Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Научные работы / ОБРАТНАЯ КОЭФФИЦИЕНТНАЯ ЗАДАЧА ПЕРЕНОСА ВЕЩЕ-СТВА В ДВУХЗОННОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

ОБРАТНАЯ КОЭФФИЦИЕНТНАЯ ЗАДАЧА ПЕРЕНОСА ВЕЩЕ-СТВА В ДВУХЗОННОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

ОБРАТНАЯ КОЭФФИЦИЕНТНАЯ ЗАДАЧА ПЕРЕНОСА ВЕЩЕСТВА В ДВУХЗОННОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ



Исследованию процессов переноса вещества в макроскопически неоднородных пористых средах посвящен ряд работ [1-3]. В [3] рассмотрена задача переноса вещества в цилиндрической пористой среде с цилиндрической макропорой в центре. Проанализирован перенос вещества для двух случаев: на основе диффузионного уравнения и кинетического уравнения массопереноса. Подобрано такое значение коэффициента массопереноса, для которого оба подхода дают близкие результаты.

В данной работе для определения коэффициента массопереноса вещества в кинетическом уравнении используется более строгий подход – он определяется как решение соответствующей обратной задачи.

Объектом исследования является цилиндрическая область радиуса hello_html_64948911.gif с относительно высокими фильтрационно-емкостными свойствами и окружающая цилиндрическая область с внешним радиусом hello_html_m2b0044f9.gif, имеющая относительно низкие фильтрационно-емкостные свойства.

Задача переноса вещества при использовании дифференциального подхода ставится следующим образом:

hello_html_m257a1191.gif, hello_html_200c11bb.gif, (1)

, (2)

hello_html_43e7b54.gif, (4)

hello_html_m3230b792.gif, (6)

hello_html_m2903759d.gif, (8)

hello_html_337f3a96.gif, hello_html_m59f40d37.gif, (3)

hello_html_31cf0686.gif, (5)

hello_html_m1dd48d16.gif, (7)

hello_html_c6eab41.gifилиhello_html_m471959b4.gif, hello_html_2f9ae978.gif. (9)

Задача (1) − (9) решена численно с применением метода конечных разностей [4] и определены поля hello_html_3736428d.gif, hello_html_m5020ecc3.gif, hello_html_9c9a598.gif. Для различных hello_html_2fbcb5a4.gif, hello_html_m7d8717ca.gif произведены расчеты.

В кинетическом подходе вместо (2), (3) используется кинетическое уравнение массопереноса

hello_html_21012ce4.gif, hello_html_m4cb2e2b3.gif. (10)

Для задачи (1), (10) достаточны условия (6),(8),(9) и

hello_html_m24e2e045.gif. (11)

Коэффициент hello_html_m9c62347.gif определяются методом идентификации[5]. Будем искать hello_html_m9c62347.gif из условия минимума функционала

hello_html_7ab6b5b9.gif (12)

Условие стационарности функционала (12) будет иметь вид

hello_html_m1ff310a0.gif (13)

где hello_html_73ab6e3d.gif является производной от функции состояния hello_html_m66274666.gif по параметру hello_html_m9c62347.gif, т.е. hello_html_57767105.gif

Разложим в ряд функцию hello_html_m66274666.gif в окрестности hello_html_m722ef109.gif с точностью до членов второго порядка

hello_html_c7e305d.gif (14)

Для сокращения записи здесь и далее считается, что верхний индекс hello_html_m17a68cc4.gif над обозначениями функций означает, что они вычисляются при значении hello_html_4d1ceab9.gif.

Подставляя разложение (14) в (13) получим формулу для определения hello_html_m34cf68a5.gif

hello_html_m6a766221.gif (15)

Чтобы получить уравнение для функции hello_html_m521c3d9d.gif проведем линеаризацию уравнения (10) относительно решения на нижнем итерационном слое.

Дифференцируем уравнения (1) и (10) по hello_html_m9c62347.gif и получим следующую систему уравнений

hello_html_m25083a08.gif (16)

hello_html_4cc6eb87.gif. (17)

Из уравнений (1), (10), (16), (17) при hello_html_66fe56a5.gifполучаем следующую систему уравнений

hello_html_m11bae502.gif (18)

hello_html_m7f81c00e.gif, (19)

hello_html_3447b108.gif (20)

hello_html_7cf15eb7.gif. (21)

Численную реализацию изложенного метода рассмотрим на примере определение параметра hello_html_2a103b01.gif в уравнения (1) и (3) с условиями (4)-(9).

Сначала численно решаем уравнения (1), (3) с условиями (4)-(9) и определяем решения в точках hello_html_45437bfa.gif. Затем используем в качества «данных измерений» hello_html_m27180355.gif где hello_html_19315568.gif–дискретное время, для которого определено решение hello_html_m40ede6fa.gif. Это время выбирается из временного слоя сетки, используемого в дальнейшем для разностного решения задачи. Величины hello_html_m2be83aba.gif вычислялись в трех точках hello_html_m6a2a5d6e.gifhello_html_5c732056.gif , hello_html_m638c572e.gif для различных hello_html_19315568.gif. Уравнения (18), (19) решаются с условиями (6), (8), (9) и (11). Чтобы получить начальные и граничные условия для уравнений (20), (21) дифференцируем по hello_html_2a103b01.gif условия (6), (8), (9) и (11)

hello_html_m24602e06.gifhello_html_323de85b.gifhello_html_ccc537c.gif (22)

hello_html_m2e633128.gif. (23)

Численный алгоритм нахождения hello_html_2a103b01.gif можно построить так: а) задаем некоторое начальное приближение hello_html_m26f17e8c.gif(полагаем s=0); б) решаем систему (18)-(21) с условиями (6), (8), (9), (11), (22), (23) и определяем функции hello_html_m4eff16a.gif , hello_html_5d908bff.gif, hello_html_1d7e231d.gif, hello_html_m49b2c4c3.gif; в) вычисляем (12) и (15); г) пологая hello_html_2034f48e.gif повторяем этапы б), в) до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность.

В качестве критерия окончания итерационного процесса может быть использовано одно из неравенств

hello_html_409d374.gifhello_html_me24f051.gifhello_html_42245978.gifили их совокупность.

В расчетах использованы следующие исходные данные:hello_html_m22327809.gifм2/с, hello_html_5a887a55.gifм2/с, hello_html_m16fffd3c.gifм/с, hello_html_529d6edd.gif, hello_html_5d90e375.gif, hello_html_m7b41d61f.gif,hello_html_4babd85.gifм,hello_html_3c73ba19.gifм. Концентрация вещества в характерных точках пласта hello_html_2466df94.gifявляется известной функцией времени hello_html_75de94e3.gif (Рис.1.а)).

Результаты расчетов по определению коэффициента hello_html_2a103b01.gif при различных нулевых приближениях представлены на Рис.1.б). Из рис.1.б) видно, что при различных нулевых приближениях hello_html_m26f17e8c.gif коэффициент hello_html_2a103b01.gifвосстанавливается за 3 – 16 итераций. Из решения обратной задачи получено hello_html_m6799d334.gif с-1. Затем, принимая это значение hello_html_2a103b01.gif решена прямая задача с использованием кинетического подхода. Сравнение результатов расчетов кинетического и диффузионного подходов показывает, что оба подхода дают близкое результаты.


hello_html_m4c09dd0.pnghello_html_69fc9f10.png

а) б)

Рис. 1. а) График функцииhello_html_m254f34c3.gif б) Востановление значения hello_html_2a103b01.gif при для hello_html_3c7cdcf.gif(hello_html_m2c2f4fae.gif), 8.0(– – –), 9.0(hello_html_m560a61f3.gif), 10.0(hello_html_55c04d13.gif) с-1


Литература


  1. Van Genuchten M.Th. and Wierenga P.J., Mass Transfer Studies in Sorbing Porous Media I. Analytical Solution// Soil Science Society of America Journal, 1976, Vol 40, №4, 473-480.

  2. Van GenuchtenM.Th., Tang D.H. and Guennelon R., Some Exact Solutions for Solute Transport Through Soils Containing Large Cylindrical Macropores // Water Recourses Research. 1984. Vol. 20, № 3. Pp. 335-346.

  3. ХўжаёровБ.Х., МахмудовЖ.М., СулаймоновФ.У., Задача переноса вещества в цилиндрической среде с цилиндрической макропорой// ДАН РУз, 2010. №6.С.30-33.

  4. Самарский А. А. Теория разностных схем. – М.: Наука, 1977. – 656 с.

  5. Бабе Г.Д., Бондарев Э.А., Воеводин А.Ф., Каниболотский М.А. Идентификация моделей гидравлики. Новосибирск: Наука, 1980. – 161 с.

Автор
Дата добавления 29.06.2016
Раздел Математика
Подраздел Научные работы
Просмотров25
Номер материала ДБ-134934
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх