Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Нестандартные задачи по математике с решениями. 7-9 класс. Часть 1.

Нестандартные задачи по математике с решениями. 7-9 класс. Часть 1.



Осталось всего 4 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


Интерес к математике и математические способности учащихся проявляются в довольно раннем возрасте. Значительную роль в их развитии играет систематическое решение задач, которые могли бы заинтересовать юных математиков и способствовали бы стремлению к самостоятельным исследованиям.

Именно такие задачи содержит данный сборник. Он предназначен для внеклассных занятий с учащимися 7–9 классов.

В сборнике приведены подробные решения 20 нестандартных задач. Многие из них предлагались на математических олимпиадах.

Данный сборник может служить пособием для подготовки учащихся к олимпиадам по математике.


Задача № 1

Доказать, что если из трехзначного числа вычесть трехзначное число, записанное теми же числами, что и первое, но в обратном порядке, то модуль полученной разности будет делится на 9 и 11.

Решение:

Пусть 100a + 10b + c – трехзначное число, тогда 100с +10b + a – трехзначное число, записанное теми же числами, что и первое, но в обратном порядке.

100a + 10b + c – 100с –10b – a = 99а – 99с = 99(а–с)

|99(а–с)| – делится на 9,

|99(а–с)| – делится на 11,

т.к.очевидно, что 99 будет делиться на 9 и на 11.

Задача № 2

Если между цифрами двузначного числа x вписать это же число, то полученное четырехзначное число будет в 66 раз больше первоначального двузначного. Найти х.

Решение:

Пусть 100a + b = х – данное двузначное число, тогда 1000а +100а + 10b + b – полученное четырехзначное число, что по условию равно (10а + b)/66. Имеем уравнение:

1000а +100а + 10b + b = (10а + b)/66;

1100а + 11b = 660а + 66b;

440а = 55b;

8а = b;

а 0, т.к. а – первая цифра двузначного числа;

а = 1, b = 8, следовательно, x = 18.

а = 2, b = 16, что невозможно, т.к. b – вторая цифра двузначного числа.

Итак, искомое число 18.

Задача № 3

Доказать, что число 333555 + 555333 делится на 37.

Решение:

hello_html_7f2787b3.gif. Очевидно, что hello_html_6ab02f89.gif делится на 37.

Задача № 4

Доказать, что число 1111 + 1212 + 1313 делится на 10.

Решение:

Число 1111 оканчивается единицей. Выясним, какой цифрой оканчивается число 1212.

1AutoShape 421 = …2

122 = …4

123 = …8

124 = …6

125 = …2

126 = …4

Отметим, что последняя цифра с возрастанием меняется периодически через 4 последовательных показателя. Т.к. 12 : 4 = 3 раза повторится период, то 1212 оканчивается цифрой 6. Теперь выясним, какой цифрой оканчивается число 1313


1AutoShape 531 = …3

132 = …9

133 = …7

134 = …1

135 = …3

136 = …9

Аналогично рассуждая, получаем: 1313 оканчивается цифрой 3. Складываем последние цифры: 1 + 6 + 3 = 10, значит, число 1111 + 1212 + 1313 оканчивается нулем, следовательно, 1111 + 1212 + 1313 делится на 10.

Задача № 5

Доказать, что число 1015 + 1017 – 74 делится на 9.

Решение:

1015 + 1017 – 74 = 1015 – 115 + 1017 – 117 + 2 – 74 = (10 – 1) (…) + (10 – 1) (…) – 72 = 9 (…) +

+9 (…) – 9hello_html_39a778b7.gif8 = 9(… + … – 8) – это число, очевидно, делится на 9.

Задача № 6

Доказать, что при любом целом hello_html_m357ba2ce.gif число hello_html_m214cdf06.gif делится на 30.

Решение:

hello_html_m3b132639.gif. Чтобы произведение делилось на 30, нужно, чтобы оно делилось на 5 и на 6. hello_html_m39dc66a7.gif – произведение трех последовательных чисел, поэтому оно делится на hello_html_m51ee1818.gif. Итак, чтобы доказать, что hello_html_m214cdf06.gif делится на 30, осталось доказать, что оно делится на 5.

Если hello_html_mb6dad07.gif – четное, то его квадрат оканчивается на 4 или 6.

Если hello_html_1f36ce8e.gifоканчивается на 4, то hello_html_m35c537ae.gif оканчивается на 5.

Если hello_html_1f36ce8e.gifоканчивается на 6, то hello_html_6d89754c.gif оканчивается на 5.

Если hello_html_258219fd.gif– нечетное, то hello_html_1f36ce8e.gif оканчивается на 1, или на 9, или на 5.

Если hello_html_1f36ce8e.gifоканчивается на 9, то hello_html_m35c537ae.gif оканчивается на 0.

