Б.Х.Турметов

Ә.Науаи атындағы №13 мектеп-гимназияның 9- «А» сынып оқушылары Ш.Шакиров пен Акимов Атабектің «Жай бөлшектерге амалдар қолдау. Аликвоттық бөлшектер» тақырыбындағы жұмысына

Пікір

            Бұл жоба математика курсының маңызды тақырыптарының бірі. Математика курсында қарастырылатын жай бөлшектер үстінде амалдар қолдау арқылы алымдары 1 ге бөлімдері натурал сандардан қуралған, яғни аликвоттық бөлшектерды қосу, азайту, көбейту және бөлу амалдарын орындаудың оңтайлы әдіс-тәсіліне негізделіп отыр.

            Ұсынылған жобаның басты мақсаты аликвоттық бөлшектерді, нақтырақ айтқанда бөлімдері тізбектелген аликвоттық бөлшектер үстінде орындалатын 4 амал: қосу, азайту, көбейту және бөлуді орыдаудың сол мазмұнды есептерді шығаруда әр түрлі тәсілдерін айқындап, бір жүйеге келтіріп формуласын келтіріп шығаруы.  Аликвоттық бөлшектерге байланысты әр түрлі есептерді ертедегі математиктердің есептерімен байланыстыра отырып, жай бөлшектерді шешуде өзіндік тәсілдері мен оқушылар тілінде қолданылу ерекшеліктерін көрсетіп өтті.

            Автор ұсынылып отырған материалдарға жан-жақты талдау жасап, терең зерттеген. Пайдаланылаған әдебиеттер тізімін көрсете отырып, көп іздену жұмыстары жүргізілгені көрінеді. Мен бұл жұмысын оқушылардың ғылыми жұмыстар сайысында қатысуға ұсынамын.

            Жетекшісі:                          Т.Атаева 

Аннотация

Зерттеудің мақсаты:

1. Ұсынылған жобаның басты мақсаты аликвоттық бөлшектерді, дәлірек айтқанда бөлімдері тізбектелген аликвоттық бөлшектер үстінде орындалатын төрт амал: қосу, азайту, көбейту және бөлу есептерін шығаруда әр түрлі тәсілдерін айқындап, бір жүйеге келтіріп формуласын келтіріп шығаруы.  

2. Аликвоттық бөлшектерді ерте заманнан бері ұлы ғалымдар да өз тәжірибесінде қолданғанын анық көрсетеді.

3. Аликвоттық бөлшектерді есептеудің әр түрлі тәсілдерін айқындап, бір жүйеге келтіру.

Зерттеудің жаңалығы :

Аликвоттық бөлшектерді шешуде өзіндік тәсілдері мен оқушылар тілінде қолданылу ерекшеліктерін ашып, айқындау.

Зерттеудің әдістері:

Кітапханаларда арнайы зерттеу жұмыстар жүргізу, ғаламтордан тарихи зерттеп ой-пікірлерді, түрлі басылымдарды, оқулықтардан аликвоттық бөлшектерге қатысты мәліметтерді бір жерге жинақтап, топтастыру нәтижесін табу.

Зерттеудің нәтижесі:

Ерте замандағы ғалымдардың есебін, дамуын зерттеп, өз бойындағы ерекше қасиеттерін, таланты мен дарындылығын, табиғи қабілеті арқылы өз зерттеуінде пайдаланып қана емес өмірлік тәжірибеде қолданатынын дәлелдеу.

Аннотация

Цель исследования:

1. Аликвотные дробы помогают решать проблемы  во многих природных процессов и явлений, а так же содержание сложных математических задач.

2. Аликвотные дробы используются в практике великих учёных с древных времён .

3. Раскрыть различные методы и приемы решения аликвотных дробей и привести их в единую  систему.

Новизна исследования:

Раскрыть особенности методы и приемов доступных для учеников в решений аликвотных дробей

Методы исследования :

Для проведения исследования в Интернете, в библиотеках и исторического исследования идеи, публикации, книг, чтобы собрать информацию об аликвотных дробей в одном месте .

Результат исследования:

Доказать необходимость использования методов развитие приемов решения задач древными учёными, использования их на практике, развивая свой талант и природные способности.

Annotation

Research aim:

1. Alikvotnye crush help to solve the problems in many natural processes and phenomenas, but in the same way contents of the complex mathematical problems.

