Научно- исследовательский проект на тему: «Золотое сечение»

МБОУ « Средняя общеобразовательная школа №3 г. Йошкар-Олы»

Научно- исследовательский проект на тему:

«Золотое сечение»

                         Работу выполнили:

                                                               обучающаяся 9 класса Королева Анна и

                                                              обучающийся 10 класса Ершов Кирилл.

                                 Научные руководители:

                                                Шикерина Е.А. и Кирьянова О.Г.

Йошкар - Ола

2014

Содержание работы

1.     Введение……………………………………………………

2.     Цель и задачи……………………………………

3.     Основная часть…………………………………………………………

3.1  Красота и поиск совершенства в искусстве…………………………

3.2  О божественной пропорции………………………………………………

3.3  Золотое сечение в природе ………………………………………

3.4  Золотое сечение и архитектура…………………………….

4.     Заключение…………………………………………………

5.     Список используемой литературы……………………………

Введение

«В геометрии существуют два сокровища: теорема Пифагора и деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем».

                                                                                                    Иоганн Кеплер.

Можно ли выразить красоту с помощью формул и уравнений? Существует ли в мире единый стандарт прекрасного? Возможно ли измерить гармонию с помощью циркуля и линейки? Математика дает на все эти вопросы утвердительный ответ. Золотое сечение - ключ к пониманию секретов совершенства в природе и искусстве. Именно соблюдение «божественной пропорции» помогает художникам достигать эстетического идеала.

Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул, но, изучая математику, мы можем открыть некоторые слагаемые прекрасного.

То, что нас окружает, начиная с самых простых вещей и заканчивая самыми невероятными, не поддается расшифровке без математике. Теперь более чем когда-либо все в нашем мире основано на числах. Некоторые  из них имеют собственные имена, например, число пи (П), число е.

Среди всех этих замечательных чисел одно является особенно интересным: 1,6180339887... Оказывается, что это число очаровало намного больше блестящих умов, чем П и е вместе взятые. Список имен, данных этому числу, довольно длинен и показывает, с каким благоговением к нему относились: золотое число, трансцендентное сечение, божественное число, божественное сечение... Мы будем называть его золотым сечением. Обозначается оно греческой буквой Ф (фи) и играет в математике выдающуюся роль, обладая удивительными свойствами и неожиданными связями с творениями природы и человека. С древних времен золотая пропорция настолько тесно связана с гармонией между искусством и природой, что ее можно назвать "чудесной"

Одним из чудесных свойств золотого сечения является его неисчерпаемая способность порождать изысканные формы: от треугольников до двадцатигранных тел, называемых икосаэдрами. Несмотря на почетное имя, это число встречается в повседневных геометрических объектах, например, кредитная карта представляет собой, так называемый "золотой" прямоугольник, стороны которого находятся в "золотом" отношении."Золотые" прямоугольники повсеместно распространены, не говоря уже о спиралях и звездах. Все они тесно связаны с золотым сечением и часто встречаются в структуре зданий, мозаиках и в настольных играх.

Самым удивительным фактом является связь между золотым сечением и абстрактными идеями красоты и совершенства, которыми так увлечено человечество. Если отвлечься от творений рук человеческих и посмотреть на окружающую природы, то мы так же обнаружим золотое сечение. Развитие некоторых живых существ следует законам, установленных этим удивительным числом, даже фракталы - красивые структуры, недавно открытые математиками,- связаны с золотым сечением.

Что общего имеют такие, казалось бы, не связанные с друг другом природные явления, как расположение семян подсолнечника, элегантная спираль раковины улитки и форма Млечного Пути? Как бы это невероятно ни звучало, ответом на этот вопрос является просто число, известное на протяжение многих веков, которое постоянно появляется в различных творениях природы и искусства. Записать это число практически невозможно, не потому, что оно состоит из бесконечного ряда цифр, которые никогда не образуют повторяющуюся группу. Для записи золотого сечения нужно использовать математическую формулу:

Красота и поиск совершенства в искусстве

В 1876году немецкий экспериментальный психолог Густав Теодор Фехнер (1801-18870) провел исследование с людьми, которые не являлись экспертами в искусстве.

Он попросил их из нескольких прямоугольников, включая квадрат, выбрать тот, который больше всего приятен глазу. Подавляющее большинство выбрали прямоугольники с «золотым» отношением сторон или другие близкие варианты.

Фенхер так же провел тщательные исследования пропорций человеческого тела и пришел к выводу, что «объект считается красивым в отношении формы, если имеет такое же соотношение между меньшей и большей частью, как между большей частью и целым». Это и есть описание золотого сечения. Наука, наконец, подтвердила идею о том, что божественная пропорция обладает внутренней гармонией и красотой.

