Научная работа "Процентные расчеты"

Министерство образования и науки Республики Бурятия

МКУ «Управление образования МО «Тункинский район»

МБОУ «Аршанская средняя общеобразовательная школа имени П.М.Билдаева»

Научно-практическая конференция «Шаг в будущее»

Секция математика

Тема: 

«Процентные расчеты»

Аршан, 2021

Содержание

Введение

1. Из истории происхождения процентов

2. Решение задач на проценты разными способами

3. Решение задач по формуле сложных процентов

Заключение

Список литературы

Приложения

Введение

Проценты - одно из математических понятий, которое часто встречаются в повседневной жизни. Можно прочитать или услышать, например, что, в выборах приняли участие 57% избирателей, рейтинг победителя хит-парада равен 75%, успеваемость в классе 85%, банк начисляет 17% годовых, молоко содержит 1,5% жира, материал содержит 100% хлопка и т.д.  Понимание процентов и умение производить процентные расчёты, необходимы для каждого человека. Прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, экономическую, демографическую и другие сферы нашей жизни. Изучение процента продиктовано самой жизнью. Умение выполнять процентные вычисления и расчеты необходимо каждому человеку, так как с процентами мы сталкиваемся в повседневной жизни. Современная нам жизнь снова делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Везде - в газетах, по радио и телевидению, в транспорте и на работе обсуждаются повышение цен, зарплат, рост стоимости акций, снижение покупательной способности населения и т.п. Добавим сюда объявления коммерческих банков, привлекающих деньги населения на различных условиях, сведения о доходах по акциям различных предприятий и фондов, об изменении процента банковского кредита и пр. Все это требует умения производить хотя бы несложные процентные расчеты для сравнения и выбора более выгодных условий. Особый для меня интерес представляет процент в банковских операциях.  Значит, если при вычислении каких-либо данных проценты упрощают математические расчеты, то есть необходимость их изучения.

Цель исследовательской работы:

·         Изучение практического применения процентных расчетов.

·         Расширение знаний о применении процентных вычислений в задачах и из разных сфер жизни человека;

Задачи:

1.                Определить понятие «процент»;

2.                Изучить историю происхождения процента;

3.                Определить сферу практического применения процента;

4.                Решить простейшие задачи на проценты и задачи на банковские операции;

5.                  Решать задачи на проценты разными способами;

6.                Сделать вывод.

Объект исследования: процент.

Предмет исследования: задачи на вычисления процентов в банковских операциях.

Методы исследования: наблюдение, сопоставление, анализ, обобщение.

§1. Из истории происхождения процентов

Само слово «процент» происходит от лат. «procentum», что означает в переводе «сотая доля». В 1685 году в Париже была издана книга «Руководство по коммерческой арифметике» Матьеде ла Порта. В одном месте речь шла о процентах, которые тогда обозначали «cto» (сокращенно от cento). Однако наборщик принял это «cto» за дробь и напечатал «%». Так из-за опечатки этот знак вошёл в обиход.

Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычислили проценты, применяя так называемое тройное правило, то есть, пользуясь пропорцией.

В Древнем Риме были широко распространены денежные расчеты с процентами. Римский сенат установил максимально доступный процент, взимавшийся с должника.

В Европе в средние века расширилась торговля и, следовательно, особое внимание обращалось на умение вычислять проценты. Тогда прихоь рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов (сложные проценты). Часто конторы и предприятия для облегчения расчетов разрабатывали особые таблицы вычисления процентов. Эти таблицы держались в тайне, составляли коммерческий секрет фирмы. Впервые таблицы были опубликованы в 1584 году Симоном Стевином.

Фламандский ученый, военный инженер Симон Стевин не был по профессии математиком, но его трудолюбие и талант позволили ему занять достойное место среди выдающихся европейских математиков. Он первым в Европе открыл десятичные дроби. Симон Стевин опубликовал таблицу для вычисления сложных процентов, которая использовалась в торгово-финансовых операциях.

§2. Решение задач на проценты разными способами

Простейшие задачи на проценты.

При решении задач на проценты в 5 - 6 классах применяют следующие правила:

1. Нахождение процента от числа.

Чтобы найти процент от числа, надо это число умножить на соответствующую дробь.

Например:  20% от 45 кг пшеницы равны 45*0,2=9 кг.

2. Нахождение числа по проценту.

Чтобы найти число по его проценту, надо часть, соответствующую этому проценту, разделить на дробь.

Например: Если 8% от длины бруска составляют 2,4 см, то длина всего бруска равна 2,4:0,08=30 см.

3. Нахождение процентного отношения двух чисел.

Чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от второго, надо первое число разделить на второе и результат умножить на 100%.