2. Alikvotnye crush are used in practical person great scientist with ancient timeses.

3. Reveal the different methods and receiving the decision alikvotnye fractions and bring them in united system.

Research novelty:

Reveal particularities methods and acceptance available to pupil in decisions аlikvotnye fractions

Research methods :

For undertaking the study in Internete, in library and history study to ideas, publication , books to collect information on alikvotnye of the fractions in one place.

Research result:

Prove need of the use the methods development receiving the decision of the problems ancient scientist, use them in practice, developping its talent and natural abilities

Кіріспе

«Бөлшекті білмейінше, арифметиканы білемін деп ешкім де айта алмайды»

  Цицерон

Республикамыздың президенті Н. Назарбаев өзінің жолдауында әлемдегі ең озық 30 елдің қатарына кіру стратегиясын айқындаған болатын. Сонымен бірге Елбасы Қазақстанның әлемдік экономикаға ойдағыдай кіруі бағытындағы басты міндеттерінің бірі - ғылым мен білім, жаңа технологиялар бәсекелестіктің шешуші факторы екендігін атап көрсетті. Осы ғылым мен білімді меңгеру үшін ең бірінші адамның табандылығы, еңбекқорлығы, ынтасы болуы керек. Осы қасиеттер болғанда ғана адамда бәсекелестік туады.
Ғылыми зерттеу жұмысы да осы сияқты табандылықты, шыдамдылықты, көп ойлануды, сондай-ақ еңбекқорлықты талап етеді. Осындай қасиеттердің арқасында мектептегі математика сүйіп оқитын пәндерімнің біріне айналды.
Менің математика ғылымына қызығушылығымның туындауы ұстазымның жемісті еңбегі деп білемін. Осы өз қызығушылығымнан туындаған «Жай бөлшектерге амалдар қолдану. Аликвоттық бөлшектер» тақырыбын зерделеу, оның қыр - сырларын ашып, математиканың өмір мен тығыз байланыстылығына көз жеткізу менің алдыма қойған мақсатым болатын. «Талаптыға нұр жауар» демекші, қажымас қайрат, таусылмас талап болса, зерттеулердің көптеген сырларын аша алатынымызды естен шығармауымыз керек. Жай бөлшектер үстінде амалдар қолдап есептер шығару нәтіжесінде дәлірек айтқанда бөлімдері тізбектелген аликвоттық бөлшектер үстінде орындалатын төрт амал: қосу, азайту, көбейту және бөлу есептерін шығаруда ұстазыммен әр түрлі тәсілдерін айқындап, бір жүйеге келтіріп формуласын келтіріп шығаруым.  

Адамзат мәдениет есігін аша бастағанда математикадағы ең бірінші амал–нәрселерді санау болды. Нәрселерді санау нәтижесінде натурал сандар ұғымы шықты. Натурал сандардың әрқайсысын белгілеу үшін цифрлар қолданылды. Алғашқыда санау мен өлшеудің (мысалы, қашықтықты, уақытты, ауданды, т.б. өлшеу) қажеттілігінен туған. Ежелгі мәдениет белгісі болған Мысыр мен Вавилонда дербес ғылым болып Арифметика қалыптасқан.

Арифметика (грек. arіthmētіkē, arіthmos – сан) — сандар (бүтін және бөлшек) және оларға қолданылатын амалдар туралы ғылым (грекше arіthmetіke, arіthmos – сан).

Сан ұғымы математика ғылымындағы ең негізгі ұғымдардың бірі. Қазіргі араб цифрлары деп аталып жүрген цифрлар мен ондық санау жүйесі Үндістанда шыққан. Біздің заманымыздан бұрынғы 7 – 4 ғасырларда грек ғалымдары Пифагор, Евдокс (біздің заманымыздан бұрынғы 408 – 355), Евклид, Эратосфен (біздің заманымыздан бұрынғы 276 – 194), Архимед, т.б. арифметика мәселелерін терең зерттеген. 7 – 15 ғасырларда арифметика амалдарын жетілдіруде Шығыс ғалымдары да қомақты үлес қосты. Әл-Хорезмидің «Үнді есебі» атты еңбегі қазіргі бастауыш кластағы математикаға ұқсас. 15 – 17 ғасырларда Еуропа ғалымдары қазіргі қолданылып жүрген арифметикалық белгілеулер мен таңбаларды қалыптастырды, теориялық арифметиканы одан әрі дамытты.

Математиканың күнделікті адам өміріндегі мәні орасан зор. Санай білмей, сандарды қосуды, азайтуды, көбейтуді, бөлуді дұрыс орындай білмей тұрып адам қоғамының дамуы мүмкін деп ойлауға болмайды. Арифметикалық төрт амал, ауызша және жазбаша есептеу ережелері бастауыш сыныптардан бастап оқылады. Бұл ережелерді бір адам ойлап шығарған немесе тапқан емес. Арифметика күнделікті практика талаптарынан, адамдардың еңбектеніп әрекет жасауындағы өмірлік мұқтаждықтарынан туған. Арифметика өте баяу және ұзақ уақыт дамыды. [Бертісканова К.Т. «Математика тарихы» пәні бойынша оқу әдістемелік кешен ]

Сонау ерте замандардың өзінде-ақ адамдарға өздерінің күнделікті өмірінде кездесіп отыратын әр түрлі нәрселерді санауға тура келген. Сонда адамның тек екіге дейін ғана санай білетін шағы болған. Екі саны адамның көру және есту мүшелерімен, жалпы алғанда нәрселердің нақтылы бір жұбымен байланыстырылған.Үнділердің «көз», тибеттіктердің «қанат» деген сөздері «екі» санын білдірді.Егер нәрселер саны екіден көп болса,алғашқы қауым адамы олар туралы тек көп дейтін. Адам бірте-бірте ғана үшке дейін, кейін беске, онға дейін санап үйренді.

Өндірістің және сауданың дамуына байланысты санау тәсілі басқа жиындарға, нәрселер саны барған сайын көбейе берген жиындарға қолданылады. Өлшей білу қажеттігі өлшеу тәсілдерінің, сондай-ақ санау техникасы мен сандарға амалдар қолдану ережелерінің пайда болуына және дамуына себепкер болды.

Сонымен, арифметиканың пайда болуы және дамуы адамдардың еңбектену әрекеттері мен қоғамның дамуымен байланысты.

Біз қолданылатын осылайша санау тәсілі, яғни он-оннан топтап санау системасы немесе ондық нумерация деп аталады. Он саны ондық санау системасының негізі деп аталады.

Ал, неліктен біз он-оннан санаймыз, яғни ондық санау системасы қалай пайда болды? Балалар саусақтарын санап үйренетіні сияқты, адамдар да қоғам дамуының алғашқы кезеңдерінде санау үшін екі қолының он саусағын пайдаланатын. Осыдан барып – ондық санау системасы шыққан.

Арабтар үнділердің цифрларын және позициялық ондық системасын қабылдаған, ал европалықтар оларды арабтардан үйренген.Сондықтан біздің цифрларымызды айыру үшін өзгеше, араб цифрлары деп атайтын болды.

Натурал сандар нәрселерді санау нәтижесінде пайда болғандығы мәлім. Адамға шамаларды өлшеу қажет болғандығының және өлшеу нәтижесі әрдайым бүтін сандармен өрнектеле бермейтіндігінің салдарынан натурал сандар жиынын ұлғайтуға тура келді. Ноль және бөлшек сандар енгізілді.

Сан ұғымының тарихи даму процесі мұнымен аяқталмады. Алайда сан ұғымының ұлғаюына әрдайым алғашқы түрткі болып табылған жағдай адамдардың тек практикалық қажеттері ғана емес еді. Математиканың өз міндет-мақсаттары сан ұғымының ұлғаюын талап еткен жағдайлар да болған.Теріс сандардың пайда болуы дәл осылайша болған.Теріс ұғымы алгебралық теңдеулерді шешу практикасында пайда болды.[ «Математика-Укипедия» Интернет материалдары]

Ерте кезде адамдарға сауда - саттық және түрлі есептеу жұмыстарында бөлшектер мен үлестерді есептеу қажет болған. Алғашында математикада талай ғасырлар бойы түрліше халықтардың тілдерінде сынық сан деп бөлшектерді атаған. Адамзат қоғамы дамуының өте ерте кезеңінен өзінде-ақ бөлшек туралы түсінік қажет болған.

Бөлшектердің мұндай әр түрлілігі есептеу және өлшеу жұмыстарында көптеген қиындықтар туғызады. Бөлшек ұғымының дамуы ғылым мен сауда-саттық жұмыстары өркендеген елдерде: Мысырда, Вавилонда, Үндістанда және Римде қалыптасты. Ертеде әр түрлі елдер бөлшек сандарды белгілеуде өздерінің түрліше символда-рын енгізді.