Если hello_html_1f36ce8e.gifоканчивается на 1, то hello_html_6d89754c.gif оканчивается на 0.

Если hello_html_1f36ce8e.gifоканчивается на 5, то hello_html_m357ba2ce.gif оканчивается на 5.

Значит, hello_html_m214cdf06.gif делится на 30.

Задача № 7

Доказать, что при любом целом hello_html_m357ba2ce.gif число hello_html_95e650.gif делится на 120.

Решение:

hello_html_m22147f8.gifпроизведение пяти последовательных чисел.

120 = hello_html_63b43184.gif. Значит, hello_html_95e650.gif делится на hello_html_2f4c06cc.gif120.

Задача № 8

Найти пятизначное число, если известно, что при умножении этого числа на 9 получается пятизначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.

Решение:

hello_html_24429066.gifданное пятизначное число.

При умножении на 9 получим: hello_html_3a111d22.gif. Т.к. числа пятизначные, то hello_html_35e2c967.gif При умножении на 9 число остается пятизначным, поэтому hello_html_m495e53c6.gif Тогда hello_html_16d62df7.gif значит hello_html_19335472.gif. После умножения на 9 получаем

hello_html_153cb748.gif

hello_html_m43477d30.gif

hello_html_m8eaa2f0.gif

hello_html_540ff3bc.gif

Т.к. hello_html_1e84a759.gif – однозначные числа, то даже если hello_html_7c90c489.gif, то правая часть последнего равенства равна hello_html_52d5fcd7.gif поэтому чтобы выполнялось равенство нужно взять hello_html_49c3aecf.gif. Равенство примет вид:

hello_html_243a4893.gif

hello_html_425a4e73.gif

91 не делится на 8, поэтому hello_html_m1842520a.gif делится на 8, значит, hello_html_m4e9efb41.gif. Получаем:

hello_html_m6f49de81.gif

hello_html_4498b187.gif

hello_html_m7ccacc79.gif

hello_html_7e49daab.gif

Т.о. hello_html_m52d5d8aa.gif

Задача № 9

Доказать, что если hello_html_m6dc3bc4c.gif – целые числа такие, что число hello_html_790fb2f8.gif делится на 17, то число hello_html_m5a8aa1a2.gif также делится на 17.

Решение:

hello_html_22812b57.gif

По условию hello_html_790fb2f8.gif делится на 17, значит hello_html_m32b919e5.gif делится на 17. hello_html_m7da47111.gif делится на 17 очевидно, следовательно, hello_html_m4d74e19a.gif делится на 17, т.е. и hello_html_m5a8aa1a2.gif также делится на 17.

Задача № 10

Доказать, что сумма квадратов пяти последовательных целых чисел не является квадратом целого числа.

Решение:

Пусть hello_html_m357ba2ce.gif, hello_html_m357ba2ce.gif +1, hello_html_m357ba2ce.gif +2, hello_html_m357ba2ce.gif +3, hello_html_m357ba2ce.gif +4– пять последовательных целых чисел, тогда

hello_html_m165e3bf4.gif

hello_html_m7e4c05e2.gif

Дискриминант этого hello_html_38cba43a.gif не равен 0, а значит, что 5hello_html_421d177d.gif не равно квадрату какого–то целого числа.

Задача № 11

Доказать, что если p hello_html_18ffb855.gif простое число, большее трех, то число hello_html_m1bfbaced.gif делится на 24.

Решение:

Пусть p–простое число, hello_html_m553e73f.gif . Еслиhello_html_2f04ff60.gif делится на 24, то hello_html_m6b664476.gif, где khello_html_m3279edbb.gif.

hello_html_4b1b7f36.gif

hello_html_m703cffc5.gif

По условию рhello_html_m5e32c600.gif и p – простое число, поэтому р – нечетное. Тогда рhello_html_18ffb855.gif1 и р+1 – четные последовательные числа, значит, рhello_html_18ffb855.gif1 делится на 2, а р+1 делится на 4, т.е. hello_html_m73ac7c95.gif делится на 8. Так как р hello_html_18ffb855.gif простое число , то оно не делится на 3, т.е. р=3k+1 или p=3k+2.

Если p=3k+1, то phello_html_2a0f5104.gif1=3k делится на 3 и тогда hello_html_mb545306.gif делится на 3 hello_html_2ec2fa81.gif 8=24

Если же p=3k+2, тогда p+1=3k+3 делится на 3 и тогда hello_html_m73ac7c95.gif делится на 3hello_html_2ec2fa81.gif 8=24 , что и требовалось доказать.

Задача № 12

Доказать, что если p hello_html_18ffb855.gif простое число и phello_html_3762ddc2.gif5, то остаток от деления числа hello_html_629b3a0f.gif на 12 равен 1.