Например:9 г соли в растворе массой 180 г составляют 9:180*100%= 5%.

Задачи с процентами можно решить разными способами: уравнением, составлением таблицы, применяя пропорцию, по действиям, используя правила. Некоторые из них:

Задача 1. За первый год предприятие увеличило выпуск продукции на 8%, в следующем году выпуск увеличился на 25%. На сколько процентов вырос выпуск продукции по сравнению с первоначальной?

Решение:

Эту задачу можно решить двумя способами:

1) используя пропорцию 

2) по действиям

Решение.

1 способ: Узнаю на сколько увеличился выпуск продукции за первый год.

Пусть: х - начальный выпуск

у - после увеличения на 8%

х - 100% у = х*8 = 1,08х

у - 108% 100

Теперь, узнаю на сколько увеличился выпуск продукции за второй год.

Пусть: 1.08х - теперь уже начальный выпуск

z - после увеличения на 25%, тогда

1,08х - 100% z= 1,08х*125 = 1,35х

z - 125% 100

В итоге у нас получилось, что выпуск продукции равен 1,35;

Значит выпуск увеличился на 0,35 или на 35%

2 способ:

1) 1,00+0,08=1,08 (узнали выпуск продукции после первого увеличения)

2)1,00+0,25=1,25 (узнали выпуск продукции после второго увеличения)

3)1,08*1,25=1,35 (это выпуск продукции после двух увеличений)

4)1,35-1,00=0,35 (увеличения выпуска продукции после двух прибавок)

ОТВЕТ: выпуск продукции по сравнению с первоначальной вырос на 35%.

Задача 2:Вследствие инфляции цены выросли на 150%. Дума потребовала от правительства возвращение цен к прежнему уровню. Для этого цены должны быть уменьшены (на сколько процентов)?

Решение: Решим эту задачу с помощью пропорций.

Пусть: х - первоначальная цена

у - цена после повышения цен на 150%

х- 100% у = 250х; у = 2,5х (новая цена)

у- 250% 100

2,5х - 100% 100*х = 40%

х- ?% 2,5х

40% - составила первоначальная цена от инфляции, поэтому цены должны быть уменьшены на 60%

1) 100% - 40% = 60%

ОТВЕТ: цены должны быть уменьшены на 60%.

Задача 3: Тетрадь стоит 40 рублей. Какое наибольшее количество таких тетрадей можно купить на 650 рублей, после понижения на 15%?

Решение: Решим эту задачу пропорцией и по действиям.

Пусть: х - на сколько рублей понизилась цена тетрадей.

40 - 100% х = 40*0,15 = 6 (рублей)

х - 15% 100

1) 40 - 6 = 34 (руб.) стала стоить тетрадь

2) 650 * 34 = 19 (тетрадей) можно купить на 650 рублей

ОТВЕТ: 19 тетрадей можно купить на 650 рублей

Задача 4: Сколько граммов воды надо добавить к 50г раствора, содержащего 8% соли, чтобы получить 5% раствор?

Решение: Решим эту задачу уравнением.

Пусть: х - количество воды, которое надо добавить

(50+х) - новое количество раствора

50* 0,08 - количество соли в исходном растворе

0,05(50+х) количество соли в новом растворе

Так как количество соли от добавления не изменилось, то оно одинаково в обоих растворах :  и в исходном, и в новом. Получаем уравнение:

50*0,08 = 0,05(50+х)

50*8 = 5*(50+х)

400= 250+5х

-5х= -150

х = 30 (г.)

ОТВЕТ: 30 граммов воды надо добавить, чтобы получить 5% раствор.

Задача 5.Свежие грибы по массе содержат 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?

Решение: решим задачу с помощью таблицы и уравнения.

	%воды	Масса (кг)	% содержания сухого вещества	Масса сухого вещества
свежие	90%	22	10%	22*0,1=2,2
сухие	12%	х	88%	0,88х

Из таблицы видно, что:

0,88х = 2,2

х = 2,2 = 2,5кг

0,88

Ответ: 2,5 кг сухих грибов.

§3. Решение задач по формуле сложных процентов

Сложным процентом называется сумма дохода, которая образуется в результате инвестирования денег при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном периоде сама приносит доход. Сложные проценты - это проценты, полученные на начисленные проценты. Формула сложного процента - это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом начисления процентов.

х (1+ 0,01а)n - периодическое увеличение некоторой величины на одно и то же число процентов.

х(1+ 0,01а)n, где х - начальный вклад, сумма.

а -процент(ы) годовых 

n- время размещения вклада в банке

Но, мы можем и уменьшать цену, поэтому эту формулу можно записать и по- другому: х(1- 0,01а)n - периодическое уменьшение некоторой величины на одно и то же число процентов.