Мысалы, мысырлықтар

- ді белгісімен, ал - ді белгісімен және - ді

белгісімен көрсеткен. Олар өзге бөлшектерді үлестердің қосындысы түрінде жазған. Мысалы, бөлшегін арасына қосу таңбасын қоймай, түрінде жазған. Сол сияқты 4+ - ді түрінде жазған. Демек, аралас сандарды осылайша ( қосу белгісін жазбай) жазу сол кезде қалыптасқан.

Ежелгі Үндістанда жай бөлшектерді жазуда бөлшек сызыгын

алымын үстіне, бөлімін астына жазған . Мысалы, - ді түрінде,

-ді деп немесе түрінде жазған. Демек, сол кезден бастап

натурал санды бөлімі 1 болатын бөлшек етіп жазу қалыптасқан.

Бөлшекті осы түрде жазу тәжік ғалымы әл-Насавидің (1030 жылдары) ғылыми жұмыстарында орын алған. Әл-Насави, егер бөлшектің бүтін бөлігі

жоқ болса, оның орнына 3 жазған. Мысалы, - ді түрінде жазған.

Ежелден - ді жарты; -ді ширек; ді бір жарым және т.с.с. деп атаған. Осылайша «жарты», «ширек» ұғымдары қалыптасқан.

Бөлшекті санның бөлігі ретінде, бірлік үлестердің қандай да бір мөлшері ретінде түсініп ұғыну сонау Ежелгі Мысыр папирустарында, вавилондықтардың саз-балшық таблицаларында кездеседі. Ертедегі вавилондықтар өздерінің ғылыми есептеу жұмыстарында алпыстық бөлшектерді ( бөлімі алпыс болатын) пайдаланған. Осы бөлшек жүйесінен қазіргі уақыт бірлігіндегі 60-тық жүйе қалыптасқан.1 мин сағ; 1секунд мин. Бөлшектегі «алымы», «бөлімі» атауларын ХІІІ ғасырда грек математигі Максим Плаунд енгізген, жалпы түрдегі бөлшегі ежелгі грек ғалымы Архимедтің (б.б.д. 287-212) еңбектерінде пайдаланылған. ХХ ғасырдың алғашқы жылдарында үнділер жай бөлшектерге амалдар қолдануды қалыптастырды. Жай бөлшектер туралы толық мәліметтерді Еуропаның арифметика кітаптарында Орта Азия математигі әл-Хорезми енгізген.

Бүтін сан туралы ұғым сияқты, бөлшек сан туралы ұғым да уақыт озуымен байланысты дамып, ұлғайып отырған. Грек ғалымдары Евклид өзінің «Бастамаларында» және Никомах өзінің «Арифметикаға кіріспесінде» бөлшектерге жоламаған, өйткені оларды сан деп есептемеген. Ал Архимед бөлшектерді қолданғанмен оларды сан деп білмеген.

Бөлшек сызығын уал-Хассара (ХІІ ғасырда) және итальяндық Леонардо Пизанский (ХІІІ ғасырда) өздерінің жазба есептеулерінде пайдаланған. Леонардо Пизанский «бөлшек» деген сөзді енгізген. Бөлшек сызығы ХVІ ғасырда ғана белгілеуге толық енді. Петербург академиясының мүшесі ұлы математик Эйлердің өзінің «Универсал арифметикасында» баяндаған пікірінше ½ ұғымы қаншалықты заңды болса, 7/3 ұғымы да соншалықты заңды. Алайда ол бүтін сан болмағанмен, біз оны бөлшектер, немесе сынық сандар, деп аталатын ерекше текті сандар деп түсінеміз.

Тек XVIII ғасырдың екінші жартысында ғана бөлшек ұғымы санның И.Ньютон тағайындаған жалпы анықтамасына сай қалыптасты. Ньютон санды бір шаманың сол тектес бір, бірлік ретінде қабылданған, шамаға қатынасы ретінде анықтайды. Бұл анықтама бөлшек ұғымына да тура келеді.

Бөлшектер үш типке бөлінеді:

1. Бірлік бөлшектер (аликвоттық бөлшектер). Бірлік бөлшектер немесе үлестер, мысалы 1/2 1/3 1/4 …т.с.с.;

2. Жүйеленген бөлшектер. Жүйеленген бөлшектің алымы кез келген натурал сан, бөлімі тек 10 санының немесе 60 санының дәрежелері ғана болған.Жүйеленген бөлшектер, яғни бөлімі берілген бөлшектер түрі үшін қабылданған санның дәрежесі болып келетін бөлшектер, мысалы бөлімі 10-ның немесе 60-тың дәрежелері болатын бөлшектер.Бөлімі 60, 60·60, 60·60·60 сандар болып келетін осы сияқты бөлшектерді ерте кезде вавилондық кемеңгерлер пайдаланған және әр түрлі операциялар қолданған

3. Жалпы түрдегі бөлшек. Жалпы түрдегі бөлшектің алымы да, бөлімі де кез келген натурал сан болады. Алымы бөлімінен артық бөлшектер орта ғасырда «жалған» бөлшектер деп атап, оларды дұрыс бөлшектерге, яғни «нақты» бөлшектерге деп қойған. Тек 17 ғасырдың екінші жартысында бөлшектерді жалған және нақты деп бөлмейтін болған. Бөлшектің қазіргі жазудың бастапқы нұсқасы 8 ғасырда Үндістанда ойланып табылған. Сонан кейін бұл жазу Орта Азия елдеріне, олардан Европаға тараған.

Есептеуде жай бөлшектерді ондық бөлшектерге айналдырып алу көп жағдайда тиімді болатын көрінеді, өйткені ондық бөлшектерге амалдар қолдану оңайлау болады. Бөлшектерді ондық бөлшектерге айналдыру ісімен тіпті XVII ғасырдың өзінде итальян математигі Бонавентура Кавальери, ағылшын математигі Джон Валлис және басқа да ғалымдар шұғылданған. Бұл ғалымдар шексіз бөлу процесімен байланысты болатын периодты бөлшектерге кездескен. XVIII ғасырда периодты бөлшектер неміс ғалымы Иоганн Ламберт және Леонард Эйлер де қарастырып зерттеді. Периодты бөлшектердің толық теориясын XIX ғасырдың басында неміс математигі Карл Фридрих Гаусс жасады.

Шексіз қайталай беретін цифрлар тобына қатысты қолданылатын «период» термині гректің «периодос» - айналма, шеңбер бойымен деген сөзінен шыққан.

Әр түрлі практикалық есептерді шығарғанда бір тектес шамаларды өзара салыстыруға, бүтін немесе бөлшек сандармен өрнектелген шамалардың қатынасын табуға тура келеді. Ерте заманда және бүкіл орта ғасырлар бойында дерлік тек натурал санды ғана, санау нәтижесінде шыққан бірліктер жиынын ғана сан деп түсінетін. Ал бір санды екінші санға бөлу нәтижесі болып табылатын қатынас сан болып саналмайтын.

Бірақ Орта Азия математиктері Омар Хайям мен Насыреддин ат-Туси еңбектерінде қатынас та сан, бүтін сандарға қолданылатын амалдарды қатынастарға да қолдануға болады деген пікір баяндалған болатын.

Санның жаңа анықтамасын айқын түрде тұңғыш рет XVII ғасырда ағылшынның дана ғалымы Исаак Ньютон баяндап берді.Ол өзінің «Жалпыға бірдей арифметикасында» былай деп жазды: «Біз сан деп бірліктер жиынын ғана түсінбей, бір шаманың бірлік ретінде алынған басқа бір шамаға дерексіз қатынасын сан деп түсінеміз».

Бұл анықтама бүтін сандарды да, бөлшек сандарды да қамтиды. ХХ ғасырдың бастапқы жылдарында Үнді елдерінде жай бөлшектерге амалдар қолданыла бастады. Кәзіргі жай бөлшектерді белгілеу VIII ғасырда үндістанда қабылданған.
Бөлшектің аламы мен бөлімін бөліп тұратын бөлшек сызығын грек математиктері Александриялық Герон және Диофант пайдаланды. Кейінірек араб ғалымы әл - Хассара, Италия математигі Лизанский еңбектерінде кездесті.

Грек ғалымы Архимедтің еңбегінде алымы мен бөлімі кез - келген натурал сандар болатын бөлшектің жалпы түрі кездеседі. Ежелгі гректер іс жүзінде жай бөлшектерге барлық амалды қолдана білген. Сызықшамен жазу тек 1202 жылы Италия ғалымы Фибоначчидің «Абак кітабы» атты шығармасында енгізілген.

Ұзақ уақыт бойы бөлшектерді сандар деп атамаған. Бұларды «сынық сандар» деп атаған. Тек XVIII ғасырда ғана бөлшектерді сан ретінде қабылдай бастады. Бұған ағылшын ғалымы Ньютонның 1707 жылы жарық көрген «Жалпыға бірдей математика» атты кітабы ықпал жасады. [«Мектептегі математика тарихы», авторы Г.И.Глейзер]

Бөлшек, арифметикада —бірліктің (бір бүтіннің) бір не бірнеше тең үлестерінен құралған сан. Ол (немесе m/n) белгісімен өрнектеледі, мұндағы m — бөлшектің алымы, ол бірліктен алынған үлес санын көрсетеді, ал n — бөлшектің бөлімі, ол бірліктің тең бөлікке бөлінгендігін көрсетеді. Бір санды екінші санға бөлгеннен шығатын сан бөлінді деп аталады. Алымы бөлімінен кіші бөлшек дұрыс бөлшек деп, ал алымы бөліміне тең не одан үлкен бөлшек бұрыс бөлшек деп аталады. Бөлімі 10 санының бүтін дәрежесі болатын бөлшек ондық бөлшек деп аталады. Ондық бөлшек бөлімсіз жазылады. Оның бөлімінде қанша нөл болса, алымының оң жағынан сонша цифр (орын) үтір арқылы ажыратылады. Бөлшек туралы алғашқы түсінік ежелгі Вавилонның ескілікті жазуларында кездеседі. Вавилондағы “сексагезимал бөлшек” деп аталатын, яғни бөлімі 60-тың дәрежесі болатын Бөлшектің ежелгі арифметикада ерекше маңызы болған. Бірлікті 60 және 3600 = 602 үлеске бөлу әдісі қазіргі кезге дейін сақталған. Мысалы, сағат не градус 60 мин-қа тең, ал әрбір минут 60 с-қа бөлінеді. Бөлшекке амалдар қолдану әдісі Мысырдағы Ахмес папирусында (б.з.б. 2000 — 1700 ж.) кездеседі. Онда бөлшекті тек түрінде ғана болады деп есептеп, кез келген Б-ті өзара тең Б-тердің қосындысы түрінде жазуды ұсынған. Мысалы, . Бөлшектің осы заманғы белгіленуі ежелгі үнділерде пайда болған. “Бөлшек” термині Еуропаға 1202 жылдары арабтардан Леонардо Пизанскийдің еңбегі арқылы енген.

Аликвоттық болшектер

Ежелгі египеттіктер есептеулерде және шамаларды өлшеуде ең алғашында аликвоттық болшектерді пайдаланған. «Аликвот» латынның aliguot деген сөзінен шыққан, аудармасы «бірнешеу» дегенді білдіреді. Ежелгі египеттіктер аликвоттық бөлшектерді «нағыз бөлшектер» деп атаған.

Мысалы: -аликвоттық бөлшектер. Аликвоттық бөлшектермен бір үлес қана жазылатын болғандықтан, оны бірлік бөлшектер деп те атайды.

Алымы 1 -ге тең, бөлімі 1 -ден өзге натурал сан болатын бөлшек аликвоттық бөлшек деп аталады.

Аликвоттық бөлешек - алымы 1-ге тең дұрыс бөлшек

Кез келген аликвоттық бөлшек 1-ден кіші.

Мысалы:

Ең үлкен аликвоттық бөлшек - Ең кіші аликвоттық бөлшек болмайды.

Ежелгі египеттіктер алымы 1 -ге тең емес бөлшектерді бөлімдері әр түрлі аликвоттық бөлшектердың қосындысы түрінде жазған

Мысалы:

Аликвотты бөлшектерді одан да кіші бөлімдері әр түрлі аликвоттық бөлшектердің қосындысы түрінде жазуға болады. Мысалы,

бөлшектерін бөлімдері әр түрлі аликвоттық бөлшектердің қосындысы түрінде жазіндар.

Дұрыс бөлшек — алымы бөлімнен кіші болатын бөлшек, яғни,

  Мысалы, 

 Егер алымы бөлімінен үлкен болса, яғни, онда бұл — бұрыс бөлшек деп аталады. Мысалы:  

Натурал сандар қатарына бөлшек сандардың келіп қосылуы сан ұғымын да,амалдар ұғымын да бұрынғыдан кеңейте түсті. Натурал сандар қатарына бөлшек сандардың келіп қосылуы сан ұғымын да,амалдар ұғымын да бұрынғыдан кеңейте түсті.

1. Жай бөлшектерді қосу.
   Бөлімдері бірдей бөлшектерді қосқанда олардың алымдарын қосып, алым етіп, ал сол бөлімнің өзін қалдыру керек.
   Мысалы: 1)

2)    

3) 

(формула)

Бөлімдері әр түрлі бөлшектерді қосу үшін:
бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтіру керек;
бөлімдері бірдей бөлшектерді қосу ережесі бойынша қосу амалын орындау керек.

2. Жай бөлшектерді азайту.
   Бөлімдері бірдей бөлшектерді азайтқанда азайғыштың алымынан азайтқыштың алымын азайтып, алым етіп жазып, ал сол бөлімнің өзін қалдыру керек.

Мысалы: 1) -  =

2)        1-

 3) 

(формула)

3. Жай бөлшектердің көбейтіндісі – алымы берілген бөлшектердің алымдарының көбейтіндісіне, ал бөлімі бөлімдерінің көбейтіндісіне тең бөлшек.

Мысалы: = (формула).

4. Натурал санды бөлшекке көбейткенде натурал сан бөлшектің алымына көбейтіліп, көбейтінді бөлшектің алымы болады да, бөлімі өзгеріссіз қалдыру керек.

5. Жай бөлшектерді бөлу

Жай бөлшекті жай бөлшекке бөлу үшін, бөлінгіш бөлшекті бөлгіш бөлшектің кері санына көбейту керек. ай бөлшекті жай бөлшекке бөлу үшін, бөлінгіш бөлшекті бөлгіш бөлшектің кері санына көбейту керек.

6. Егер көбейткіштер аралас сандар болса, оларды бұрыс бөлшекке айналдырып, содан кейін бөлшекті бөлшекке көбейту ережесін қолдану керек.

7. Бөлімдері бірдей жай бөлшектердің қайсысының алымы кіші болса, сол жай бөлшек кіші, қайсысы үлкен болса, сол жай бөлшек үлкен болады

8. Бөлімдері әртүрлі бөлшектерді салыстыру үшін, ортақ бөлімге келтіріп, бөлімдері бірдей бөлшектерді салыстыру ережесін қолданамыз.

1. Бақтағы 120 ағаштың  шырша ағаштары. Бақта неше шырша ағашы бар?

Шешуі: 1) 120*1=120

120/5=24

2. 
   Көрмедегі 57 суреттің   бояулы суреттер. Көрмеде неше бояулы сурет бар?

Шешуі: 57*1=57

57/3=19

Жауабы: 24 шырша ағашы мен 19 бояулы сурет бар

Ертедегі есеп: Көпес ұзақ жолға шығар алдында өзінің 17 түйесін ұлдарына қалдырады. Ол үлкен ұлына барлық түйенің жартысын, ортаншы ұлына үштен бір бөлігін, ал кіші ұлына тоғыздан бір бөлігін алуларын айтып, жолға шығып кетеді. 17 саны 2-ге, 3-ке, 9-ға бөлінбейді. Көпестің ұлдары түйелерді қалай бөліп алуды білмей бастары қатып қалады. Түйе мінген бір шал солардың жанынан өтіп бара жатты. Аға-інілер одан көмек сұрайды. Шал өзінің бір түйесін қосып үлкен ұлына ортаңғы ұлына кіші ұлына бөліп береді. Аға- інілер өз түйелерін алғаннан кейін шал: «Мен сендерге 17 түйелеріңді бөліп бердім», - деп, өз түйесін мініп жолға шығып кетеді.

Түсіндіру: Егер аға- інілерге қалға мұраны 1 санымен белгілейтін болсақ, ондай жағдайда оларға берілген бөлектердің қосындысы 1-ден кіші болады: . Демек, түйелерді бөлген кезде қатыспаған. Бұған ақылы жеткен шал өз түйесін қосып, 18 түйені еш қиындықсыз қатынастарда бөлді. бөлек, яғни бір түйе артық қалатынын білген шал өз түйесінен айырлып қалмайтынына сенімді болған. [Алдамұратова Т. А., Байшоланова Т.С. Математика. Жалпы білім беретін мектептің 5-сыныбына арналған оқулық.- Алматы: Атамұра, 2015]

Қорытынды

Жай бөлшектер үстінде амалдар қолдап есептер шығару нәтіжесінде дәлірек айтқанда бөлімдері тізбектелген аликвоттық бөлшектер үстінде орындалатын төрт амал: қосу, азайту, көбейту және бөлу есептерін шығаруда әр түрлі тәсілдерін айқындап, бір жүйеге келтіріп формуласын келтіріп шығаруым.  

