ОБРАТНАЯ КОЭФФИЦИЕНТНАЯ ЗАДАЧА ПЕРЕНОСА ВЕЩЕ-СТВА В ДВУХЗОННОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

ОБРАТНАЯ КОЭФФИЦИЕНТНАЯ ЗАДАЧА ПЕРЕНОСА ВЕЩЕСТВА В ДВУХЗОННОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

Исследованию процессов переноса вещества в макроскопически неоднородных пористых средах посвящен ряд работ [1-3]. В [3] рассмотрена задача переноса вещества в цилиндрической пористой  среде с цилиндрической  макропорой в центре. Проанализирован перенос вещества для  двух случаев: на основе диффузионного уравнения и кинетического уравнения массопереноса. Подобрано такое значение коэффициента массопереноса, для которого оба подхода дают близкие результаты.

         В данной работе для определения коэффициента массопереноса вещества в кинетическом уравнении используется более строгий подход – он определяется как решение соответствующей обратной задачи. 

         Объектом исследования является цилиндрическая область радиуса с относительно высокими фильтрационно-емкостными свойствами и окружающая цилиндрическая область с внешним радиусом , имеющая относительно низкие фильтрационно-емкостные свойства.

Задача переноса вещества при использовании дифференциального подхода ставится следующим образом:

,   ,                                        (1)

,         (2) ,                     (4) ,                                 (6) ,                             (8)

, ,           (3) ,                                     (5) ,                                        (7)

 или, .                                          (9)

Задача (1) − (9) решена численно с применением метода конечных разностей [4] и определены поля , , . Для различных ,  произведены расчеты.

В кинетическом подходе вместо (2), (3) используется кинетическое уравнение массопереноса

, .                                   (10)

Для задачи (1), (10) достаточны условия (6),(8),(9)  и

.                                                  (11)

Коэффициент  определяются методом идентификации[5]. Будем искать  из условия минимума функционала

                                   (12)

Условие стационарности функционала (12) будет иметь вид

                        (13)

где  является производной от функции состояния  по параметру , т.е.  

Разложим в ряд функцию  в окрестности  с точностью до членов второго порядка

                              (14)

Для сокращения записи здесь и далее считается, что верхний индекс  над обозначениями функций означает, что они вычисляются при значении .

Подставляя разложение (14) в (13) получим формулу для определения  

                (15)

Чтобы получить уравнение для функции  проведем линеаризацию уравнения (10) относительно решения на нижнем итерационном слое.

Дифференцируем уравнения (1) и (10) по  и получим следующую систему уравнений 

                       (16)

.                             (17)

Из уравнений (1), (10), (16), (17) при  получаем следующую систему уравнений

                           (18)

,                                            (19)

                           (20)

.                                  (21)

Численную реализацию изложенного метода рассмотрим на примере определение параметра  в уравнения (1) и (3) с условиями (4)-(9).

Сначала численно решаем уравнения (1), (3) с условиями (4)-(9) и определяем решения в точках . Затем используем в качества «данных измерений»  где –дискретное время, для которого определено решение . Это время выбирается из временного слоя сетки, используемого в дальнейшем для разностного решения задачи. Величины  вычислялись в трех точках  ,  для различных . Уравнения (18), (19) решаются с условиями (6), (8), (9) и (11). Чтобы получить начальные и граничные условия для уравнений (20), (21) дифференцируем по  условия (6), (8), (9) и (11)

                          (22)

.                                               (23)

Численный алгоритм нахождения  можно построить так: а) задаем некоторое начальное приближение (полагаем s=0); б) решаем систему (18)-(21) с условиями (6), (8), (9), (11), (22), (23) и определяем функции  , , , ; в) вычисляем (12) и (15); г) пологая  повторяем этапы б), в) до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность.

В качестве критерия окончания итерационного процесса может быть использовано одно из неравенств

 или их совокупность.

В расчетах использованы следующие исходные данные:м²/с, м²/с,  м/с, , , ,м,м. Концентрация вещества в характерных точках пласта является известной функцией времени            (Рис.1.а)).

Результаты расчетов по определению коэффициента  при различных нулевых приближениях представлены на Рис.1.б). Из рис.1.б) видно, что при различных нулевых приближениях  коэффициент восстанавливается за 3 – 16 итераций. Из решения обратной задачи получено  с^-1. Затем, принимая это значение  решена прямая задача с использованием кинетического подхода. Сравнение результатов расчетов кинетического и диффузионного подходов показывает, что оба подхода дают близкое результаты.    

  

а)                                                                  б)

Рис. 1. а) График функции б) Востановление значения  при для (), 8.0(– – –), 9.0(), 10.0() с^-1

Литература

1.     Van Genuchten M.Th. and Wierenga P.J., Mass Transfer Studies in Sorbing Porous Media  I. Analytical Solution// Soil Science Society of America Journal, 1976, Vol 40, №4, 473-480.

2.     Van GenuchtenM.Th., Tang D.H. and Guennelon R., Some Exact Solutions for Solute Transport Through Soils Containing Large Cylindrical Macropores // Water Recourses  Research. 1984. Vol. 20, № 3. Pp. 335-346.

3.  ХўжаёровБ.Х., МахмудовЖ.М., СулаймоновФ.У., Задача переноса вещества в  цилиндрической среде  с цилиндрической  макропорой// ДАН РУз, 2010. №6.С.30-33.

4.  Самарский А. А. Теория разностных схем. – М.: Наука, 1977. – 656 с.

5.  Бабе Г.Д., Бондарев Э.А., Воеводин А.Ф., Каниболотский М.А. Идентификация моделей гидравлики. Новосибирск: Наука, 1980. – 161 с.