Пример: Представим, что вы положили 10 000 руб в банк под 10 % годовых.  Через год на вашем банковском счету будет лежать сумма  SUM = 10000 + 10000*10% = 11 000 руб. Ваша прибыль - 1000 рублей.

Вы решили оставить 11 000 руб. на второй год в банке под те же 10%. Через 2 года в банке накопится 11000 + 11000*10% = 12 100 руб. Прибыль за первый год (1000 рублей) прибавилась к основной сумме (10 000р) и на второй год уже сама генерировала новую прибыль. Тогда на 3-й год прибыль за 2-й год прибавится к основной сумме и будет сама генерировать новую прибыль. И так далее. Этот эффект и получил название сложный процент. Когда вся прибыль прибавляется к основной сумме и в дальнейшем уже сама производит новую прибыль.

Задача 6: Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 рублей на вклад, годовой доход по которому составляет 12%, и решил в течение шести лет не брать процентные начисления. Какая сумма будет лежать на счете через шесть лет?

Решим эту задачу по формуле сложных процентов

х (1 + 0,01а)n,

где х - первоначальный вклад.

а - процент годовых.

n - время размещения вклада в банке.

Применим эту формулу к нашей задаче

первоначальный вклад - 2000

процент годовых - 12

n - 6 лет, значит

2000(1 + 0,12)6 = 2000*1,126 = 2000*1,973823 = 3947,65

ОТВЕТ: через 6 лет на счете будет лежать сумма в виде 3947 руб. и 65 коп..

Задача 7:После двух последовательных снижений цен на одно и то же число процентов стоимость товара с 400 рублей снизилась до 324 рублей. На сколько процентов стоимость товара снижалась каждый раз?

Решим эту задачу по формуле сложных процентов - х (1-0,01а)n

Получим:

400*(1-0,01а)2=324

20(1 - 0,01а) = 18

1 - 0,01а = 0,9

а = 10

ОТВЕТ: стоимость товара каждый раз снижалась на 10%

Задача 8:По пенсионному вкладу банк выплачивает 12% годовых. По истечению каждого года эти проценты капитализируются, то есть начисленная сумма присоединяется к вкладу. На данный вид вклада был открыт счет на 80000 рублей, который не пополнялся и с которого не снимались деньги в течении двух лет. Какой доход был получен по истечении этого срока?

Решение: Эту задачу можно решить двумя способами:

1)по действиям

2)по формуле сложных процентов

Решение:

1)узнаем доход за первый год

80000*0.12=9600руб.

2)найдем сумму на счете после первого года

80000+ 9600= 89600руб.

3)определим доход за второй год

89600* 0,12= 10752 руб.

4)узнаем конечную сумму на счете

10752 + 89600= 100352руб.

5)найдем доход после двух лет

100352- 80000= 20352 руб.

ОТВЕТ: по истечении двух лет получился доход в размере 20352 руб.

Эту же задачу решим по формуле банковских процентов: х(1 + 0,01а)n

Пусть: х - 80000 - начальный вклад

а - 12% годовых

n - 2 года, получим:

80000(1+ 0,12)2 = 80000 * 1,122 = 100 352 руб.

Этим узнали конечную сумму на счете после двух лет. Теперь надо узнать какой доход был получен. Для этого из конечной суммы вычтем начальный вклад.

100352 - 80000 = 20 352руб.

ОТВЕТ: по истечении срока был получен доход в размере 29 352 руб.

Задача 9: Банк предлагает клиентам два вида вкладов. Первый «До востребования» со следующим порядком начисления процентов: каждые 6 месяцев счет увеличивается на 10% от суммы, имеющиеся на счету клиента в момент начисления. Второй вклад «номерной» с ежегодным начислением процентов по вкладу. Сколько процентов годовых должен начислять банк по второму вкладу, чтобы равные суммы, положенные клиентом на каждые из указанных счетов, через два года оказались снова равными?

Решение: Решим эту задачу уравнением, применяя форму банковских процентов.

Пусть: х - начальный вклад; тогда через 6 месяцев сумма на счете будет равна

х*х+0,1=х(1+0,1); через год сумма будет  х(1+0,1)+х(1+0,1)*0,1= х(1+0,1)2; Тогда через два года сумма будет равна х(1+0,1)4  Сумма вклада «Номерной»через два года, после двух начислений равна х(1+0,01х)2

Получим уравнение:

х(1+0,01х)2 = х(1+0,1)4

1+0,01х=(1+0,1)2

100+х = 1102

100 100

100+х = 12100

100

100+х=121

Х=21%

ОТВЕТ: банк должен начислять 21% годовых по «номерному» вкладу.