бөлшектерін бөлімдері әр түрлі аликвоттық бөлшектердың қосындысы түрінде жазу

4)

бөлшектерін бөлімдері әр түрлі аликвоттық бөлшектердың қосындысы түрінде жазу

6)

Есептер: 1) 5 алманы 6 бала тең бөліп алулары керек.Алмалардың ешқайсысын 6 үлеске бөлмей,қандай тәсілмен тең бөліп ала алады?

Шешу:

Жауап:

әр балаға бір алманың

2) 7 тақта кәмпитті 10 балаға тең бөліп беру керек. Тақта кәмпиттердің әрқайсысын 5-тен артық емес бөліктерге бөліп, балаларға қалайша тең бөліп беруге болады ?

Шешу:

Жауап:

әр балаға бір тақта кәмпиттің

Есеп: Саудегер ұзақ жолға шығар алдында өзінің балаларына мұра қалдырды. Ол өзінің байлығының жартысын үлкен үлына, үштен бірін кіші үліна, алтыдан бірін қызына қалдырды. Егер саудегер үйіне қайтып келмесе,олар әкесінің мұрасын әкесі айтқандай бөлісе ала ма ?

Шешу:

Бұл жобаміздің негізгі табысы: аликвоттық бөлшектерді есептеудің оңтайлы әдіс-тәсілдерін табуы, яғни атап айтқанда бөлімдері тізбектелген екі натурал саннан құрылған аликвотты бөлшектерді қосу, азайту, көбейту және бөлу формулаларын табуы деп есептеуге болады.

Алымдары 1-ге бөлімдері тізбектелген натурал сандардан құралған жай бөлшектердің қосындысы – сол бөлшек санның алымы қосылушы сандардың бөлімдерінің қосындысына, ал бөлімі көбейтіндісіне тең.

болғанда,

Алымдары 1-ге тең бөлімдері тізбектелген екі натурал саннан құралған жай бөлшектерді азайтқанда – алымы 1-ге, бөлімі азайғышпен алушының бөлімдері көбейтіндісіне тең.

болғанда,

Алымдары 1-ге тең бөлімдері тізбектелген екі натурал саннан құралған жай бөлшектердің көбейтідісі – алымы 1-ге, бөлімі көбейтуші жай бөлшектердің бөлімдерінің көбейтіндісіне тең.

болғанда,

Алымдары 1-ге тең бөлімдері тізбектелген екі натурал саннан құралған жай бөлшектердің бөліндісі – бөлінуші бөлшек санға 1 бүтін санды қосқан аралас санға тең.

болғанда,

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі

1.«Мектептегі математика тарихы», авторы Г.И.Глейзер

2.«Математика тарихынан», авторы А.Собалақов

3.« Ертегі есептер», авторы Қажы Нұрсұлтанов Алматы 2008

4. .«Егемен Қазақстан», Алматы27 тамыз 2008жыл, 14-бет

5. Информатика 8 Шевчук.Е.В.,Кольева.Н.С.

6.Учебниксобеседник   А.Н.Шевойн.,А.г.Гейн.,И.О.Коряков.,М.В.Волков.

7. Математика 7-8 Сикорский К.П.Дополнительные главы по курсу математики 7-8 классов для факультативных занятии. Пособие для учащихся. Сост. К. П.Сикорский.М.,»Просвещение»,1969.

7. Алдамұратова Т. А., Байшоланова Т.С. Математика. Жалпы білім беретін мектептің 6-сыныбына арналған оқулық.- Алматы: Атамұра, 2006.

7. Алдамұратова Т. А., Байшоланова Т.С. Математика. Жалпы білім беретін мектептің 5-сыныбына арналған оқулық.- Алматы: Атамұра, 2005.

7. Төлепов Ө.Ш. Математика. Астана: «Фолиант» баспасы, 2007

7. Бертісканова К.Т. «Математика тарихы» пәні бойынша оқу әдістемелік кешен

12. «Математика-Укипедия» Интернет материалдары