         Однако задолго до этого художники и архитекторы пришли к аналогичному выводу. Золотое сечение уже использовалось в Древней Греции, но его связь с искусством берет начало с эпохи Возрождения и развития направления научной мысли, изучающего творчество.

        

«О божественной пропорции»

         Лука Пачоли вырос в Италии 15 века. Именно он и Леонардо да Винчи связывали золотое сечение с искусством и представлениями о красоте. Почоли сделал это в книге «О божественной пропорции», написанной в конце 1498 года. Книга установила соотношения, которые должны быть соблюдены для достижения красоты как отражения геометрии. Книга содержала знаменитые рисунки 60 многогранников, сделанные рукой мастера Леонарда да Винчи, и рисунок «Витрувианский человек», иллюстрирующий Ф, который с тех пор цитировался бесчисленное количество раз.

             

Леонардо: золотое совершенство

         Леонардо да Винчи (1452-1519) является одним из гениальнейших людей в истории. Его достижения не ограничиваются одной сферой деятельности, а охватывают широкий круг дисциплин: математику, физику, химию, машиностроение, военную технику,  живопись, архитектуру и так далее. Уникальность Леонардо состоит в том, что он преуспел во всем, чем занимался, и хотя некоторые его открытия не были оценены при его жизни, рано или поздно все его достижения оказались полезными.

Витрувианский человек - рисунок, сделаный Леонардо Да Винчи примерно в 1490-92 годах, как иллюстрация для книги, посвященной трудам Витрувия. Рисунок сопровождается пояснительными надписями, в одном из его журналов.. На нем изображена фигура обнаженного мужчины в двух  наложенных одна на другую позициях: с разведенными в стороны руками .

Виртрувий вывел пропорции человеческой фигуры из простых наблюдений. Он утверждал, что рост человека равен размаху рук, и если мужчина, лежащий на спине, разведет в стороны руки и ноги, то его фигура будет вписана в окружность. Многие художники пытались изобразить на одной иллюстрации эти формы человеческой фигуры, вписанной в квадрат и в круг. Леонардо нашел оригинальное и изящное решение, основанное на том, что квадрат и круг имеют разные центры. Гениталии человека являются центром квадрата, а пупок- центром круга. Идеальные пропорции человеческого тела на таком изображении соответствуют отношению между стороной квадрата и радиусом круга: золотому сечению. Так благодаря золотому сечению геометрия соединила искусство и красоту.

Портрет Моны Лизы так же построен на золотом сечении. Ее портрет долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника.

Золотое сечение в природе.

В биологических исследованиях 70-90 гг. показано, что, начиная с вирусов и растений и кончая организмом человека, всюду выявляется золотая пропорция, характеризующая соразмерность и гармоничность их строения. Золотое сечение признано универсальным законом живых систем. Можно отметить два вида проявлений золотого сечения в живой природе: иррациональные отношения по Пифагору - 1.62 и целочисленные, дискретные - по Фибоначчи. Для всего животного мира характерны симметрия форм и наличие парных органов, членение на три части тела (голова, грудь, брюшко), членение конечностей на 3 и 5 частей, а брюшка - на 3. Это является характерной чертой морфологии насекомых

 Панцирь современных крабов состоит из 13 пластин, а панцирь древних крабов содержал 8 пластин.

У многих бабочек соотношение размеров грудной и брюшной части тела отвечает золотой пропорции. Сложив крылья, ночная бабочка образует правильный равносторонний треугольник. Но стоит развести крылья, и вы увидите тот же принцип членения тела на 2,3,5,8.

Часто раковины моллюсков имеют форму «золотой» спирали. Раковина увеличивается с добавление внутренних камер, каждая из которых больше, чем предыдущая, но форма раковины остается прежней. Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали.

Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.

Филлотаксис и золотое сечение

Филлотаксис- слово греческого происхождения, состоящее из phyllon - «лист» - и taxis- «расположение в порядке». Слово относится к разделу ботаники, изучающему расположение листьев на стебле растения. А это регулируется геометрическими и числовыми законами. Изучение филлотаксиса привело к открытию некоторых удивительных закономерностей роста природных систем, которые описываются точным математическим языком.

Листья растений не растут ровно друг над другом. Если бы такое происходило, то одни листья скрывали бы другие от необходимых им солнечных лучей. Поэтому листья должны расти в определенном порядке.

Леонардо да Винчи был первым, кто сформулировал основные принципы. Великий гений определил, что листья расположены на стебле по спирали, группами по пять, следовательно, количество листьев за несколько витков кратно пяти. Через некоторое время Кеплер заметил, что пятиугольник часто встречается в цветах с пятью лепестками и во фруктах, где семена расположены в форме звезды, например, в яблоках.

По-настоящему сложный вопрос заключается в том, откуда растения «знают», что их листья должны быть в соответствии с последовательностью Фибоначчи? Дело в том, что стебель растения имеет коническую форму. Листья на стебле растут радиально, если смотреть на растение сверху. Браве заметил, что каждый следующий лист повернут примерно на 137,5° от предыдущего.

 Золотое сечение и архитектура

Золотое сечение встречается в архитектуре со времен древних египтян, хотя мы не можем с уверенностью сказать, что такие пропорции использовались умышленно. Триумфальные арки Древнего Рима также содержат золотое сечение, как и ликийские гробницы, и храмы древнего города Миры.

  

В дизайне одежды золотое сечение также используется, но несколько необычным образом. Одна американская фирма по производству джинсов применила Ф в покрое переднего кармана, в пропорциях заднего кармана, в отношении между боковым швом и шаговым швом брюк.

      

Еще одно проявление золотого сечения относится к сфере спорта. Большинство футбольных полей являются прямоугольниками с форматным отношением, приближающимся к 1,52.

Заключение.

В своей работе мы отразили основные моменты принципа золотого сечения в самых разных областях: живопись, архитектура, дизайн и сама природа. Знакомство с принципами «золотого сечения», помогает видеть гармонию и целесообразность окружающих нас творений природы и человека.

 Многие художники и архитекторы добивались успеха с помощью данного принципа в своих художественных произведениях, картинах.

Таким образом, мы добились поставленной цели, вследствие чего мы поняли, что красота мира подчиняется математическим законам, в том числе принципу золотого сечения.

Мир фракталов глубок и сложен. Роль Ф во фрактальных структурах вовсе не ограничивается тем, что мы видели. Но самое интересное заключается в том, что это древнее и прославленное число, появившееся в математике более 20 веков назад, до сих пор встречается в новых областях современной науки. Число Ф не является отслужившей свое игрушкой, оно и сегодня продолжает играть важную роль.

  Заключение.

Иоанну Кеплеру, жившему пять веков назад, принадлежит высказывание: "Геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое - это теорема Пифагора, второе - деления отрезка в крайнем и среднем отношении"

 Необходимо сказать, что золотое сечение имеет большое применение в нашей жизни.

Благодаря золотому сечению был открыт пояс астероидов между Марсом и Юпитером – по пропорции там должна находиться ещё одна планета.

На летательных аппаратах с электромагнитными источниками энергии создаются прямоугольные ячейки с пропорцией золотого сечения.

Итак, можно сделать выводы:

во-первых, золотое сечение - это один из основных основополагающих принципов природы;

во-вторых, человеческое представление о красивом явно сформировалось под влиянием того, какой порядок и гармонию человек видит в природе.

Список литературы

1. Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии: гуманитарно-математический курс. – М.: Школа-пресс, 1998.

2. Васюткинский Н.Н. Золотая пропорция. – М., 1990.

3. Волошинов А.В. Математика и искусство. – М., 1992.

4. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. – М., 1994.

5. Кованцов Н.И. Математика и романтика. – Киев, 1976.

6. МСЭ // под редакцией Б.А. Введенского. – М. 1959.

7. Пидоу Д. Геометрия и искусство. – М.: Мир, 1989.

Цель и задачи

Цель:

Целью реферата является следующее: воспользовавшись различной литературой по геомет­рии, по черчению, различными справочными материалами для бо­лее подробного изучения темы «Золотое сечение», дать наиболее полное представление о данной теме; рассмотреть применение «зо­лотого сечения».

^ Задачи реферата:

1. 
   Ввести понятие «золотое сечение» (немного об истории). Алгебраическое нахождение «золотого сечения», геометрическое построение «золотого сечения».
2. 
   Рассмотреть применение «золотого сечения» в искусстве Древней Греции.
3. 
   Рассмотрим золотую пропорцию и связанные с нею отно­шения.
4. 
   Продемонстрировать и разобрать понятие золотой спирали в живой природе.
5. 
   Показать применение «золотого сечения» в эпоху Возрожде­ния.
6. 
   Частично изучив архитектуру городов, указать наибо­лее известные здания с применением золотого сечения.

Я занялась подробным изучением темы «Золотое сечение» после того, как однажды на уроках геометрии услышала о широком применении «золотого сечения» в архитектуре. Я рассмотрела раз­личные энциклопедические сведения, разработки ученых, зани­мавшихся темой «Золотое сечение». Для нахождения материала для моего проекта использовала энциклопедические справочники по математике, учебники по архитектуре, учебные пособия.

Список используемой литературы

     1.  Васюткинский Н.Н. Золотая пропорция. – М., 1990

2.     Гика М. «Эстетика пропорций в природе и искусстве» М: Издательство Всесоюзной академии архитектуры, 1986

3.     Фернандо Корбалан. «Золотое сечение. Математический язык красоты». Перевод с англ. - М: Де Агостини, 2014