Задача 10: Для определения оптимального режима снижения цен социологи предложили фирме с первого января снижать цены на товар в двух магазинах двумя способами. В одном магазине - в начале каждого месяца (начиная с февраля) на 20%, в другом через каждые два месяца, в начале третьего (начиная с марта) на одно и тоже число процентов, причем такое, чтобы через полгода (первого июля) цены снова стали одинаковыми. На сколько процентов надо снижать ценны товара через каждые два месяца во втором магазине?

Решение: Решим эту задачу с помощью формулы сложных процентов: х(1+0,01а)n

Пусть: х - начальная цена, тогда, через месяц, после первого понижения, в первом магазине, цена на товар будет равна х(1-0,2) после второго понижения х(1-0,2)2; Тогда, через полгода (после шести понижений) цена будет равна х(1-0,2)4. Цена товара, во втором магазине после трех понижений наа% будет равна х(1-0,01а)2. Получаем уравнение:  х(1-0,01а)2= х(1-0,2)4

1 - а = (100- 20)2

100 1002

100 - а = 80

100 1002

100 - а = 64

а = 36%

ОТВЕТ: на 36% надо снижать цены во втором магазине.

Задача 11:В соответствии с договором фирма с целью компенсации потерь от инфляции была обязана в начале каждого квартала (3 месяца) повышать сотруднику зарплату на 2%. Однако с связи с финансовыми затруднениями она смогла повышать ему зарплату только раз в полгода (в начале следующего полугодия). На сколько % фирма должна повышать зарплату каждые полгода, чтобы первого января следующего года зарплата сотрудника была равна той, которую он получил бы в режиме повышения, предусмотренной договором?

Решение:  Для решения составим таблицу:

Через какое время повышается	на сколько % повышается	Какая зарплата будет
Через каждые 3 месяца	2%	х(1+0,02)4
Через каждые полгода	а%	х(1+0,01а)2

По таблице составим уравнение:

х(1+0,02)4 = х(1+0,01а)2

(1+0,02)2 = (1+0,01а)

1022 = 100+а

1002 100

а = 4,04%

ОТВЕТ: через каждый полгода зарплату сотрудникам надо поднимать на 4,04%.

Заключение

В ходе проделанной работы я узнала, что сложные проценты - это проценты, полученные на начисленные проценты. Формула сложного процента - это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом начисления процентов. Подробнее изучила правила нахождения процентов. Сделала подборку и решила задачи из ЕГЭ - 11 классов и ГИА - 9 классов. Выяснили, что задачи на проценты имеют широкое практическое применение в жизни человека.  В процессе выполнения работы я узнала много нового, думаю, что пригодится в учебе.

Список используемой литературы.

А.В. Шевкин «Решение текстовых задач» Москва «Русское слово» 2002 г.

 Банковское дело. Справочное пособие. Под ред. Ю. А. Бабичевой. - М.: экономика, 1994 г.

«Внеклассная работа по математике», Альхова З.Н., Макеева А.В., Саратов ОАО Издательство «Лицей»,2003.

.«Готовимся к ЕГЭ по математике», Семенко Е.А. и др., Краснодар, Просвещение-Юг, 2005.

Дорофеев Г.В., Седова Е.А. Процентные вычисления. М. Дрофа 2003.

Учебно-тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ. «Математика», Денищева Л.О., Гдазков Ю.А. и др., М: Интеллект- Центр.

Материал из Википедии — свободной энциклопедии www.wikipedia.ru

Отзыв

на исследовательскую работу по теме «Процентные расчеты», выполненную ученицей 9 «а» класса МБОУ «Аршанская средняя общеобразовательная школа им. П.М.Билдаева» Сороковиковой Екатериной .

Исследовательская работа по теме «Процентные расчеты» соответствует  основным требованиям к учебно-исследовательским работам учащихся основной школы.

За время работы над темой наблюдалось самостоятельность и активность автора в поиске  нужной информации, умения работать с источниками информации, электронными публикациями. В ходе исследования грамотно определила цели и задачи работы. Смогла провести анализ первоисточников и оформить результаты. Умение анализировать предлагаемый и самостоятельно выбранный материал, вычленять логические связи в предложенном материале, самостоятельно сравнивать явления, предметы, события, выделять общее и особенное,   способствовало достижению поставленной цели в учебно-исследовательской работе.

При работе использованы различные методы: наблюдение, сопоставление, анализ, обобщение.  В результате выполненной работы сделаны соответствующие выводы.

Автором, поставленные задачи выполнены в полном объеме, тема раскрыта, работа цели достигла.