Решение:

По условию p – простое и phello_html_42b05cc2.gif . Чтобы остаток от деления hello_html_629b3a0f.gif на 12 был равен 1, надо чтобы hello_html_m9524e51.gif, где hello_html_1d038024.gif, т.е.hello_html_3b3b51db.gif – таким образом надо доказать, что hello_html_m1bfbaced.gif делится на 12.

hello_html_m4db76407.gifр – простое, не меньше чем 5,поэтому p – нечетное, тогда p – 1 и p + 1 четные последовательные числа, поэтому одно из них делится на 2, другое на 4. Осталось доказать, что hello_html_m1bfbaced.gif делится на 3.

р – простое число, значит на 3 не делится, т.е. оно имеет вид p=3n+1 или p=3n+2, где nhello_html_m54dcaf3c.gif. Если p=3n+1, тогда phello_html_18ffb855.gif1=3n – делится на 3, значит и hello_html_33699094.gifделится на 3.

Если же p=3n+2, то p+1=3n+3 делится на 3. Это значит, что hello_html_m1bfbaced.gif кратно 12: hello_html_5612b6c4.gif.

hello_html_m9524e51.gif, т.е. остаток от деления hello_html_629b3a0f.gif на 12 равен 1.

Задача № 13

Сколькими нулями оканчивается число, полученное при перемножении всех чисел от 1 до 100?

Решение:

Среди чисел от 1 до 100 содержится десять чисел, оканчивающихся нулями. Это 10, 20, 30, …, 90, 100. Произведение этих чисел оканчивается одиннадцатью нулями. Кроме того, среди чисел от 1 до 100 содержатся числа, оканчивающихся пятеркой hello_html_18ffb855.gif это 5, 15, 25, 35,…, 85, 95. Их десять. Каждое из этих чисел при умножении на четное число дает число, оканчивающееся нулем. Итак, еще 10 нулей. Кроме того, числа 25=5hello_html_59b18a8e.gif, 75=5hello_html_m1d64237d.gif и 50=5hello_html_m1364663f.gif, имея в разложении еще по пятерке, при умножении на четное число дадут еще три числа, окачивающихся нулями. Значит, произведение всех чисел то 1 до 100 окачиваются 11+10+3=24 нулями.

Задача № 14

Доказать, что если hello_html_64825b51.gif – корни квадратного уравнения hello_html_m1bbe3844.gif, где rhello_html_m46b0f214.gif0, то выполняется неравенство hello_html_5a918a1f.gif

Решение:

hello_html_4d1eed97.gif

По теореме hello_html_m56292900.gif

hello_html_7381228.gifпри rhello_html_m298f5bb9.gif, что и требовалось доказать.

Задача № 15

Найти все значения r, для которых при действительных значениях x выполняется неравенство hello_html_48d2fdbf.gif

Решение:

Данное неравенство будет выполняться при всех действительных значениях х, если hello_html_29b8ec87.gif

D=hello_html_md47d556.gif

Решаем систему неравенств:

hello_html_m2b2c666.gif

hello_html_m67505748.gif

hello_html_2c53b681.gif

hello_html_63022863.gif

hello_html_5eb034f.gif.

Если же r=1, неравенство принимает вид hello_html_m1dc75989.gif, т.е. hello_html_33a8995d.gif– верно.

Ответ: hello_html_4394683.gif

Задача № 16

Доказать, что при всех действительных значениях x справедливо неравенство:

hello_html_m531bd4cc.gif

Решение:

Данное неравенство равносильно системе неравенствhello_html_mf2c1.gif

Так как hello_html_m38e91d1d.gif при любом x, то имеем:

hello_html_5a4a1397.gif

hello_html_m567912d8.gif

hello_html_m39261997.gif

hello_html_38602c.gif

Оба неравенства справедливы при всех действительных значениях х. Значит, исходное неравенство справедливо при hello_html_64741ace.gif

Задача № 17

Доказать неравенство hello_html_m1fce1f45.gif

Решение:

hello_html_m3ed59688.gif=

hello_html_5ef36cb1.gif

hello_html_72790fc1.gif

Задача № 18

Доказать неравенство hello_html_2543dd5d.gif

Решение:

hello_html_m11336086.gif

hello_html_2aa3ec52.gif

hello_html_m1652b433.gif

Задача № 19

Доказать равенство hello_html_174de0b5.gif

Решение:

hello_html_75ea6a50.gif

hello_html_fbe011.gif

hello_html_5726131e.gif

hello_html_4f7560c4.gif

hello_html_2ab4450d.gif

Задача № 20

Доказать равенствоhello_html_m36f15852.gif

Решение:

hello_html_21cdb77e.gif

hello_html_m230147af.gif

hello_html_m19a916d.gif

hello_html_30e01222.gif

hello_html_m36d37226.gif

hello_html_65911c62.gif

hello_html_m37c94d25.gif






57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 12.10.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров67
Номер материала ДБ-255340
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх